Производные функции примеры: Примеры решения производных с ответами - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Примеры производных | Математика

Производная функции.

Вычисление производных, урок и презентация по алгебре в 10 классе

Таблица производных простых функций

определение и примеры с решением

Решение производных

Формулы для первой производной функции

World Web Math: производные от многочленов

Производная постоянной (числа)

Самый быстрый словарь в мире: Vocabulary.com

единиц чтения: формулы производных финансовых инструментов | Бизнес-расчет

18.2 – Виртуальные функции и полиморфизм – Изучение C ++

Дифференциация – Чистая математика A-Level Версия

Дифференциация простых алгебраических выражений – Дифференциация – Высшая математическая версия

Примеры производных | Математика

Производная функции.

Вычисление производных, урок и презентация по алгебре в 10 классе

Таблица производных простых функций

определение и примеры с решением

Решение производных

Формулы для первой производной функции

World Web Math: производные от многочленов

Производная постоянной (числа)

Самый быстрый словарь в мире: Vocabulary.com

единиц чтения: формулы производных финансовых инструментов | Бизнес-расчет

18.2 – Виртуальные функции и полиморфизм – Изучение C ++

Дифференциация – Чистая математика A-Level Версия

Дифференциация простых алгебраических выражений – Дифференциация – Высшая математическая версия

Урок 1. Определение производной. Нахождение производной функции, используя определение.

Урок и презентация на тему: “Примеры нахождения производной. Правила дифференцирования”

«Замаскированные» константы

Сводка

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Строительные блоки

Производные правила: правило цепочки

Производные сложных функций

Урок 1. Определение производной. Нахождение производной функции, используя определение.

Урок и презентация на тему: “Примеры нахождения производной. Правила дифференцирования”

«Замаскированные» константы

Сводка

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Строительные блоки

Производные правила: правило цепочки

Производные сложных функций

Оставить комментарий Отменить ответ

Урок 2. Производная элементарной степенной функции.

Что будем изучать:

Вычисление производных – формулы дифференцирования

Примеров нахождения производной.

Правила дифференцирования.

Дифференцирование функции вида y=f(kx+m).

Примеры вычисления производной

Задачи для самостоятельного решения

Решение сложных производных

Примеры

Упражнения:

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Правило цепочки (нотация Лейбница)

Правило цепочки (с использованием простых обозначений)

Правило цепочки (прописью)

Пример

Урок 2. Производная элементарной степенной функции.

Что будем изучать:

Вычисление производных – формулы дифференцирования

Примеров нахождения производной.

Правила дифференцирования.

Дифференцирование функции вида y=f(kx+m).

Примеры вычисления производной

Задачи для самостоятельного решения

Решение сложных производных

Примеры

Упражнения:

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Правило цепочки (нотация Лейбница)

Правило цепочки (с использованием простых обозначений)

Правило цепочки (прописью)

Пример

Урок 3.

Урок 4. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования.

Задачи с производными

Подробнее о производных на страницах математического форума

Решение

Правило

Решение

Правило

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Урок 3.

Урок 4. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования.

Задачи с производными

Подробнее о производных на страницах математического форума

Решение

Правило

Решение

Правило

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Урок 5. Производная сложной степенной функции. Найти производную в точке х0.

Урок 5. Производная сложной степенной функции. Найти производную в точке х0.

Содержание

Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.

После разбора производной степени, производной суммы и разности, производной произведения, производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.

1) y=4x²cos(11-x²).

Данная функция представляет собой произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:

y’=(4x²)’· cos(11-x²)+(cos(11-x²))’·4x²=

первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:

=4·2x·cos(11-x²)+(-sin(11-x²))·(11-x²)’·4x²=8x·cos(11-x²)-sin(11-x²)·(-2x)·4x²=8x·cos(11-x²)+8x³sin(11-x²).

Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:

В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной). Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:

Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:

3) y=(lnx-tg7x)³

Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=

в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:

Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:

В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:

Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:

Это — пример производной частного:

свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:

Первый множитель, в свою очередь — сложная функция. Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:

Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:

Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:

Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):

Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:

Примеры производных для самопроверки:

Показать решение

Мини-курс. 11 видео уроков. – Math

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Что такое предел функции? Базовое понятие и определение предела функции. Как посчитать предел? Вычислить предел функции. Предел функции в точке. Найти предел функции. Неопределенность в математике. Что называют неопределенностью? Что избавиться от неопределенности? Неопределенность (0/0) – как ее раскрыть? Способы раскрытия неопределенности. Что такое лимит. Лимит функции. Как вычислить лимит функции. Что значит “стрелочка” в лимитах (пределах). Сопряженные множители. Как домножить на сопряженные множители. Как избавиться от иррациональности при раскрытии неопределенности? Как разложить многочлен на множители, чтобы избавиться от иррациональности и посчитать предел? Теория. Определение предела функции: Предел (лимит) это значение к которому стремится функция, когда х стремится к х0. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Пример 1: Вычислить предел функции.
Пример 2: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) разложением числителя и знаменателя на множители.
Пример 3: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) умножением на сопряженный множитель.
Пример 4: Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность (0/0) преобразовав выражение.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной. Приращение аргумента. Приращение функции. Нахождение производной функции, используя определение производной. Примеры с решениями.

Пример 1: Найти приращение функции.
Пример 2: Найти производную функции, используя ее определение.

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить у’ или f'(х)). Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Как брать производную от икс в степени n. Таблица производных. Производная элементарной степенной функции. Как правильно преобразовать функцию прежде чем брать производную. Свойства степени. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Производная суммы. Правила дифференцирования.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Производная суммы. Правила дифференцирования. Примеры с решениями.

Пример 1: Найти производную функции.
Пример 2: Найти производную функции в точке.

