Производная в математике это: Производная — что это такое? Определение, значение, перевод

Производная функции – определение и геометрический смысл

Производная функции – что это такое? Как раз и навсегда понять и узнавать производную функцию. Производная – это понятие применимое к какой-либо функции и означает оно ни что иное как быстроту изменения функции (величины y) при изменении величины x, то есть другими словами – производная – это скорость с которой изменяется функция при изменении аргумента.

Такая зависимость – скорость изменения функции от аргумента также может быть описана функцией. Соответственно, возможны и первая, и вторая производные, если функция достаточна изменчива и непрерывна, чтобы позволить это. Давайте разберем это подробнее.

Содержание

Понятие производной

Если мы возьмем на графике любые две точки, например точки с координатами и . Тогда – это приращение аргумента, а – приращение функции. Приращение аргумента кратко обозначается , а приращение функции .

 

Определение производной

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На графике это означает, что точка с координатой стремится к точке с координатой .

Производная обозначается также как функция, только сверху ставится штрих – вот так

Итак, производная функции:

 

Замечание: Если вы встречаете такое выражение “производная f(x)” или “производная f” – это все равно что производная функции y(x). Функцию можно обозначать любой буквой, наиболее часто встречаются следующие обозначения функции – f(x), y(x), g(x).

Геометрический смысл производной

Проведем через точки A и B прямую и обратим внимание на то, что отношение это тангенс угла α. При стремлении к нулю, точка B приближается к точке A и наша прямая становится касательной к графику функции в точке A, а значение производной – это будет тангенс угла наклона касательной с осью Ox.

Обратите внимание, что в нашем примере , а , производная будет отрицательна, то как при делении отрицательного числа на положительное, мы получим отрицательное число. Подробнее поговорим об этом в теме “Знак производной”. Однако уже понятно, что если функция убывает, то значение производной на всем участке убывания будет отрицательным. Самостоятельно вы можете проверить – каким будет значение производной, если функция возрастает, а также в точках максимума и минимума функции.

Существование производной

Производная существует не для любых функций, есть определенные критерии, при которых возможно существование производной:

1. Функция задана и непрерывна.
2. Предел существует и конечен.

Если предел не существует, то это, как правило, связано с тем, что в точке, в которой ищется производная, нельзя провести касательную к графику функции. Или касательная образует с осью угол 90⁰. В этом случае производная обращается в бесконечность.

Пример: дана функция . Найдем производную этой функции:

.

В точке производная будет обращаться в бесконечность, то есть .

Сейчас уже не строят графики функций, чтобы определить значение производной, для ее нахождения применяются таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования. А пока решим несколько несложных примеров на понятия приращения функции и приращения аргумента.

Примеры на приращение функции и аргумента

Пример 1

Найдите приращение функции для функции , если , =2.

Решение: Понятно что начальное значение аргумента равно 2, а конечное значение 2,5. Найдем значение функции в этих двух точках

и .

Тогда

.

Пример 2

Дана функция . Найдите приращение при и .

Решение:

.

Ответ:

Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х₀ при малом отклонении аргумента Δx от х₀ функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х₀, приближенно можно заменить константой, значением в х₀. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х₀ линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х

0 функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x₀ ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х₀ является разность Δx = x – x₀. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х₀.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х

0. Дифференциалом функции f в точке х₀ называется слагаемое f’ (х₀)(х-х₀). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x₀)=dy(x₀)= f’ (х₀)(х-х₀)

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению Δx аргумента x

Δy = f(x + Δx) – f(x)

Определение производной

y’ =  dy  dx =   lim Δx → 0  Δy  Δx

Геометрически y’ = f'(x) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x

Правила дифференцирования

c’ = 0 (cu)’ = cu’ (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (uv)’ = u’v + uv’

(  u  v ) ‘   = u’v – uv’ v 2

y ‘ x = y ‘ z z ‘ x  ,

где y = f(z) и z = φ(x), т. е y = f(φ(x)).

x ‘ y =  ,

где x ‘ y – производная обратной функции

Производные элементарных функций

(x n   )’ = nx n – 1   ,    x’ = 1

(log   a x)’ =    1    xln(a)

