Производное частного: Производная частного функций (u/v)’

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Производная степенной функции	Производная степенной функции
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
Производная синуса	Производная косинуса
Производная косеканса	Производная секанса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
Производная гиперболического синуса Производная гиперболического синуса в английской версии	Производная гиперболического косинуса Производная гиперболического косинуса в английской версии
Производная гиперболического тангенса	Производная гиперболического котангенса
Производная гиперболического секанса	Производная гиперболического косеканса

Урок по математика. 11 класс. Тема: «Правило вычисления производной частного»

Дата 15.11

Тема: Правило вычисления производной частного

Цели:

• Ввести правила дифференцирования производной частного
• Повторить правила нахождения(f(x)+g(x))΄, (f(x)-g(x))΄ и (c f(x))΄
• Учиться применять новое знание при решении задач

1. развивать творческую и мыслительную  деятельность учащихся
2. развивать способность к «видению» проблемы
3. формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли
4. формировать познавательные интересы и мотивы самосовершенствования
5. воспитывать умение работать с имеющейся информацией
6. воспитывать культуру труда общения, на выки самоконтроля, взаимоконтроля и взаимопомощи

 

Ход урока.

I. Организационный момент. Проверка домашнего задания.

II. Актуализация опорных знаний.

Мы несколько раз уже использовали слово “ производная “.

1. Так, кто скажет определение производной функции в точке?

Ответ: Производной функции в точке Х0 называется число к которому стремится разностное отношение .

2. Как называется операция нахождения производной ?

Ответ: дифференцированием.

3. При решении каких задач применяется производная?

Ответ при решении задач на нахождении мгновенной

скорости при неравномерном движении тела.

Есть еще другие задачи, где необходимо использовать производную;

Например: При решение квадратного уравнения ах2 +вх+с = 0 количество корней определяем с помощью дискриминанта. А если нам потребуется определить количество корней уравнения вида Какими формулами можно здесь воспользоваться? Тут и нам поможет производная. На это мы не будем останавливаться, т.к. при изучении дальнейших тем, вы вернетесь к этой задаче.

Мы вернемся к нашей теме и вспомним правила нахождения производных:

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

где  c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

На

Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

 

Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ = f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

(U+V)1

(UV)1

Изучение нового материала

Производная частного равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

Закрепление изученного материала

 

 

Выполнение №28.18 (работа в группах)

Отработка прототипов заданий №9 нахождение физического смысла производной открытого банка задач ЕГЭ по математике

 Задание В9 (№119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции  :

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени  равно 2.

Получаем уравнение:

Решим его:

,  – не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике. 

Материальная точка движется прямолинейно по закону  , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  .

Решение.

1. Найдем производную функции :

2. Найдем значение производной в точке :

Ответ: 60 м/с.

 

Рефлексия

Выберите 1 фразу для соседа по парте:

Ты молодец.

Я доволен твоей работой на уроке.

Ты мог бы поработать лучше.

Домашнее задание:

Повторить основные правила дифференцирования

карточки

 

 

Правила дифференцирования в математике | univer-nn.ru

Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)’ = u’±v’ 

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)’ = u’ — v’ + w’ 

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)’ = u’v + uv’ 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)’ = cv’ (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’ 

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в задачах по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Смотрите пример вычисления сложной функции на следующем видео

Производная обратной функции

Еели у = f(x) и х = ф (у) — взаимно обратные дифференцируемые функции, то

частные производные и обозначения Лейбница

23.1Функции нескольких переменных и частные производные

Материал этого раздела относится к курсу многомерного анализа, однако для других курсов он вам может потребоваться очень скоро, так что мы его включили сюда, немного забегая вперёд.

23.1.1Функции нескольких переменных

Ранее мы рассматривали функции одной переменной — например, f(x)=x2+3x−5. Подставляя значение x, мы получаем значение функции. Можно также сказать, что функция задаёт зависимость между x и какой-то другой переменной (вопреки традиции, обозначим её через z): z=f(x), меняем x, меняется z. Например, нас может интересовать, как меняется спрос в зависимости от цены, или как меняется рождаемость в зависимости от количества денег, выделяемых на поддержку семей с детьми. Однако, зависимости в реальном мире как правило выглядят сложнее. Спрос зависит не только от цены, но и от других факторов — например, от текущей даты (перед праздниками спрос может вырасти) или рекламного бюджета. Рождаемость может зависеть не только от величины детских пособий, но и от количества школ или ставки по ипотеке. Поэтому часто нас интересуют функции нескольких переменных.

Рассмотрим, например, функцию g(x,y)=x2y+2y3x. Её значение зависит от значений двух переменных, x и y. Формально, такая функция является отображением:

g:R2→R,

где R2 — декартов квадрат множества вещественных чисел, то есть множество всевозможных упорядоченных пар (x,y). Иными словами, R2 — это просто декартова плоскость. Каждой точки этой плоскости соответствует пара чисел, x-координата и y-координата, а паре чисел соответствует значение функции g(x,y). То есть чтобы задать функцию двух переменных, нужно каждой точки плоскости (или какой-то области на плоскости) поставить в соответствие своё число.

Функции нескольких переменных сложнее представлять себе, чем функции одной переменной, потому что их графики живут в пространствах больших размерностей. Например, график функции двух переменных — это некоторая поверхность в трёхмерном пространстве: расположим нашу декартову плоскость (x,y) на полу комнаты, и над каждой точкой нарисуем точку графика; её высота над полом должна равняться значению функции в этой точке.

Пожалуй, самый естественные пример функций нескольких переменных получаются из географических данных. Высота точки с некоторой широтой и долгтой над уровнем моря — это функция двух переменных — собственно, широты и долготы. Её график — это просто соответствующий трёхмерный ландшафт. Максимумы соответствуют горам, минимумы — впадинам.

Можно рассмотреть более сложную функцию — например, зависимость температуры от долготы, широты и времени. Это функция трёх аргументов, представить себе её график в виде какой-то картинки уже практически невозможно — она будет жить в четырёмерном пространстве!

На курсе анализа-2 вы будете более подробно обсуждать, как устроены функции нескольких переменных и как их изучать. Мы же пока поговорим про один маленький кусочек этой науки.

23.1.2Частные производные

Мы хотели бы определить некоторый аналог производной для функции нескольких переменных. Для функции одной переменной, производная показывает, с какой скоростью функция растёт или убывает вблизи данной точки, то есть показывает, как меняется её значение, когда значение аргумента немножко увеличивается или уменьшается. Перенести на функции нескольких переменных это определение буквально не получается — у нас теперь несколько аргументов, и непонятно, что значит, что функция убывает или растёт вблизи какой-то точки — растёт при каком изменении аргументов?

Общий ответ на этот вопрос также выходит за рамки нашего курса, но одна из конструкций достаточно проста, и мы её сейчас обсудим.

Допустим, нас интересует рождаемость, и в нашей модели она зависит от двух переменных — от размера детских пособоий и процентной ставки по ипотеке. Если вы министр социальной защиты, вы контролируете размер пособий, но процентная ставка находится не в вашей власти, она зависит от действий Центробанка. В этом случае вам может быть интересно, на сколько вырастет рождаемость, если вы повысите размер пособий на некоторую небольшую величину, при том, что ставка по ипотеке не изменится. Иными словами, с вашей точки зрения, ставка является константой, а функция, с которой вы имеете дело — это функция одной переменной — она зависит только от размера пособий. Тогда вы можете найти производную этой функции, просто пользуясь определением производной.

Конечно, может так статься, что при разных значениях ставки по ипотеке, производная, которую вы найдёте, будет разной. Например, если ставка по ипотеке слишком высока, увеличение небольшого пособия может не приводить к увеличению рождаемости, а при низких ставках — приводить. А если изначально пособие было большим, эффект может оказаться обратным. Так что ваша производная оказывается функцией двух переменных — текущей ставки по ипотеке и текущего размера пособий, и показывает, на сколько изменится значение рождаемости при увеличении размера пособий (относительно текущего уровня) при фиксированной ставке.

Эта штука называется частной производной.

Определение 1. Рассмотрим функцию двух переменных z=g(x,y). Зафиксируем некоторое значение y=y0 и рассмотрим функцию h(x)=g(x,y0). Это функция одной переменной. Её производная в точке x=x0 называется частной производной функции g по x в точке (x0,y0). Обозначается:

g′x(x0,y0):=h′(x0).

Аналогично определяется частная производной и по y. Если переменных больше, чем две, определение также аналогично: нужно зафиксировать все переменные, кроме одной, и найти производную от функции от этой оставшейся переменной. Пример 1. Пусть g(x,y)=x2+2y3x. Найдём её частные производные. Чтобы найти g′x, нужно просто при дифференцировании этой функции считать y фиксированным параметром. Первое слагаемоей дифференцируется как обычно, получается 2x, а при дифференцировании второго нужно учесть, что раз y — фиксированное число, то и y3 — тоже фиксированное число, и его можно простов вынести за знак производной:

g′x(x,y)=(x2)′x+(2y3x)′x=2x+2y3⋅x′x=2x+2y3.

Вопрос 1. Найдите частную производную g′y(x,y):   2x+6y2x

Неверный ответ. Нет, если x константа, то x2 тоже константа. А что такое производная константы?

  6y2x

Верный ответ. Да! По-моему, считать частные производные даже проще, чем объяснять, что это такое.

  6y2

Неверный ответ. А куда делся x?

  2y3

Неверный ответ. А куда делся x? И где производная по y?

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума) Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0), то есть существуют такие окрестности Ux и Uy точек x0 и y0, что для всех x∈Ux, y∈Uy, функция определена в точке (x,y). Пусть также в точке (x0,y0) у функции f есть локальный максимум (то есть для любых x∈Ux, y∈Uy, f(x0,y0)≥f(x,y)) или минимум (определение аналогично). Пусть существуют частные производыне f′x(x0,y0) и f′y(x0,y0). Тогда они обязаны равняться нулю.

Доказательство. Действительно, пусть, например, f′x(x0,y0)>0, но в точке (x0,y0) у функции f локальный максимум. Рассмотрим функцию h(x)=f(x,y0). Поскольку h′(x0)=f′x(x0,y0)>0, можно немножко увеличить значение x и увеличить значение функции: найдётся такое δ>0, что для всякого Δx∈(0,δ), h(x0+Δx)>h(x0). Иными словами, f(x0+Δx,y0)>f(x0,y0). Значит, (x0,y0) не является локальным максимумом функции f.

Остальные случаи рассматриваются полностью аналогично.∎

23.2Обозначения Лейбница

23.2.1Производные функции одной переменной

На протяжении нашего курса мы обозначали производные как f′(x), или, частные производные, f′x(x,y) и f′y(x,y). Это обозначения Лагранжа. Есть и другие способы обозначать производные. Например, производные по переменной t, имеющей смысл времени, часто обозначается точкой: ˙f(t). В общем случае часто используют также обозначения Лагранжа, в которых некоторые формулы становятся более естественными. О них — в этом разделе.

Чтобы ввести обозначения Лагранжа, напомним определение производной:

f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.

Если обозначить числитель дроби через Δf(Δx), как мы иногда делали раньше, получится такое определение:

f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx.

Иногда зависимость от Δx в числителе опускают и записывают просто

f′(x0)=limΔx→0ΔfΔx.

Из этой формулы происходит обозначение Лейбница для производных:

f′(x0)=df(x0)dx=dfdx(x0).

Выражение df/dx обычно не рассматривается как дробь в обычном смысле, а рассматривается как некоторый неделимый символ, который, однако, происходит из дроби Δf/Δx. Иногда говорят, что dx — это «бесконечно малое приращение аргумента», а df — это соответствующее ему приращение функции (тоже как правило «бесконечно малое»). Однако, каков у этих слов аккуратный математичесий смысл, не очень понятно. Можно придать выражению df/dx смысл именно как дроби, понимая под df и dx не числа, а некоторые линейные функции (дифференциалы), но мы, пожалуй, не будет сейчас этого делать — соответствующие понятия будет гораздо проще понять, когда вы познакомитесь с линейной алгеброй.

23.2.2Обозначения Лейбница и теоремы о производных

При использовании обозначений Лейбница некоторые теоремы о производных становятся более естественными, если договориться о некоторых естественных, хоть и не очень аккуратных обозначениях.

Производная обратной функции.

Например, рассмотрим теорему о производной обратной функции. У нас есть некоторая функция y=f(x), она задаёт зависимость y от x. Давайте мы вместо буквы f будем писать просто y:

y=y(x),

имея в виду ту же самую зависимость, что и раньше. Это, конечно, вносит некоторую путаницу — теперь одной и той же буквой обозначаются два разных объекта, функция и переменная, которой обозначаются её значения. Но из контекста будет ясно, что имеется в виду.

Обратная функция (x=f−1(y)), если она существует, тогда показывает зависимость x от y, которую мы будем просто обозначать через

x=x(y).

Таким образом, наши функции y(x) и x(y) — это соответственно f и f−1.

Теперь запишем их производные. В обозначениях Лейбница:

f′=dfdx,

и поскольку мы договорились вместо f писать просто y, получим:

f′=dydx

А производная обратной функции записывается в виде:

dxdy,

имея в виду, что теперь x в числителе — это имя функции x(y), обратной к f.

Неудивительно, что

dxdy=1dydx,

то есть производные прямой и обратной функции взаимно обратны (в произведении дают 1) — это равенство выглядит естественно, если использовать наши обозначения и воспринимать дроби dx/dy и dy/dx как «настоящие» дроби. Но, конечно, само по себе это не доказывает соответствующую теорему, да и даже полной формулировки тут нет, потому что наши обозначения скрывают, в каких точках берётся производная. Полностью формула из теоремы о производной обратной функции в обозначениях Лейбница может быть записана так:

dxdy∣∣∣y=y0=1dydx∣∣x=x(y0).

Производная сложной функции.

Рассмотрим теперь теорему о производной сложной функции. Рассмотрим функции y=f(x) и z=g(y), а также их композицию h(x)=g(f(x)). Функция f показывает, как y зависит от x, а функция g — как z зависит от y. Опять используем неоднозначную запись: вместо функции f(x) мы будем писать просто y(x), а вместо g — z(y). Рассматривая композицию функций g(f(x)), мы будем говорить, что у нас z в этом случае зависит не от y, а от x. Формула в теореме о производной сложной функции может быть кратко записана так:

dzdx=dzdydydx,

где dz/dx — это производная композиции (она показывет, как z меняется, когда меняется x), а dz/dy — это производная функции g. Опять же, «сокращая» dy в этой формуле, мы можем её «доказать» — хотя, конечно, это не настоящее доказательство, потому что это не совсем настоящие дроби (и ко всему прочему, непонятно, что делать, когда dy обнуляется).

Обозначения Лейбница бывают полезны, потому что основаны на интуитивных представлениях о производной как об отношении приращения функции к приращению аргумента, однако часто формулы с ними записываются с сокращениями (например, не указывается, в какой точке берутся те или иные производные), которые усложняют понимание.

Если вы видете формулу с производными, записанными в обозначениях Лейбница, и чувствуете, что не вполне понимаете написанное или не можете с ним эффективно работать, может быть полезно переписать эту формулу в обозначениях Лагранжа в наиболее полном виде, ничего не пропуская — аккуратно разобраться, с какими функциями вы работаете, от каких переменных и в каких точках.

23.2.3Обозначения для частных производных

В случае частных производных часто используют такие обозначения: f′x(x,y)=∂f∂x(x,y)=∂f(x,y)∂x;g′y(x,y)=∂f∂y(x,y)=∂f(x,y)∂y. Здесь используется такое специальное круглое ∂ вместо обычного d, чтобы подчеркнуть, что нас интересует именно частная производная — в курсе многомерного анализа жизнь устроена сложнее, чем в одномерном, и там бывают разные понятия производной, которые нужно различать.

23.3Заключение

В математике есть разные способы обозначать одни и те же объекты, и вообще, формулы можно записывать по-разному. Часто на практике используются обозначения, в которых опускаются какие-то вещи, понятные из контекста, чтобы сделать запись более лаконичной и подчеркнуть основную мысль на фоне малозначительных деталей. К сожалению, зачастую эти упрощения для неподготовленного читателя могут наоборот усложнить понимание, иногда фатально. В этом курсе мы стараемся использовать наиболее однозначные обозначения, чтобы упростить усвоения материала — и поэтому, в частности, пользовались обозначениями Лагранжа для производных. Однако нужно быть готовым к тому, что в других математических текстах будет больше недоговорок. Чтобы иметь возможность с такими текстами работать, вам нужно будет в них досконально разобраться, при необходимости, привести все формулы к такому виду, когда вы абсолютно однозначно понимаете, что стоит за каждом символом. Именно это означает, что вы действительно понимаете написанное.

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Найти производную произведения и частного. Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019). Зачем раскладывать производные на множители

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2),

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Дифференцирование › Частные производные [страница – 64] | Самоучители по математическим пакетам

Частные производные

С помощью обоих процессоров Mathcad можно вычислять производные функций не только одного, но и любого количества аргументов. Как известно, производные функции нескольких аргументов по одному из них называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование.

---

Примеры отыскания частных производных функции двух переменных приведены в листингах 3.11 и 3.12. В первой строке обоих листингов определяется сама функция, а в последующих (символьным или численным образом) рассчитываются ее производные по обеим переменным – х и k. Чтобы определить частную производную в точке, необходимо предварительно задать значения всех аргументов, что и сделано в следующих строках листинга 3.12. Обратите внимание, что для символьного поиска производной функции нет необходимости задавать значения всех ее аргументов (третья строка листинга 3.12), а вот для численного дифференцирования (последняя строка листинга) должны быть предварительно определены все аргументы функции, иначе вместо результата появится сообщение об ошибке.

Листинг 3.11. Аналитическое вычисление частных производных:

Листинг 3.12. Символьное и численное вычисления частных производных в точке:

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 3.3). Листинг 3.13 иллюстрирует расчет вторых производных функции по переменным х и у, а также смешанной производной.

Листинг 3.13. Вычисление второй частной производной:

Возможно, вы обратили внимание, что во всех трех листингах 3.11-3.13 оператор дифференцирования записан в традиционной форме частной производной (с округлыми символами дифференциала). Запись оператора не влияет на вычисления, а служит лишь более привычной формой представления расчетов.

Рис. 3.8. Изменение вида оператора дифференцирования

Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует:

1. Вызвать контекстное меню из области оператора дифференцирования нажатием правой кнопки мыши.
2. Выбрать в контекстном меню верхний пункт View Derivative As (Показывать производную как).
3. В появившемся подменю (рис. 3.8) выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Чтобы вернуть вид производной, принятый по умолчанию, выберите в подменю пункт Default (По умолчанию) либо, для представления ее в обычном виде, – Derivative (Производная).

Остерегайтесь использования деривативов при покупке и продаже частных акций

Введение

SEC изучает использование деривативов на вторичном рынке для акций частных компаний1. Торговля акциями частных компаний остается устойчивой, и мы пишем это предупреждение, чтобы напомнить всем, что независимо от того, являетесь ли вы покупателем или продавцом, использование деривативы для этих типов переводов проблематичны и могут быть незаконными и не имеющими исковой силы.

Sand Hill

Комиссия по ценным бумагам и биржам уже действовала один раз. Недавно он закрыл и оштрафовал Sand Hill Exchange («Sand Hill»), онлайновую биржу Силиконовой долины для деривативов, охватывающих компании, поддерживаемые венчурным капиталом до IPO. Sand Hill продавал контракты, выплаты по которым были связаны с оценкой стоимости частных компаний в случае ликвидности, например слияния или IPO. Другими словами: «Вы платите мне X долларов за мои акции Uber сегодня, и я обещаю заплатить вам Y долларов, равных сумме, которую я получу после того, как Uber станет публичным.«Комиссия по ценным бумагам и биржам сочла эти контракты производными финансовыми инструментами.

Справочная информация о производных финансовых инструментах

Как правило, производные инструменты включают любые соглашения, контракты или транзакции, стоимость которых основана на наступлении события или на «производной» стоимости чего-либо другого, например процентных ставок, валют, товаров или ценных бумаг. . Контракт, стоимость которого связана с наступлением события (например, IPO), влияющего на стоимость акций частной компании, считается производным инструментом.2 Согласно законам о ценных бумагах «розничные» инвесторы, как правило, не могут заключать частные сделки с производными финансовыми инструментами. Исключение существует для людей, которые соответствуют высокому стандарту «правомочного участника контракта» .3 Для того, чтобы иметь право на участие, частным лицам часто необходимо инвестировать 10 миллионов долларов по своему усмотрению. Многие участники Sand Hill не были «подходящими участниками контракта». В связи с этим Sand Hill был закрыт и оштрафован.

Заключение

При правильном исполнении деривативы могут использоваться для передачи экономических рисков на частные акции.Они могут быть эффективными в обходе договорных ограничений на передачу частных акций. Однако, совершенный ненадлежащим образом, передача является незаконной и может потерять исковую силу. В перспективе онлайн-биржи деривативов могут, в конечном итоге, способствовать повышению ликвидности стартапов и компаний перед IPO. Однако до тех пор, пока они не будут должным образом структурированы, действия в Сэнд-Хилле демонстрируют готовность правительства контролировать эту границу.

Вот ссылка на правоприменительные меры SEC: https: // www.sec.gov/litigation/admin/2015/33-9809.pdf. За дополнительной информацией обращайтесь к авторам этого предупреждения или к своему постоянному консультанту в Минц Левин.

---

Примечания

1 http://www.wsj.com/articles/regulators-probe-marketing-of-hot-private-tech-shares-1436139252

2 Примечание. Использование специального инструмента для приобретения акций не считается производным инструментом.

3 Правомочный участник контракта включает в себя физическое лицо, которое на усмотрении инвестировало суммы, превышающие (i) 10 миллионов долларов или (ii) 5 миллионов долларов, и которое заключает сделку в целях хеджирования.

Подписаться на точки обзора

Определение безопасности: как работает торговля ценными бумагами

Что такое ценная бумага?

Термин «ценная бумага» относится к взаимозаменяемому оборотному финансовому инструменту, имеющему определенную денежную ценность. Он представляет собой долю собственности в публично торгуемой корпорации через акции; отношения кредитора с государственным органом или корпорацией, представленные владельцем облигации этого юридического лица; или права собственности, представленные опционом.

Ключевые выводы

• Ценные бумаги – это взаимозаменяемые и обращающиеся финансовые инструменты, используемые для привлечения капитала на государственных и частных рынках.
• В основном существуют ценные бумаги трех типов: долевые, предоставляющие право собственности держателям; задолженность – в основном ссуды, погашаемые периодическими платежами; и гибриды, сочетающие в себе аспекты долга и капитала.
• Публичная продажа ценных бумаг регулируется SEC.
• Саморегулируемые организации, такие как NASD, NFA и FINRA, также играют важную роль в регулировании производных ценных бумаг.

Понимание ценных бумаг

Ценные бумаги можно разделить на два различных типа: акции и долги. Однако некоторые гибридные ценные бумаги сочетают в себе элементы как акций, так и долга.

Подготовка к экзамену Series 6: что такое ценная бумага?

Долевые ценные бумаги

Долевые ценные бумаги представляют собой долю владения, принадлежащую акционерам в юридическом лице (компании, товариществе или трасте), реализованную в форме акций акционерного капитала, которые включают акции как простых, так и привилегированных акций.

Держатели долевых ценных бумаг обычно не имеют права на регулярные выплаты – хотя долевые ценные бумаги часто выплачивают дивиденды, – но они могут получить прибыль от прироста капитала, когда они продают эти ценные бумаги (при условии, что они выросли в цене).

Долевые ценные бумаги действительно дают держателю определенный контроль над компанией на пропорциональной основе посредством права голоса. В случае банкротства они разделяют только остаточные проценты после выплаты всех обязательств перед кредиторами.Иногда они предлагаются в качестве оплаты натурой.

Долговые ценные бумаги

Долговая ценная бумага представляет собой заемные деньги, которые должны быть возвращены, с условиями, которые определяют размер кредита, процентную ставку и дату погашения или продления.

Долговые ценные бумаги, которые включают государственные и корпоративные облигации, депозитные сертификаты (CD) и обеспеченные ценные бумаги (такие как CDO и CMO), как правило, дают их держателю право на регулярную выплату процентов и погашение основной суммы (независимо от результатов деятельности эмитента. ), наряду с любыми другими оговоренными договорными правами (которые не включают право голоса).

Обычно они выпускаются на фиксированный срок, по истечении которого они могут быть погашены эмитентом. Долговые ценные бумаги могут быть обеспеченными (обеспеченными залогом) или необеспеченными, и, если они не обеспечены, могут иметь приоритет по контракту перед другим необеспеченным субординированным долгом в случае банкротства.

Гибридные ценные бумаги

Гибридные ценные бумаги, как следует из названия, сочетают в себе некоторые характеристики как долговых, так и долевых ценных бумаг. Примеры гибридных ценных бумаг включают варранты на акции (опционы, выпущенные самой компанией, которые дают акционерам право покупать акции в течение определенного периода времени и по определенной цене), конвертируемые облигации (облигации, которые могут быть конвертированы в обыкновенные акции компании-эмитента. ) и привилегированные акции (акции компании, выплаты процентов, дивидендов или другие выплаты на капитал могут иметь приоритет над выплатами других акционеров).

Хотя привилегированные акции технически классифицируются как долевые ценные бумаги, они часто рассматриваются как долговые ценные бумаги, поскольку «ведут себя как облигации». Привилегированные акции предлагают фиксированную ставку дивидендов и являются популярным инструментом для инвесторов, стремящихся к заработку. По сути, это ценные бумаги с фиксированным доходом.

Как торговать ценными бумагами

Публично торгуемые ценные бумаги котируются на фондовых биржах, где эмитенты могут запрашивать листинги ценных бумаг и привлекать инвесторов, обеспечивая ликвидный и регулируемый рынок для торговли.Неформальные электронные торговые системы стали более распространенными в последние годы, и теперь ценные бумаги часто продаются «внебиржевой» или напрямую между инвесторами через Интернет или по телефону.

Первичное публичное размещение акций (IPO) представляет собой первую крупную продажу компанией долевых ценных бумаг населению. После IPO любые вновь выпущенные акции, хотя и проданные на первичном рынке, называются вторичным размещением. В качестве альтернативы ценные бумаги могут быть предложены частным образом ограниченной и квалифицированной группе в рамках так называемого частного размещения – важное различие с точки зрения как законодательства о компаниях, так и регулирования ценных бумаг.Иногда компании продают акции в сочетании с публичным и частным размещением.

На вторичном рынке, также известном как вторичный рынок, ценные бумаги просто передаются как активы от одного инвестора к другому: акционеры могут продавать свои ценные бумаги другим инвесторам за наличные деньги и / или прирост капитала. Таким образом, вторичный рынок дополняет первичный. Вторичный рынок менее ликвиден для ценных бумаг, размещаемых в частном порядке, поскольку они не торгуются на открытом рынке и могут быть переданы только квалифицированным инвесторам.

Инвестиции в ценные бумаги

Лицо, создающее ценные бумаги для продажи, называется эмитентом, а те, кто их покупает, конечно же, инвесторы. Как правило, ценные бумаги представляют собой инвестиции и средство, с помощью которого муниципалитеты, компании и другие коммерческие предприятия могут привлекать новый капитал. Компании могут зарабатывать большие деньги, когда становятся публичными, например, продавая акции при первичном публичном размещении (IPO).

Органы власти города, штата или округа могут собрать средства для конкретного проекта, разместив выпуск муниципальных облигаций.В зависимости от рыночного спроса или структуры ценообразования учреждения привлечение капитала с помощью ценных бумаг может быть предпочтительной альтернативой финансированию с помощью банковского кредита.

С другой стороны, покупка ценных бумаг на заемные деньги, действие, известное как покупка с маржей, является популярным инвестиционным методом. По сути, компания может предоставить права собственности в форме денежных средств или других ценных бумаг либо при создании, либо в случае неисполнения обязательств, чтобы выплатить свой долг или другое обязательство другому лицу. В последнее время количество таких залоговых соглашений растет, особенно среди институциональных инвесторов.

Положение о ценных бумагах

В США публичное предложение и продажа ценных бумаг регулирует Комиссия по ценным бумагам и биржам США (SEC).

Публичные предложения, продажи и торги ценными бумагами США должны быть зарегистрированы и зарегистрированы в отделах государственных ценных бумаг SEC. Саморегулируемые организации (СРО) в брокерской индустрии также часто занимают регулирующие позиции. Примеры СРО включают Национальную ассоциацию дилеров по ценным бумагам (NASD) и Регулирующий орган финансовой индустрии (FINRA).

Определение предложения ценных бумаг было установлено Верховным судом в деле 1946 года. В своем решении суд выводит определение ценной бумаги на основе четырех критериев: наличие инвестиционного контракта, создание общего предприятия, обещание прибыли эмитентом и использование третьей стороны для продвижения предложения.

Остаточные ценные бумаги

Остаточные ценные бумаги – это разновидность конвертируемых ценных бумаг, то есть их можно преобразовать в другую форму, обычно в обыкновенные акции.Конвертируемая облигация, например, представляет собой остаточную ценную бумагу, поскольку позволяет держателю облигации конвертировать ценную бумагу в обыкновенные акции. У привилегированных акций также может быть возможность конвертации. Корпорации могут предлагать остаточные ценные бумаги для привлечения инвестиционного капитала, когда конкуренция за фонды высока.

Когда остаточная ценная бумага конвертируется или исполняется, это увеличивает количество находящихся в обращении обыкновенных акций. Это может также привести к снижению общего пула акций и их стоимости. Разбавление также влияет на показатели финансового анализа, такие как прибыль на акцию, потому что прибыль компании должна делиться на большее количество акций.

Напротив, если публично торгуемая компания принимает меры по сокращению общего количества своих акций в обращении, считается, что компания консолидировала их. Чистый эффект этого действия – увеличение стоимости каждой отдельной акции. Часто это делается для привлечения большего количества или более крупных инвесторов, таких как паевые инвестиционные фонды.

Прочие виды ценных бумаг

Сертифицированные ценные бумаги – это ценные бумаги, представленные в бумажной форме. Ценные бумаги также могут храниться в системе прямой регистрации, в которой акции регистрируются в бездокументарной форме.Другими словами, трансфер-агент хранит акции от имени компании без физических сертификатов.

Современные технологии и политики в большинстве случаев устранили необходимость в сертификатах и ​​в необходимости ведения эмитентом полного реестра безопасности. Разработана система, в которой эмитенты могут депонировать единый глобальный сертификат, представляющий все выпущенные ценные бумаги, в универсальный депозитарий, известный как Депозитарная трастовая компания (DTC). Все ценные бумаги, торгуемые через DTC, хранятся в электронной форме.Важно отметить, что документарные и бездокументарные ценные бумаги не различаются с точки зрения прав или привилегий акционера или эмитента.

Ценные бумаги на предъявителя – это ценные бумаги, которые обращаются и дают акционеру права по ценной бумаге. Они передаются от инвестора к инвестору, в некоторых случаях путем одобрения и доставки. С точки зрения прав собственности, доэлектронные ценные бумаги на предъявителя всегда разделялись, что означало, что каждая ценная бумага представляла собой отдельный актив, юридически отличный от других ценных бумаг того же выпуска.

В зависимости от рыночной практики разделенные ценные бумаги могут быть взаимозаменяемыми или (реже) не взаимозаменяемыми, что означает, что при кредитовании заемщик может вернуть активы, эквивалентные либо исходному активу, либо конкретному идентичному активу в конце ссуды. В некоторых случаях ценные бумаги на предъявителя могут использоваться для уклонения от уплаты налогов и, таким образом, иногда могут рассматриваться как эмитенты, акционеры, так и органы налогового регулирования негативно. Они редко встречаются в Соединенных Штатах.

Именные ценные бумаги имеют имя держателя и другие необходимые реквизиты, которые эмитент ведет в реестре.Перевод именных ценных бумаг осуществляется путем внесения изменений в реестр. Зарегистрированные долговые ценные бумаги всегда неделимы, то есть весь выпуск представляет собой один актив, причем каждая ценная бумага является частью целого. Неделимые ценные бумаги взаимозаменяемы по своей природе. Доли вторичного рынка также всегда неразделимы.

Письменные ценные бумаги не зарегистрированы в SEC и не могут быть проданы публично на рынке. Письменная гарантия – также известная как ограниченная ценная бумага, буквенная бумага или буквенная облигация – продается непосредственно эмитентом инвестору.Термин происходит из требования SEC к «инвестиционному письму» от покупателя, в котором говорится, что покупка предназначена для инвестиционных целей и не предназначена для перепродажи. При переходе из рук в руки эти буквы часто требуют формы 4.

Ценные бумаги кабинета министров котируются на крупной финансовой бирже, такой как NYSE, но активно не торгуются. Удерживаемые неактивной толпой инвесторов, они, скорее всего, будут облигациями, чем акциями. «Кабинет» относится к физическому месту, где заказы на облигации исторически хранились вне торгового зала.В шкафах обычно хранятся лимитные заказы, и заказы хранятся до тех пор, пока срок их действия не истечет или они не будут выполнены.

Эмиссионные ценные бумаги: примеры

Рассмотрим случай XYZ, успешного стартапа, заинтересованного в привлечении капитала для ускорения своего следующего этапа роста. До сих пор собственность стартапа была разделена между двумя его основателями. У него есть несколько вариантов доступа к капиталу. Он может выходить на публичные рынки, проводя IPO, или может собирать деньги, предлагая свои акции инвесторам при частном размещении.

Первый метод позволяет компании генерировать больше капитала, но он обременен огромными комиссиями и требованиями раскрытия информации. В последнем методе акции торгуются на вторичных рынках и не подлежат контролю со стороны общественности. В обоих случаях, однако, происходит распределение акций, которое уменьшает долю учредителей и предоставляет права собственности инвесторам. Это пример долевой ценной бумаги.

Затем рассмотрим правительство, заинтересованное в сборе денег для возрождения своей экономики.Он использует облигации или долговое обеспечение для увеличения этой суммы, обещая регулярные выплаты держателям купона.

Наконец, рассмотрим случай стартапа ABC. Он привлекает деньги от частных инвесторов, в том числе от семьи и друзей. Основатели стартапа предлагают своим инвесторам конвертируемую вексель, которая конвертируется в акции стартапа на более позднем мероприятии. Большинство таких мероприятий финансируются. По сути, банкнота является долговым залогом, потому что это ссуда, предоставленная инвесторами основателям стартапа.

На более позднем этапе банкнота превращается в капитал в виде заранее определенного количества акций, которые дают инвесторам долю компании.Это пример гибридной безопасности.

Определение валютных фьючерсов

Что такое валютные фьючерсы?

Валютные фьючерсы – это торгуемые на бирже фьючерсные контракты, которые определяют цену в одной валюте, по которой другая валюта может быть куплена или продана в будущем. Валютные фьючерсные контракты являются юридически обязательными, и контрагенты, которые все еще держат контракты на дату истечения срока, должны поставить валютную сумму по указанной цене в указанную дату поставки.Валютные фьючерсы могут использоваться для хеджирования других сделок или валютных рисков или для спекуляции на движениях цен в валютах.

Валютные фьючерсы можно противопоставить нестандартным валютным форвардным контрактам, которые торгуются на внебиржевом рынке.

Ключевые выводы

• Валютные фьючерсы – это фьючерсные контракты на валюты, которые определяют цену обмена одной валюты на другую в будущем.
• Курс валютных фьючерсных контрактов определяется на основе спотовых курсов валютной пары.
• Валютные фьючерсы используются для хеджирования риска получения платежей в иностранной валюте.

Основы валютных фьючерсов

Первый валютный фьючерсный контракт был создан на Чикагской товарной бирже в 1972 году, и сегодня это крупнейший рынок валютных фьючерсов в мире. Валютные фьючерсные контракты оцениваются по рыночной цене ежедневно. Это означает, что трейдеры несут ответственность за наличие достаточного капитала на своем счете для покрытия прибыли и убытков, возникающих после открытия позиции.Фьючерсные трейдеры могут отказаться от своих обязательств по покупке или продаже валюты до даты поставки контракта. Это делается путем закрытия позиции. За исключением контрактов с мексиканским песо и южноафриканским рандом, валютные фьючерсные контракты физически поставляются четыре раза в год: в третью среду марта, июнь, сентябрь и декабрь.

Цена валютных фьючерсов определяется при открытии сделки.

Например, покупка фьючерса на евро на валюту U.S. Exchange по цене 1,20 означает, что покупатель соглашается купить евро по цене 1,20 доллара США. Если он допустит истечение срока действия контракта, он несет ответственность за покупку 125 000 евро по цене 1,20 доллара США. Каждый фьючерс на евро на Чикагской товарной бирже (CME) стоит 125 000 евро, поэтому покупателю придется покупать именно столько. С другой стороны, продавец контракта должен будет поставить евро и получить доллары США.

Большинство участников фьючерсных рынков – это спекулянты, которые закрывают свои позиции до истечения срока действия фьючерсов.Они не доставляют физическую валюту. Скорее, они зарабатывают или теряют деньги в зависимости от изменения цен самих фьючерсных контрактов.

Ежедневный убыток или прибыль по фьючерсному контракту отражается на торговом счете. Это разница между ценой входа и текущей ценой фьючерса, умноженная на контрактную единицу, которая в приведенном выше примере равна 125000. Если контракт упадет до 1,19 или вырастет до 1,21, например, это будет представлять прибыль или убыток в размере 1250 долларов по одному контракту, в зависимости от того, на какой стороне сделки находится инвестор.

Разница между спотовой и фьючерсной ставками

Спот-курс валюты – это текущий котируемый курс, по которому валюта в обмен на другую валюту может быть куплена или продана. Две задействованные валюты называются «парой». Если инвестор или хеджер проводит сделку по спот-курсу валюты, обмен валют происходит в момент, когда была совершена сделка, или вскоре после нее. Поскольку валютные форвардные курсы основаны на валютных курсах спот, валютные фьючерсы имеют тенденцию меняться по мере изменения спотовых курсов.

Если курс спот валютной пары увеличивается, фьючерсные цены на валютную пару имеют высокую вероятность повышения. С другой стороны, если спот-курс валютной пары снижается, фьючерсные цены имеют высокую вероятность снижения. Однако это не всегда так. Иногда курс спот может двигаться, но фьючерсы, срок действия которых истекает в отдаленные сроки, – нет. Это связано с тем, что изменение курса спот может рассматриваться как временное или краткосрочное и, следовательно, вряд ли повлияет на долгосрочные цены.

Пример валютного фьючерса

Предположим, что гипотетическая компания XYZ, базирующаяся в Соединенных Штатах, сильно подвержена валютному риску и желает застраховаться от предполагаемого поступления 125 миллионов евро в сентябре. До сентября компания могла продавать фьючерсные контракты на полученные евро. Контракт на фьючерсы Euro FX составляет 125 000 евро. Они продают фьючерсы на евро, потому что они американская компания и не нуждаются в евро. Следовательно, поскольку они знают, что получат евро, они могут продать их сейчас и зафиксировать курс, по которому эти евро можно обменять на U.С. долларов.

Компания XYZ продает 1 000 фьючерсных контрактов на евро для хеджирования предполагаемого поступления. Следовательно, если евро обесценивается по отношению к доллару США, прогнозируемая выручка компании защищена. Они зафиксировали свой курс, поэтому они могут продавать свои евро по фиксированному курсу. Однако компания теряет любые выгоды, которые могут возникнуть в случае повышения курса евро. Они по-прежнему вынуждены продавать свои евро по цене фьючерсного контракта, что означает отказ от прибыли (относительно цены в августе), которую они имели бы, если бы не продали контракты.

Определение производной стоимости недвижимости

Что такое производная по недвижимости?

Производные финансовые инструменты на недвижимость, иногда называемые производными финансовыми инструментами на недвижимость, представляют собой инструменты, которые позволяют инвесторам получить доступ к классу активов недвижимости без фактического владения зданиями. Вместо этого они заменяют недвижимость показателем возврата недвижимости. Таким образом, инвесторы могут инвестировать в акции или долги недвижимости, никогда не покупая реальные активы или не используя недвижимость в качестве залога.

Ключевые выводы

• Деривативы на недвижимость позволяют инвесторам получить доступ к рынку недвижимости без фактического владения активами недвижимости.
• Эти производные инструменты отслеживают доходность индекса доходности недвижимости, такого как NPI или NAREIT.
• Инвесторы также могут часто торговать деривативами на отдельных REIT, котирующихся на биржах.

Преимущества деривативов на недвижимость

Деривативы на недвижимость позволяют инвестору сократить свои первоначальные обязательства по капиталу и защитить портфели недвижимости от убытков, обеспечивая при этом альтернативные стратегии управления рисками.

Исторически сложилось так, что недвижимость имела низкую корреляцию с точки зрения производительности с инвестициями в акции и облигации, что делало ее желательным инструментом диверсификации портфеля. К сожалению, покупка и продажа физического имущества далеко не так проста, как торговля ценными бумагами.

Индекс NPI

Индекс собственности Национального совета доверительных управляющих по инвестициям в недвижимость (NPI) – это общепринятый индекс, созданный для оценки инвестиционных показателей рынка коммерческой недвижимости.Первоначально разработанный в 1977 году, индекс без заемных средств оценивается в 702 миллиарда долларов (по состоянию на 3 квартал 2020 года) по всем США.

Инвестиции в коммерческую недвижимость подразделяются на следующие типы инвестиций:

Как работают производные финансовые инструменты

Разработанные для сектора прямых инвестиций, производные инструменты, предлагаемые в индексе NCREIF, основаны на свопах, которые бывают различных форм, что позволяет инвесторам обменивать экспозицию либо на повышение курса, либо на общую доходность самого индекса, либо путем обмена экспозиций с одного землепользования на Другой.

Один из методов состоит в том, чтобы «открывать длинную позицию» (имитируя раскрытие покупаемой собственности) или «открывать короткую позицию» (копируя раскрытие продаваемой собственности). Другой метод – обмен общей доходности индекса NCREIF с разбивкой по секторам недвижимости, что позволяет инвесторам обменивать доход от офисной недвижимости, например, на торговую недвижимость.

Возвратный своп позволяет двум инвесторам по обе стороны от свопа выполнять стратегии, которые невозможно реализовать с реальными активами на рынке частной недвижимости.Свопы позволяют инвесторам тактически изменять или перебалансировать свои портфели на определенный период времени без необходимости передачи права собственности на активы, которые в настоящее время находятся на балансе. Контракты на срок до трех лет обычно управляются инвестиционным банком, который действует как расчетная палата для фондов.

В случае, если инвестор открывает длинную позицию по общему доходу индекса NCREIF, он принимает общую прибыль от NPI (выплачивается ежеквартально) на заранее определенную условную сумму и соглашается платить базовую краткосрочную процентную ставку плюс спред ( маржа) на ту же условную сумму.Другая сторона свопа получит те же денежные потоки в обратном порядке, выплатит квартальную доходность индекса и получит базовую ставку плюс спред.

Предполагая, что есть инвесторы для обеих сторон сделки, два инвестора, желающие обменять один объект собственности на другой, могут обменять доход от NPI для этого конкретного типа собственности на другой. Например, управляющий портфелем, который считает, что его фонд перераспределяется на офисную недвижимость, а недостаточно – на промышленную, может поменять часть офисных помещений на промышленную, не покупая или не продавая недвижимость.

Индекс публичного капитала

Вместо NPI производные финансовые инструменты для участия в секторе государственного капитала на рынке коммерческой недвижимости используют общую прибыль Национальной ассоциации инвестиционных фондов недвижимости (NAREIT) для расчета приемлемых денежных потоков (для длинного инвестора) или оплачивается (коротким инвестором).

Этот индекс обеспечивает доходность рынка государственных ценных бумаг, обеспеченных коммерческой недвижимостью. Например, получатель свопа платит эталонную краткосрочную процентную ставку плюс спред, чтобы перейти на годовой индексный своп с условной суммой в 50 миллионов долларов, и они будут получать ежеквартальные платежи от индекса NAREIT на 50 миллионов долларов.И снова инвестор может получить полностью диверсифицированный доступ к публичной недвижимости, не покупая ни одного актива.

Производные финансовые инструменты по недвижимости

Из-за широты и глубины траншей с различными профилями риска из базового пула ипотечных кредитов на коммерческую недвижимость, имеющихся на рынке коммерческих ипотечных ценных бумаг (CMBS), производные инструменты на недвижимость также доступны по долговым позициям в сфере недвижимости. Свопы на государственные долги в сфере недвижимости основаны на индексах рынка CMBS.

Благодаря широте и глубине данных по большому количеству транзакций (по сравнению с долевой недвижимостью) индексы CMBS являются гораздо лучшим показателем эффективности для соответствующих рынков, чем для их аналогов. Наиболее заметное различие между свопами акций и долговыми свопами заключается в том, что получатели платежей на основе процентной ставки получают контрольную ставку минус спред, в отличие от свопов акций, которые обычно основаны на контрольной ставке плюс спред.Это связано с тем, что базовые ценные бумаги обычно финансируются за счет краткосрочного возобновляемого долга РЕПО, который обычно составляет базовую краткосрочную ставку за вычетом спреда, и поэтому ставка передается контрагентам по свопу.

Производные финансовые инструменты на частную недвижимость, такие как свопы на дефолт по кредиту (CDS), обычно используются для хеджирования кредитного риска. Производные инструменты, такие как ссудные свопы, предоставляют стороне по свопу как процентную ставку, так и кредитный риск, в то время как актив (ссуда на коммерческую недвижимость) остается на балансе контрагента.Таким образом, ипотечный кредитор может хеджировать часть своего долгового портфеля на различных условиях инвестирования, не продавая сам заем. Таким образом, инвесторы могут уйти из определенных секторов рынка недвижимости, когда они чувствуют, что доходность не соизмерима с риском, а затем восстановить риски, когда рынок для этого конкретного сектора улучшится.

Особые соображения

Поскольку активы коммерческой недвижимости капиталоемки и относительно неликвидны, инвесторам в недвижимость трудно хеджировать свои риски или реализовывать альфа-стратегии.Высокие транзакционные издержки и менее эффективный рынок, чем рынок акций и облигаций, усугубили трудности с перебалансировкой портфелей в ответ на рыночные изменения.

Поскольку данные о недвижимости становятся более прозрачными, а получение информации о транзакциях становится проще и дешевле, индексы недвижимости стали более актуальными, что привело к созданию все более эффективного рынка деривативов. Деривативы на недвижимость позволяют инвесторам изменять свою подверженность конкретным рискам и возможностям без необходимости покупать и продавать активы.Эти производные финансовые инструменты позволяют инвестировать в другой сектор рынка ценных бумаг в сфере недвижимости или торговать недвижимым имуществом с переменной процентной ставкой плюс или минус премия.

Возможность обмениваться рисками позволяет инвестору в недвижимость стать более тактичным при инвестировании. Теперь они могут входить и выходить из всех четырех секторов рынка недвижимости, что позволяет лучше управлять рисками и увеличивать краткосрочную или долгосрочную доходность своих инвестиций.

Производные продукты | Инвестиционные продукты

Производные продукты – это контракты, стоимость которых определяется доходностью базового актива. Базовым активом может быть валюта, товар, индекс или процентная ставка. Наиболее распространенные производные продукты приведены ниже:

• Форвардные сделки: договор между двумя сторонами на покупку или продажу базового актива в определенное время в будущем по цене, согласованной сегодня.
• Опционные сделки: контракт, который дает право, но не обязательство купить или продать базовый актив по заранее определенной цене исполнения на или до указанной даты истечения срока.
• Форвардные операции денежного свопа: контракт, в котором сумма инвестиций конвертируется в другую валюту на основе курса спот валюты на дату сделки и конвертируется обратно в исходную валюту на основе форвардного курса валюты (указанного на дату сделки) на момент истечения срока действия. Дата.
• Сделки процентного свопа (IRS): Тип соглашения, основанный на свопе обязательств по выплате процентов с различными структурами или ставками между двумя контрагентами.
• Структурированные производные продукты с защитой капитала: продукты, которые направлены на обеспечение дополнительного дохода в соответствии с классическими продуктами срочного депозита за счет использования производного продукта вместе со срочным депозитом ((защита капитала не может быть предоставлена, если срочный депозит закрыт до истечения срока его действия.)

Производные финансовые инструменты могут использоваться для защиты от рисков (хеджирование), а также для получения дохода от движения рыночных цен (спекулятивно).

Клиенты

Private Banking Клиенты, которые хотят получать доход за счет движения цен, и клиенты малого и среднего бизнеса, коммерческие и корпоративные банковские услуги, которые хотят застраховаться от рыночных рисков, могут выполнять операции с производными финансовыми инструментами, если они соответствуют требованиям. Пожалуйста, свяжитесь с менеджером вашего портфеля, чтобы получить информацию о требованиях к вашим запросам на транзакции.

Преимущества

Дает возможность получить дополнительный доход по сравнению с традиционными инвестиционными продуктами. Предоставляет возможность защиты от рисков, связанных с движением рынка (хеджирование).

Риски

В сделках с производными финансовыми инструментами возможный убыток может быть очень высоким, как и возможный доход. Кроме того, стороны могут понести убытки до сумм, которые невозможно предсказать на дату заключения сделки.

Рост производных ценных бумаг Декабрь8, 2005 (Честер С. Спатт)

по

Честер С. Спатт

Главный экономист и директор Управления экономического анализа
Комиссия по ценным бумагам и биржам США

Нью-Йорк, Нью-Йорк

8 декабря 2005 г.

Настоящий доклад был подготовлен как основной доклад на конференции «Инвестиции в производные финансовые инструменты» 8 декабря 2005 г. в Нью-Йорке. Комиссия по ценным бумагам и биржам не несет ответственности за любую частную публикацию или заявление любого сотрудника или комиссара SEC.Эта презентация выражает точку зрения автора и не обязательно отражает точку зрения Комиссии, членов Комиссии или других сотрудников.

I. Введение

Мне приятно выступить сегодня утром с основным докладом на тему «Рост производных ценных бумаг» в рамках конференции «Инвестиции, основанные на производных финансовых инструментах», организованной Institutional Investor. В последние годы производные инструменты стали важным инструментом инвесторов на наших рынках.Как экономист, занимающий руководящую должность в Комиссии по ценным бумагам и биржам, я хотел бы предложить взгляд на экономические аспекты производных ценных бумаг на наших рынках капитала. В начале своего выступления я должен подчеркнуть, что они не обязательно отражают точку зрения членов Комиссии по ценным бумагам и биржам (SEC) или моих коллег из персонала Комиссии.

Растущее использование производных инструментов на наших рынках капитала отражает множество факторов. Технология позволяет отслеживать выплаты и риски, связанные с портфелем позиций по производным финансовым инструментам.Это также облегчило функцию создания рынка и автоматического котирования производных финансовых инструментов, сужая спреды по производным финансовым инструментам и изменяя определение цен. ¹ Ясность в бухгалтерском учете важна для инвесторов, чтобы они были уверены в использовании производных инструментов. Более широкое использование производных финансовых инструментов также отражает усложнение портфельных рисков, которые несут многие инвесторы, и вытекающие из этого требования к хеджированию. Важным фактором роста рынков деривативов стал целый ряд интеллектуальных достижений.Разработка экономических моделей для оценки производных инструментов и оценки их рискованности, а также усложнение таких моделей сыграли решающую роль в росте рынка. Конечно, оценка производной ценной бумаги зависит от ее рискованности и требуемой премии за риск, в то время как риск ценной бумаги можно представить как чувствительность ее стоимости к изменениям соответствующей переменной экономического состояния. ² Как в программах MBA, так и в программах финансового инжиниринга произошло огромное распространение методов оценки и оценки рисков.Более широкое использование производных инструментов было вызвано и привело к снижению торговых издержек и большей ликвидности. Широкое распространение синтетических деривативов привело к снижению затрат и увеличению ликвидности и объема торговли. Более широкое использование производных инструментов способствовало большей интеграции наших финансовых рынков. ³

Разные инвесторы сталкиваются с разными экономическими рисками. Деривативы предлагают простой и экономичный способ хеджирования таких рисков, по крайней мере, для некоторых клиентов инвесторов.Деривативы предоставляют возможность интегрировать экономические интересы инвесторов при различной экономической марже, создавая большую конкуренцию на финансовом рынке и потенциально увеличивая разделение рисков и снижая стоимость разделения финансовых рисков.

II. Деривативы и хеджирование

Потенциальную пользу финансового хеджирования с помощью деривативов можно проиллюстрировать несколькими примерами из рынка ценных бумаг с ипотечным покрытием. Основным достижением на практике в развитии ценных бумаг, обеспеченных ипотекой, помимо базового понятия секьюритизации ссудных инструментов, стало разделение денежных потоков для формирования залоговых ипотечных обязательств, т.е.е., ОКУ. Например, разделив денежные потоки обеспеченных ипотекой ценных бумаг на подходящие транши, инструмент, обеспеченный ипотекой, может быть структурирован и оценен таким образом, чтобы более эффективно конкурировать с корпоративными и казначейскими облигациями с различными сроками погашения. Особенно интересный способ разделить денежные потоки по ипотеке и связанной с ней ценной бумаге, обеспеченной ипотекой, – разделить их на основную сумму и проценты. Полученные ценные бумаги называются ценными бумагами только с основной суммой и ценными бумагами только с процентами. Интересной особенностью этого разделения денежных потоков является то, что для ссуды с фиксированной процентной ставкой платежи по Обеспечению только с выплатой процентов пропорциональны остатку основной суммы долга на каждую дату и, следовательно, пропорциональны валовой выручке, полученной агентом по обслуживанию ссуды. который выплачивается пропорционально остатку непогашенного остатка на каждую дату.Следовательно, при условии, что затраты на обслуживание невелики, агент по обслуживанию ссуды может хеджировать стоимость своего потока доходов от потенциальных изменений процентных ставок, продав соответствующие ценные бумаги, рассчитанные только на процентный доход.

Производные ценные бумаги могут использоваться для трансформации базового экономического риска или подверженности инвестора. Можно изменить базовую схему выплат, добавив желаемую подверженность риску к базовой структуре выплат и вычтя подверженность риску, которую необходимо устранить.Эти модификации могут быть реализованы с использованием производных ценных бумаг, например, путем корректировки с использованием ликвидных фьючерсных контрактов или путем замены желаемого дополнения к базовому риску на желаемое вычитание из базового риска. Фьючерсы или свопы обычно являются рентабельными способами достижения желаемой подверженности риску. В контексте управления инвестициями понятие трансформации высших навыков в одном рыночном секторе в другой рыночный сектор с целью использования специфических навыков управляющего активами в контексте желаемой подверженности называется «переносимой альфой».«Обратите внимание, что базовый ориентир для портфеля инвестора отличается от конкретных навыков менеджера и соответствующих рисков менеджера.

Потенциальная сила способности использовать деривативы для преобразования основного характера подверженности рискам на свободных рынках иллюстрируется теоремами «разделения» портфеля, примененными к контексту деривативов. Эти понятия аналогичны (1) теореме разделения производства и потребления в экономике, которая утверждает, что оптимальный план межвременного потребления максимизирует полезность потребителя при условии, что производственный план фирмы максимизирует ее чистую приведенную стоимость, и (2) классическая модель Модильяни. – Теорема Миллера в корпоративных финансах – оптимальные инвестиционные решения не зависят от финансового выбора фирмы на свободных рынках.Возвращаясь к контексту производных финансовых инструментов, мы сначала отмечаем, что на рынках без трения лежащие в основе риски могут быть легко трансформированы за счет использования производных ценных бумаг. При таком предположении о рынках без трения возникает разделение между лежащими в основе производственными рисками и выбором, с одной стороны, и оптимальным выбором потребления, с другой. Подобно теореме Модильяни и Миллера, на рынках без трения существует разделение между базовыми рисками, выбранными управляющим активами для максимизации стоимости, и теми, которые желает и испытывает инвестор с учетом его предпочтений в отношении рисков.Обратите внимание, что в рамках этого анализа наличие ликвидности в конкретном секторе (по сравнению с другими) не имеет решающего значения для ценообразования за риск в этом секторе.

Акцент в обсуждении до сих пор делается на способности охватывать пространство выплат и завершать рынок, чтобы улучшить распределение рисков, добавляя способности инвесторов структурировать различные модели выплат. Исключение компонентов рисков, ортогональных потребностям денежного потока, потенциально увеличивает ценность для инвестора.

Конечно, на практике затраты на трансформацию не равны нулю, хотя они должны быть небольшими. Эти затраты должны отражать комиссионные расходы и спреды, связанные с использованием производных финансовых инструментов для трансформации рисков. Например, затраты должны отражать как затраты на ресурсы, связанные с торговлей, так и оценку рынком объема частной информации на рынке в соответствующих производных ценных бумагах, то есть степень неблагоприятного выбора. Затраты не только будут различаться между свопами и фьючерсами, но и затраты также должны различаться для разных секторов.В качестве иллюстрации отмечу, что ликвидность сильно различается между фьючерсами в разных секторах, что отражает различия в глубине торгов между секторами и различия в степени неблагоприятного выбора между этими инструментами.

III. Деривативы и открытие цен

Хотя до сих пор в большинстве моих комментариев подчеркивалась роль деривативов в достижении более высокого уровня распределения рисков, теперь я хотел бы остановиться на их роли в процессе определения рыночной цены.Определение цены является центральным аспектом рынков, то есть обнаружение основной ценности моделей выплат, несмотря на разную информацию. Относительно эффективные ценовые сигналы, преобладающие на рынке, важны для повышения производственной эффективности и экономического роста за счет превосходного распределения капитала и облегчения способности относительно не информированных инвесторов делать правильный выбор портфеля. Хотя оценки активов на нашем рынке отражают значительную информацию, в то же время важно, чтобы существовали сильные стимулы для участия в дорогостоящей аналитической и торговой деятельности, которая приводит к тому, что многие инвесторы получают различные информационные сигналы, которые будут воплощены в ценах.Производные ценные бумаги могут улучшить обнаружение цен за счет ценообразования статической схемы выплат, которая представляет ценность в противном случае динамической инвестиционной стратегии, например, как показано в анализе страхования портфеля Гроссманом (1988).

Как только что отмечалось, деривативы обеспечивают механизм для стратегии ценообразования на основе ex ante и несут риск структурированным образом. Системный риск или возможность коррелированных дефолтов в экономике является одной из причин значительного интереса к производным ценным бумагам. ⁴ Многие управляющие активами часто инвестируют в одну и ту же сторону позиции (например, они, как правило, находятся на длинной стороне кредитного спреда между рынками). Как показывает пример долгосрочного капитала, у инвесторов хедж-фондов могут быть сильные внешние эффекты из-за ценовых эффектов, когда крупному игроку необходимо ликвидировать значительные позиции, поскольку он реализует динамические стратегии.

Поскольку производные инструменты предоставляют способ использования статической структуры выплат для оценки базовой динамической стратегии, они могут быть полезны для оценки различных динамических обязательств, с которыми сталкиваются фирмы.Во многих контекстах «справедливая» оценка значительных обязательств фирмы потенциально может быть определена с помощью «рыночных» производных инструментов. Среди будущих применений производных финансовых инструментов, которые, как мне кажется, могут быть важны, является структурирование производных финансовых инструментов для надлежащей оценки справедливой стоимости вознаграждения сотрудников на основе акций и опционов и справедливой стоимости пенсионных обязательств фирмы. ⁵ Это иллюстрирует, как возможность произвести оценку производного инструмента может быть источником значительного потенциального спроса.