Алгебра 10, 11 класс. Высшая математика. Математический анализ. Производная функции. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования.

Сложная функция. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Правила дифференцирования. Производная сложной степенной функции. Найти производную функции в точке х0. Алгебра 10, 11 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением.

Пример 1: Найти производную функции.
Пример 2: Найти производную функции в точке.

Урок 6. Производные тригонометрических функций.

Высшая математика. Математический анализ. Правила дифференцирования. Производная. Производная тригонометрических функций. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

Пример 1: Найти производную суммы тригонометрических функций.
Пример 2: Найти производную произведения тригонометрических функций.
Пример 3: Найти производную частного тригонометрических функций.

Урок 7. Производная сложной тригонометрической функции.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной? Производная сложной функции. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
Пример 2: Найти производную косинуса трех икс под корнем.
Пример 3: Найти производную произведения.
Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
Пример 5: Найти производную частного.

Урок 8. Производные сложных тригонометрических функций в точке.

Правила дифференцирования. Производная. Производная сложных тригонометрических функций. Какая функция называется сложной?Производная сложной функции. Производная сложной тригонометрической функции в точке. Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.

Пример 1: Найти производную сложной тригонометрической функции.
Пример 2: Найти производную тангенса икс квадрат.
Пример 3: Найти производную произведения.
Пример 4: Найти производную тангенса в квадрате.
Пример 5: Найти косинус икс куб и косинус куб икс.

Урок 9. Производная показательной функции. Правила нахождения производных.

Производная показательной и сложной показательной функции. Алгебра 10, 11 класс. Какая функция называется показательной? Формулы для нахождения производной показательной функции. Что такое натуральный логарифм? Какой логарифм называется натуральным. Чему равно число е. Что является аргументом показательной функции. Правила нахождения производных. Правило суммы, произведения и частного для производных. Формулы для производных. Как взять производную показательной функции. Примеры с решением.

Пример 1: Найти производную показательной функции с экспонентой в основании.
Пример 2: Найти производную сложной показательной функции.
Пример 3: Производная произведения с показательной функцией.
Пример 4: Производная частного с показательной функцией.
Пример 4: Производная показательной функции с тангенсом.
Пример 5: Производная показательной функции у которой синус в основании.
Пример 6: Производная синуса у которого аргумент показательная функция.

Урок 10. Производная логарифма. Производная логарифмической функции.

Производная логарифмической функции. Производная сложной логарифмической функции. Производная частного. Производная произведения. Натуральный логарифм, десятичный логарифм. Производная логарифма. Число е. Производная натурального логарифма. Производная ln. Производная lg. Производная десятичного логарифма. Алгебра 10, 11 класс. Математический анализ. Мат анализ. Матан. Правила дифференцирования. Примеры с решением. Производная сложной функции. Производная от логарифма в степени. Производная ln в степени. Производная лн. Производная лг. Производная логарифма функции. Производная сложного логарифма. Производная логарифма сложной функции. Производная функция натурального логарифма. Сложная производная натурального логарифма. Производная логарифма примеры. Производная натурального логарифма сложной функции. Производная логарифм х. Производная натурального логарифма примеры. Производная логарифма формула. Производная натурального логарифма в степени. Производная от логарифма. Найти производную. Найти производную функции. Найти производную логарифма.

Полезные материалы:

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс.

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать: Вычисление производной (PDF)

1. Формулы дифференцирования.
2. Правила дифференцирования.
3. Дифференцирование функции вида y=f(kx+m).
4. Примеры.

Построим таблицу для нахождения производных и постараемся запомнить ее:

Ребята постарайтесь запомнить нашу таблицу, она может помочь вам при решении разных заданий.
Давайте выведем какую-нибудь формулу из таблицы:
Найдем производную 1/x
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1)Для фиксированного значения x, значение функции y=1/x

2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=
3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)=
4) Составим соотношение:
5)Найдем предел:

Найти производную функций и вычислить ее значения:
а) y= 5x-7, при x=2
б) y= x⁴, при x=5
в) y=sin(x), при x=0

Решение:
а) y’=5 в каждой точке, тогда y’(2)=2
б) y’=4x³, тогда y’(5)=4×5³=500
в) y’=cos(x), y’(0)=cos(0)=1

Запишем основные свойства дифференцирования, правила которыми мы будем пользоваться при нахождении производных.

а) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их сумма имеет производную в точке x, производная суммы равна сумме производных.

(f(x)+g(x))’=f’ (x)+g’ (x)

b) Если функции y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=f(k×x), имеет производную.

f’ (kx)=kf'(x)

c) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их произведение имеет производную в точке x.
(f(x)×g(x))’=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)

d) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их частное имеет производную в точке x.

Пример 1:
Найти производную функции y=x⁴+3x²+sin(x)
Решение:
Воспользуемся первым свойством – производная суммы равна сумме производных, так же воспользуемся и вторым свойством:

y’=(x⁴+3x²+sin(x) )’=(x⁴ )’+(3x⁴ )’+(sin(x) )’=4x³+6x+cos(x)
Ответ: y’=4x³+6x+cos(x)

Пример 2:
Найти производную функции y=cos(x) (x⁵+1)
Решение:
Воспользуемся третьим свойством:

y’=(cos(x) (x⁵+1))’=cos’ (x)(x⁵+1)+cos(x) (x⁵+1)’==-sin(x) (x⁵+1)+cos(x) (5x⁴ )==-x⁵ sin(x)-sin(x)+5x⁴ cos(x)

Ответ: y’=-x⁵ sin(x)-sin(x)+5x⁴ cos(x)

Пример 3:
Найти производную функции

Решение:
Воспользуемся четвертым свойством:

‘ (kx+m)

