Урок 13. производные элементарных функций – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №13. Производные элементарных функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) определение элементарной функции;
2) производная показательной функции;
2) производные тригонометрических функций;
3) производная логарифмической функции.
Глоссарий по теме
Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.
- (ex) ‘= ex
- (ekx+b) ‘=kekx+b
- (ax) ‘=axlna
- (sin x) ‘=cosx
- (cos x) ‘= -sinx
Основная литература:
Колягин Ю.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.
1.Производная показательной функции.
Показательная функция f(x)=ax, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:
ax=exln a (1)
так как exln a= (eln a)х= ах.
Стоит отметить свойств о функции ех: производная данной функции равна ей самой
(ex) ‘= ex. (2)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
(ekx+b) ‘ = kekx+b. (3)
Производная для ax:
(ax) ‘ = axlna. (4)
2.Производная логарифмической функции.
Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода
(5)
Производная функции lnх выражается формулой
(6)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
(7)
(8)
3.Производные тригонометрических функций.
Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:
(sin x)’=cosx (9)
(cos x)’= -sinx (10)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Найти производную:
- f(x) = 3lnx
Решение:
Ответ:
- f(x) = 3·e2x
Решение: (3e2x) ‘ = 3·2· e2x = 6 ·e2x
Ответ: 6 ·e2x
- f(x) = 2x
Решение: (2x) ‘ = 2xln2
Ответ: 2xln2
Решение:
Ответ:
- f(x) = sin (2x+1) – 3cos(1-x)
Решение: (sin (2x+1) – 3cos(1-x)) ‘ = 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)
Ответ: 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)
Производные некоторых основных элементарных функций (Лекция №5)
- y = xn.
Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем предел
Мы доказали эту формулу для n Î N.
Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
- y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x
+Δx), тоТаким образом,
- Аналогично можно показать, что
- Рассмотрим функцию y= ln x.
Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
Итак,
- Используя свойства логарифма можно показать, что
Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x)
- .
- (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
- .
- .
а) .
б) .
Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.
Доказательство формулы 3.
Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).
Тогда
Δy
Следовательно,
.
Доказательство формулы 4.
Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому
Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).
Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx

Поэтому можем записать
На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.
Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
y ‘ = u ‘·(v·w) + u·(v ·w) ‘ = u ‘·v·w + u·(v ‘·w +v·w ‘) = u ‘·v·w + u·v ‘·w + u·v·w ‘.
Доказательство формулы 5.
Пусть . Тогда
При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x)
Примеры.
- Если , то
- y = x3 – 3x2 + 5x + 2.
Найдем y ‘(–1).
y ‘ = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y ‘(–1) = 14.
- y = ln x · cos x,
то y ‘ = (ln x) ‘ cos x
+ ln x (cos x) ‘ =1/x∙cos x – ln x · sin x.
Таким образом,
- Аналогично для y= ctgx,
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).
Операция “функция от функции” может проводиться не один раз, а любое число раз.
Установим правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция
u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой
точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет
в точке u0 производную y ‘u= f ‘(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в
указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y ‘x= f ‘(u0)·u ‘(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)
,
где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy= y ‘uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
.
По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y ‘x= y ‘u·u ‘x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от “внешней” функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от “внутренней” функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно
представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x),
то нахождение производной y ‘x осуществляется
последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y ‘x= y ‘u·u ‘x . Применяя эту же теорему для u ‘x получаем , т.е.
y ‘x = y ‘x· u ‘v· v ‘x = f ‘u (u)·u ‘v (v)·v ‘x (x).
Примеры.
- y = sin x2. Тогда .
ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Начнем с примера. Рассмотрим
функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y= x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого
значения у
определяет единственное значение x: .
Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x3 только в одной точке.
Поэтому мы можем рассматривать x как
функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x3.
Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1).
Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).
Итак, пусть дана
возрастающая или убывающая функция y= f(x),
определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем
рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все
аналогично).
Рассмотрим два различных
значения х1
и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из
определения возрастающей функции следует, что если x1<x2, то у1<у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и
х2 соответствуют два
различных значения функции у1
и у2. Справедливо и обратное,
т.е. если у1<у2, то из определения
возрастающей функции следует, чтоx1<x2. Т.е. вновь двум различным
значениям у1
и у2 соответствуют два
различных значенияx1 и x2. Т.о.,
между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное
соответствие, т. е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области
значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно
сказать, что x есть
некоторая функция аргумента y: x= g(у).
Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).
Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.
Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Если возрастающая (или
убывающая) функция y=f(x) непрерывна
на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция
определена и непрерывна на отрезке [c; d].
Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.
Пример. Функция y=x2 определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .
Замечание 3. Если функции y=f(x) и
x=g(y) являются
взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если
аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и
построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика.
Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го
координатного угла.
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.
Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g ‘(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f ‘(x0), равную , т.е. справедлива формула.
Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.
Покажем, что .
Пусть . Тогда по свойству предела .
Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Эту формулу можно записать в виде .
Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
Примеры.
- y = ex. Обратной для этой функции
является функция x= ln y. Мы уже доказали, что .
Поэтому согласно сформулированной выше теореме
Итак, (ex) ‘ = ex
- Аналогично можно показать, что (ax) ‘ = ax·lna. Докажите самостоятельно.
- y = arcsin x.
Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная
x ‘ = cos y не
обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной
обратной функции
.
Но на (–π/2; π/2) .
Поэтому
- Аналогично
Докажите самостоятельно.
- y = arctg x.
Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции
на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна.
По ранее доказанному .
Следовательно, y ‘ = cos2y . Но .
Поэтому
- Используя эти формулы, найти производные следующих функций:
Формулы для первой производной функции
y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0
y = C => y’ = 0
пример: y = 5, y’ = 0
Если y есть функцией типа y = xn, формула для производной есть:
y = xn => y’ = nxn-1
пример: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4
Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x1 that:
если y = x тогда y’=1
y = f1(x) + f2(x) + f3(x) . ..=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) …
Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x2 + x + 1 и
g(x) = x5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) =>
y’ = (x2 + x + 1)’ + (x5 + 7)’ = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1
Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:
y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)
Формулы вычисления производной
y = | y’ = |
|
y = ln x => y’ = 1/x
y = ex => y’ = ex
y = sin x => y’ = cos x
y = cos x => y’ = -sin x
y = tg x => y’ = 1/cos2x
y = ctg x => y’ = –1/sin2x
если функция есть функцией функции: u = u(x)
y = f(u) => y’ = f'(u). u’
Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x2)
в этом случае u = x2, f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x2).2x = 2.x.cos(x2)
Задачи с производными
1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций
f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y
для функции f2(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f2(x) есть x.
Поэтому f’2(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.
2) Вычислите производную f(x) = |
ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 – sin x = -sin x
f'(x) = |
|
f'(x) = |
| = |
|
3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу.
Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций:
f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x
Подробнее о производных на страницах математического форума
Форум о производных
1. |
Главные формулы производной
Сложность: лёгкое |
1 |
2.![]() |
Угловой коэффициент касательной
Сложность: лёгкое |
1 |
3. |
Производная многочлена
Сложность: лёгкое |
3 |
4.![]() |
Производная функции, состоящей из слагаемых
Сложность: лёгкое |
8 |
5. |
Нахождение функции по производной
Сложность: среднее |
1 |
6.![]() |
Производная произведения функций в данной точке
Сложность: среднее |
2 |
7. |
Производная частного функций в данной точке
Сложность: среднее |
2 |
8.![]() |
Производная тригонометрических функций
Сложность: среднее |
1 |
9. |
Производная сложной функции
Сложность: среднее |
2 |
10.![]() |
Производная сложной тригонометрической функции
Сложность: среднее |
2 |
11. |
Производная третьего порядка
Сложность: среднее |
1 |
12.![]() |
Производная функции в данной точке
Сложность: среднее |
2 |
13. |
Вычисление аргумента функции
Сложность: сложное |
3 |
14.![]() |
Производная сложной функции в неравенстве
Сложность: сложное |
1 |
Аналитическое вычисление производной функции на языке Scala / Хабр
Введение
Данный алгоритм реализован на языке Scala, характерной особенностью которого является использование case-классов, так удачно подходящих для написания алгоритма дифференцирования. В этой статье планируется описать лишь часть программы, содержащей алгоритм нахождения производной, поскольку разработка парсера для математических выражений это другая большая тема,
заслуживающая отдельной статьи
Подготовка
Сначала опишем структуру данных, в которой будет храниться исходная математическая функция. b и т.д.
LeafToken — «листья» дерева, т.е. константы, переменные и зарезервированные имена констант (число Пи и экспонента).
Опишем классы/объекты операторов и токенов:
case object Pi extends LeafToken
case object Exponenta extends LeafToken
case class Sin(override val a: MathAST) extends SingleToken
case class Cos(override val a: MathAST) extends SingleToken
…
case class Mul(override val a: MathAST, override val b: MathAST) extends DoubleToken
case class Add(override val a: MathAST, override val b: MathAST) extends DoubleToken
…
case class Differentiate(f: MathAST, dx: Variable) extends MathAST
case class Variable(name: String) extends LeafToken
case class Constant(value: BigDecimal) extends LeafToken
Обратите внимание на класс Differentiate, он имеет особую сигнатуру: f – исходная функция, dx – переменная, по которой происходит дифференцирование.
