Производная и экстремумы функции – Без Сменки
Производная показывает насколько быстро что-то происходит. Насколько быстро идет человек, растет стресс перед экзаменами или увеличивается количество баллов для поступления. Если быть более точным с точки зрения математики, производная — это математическая функция, которая показывает скорость какого-то процесса.
👉🏻 Если мы посмотрим на эту самую функцию производной, то увидим, что есть особые точки, в которых процесс меняется — сначала возрастает, а потом начинает убывать, или наоборот.
🔸 Например, ты беспокоился о поступлении, но потом вдруг сдал ЕГЭ, и стало все равно — стресс падает. Такие точки называют минимумами и максимумами. Именно они помогают нам в заданиях ЕГЭ на производную.
Математика — обязательный для сдачи на ЕГЭ предмет, без которого не получишь аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Рассказываем, как сдать ЕГЭ по математике на 80+ баллов и делимся лучшими ресурсами для подготовки.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
✅ Производная — это показатель скорости изменения функции. Функцию можно нарисовать, и значит производную тоже можно нарисовать на том же самом графике функции. Возьмем на графике функции любую точку и назовем ее x0. И проведем касательную к функции в этой точке. Напомню, что касательная — это такая прямая, которая имеет с функцией в области этой точки только одну точку пересечения x0.
🔹 Эта прямая будет наклонена к оси OX, и у нее есть формула, как и у любой другой прямой — y = kx + b. В этой формуле за угол наклона отвечает коэффициент k. Производная отвечает за возрастание или убывание функции, то есть за наклон функции. И есть три вещи которые отвечают за наклон на этом графике в точке x0: угол наклона, коэффициент k и производная функции.
❗️ И если три разные вещи отвечают за одно и тоже, то скорее всего они равны — так и есть. Производная в точке x0 в точности равна коэффициенту k, касательной проведенной к функции в точке x0, и равна тангенсу угла наклона этой касательной.
Это свойство и называют геометрическим смыслом производной. Осталось только понять, что с этим делать и как применять! 🌟
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная — это специальная функция, которая получается с помощью математической операции бла-бла-бла. Это конечно важно и полезное определение, но появились же производные не так, что кому-то показалось мало обычных функций и он придумал еще одно математическое развлечение.
💁🏻♂️ Было все примерно так — в жизни есть какие-то процессы, например, увеличение известности Инстасамки в интернете. Этот процесс происходит с космической скоростью: вот пару месяцев назад ее никто не знал, и вот ее уже обсуждают даже бабушки у подъездов. А как измерить скорость распространения ее известности — она же сильно увеличивается?
🔸 Раньше для этого нужно было строить график функции популярности смотреть по нему на сколько быстро растете известность в равные промежутки времени и …. Это безумно долго.
Поэтому чтобы измерять скорость любого процесса и придумал специальную операцию — извлечение производной.
А сама производная — это прежде всего скорость какого-то процесса или функции, если речь идет о математике. Отсюда очень естественно выходит физический смысл производной.
✅ Производная от пути — это СКОРОСТЬ изменения координаты от времени или простая скорость. А производная от скорости — это скорость изменения скорости от времени, или самое обычное ускорение. Поэтому чтобы найти скорость нужно извлечь по всем законам математики производную от функции координаты. А чтобы найти ускорение нужно по тем же самым законам извлечь производную от функции скорости.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
Зачем нужны эти производные? / Интересное / Статьи / Еще / Обо всем
Ну вот почему я не увидел этот ролик (самый первый по списку, чуть ниже) лет так …дцать назад? Чтобы заинтересовать уроком, в своё время, нужно всего лишь было объяснить и показать пару примеров!
Когда-то в школе я не понимал производных.
Не подумайте, что я был совсем уж дураком — я знал определение, умел их брать (в рамках простеньких школьных примеров) и оценки по математике имел неплохие.
Но вот смысл этого понятия от меня ускользал. Я понимал насколько важен график некоторой функции — по нему легком можно увидеть зависимость функции от аргумента. Глянул в какую-нибудь точку — и сразу ясно положение дел в данном конкретном месте. И что с этого?
Смысл производной
Сложность подачи информации о производной заключается в том, что это одно из абстрактных понятий, физический смысл которых трудно представить наглядно. Если, например, численные величины, их сумму и произведение, возведение в степень несложно объяснить в понятиях окружающего мира (количество, площадь, объем и т.п.), то смысл производной зачастую ускользает от понимания школьников, поэтому они могут выполнять задачи на ее вычисление чисто механически по затверженным формулам.
Это ведет к тому, что в процессе решения учащийся не сможет справиться с заданиями, хоть немного отличающимися от шаблонных, и с такими неравенствами и системами уравнений, где надо применить навыки математического мышления.
Производная, как известно, характеризует скорость изменения функции в конкретной точке. Определение этого понятия звучит достаточно сложно:
«предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует».
Трудность понимания этого определения с точки зрения школьника можно охарактеризовать как «все слова по отдельности понятны, а общий смысл уловить не получается». Разумеется, без подробного и наглядного объяснения ученику останется лишь затучить эту фразу, не понимая ее смысла.
Как же понять смысл производной? Ниже -, простой пример из повседневной жизни.
Допустим, два ученика одного класса — назовем их Иванов и Петров — получили за контрольную работу по теме «Системы уравнений и неравенств» по оценке «четыре». При этом Иванов весьма доволен, а Петров опечален. Такое их отношение к оценке станет понятным, если мы будем знать, что Петров — круглый отличник, а Иванов ни разу не получал по математике выше «тройки».
То есть, если рассматривать их оценки в динамике, мы видим, что у Иванова наблюдается прирост успеваемости (функция растет, ее производная положительна), а у Петрова, напротив, падение (функция убывает, производная отрицательна). То есть конкретная оценка (точка на графике функции) отображает текущее положение дел, а производная (касательная к графику в этой функции) показывает нам тенденцию развития ситуации.
Аналогично в физике: движение тел характеризуется не только скоростью, но и ускорением, то есть тем, увеличивается или уменьшается ли его скорость. На этих или других подобных примерах можно пояснить, что производная — важнейшая характеристика именно динамики любых процессов, то есть она описывает закон, по которому изменяется мгновенное значение любой функции.
И чтобы вообще добить…
А что такое производная от производной?
Если мы берем какую-то физическую величину, и берем от нее производную, например, от времени, это означает скорость возрастания этой физической величины от времени.
Простой пример: берем расстояние, которое прошел человек, выражаем ее какой-то формулой, берем производную от этой формулы по времени, получаем- угадайте что? Скорость этого человека! Но, очень важно упомянуть, что мы получаем скорость этого человека от времени.
Круто! Значит, если мы возьмем производную от скорости по времени, то мы получим скорость возрастания… Скорости? Ну, да, как-то так.
Лично я всегда понимал все гораздо проще на примерах, поэтому:
Идет человек ранним утром, и пьет кофе. Каждый раз, когда он выпивает глоток, то его скорость увеличивается, но увеличивается постепенно. Значит, его скорость растет, значит человек ускоряется.
Итак, в общем случае, физический смысл производной- скорость роста той или иной величины в зависимости от той величины, по которой мы берем эту самую производную. Если мы возьмем производную еще раз, получим скорость возрастания скорости и так далее. Все просто (наверное)
Похожие публикации
Тайна трёх астероидов и микророботы-почтальоны
В ролике: тайны астероидов, безопасные методики редактирования генома, микророботы с полезным грузом и многое другое.
Открыть
Можно ли жить без мозга? И каково это?
Что бывает с человеком, если у него только одно полушарие, нет мозжечка или, скажем, удалили гиппокамп и он забывает каждую ночь все, что с ним происходило в течение дня?
Открыть
Производные
Обзор
Производные финансовые инструменты используются для двух основных целей: для спекуляций и для хеджирования инвестиций. Производный инструмент — это ценная бумага, цена которой зависит от одного или нескольких базовых активов или получена от них. Сам дериватив представляет собой договор между двумя или более сторонами, основанный на активе или активах. Его стоимость определяется колебаниями базового актива. Наиболее распространенными базовыми активами являются акции, облигации, товары, валюта. Процентные ставки и рыночные индексы.
Производными инструментами можно торговать в частном порядке (внебиржевом, внебиржевом) или на бирже.