IV. Оценка производных финансовых инструментов, разработка и раскрытие информации

Как отмечалось во вступительном слове, оценка производного инструмента и оценка его рискованности определяются одновременно. Чем более необычен инструмент или чем в большей степени доходность активов определяется крошечной долей экономических состояний, тем сложнее инструмент для оценки и оценки риска. Влияние частной информации со стороны инвестора и, как следствие, неблагоприятного выбора, ведущего к широкому спреду, будет намного сильнее для таких трудно оцениваемых инструментов. ⁶ Для многих инструментов адекватное раскрытие информации имеет решающее значение для оценки и оценки риска производной ценной бумаги. Конечно, выплаты по производным ценным бумагам зависят от мельчайших деталей их структуры. Например, для некоторых инструментов даже события с низкой вероятностью существенно влияют на относительную оценку, как показано на примере остаточного ипотечного транша, продолжительность и цена которого крайне неопределенны.

Важнейшим аспектом структуры производного инструмента является степень, в которой продавец раскрывает информацию, которая либо является частью добровольной структуры инструмента, либо соответствует нормативным требованиям.Конечно, можно было бы ожидать, что продавец производной ценной бумаги спроектирует структуру так, чтобы максимизировать ее общую оценку, удовлетворяя конкретные потребности различных типов инвесторов. ⁷ Во многих контекстах это может быть эквивалентно минимизации стоимости неблагоприятного выбора из-за частной информации, находящейся в руках участников торгов, потому что в структуре аукциона общей стоимости продавец несет издержки неблагоприятного выбора, которые несет покупатель. В то время как продавец ценной бумаги часто имеет информационное преимущество при разработке инструментов, важно понимать, что во многих случаях дизайн инструмента – это решение ex ante, а не то, что продавец может контролировать с детальным знанием информации, соответствующей конкретная ситуация.Чтобы ограничить издержки неблагоприятного выбора, которые он несет из-за недостатка информации покупателей, продавец часто должен будет использовать структуру безопасности, которую он планирует использовать с течением времени, вместо того, чтобы иметь возможность точно настроить дизайн безопасности с учетом подробная информация продавца.

Во многих ситуациях продавец инструмента будет естественно стимулирован к предоставлению относительно подробного раскрытия информации, чтобы потенциальные покупатели с различными потребностями и предпочтениями в области хеджирования могли выбрать те инструменты, которые они особенно ценят, а продавец может различать цены и извлекать максимальную ценность из базового актива. выплаты.Подробное раскрытие информации помогает поддерживать маркетинг производных компонентов среди различных клиентов.

Однако важно понимать, что оптимальный дизайн и раскрытие информации с точки зрения покупателя или регулирующего органа могут отличаться от таковых у продавца, и что конкретный режим раскрытия информации может повлиять на разделение излишка.

V. Заключительные комментарии

В своем выступлении я сосредоточил внимание на экономических аспектах производных финансовых инструментов, указав на некоторые факторы, лежащие в основе их роста.Я попытался выделить (1) аспекты разделения риска производных ценных бумаг, включая их полезную роль в содействии завершению рынка и облегчению трансформации риска, (2) потенциальную выгоду от производных инструментов в облегчении определения цен и (3) важность правил раскрытия информации и дизайна производных финансовых инструментов.

Приветствую ваши вопросы.

Список литературы

Баркли Т., А. Наранджо и М. Нималендран, 2005, “Детерминанты и изменение во времени открытия цен: данные индекса S&P 500 на рынках акций, фьючерсов и опционов”, рабочий документ Университета Флориды.

Чан, Н., М. Гетмански, С. Хаас и А. Ло, 2005, «Системные риски и хедж-фонды», неопубликованная рукопись.

Демарзо П., 2005, «Объединение и транширование ценных бумаг: модель информированного посредничества», Обзор финансовых ценных бумаг , 18, 1-35.

Gorton, G. и G. Pennacchi, 1993, «Корзины ценных бумаг и индексируемые ценные бумаги», Business Journal .

Гроссман, С., 1988, “Анализ последствий для волатильности цен на акции и фьючерсы программной торговли и стратегий динамического хеджирования”, журнал Business .

Мертон Р., 1998 г., «Применение теории ценообразования опционов: двадцать пять лет спустя», American Economic Review , 88, 323-349.

Спатт, К., К. Александер, М. Нималендран и Г. Олдфилд, 2005, «Экономическая оценка альтернативных схем рыночных инструментов: к рыночному подходу к оценке справедливой стоимости опционов на акции сотрудников», Управление экономического анализа Меморандума о Комиссии по ценным бумагам и биржам. http://www.sec.gov/news/extra/memo083105.htm

Спатт, С., 2005, «Почему частные пенсии имеют значение для государственных рынков капитала», презентация на семинаре по политике для руководителей, организованном Центром рынков капитала Школы бизнеса Макдоно Джорджтаунского университета. http://www.sec.gov/news/speech/spch211605cs.htm

Субраманьям А., 1991, «Теория торговли фьючерсами на фондовые индексы», Обзор финансовых исследований , 4, 17-51.

Примечания

---

http: // www.sec.gov/news/speech/spch220805css.htm

---

SEC.gov | Превышен порог скорости запросов

Чтобы обеспечить равный доступ для всех пользователей, SEC оставляет за собой право ограничивать запросы, исходящие от необъявленных автоматизированных инструментов. Ваш запрос был идентифицирован как часть сети автоматизированных инструментов за пределами допустимой политики и будет обрабатываться до тех пор, пока не будут приняты меры по объявлению вашего трафика.

Пожалуйста, объявите свой трафик, обновив свой пользовательский агент, чтобы включить в него информацию о компании.

Чтобы узнать о передовых методах эффективной загрузки информации с SEC.gov, в том числе о последних документах EDGAR, посетите sec.gov/developer. Вы также можете подписаться на рассылку обновлений по электронной почте о программе открытых данных SEC, включая передовые методы, которые делают загрузку данных более эффективной, и улучшения SEC.gov, которые могут повлиять на процессы загрузки по сценарию. Для получения дополнительной информации обращайтесь по адресу [email protected].

Для получения дополнительной информации см. Политику конфиденциальности и безопасности веб-сайта SEC.Благодарим вас за интерес к Комиссии по ценным бумагам и биржам США.

Код ссылки: 0.67fd733e.1628799097.18571e5c

Дополнительная информация

Политика безопасности в Интернете

Используя этот сайт, вы соглашаетесь на мониторинг и аудит безопасности. В целях безопасности и для обеспечения того, чтобы общедоступная услуга оставалась доступной для пользователей, эта правительственная компьютерная система использует программы для мониторинга сетевого трафика для выявления несанкционированных попыток загрузки или изменения информации или иного причинения ущерба, включая попытки отказать пользователям в обслуживании.

Несанкционированные попытки загрузить информацию и / или изменить информацию в любой части этого сайта строго запрещены и подлежат судебному преследованию в соответствии с Законом о компьютерном мошенничестве и злоупотреблениях 1986 года и Законом о защите национальной информационной инфраструктуры 1996 года (см. Раздел 18 USC §§ 1001 и 1030).

Чтобы обеспечить хорошую работу нашего веб-сайта для всех пользователей, SEC отслеживает частоту запросов на контент SEC.gov, чтобы гарантировать, что автоматический поиск не влияет на возможность доступа других пользователей к SEC.содержание правительства. Мы оставляем за собой право блокировать IP-адреса, которые отправляют чрезмерное количество запросов. Текущие правила ограничивают пользователей до 10 запросов в секунду, независимо от количества машин, используемых для отправки запросов.

Если пользователь или приложение отправляет более 10 запросов в секунду, дальнейшие запросы с IP-адреса (-ов) могут быть ограничены на короткий период. Как только количество запросов упадет ниже порогового значения на 10 минут, пользователь может возобновить доступ к контенту на SEC.губ. Эта практика SEC предназначена для ограничения чрезмерного автоматического поиска на SEC.gov и не предназначена и не ожидается, чтобы повлиять на людей, просматривающих веб-сайт SEC.gov.

Обратите внимание, что эта политика может измениться, поскольку SEC управляет SEC.gov, чтобы гарантировать, что веб-сайт работает эффективно и остается доступным для всех пользователей.

Примечание: Мы не предлагаем техническую поддержку для разработки или отладки процессов загрузки по сценарию.

.