Теперь есть все, чтобы представить математическую функцию в виде дерева вычислений, для примера возьмем функцию: , которая примет вид:
Mul(Constant(BigDecimal(2)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))
Конечно, чтобы получить дерево-выражение из обычной строки, введенной пользователем, нужно написать парсер, но, как было упомянуто выше, это уже другая тема. Скажу лишь что в программе используется самодельный парсер, наследующий трейт Parsers из пакета scala.util.parsing.combinator.
Алгоритм нахождения производной
В основе которого лежат правила дифференцирования и таблица производных.
Опишем рекурсивную функцию, которая и будет преобразовывать исходную математическую функцию в результирующую функцию-производную:
def differentiate(f: MathAST)(implicit dx: String): MathAST
Аргумент dx, содержащий имя переменной (по которой происходит дифференцирование) помечен как неявный (implicit), это позволит не передавать ее в рекурсивные вызовы, пусть этим занимается компилятор.
На вход рекурсивной функции подается выражение — исходная функция f(x) (в формате MathAST), возвращаемое значение — функция-производная в том же формате.
Примечание 1: Выражение может быть бинарным, унарным или токеном.
Примечание 2: Оператором может быть один из: «+», «-», «^», «*», «/», «abs», «sin», «cos», «tg», «ctg», «ln», «arcsin», «arccos», «arctg», «arcctg», «(», «)».
Примечание 3: Входные и выходные данные представлены в формате MathAST — дерево-выражение.
Общий алгоритм
В общем виде алгоритм слишком абстрактный, поэтому дальше разберем его подробнее.
- Рекурсивная функция получает на вход данные и используя сопоставление с образцом (pattern-matching) выполняет необходимые действия, в зависимости от типа данных.
- Функция высчитывает производную для входного выражения и возвращает выражение-результат. Может получиться, что аргументы a и/или b оказались не константой и не переменной, а сложной функцией u(x),
тогда понадобится рекурсивно посчитать еще и производную u’(x), т.е. вернуть [ differentiate(u(x)) ] — перейти к шагу 1 с новыми данными — u(x). - Если данные не корректны вернуть сообщение об ошибке.
Детали принципа работы и связь с математическими абстракциями
Функция приняла на вход данные — выражение-функцию, которую следует обработать в соответствии с правилами дифференцирования
Если бинарное выражение
Бинарные выражения помечены трейтом DoubleToken. »):
case Add(a, b) => Add(differentiate(a), differentiate(b))
case Sub(a, b) => Sub(differentiate(a), differentiate(b))
…
- Если оператор «+»: вернуть [ differentiate(a) + differentiate(b) ].
- Если оператор «-»: вернуть [ differentiate(a) — differentiate(b) ].
- Если оператор «*»: Умножение представляет из себя более сложный случай, операнды a и b могут быть константами или переменными (всего 4 комбинации: u(x)*c, u(x)*v(x), c*c, c*u(x)).
Функция анализирует какой из 4 вариантов попался и возвращает выражение используя правило дифференцирования № 1, № 3, и №5,
если один из операндов – сложная функция. Например: если a = u(x), а b = v(x), то вернуть [ differentiate(a) * b + a * differentiate(b)) ].
Приватный метод isDependsOnVar проверяет, зависит ли подвыражение от переменной, по которой производится дифференцирование.c, c=const Constant(BigDecimal(0)) }else Add(Mul(differentiate(a), b), Mul(a, differentiate(b))) }
Если унарное выражение
Классы SingleToken обрабатываются следующим образом:
case e: SingleToken => val d = e match { case Sin(x) => Cos(x) case Cos(x) => Usub(Sin(x)) case Tg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Cos(x), Constant(BigDecimal(2)))) … } if (isLeaf(e.a)) d else Mul(d, differentiate(e.a))
Оператор проверяется на соответствие одному из доступных операторов («sin», «-», «cos», …)
Для примера, оператор «sin»: вернуть [ cos(a) ], если a = x, если же a — сложная функция u(x), то вернуть [ cos(a) * differentiate(a) ].С остальными операторами происходят аналогичные действия, используя правило дифференцирования сложной функции и табличные правила взятия производной.
Отдельно следует рассмотреть оператор abs — модуль, поскольку его нет в таблице.
Приватный метод isLeaf выясняет сложная функция или нет, в первом случае нужно вернуть текущий результат умноженный на производную вложенной функции, а во втором просто вернуть текущий результат.Если один токен
Речь идет о переменной или константе
case Variable(a) => if (a == dx) Constant(BigDecimal(1)) else Constant(BigDecimal(0)) case Constant(a) => Constant(BigDecimal(0)) case Pi | Exponenta => Constant(BigDecimal(0)) case _ => throw new AbstractEvaluateException("Differentiate: Wrong input data")
- Введены некорректные данные, вывести сообщение об ошибке и завершить работу.
- Если переменная (по которой осуществляется дифференцирование, например x), вернуть [ 1 ].
- Если константа, вернуть [ 0 ].
Напоследок добавим строку:
case Differentiate(_f, _dx) => differentiate(_f)(_dx.name)
Это на случай, если внутри функции есть вложенная производная, т.c, c=const Constant(BigDecimal(0)) }else Add(Mul(differentiate(a), b), Mul(a, differentiate(b))) } case e: SingleToken => val d = e match { case Sin(x) => Cos(x) case Cos(x) => Usub(Sin(x)) case Tg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Cos(x), Constant(BigDecimal(2)))) case Ctg(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Pow(Sin(x), Constant(BigDecimal(2))))) case Abs(x) => Div(x, Abs(x)) case Ln(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), x) case Sqrt(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Mul(Constant(BigDecimal(2)), Sqrt(x))) case Usub(x) => Usub(differentiate(x)) case Arcsin(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Sqrt(Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))))) case Arccos(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Sqrt(Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2))))))) case Arctg(x) => Div(Constant(BigDecimal(1)), Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2))))) case Arcctg(x) => Usub(Div(Constant(BigDecimal(1)), Sub(Constant(BigDecimal(1)), Pow(x, Constant(BigDecimal(2)))))) case _ => throw new AbstractEvaluateException(“Differentiate: Unknown unary operator”) } if (isLeaf(e.
a)) d else Mul(d, differentiate(e.a)) case Variable(a) => if (a == dx) Constant(BigDecimal(1)) else Constant(BigDecimal(0)) case Constant(a) => Constant(BigDecimal(0)) case Pi | Exponenta => Constant(BigDecimal(0)) case _ => throw new AbstractEvaluateException(“Differentiate: Wrong input data”) } private def isLeaf(e: MathAST): Boolean = e match { case Variable(_) | Constant(_) => true case Pi | Exponenta => true case _ => false } private def isDependsOnVar(tree: MathAST)(implicit dx: String): Boolean = tree match{ case e: DoubleToken => (e.a match { case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => isDependsOnVar(e.a) })||(e.b match { case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => isDependsOnVar(e.b) }) case e: SingleToken => isDependsOnVar(e.a) case Variable(name) => if(name == dx) true else false case _ => false } }
Заключение
Весь код исходников можно скачать на github’е, протестировать программу онлайн можно на сайте Калькулятор производных онлайн, приложение выполнено в виде REST сервиса и дополнено модулями упрощения выражений.
2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
3.2 Производная как функция – Объем исчисления 1
Цели обучения
- Определите производную функцию заданной функции.
- Постройте производную функцию от графика заданной функции.
- Укажите связь между производными и непрерывностью.
- Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
- Объясните значение производной высшего порядка.
Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.
Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.
Определение
Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, – это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:
.Говорят, что функция дифференцируется на , если
существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция – это функция, в которой существует в своей области.В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.
Нахождение производной функции квадратного корня
Найдите производную от.
Решение
Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).
Нахождение производной квадратичной функции
Найдите производную функции.
Решение
Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.
Найдите производную от.
Решение
Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:
.Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где – разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как
. Фигура 1.Производная выражается как.Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).
В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.
Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.
Построение производной с помощью функции
Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.
Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?
Решение
Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.
Проба
Если дифференцируем в, то существует и
.Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,
Следовательно, поскольку определено и, мы заключаем, что непрерывно в точке.
Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,
.Этот предел не существует, потому что
.См. (Рисунок).
Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой. Рассмотрим функцию:
.Значит, не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).
Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что
.Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).
Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.Итого:
- Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
- Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
- Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
- Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.
Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция
Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:
.Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.
Поиск второй производной
Для, найдите.
В поисках ускорения
Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.
- Производная функция
В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти.
1.
2.
3.
4.
Решение
5.
6.
Решение
7.
8.
Решение
9.
10.
Решение
Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.
11. 12.Решение
13. 14.Решение
Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .
15.
16.
Решение
17.
18.
Решение
19.
20.
Решение
Для следующих функций:
- зарисовать график и
- используйте определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.
21.
23
Для следующих графиков
- определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
- определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.
Для следующих функций используйте, чтобы найти.
28.
29.
30.
Решение
Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.
31. [Т]
33. [Т]
35. [Т]
Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.
37. обозначает население города во время в годах.
38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную клиентами на концессии в парке развлечений.
Решение
а. Средняя ставка, с которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного покупателя.
г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.
40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.
Решение
а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.
42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.
Решение
а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.Решение
а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.Решение
а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.
Время (секунды) Высота (метры) 0 0 1 2 2 4 3 13 4 25 5 32 47. В чем физический смысл? Какие единицы?
48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените и левый предел, и правый предел и усредните их.)