Некоторые распространенные типы производных структур включают:
- Обеспеченные долговые обязательства (CDO)
- Кредитно-дефолтные свопы
- Нападающие
- Фьючерсы
- Ценные бумаги с ипотечным покрытием (MBS)
- Опции
- Обмен
Постановление
Однако Комиссии по ценным бумагам и биржам было специально запрещено, среди прочего, налагать требования к отчетности, ведению учета или раскрытию информации или применять другие профилактические меры, направленные на предотвращение мошенничества в отношении таких соглашений. Это ограничивало возможности SEC по обнаружению и предотвращению мошенничества на рынках свопов.Раздел VII Закона Додда-Франка о реформе Уолл-Стрит и защите прав потребителей от 2010 года устраняет пробел в финансовом регулировании внебиржевых свопов в США, обеспечивая всеобъемлющую основу для регулирования рынков внебиржевых свопов.
Закон Додда-Франка разделяет регулирующие полномочия в отношении своповых соглашений между CFTC и SEC (хотя пруденциальные регулирующие органы, такие как Совет Федеральной резервной системы, также играют важную роль в установлении капитала и маржи для своповых организаций, являющихся банками). SEC имеет регулирующие полномочия в отношении «свопов на основе ценных бумаг», которые определяются как свопы, основанные на одной ценной бумаге или ссуде, или узкой группе или индексе ценных бумаг, или события, относящиеся к одному эмитенту или эмитентам ценных бумаг в узком кругу.
CFTC имеет первичные регулирующие полномочия в отношении всех других свопов, таких как энергетические и сельскохозяйственные свопы. CFTC и SEC разделяют полномочия в отношении «смешанных свопов», которые представляют собой свопы на основе ценных бумаг, которые также имеют товарный компонент.
Кроме того, SEC обладает полномочиями по борьбе с мошенничеством в отношении свопов, связанных с ценными бумагами, но не подпадающих под определение «свопов на основе ценных бумаг». Они называются «соглашениями о свопе на основе ценных бумаг». Закон Додда-Франка предоставляет SEC доступ к информации, касающейся соглашений о свопах на основе ценных бумаг, находящихся в распоряжении CFTC и некоторых организаций, регулируемых CFTC, таких как организации по клирингу деривативов, определенные контрактные рынки и хранилища данных о свопах.
Деривативы и опционы: в чем разница?
Производные инструменты и опционы: обзор
Производный инструмент — это финансовый контракт, стоимость, риск и базовая структура которого определяются базовым активом. Опционы — это одна из категорий деривативов, которые дают держателю право, но не обязательство покупать или продавать базовый актив. Варианты доступны для многих инвестиций, включая акции, валюты и товары.
Производные инструменты — это контракты между двумя или более сторонами, в которых стоимость контракта основана на согласованной базовой ценной бумаге или наборе активов, таких как индекс S&P. Типичные базовые ценные бумаги для деривативов включают облигации, процентные ставки, товары, рыночные индексы, валюты и акции.
Производные инструменты имеют цену и дату истечения срока действия или дату расчетов, которые могут быть в будущем. В результате производные инструменты, включая опционы, часто используются в качестве инструментов хеджирования для компенсации риска, связанного с активом или портфелем.
Производные инструменты использовались для хеджирования рисков в течение многих лет в сельскохозяйственной отрасли, где одна сторона может заключить соглашение о продаже сельскохозяйственных культур или домашнего скота другой стороне, которая соглашается купить эти сельскохозяйственные культуры или домашний скот по определенной цене в конкретную дату. Эти двусторонние контракты были революционными, когда они впервые были представлены, заменив устные соглашения и простое рукопожатие.
Ключевые выводы
- Производные инструменты – это контракты между двумя или более сторонами, в которых стоимость контракта основана на согласованной базовой ценной бумаге или наборе активов.
- Производные инструменты включают свопы, фьючерсные контракты и форвардные контракты.
- Опционы – это одна из категорий производных финансовых инструментов и они дают владельцу право, но не обязательство покупать или продавать базовый актив.
- Опционы, как и деривативы, доступны для многих инвестиций, включая акции, валюты и товары.
Опции
Когда большинство инвесторов думают об опционах, они обычно думают об опционах на акции, которые представляют собой производные инструменты, стоимость которых зависит от базовой акции. Опцион на акции представляет собой право, но не обязательство, купить или продать акцию по определенной цене, известной как цена исполнения, на дату истечения или до нее. Опционы продаются по цене, называемой премией. Опцион колл дает держателю право купить базовую акцию, а опцион пут дает держателю право продать базовую акцию.