Пример 1:
Найти производную функции y=sin⁡(5x), y=-cos(10x)

Решение:
Воспользуемся нашим свойством:
y’=5sin(5x)
y’=-10(-sin(10x) )=10sin(10x)

Пример 2:
Найти производную функции

Пример 3:
Найти производную функции y=cos(3x-4)
Решение:
y’=-3sin(3x-4)

Пример 4:
Найти значение производной функции y=(5x-4)⁶ в точке x=1
Решение:
y’=5×6(5x-4)⁵=30(5x-4)⁵

y’ (2)=30(5×1-4)⁵=30(1)⁵=30
Ответ: y'(2)=30

Пример 5:
Вычислить скорость изменения функции y=(3x-2)⁷ в точке x=2
Решение:

Вспомним, что скорость изменения функции это другое название производной:
y’=7(3x-2)⁶
y’ (2)=7(3×2-2)⁶=7×4⁶=7×4096=28672
Ответ: скорость изменения функции в точке x=2 равна 28672

1)Найти производную функций и вычислить ее значения:

а) y= 3x+8, при x=5

б) y= 2x⁶, при x=2

в) y=3cos(x), при x=π/2

2) Найти производную функции y=x⁵+4x⁴+x³+7x+tg(x)

3) Найти производную функции y=ctg(x)(x^4+3x+5)

4) Найти производную функции y=(x²+7x-8)/(x^3-5x^2 )

5) Найти производную функции y=√(15-2x)

6) Найти производную функции y=tg(8x-5)

7) Вычислить скорость изменения функции y=(-6x-3)⁵ в точке x=-1

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину.

Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами.

Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x^c )’= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x² )’ = 2x
(x³)’ = 3x²
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x² – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x³ – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x² . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = – 1 / x²
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x^-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x^-1 )’ = -1x^-2 = – 1 / х²

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x^c )’ = – c / x^c+1
Пример:
( 1 / x² )’ = – 2 / x³

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х^-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х^1/2 )’ значит можно применить формулу из правила 5
( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

Правила дифференцирования существенно расширяют возможности практического нахождения производных. Однако наиболее мощным средством нахождения производных является правило дифференцирования сложных функций.

Рассмотрим функции

и . Тогда функция будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции будем использовать следующую теорему: если функция

дифференцируема по переменной , а функция дифференцируема по переменной , то сложная функция дифференцируема по переменной , причем её производная вычисляется по формуле: .

Функцию

называют основной функцией, a — «сложностью».

Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: .

При нахождении производных конкретных функций целесообразно принимать какое-либо выражение за

, чтобы прийти к одной из следующих формул дифференцирования сложных функций:

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример №11.5.

Найдите производную функции

Решение:

Функция

— сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

. Заменяя через придем к производной вида:

Ответ:

Пример №11.6.

Найдите производную функции

Решение:

Функция

— сложная функция. Обозначим и придем к тригонометрической функции .

Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

Ответ:

Пример №11.7.

Найдите производную функции

Решение:

Представим исходную функцию в виде степени:

. Обозначим и придем к функции .

Тогда

Ответ:

Пример №11.8.

Найдите производную функции

Решение:

Обозначим

и придем к функции .

Тогда

Видим, что

тоже сложная функция, обозначив , найдем её производную:

(здесь мы применили краткую запись решения).

Получили,что

Ответ:

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Для того чтобы понять определение производной рассмотрим следующий график функции.

Рис.1. Пример функции и ее производной.

Глядя на рисунок можно увидеть места, где функция растет быстрее, а где убывает. Например, с точки a до точки b график поднимается стремительнее, чем с точки b до точки c.

Если перенести точки с графика функции на новую систему координат таким образом, чтобы точки возрастания располагались выше по оси x, а точки убывания ниже оси x (соблюдая масштаб) и соединить эти точки, то получится новый график новой функции (нижний график на рис. 1). Данная функция и есть производная от основной функции. Данный график есть не что иное, как показатель скорости изменения функции. Другими словами, производная – показатель скорости изменения функции. На практике производные применяются для определения скорости изменения каких-нибудь процессов: физических, химических, экономических и т.д.

Если говорить более сложным языком, то производная – это предел, к которому стремится отношение приращения x к приращению y. В общем виде производная функция выглядит и определяется следующим образом:

Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием. 2+6x-72

На практике с решением производных сложных функций приходится сталкиваться значительно чаще, чем с простыми.

Правило определения производной сложной функции выглядит следующим образом:
(a(b))’=a’(b)*b’, где a-внешняя функция, b-внутренняя функция.

Рассмотрим пример

Необходимо найти производную функции F(x)=sin(3x-5)

Найти производную данной функции, воспользовавшись таблицей простых (элементарных) функций, не получится, так как под sin находится целое выражение, т.е. функция состоит из двух функций a=sin(x)(внешняя функция) и b=3x-5 (внутренняя функция).

Воспользуемся правилом определения производной сложной функции и получим:
F’(x)=(sin(3x-5))’=cos(3x-5)*(3x-5)’=3cos(3x-5).

заметка: деревянные окна (http://www.woodlan.ru/) и Продвижение товара и услуг в интернете недорого от частного специалиста подробнее на http://seoshnig.ru.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = xⁿ, формула для производной есть:

y = xⁿ => y’ = nx^n-1

пример: y = x³ y’ = 3x^3-1 = 3x²
y = x^-3 y’ = -3x^-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x¹ that:

если y = x тогда y’=1

y = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) …=>
y’ = f’₁(x) + f’₂(x) + f’₃(x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x² + x + 1 и g(x) = x⁵ + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x² + x + 1)’ + (x⁵ + 7)’ = 2x¹ + 1 + 0 + 5x⁴ + 0 = 5x⁴ + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y =

y’ =

f'(x)g(x) – f(x)g'(x)

g²(x)

y = ln x => y’ = ¹/_x

y = e^x => y’ = e^x

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = ¹/_cos²x

y = ctg x => y’ = –¹/_sin²x

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u).u’

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x²)
в этом случае u = x², f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x

y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x²).2x = 2.x.cos(x²)

1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций f(x) = f₁(x) + f₂(x), f₁(x) = 10x, f₂(x) = 4y для функции f₂(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f₂(x) есть x. Поэтому f’₂(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.