Решение
Время (секунды) (м / с) 0 2 1 2 2 5.5 3 10,5 4 9,5 5 7 Производная функции по отношению к другой функции.
Производная функции по отношению к другой функции. – Обмен математическим стекомСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 44k раз
$ \ begingroup $На этот вопрос уже есть ответы :
Закрыт 3 года назад.
Я хочу вычислить производную функции не по переменной, а по другой функции. Например: $$ g (x) = 2f (x) + x + \ log [f (x)] $$ Я хочу вычислить $$ \ frac {\ mathrm dg (x)} {\ mathrm df (x)} $$ Могу ли я рассматривать $ f (x) $ как переменную и выводить «вслепую»? Если так, я бы получил $$ \ frac {\ mathrm dg (x)} {\ mathrm df (x)} = 2+ \ frac {1} {f (x)} $$ и рассматривать простой $ x $ как параметр, производная которого равна нулю. Или мне следует рассмотреть другие правила вывода?
Создан 01 окт.
МаркоМарко60111 золотой знак55 серебряных знаков1212 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $$$ \ frac {dg (x)} {df (x)} = \ frac {dg (x)} {dx} \ cdot \ frac {1} {f ‘(x)} = \ frac {g’ ( x)} {f ‘(x)} $$
В вашем примере
$$ g ‘(x) = 2f’ (x) + 1 + \ frac {f ‘(x)} {f (x)} $$
Итак:
$$ \ frac {dg (x)} {df (x)} = \ frac {2f ‘(x) + 1 + \ frac {f’ (x)} {f (x)}} {f ‘(x) )} = 2 + \ frac {1} {f ‘(x)} + \ frac {1} {f (x)} $$
Создан 01 окт.
Дипак24.1k11 золотой знак2121 серебряный знак4747 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 13 $ \ begingroup $Нельзя. Вы должны получить $ f (x) $ как функцию.
$ g ‘(x) = 2f’ (x) + 1 + {f ‘(x) \ over f (x)}
долларов СШАРЕДАКТИРОВАТЬ: Извините, это сделало бы $ dg (x) \ over dx $, Дипак прав.
Создан 01 окт.
Зерегес21611 серебряный знак66 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $Вы могли бы, если бы это была функция от $ f (x) $. Но это не так из-за члена $ x $.
Создан 01 окт.
апельсин37.8k33 золотых знака2828 серебряных знаков6363 бронзовых знака
$ \ endgroup $ 1 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
3.2 Производная как функция – Исчисление Том 1
Цели обучения
- 3.2.1. Определите производную функцию заданной функции.
- 3.2.2 Постройте производную функцию от графика заданной функции.
- 3.2.3 Укажите связь между производными и непрерывностью.
- 3.2.4 Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
- 3.2.5 Объясните значение производной высшего порядка.
Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.
Производные функции
Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.
Определение
Пусть ff – функция. Производная функция, обозначаемая f ‘, f’, – это функция, область определения которой состоит из таких значений xx, что существует следующий предел:
f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.(3,9)
Функция f (x) f (x) называется дифференцируемой в точке aa, если f ′ (a) f ′ (a) существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на SS, если она дифференцируема в каждой точке открытого множества S, S, а дифференцируемая функция – это функция, в которой f ′ (x) f ′ (x) существует в своей области определения.
В следующих нескольких примерах мы используем уравнение 3.9, чтобы найти производную функции.
Пример 3.11
Нахождение производной функции квадратного корня
Найти производную f (x) = x.f (x) = x.
Решение
Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте уравнение 3.1.
f ′ (x) = limh → 0x + h − xhSubstitutef (x + h) = x + handf (x) = xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x + h − xh · x + h + xx + h + x Умножить числитель и знаменатель на x + h + x без распределения в знаменателе.= limh → 0hh (x + h + x) Умножьте числители и упростите. = limh → 01 (x + h + x) Отмените h. = 12x Оцените предел. f ′ (x) = limh → 0x + h − xhSubstitutef ( x + h) = x + handf (x) = xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x + h − xh · x + h + xx + h + x Умножьте числитель и знаменатель на x + h + x без распределения в знаменателе. = limh → 0hh (x + h + x) Умножьте числители и упростите. = limh → 01 (x + h + x) Отмените h. = 12x Оцените предел.Пример 3.12
Нахождение производной квадратичной функции
Найти производную функции f (x) = x2−2x.f (x) = x2−2x.
Решение
Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.
f ′ (x) = limh → 0 ((x + h) 2−2 (x + h)) – (x2−2x) h Заменить f (x + h) = (x + h) 2−2 (x + h) и f (x) = x2−2xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x2 + 2xh + h3−2x − 2h − x2 + 2xhExpand (x + h) 2 −2 (x + h). = Limh → 02xh − 2h + h3hSimplify. = Limh → 0h (2x − 2 + h) h Вывести из числителя. = Limh → 0 (2x − 2 + h) Сократить общий множитель h. = 2x − 2 Вычислить предел. F ′ (x) = limh → 0 ((x + h) 2−2 (x + h)) – (x2−2x) hSubstitutef (x + h) = (x + h) 2 −2 (x + h) и f (x) = x2−2xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.= limh → 0x2 + 2xh + h3−2x − 2h − x2 + 2xhExpand (x + h) 2−2 (x + h). = limh → 02xh − 2h + h3hSimplify. = limh → 0h (2x − 2 + h) hFactor outh из числителя. = limh → 0 (2x − 2 + h) Сократить общий множитель h. = 2x − 2 Вычислить предел.КПП 3.6
Найдите производную f (x) = x2.f (x) = x2.
Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. В примере 3.12 мы показали, что если f (x) = x2−2x, f (x) = x2−2x, то f ′ (x) = 2x − 2.f ′ (x) = 2x − 2. Если бы мы выразили эту функцию в виде y = x2−2x, y = x2−2x, мы могли бы выразить производную как y ′ = 2x − 2y ′ = 2x − 2 или dydx = 2x − 2.dydx = 2x − 2. Мы могли бы передать ту же информацию, написав ddx (x2−2x) = 2x − 2.ddx (x2−2x) = 2x − 2. Таким образом, для функции y = f (x), y = f (x) каждое из следующих обозначений представляет производную от f (x): f (x):
f ′ (x), dydx, y ′, ddx (f (x)). f ′ (x), dydx, y ′, ddx (f (x)).Вместо f ′ (a) f ′ (a) мы также можем использовать dydx | x = adydx | x = a Использование обозначения dydxdydx (называемого обозначением Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде ΔyΔxΔyΔx, где ΔyΔy – разность значений yy, соответствующая разнице значений xx, которые выражаются как ΔxΔx (рисунок 3.11). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения yy по отношению к x, x, выражается как
dydx = limΔx → 0ΔyΔx.dydx = limΔx → 0ΔyΔx. Рисунок 3.11 Производная выражается как dydx = limΔx → 0ΔyΔx.dydx = limΔx → 0ΔyΔx.Построение графика производной
Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график.Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку f ′ (x) f ′ (x) дает скорость изменения функции f (x) f (x) (или наклон касательная к f (x)). f (x)).
В примере 3.11 мы обнаружили, что для f (x) = x, f ′ (x) = 1 / 2x.f (x) = x, f ′ (x) = 1 / 2x. Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке 3.12, мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что f (x) f (x) увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон ее касательных во всех точках положительный.Следовательно, мы ожидаем, что f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех значений xx в его области определения. Кроме того, с увеличением xx наклон касательных к f (x) f (x) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение f ′ (x) .f ′ (x). Заметим также, что f (0) f (0) не определено и что limx → 0 + f ′ (x) = + ∞, limx → 0 + f ′ (x) = + ∞, что соответствует вертикальной касательной к f ( x) f (x) при 0,0.
Рис. 3.12. Производная f ′ (x) f ′ (x) всюду положительна, поскольку функция f (x) f (x) возрастает.В Примере 3.12 мы обнаружили, что для f (x) = x2−2x, f ′ (x) = 2x − 2. f (x) = x2−2x, f ′ (x) = 2x − 2. Графики этих функций показаны на Рисунке 3.13. Обратите внимание, что f (x) f (x) убывает при x <1.x <1. Для тех же значений x, f ′ (x) <0.x, f ′ (x) <0. Для значений x> 1, f (x) x> 1, f (x) увеличивается и f ′ (x)> 0. f ′ (x)> 0. Кроме того, f (x) f (x) имеет горизонтальную касательную в точках x = 1x = 1 и f ′ (1) = 0. f ′ (1) = 0.
Рисунок 3.13 Производная f ′ (x) <0f ′ (x) <0, где функция f (x) f (x) убывает, а f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0, где f (x) f (x) увеличивается.Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.Пример 3.13
Построение производной с помощью функции
Используйте следующий график f (x) f (x), чтобы нарисовать график f ′ (x) .f ′ (x).
Решение
Решение показано на следующем графике. Обратите внимание, что f (x) f (x) возрастает и f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 на (–2,3). (- 2,3). Кроме того, f (x) f (x) убывает и f ′ (x) <0f ′ (x) <0 на (−∞, −2) (- ∞, −2) и на (3, + ∞). (3, + ∞).Также обратите внимание, что f (x) f (x) имеет горизонтальные касательные в точках –2–2 и 3,3, а f ′ (- 2) = 0f ′ (- 2) = 0 и f ′ (3) = 0.f ′ (3) = 0.
