Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/класс
Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания “Останкино”?
Доброго вечера! Кто не спит? Поможете) Нужно найти производные функций:
ответы
Лови, Тут все довольно просто:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
ЕГЭ
9 класс
11 класс
Химия
похожие вопросы 5
В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309
Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону
(скорость измеряется в метрах в секунду).
В какой момент времени (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Почему сейчас школьники такие агрессивные ?
Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь
Новости10 классБезопасность
11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ.
Вариант 12. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…
18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
Материал по теме “Производная” 11 класс
Вступление
Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.
Если ось Ox направить вдоль дороги горизонтально, а Oy – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:
Ось Ox – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.
Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).
А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?
Очень
просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на
определенное расстояние.
Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).
Продвижение вперед обозначим Δx (читается «дельта икс»).
Греческую букву Δ (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».
То есть Δx – это изменение величины x, Δy – изменение y; тогда что такое Δf? Правильно, изменение величины f.
Важно: выражение Δx – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!
То есть, например, ΔxΔy≠xy.
Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на Δx. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции f(x), то как мы обозначим подъем?
Конечно, Δf. То есть, при продвижении вперед на Δx мы поднимаемся выше на Δf.
Величину Δf посчитать
легко: если в начале мы находились на высоте f1, а после
перемещения оказались на высоте f2, то Δf=f2−f1.
Если конечная точка оказалась ниже начальной, Δf будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.
Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:
K=ΔfΔx.
Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на 1 км дорога поднимается вверх на 1 км. Тогда крутизна в этом месте равна 1.
А если дорога при продвижении на 100 м опустилась на 0,5км?
Тогда крутизна равна K=−500м100м=−5.
А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.
Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.
То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.
Просто на расстоянии в 1 км может очень многое поменяться.
Нужно
рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки
крутизны.
Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.
Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?
Чем меньше, тем лучше!
В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.
Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.
Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?
А ты подели это число на 2 – и будет еще меньше. И так далее.
Если хотим написать, что величина x бесконечно мала, пишем так: x→0 (читаем «икс стремится к нулю»).
Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.
Понятие,
противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (x→∞).
Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.
Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.
Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при x→0: 1x→∞, и наоборот: при x→∞: 1x→0.
Теперь вернемся к нашей дороге.
Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:
K=ΔfΔx при Δx→0.
Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.
Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.
Например, 2. То есть одна малая величина может быть ровно в 2 раза больше другой.
К чему все это?
Дорога,
крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим.
А в
математике все точно так же, только называется по-другому.
Понятие производной
Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.
Приращением в математике называют изменение.
То, насколько изменился аргумент (x) при продвижении вдоль оси Ox, называется приращением аргумента и обозначается Δx.
То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси Ox на расстояние Δx, называется приращением функции и обозначается Δf.
Итак, производная функции f(x) – это отношение Δf к Δx при Δx→0.
Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: f′(x) или просто f′.
Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:
f′(x)=ΔfΔx при Δx→0
А бывает ли производная равна нулю?
Как и в
аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а
при убывании – отрицательна.
Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:
C′=0, C=const,
так как приращение такой функции равно нулю при любом Δx.
А еще?
Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси Ox:
Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.
В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.
Но при этом он остался параллелен оси Ox, то есть разность высот на его концах Δf равна нулю (не стремится, а именно равна).
Значит, производная
f′(xвершины)=ΔfΔx=0Δx=0.
Понять это
можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо
изменяет нашу высоту ничтожно мало.
Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.
Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.
Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).
Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть 0. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.
То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):
Немного подробнее о приращениях
Итак, мы меняем аргумент на величину Δx. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал?
Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.
Рассмотрим точку с координатой x0. Значение функции в ней равно f(x0).
Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату x0 на Δx.
Чему теперь равен аргумент?
Очень
легко: x0+Δx.
А чему теперь равно значение функции?
Куда аргумент, туда и функция: f(x0+Δx).
А что с приращением функции?
Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:
Δf=f(x0+Δx)−f(x0).
Потренируйся находить приращения
1. 1
Найди приращение функции f(x)=2x+3 в точке x0=2 при приращении аргумента, равном Δx;
2. 2
То же самое для функции y(x)=x2+2x−1 в точке x0=1.
В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная).
Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:
f′(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Δx (1)
«Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет
Вычисление производных константы и степенной функции
Начнем с простого.
Производная константы
Это мы уже обсуждали: если функция y=f(x)=c, где c – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента Δx, функция нисколько не изменяется: Δf=0. А значит,
Производная степенной функции
Производная функции первой степени
Производная квадратичной функции
Производная функции третьей степени
Производная функции больших степеней
Найди производную функций
Калькулятор производных• С шагами!
Поддержка
Пожертвование
Помог ли вам этот калькулятор? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку. Вы можете сделать пожертвование через PayPal.
Выше введите функцию для получения.
Переменная дифференциации и более может быть изменена в “ Опции “. Нажмите « Go! », чтобы начать вычисление производной. Результат будет показан далее.
Как работает калькулятор производных
Для тех, кто имеет техническое образование, в следующем разделе объясняется, как работает калькулятор производных.
Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см. рисунок ниже). При этом производный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор производных должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.
Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере. Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX.
MathJax позаботится об отображении его в браузере.
Когда “Вперед!” После нажатия кнопки Калькулятор производных отправляет математическую функцию и настройки (переменную дифференцирования и порядок) на сервер, где они снова анализируются. На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.
Maxima фактически вычисляет производную математической функции. Как и любая система компьютерной алгебры, она применяет ряд правил для упрощения функции и вычисления производных в соответствии с общеизвестными правилами дифференцирования. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю.
Отображение шагов вычисления немного сложнее, потому что Калькулятор производных не может полностью зависеть от Maxima для этой задачи. Вместо этого производные должны рассчитываться вручную шаг за шагом. Правила дифференциации (правило произведения, частное правило, цепное правило и т. д.) были реализованы в коде JavaScript.
Существует также таблица производных функций для тригонометрических функций и квадратного корня, логарифма и экспоненциальной функции. На каждом шаге расчета выполняется или переписывается одна операция дифференцирования. Например, из операций дифференцирования вытягиваются постоянные множители, а суммы дробятся (правило сумм). Это, а также общие упрощения, делает Maxima. Для каждой вычисляемой производной LaTeX-представления результирующих математических выражений помечаются тегами в HTML-коде, чтобы можно было выделить их.
Функция “Проверить ответ” должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima. Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена. В противном случае применяется вероятностный алгоритм, который оценивает и сравнивает обе функции в случайно выбранных местах.
Графики интерактивных функций рассчитываются в браузере и отображаются в элементе холста (HTML5). Для каждой отображаемой функции калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется небольшими шагами, чтобы построить график. При построении графика особенности (например, полюса) обнаруживаются и обрабатываются особым образом. Управление жестами реализовано с помощью Hammer.js.
Если у вас есть какие-либо вопросы или идеи по улучшению калькулятора производных, не стесняйтесь писать мне по электронной почте.
Производные алгебраических функций: формула, доказательство и примеры
Производные алгебраических функций — это ряд формул, которые можно использовать для быстрого дифференцирования алгебраических функций. В этой статье мы изучим производные алгебраических функций и их формулы с доказательствами и решенными примерами, графическое представление производных и как найти производную.
Алгебраическая функция — это функция, которую можно определить как корень полиномиального уравнения.
Алгебраическая функция использует только алгебраические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, а также дробные или рациональные показатели степени. Производные алгебраических функций — это стандартные функции, которые дают производные различных алгебраических функций. Производные алгебраических функций используются для нахождения решений дифференциальных уравнений.
Правило суммы
Правило суммы гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных. Правило разности гласит, что производная разности функций есть разность их производных.
\({d\over{dx}} [f(x) + g(x)] = {d\over{dx}}f(x) + {d\over{dx}}g(x)\ )
Правило разности
Правило разности гласит, что производная разности функций есть разность их производных.
\({d\over{dx}} [f(x) – g(x)] = {d\over{dx}}f(x) – {d\over{dx}}g(x)\ )
Product Rule
Иногда нам даются функции, которые на самом деле являются продуктами других функций. Это означает, что две функции перемножаются.
Специальное правило, правило произведения, существует для дифференциации произведений двух (или более) функций.
Если y = uv, то
\({dy\over{dx}} = u{dv\over{dx}} + v{du\over{dx}}\)
Частное правило
Специальное правило , правило отношения, существует для дифференцирования частных двух функций. Функции часто приходят в виде частных, под которыми мы подразумеваем одну функцию, деленную на другую функцию. Есть формула, которую мы можем использовать, чтобы дифференцировать частное — она называется правилом частного. 9b\), где «b» обозначает переменную, а «x» обозначает константу, которая также называется основанием функции. Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией. Логарифмические функции в математике — это оператор, который поможет вам точно вычислить показатель степени, удовлетворяющий показательному уравнению. Уравнение логарифмической функции выглядит следующим образом: \(c=\log_{b}a\) для a>0, таких что b>0 и \(b\ne1\).
Производные экспоненциальных функций
Давайте посмотрим, как мы можем вычислить производные экспоненциальных функций.
x\)
Производная логарифмической функции
Производная логарифмической функции переменной относительно самой себя равна ее обратной величине.
\({d\over{dx}}{logx}={1\over{x}}\).
Производные логарифмических функций используются для нахождения решений дифференциальных уравнений.
Производная квадратного корня
Производная квадратного корня из x может быть найдена с помощью степенной формулы. Здесь мощность х равна ½. Производная x, возведенная в степень n, записывается в математической форме следующим образом. 9{-\frac{3}{2}} \end{matrix}\)
Надеюсь, что эта статья о производных алгебраических функций была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы о производных алгебраических функций
В.1 Что такое производная в алгебре?
Ответ 1 Производная функции действительной переменной измеряет чувствительность к изменению значения функции (выходное значение) по отношению к изменению ее аргумента (входное значение).
Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если она существует, представляет собой наклон касательной к графику функции в этой точке.
Производная функции, представленная \({dy\over{dx}}\) или f′(x), представляет собой предел наклона секущей, когда h приближается к нулю.
Пример. Производная функции смещения — это скорость.
Q.2 Что такое алгебраические функции?
Ответ 2 Алгебраическая функция — это функция, которую можно определить как корень полиномиального уравнения. Пример:
Q.3 Каковы свойства алгебраических функций?
Ответ 3 Пусть f(x) и g(x) — две алгебраические функции от x. Эти две функции будут иметь следующие свойства.
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f + g)(x) = f(x) – g(x)
(f x g)(x) = f(x) x g(x)
(f \ g)(x) = f(x) \ g(x), где g(x) не равно нулю.
Вот список производных алгебраических функций.
Q.