2) Вычислите производную f(x) =

ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x

10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x⁹ g'(x) = 0 – sin x = -sin x

f'(x) =

h'(x).g(x) – h(x).g'(x)

(g(x))²

f'(x) =

10x⁹(4.15 + cos x) – x¹⁰(-sin x)

(4.15 + cosx)²

x¹⁰sin x + 10(60 + cos x)x⁹

(60 + cosx)²

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу. Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций: f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x

Форум о производных

Это никогда не будет так просто, хотя и не так уж и много Сильнее.

Прежде чем перейти к самому общему случай, рассмотрим y = f ( x ) = x ². Как показано на рисунке, это самая основная парабола. Производная от f ( x ) все еще можно найти из базовой алгебры:

Это точно говорит нам, чего мы ожидаем; производная равна нулю при x = 0, имеет тот же знак, что и x , и становится круче (более отрицательное или положительное), поскольку x становится более отрицательным или положительный.

Интересный результат нахождения эта производная состоит в том, что наклон секущей линии является наклоном функция в середине интервала. Конкретно,

(На показанном рисунке x = -1 и h = 3, поэтому ( x + h /2) = +1/2.
Обратите внимание, что параболические функции – это только функций (кроме линейных или постоянных функций), для которых это всегда истинный.

Отсюда можно и нужно рассмотреть y = f ( x ) = x ⁿ для любое положительное целое число n .Есть много способов сделать это, с разной степенью формальности.

Для начала предположим, что для n положительное целое число, биномиальная теорема позволяет выразить f ( x + h) как

(В приведенном выше примере всегда будет не более n +1 ненулевые члены.) Тогда алгебра снова дает нам

Видно, что эта очень удобная форма воспроизводит приведенные выше результаты для n = 1, n = 2 и даже n = 0, что является case c = 1.
Приведенный выше результат может быть получен индуктивным методом с использованием правило продукта, но индуктивный шаг аналогичен тому, который позволяет расширение биномиальной теоремы на все положительные целые числа и добавляет немного к этой презентации.

Расширение из f ( x ) = x ⁿ произвольным многочленам (здесь будет рассматриваться только конечный порядок) нужно всего два простых, возможно, даже очевидных результата:

Производная суммы двух функций является суммой производные.
Производная функции, умноженная на константу, равна производная функции, умноженная на ту же константу.

В символах эти результаты

В приведенном выше примере c является константой, и дифференцируемость функции в желаемых точках.

Объединив все эти результаты, мы видим, что для коэффициенты a _k все константы,

Это часто видно в обозначениях суммирования как

Найдите производную по x следующего функции:

Решения к упражнениям | Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math

watko @ mit.edu

Последнее изменение: 28 августа 1998 г.

Производная любой константы (которая просто означает любое число) равна нулю.

Это достаточно легко запомнить, но если вы студент, изучающий в настоящее время исчисление, вам нужно запомнить множество различных форм, которые может принимать константа. Во-первых, давайте рассмотрим более очевидные случаи.

объявление

Найдите производную каждой функции.{\ prime} = 0 \)

Вы узнаете довольно много разных типов констант в математике. Сразу приходит в голову пара:

\ (е \ примерно 2,718 \)

\ (\ пи \ приблизительно 3,142 \)

Это известные, но есть и другие, с которыми вы наверняка работали. Рассмотрим \ (\ sqrt {2} \) или \ (\ ln \ left (5 \ right) \). Оба они являются константами (если вы не уверены, введите их в свой калькулятор – вы получите десятичный эквивалент), поэтому их производные также равны нулю.2 \) (график ниже), наклон может меняться от точки к точке, потому что график изогнут.

Но как выглядит функция, если это постоянная функция? Ниже представлен график \ (f (x) = 2,5 \).

Этот график представляет собой линию, поэтому наклон одинаков во всех точках. Далее это горизонтальная линия. Наклон любой горизонтальной линии равен нулю. Поскольку график любой постоянной функции представляет собой горизонтальную линию, подобную этой, производная всегда равна нулю.

объявление

Вероятно, у вас никогда не возникнет проблем с поиском производной константы, если она является частью полинома или другой функции.Но будьте осторожны, обращая внимание на различные формы, которые может принимать константа, поскольку профессора и учителя любят проверять, замечаете ли вы такие вещи. Кроме того, вы можете использовать эту простую идею, чтобы помочь вам запомнить концепцию производной как наклона в точке – то, с чем вы будете работать, даже когда производные намного сложнее.

