Производные функции от функции: Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисление

Содержание

Урок 13. производные элементарных функций – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №13. Производные элементарных функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение элементарной функции;

2) производная показательной функции;

2) производные тригонометрических функций;

3) производная логарифмической функции.

Глоссарий по теме

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

  1. (ex)= ex
  2. (ekx+b)=kekx+b
  3. (ax)=axlna
  4. (sin x)=cosx
  5. (cos x)= -sinx

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

1.Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=ax, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

ax

=exln a (1)

так как exln a= (eln a)х= ах.

Стоит отметить свойств о функции ех: производная данной функции равна ей самой

(ex)= ex. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(ekx+b)= kekx+b. (3)

Производная для ax:

(ax)= axlna. (4)

2.Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

(5)

Производная функции lnх выражается формулой

(6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

(7)

(8)

3.Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти производную:

  1. f(x) = 3lnx

Решение:

Ответ:

  1. f(x) = 3·e2x

Решение: (3e2x)= 3·2· e2x = 6 ·e2x

Ответ: 6 ·e2x

  1. f(x) = 2x

Решение: (2x) ‘ = 2xln2

Ответ: 2xln2

Решение:

Ответ:

  1. f(x) = sin (2x+1) – 3cos(1-x)

Решение: (sin (2x+1) – 3cos(1-x)) = 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)

Ответ: 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)

Производные некоторых основных элементарных функций (Лекция №5)

  1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

    (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,

    можно доказать, что

    Итак, если x получает приращение Δx, то f(xx) = (x + Δx)n, и, следовательно,

    Δy=(xx)nxn =n·xn

    -1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.

    Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

    Найдем предел

    Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

  2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

    Так как, f(xx)=sin(xx), то

    Таким образом,

  3. Аналогично можно показать, что

  4. Рассмотрим функцию y= ln x.

    Имеем f(xx)=ln(xx). Поэтому

    Итак,

  5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

  1. .
  2. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
  3. .
  4. .

    а) .

    б) .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента

xx имеем y(xx)=u(xx) + v(xx).

Тогда

Δy=y(xx) – y(x) = u(xx) + v(xx)u(x)v(x) = Δuv.

Следовательно,

.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(xx)=u(xxv(xx), поэтому

Δy=u(xxv(xx) – u(xv(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(xx)→u(x), v(xx)→v(x), при Δ

x→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ‘ = u ‘·(w) + u·(v ·w) ‘ = u ‘·v·w + u·(v ‘·w +v·w ‘) = u ‘·v·w + u·v ‘·w + u·v·w ‘.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)v(x) при Δx→0.

Примеры.

  1. Если , то
  2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y ‘(–1).

    y ‘ = 3

    x2 – 6x+ 5. Следовательно, y ‘(–1) = 14.

  3. y = ln x · cos x, то y ‘ = (ln x) ‘ cos x + ln x (cos x) ‘ =1/x∙cos x – ln x · sin x.
  4. Таким образом,

  5. Аналогично для y= ctgx,

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции

u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция “функция от функции” может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную yu= f ‘(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна yx= f ‘(u0u ‘(x0), где вместо

u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0x:

Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0u) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δ

x→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= yuΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим yx= yu·u ‘x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от “внешней” функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от “внутренней” функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y ‘x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем yx= yu·ux . Применяя эту же теорему для ux получаем , т.е.

yx = yx· uv· vx = fu (uuv (vvx (x).

Примеры.

  1. y = sin x2. Тогда .

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y= x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x3.

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1).

Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1<x2, то у1<у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и х2 соответствуют два различных значения функции у1 и у2. Справедливо и обратное, т.е. если у1<у2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx1<x2. Т.е. вновь двум различным значениям у1 и у2 соответствуют два различных значенияx1 и x2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т. е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).

Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).

Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.

Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d].

Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.

Пример. Функция y=x2 определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .

Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g ‘(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f ‘(x0), равную , т.е. справедлива формула.

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры.