(ln(x))’ =  1  x

(a x   )’ = a x   ln(a)

(e x   )’ = e x

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = – sinx

(tgx)’ = sec 2   x

(ctgx)’ = -cosec 2   x

(arcsinx)’ =     1 √ 1 – x 2

(arccosx)’ = –     1 √ 1 – x 2

(arctgx)’ =     1 1 + x 2

(arcctgx)’ = –     1 1 + x 2

(secx)’ = secx * tgx

(cosecx)’ = -cosecx * ctgx

(arcsecx)’ =     1 x √ x 2   – 1

(arccosecx)’ = –     1 x √ x 2   – 1

Свойства дифференциала

d(af(x)) = a * df(x)

d(f   1 (x) + f   2 (x) – f   3 (x)) = df   1 (x) + df   2 (x) – df   3 (x)

df(x) = f'(x)dx

da = 0   (a = const)

d(ax + b) = Δ(ax + b) = a Δx

dx n   = nx n – 1   Δx

Дифференциал второго порядка функции y = f(x),

где x – независимая переменная (d 2   x = 0)

d 2   y = y”dx 2

Производные высших порядков некоторых функций

(x m   ) (n)   = m(m – 1)(m – 2). ..(m – n + 1)x m – n

(ln(x)) (n)   = (-1) n – 1   (n – 1) !

(log   a x) (n)   = (-1) n – 1    (n – 1)!  ln(a)

(e kx   ) (n)   = k n   e kx

(a x   ) (n)   = ln(a) n   a x

(a kx   ) (n)   = (k * ln(a)) n   a kx

(sinx) (n)   = sin(x + nπ 2 )

(cosx) (n)   = cos(x + nπ 2 )

Правило Лопиталя для неопределенностей вида  0  0 или ∞ ∞

lim x → a  φ(x)  ψ(x) =   lim x → a  φ'(x)  ψ'(x)  ,

если правый предел существует

Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа

f(x) = f(x   0 ) + f'(x   0 ) 1!   (x – x   0 ) + f”(x   0 ) 2!   (x – x   0 ) 2   + . ..

… + f (n)   (x   0 ) n!   (x – x   0 ) n   + f (n + 1)   (ξ) (n + 1)!   (x – x   0 ) n + 1    ,

где ξ – такое число, что x   0

Формула Маклорена

f(x) = f(0) + f'(0) 1! x + f”(0) 2! x 2   + . ..

… + f (n)   (0) n!   x n   + f (n + 1)   (ξ) (n + 1)!   x n + 1    ,

где ξ – такое число, что 0

фрактал | математика | Britannica

Ключевые люди:

Бенуа Мандельброт Вацлав Серпинский Гастон Морис Джулия

Похожие темы:

фрактальная кривая Юлия сет фрактальная размерность множество Мандельброта Прокладка Серпинского

Просмотреть весь связанный контент →

фрактал , в математике любая из класса сложных геометрических фигур, которые обычно имеют «дробную размерность» — понятие, впервые введенное математиком Феликсом Хаусдорфом в 1918. Фракталы отличаются от простых фигур классической или евклидовой геометрии — квадрата, круга, сферы и т. д. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты. Термин фрактал , происходящий от латинского слова fractus («фрагментированный» или «сломанный»), был введен математиком польского происхождения Бенуа Б. Мандельбротом. См. анимацию фрактального набора Мандельброта.

Хотя ключевые понятия, связанные с фракталами, изучались математиками в течение многих лет, и многие примеры, такие как кривая Коха или «снежинка», были давно известны, Мандельброт был первым, кто указал, что фракталы могут быть идеальным инструментом в прикладных исследованиях. математика для моделирования самых разных явлений от физических объектов до поведения фондового рынка. С момента своего появления в 1975 году концепция фрактала породила новую систему геометрии, которая оказала значительное влияние на такие разнообразные области, как физическая химия, физиология и гидромеханика.