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

diction способ, которым что-то выражается словами

пороговая функция функция, которая принимает значение 1, если заданная функция аргументов превышает заданный порог, и 0 в противном случае

частный фонд благотворительный фонд, который не получает значительную часть своей поддержки от общества

дисфункция (лекарство) любое нарушение функционирования органа или части тела или нарушение функционирования социальной группы

метрическая функция Функция топологического пространства, которая дает для любых двух точек в пространстве значение, равное расстоянию между ними

пристрастие к чему-либо

дисфункция любое нарушение в работе органа или части тела

различие различие между вещами как разными

круговая функция: функция угла, выраженная как отношение длины сторон прямоугольного треугольника, содержащего угол

словарь справочник, содержащий алфавитный список слов

функции организма Органический процесс, происходящий в организме

область функции (математика) набор значений независимой переменной, для которой определена функция

тригонометрическая функция функция угла, выраженная как отношение длин сторон прямоугольного треугольника, содержащего угол

отражение явление отбрасывания распространяющейся волны

функция что то используется для

прямое действие акция протеста со стороны профсоюзов или групп меньшинств для получения своих требований

ретрофлексия акт изгиба назад

за вычетом снятия части из целого

В этом разделе мы получим правила для производных, которые позволят нам находить формулы для производных, когда наша функция приходит к нам в виде формулы.Это очень алгебраический раздел, и вам нужно много попрактиковаться. Когда вы говорите кому-то, что изучали математику, это единственный навык, который они ожидают от вас. Здесь не так много глубокого смысла – это строго алгебраические правила.

Это простейшие правила – правила для основных функций. Мы не будем доказывать эти правила; мы просто воспользуемся ими. Но сначала давайте посмотрим на некоторые из них, чтобы понять, что они имеют смысл.

Найдите производную от y = f ( x ) = mx + b

Это линейная функция, поэтому ее график представляет собой отдельную касательную! Наклон касательной, производной, является наклоном прямой: f ′ ( x ) = м

Производная линейной функции – это ее наклон.

Найдите производную от f ( x ) = 135

Подумайте и об этом графически. График f ( x ) представляет собой горизонтальную линию. Значит, его наклон равен нулю. f ′ ( x ) = 0

Производная постоянной равна нулю.

Я просто скажу вам, что производная f ( x ) = x ³ равна f ′ ( x ) = 3 x ².Теперь подумайте о функции g ( x ) = 4 x ³. Какой будет его производная?

Подумайте, что это изменение означает для графика g – теперь он в 4 раза выше графика f . Если мы найдем наклон секущей линии, он будет [latex] \ frac {\ Delta g} {\ Delta x} = \ frac {4 \ Delta f} {\ Delta x} = 4 \ frac {\ Delta f } {\ Delta x} [/ латекс]; каждый наклон будет в 4 раза больше наклона секущей линии на графике f . x [/ latex]

Натуральный логарифм: [латекс] \ frac {d} {dx} (\ text {ln} x) = \ frac {1} {x} [/ latex]

Правило суммы, разности и постоянного кратного в сочетании с правилом мощности позволяет нам легко найти производную любого многочлена.т [/ латекс]

Будьте осторожны при нахождении производных с отрицательными показателями.

Это видео представляет собой еще один пример поиска производной функции, содержащей радикалы.

Стоимость производства x предметов составляет [латекс] \ sqrt x [/ латекс] сотен долларов.

Сколько стоит 100 предметов? 101 предмет? Какая стоимость 101-го предмета?

Для [latex] f (x) = \ sqrt x [/ latex] вычислите f ′ ( x ) и оцените f ′ при x = 100.{-1/2} [/ latex] итак [латекс] f \ prime (100) = \ frac {1} {2 \ sqrt {100}} = \ frac {1} {20} = [/ latex] сто долларов = 5 долларов США. 3 – 11) (x + 3) [/ latex]

Эта функция не является простой суммой или разностью многочленов.5 + 120x + 3) [/ латекс]

Эта функция не является простой суммой или разностью многочленов. Это произведение многочленов. Мы, , могли бы, как и раньше, просто умножить , чтобы найти производную – кто хочет стать волонтером? Никто?

Нам понадобится правило для нахождения производной продукта, чтобы нам не приходилось все умножать.

Является ли правило тем, на что мы надеемся, что мы можем просто взять производные от факторов и умножить их? К сожалению, нет – это неправильный ответ.2 [/ latex], что совершенно не соответствует правильному ответу.

Правила нахождения производных от произведений и частных немного сложны, но они избавляют нас от гораздо более сложной алгебры, с которой мы могли бы столкнуться, если бы попытались перемножить вещи. Они также позволяют нам иметь дело с продуктами, в которых множители не являются полиномами. 2 [/ latex].20 [/ латекс].

Мы могли бы записать это как произведение с 20 факторами и использовать правило произведения, или мы могли бы умножить. Но я не хочу этого делать, а вы?

Нам нужен более простой способ, правило, которое будет обрабатывать такую композицию. Цепное правило немного сложнее, но оно избавляет нас от гораздо более сложной алгебры умножения чего-то вроде этого. Он также будет обрабатывать композиции, в которых невозможно «размножить».”

«Цепное правило» – это наиболее частое место, где студенты делают ошибки. Отчасти причина в том, что к обозначениям нужно немного привыкнуть. Частично причина в том, что студенты часто забывают использовать его, когда им нужно. Когда следует использовать правило цепочки? Практически каждый раз вы берете производную.

Далее f и g являются дифференцируемыми функциями с [latex] y = f (u) [/ latex] и [latex] u = g (x) [/ latex]

[латекс] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ times \ frac {du} {dx} [/ latex]

Обратите внимание, что du s, кажется, отменяются.Это одно из преимуществ обозначений Лейбница; он может напоминать вам о том, как правила цепочки связаны друг с другом.

[латекс] е \ прайм (х) = е \ прайм (и) \ раз г \ прайм (г (х)) \ раз г \ прайм (х) [/ латекс]

Производная композиции – это) производная внешнего ВРЕМЕНИ производная того, что внутри.

Я пересказываю версию словами каждый раз, когда беру производную, особенно если функция сложная.2 + 5} [/ латекс].