  1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

    Итак, (ex) ‘ = ex

  2. Аналогично можно показать, что (ax) ‘ = ax·lna. Докажите самостоятельно.
  3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ‘ = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

    .

    Но на (–π/2; π/2) .

    Поэтому

  4. Аналогично

    Докажите самостоятельно.

  5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

    Следовательно, y ‘ = cos2y . Но .

    Поэтому

  6.  

  7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

Формулы для первой производной функции

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = xn, формула для производной есть:

y = xn => y’ = nxn-1

пример: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x1 that:

если y = x тогда y’=1

y = f1(x) + f2(x) + f3(x) . ..=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x2 + x + 1 и g(x) = x5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x2 + x + 1)’ + (x5 + 7)’ = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y =    y’ =
f'(x)g(x) – f(x)g'(x)
g2(x)

y = ln x => y’ = 1/x

y = ex => y’ = ex

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = 1/cos2x

y = ctg x => y’ = –1/sin2x

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u). u’

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x2)
в этом случае u = x2, f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x2).2x = 2.x.cos(x2)

Задачи с производными

1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y для функции f2(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f2(x) есть x. Поэтому f’2(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.


     2) Вычислите производную f(x) =

ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 – sin x = -sin x

f'(x) =
h'(x). g(x) – h(x).g'(x)
(g(x))2
f'(x) =
10x9(4.15 + cos x) – x10(-sin x)
(4.15 + cosx)2
=
x10sin x + 10(60 + cos x)x9
(60 + cosx)2

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу. Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций: f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x

Подробнее о производных на страницах математического форума

Форум о производных

Вычисление производных. Правила дифференцирования. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Главные формулы производной

Сложность: лёгкое

1
2. Угловой коэффициент касательной

Сложность: лёгкое

1
3. Производная многочлена

Сложность: лёгкое

3
4. Производная функции, состоящей из слагаемых

Сложность: лёгкое

8
5. Нахождение функции по производной

Сложность: среднее

1
6. Производная произведения функций в данной точке

Сложность: среднее

2
7. Производная частного функций в данной точке

Сложность: среднее

2
8. Производная тригонометрических функций

Сложность: среднее

1
9. Производная сложной функции

Сложность: среднее

2
10. Производная сложной тригонометрической функции

Сложность: среднее

2
11. Производная третьего порядка

Сложность: среднее

1
12. Производная функции в данной точке

Сложность: среднее

2
13. Вычисление аргумента функции

Сложность: сложное

3
14. Производная сложной функции в неравенстве

Сложность: сложное

1

Аналитическое вычисление производной функции на языке Scala / Хабр

Введение

Данный алгоритм реализован на языке Scala, характерной особенностью которого является использование case-классов, так удачно подходящих для написания алгоритма дифференцирования. В этой статье планируется описать лишь часть программы, содержащей алгоритм нахождения производной, поскольку разработка парсера для математических выражений это другая большая тема,
заслуживающая отдельной статьи


Подготовка

Сначала опишем структуру данных, в которой будет храниться исходная математическая функция. b и т.д.
LeafToken — «листья» дерева, т.е. константы, переменные и зарезервированные имена констант (число Пи и экспонента).

Опишем классы/объекты операторов и токенов:

case object Pi extends LeafToken
case object Exponenta extends LeafToken

case class Sin(override val a: MathAST) extends SingleToken
case class Cos(override val a: MathAST) extends SingleToken
…
case class Mul(override val a: MathAST, override val b: MathAST) extends DoubleToken
case class Add(override val a: MathAST, override val b: MathAST) extends DoubleToken
…
case class Differentiate(f: MathAST, dx: Variable) extends MathAST

case class Variable(name: String) extends LeafToken
case class Constant(value: BigDecimal) extends LeafToken

Обратите внимание на класс Differentiate, он имеет особую сигнатуру: f – исходная функция, dx – переменная, по которой происходит дифференцирование.

