ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎ скорости: «Когда говорят: “производная ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ – ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ скорости

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ производная. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. x'(t)=v(t) ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. НСкоторыС примСнСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ, Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ часто встрСчаСтся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Ξ΅ ΠΈ Ρ… Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ξ΅ обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ βˆ†t, Π° Ρ… – ΠΊΠ°ΠΊ βˆ†s. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° βˆ†t ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «нСбольшой Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΎΠΊ ΠΊ tΒ», ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ подразумСваСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ мСньшС. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ βˆ† Π½ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ΅ΠΌ случаС Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ sin ΞΈ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ sΒ·iΒ·nΒ·0. Π­Ρ‚ΠΎ просто Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΎΠΊ ΠΊΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ βˆ† Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π΅Π³ΠΎ особом Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π΅. Ну, Π° Ссли βˆ† Π½Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ нСльзя ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ βˆ†s/βˆ†t. Π­Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ sin ΞΈ/sin 2ΞΈ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 1/2. Π’ этих Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… обозначСниях ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ βˆ†s/βˆ†t ΠΏΡ€ΠΈ βˆ†t, стрСмящСмся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚. Π΅.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ сущСству Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8.3), Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ яснСС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь всС измСняСтся, Π°, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½Π° Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.
БущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ выполняСтся с Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Он гласит: ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ скорости, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ, Ρ‚. Π΅. βˆ†s = Ο…βˆ†t. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ строго справСдливо Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ измСняСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° βˆ†t, Π° это, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, происходит, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° βˆ†t достаточно ΠΌΠ°Π»ΠΎ. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ ds = Ο…dt, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ dt ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ βˆ†t ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π». Если ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» βˆ†t достаточно Π²Π΅Π»ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π° это врСмя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ βˆ†s = Ο…βˆ†t Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. Однако Ссли ΠΌΡ‹ пишСм dt, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом подразумСваСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π» ΠΈ Π² этом смыслС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ds = Ο…dt Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅. Π’ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… обозначСниях Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (8.5) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ds/dt называСтся Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ s ΠΏΠΎ tΒ» (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ измСняСтся), Π° слоТный процСсс нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ называСтся, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ; Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Если ΠΆΠ΅ ds ΠΈ dt ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π½Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ds/dt, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ носят названия Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ вас с Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ, скаТу Π΅Ρ‰Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ ΠΌΡ‹ нашли ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 5t 2 , ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ 5t 2 . Она оказалась Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 10t. Когда Π²Ρ‹ большС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ словам, Π²Π°ΠΌ станСт Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятна сама ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ. Для Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Рассмотрим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ s = At 3 + Bt + Π‘, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ А, Π’, Π‘, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ постоянныС числа. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния, описываСмого этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t. Рассмотрим для этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ t + βˆ†t, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊ s прибавится нСкоторая Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΊΠ° βˆ†s, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ выраТаСтся βˆ†s Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· βˆ†t. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ

Но Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π½Π΅ сама Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° βˆ†s, Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ βˆ†s/βˆ†t. ПослС дСлСния Π½Π° βˆ†t ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ послС устрСмлСния βˆ†t ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ прСвратится Π²

Π’ этом состоит процСсс взятия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ диффСрСнцирования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½ нСсколько Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ это каТСтся Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π² разлоТСниях, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ, Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (βˆ†t) 2 ΠΈΠ»ΠΈ (βˆ†t) 3 ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоким стСпСням, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сразу Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ обратятся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ βˆ†t ΡƒΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ПослС нСбольшой Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π²Ρ‹ сразу Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ, Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ сразу ΠΎΡ‚Π±Ρ€Π°ΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. БущСствуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для диффСрСнцирования Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ. НСбольшой список Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» приводится Π² Ρ‚Π°Π±Π». 8.3.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΊ физичСским прилоТСниям ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько ΠΈΠ½Ρ‹Π΅ обозначСния Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ приняты Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, мСняСтся ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ собираСмся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? Π­Ρ‚ΠΈΠΌΠΈ функциями слуТат физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, зависящиС ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. НапримСр, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚Π΅Π»Π° x(t) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ v(t) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…:

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ распространённоС ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅:

производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x(t) обозначаСтся

(читаСтся ¾дэ икс ΠΏΠΎ дэ тэ¿).

ΠžΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π½Π° смыслС обозначСния (29 ). ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ двояко Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стоит ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ dt, Π° Π² числитСлС Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» dx Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x(t). ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Π½Π΅ слоТно, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ сСйчас ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ; ΠΎΠ½ΠΎ ΠΆΠ΄Ρ‘Ρ‚ вас Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ курсС.

Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, Π½Π΅ скованный трСбованиями матСматичСской строгости, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (29 ) Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ dx Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π·Π° врСмя dt. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» dt Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ малСньким, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ dx=dt Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ своСму ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ (30 ) с ΡƒΡΡ‚Ρ€Π°ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ нас Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, скаТСт Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ попросту Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Π² числитСлС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стоит достаточно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ dx, Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ dt, Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ нСстрогоС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎ для рассуТдСний Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ этого физичСского уровня строгости.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вСрнёмся ΠΊ исходному ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ (26 ) ΠΈ посчитаСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π° Π·Π°ΠΎΠ΄Π½ΠΎ посмотрим Π½Π° совмСстноС использованиС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (28 ) ΠΈ (29 ):

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» диффСрСнцирования dt d ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ скобкой это всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ… свСрху Π·Π° скобкой Π² ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΡ… обозначСниях.)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вычислСнная производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ оказалась Ρ€Π°Π²Π½Π° скорости Ρ‚Π΅Π»Π° (27 ). Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ случайноС совпадСниС, ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ.

2.1 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² (27 ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈ t 2.

Как это ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ? ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто: ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π½Π΅ с Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ скорости, Π° с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ vx Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° скорости Π½Π° ось X. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ вмСсто (27 ) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π΅Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

vx = 12 6t:

Если Π²Ρ‹ Π·Π°Π±Ρ‹Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΒΎΠ’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΒΏ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ лишь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ vx ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ связь направлСния скорости ΠΈ направлСния оси X:

vx > 0 , Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X ; vx

(НапримСр, Ссли vx = 3 ΠΌ/с, Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3 ΠΌ/с Π² сторону, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ оси X.)

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ (31 ) ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ двиТСния: ΠΏΡ€ΠΈ t 2 Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ½ΡΡΡΡŒ, двиТСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X.

Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° v. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π° случая направлСния двиТСния.

1. Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ dx ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ Π·Π° врСмя dt. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

x = dx dt = v:

2. Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X, Ρ‚ΠΎ dx

x = dx dt = v:

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС vx = v, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС vx = v. Π’Π΅ΠΌ самым ΠΎΠ±Π° случая ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

x = vx ;

ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ: производная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ось.

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ возрастания (убывания) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

x > 0) vx > 0) Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двигаСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X) ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x увСличиваСтся; x

2.2 УскорСниС

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ быстроту измСнСния Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Но ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ быстрСС. Π₯арактСристикой быстроты измСнСния скорости слуТит физичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, называСмая ускорСниСм.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ автомобиля ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ½Π΅ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ с v0 = 2 ΠΌ/с Π΄ΠΎ v = 14 ΠΌ/с Π·Π° врСмя t = 3 с. УскорСниС автомобиля вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

v v0

ΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС оказываСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сСкунду ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ автомобиля увСличиваСтся Π½Π° 4 ΠΌ/с.

А Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ускорСниС, Ссли ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠ»Π°ΡΡŒ с v0 = 14 ΠΌ/с Π΄ΠΎ v = 2 ΠΌ/с Π·Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя t = 3 c? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (33 ) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π—Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сСкунду, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° 4 ΠΌ/с.

МоТно Π»ΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ускорСнии, Ссли ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ускорСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° рассуТдСний Π²Π°ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ°: Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (33 ) вмСсто ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ dt, вмСсто разности v v0 Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ dv скорости Π·Π° врСмя dt, ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ускорСниС это производная скорости.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (34 ), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π½Π΅ описываСт всС ситуации, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ окруТности ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π΅ мСняСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ Π² соотвСтствии с (34 ) ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ a = v = 0. Но Π²Ρ‹ прСкрасно Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ускорСниС Ρƒ Ρ‚Π΅Π»Π° имССтся, ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ окруТности ΠΈ называСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (34 ) нуТдаСтся Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Cвязана эта модификация с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ускорСниС Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ускорСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ измСнСния скорости Ρ‚Π΅Π»Π°. Π§Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, ΠΌΡ‹ сСйчас выясним Π½Π° простых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся вдоль оси X. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π΄Π²Π° случая направлСния ускорСния: ΠΏΠΎ оси X ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² оси X соотвСтствСнно.