Это не простая экспоненциальная функция; это композиция. Типичный калькулятор или компьютерный синтаксис могут помочь вам увидеть, что здесь «внутренняя» функция. Например, на калькуляторе TI при нажатии клавиши e ^x открываются круглые скобки: e ^x ^{2+ 5}. Здесь внутренняя часть – экспонента. Теперь мы можем использовать правило цепочки: мы хотим, чтобы производная внешнего ВРЕМЕНИ была производной того, что внутри.2 + 5}) (2x) [/ латекс]

В таблице приведены значения для f , f ′, g и g ′ в нескольких точках. Используйте эти значения, чтобы определить ( f ° g ) ( x ) и ( f ° g ) ′ ( x ) при x = −1 и 0.

(f ° g) (- 1) = f (g (–1)) = f (3) = 0 и (f ° g) (0) = f (g (0)) = f (1) = 1 .

( f ° g ) ′ (–1) = f ′ ( g (–1) ) .g ′ ( –1 ) = f ′ ( 3 ). (0) = (2) (0) = 0 и

( f ° g ) ′ (0) = f ′ ( g (0) ) .g ′ ( 0 ) = f ′ ( 1 ). (2) = (–1) (2) = –2.

Я позволю тебе сделать все остальное.

Теперь вы готовы взять производную от некоторых очень сложных функций.2)}) [/ латекс]

Уф!

В предыдущем уроке, посвященном указателям и ссылкам на базовый класс производных объектов, мы рассмотрели ряд примеров, в которых использование указателей или ссылок на базовый класс могло упростить код. Однако в каждом случае мы сталкивались с проблемой, заключающейся в том, что базовый указатель или ссылка могли вызывать только базовую версию функции, а не производную версию.

Вот простой пример такого поведения:

#include

class Base

{

public:

std :: string_view getName () const {return “Base”; }

};

class Производный: общедоступный Base

{

общедоступный:

std :: string_view getName () const {return “Derived”; }

};

int main ()

{

Производный производный;

Base & rBase {производная};

std :: cout << "rBase - это" << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

В этом примере выводится результат:

 rBase - это база

Поскольку rBase является базовой ссылкой, она вызывает Base :: getName (), даже если на самом деле ссылается на базовую часть производного объекта.

В этом уроке мы покажем, как решить эту проблему с помощью виртуальных функций.

Виртуальные функции и полиморфизм

Виртуальная функция – это особый тип функции, которая при вызове преобразуется в наиболее производную версию функции, которая существует между базовым и производным классами.Эта возможность известна как полиморфизм . Производная функция считается совпадающей, если она имеет ту же сигнатуру (имя, типы параметров и является ли она константой) и возвращаемый тип, что и базовая версия функции. Такие функции называются заменами .

Чтобы сделать функцию виртуальной, просто поместите ключевое слово «virtual» перед объявлением функции.

Вот пример выше с виртуальной функцией:

#include

class Base

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “Base”; } // обратите внимание на добавление виртуального ключевого слова

};

class Производный: общедоступный Base

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “Derived”; }

};

int main ()

{

Производный производный;

Base & rBase {производная};

std :: cout << "rBase - это" << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

В этом примере выводится результат:

 rBase является производным

Поскольку rBase является ссылкой на базовую часть производного объекта, при оценке rBase.getName () она обычно разрешается в Base :: getName (). Однако Base :: getName () является виртуальным, что говорит программе, что нужно пойти посмотреть и посмотреть, есть ли еще производные версии функции, доступные между Base и Derived.В этом случае он будет преобразован в Derived :: getName ()!

Давайте посмотрим на более сложный пример:

33 34

#include

class A

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

A & rBase {c};

std :: cout << "rBase - это" << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Как вы думаете, что будет выводить эта программа?

Давайте посмотрим, как это работает. Сначала мы создаем экземпляр объекта класса C. rBase – это ссылка A, которую мы установили для ссылки на часть A объекта C. Наконец, мы вызываем rBase.getName (). rBase.getName () оценивается как A :: getName (). Однако A :: getName () является виртуальным, поэтому компилятор вызовет наиболее производное соответствие между A и C.В данном случае это C :: getName (). Обратите внимание, что он не будет вызывать D :: getName (), потому что наш исходный объект был C, а не D, поэтому рассматриваются только функции между A и C.

В результате наша программа выводит:

 rBase - это C

Более сложный пример

Давайте еще раз посмотрим на пример с животными, с которым мы работали на предыдущем уроке. Вот исходный класс и тестовый код:

33 34

#include

class Animal

{

protected:

std :: string m_name;

// Мы делаем этот конструктор защищенным, потому что

// мы не хотим, чтобы люди создавали объекты Animal напрямую,

// но мы все же хотим, чтобы производные классы могли его использовать.

Животное (const std :: string & name)

: m_name {name}

{

}

public:

const std :: string & getName () const {return m_name; }

std :: string_view speak () const {return “???”; }

};

class Cat: public Animal

{

public:

Cat (const std :: string & name)

: Animal {name}

{

}

std :: string_view speak ( ) const {return “Мяу”; }

};

class Dog: public Animal

{

public:

Dog (const std :: string & name)

: Animal {name}

{

}

std :: string_view speak ( ) const {return “Гав”; }

};

отчет о недействительности (const Animal & animal)

{

std :: cout << animal.getName () << "говорит" << animal.speak () << '\ n';

}

int main ()

{

Кошка кошка {“Фред”};

Собака собака {“Гарбо”};

отчет (кот);

рапорт (собака);

возврат 0;

}

Это отпечатки:

 Фред говорит ???
Гарбо говорит ???

Вот эквивалентный класс с виртуальной функцией speak ():

33 34

#include

class Animal

{

protected:

std :: string m_name;

// Мы делаем этот конструктор защищенным, потому что

// мы не хотим, чтобы люди создавали объекты Animal напрямую,

// но мы все же хотим, чтобы производные классы могли его использовать.

Животное (const std :: string & name)

: m_name {name}

{

}

public:

const std :: string & getName () const {return m_name; }

виртуальный std :: string_view speak () const {return “???”; }

};

class Cat: public Animal

{

public:

Cat (const std :: string & name)

: Animal {name}

{

}

virtual std :: string_view speak () const {return “Мяу”; }

};

class Dog: public Animal

{

public:

Dog (const std :: string & name)

: Animal {name}

{

}

virtual std :: string_view Speech () const {return “Гав”; }

};

отчет о недействительности (const Animal & animal)

{

std :: cout << animal.getName () << "говорит" << animal.speak () << '\ n';

}

int main ()

{

Кошка кошка {“Фред”};

Собака собака {“Гарбо”};

отчет (кот);

рапорт (собака);

возврат 0;

}

Эта программа дает результат:

 Фред говорит Мяу
Гарбо говорит Гав

Работает!

Когда животное.Speak () программа отмечает, что Animal :: Speak () – это виртуальная функция. В случае, когда animal ссылается на часть Animal объекта Cat, программа просматривает все классы между Animal и Cat, чтобы увидеть, может ли она найти более производную функцию. В этом случае он находит Cat :: speak (). В случае, когда animal ссылается на часть Animal объекта Dog, программа разрешает вызов функции Dog :: Speak ().

Обратите внимание, что мы не делали Animal :: getName () виртуальным. Это связано с тем, что getName () никогда не переопределяется ни в одном из производных классов, поэтому в этом нет необходимости.

Точно так же следующий пример массива теперь работает должным образом:

Кот Фред {“Фред”};

Кот туманный {“Мисти”};

Кот Зеке {“Зик”};

Собачий гарбо {“Гарбо”};

Собачий болван {“Пуки”};

Собачий трюфель {“Трюфель”};

// Настройте массив указателей на животных и установите эти указатели на наши объекты Cat и Dog

Animal * animals [] {& fred, & garbo, & misty, & pooky, & truffle, & zeke};

для (const auto * animal: animals)

std :: cout << animal-> getName () << "говорит" << animal-> speak () << '\ n';

Что дает результат:

 Фред говорит Мяу
Гарбо говорит Гав
Мисти говорит Мяу
Пуки говорит Гав
Трюфель говорит Гав
Зик говорит Мяу

Несмотря на то, что в этих двух примерах используются только Cat и Dog, любые другие классы, производные от Animal, также будут работать с нашей функцией report () и массивом animal без дальнейших изменений! Это, пожалуй, самое большое преимущество виртуальных функций – возможность структурировать код таким образом, чтобы новые производные классы автоматически работали со старым кодом без изменений!

Предупреждение: сигнатура функции производного класса должна точно соответствовать сигнатуре виртуальной функции базового класса, чтобы можно было использовать функцию производного класса.Если функция производного класса имеет другие типы параметров, программа, скорее всего, все равно будет компилироваться нормально, но виртуальная функция не будет разрешена должным образом.

Использование виртуального ключевого слова

Если функция помечена как виртуальная, все соответствующие переопределения также считаются виртуальными, даже если они явно не отмечены как таковые. Однако наличие ключевого слова virtual в производных функциях не повредит и служит полезным напоминанием о том, что функция является виртуальной функцией, а не обычной.Следовательно, обычно рекомендуется использовать ключевое слово virtual для виртуализированных функций в производных классах, даже если это не является строго необходимым.

Типы возврата виртуальных функций

В нормальных условиях тип возвращаемого значения виртуальной функции и ее переопределение должны совпадать. Рассмотрим следующий пример:

class Base

{

public:

virtual int getValue () const {return 5; }

};

класс Производные: общедоступная база

{

общедоступная:

виртуальный двойной getValue () const {return 6.78; }

};

В этом случае Derived :: getValue () не считается переопределением соответствия для Base :: getValue (), и компиляция завершится ошибкой.

Не вызывать виртуальные функции из конструкторов или деструкторов

Вот еще одна проблема, которая часто улавливает ничего не подозревающих программистов. Вы не должны вызывать виртуальные функции из конструкторов или деструкторов. Почему?

Помните, что когда создается производный класс, сначала создается базовая часть.Если бы вы вызывали виртуальную функцию из базового конструктора, а производная часть класса еще даже не была создана, было бы невозможно вызвать производную версию функции, потому что нет производного объекта для работы производной функции. на. В C ++ вместо этого вызывается базовая версия.

Аналогичная проблема существует для деструкторов. Если вы вызываете виртуальную функцию в деструкторе базового класса, она всегда будет преобразовываться в версию функции базового класса, потому что производная часть класса уже будет уничтожена.

Лучшая практика

Никогда не вызывайте виртуальные функции из конструкторов или деструкторов.

Оборотная сторона виртуальных функций

Поскольку в большинстве случаев вы хотите, чтобы ваши функции были виртуальными, почему бы просто не сделать все функции виртуальными? Ответ в том, что это неэффективно – разрешение вызова виртуальной функции занимает больше времени, чем разрешение обычного. Кроме того, компилятор также должен выделить дополнительный указатель для каждого объекта класса, который имеет одну или несколько виртуальных функций.Мы поговорим об этом подробнее в будущих уроках этой главы.

Время викторины

1) Что печатают следующие программы? Это упражнение должно выполняться путем проверки, а не путем компиляции примеров с помощью вашего компилятора.