Теперь есть все, чтобы представить математическую функцию в виде дерева вычислений, для примера возьмем функцию: , которая примет вид:

Mul(Constant(BigDecimal(2)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))

Конечно, чтобы получить дерево-выражение из обычной строки, введенной пользователем, нужно написать парсер, но, как было упомянуто выше, это уже другая тема. Скажу лишь что в программе используется самодельный парсер, наследующий трейт Parsers из пакета scala.util.parsing.combinator.


Алгоритм нахождения производной

В основе которого лежат правила дифференцирования и таблица производных.

Опишем рекурсивную функцию, которая и будет преобразовывать исходную математическую функцию в результирующую функцию-производную:

def differentiate(f: MathAST)(implicit dx: String): MathAST

Аргумент dx, содержащий имя переменной (по которой происходит дифференцирование) помечен как неявный (implicit), это позволит не передавать ее в рекурсивные вызовы, пусть этим занимается компилятор.

На вход рекурсивной функции подается выражение — исходная функция f(x) (в формате MathAST), возвращаемое значение — функция-производная в том же формате.

Примечание 1: Выражение может быть бинарным, унарным или токеном.
Примечание 2: Оператором может быть один из: «+», «-», «^», «*», «/», «abs», «sin», «cos», «tg», «ctg», «ln», «arcsin», «arccos», «arctg», «arcctg», «(», «)».
Примечание 3: Входные и выходные данные представлены в формате MathAST — дерево-выражение.


Общий алгоритм

В общем виде алгоритм слишком абстрактный, поэтому дальше разберем его подробнее.


  1. Рекурсивная функция получает на вход данные и используя сопоставление с образцом (pattern-matching) выполняет необходимые действия, в зависимости от типа данных.
  2. Функция высчитывает производную для входного выражения и возвращает выражение-результат. Может получиться, что аргументы a и/или b оказались не константой и не переменной, а сложной функцией u(x),
    тогда понадобится рекурсивно посчитать еще и производную u’(x), т.е. вернуть [ differentiate(u(x)) ] — перейти к шагу 1 с новыми данными — u(x).
  3. Если данные не корректны вернуть сообщение об ошибке.

Детали принципа работы и связь с математическими абстракциями

Функция приняла на вход данные — выражение-функцию, которую следует обработать в соответствии с правилами дифференцирования


Если бинарное выражение

Бинарные выражения помечены трейтом DoubleToken. »):

case Add(a, b) => Add(differentiate(a), differentiate(b))
case Sub(a, b) => Sub(differentiate(a), differentiate(b))
…

  1. Если оператор «+»: вернуть [ differentiate(a) + differentiate(b) ].
  2. Если оператор «-»: вернуть [ differentiate(a) — differentiate(b) ].
  3. Если оператор «*»: Умножение представляет из себя более сложный случай, операнды a и b могут быть константами или переменными (всего 4 комбинации: u(x)*c, u(x)*v(x), c*c, c*u(x)).
    Функция анализирует какой из 4 вариантов попался и возвращает выражение используя правило дифференцирования № 1, № 3, и №5,
    если один из операндов – сложная функция. Например: если a = u(x), а b = v(x), то вернуть [ differentiate(a) * b + a * differentiate(b)) ].
    Приватный метод isDependsOnVar проверяет, зависит ли подвыражение от переменной, по которой производится дифференцирование. c, c=const Constant(BigDecimal(0)) }else Add(Mul(differentiate(a), b), Mul(a, differentiate(b))) }
    Если унарное выражение

    Классы SingleToken обрабатываются следующим образом:

    
    case e: SingleToken =>
    val d = e match {
    	case Sin(x) => Cos(x)
    	case Cos(x) => Usub(Sin(x))
    	case Tg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Cos(x), Constant(BigDecimal(2))))
    	…
    }
    if (isLeaf(e.a)) d else Mul(d, differentiate(e.a))

    Оператор проверяется на соответствие одному из доступных операторов («sin», «-», «cos», …)
    Для примера, оператор «sin»: вернуть [ cos(a) ], если a = x, если же a — сложная функция u(x), то вернуть [ cos(a) * differentiate(a) ].

    С остальными операторами происходят аналогичные действия, используя правило дифференцирования сложной функции и табличные правила взятия производной.