КПП 3,7
Нарисуйте график функции f (x) = x2−4. F (x) = x2−4. На каком интервале график f ′ (x) f ′ (x) находится выше оси xx?
Деривативы и непрерывность
Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.
Теорема 3.1
Дифференцируемость влечет непрерывность
Пусть f (x) f (x) – функция, а aa находится в ее области определения. Если f (x) f (x) дифференцируема в a, a, то ff непрерывна в a.a.
Проба
Если f (x) f (x) дифференцируема в a, a, то f ′ (a) f ′ (a) существует и
f ′ (a) = limx → af (x) −f (a) x − a.f ′ (a) = limx → af (x) −f (a) x − a.Мы хотим показать, что f (x) f (x) непрерывна в aa, показав, что limx → af (x) = f (a).limx → af (x) = f (a). Таким образом,
limx → af (x) = limx → a (f (x) −f (a) + f (a)) = limx → a (f (x) −f (a) x − a · (x − a) + f (a)) Умножаем и делим f (x) −f (a) на x − a. = (limx → af (x) −f (a) x − a) · (limx → a (x − a)) + limx → af (a) = f ′ (a) · 0 + f (a) = f (a) .limx → af (x) = limx → a (f (x) −f (a) + f (a)) = limx → a (f (x) −f (a) x − a · (x − a) + f (a)) Умножаем и делим f (x) −f (a) на x − a. = (limx → af ( x) −f (a) x − a) · (limx → a (x − a)) + limx → af (a) = f ′ (a) · 0 + f (a) = f (a).Следовательно, поскольку f (a) f (a) определено и limx → af (x) = f (a), limx → af (x) = f (a), мы заключаем, что ff непрерывна в a.a.
□
Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию f (x) = | x | .f (x) = | x |. Эта функция всюду непрерывна; однако f ′ (0) f ′ (0) не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для f (x) = | x |, f (x) = | x |,
f ′ (0) = limx → 0f (x) −f (0) x − 0 = limx → 0 | x | – | 0 | x − 0 = limx → 0 | x | xf ′ (0) = limx → 0f (x) −f (0) x − 0 = limx → 0 | x | – | 0 | x − 0 = limx → 0 | x | x.Этот предел не существует, потому что
limx → 0− | x | x = −1andlimx → 0 + | x | x = 1.limx → 0− | x | x = −1andlimx → 0 + | x | x = 1.См. Рисунок 3.14.
Рисунок 3.14 Функция f (x) = | x | f (x) = | x | непрерывна в 00, но не дифференцируема в 0,0.Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой. Рассмотрим функцию f (x) = x3: f (x) = x3:
f ′ (0) = limx → 0x3−0x − 0 = limx → 01×23 = + ∞. f ′ (0) = limx → 0x3−0x − 0 = limx → 01×23 = + ∞.Таким образом, f ′ (0) f ′ (0) не существует. Быстрый взгляд на график f (x) = x3f (x) = x3 проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 00 (рисунок 3.15).
Рисунок 3.15. Функция f (x) = x3f (x) = x3 имеет вертикальную касательную в точке x = 0.x = 0. Он непрерывен на уровне 00, но не дифференцируется при значении 0,0.Функция f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0 также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при 0,0. Мы видим, что
f ′ (0) = limx → 0xsin (1 / x) −0x − 0 = limx → 0sin (1x). f ′ (0) = limx → 0xsin (1 / x) −0x − 0 = limx → 0sin (1x ).Этого предела не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок 3.16).
Рисунок 3.16. Функция f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0 не дифференцируема в 0.0.Итого:
- Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
- Мы видели, что f (x) = | x | f (x) = | x | не удалось дифференцировать в 00, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым.Визуально это привело к резкому углу на графике функции при 0,0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
- Как мы видели в примере с f (x) = x3, f (x) = x3, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
- Как мы видели с f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0, функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами. .
Пример 3.14
Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция
Компания по производству игрушек хочет спроектировать дорожку для игрушечной машинки, которая начинается по параболической кривой, а затем переходит в прямую (рис. 3.17). Функция, описывающая дорожку, должна иметь вид f (x) = {110×2 + bx + cifx <−10−14x + 52ifx≥ − 10f (x) = {110x2 + bx + cifx <−10−14x + 52ifx≥ −10, где xx и f (x) f (x) выражены в дюймах. Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция f (x) f (x) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке −10.−10. Найдите значения bb и cc, которые делают f (x) f (x) как непрерывной, так и дифференцируемой.
Рис. 3.17. Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.
Решение
Чтобы функция была непрерывной при x = −10, limx → −10 − f (x) = f (−10) .x = −10, limx → −10 − f (x) = f (−10). Таким образом, с
г. limx → −10 − f (x) = 110 (−10) 2−10b + c = 10−10b + climx → −10 − f (x) = 110 (−10) 2−10b + c = 10−10b + cи f (−10) = 5, f (−10) = 5, должно получиться 10−10b + c = 5.10−10b + c = 5. Эквивалентно, мы имеем c = 10b − 5.c = 10b − 5.
Чтобы функция была дифференцируемой при −10, −10,
f ′ (10) = limx → −10f (x) −f (−10) x + 10f ′ (10) = limx → −10f (x) −f (−10) x + 10.должен существовать. Поскольку f (x) f (x) определяется с использованием разных правил справа и слева, мы должны оценить этот предел справа и слева, а затем установить их равными друг другу:
limx → −10 − f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + c − 5x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + (10b − 5) −5x + 10 Заменить c = 10b − 5. = Limx → −10 − x2−100 + 10bx + 100b10 (x + 10) = limx → −10− (x + 10) (x − 10 + 10b) 10 (x + 10) Умножить на группировка.= b − 2.limx → −10 − f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + c − 5x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + (10b− 5) −5x + 10 Substitutec = 10b − 5. = Limx → −10 − x2−100 + 10bx + 100b10 (x + 10) = limx → −10− (x + 10) (x − 10 + 10b) 10 (x +10) Разложим на множители по группам. = B − 2.У нас также есть
limx → −10 + f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10 + −14x + 52−5x + 10 = limx → −10 + – (x + 10) 4 (x + 10). = −14.limx → −10 + f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10 + −14x + 52−5x + 10 = limx → −10 + – (x + 10) 4 ( х + 10) = – 14.Это дает нам b − 2 = −14.b − 2 = −14. Таким образом, b = 74b = 74 и c = 10 (74) −5 = 252. C = 10 (74) −5 = 252.
КПП 3.8
Найдите значения aa и bb, которые делают f (x) = {ax + bifx <3x2ifx≥3f (x) = {ax + bifx <3x2ifx≥3 одновременно непрерывным и дифференцируемым в 3.3.
Производные инструменты высшего порядка
Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка. Обозначения для производных высшего порядка y = f (x) y = f (x) могут быть выражены в любой из следующих форм:
f ″ (x), f ‴ (x), f (4) (x),…, f (n) (x) f ″ (x), f ‴ (x), f (4) (x),… , f (n) (x) y ″ (x), y ‴ (x), y (4) (x),…, y (n) (x) y ″ (x), y ‴ (x), y (4) (x),… , у (п) (х) d2ydx2, d3ydx3, d4ydx4,…, dnydxn.d2ydx2, d3ydx3, d4ydx4,…, dnydxn.Интересно отметить, что обозначение d2ydx2d2ydx2 можно рассматривать как попытку выразить ddx (dydx) ddx (dydx) более компактно.Аналогично, ddx (ddx (dydx)) = ddx (d2ydx2) = d3ydx3.ddx (ddx (dydx)) = ddx (d2ydx2) = d3ydx3.
Пример 3.15
Поиск второй производной
Для f (x) = 2×2−3x + 1, f (x) = 2×2−3x + 1, найдите f ″ (x) .f ″ (x).
Решение
Сначала найдите f ′ (x) .f ′ (x).
f ′ (x) = limh → 0 (2 (x + h) 2−3 (x + h) +1) – (2×2−3x + 1) hSubstitutef (x) = 2×2−3x + 1andf (x + h) = 2 (x + h) 2−3 (x + h) + 1intof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = Limh → 04xh + 2h3−3hh Упростим числитель. = Limh → 0 (4x + 2h − 3) Выносим за скобки числитель и сокращаем с помощью знаменателя.= 4x − 3 Примите предел. F ′ (x) = limh → 0 (2 (x + h) 2−3 (x + h) +1) – (2×2−3x + 1) hSubstitutef (x) = 2×2−3x + 1andf (x + h) = 2 (x + h) 2−3 (x + h) + 1intof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = Limh → 04xh + 2h3 −3hh Упростите числитель. = Limh → 0 (4x + 2h − 3) Вынесите за скобки числитель и сократите его с помощью знаменателя. = 4x − 3 Возьмите предел.Затем найдите f ″ (x) f ″ (x), взяв производную от f ′ (x) = 4x − 3.f ′ (x) = 4x − 3.
f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hUsef ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hwithf ′ (x) на месте off (x) . = limh → 0 (4 (x + h) −3) – (4x − 3) hSubstitutef ′ (x + h) = 4 (x + h) −3andf ′ (x) = 4x − 3.= limh → 04 Упростить. = 4 Принять предел. f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hUsef ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hwithf ′ (x) inplace off (x). = limh → 0 (4 (x + h) −3) – (4x − 3) hSubstitutef ′ (x + h) = 4 (x + h) −3andf ′ (x ) = 4x − 3. = Limh → 04 Упростить. = 4 Взять предел.КПП 3.9
Найдите f ″ (x) f ″ (x) для f (x) = x2.f (x) = x2.