1а)

33 34

#include

class A

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

class C: public B

{

public:

// Примечание: здесь нет функции getName ()

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

A & rBase {c};

std :: cout << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Показать решение

B. rBase – это ссылка A, указывающая на объект C. Обычно rBase.getName () вызывает A :: getName (), но A :: getName () является виртуальным, поэтому вместо этого он вызывает наиболее производную функцию сопоставления между A и C. Это B :: getName (), которая печатает B

1б)

33 34

#include

class A

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

B & rBase {c}; // примечание: на этот раз rBase – это буква B

std :: cout << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Показать решение

C. Это довольно просто, поскольку C :: getName () является наиболее производным вызовом сопоставления между классами B и C.

1c)

33 34

#include

class A

{

public:

// примечание: нет виртуального ключевого слова

std :: string_view getName () const {return “A “; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

A & rBase {c};

std :: cout << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Показать решение

A. Поскольку A не является виртуальным, при вызове rBase.getName () вызывается A :: getName ().

1г)

33 34

#include

class A

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

// примечание: нет виртуального ключевого слова в B, C и D

std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

std :: string_view getName () const {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

B & rBase {c}; // примечание: на этот раз rBase – это буква B

std :: cout << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Показать решение

C. Несмотря на то, что B и C не отмечены как виртуальные функции, A :: getName () является виртуальным, а B :: getName () и C :: getName () переопределяются. Следовательно, B :: getName () и C :: getName () считаются неявно виртуальными, и поэтому вызов rBase.getName () преобразуется в C :: getName (), а не в B :: getName ().

1д)

33 34

#include

class A

{

public:

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

// Примечание: функции в B, C и D не являются константными.

виртуальный std :: string_view getName () {вернуть “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

A & rBase {c};

std :: cout << rBase.getName () << '\ n';

возврат 0;

}

Показать решение

A. Это немного сложнее. rBase – это ссылка A на объект C, поэтому rBase.getName () обычно вызывает A :: getName (). Но A :: getName () является виртуальным, поэтому он вызывает наиболее производную версию функции между A и C. И это A :: getName (). Поскольку B :: getName () и c :: getName () не являются константами, они не считаются переопределениями! Следовательно, эта программа печатает A.

1f)

33 34

#include

class A

{

public:

A () {std :: cout << getName (); } // обратите внимание на добавление конструктора

virtual std :: string_view getName () const {return “A”; }

};

класс B: общедоступный A

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “B”; }

};

класс C: общедоступный B

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “C”; }

};

класс D: общедоступный C

{

общедоступный:

виртуальный std :: string_view getName () const {return “D”; }

};

int main ()

{

C c;

возврат 0;

}

Показать решение

А.Еще один хитрый. Когда мы создаем объект C, сначала создается часть A. Когда для этого вызывается конструктор A, он вызывает виртуальную функцию getName (). Поскольку части B и C класса еще не настроены, это преобразуется в A :: getName ().

Дифференциация позволяет нам определить скорость изменения. Например, он позволяет нам найти скорость изменения скорости во времени (которая является ускорением).Это также позволяет нам найти скорость изменения x относительно y, которая на графике y относительно x является градиентом кривой. Существует ряд простых правил, которые позволяют легко различать многие функции.

Если y = некоторая функция от x (другими словами, если y равно выражению, содержащему числа и x), тогда производная от y (по x) записывается dy / dx, произносится как «ди у по ди. Икс” .

Различение x в степени чего-то

1) Если y = x ⁿ, dy / dx = nx ^n-1

2) Если y = kx ⁿ, dy / dx = nkx ^n-1 (где k – константа, другими словами число)

Следовательно, чтобы дифференцировать x в степени чего-либо, вы опускаете мощность перед x, а затем уменьшаете степень на единицу.

Примеры

Если y = x ⁴, dy / dx = 4x ³
Если y = 2x ⁴, dy / dx = 8x ³
Если y = x ⁵ + 2x ^-3, dy / dx = 5x ⁴ – 6x ^-4

Пример

Найдите производную от:

Выглядит сложно, но это не так. Уловка состоит в том, чтобы сначала упростить выражение: сделайте деление (каждый член в числителе разделите на 3x ^½.Получаем:
(1/3) x ^3/2 + (5/3) x ^½ – x ^-½ (по законам индексов).

Итак, дифференцируя по срокам: ½ x ^½ + (5/6) x ^-½ + ½x ^-3/2.

Обозначение

Есть несколько способов записать производную. По сути, все они одинаковы:

(1) Если y = x ², dy / dx = 2x
Это означает, что если y = x ², производная y по x равна 2x.

(2) d (x ²) = 2x
dx
Это говорит о том, что производная x ² по x равна 2x.

(3) Если f (x) = x ², f ‘(x) = 2x
Это означает, что f (x) = x ², производная f (x) равна 2x.

Нахождение градиента кривой

Формулу градиента кривой можно найти путем дифференцирования уравнения кривой.

Пример

Каков уклон кривой y = 2x ³ в точке (3,54)?
dy / dx = 6x ²
Когда x = 3, dy / dx = 6 × 9 = 54

Дифференциация используется в математике для вычисления скоростей изменения .

Например, в механике скорость изменения смещения (относительно времени) – это скорость. Скорость изменения скорости (относительно времени) – это ускорение.

Скорость изменения функции \ (f (x) \) по отношению к \ (x \) может быть найдена путем нахождения производной функции \ (f \ textquotesingle (x) \).

Для уравнения, начинающегося с \ (y = \), скорость изменения может быть найдена путем дифференцирования \ (y \) по отношению к \ (x \). В своей форме обозначений это записывается как \ (\ frac {{dy}} {{dx}} \).Это также известно как «нотация Лейбница».

Есть много способов, которыми можно задать вопрос, чтобы отличить вас:

Дифференцировать функцию …
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});";cachedBlocksArray[96927]=" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});";

( f ° g ) ( x )

( f ° g ) ′ ( x )