    Отдельно следует рассмотреть оператор abs — модуль, поскольку его нет в таблице.


    Приватный метод isLeaf выясняет сложная функция или нет, в первом случае нужно вернуть текущий результат умноженный на производную вложенной функции, а во втором просто вернуть текущий результат.
    Если один токен

    Речь идет о переменной или константе

    case Variable(a) => if (a == dx) Constant(BigDecimal(1)) else Constant(BigDecimal(0))
    case Constant(a) => Constant(BigDecimal(0))
    case Pi | Exponenta => Constant(BigDecimal(0))
    case _ => throw new AbstractEvaluateException("Differentiate: Wrong input data")

    1. Введены некорректные данные, вывести сообщение об ошибке и завершить работу.
    2. Если переменная (по которой осуществляется дифференцирование, например x), вернуть [ 1 ].
    3. Если константа, вернуть [ 0 ].

    Напоследок добавим строку:

    case Differentiate(_f, _dx) => differentiate(_f)(_dx.name)

    Это на случай, если внутри функции есть вложенная производная, т. c, c=const Constant(BigDecimal(0)) }else Add(Mul(differentiate(a), b), Mul(a, differentiate(b))) } case e: SingleToken => val d = e match { case Sin(x) => Cos(x) case Cos(x) => Usub(Sin(x)) case Tg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Cos(x), Constant(BigDecimal(2)))) case Ctg(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Sin(x), Constant(BigDecimal(2))))) case Abs(x) => Div(x, Abs(x)) case Ln(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), x) case Sqrt(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Mul(Constant(BigDecimal(2)), Sqrt(x))) case Usub(x) => Usub(differentiate(x)) case Arcsin(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Sqrt(Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))))) case Arccos(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Sqrt(Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2))))))) case Arctg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2))))) case Arcctg(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))))) case _ => throw new AbstractEvaluateException(“Differentiate: Unknown unary operator”) } if (isLeaf(e. a)) d else Mul(d, differentiate(e.a)) case Variable(a) => if (a == dx) Constant(BigDecimal(1)) else Constant(BigDecimal(0)) case Constant(a) => Constant(BigDecimal(0)) case Pi | Exponenta => Constant(BigDecimal(0)) case _ => throw new AbstractEvaluateException(“Differentiate: Wrong input data”) } private def isLeaf(e: MathAST): Boolean = e match { case Variable(_) | Constant(_) => true case Pi | Exponenta => true case _ => false } private def isDependsOnVar(tree: MathAST)(implicit dx: String): Boolean = tree match{ case e: DoubleToken => (e.a match { case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => isDependsOnVar(e.a) })||(e.b match { case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => isDependsOnVar(e.b) }) case e: SingleToken => isDependsOnVar(e.a) case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => false } }

    Заключение

    Весь код исходников можно скачать на github’е, протестировать программу онлайн можно на сайте Калькулятор производных онлайн, приложение выполнено в виде REST сервиса и дополнено модулями упрощения выражений. 2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

    Решение:

    1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

    $v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

    2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

    $3t-3 = 12$

    $3t = 15$

    $t = 5$

    Ответ: $5$

    Геометрический смысл производной

    Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

    $k = tgα$

    Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

    $f'(x_0) = k$

    Следовательно, можем составить общее равенство:

    $f'(x_0) = k = tgα$


    На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.


    На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.


    На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

    На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.


    Решение:

    Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

    Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.


    Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

    $tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

    $f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

    Ответ: $0,25$

    Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

    Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

    Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

    На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

    В ответ запишите количество данных точек.


    Решение:

    Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.


    В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

    Ответ: $2$

    3.2 Производная как функция – Объем исчисления 1

    Цели обучения

    • Определите производную функцию заданной функции.
    • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
    • Укажите связь между производными и непрерывностью.
    • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
    • Объясните значение производной высшего порядка.

    Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

    Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

    Определение

    Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, – это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

    .

    Говорят, что функция дифференцируется на , если
    существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция – это функция, в которой существует в своей области.