Назначенный продавец опциона должен поставить им 100 акций базового актива, если контракт опциона на покупку исполняется покупателем. Опционы на акции торгуются на биржах и рассчитываются через централизованные клиринговые палаты, обеспечивая прозрачность и ликвидность, два критических фактора, когда трейдеры или инвесторы берут на себя риск производных финансовых инструментов.
Опционы в американском стиле могут быть исполнены в любой момент до истечения срока действия, тогда как опционы в европейском стиле могут быть исполнены только в день истечения срока их действия.
Основные ориентиры, включая S&P 500, активно торгуют опционами в европейском стиле. Большинство опционов на акции и биржевые фонды (ETF) на биржах — это американские опционы, в то время как лишь несколько индексов с широкой базой имеют опционы в американском стиле. Биржевые фонды представляют собой корзину ценных бумаг, таких как акции, которые отслеживают базовый индекс.
Производные
Фьючерсные контракты — это деривативы, стоимость которых зависит от базового денежного товара или индекса. Фьючерсный контракт — это соглашение о покупке или продаже определенного товара или актива по заранее установленной цене и в заранее установленное время или дату в будущем.
Например, стандартный фьючерсный контракт на кукурузу представляет собой 5000 бушелей кукурузы, а стандартный фьючерсный контракт на сырую нефть представляет собой 1000 баррелей нефти. Существуют фьючерсные контракты на такие активы, как валюты и погода.
Еще одним видом производного инструмента является соглашение о свопе.
Своп — это финансовое соглашение между сторонами об обмене последовательностью денежных потоков в течение определенного периода времени. Процентные свопы и валютные свопы являются распространенными типами соглашений о свопах. Процентные свопы, например, представляют собой соглашения об обмене ряда процентных платежей на другие на основе основной суммы. Одна компания может хотеть выплаты с плавающей процентной ставкой, а другая может хотеть выплаты с фиксированной ставкой. Соглашение о свопе позволяет двум сторонам обмениваться денежными потоками.
Свопы, как правило, торгуются на внебиржевом рынке, но постепенно переходят на централизованные биржи. Финансовый кризис 2008 года привел к принятию новых финансовых правил, таких как Закон Додда-Франка, который создал новые биржи свопов для поощрения централизованной торговли.
Существует множество причин, по которым инвесторы и корпорации торгуют производными свопами. К наиболее распространенным относятся:
- Изменение инвестиционных целей или сценариев погашения.
- Предполагаемая финансовая выгода от перехода на новые доступные или альтернативные денежные потоки.
- Необходимость хеджирования или снижения риска, связанного с погашением кредита с плавающей процентной ставкой.
Форвардные контракты
Форвардный контракт — это контракт на продажу актива, часто валюты, в будущее время и дату по определенной цене. Форвардный контракт аналогичен фьючерсному контракту, за исключением того, что форварды могут быть настроены так, чтобы истечь в определенную дату или на определенную сумму.
Например, если американская компания должна ежемесячно получать поток платежей в евро, суммы должны быть конвертированы в доллары США. Каждый раз, когда происходит обмен, применяется другой обменный курс, учитывая преобладающий курс евро к США. курс доллара. В результате компания может ежемесячно получать разные суммы в долларах, несмотря на фиксированную сумму в евро из-за колебаний обменного курса.
Форвардный контракт позволяет компании зафиксировать текущий обменный курс для каждого месяца платежей в евро.
Ежемесячно компания получает евро, они конвертируются на основе курса форвардного контракта. Контракт заключается с банком или брокером и позволяет компании иметь предсказуемые денежные потоки.
Форвардный контракт можно использовать как для спекуляций, так и для хеджирования, хотя его нестандартный характер делает его особенно подходящим для хеджирования. Форвардные контракты торгуются на внебиржевом рынке, то есть между банками и брокерами, поскольку они представляют собой индивидуальные соглашения между двумя сторонами. Поскольку они не торгуются на бирже, форварды имеют более высокий риск дефолта контрагента. В результате форвардные контракты не так легко доступны для розничных трейдеров и инвесторов, как фьючерсные контракты.
Ключевые отличия
Одно из основных различий между опционами и деривативами заключается в том, что держатели опционов имеют право, но не обязанность исполнить контракт или обменять его на акции базовой ценной бумаги.
С другой стороны, деривативы обычно представляют собой юридически обязывающие контракты, после заключения которых сторона должна выполнить требования контракта.