Пример 3.16
В поисках ускорения
Положение частицы вдоль оси координат в момент времени tt (в секундах) определяется выражением s (t) = 3t2−4t + 1s (t) = 3t2−4t + 1 (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение в момент времени t.т.
Решение
Поскольку v (t) = s ′ (t) v (t) = s ′ (t) и a (t) = v ′ (t) = s ″ (t), a (t) = v ′ (t) = s ″ (t), мы начнем с нахождения производной s (t): s (t):
s ′ (t) = limh → 0s (t + h) −s (t) h = limh → 03 (t + h) 2−4 (t + h) + 1− (3t2−4t + 1) h = 6t. −4.s ′ (t) = limh → 0s (t + h) −s (t) h = limh → 03 (t + h) 2−4 (t + h) + 1− (3t2−4t + 1) h = 6t − 4.Далее,
s ″ (t) = limh → 0s ′ (t + h) −s ′ (t) h = limh → 06 (t + h) −4− (6t − 4) h = 6. s ″ (t) = limh → 0s ′ (t + h) −s ′ (t) h = limh → 06 (t + h) −4− (6t − 4) h = 6.Таким образом, a = 6 м / с2. A = 6 м / с2.
КПП 3.10
Для s (t) = t3, s (t) = t3 найдите a (t).в).
Раздел 3.2. Упражнения
В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти f ′ (x) .f ′ (x).
Для следующих упражнений используйте график y = f (x) y = f (x), чтобы нарисовать график его производной f ′ (x) .f ′ (x).
64. 66.Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции y = f (x) y = f (x) при x = a.x = a. Найдите f (x) f (x) и п.в.
68.limh → 0 (1 + h) 2 / 3−1hlimh → 0 (1 + h) 2 / 3−1h
69.limh → 0 [3 (2 + h) 2 + 2] −14hlimh → 0 [3 (2 + h) 2 + 2] −14h
70.limh → 0cos (π + h) + 1hlimh → 0cos (π + h) + 1h
71.limh → 0 (2 + h) 4−16hlimh → 0 (2 + h) 4−16h
72.limh → 0 [2 (3 + h) 2− (3 + h)] – 15hlimh → 0 [2 (3 + h) 2− (3 + h)] – 15h
73.limh → 0eh − 1hlimh → 0eh − 1h
Для следующих функций:
- зарисовать график и
- использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема при x = 1.x = 1.
f (x) = {2x, 0≤x≤13x − 1, x> 1f (x) = {2x, 0≤x≤13x − 1, x> 1
75.f (x) = {3, x <13x, x≥1f (x) = {3, x <13x, x≥1
76.f (x) = {- x2 + 2, x≤1x, x> 1f (x) = {- x2 + 2, x≤1x, x> 1
77.f (x) = {2x, x≤12x, x> 1f (x) = {2x, x≤12x, x> 1
Для следующих графиков
- определить, для каких значений x = ax = a существует limx → af (x) limx → af (x), но ff не является непрерывным при x = a, x = a и
- определяет, для каких значений x = ax = a функция является непрерывной, но не дифференцируемой при x = a.x = a.
Используйте график, чтобы оценить.f ′ (- 0,5), f ′ (- 0,5), б. f ′ (0), f ′ (0), c. f ′ (1), f ′ (1), d. f ′ (2), f ′ (2) и e. f ′ (3), f ′ (3), если он существует.
Для следующих функций используйте f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hf ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) h. найти f ″ (x) .f ″ (x).
Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графика f (x) .f (x). Определите функцию f ′ (x), f ′ (x), затем воспользуйтесь калькулятором для построения графика f ′ (x) .f ′ (x).
85.[T] f (x) = 3×2 + 2x + 4. f (x) = 3×2 + 2x + 4.
88.[T] f (x) = 1 + x + 1xf (x) = 1 + x + 1x
Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.
- f (x + h) −f (x) hf (x + h) −f (x) h
- f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hf ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h .
P (x) P (x) обозначает население города во время xx в годах.
91.C (x) C (x) обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на уступки xx клиентами в парке развлечений.
92.R (x) R (x) обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства xx радиочасов.
93.g (x) g (x) обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную за тест за xx часов обучения.
94.B (x) B (x) обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США за xx лет с 1990-1990 гг.
95.p (x) p (x) обозначает атмосферное давление в Торрс на высоте xx футов.
96.Изобразите график функции y = f (x) y = f (x) со всеми следующими свойствами:
- f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для −2≤x <1−2≤x <1
- f ′ (2) = 0f ′ (2) = 0
- f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для x> 2x> 2
- f (2) = 2f (2) = 2 и f (0) = 1f (0) = 1
- limx → −∞f (x) = 0limx → −∞f (x) = 0 и limx → ∞f (x) = ∞limx → ∞f (x) = ∞
- f ′ (1) f ′ (1) не существует.
Предположим, что температура TT в градусах Фаренгейта на высоте xx футов над землей определяется выражением y = T (x) .y = T (x).
- Дайте физическую интерпретацию в единицах измерения T ′ (x) .T ′ (x).
- Если мы знаем, что T ′ (1000) = – 0,1, T ′ (1000) = – 0,1, объясните физический смысл.
Предположим, что общая прибыль компании равна y = P (x) y = P (x) тысяч долларов при продаже xx единиц товара.
- Что измеряет P (b) −P (a) b − aP (b) −P (a) b − a для 0
- Что измеряет P ′ (x) P ′ (x) и какие единицы измерения?
- Предположим, что P ′ (30) = 5, P ′ (30) = 5, каково приблизительное изменение прибыли, если количество проданных товаров увеличится с 30 до 31? 30 до 31?
График на следующем рисунке моделирует количество людей N (t) N (t), которые заболели гриппом через несколько недель после его первоначальной вспышки в городе с населением 50 00050 000 жителей.
- Опишите, что представляет собой N ′ (t) N ′ (t) и как оно ведет себя при увеличении tt.
- Что производная говорит нам о том, как этот город пострадал от вспышки гриппа?
Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота hh ракеты Saturn VV для миссии Apollo 1111 через tt секунд после запуска.
100.Время (секунды) Высота (метры) 00 00 11 22 22 44 33 1313 44 2525 55 3232 Каков физический смысл h ′ (t)? H ′ (t)? Какие единицы?
101.[T] Создайте таблицу значений для h ′ (t) h ′ (t) и изобразите как h (t) h (t), так и h ′ (t) h ′ (t) на одном графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените как левый предел, так и правый предел и усредните их. Внутренняя точка интервала I – это элемент I, который не является конечной точкой I.)
102.[T] Наилучшее линейное соответствие данным дает H (t) = 7,229t − 4,905, H (t) = 7,229t − 4,905, где HH – высота ракеты (в метрах) и tt время, прошедшее с момента взлета.Из этого уравнения определите H ′ (t) .H ′ (t). График H (t) H (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график H ′ (t) .H ′ (t).
103.[T] Наилучшее квадратичное соответствие данных дается выражением G (t) = 1,429t2 + 0,0857t − 0,1429, G (t) = 1,429t2 + 0,0857t − 0,1429, где GG – высота ракеты. (в метрах), а tt – время, прошедшее с момента взлета. Из этого уравнения определите G ′ (t) .G ′ (t). График G (t) G (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график G ′ (t) .G ′ (t).
104.[T] Наилучшее кубическое соответствие данным дает F (t) = 0,2037t3 + 2,956t2−2,705t + 0,4683, F (t) = 0,2037t3 + 2,956t2−2,705t + 0,4683, где FF – высота ракеты (в м), а tt – время, прошедшее с момента взлета. Из этого уравнения определите F ′ (t) .F ′ (t). График F (t) F (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график F ′ (t) .F ′ (t). Что лучше всего подходит для данных: линейная, квадратичная или кубическая функция?
105.Используя наилучшие линейные, квадратичные и кубические аппроксимации данных, определите, какие H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t) H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t) являются .Каковы физические значения H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t), H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t) и каковы их единицы?
AC Производная функции в точке
Мгновенная скорость изменения функции – это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, которое измеряет, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта.В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки. Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.
Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)
Определение 1.3.1.
Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Точно так же, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}
Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.
Предварительный просмотр 1.3.1.
Предположим, что \ (f \) – функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) – входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.
Рисунок 1.3.2. График \ (y = f (x) \) для предварительного просмотра 1.3.1.Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.
Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Что такое длины соответствующих катетов этого треугольника?
Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)
Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.
Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке
Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах. Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)
Определение 1.3.3.
Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) формулой
\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}
при условии, что этот предел существует.
Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) – простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = текст{.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.
Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.
Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \). Мы можем думать об одной конечной точке интервала как «скользящее навстречу» другому. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс установления предела является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. Один из вариантов – это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. Чтобы получить полезную коллекцию примеров, рассмотрите работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно важный пример. Для апплетов, созданных в Geogebra 1 , см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.