1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ускорСния ~a сонаправлСн с осью X (рис. 18 ). ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ ускорСния Π½Π° ось X ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°: ax > 0.

Рис. 18. ax > 0

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСняСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ (vx > 0), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ разгоняСтся: ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ увСличиваСтся. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ скорости vx ΠΏΡ€ΠΈ этом Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ увСличиваСтся.

Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (vx

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ax > 0, Ρ‚ΠΎ проСкция скорости vx возрастаСт Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ,

Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ двиТСтся Ρ‚Π΅Π»ΠΎ.

2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ускорСния ~a Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ оси X (рис. 19 ). ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ ускорСния Π½Π° ось X ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°: ax

Рис. 19. ax

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСняСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси X. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ (vx > 0), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠ·ΠΈΡ‚: ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ скорости vx ΠΏΡ€ΠΈ этом Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (vx

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ax

ΠžΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π² этих ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… связь Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ускорСния ax с возрастаниСм (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ) ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скорости vx ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ нас ΠΊ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (34 ):

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π•Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· вСрнёмся ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ (26 ):

x = 1 + 12t 3t2

(ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° измСряСтся Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, врСмя Π² сСкундах). ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ диффСрСнцируя Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ускорСниС постоянно ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 6 ΠΌ/с2 . НаправлСно ускорСниС Π² сторону, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ оси X.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΅ΡΡ‚ΡŒ случай равноускорСнного двиТСния, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ускорСния Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ (ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ говоря, ~a = const). РавноускорСнноС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΈ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² двиТСния Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅.

Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ равноускорСнном Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ проСкция скорости являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Рассмотрим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ экзотичСский случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. x”(t)=v(t) ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ вторая производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ускорСниС. a(t)=v “(t)=x””(t)


Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° двиТСтся ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой согласно Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ x(t)= tΒ²+t+2, Π³Π΄Π΅ x(t) – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t (врСмя измСряСтся Π² сСкундах, расстояниС Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…). Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° 5 ΠΌ/с? РСшСниС: Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’. ΠΊ. v(t) = x”(t) = 2t+1 ΠΈ v = 5 ΠΌ / с, Ρ‚ΠΎ 2t +1= 5 t=2 ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊ Π·Π° t сСкунд поворачиваСтся Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο† (t)= 6 t- tΒ² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. НайдитС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο‰ вращСния ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t=1с. (Ο† (t)- ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Ο‰(t)- ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄/с, t- врСмя Π² сСкундах). РСшСниС: Ο‰ (t) = Ο† “(t) Ο‰ (t) = 6 – 2t t = 1 c. Ο‰ (1) = 6 – 2 Γ— 1 = 4 Ρ€Π°Π΄/с ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:4.

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ прямой Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ v(t) ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ v(t)=15+8 t -3tΒ² (t – врСмя двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° Π² сСкундах).Каким Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° (Π² ΠΌ/с²) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСкунду послС Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° двиТСния? РСшСниС: v(t)=15+8t-3tΒ² a(t)=v”(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 ΠΌ / с Β² ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…. Заряд, проходящий Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ сСчСниС ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ°, вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ q(t)=2t 2 -5t. Найти силу Ρ‚ΠΎΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ t=5c. РСшСниС: i(t)=q”(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 А. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:15.

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ прямой расстояниС s(t) ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М измСняСтся ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t- врСмя Π² сСкундах). Каким Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° (Π² ΠΌ/с 2) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 3 сСкунды? РСшСниС. a(t)=v “(t)=s””(t). НайдСм v(t)=s”(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)” =4t 3 -12t a(t)=v “(t)= s””(t)= (4t 3 -12t 2 -12)” =12t 2 -24t, a(3)=12Γ— Γ—3=108-72=36ΠΌ/с 2. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. 36.