Многие фракталы обладают свойством самоподобия, хотя бы приблизительно, если не точно. Самоподобный объект — это объект, составные части которого похожи на целое. Это повторение деталей или паттернов происходит в постепенно уменьшающихся масштабах и может, в случае чисто абстрактных объектов, продолжаться бесконечно, так что каждая часть каждой части при увеличении будет выглядеть в основном как фиксированная часть целого объекта. Фактически самоподобный объект остается инвариантным при изменении масштаба, т. е. обладает масштабной симметрией. Это фрактальное явление часто можно обнаружить в таких объектах, как снежинки и кора деревьев. Все естественные фракталы такого рода, а также некоторые математические самоподобные фракталы являются стохастическими, или случайными; таким образом, они масштабируются в статистическом смысле.

Еще одной ключевой характеристикой фрактала является математический параметр, называемый фрактальной размерностью. В отличие от евклидовой размерности, фрактальная размерность обычно выражается нецелым числом, то есть дробью, а не целым числом. Фрактальную размерность можно проиллюстрировать на конкретном примере: кривой снежинки, определенной Хельге фон Кохом в 1904 году. Это чисто математическая фигура с шестикратной симметрией, как и природная снежинка. Он самоподобн в том, что состоит из трех одинаковых частей, каждая из которых, в свою очередь, состоит из четырех частей, являющихся точными уменьшенными версиями целого. Из этого следует, что каждая из четырех частей сама состоит из четырех частей, которые являются уменьшенными версиями целого. Не было бы ничего удивительного, если бы коэффициент масштабирования также был равен четырем, поскольку это было бы верно для сегмента прямой или дуги окружности. Однако для кривой «снежинка» коэффициент масштабирования на каждом этапе равен трем. Фрактальная размерность, D , обозначает степень, в которую нужно возвести 3, чтобы произвести 4, т. е. 3 ^D = 4. Таким образом, размерность кривой снежинки равна D  =  ^{log 4} / _{log 3} , или примерно 1,26. Фрактальная размерность является ключевым свойством и показателем сложности данной фигуры.

Фрактальная геометрия с ее концепциями самоподобия и нецелочисленной размерности находит все более широкое применение в статистической механике, особенно при работе с физическими системами, состоящими из, казалось бы, случайных элементов. Например, фрактальное моделирование использовалось для построения графика распределения скоплений галактик по Вселенной и для изучения проблем, связанных с турбулентностью жидкости. Фрактальная геометрия также внесла свой вклад в компьютерную графику. Фрактальные алгоритмы позволили создавать реалистичные изображения сложных, крайне неоднородных природных объектов, таких как пересеченная местность гор и запутанные системы ветвей деревьев.

Математика. Введение в производные | Бесплатная помощь с домашними заданиями

Математическое введение в производные https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail. jpg 150 150 Дебора Дебора https://secure.gravatar.com/avatar/63fb4ad5c163b8f83de2f54371b9e040?s=96&d=mm&r=g 22 декабря 2014 г. 22 декабря 2014 г.

Обзор

Производная функции описывает скорость ее изменения в определенной точке функции. Скорость изменения не обязательно должна быть постоянной, поэтому ее можно аппроксимировать вдоль любой точки кривой. Производные в исчислении имеют множество применений в количественных науках, таких как физика и химия.

Геометрическое определение

Не все функции являются линейными. Если функция непрерывна, так что очень небольшие изменения входных данных приводят к изменениям выходных данных, форма графика представляет собой кривую. Для аппроксимации величины изменения в любой точке кривой можно опустить касательную. Производная — это измерение наклона линии в этой точке.

Дифференциация

Дифференциация – это процесс нахождения производных. И Ньютон, и Лейбниц использовали дифференцирование в процессе развития исчисления. Дифференциал представляет собой бесконечно малое изменение переменной величины и может быть связан со всеми другими изменениями функции. Несмотря на то, что изменение бесконечно мало, его все же можно измерить приближением.

Производные в пространстве и времени

Для измерения изменений в пространстве и времени в дифференциальных уравнениях используются производные. Производная по времени или скорость изменения во времени важна для таких понятий, как скорость и ускорение. (Можно сказать, что Ньютон разработал исчисление для количественной оценки своих наблюдений в классической механике.) Например, скорость — это скорость изменения положения по отношению ко времени. Ускорение – это скорость изменения скорости во времени. Она не обязательно постоянна и может включать незначительные корректировки скорости.