Вы даже можете подумать о создании своих собственных примеров; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатной загрузки, ее легко изучить и использовать.На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \). Эти линии (показанные на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text { .} \) Секущая кривой – это просто линия, проходящая через две точки на кривой.Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) – f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. Мы можем видеть на диаграмме, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {. } \) Если существует предел наклона секущих линий, мы говорим, что результирующее значение представляет собой наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(текст{.} \)
Рисунок 1.3.5. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \)Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рисунке 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рисунке 1.3.5 в один слева и увеличьте масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная проходит по отношению к кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую около \ (x = a \ text {.2} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Затем мы удаляем общий множитель \ (h \) как в числителе, так и в знаменателе и находим, что
\ begin {уравнение *} f ‘(2) = \ lim_ {h \ to 0} (-3-h) \ text {.} \ end {уравнение *}
Наконец, мы можем взять предел как \ (h \ to 0 \ text {,} \) и, таким образом, сделать вывод, что \ (f ‘(2) = -3 \ text {.} \). Отметим, что \ ( f ‘(2) \) – это мгновенная скорость изменения \ (f \) в точке \ ((2, -2) \ text {. 2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.} \)
Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.
Мероприятие 1.3.2.
Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)
- Какой знакомый тип функции – \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
- Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
- Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
- Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?
Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.
Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.
Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.- Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
- Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \) Покажите свой используйте правильную нотацию, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
- На своем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.
Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.
Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.- Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
- Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел сложно точно оценить.
- Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
- На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения. из \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
- В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)
Деривативы | Безграничное исчисление
Задача о производной и касательной
Использование дифференцирования позволяет решить задачу касательной линии путем нахождения наклона [латекс] f ‘(a) [/ латекс].
Цели обучения
Определите производную как наклон касательной к точке на кривой
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке – это прямая линия, которая «едва касается» кривой в этой точке.
- Прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точку [ латекс] (c, f (c)) [/ латекс] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ латекс], где [латекс] f’ [/ латекс] является производным от [латекс] f [/латекс].
- Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом: [латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ latex].
Ключевые термины
- касательная : линия, касающаяся кривой в одной точке, но не пересекающая ее там
- секущая : линия, пересекающая кривую в двух или более точках
Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке – это прямая линия, которая «едва касается» кривой в этой точке.Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точка [латекс] (c, f (c)) [/ latex] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ latex], где f ‘ – производное от [latex] f [/ latex ].
Касательная к кривой : линия показывает касательную к кривой в точке, представленной точкой.Он почти не касается кривой и показывает наклон скорости изменения в точке.
Предположим, что кривая задана как график функции, [латекс] y = f (x) [/ latex]. Чтобы найти касательную в точке [latex] p = (a, f (a)) [/ latex], рассмотрите другую ближайшую точку [latex] q = (a + h, f (a + h)) [/ latex ] на кривой. Наклон секущей линии, проходящей через [латекс] p [/ латекс] и [латекс] q [/ латекс], равен коэффициенту разности
[латекс] \ displaystyle {\ frac {f (a + h) – f (a)} {h}} [/ latex].
Когда точка [латекс] q [/ латекс] приближается к [латексу] p [/ латексу], что соответствует уменьшению и уменьшению [латекса] h [/ латекса], коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению [латекс] k [/ latex], который представляет собой наклон касательной в точке [latex] p [/ latex]. Если [латекс] k [/ латекс] известен, уравнение касательной можно найти в форме «точка-наклон»:
[латекс] y – f (a) = k (x-a) [/ латекс]
Предположим, что граф не имеет разрыва или острого края в [латексе] p [/ латексе], и он не является ни вертикальным, ни слишком изгибающимся рядом с [латексом] p [/ латексом].Затем существует уникальное значение [latex] k [/ latex], так что по мере приближения [latex] h [/ latex] к [latex] 0 [/ latex] коэффициент разности становится все ближе и ближе к [latex] k [ / latex], и расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером [latex] h [/ latex], если [latex] h [/ latex] достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела коэффициентов разности для функции [latex] f [/ latex]. Этот предел является производной функции [latex] f [/ latex] при [latex] x = a [/ latex], обозначаемой [latex] f ‘(a) [/ latex].Используя производные, уравнение касательной можно записать следующим образом:
[латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ латекс].
Производные финансовые инструменты и курсы изменения
Дифференциация – это способ вычисления скорости изменения одной переменной по отношению к другой.
Цели обучения
Опишите производную как изменение [латекса] y [/ латекса] по сравнению с изменением [латекса] x [/ латекса] в каждой точке графика.
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Исторически основной мотивацией для изучения дифференциации была проблема касательной линии, задача которой для данной кривой заключается в нахождении наклона прямой, касательной к этой кривой в данной точке.
- Если [латекс] y [/ latex] является линейной функцией [latex] x [/ latex], то [latex] m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ latex].
- Производная измеряет наклон графика в каждой точке.
Ключевые термины
- уклон : также называется уклоном; наклон или уклон линии описывает ее крутизну
Исторически сложилось так, что основной мотивацией для изучения дифференцирования была проблема касательной линии, которая является задачей для данной кривой найти наклон прямой, которая касается этой кривой в данной точке.Слово тангенс происходит от латинского слова tangens , что означает прикосновение. Таким образом, чтобы решить задачу касательной линии, нам нужно найти наклон линии, которая «касается» данной кривой в данной точке, или, говоря современным языком, имеющей такой же наклон. Но что именно мы подразумеваем под «наклоном» кривой?
В простейшем случае [latex] y [/ latex] является линейной функцией от x, что означает, что график [latex] y [/ latex], деленный на [latex] x [/ latex], представляет собой прямую линию. В этом случае [латекс] y = f (x) = m x + b [/ latex] для действительных чисел m и b, а наклон m определяется по формуле:
[латекс] \ displaystyle {m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} [/ latex]
, где символ [латекс] \ Delta [/ latex] (заглавная форма греческой буквы Delta) означает и произносится как «изменение в.”Эта формула верна, потому что:
[латекс] y + \ Delta y = f (x + \ Delta x) = m (x + \ Delta x) + b = m x + b + m \ Delta x = y + m \ Delta x [/ latex]
Отсюда следует, что [латекс] \ Delta y = m \ Delta x [/ latex].
Наклон функции : функция с наклоном, показанным для данной точки.
Это дает точное значение наклона прямой. Однако, если функция [latex] f [/ latex] не является линейной (т. Е. Ее график не является прямой линией), то изменение [latex] y [/ latex] делится на изменение [latex] x [ / latex] варьируется: дифференциация – это метод нахождения точного значения для этой скорости изменения при любом заданном значении [латекс] x [/ латекс].Другими словами, дифференциация – это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [latex] x [/ latex]. Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] по отношению к [латексу] x [/ латексу]. Точнее говоря, зависимость [латекса] y [/ latex] от [latex] x [/ latex] означает, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [/ latex]. Эта функциональная связь часто обозначается [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f [/ latex] обозначает функцию.Если [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются действительными числами, и если график [latex] y [/ latex] строится против [latex] x [/ latex], производная измеряет наклон этого графика в каждой точке.
Производная как функция
Если каждая точка функции имеет производную, существует функция производной, которая отправляет точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] : [латекс] ф ‘(а) [/ латекс].
Цели обучения
Объясните, как производная действует как «функция функций»
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Производная – это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон которых является набором функций.
- Функция, значение которой в [latex] x = a [/ latex] равно [latex] f ′ (a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f ′ (a) [/ latex] определено и где-либо еще не определено, также называется производной [латекс] ф [/ латекс].
- По определению производной функции [latex] D (f) (a) = f ′ (a) [/ latex], где [latex] D [/ latex] – оператор, область определения которого является набором всех функций которые имеют производные в каждой точке их области определения и диапазон которых является набором функций.
Ключевые термины
- диапазон : набор значений (точек), которые функция может получить
- домен : набор всех возможных математических объектов (точек), в которых определена данная функция
Пусть [latex] f [/ latex] будет функцией, которая имеет производную в каждой точке [latex] a [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].Поскольку каждая точка [latex] a [/ latex] имеет производную, существует функция, которая отправляет точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] a [/ латекс]. Эта функция записывается [latex] f ‘(x) [/ latex] и называется производной функцией или производной от [latex] f [/ latex]. Производная [латекса] f [/ латекса] собирает все производные [латекса] f [/ латекса] во всех точках домена [латекс] f [/ латекс]. Визуально производная функции [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] представляет наклон кривой в точке [latex] x = a [/ latex].
Производная как наклон : Показанный наклон касательной представляет собой значение производной кривой функции в точке [латекс] x [/ латекс].
Иногда [latex] f [/ latex] имеет производную в большинстве, но не во всех точках своей области. Функция, значение которой в [latex] a [/ latex] равно [latex] f ‘(a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f’ (a) [/ latex] определено, а в другом месте не определено, также называется производной. [латекс] ф [/ латекс]. Это все еще функция, но ее домен строго меньше, чем домен [latex] f [/ latex].
Разрывная функция : В точке, где функция совершает скачок, производная функции не существует.
Используя эту идею, дифференцирование становится функцией функций: производная – это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон значений – набор функций. Если обозначить этот оператор как [latex] D [/ latex], то [latex] D (f) [/ latex] – это функция [latex] f ‘(x) [/ latex].Поскольку [latex] D (f) [/ latex] является функцией, ее можно оценить в точке [latex] a [/ latex]. По определению производной функции [латекс] D (f) (a) = f ‘(a) [/ latex].
Для сравнения рассмотрим функцию удвоения [латекс] f (x) = 2x [/ latex]; [latex] f [/ latex] – это функция действительного числа с действительным знаком, что означает, что оно принимает числа в качестве входных и имеет числа в качестве выходных:
[латекс] 1 \ rightarrow 2 [/ латекс]
[латекс] 2 \ rightarrow 4 [/ латекс]
[латекс] 3 \ rightarrow 6 [/ латекс].2 [/ латекс]
[latex] D [/ latex] выводит функцию удвоения,
[латекс] x \ rightarrow 2x [/ латекс]
, который является f (x) f (x). Затем эта функция вывода может быть вычислена, чтобы получить [latex] f (1) = 2f (1) = 2 [/ latex], [latex] f (2) = 4 [/ latex] и так далее.
Правила дифференциации
Правила дифференцирования могут упростить производные, устраняя необходимость в сложных расчетах пределов.
Цели обучения
Практика использования правил дифференциации для упрощения различения сложных выражений
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Дифференцирование с помощью полиномиального разложения может быть очень сложным и подверженным ошибкам.2} [/ латекс].
Ключевые термины
- коэффициент разности : разность функций [латекс] \ Delta F [/ latex], деленная на разность точек [латекс] \ Delta x [/ latex]: [latex] \ Delta F (x) / \ Delta x [ / латекс]
- полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов, каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень
Когда мы хотим различать сложные выражения, возможный способ дифференцировать выражение – это развернуть его и получить многочлен, а затем дифференцировать этот многочлен.Этот метод становится очень сложным и особенно подвержен ошибкам при выполнении расчетов вручную. Во многих случаях сложных расчетов пределов путем прямого применения разностного коэффициента Ньютона можно избежать, используя правила дифференцирования. Вот некоторые из самых основных правил.
Постоянное правило
Если [latex] f (x) [/ latex] является константой, то [latex] f ‘(x) = 0 [/ latex], поскольку скорость изменения константы всегда равна нулю.
Правило суммы
[латекс] (\ alpha f + \ beta g) ‘= \ alpha f’ + \ beta g ‘[/ latex]
для всех функций [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] и всех действительных чисел [latex] \ alpha [/ latex] и [latex] \ beta [/ latex].x [/ latex], как и константа 7, также использовались.
Производные тригонометрических функций
Производные тригонометрических функций можно найти с помощью стандартной формулы производной.
Цели обучения
Определите производные наиболее распространенных тригонометрических функций
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией.
- Производная функции косинуса является отрицательной величиной функции синуса.
- Производная касательной функции – это функция секущей в квадрате.
Ключевые термины
- секущая : прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках
Тригонометрические функции (также называемые круговыми функциями) являются функциями угла. Они используются, чтобы связать углы треугольника с длинами сторон треугольника. Тригонометрические функции важны при изучении треугольников и моделирования периодических явлений, среди многих других приложений.
Наиболее известные тригонометрические функции – это синус, косинус и тангенс. В контексте стандартной единичной окружности с радиусом 1, где треугольник образован лучом, исходящим из начала координат и составляющим некоторый угол с осью [латекс] x [/ латекс], синус угла дает длину [latex] y [/ latex] -компонент (подъем) треугольника, косинус дает длину [latex] x [/ latex] -компоненты (прогон), а функция тангенса дает наклон ([латекс] y [/ latex] -компонент, разделенный на [latex] x [/ latex] -компонент).
Имея это в виду, мы можем использовать определение производной для вычисления производных различных тригонометрических функций:
[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h}} [/ latex]
Например, если [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex], то:
[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x + h) – \ sin (x)} {h}} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + \ cos (h) \ cdot \ sin (x) – \ sin (x)} {h}} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + (\ cos (h) – 1) \ cdot \ sin ( x)} {h}} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h)} {h} + \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {(\ cos (h) – 1) \ cdot \ sin (x)} {h}} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x) (1) + \ sin (x) (0)} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x)} [/ латекс]
Синус и косинус : На этом изображении можно увидеть, что там, где касательная к одной кривой имеет нулевой наклон (производная этой кривой равна нулю), значение другой функции равно нулю.2 x} [/ латекс]
Правило цепочки
Цепное правило – это формула для вычисления производной композиции двух или более функций.
Цели обучения
Вычислить производную композиции функций, используя цепное правило
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в термины производных [латекса] ф [/ латекса] и [латекса] г [/ латекса].
- Правило цепочки может применяться последовательно для любого количества функций, вложенных друг в друга.
- Цепное правило для [латекса] f \ circ g (x) [/ latex]: [latex] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ frac {dg} {dx} [/ латекс].
Ключевые термины
- композит : функция функции
Цепное правило – это формула для вычисления производной композиции двух или более функций. То есть, если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в терминах производных [латекса] ф [/ латекса] и [латекса] г [/ латекса].
Например, следуя правилу цепочки для [latex] f \ circ g (x) = f [g (x)] [/ latex], получаем:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}} [/ latex]
Метод называется «цепным правилом», потому что его можно последовательно применять ко многим функциям, вложенным друг в друга. Например, если [latex] f [/ latex] является функцией [latex] g [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex] h [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex ] x [/ latex] – то есть [латекс] f (g (h (x))) [/ latex] – затем производная от [latex] f [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex ] составляет:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dh} \ cdot \ frac {dh} {dx}} [/ латекс]
Цепное правило имеет широкое применение в физике, химии и инженерии, а также для изучения связанных скоростей во многих других дисциплинах.2 [/ латекс]
Неявная дифференциация
Неявное дифференцирование использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.
Цели обучения
Используйте неявное дифференцирование, чтобы найти производные функций, которые не являются явно функциями [latex] x [/ latex]
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Поскольку y может быть задано как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], мы можем решите это для [latex] y [/ latex], а затем дифференцируйте.
- Неявная функция – это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.
- Теорема о неявной функции утверждает, что если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [латекс] (a , b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] а [/ латекс].
Ключевые термины
- неявно : подразумевается косвенно, без прямого выражения
Неявная функция – это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.
Если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [latex] (a, b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] a [/ latex]. Геометрически граф, определенный как [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], будет локально перекрываться с графиком некоторого уравнения [latex] y = f (x) [/ latex].
Для большинства неявных функций не существует формулы, определяющей их явно.2 + y = \ sin (x) [/ latex] является неявной функцией, потому что очень сложно получить формулу для [latex] y [/ latex] в терминах только [latex] x [/ latex]. Однако мы все еще можем найти производную от [latex] y [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex], используя неявное дифференцирование.
[латекс] \ displaystyle {2y \ cdot \ frac {dy} {dx} + \ frac {dy} {dx} = \ cos (x) = (2y + 1) \ frac {dy} {dx}} [/ латекс]
Следовательно:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {\ cos (x)} {2y + 1}} [/ latex]
Поскольку [латекс] y [/ latex] может быть задан как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex] , мы можем решить его для [latex] y [/ latex], а затем дифференцировать.Однако иногда проще дифференцировать [латекс] R (x, y) [/ латекс] относительно [латекса] x [/ латекса] и [латекса] y [/ латекса], а затем решать для [латекса] \ frac {dy} {dx} [/ латекс].
Например, учитывая выражение [латекс] y + x + 5 = 0 [/ latex], дифференциация урожайности:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} + \ frac {dx} {dx} + \ frac {d} {dx} 5 = \ frac {dy} {x} + 1 = 0} [/ латекс]. 2 [/ latex], где [latex] r [/ latex] – радиус круга.Вы можете использовать неявное дифференцирование, чтобы найти наклон касательной к окружности в точке [latex] (x, y) [/ latex]. Поскольку наклон касательной является производной в этой точке, мы находим производную неявно:
[латекс] \ displaystyle {2y \ frac {dy} {dx} + 2x \ frac {dx} {dx} = \ frac {dr} {dx} = 0} [/ латекс]
где [latex] \ frac {dr} {dx} [/ latex] равно [latex] 0 [/ latex], поскольку радиус постоянен. Затем вы можете найти формулу для [latex] \ frac {dy} {dx} [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {-2x} {2y} = \ frac {-x} {y}} [/ latex]
, и теперь вы можете найти наклон в любой точке [latex] (x, y) [/ latex].
Путь точки на окружности : Путь точки на окружности может быть выражен только как неявная функция.
Дифференциация и скорость изменений в естественных и социальных науках
Дифференциация, по сути, вычисление скорости изменения, важна во всех количественных науках.
Цели обучения
Приведите примеры дифференциации или скорости изменений, используемых в различных академических дисциплинах
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Дифференциация применима почти ко всем количественным дисциплинам, будь то естественные или социальные науки.
- Ученые-физики используют дифференциацию и скорость изменения для изучения того, как физическая концепция изменяется с течением времени или на расстоянии.
- Социологи используют дифференциацию и скорость, чтобы определить, как люди, товары и процессы меняются из-за изменения независимой переменной.
Ключевые термины
- дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью дифференциального исчисления
- импульс : (тела в движении) произведение его массы и скорости
- валовой внутренний продукт : мера экономического производства определенной территории в финансовом капитале за определенный период времени
Для данной функции [latex] y = f (x) [/ latex] дифференцирование – это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [ латекс] х [/ латекс].Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] относительно [латекса] x [/ латекса].
Скорость изменения – важное понятие во многих количественных исследованиях, и неудивительно, что дифференциация (представляющая скорость изменения) применима почти ко всем количественным дисциплинам. Например, в физике производная смещения движущегося тела по времени – это скорость тела, а производная скорости по времени – это ускорение.Второй закон движения Ньютона гласит, что производная количества движения тела равна силе, приложенной к телу. Скорость химической реакции является производной. При исследовании операций производные инструменты определяют наиболее эффективные способы транспортировки материалов и проектирования предприятий.
Производные часто используются для нахождения максимумов и минимумов функции. Уравнения, включающие производные, называются дифференциальными уравнениями и являются фундаментальными для описания природных явлений.Производные и их обобщения появляются во многих областях математики, таких как комплексный анализ, функциональный анализ, дифференциальная геометрия, теория меры и абстрактная алгебра.
Темпы изменений происходят во всех науках и во всех дисциплинах. Экономисты изучают скорость изменения валового внутреннего продукта, а социологи – скорость, с которой население голосует в определенной области. Геологи изучают скорость сдвига Земли и температурный градиент горных пород возле вулкана. Бухгалтеры изучают скорость изменения производства и поставок и то, как любое изменение может повлиять на затраты и прибыль.Городские инженеры изучают движение транспорта, чтобы спроектировать и построить более эффективные дороги и автострады.
В каждом аспекте жизни, в котором что-то меняется, дифференциация и скорость изменений являются важным аспектом в понимании мира и поиске способов его улучшить.
Связанные ставки
Проблемы связанных ставок связаны с нахождением скорости путем соотнесения этого количества с другими величинами, скорости изменения которых известны.
Цели обучения
Решить проблемы, используя связанные ставки (используя количество, ставка которого известна, чтобы найти скорость, с которой изменяется связанное количество)
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Поскольку наука и инженерия часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях.
- Поскольку задачи включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения правила цепочки.
- Процесс решения проблем связанных ставок: запишите все соответствующие формулы и информацию, возьмите производную от первичного уравнения по времени, решите для желаемой переменной, вставьте известную информацию и упростите.
Ключевые термины
- переменная : величина, которая может принимать любое из набора значений
Одно из полезных применений деривативов – это помощь при расчете соответствующих ставок.Что такое родственная ставка? В дифференциальном исчислении проблемы связанных скоростей включают нахождение скорости, с которой величина изменяется, путем соотнесения этой величины с другими величинами, скорости изменения которых известны. В большинстве случаев рассчитываемая соответствующая ставка является производной по некоторому значению. Мы вычисляем эту производную по скорости, с которой изменяется какая-то другая известная величина. Учитывая скорость, с которой что-то меняется, нас просят найти скорость, с которой изменяется значение, связанное с данной скоростью.
Скорость изменения обычно зависит от времени. Поскольку наука и инженерия часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях. Поскольку проблемы включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения цепного правила.
Процесс решения проблем связанных ставок:
1. Запишите все относящиеся к делу формулы и информацию.
2. Возьмем производную первичного уравнения по времени.
3. Найдите нужную переменную.
4. Вставьте известную информацию и упростите.
См. Блок-схему решения проблем связанных ставок.
Блок-схема решения проблем, связанных с нормой. : Проблемы со связанными расходами можно решать, применяя методический подход.
Предположим, вам дана следующая ситуация.
Сферический воздушный шар наполняется воздухом. Объем изменяется со скоростью 2 кубических фута в минуту.2} V ‘} [/ латекс]
Подключите известную информацию:
[латекс] \ displaystyle {r ‘= \ frac {1} {16 \ pi} 2 = \ frac {1} {8 \ pi}} [/ latex] фут / мин
Высшие производные
Производная уже дифференцированного выражения называется производной более высокого порядка.
Цели обучения
Вычисление высших (вторых, третьих и т. Д.) Производных функций
Ключевые выводы
Ключевые моменты
- Вторая производная или производная второго порядка – это производная производной функции.
- Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон исходной функции, двойная производная – это функция, представляющая наклон функции первой производной.
- Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации, например как скорость и ускорение.
Ключевые термины
- производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных
Вторая производная или производная второго порядка – это производная производной функции.Производная функции может обозначаться как [латекс] f ‘(x) [/ latex], а ее двойная (или «вторая») производная обозначается как [латекс] f’ ‘(x) [/ latex]. Это читается как «[латекс] f [/ латекс] двойное простое число от [латекс] x [/ латекс]» или «вторая производная от [латекса] f (x) [/ латекса]. «Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон функции, двойная производная – это функция, представляющая наклон функции первой производной.
Кроме того, третья производная является производной производной производной функции, которая может быть представлена как [латекс] f ” ‘(x) [/ latex].Это читается как «[латекс] f [/ латекс] тройное простое число [латекс] x [/ латекс]» или «третья производная от [латекса] f (x) [/ латекс].»). Это может продолжаться до тех пор, пока результирующая производная сама является дифференцируемой, с четвертой производной, пятой производной и так далее. Любая производная за пределами первой производной может называться производной более высокого порядка.
Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации.Вторая производная от [latex] x [/ latex] – это производная от [latex] x ‘(t) [/ latex], скорости и, по определению, ускорения объекта. Третья производная от [латекс] x [/ латекс] определяется как толчок, а четвертая производная определяется как толчок. Функция [latex] f [/ latex] не обязательно должна иметь производную – например, если она не является непрерывной. Точно так же, даже если [латекс] f [/ латекс] имеет производную, у него может не быть второй производной. См. Графическую иллюстрацию высших производных в физике.2 + 6x – 1 [/ латекс]
- [латекс] f ” (x) = 30x + 6 [/ латекс]
- [латекс] f ” ‘(x) = 30 [/ латекс]
- Распознать `u` (всегда выбирайте самое внутреннее выражение, обычно часть внутри скобок или под знаком квадратного корня).
- Затем нам нужно повторно выразить `y` через` u`.
Производные правила | Математическое исчисление
Производные правила и законы. Таблица производных функций.
Определение производной
Производная функции – это отношение разности значение функции f (x) в точках x + Δx и x с Δx, когда Δx бесконечно маленький. Производная – это наклон функции или наклон. касательной в точке x.
Вторая производная
Вторая производная дается по формуле:
Или просто выведите первую производную:
N-я производная
n -я производная вычисляется путем вычисления f (x) n раз.
Производная n равна производной от (n-1) производная:
f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] ‘
Пример:
Найдите четвертую производную от
.f ( x ) = 2 x 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ] ” ‘ = [10 x 4 ] ” ‘= [40 x 3 ]’ ‘= [120 x 2 ]’ = 240 x
Производная на графике функции
Производная функции – это наклон касательной прямой.
Производные правила
Правило суммы производных
Когда a и b являются константами.
( a f ( x ) + bg ( x ) ) ‘= a f’ ( x ) + bg ‘ ( x )
Пример:
Найти производную от:
3 x 2 + 4 x.
Согласно правилу сумм:
a = 3, b = 4
f ( x ) = x 2 , г ( x ) = x
f ‘ ( x ) = 2 x , г ‘ ( x ) = 1
(3 x 2 + 4 x ) ‘= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4
Правило производного продукта
( f ( x ) ∙ г ( x ) ) ‘= f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘ ( x )
Правило производного частного
Правило производной цепочки
f ( g ( x )) ‘= f’ ( г ( x )) ∙ г ‘ ( x )
Это правило можно лучше понять с помощью обозначения Лагранжа:
Функция линейного приближения
При малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f ‘(x 0 ):
f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ‘( x 0 ) ⋅Δ x
Таблица производных функций
Название функции Функция Производная f ( x )
f ‘( x ) Константа конст.
0
Линейный x
1
Мощность x a
a x a- 1
Экспоненциальная e x
e x
Экспоненциальная a x
a x ln a
Натуральный логарифм лин ( x )
Логарифм журнал b ( x )
Синус грех x
cos x
Косинус cos x
-sin x
Касательная коричневый x
Арксинус arcsin x
Арккосин arccos x
Арктангенс арктан x
Гиперболический синус sinh x
цвет x
Гиперболический косинус цвет x
sinh x
Гиперболический тангенс tanh x
Обратный гиперболический синус sinh -1 x
Обратный гиперболический косинус cosh -1 x
Обратный гиперболический тангенс tanh -1 x
Производные примеры
Пример # 1
f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8
f ‘ ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1
Пример # 2
f ( x ) = sin (3 x 2 )
При применении цепного правила:
f ‘ ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ] ‘= cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x
Тест второй производной
Когда первая производная функции равна нулю в точке x 0 .
f ‘( x 0 ) = 0
Тогда вторая производная в точке x 0 , f ” (x 0 ) может указывать на тип эта точка:
f ” ( x 0 )> 0
местный минимум f ” ( x 0 ) <0
местный максимум f ” ( x 0 ) = 0
неопределенный См. Также
7.Дифференцирующие полномочия функции
М. Борна
Функция функции
Если y является функцией u , а u является функция x , тогда мы говорим
“ y является функцией функции u “.
Пример 1
Рассмотрим функцию
y = (5 x + 7) 12 .
Если мы допустим u = 5 x + 7 (самое внутреннее выражение), то мы могли бы записать нашу исходную функцию как
y = u 12
Мы записали y как функцию от u , и, в свою очередь, u – это функция от x .
Это жизненно важная концепция дифференциации, поскольку многие из функций, с которыми мы встречаемся с этого момента, будут функциями функций, и нам нужно распознать их, чтобы правильно их различать.
Правило цепочки
Чтобы найти производную функции от функции, нам нужно использовать правило цепочки:
`(dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx)`
Значит, нам нужно