Иногда Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 ΠΈΠ· Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ вмСсто всСми Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ даСтся просто ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² этом случаС? Как ΠΏΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ускорСниС.

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ всС просто. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это производная ΠΎΡ‚ расстояния, Π° ускорСниС β€” это производная скорости (ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, вторая производная ΠΎΡ‚ расстояния). Π’ этом ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈΡ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ слоТнСС «классичСских» B9.

БСгодня ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π­Ρ‚ΠΈ задания Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² части BΠΈ сущСствСнно ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ экзамСнах. ВсС Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ функциях, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… расстояния.

Если $S=x\left(t \right)$, Ρ‚ΠΎ $v$ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ – всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ потрСбуСтся для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. {2}}=0\]

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ 4 с $v$ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, двиТущСйся ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ описанному Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3 ΠΌ/с.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· пробСТимся ΠΏΠΎ самому Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ сСгодняшнСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ прСобразования расстояниС Π² ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π½Π°ΠΌ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ прямо описан Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, прямо ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ отсчСта, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (это просто производная). И Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈ ускорСниС. УскорСниС, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ скорости, Ρ‚.Π΅. Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ расстояния. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ довольно Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ, поэтому сСгодня ΠΌΡ‹ ΠΈΡ… Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈ. Но Ссли Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² условии слово «ускорСниС», ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ΠΎ вас Π½Π΅ ΠΏΡƒΠ³Π°Π΅Ρ‚, достаточно просто Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

НадСюсь, этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ физичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π· Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… Π΅Π΅ вычислСния. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ – ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… понятий матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π­Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ сСгодняшнюю ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² Π΅Π΅ физичСский ΠΈ гСомСтричСский смысл, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? ВсС эти вопросы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ?

ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция f(x) , заданная Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (a, b) . Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ… ΠΈ Ρ…0 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ этому ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ… мСняСтся ΠΈ сама функция. ИзмСнСниС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° – Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ…-Ρ…0 . Π­Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° икс ΠΈ называСтся ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. ИзмСнСниСм ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ – ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° послСднСС стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Какой смысл Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°? А Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ:

производная ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью OX ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.


ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: производная ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° скорости прямолинСйного двиТСния.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Ρ‰Π΅ со ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ всСм извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это частноС ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ x=f(t) ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t . БрСдняя ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t0 Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅: выносим константу

ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ – это Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π·Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ – Ссли ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Вычислим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅: производная суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС справСдливо ΠΈ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

НС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, Π° Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ рассмотрим практичСский ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅: производная произвСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ вычислСнии ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ встрСчаСм Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ – 8Ρ… Π² пятой стСпСни. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ выраТСния сначала считаСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нСпосрСдствСнно самого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΠΎ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅: производная частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² с нуля. Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ проста, ΠΊΠ°ΠΊ каТСтся, поэтому ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡƒΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ: Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ²ΡƒΡˆΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π‘ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ вопросом ΠΏΠΎ этой ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² студСнчСский сСрвис . Π—Π° ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠΉ срок ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с заданиями, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π²Ρ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ Π½Π΅ занимались вычислСниСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°?

Β Β 

Π . ΠšΡƒΡ€Π°Π½Ρ‚, Π“. Роббинс. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°? Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ². β€” 3-e ΠΈΠ·Π΄., испр. ΠΈ Π΄ΠΎΠΏ. β€” М.: МЦНМО, 2001. β€” 568 с.

Книга написана ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π ΠΈΡ…Π°Ρ€Π΄ΠΎΠΌ ΠšΡƒΡ€Π°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Π² соавторствС с Π“. Роббинсом. Она ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½Π° ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ, которая прСподаСтся Π² школС, ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ для СстСствознания ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ соврСмСнной матСматичСской Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. Начиная с элСмСнтарных понятий, Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ двиТСтся ΠΊ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ областям соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. Книга написана ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ доступно ΠΈ являСтся классикой популярного ΠΆΠ°Π½Ρ€Π° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Книга ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° для школьников, студСнтов, ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для всСх ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ структурой.



ОглавлСниС

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ русскому изданию
Как ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΎΠΉ
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°?
Π“Π»Π°Π²Π° I. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
Β§ 1. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами
2. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠΈΡΡŒΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (нумСрация).
3. АрифмСтичСскиС дСйствия Π² нСдСсятичных систСмах счислСния.
Β§ 2. Π‘Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ индукция
2. АрифмСтичСская прогрСссия.
3. ГСомСтричСская прогрСссия.
4. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° n ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².
5. Одно Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ нСравСнство.
6. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.
7. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ замСчания ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅ I
ВСория чисСл
2. РаспрСдСлСниС простых чисСл.
Β§ 2. БравнСния
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°.
3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹.
Β§ 3. ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Ρ‹ числа ΠΈ большая Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°
Β§ 4. Алгоритм Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ
3. Ѐункция Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°. Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°.
4. НСпрСрывныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π”ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ уравнСния
Π“Π»Π°Π²Π° II. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ числовая систСма
Β§ 1. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
2. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ надобности Π² Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ самой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ обобщСния.
3. ГСомСтричСскоС прСдставлСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
Β§ 2. НСсоизмСримыС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹
2. ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ: ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ бСсконСчныС.
3. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹. БСсконСчныС гСомСтричСскиС прогрСссии.
4. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ пСриодичСскиС дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
5. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл посрСдством ΡΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ².
6. Π˜Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ опрСдСлСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.Π”Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ сСчСния.
Β§ 3. ЗамСчания ΠΈΠ· области аналитичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
2. УравнСния прямых ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ.
Β§ 4. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· бСсконСчного
2. Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π½Π΅ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΠ½ΡƒΡƒΠΌΠ°.
3. Β«ΠšΠ°Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа» ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π°.
4. ΠšΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.
5. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π΄ΠΎΠΊΡΡ‹ бСсконСчного.
6. Основания ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.
Β§ 5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа
2. ГСомСтричСскоС прСдставлСниС комплСксных чисСл.
3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π° ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.
4. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.
Β§ 6. АлгСбраичСскиС ΠΈ трансцСндСнтныС числа
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Лиувилля ΠΈ конструированиС трансцСндСнтных чисСл.
Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅ II. АлгСбра мноТСств
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅.
3. Одно ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй.
Π“Π»Π°Π²Π° III. ГСомСтричСскиС построСния. АлгСбра числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нСвозмоТности ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.
2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
3. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Аполлония.
Β§ 2. Числа, Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ построСниС, ΠΈ числовыС поля
2. ВсС числа, Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ построСниС, β€” алгСбраичСскиС.
Β§ 3. ΠΠ΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… классичСских ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ
2. Одна Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ кубичСских уравнСниях.
3. ВрисСкция ΡƒΠ³Π»Π°.
4. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
5. ЗамСчания ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ выполнСния построСний
Β§ 4. ГСомСтричСскиС прСобразования. Π˜Π½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡ
2. Бвойства инвСрсии.
3. ГСомСтричСскоС построСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.
4. Как Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ циркуля.
Β§ 5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… инструмСнтов. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠœΠ°ΡΠΊΠ΅Ρ€ΠΎΠ½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ циркуля
1. ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ конструкция, слуТащая для удвоСния ΠΊΡƒΠ±Π°.
2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ циркуля.
3. Π§Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… мСханичСских приспособлСний. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅. Π¦ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΈΠ΄Ρ‹.
4. Π¨Π°Ρ€Π½ΠΈΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. Π˜Π½Π²Π΅Ρ€ΡΠΎΡ€Ρ‹ ПосСльС ΠΈ Π“Π°Ρ€Ρ‚Π°.
Β§ 6. Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ инвСрсии ΠΈ Π΅Π΅ примСнСниях
1. Π˜Π½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². БСмСйства окруТностСй.
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Аполлония.
3. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ отраТСния.
Π“Π»Π°Π²Π° IV. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ гСомСтрия. Аксиоматика. НССвклидовы Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
1. ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ гСомСтричСских свойств. Π˜Π½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ прСобразованиях.
2. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ прСобразования.
Β§ 2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия
1. Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π”Π΅Π·Π°Ρ€Π³Π°.
Β§ 3. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Β§ 4. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
2. Π˜Π΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
3. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с бСсконСчно ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ элСмСнтами.
Β§ 5. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ
2. Π”Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π”Π΅Π·Π°Ρ€Π³Π°.
3. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Паскаля.
4. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Ρ€ΠΈΠ°Π½ΡˆΠΎΠ½Π°.
5. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ двойствСнности.
Β§ 6. АналитичСскоС прСдставлСниС
2. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. АлгСбраичСскиС основы двойствСнности.
Β§ 7. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ
Β§ 8. ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ сСчСния ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€ΠΈΠΊΠΈ
2. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства коничСских сСчСний.
3. ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ сСчСния ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΡ‡Π°Ρ‚Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅Β».
4. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Паскаля ΠΈ Π‘Ρ€ΠΈΠ°Π½ΡˆΠΎΠ½Π° для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ случая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коничСских сСчСний.
5. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΈΠ΄.
Β§ 9. Аксиоматика ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия
2. ГипСрболичСская Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия.
3. ГСомСтрия ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
4. МодСль ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅.
5. ЭллиптичСская, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²Π°, гСомСтрия.
ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ГСомСтрия Π² пространствах Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ
Π“Π»Π°Π²Π° V. Вопология
Β§ 1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²
Β§ 2. ВопологичСскиС свойства Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
2. Бвойства связности.
Β§ 3. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ топологичСских Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ
2. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… красок.
3. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ размСрности.
4. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
5. Π£Π·Π»Ρ‹.
Β§ 4. ВопологичСская классификация повСрхностСй
2. Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠ²Π° характСристика повСрхности.
3. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ повСрхности.
ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½Π° для случая ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
3. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹
Β§ 1. НСзависимоС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ функция
2. Радианная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
3. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
4. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
5. ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
6. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….
7. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ прСобразования.
Β§ 2. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹
2. ΠœΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
3. Число Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° e.
4. Число «пи»
5. НСпрСрывныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
Β§ 3. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ
2. ЗамСчания ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ понятия ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°
3. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» sin x/x
4. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… -> ΠΎΠΎ.
Β§ 4. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСпрСрывности
Β§ 5. Π”Π²Π΅ основныС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… функциях
2. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°Π½ΠΎ.
3. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’Π΅ΠΉΠ΅Ρ€ΡˆΡ‚Ρ€Π°ΡΡΠ° ΠΎΠ± ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… значСниях.
4. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡΡ…. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ‹Π΅ мноТСства.
Β§ 6. НСкоторыС примСнСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°Π½ΠΎ
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСханичСской ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅.
Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅ VI. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
4. Π Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ….
5. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.
Β§ 2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, относящийся ΠΊ нСпрСрывности
Π“Π»Π°Π²Π° VII. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹
Β§ 1. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· области элСмСнтарной Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство свСтовых Π»ΡƒΡ‡Π΅ΠΉ.
3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ….
4. Бвойства ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊ эллипсу ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свойства.
5. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ расстояния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
Β§ 2. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ‹ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
Β§ 3. Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС
2. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ минимакса ΠΈ топология.
4. РасстояниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ повСрхности.
Β§ 4. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π°
4. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ свСтовыми Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΌΠΈ.
5. ЗамСчания, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ эргодичСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Β§ 5. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°
2. Анализ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ².
3. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°.
4. ЗамСчания ΠΈ упраТнСния.
5. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΡƒΠ»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ сСти.
Β§ 6. ЭкстрСмумы ΠΈ нСравСнства
1. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСскоС ΠΈ гСомСтричСскоС Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.
2. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° случай n ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….
3. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².
Β§ 7. БущСствованиС экстрСмума. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅
3. Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ элСмСнтарного содСрТания.
4. Врудности, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных случаях. x ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ lnx Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ².
5. БСсконСчный ряд для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ВычислСниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
Β§ 7. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
2. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π Π°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ распад. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ роста. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.
3. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ колСбания.
4. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ двиТСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.
Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π΅ VIII
Β§ 1. Вопросы ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ порядка
3. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ прилоТСния понятия ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
Β§ 2. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΈ возрастания
2. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ возрастания ln(n!)
Β§ 3. БСсконСчныС ряды ΠΈ бСсконСчныС произвСдСния
2. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° cos x + i sin x = exp(ix).
3. ГармоничСский ряд ΠΈ Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-функция. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ sin x Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчного произвСдСния.
Β§ 4. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ простых числах Π½Π° основС статистичСского ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°
ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ замСчания, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ упраТнСния
АналитичСская гСомСтрия
ГСомСтричСскиС построСния
ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия
Вопология
Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹
Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСния
Π’Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° интСгрирования
РСкомСндуСмая Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° – ВСрминология для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π½Π΅ скорости)

БущСствуСт Π»ΠΈ какая-Π»ΠΈΠ±ΠΎ стандартная тСрминология для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (пригодная для использования Π² исчислСнии ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния)? Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ «ускорСниС» Π² Π΅Π³ΠΎ тСхничСском смыслС β€” это ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΈΡ‰Ρƒ , Π° Π½Π΅ ; это производная ΠΎΡ‚ самой скорости, Π½ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° производная ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, скорости.

Π­Ρ‚ΠΎ полСзная концСпция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° соотвСтствуСт Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ смысл слова «ускорСниС»; Ссли эта Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ускоряСтся (ускоряСтся), Ссли ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ замСдляСтся (Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠ·ΠΈΡ‚), Π° Ссли Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ (хотя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅). Как $ v $ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° скорости $ \boldsymbol v $, Ρ‚Π°ΠΊ $ a $ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я ΠΈΡ‰Ρƒ, Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ a = \mathrm d v / \mathrm d t $ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , Π° Π½Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ускорСния $ \boldsymbol a = \mathrm d \boldsymbol v / \mathrm d t $. (Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², $ a $ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.) 92 \boldsymbol N = a \boldsymbol T + \omega v \boldsymbol N $, Π³Π΄Π΅ $ \boldsymbol T = \boldsymbol v / v $ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ двиТСния (Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ $ a \boldsymbol T $ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅Π½ размСрности $\pm a$ Π² $1$), $\boldsymbol N$ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹, $\kappa$ β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹, $\omega = \kappa v$ β€” ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. (Π’ размСрности $3$ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΡΠΎΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ окруТности Ρ€Π°Π²Π½Π° $ \boldsymbol \omega = \omega \boldsymbol B $, Π³Π΄Π΅ $ \boldsymbol B = \boldsymbol T \times \boldsymbol N $ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π½ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π² любом количСствС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.) Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это, бСзусловно, полСзная концСпция для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ускорСния, Π² частности, разбивая ускорСниС Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ направлСния. 92 = \omega v $), Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся Π½Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ, сколько Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ $1$.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ для этого стандартный Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½? Если люди Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ², связанных с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, являСтся достаточно стандартным, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ я ΠΌΠΎΠ³ с Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‚ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ своим студСнтам, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ исчислСниС с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ: Β«Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ β€” это «скалярноС ускорСниС»; Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «скаляр», Π° ΠΏΠΎΠΊΠ° это просто тСхничСский ΠΆΠ°Ρ€Π³ΠΎΠ½.β€Ί, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ. Или, Ссли для этого Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стандартный Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ я Π½Π΅ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Π», я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ. Если Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Β«Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ускорСния», хотя это явно Π½Π΅ стандарт , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° – ЯвляСтся Π»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ полоТСния, расстояния ΠΈΠ»ΠΈ пСрСмСщСния?

спросил

ИзмСнСно 3 Π³ΠΎΠ΄Π°, 10 мСсяцСв Π½Π°Π·Π°Π΄

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 2ΠΊ Ρ€Π°Π·

$\begingroup$

По всСму Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Ρƒ я Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… людСй, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡ‚ расстояния, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡ‚ смСщСния, ΠΈ это мСня Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сбиваСт с Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΡƒ. Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ производная полоТСния являСтся ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ само ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ: (ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ полоТСния)/(ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ) ΠΈΠ»ΠΈ (смСщСниС)/(ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ).

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