    В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

    Нахождение производной функции квадратного корня

    Найдите производную от.

    Решение

    Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

    Нахождение производной квадратичной функции

    Найдите производную функции.

    Решение

    Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

    Найдите производную от.

    Решение

    Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

    .

    Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где – разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

    . Фигура 1.Производная выражается как.

    Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

    В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

    Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

    В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

    Построение производной с помощью функции

    Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

    Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

    Решение

    Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

    Проба

    Если дифференцируем в, то существует и

    .

    Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,

    Следовательно, поскольку определено и, мы заключаем, что непрерывно в точке.

    Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

    .

    Этот предел не существует, потому что

    .

    См. (Рисунок).

    Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

    Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой. Рассмотрим функцию:

    .

    Значит, не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

    Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

    У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

    .

    Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

    Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

    Итого:

    1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
    2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
    3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
    4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

    Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

    .

    Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

    Поиск второй производной

    Для, найдите.

    В поисках ускорения

    Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

    • Производная функция

    В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти.

    1.

    2.

    3.

    4.

    Решение

    5.

    6.

    Решение

    7.

    8.

    Решение

    9.

    10.

    Решение

    Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

    11. 12.
    Решение

    13. 14.
    Решение

    Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .

    15.

    16.

    Решение

    17.

    18.

    Решение

    19.

    20.

    Решение

    Для следующих функций:

    1. зарисовать график и
    2. используйте определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

    21.

    23

    Для следующих графиков

    1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
    2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.
    25.

    Для следующих функций используйте, чтобы найти.

    28.

    29.

    30.

    Решение

    Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

    31. [Т]

    33. [Т]

    35. [Т]

    Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

    37. обозначает население города во время в годах.

    38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную клиентами на концессии в парке развлечений.

    Решение

    а. Средняя ставка, с которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного покупателя.
    г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

    39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

    40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

    Решение

    а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
    г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

    41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

    42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

    Решение

    а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
    г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

    Решение

    а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
    г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.

    Решение

    а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
    г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

    Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

    Время (секунды) Высота (метры)
    0 0
    1 2
    2 4
    3 13
    4 25
    5 32

    47. В чем физический смысл? Какие единицы?

    48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените и левый предел, и правый предел и усредните их.)

    Решение
    Время (секунды) (м / с)
    0 2
    1 2
    2 5.5
    3 10,5
    4 9,5
    5 7

    Производная функции по отношению к другой функции.

    Производная функции по отношению к другой функции. – Обмен математическим стеком
    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    1. 0
    2. +0
    3. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 44k раз

    $ \ begingroup $

    На этот вопрос уже есть ответы :

    Закрыт 3 года назад.

    Я хочу вычислить производную функции не по переменной, а по другой функции. Например: $$ g (x) = 2f (x) + x + \ log [f (x)] $$ Я хочу вычислить $$ \ frac {\ mathrm dg (x)} {\ mathrm df (x)} $$ Могу ли я рассматривать $ f (x) $ как переменную и выводить «вслепую»? Если так, я бы получил $$ \ frac {\ mathrm dg (x)} {\ mathrm df (x)} = 2+ \ frac {1} {f (x)} $$ и рассматривать простой $ x $ как параметр, производная которого равна нулю. Или мне следует рассмотреть другие правила вывода?

    Создан 01 окт.

    МаркоМарко

    60111 золотой знак55 серебряных знаков1212 бронзовых знаков

    $ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

    $$ \ frac {dg (x)} {df (x)} = \ frac {dg (x)} {dx} \ cdot \ frac {1} {f ‘(x)} = \ frac {g’ ( x)} {f ‘(x)} $$

    В вашем примере

    $$ g ‘(x) = 2f’ (x) + 1 + \ frac {f ‘(x)} {f (x)} $$

    Итак:

    $$ \ frac {dg (x)} {df (x)} = \ frac {2f ‘(x) + 1 + \ frac {f’ (x)} {f (x)}} {f ‘(x) )} = 2 + \ frac {1} {f ‘(x)} + \ frac {1} {f (x)} $$

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *