Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/класс
Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания “Останкино”?
Доброго вечера! Кто не спит? Поможете) Нужно найти производные функций:
ответы
Лови, Тут все довольно просто:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
ЕГЭ
9 класс
11 класс
Химия
похожие вопросы 5
В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309
Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону
(скорость измеряется в метрах в секунду).
В какой момент времени (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Почему сейчас школьники такие агрессивные ?
Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь
Новости10 классБезопасность
11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ.
Вариант 12. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…
18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
Новые производные функций Бесселя выведены с помощью языка Wolfram Language / Хабр
Почти через двести лет после того, как Бессель ввёл свои одноименные функции, были найдены выражения для их производных по параметрам, справедливые во всей комплексной плоскости
В этом блоге мы приведём и прокомментируем некоторые ранее неизвестные производные специальных функций (в первую очередь функций Бесселя и связанных с ними функций), а также коснёмся истории и текущего состояния дифференцирования по параметрам гипергеометрических и других функций. Одной из основных новых формул (более подробно ниже) является замкнутое выражение для первой производной одной из самых популярных специальных функций — функции Бесселя
Многие функции математической физики (то есть функции, которые часто используются и поэтому имеют специальные названия) зависят от нескольких переменных.
Один из них, как правило, называется аргументом, в то время как другие, как правило, называются параметрами или иногда индексами (значками). Эти специальные функции могут иметь любое количество параметров. Например (см. Wolfram Functions Site), функции Бесселя (z) и (z), Неймана (z), Макдональда (z), и Струве (z) и (z) имеют только один параметр (так называемый индекс), в то время как функции Уиттекера (z) и (z), а также вырожденные гипергеометрические функции (a;b;z) и U(a,b,z) имеют два параметра. Функции Aнгера (z) и (z), а также функции Вебера (z) и (z) могут иметь один или два параметра (в случае двух параметров они называются обобщенными функциями Ангера и Вебера). Функции Аппеля и Гумберта имеют от трех до пяти параметров, в то время как более сложные специальные функции, такие как обобщенная гипергеометрическая функция , могут иметь любое конечное количество параметров.
Среди других свойств, дифференцирование специальных функций играет существенную роль, так как производные характеризуют поведение функций при изменении этих переменных, и они также важны для изучения дифференциальных уравнений этих функций.
Как правило, дифференцирование специальной функции по ее аргументу не представляет существенных трудностей. Самая большая коллекция таких производных, включающая первую, вторую, символьную и даже дробного порядка для более чем 200 функций доступна в разделе “Differentiation” (Дифференцирование) на сайте Wolfram Functions (скажем, эта секция включает в себя выражения для 21 производной функции Бесселя (z)), или в книге Ю. А. Брычкова Handbook of Special Functions). Большинство этих формул также доступны непосредственно в языке Wolfram Language. Их можно получить с помощью новых функций MathematicalFunctionData и EntityValue.
Однако производные по параметрам (в отличие от аргумента) в общем случае вычислить гораздо сложнее. Примечательно, что приведённая выше формула, включающая производную первого порядка (относительно параметра ν) одной из наиболее часто встречающихся специальных функций математической физики, лишь недавно была найдена в замкнутом виде, и этот, может быть, удивительный факт говорит о сложности общей задачи.
Вычисление производных не всегда просто
Часто люди, даже хорошо знакомые с математическим анализом, склонны думать, что интегрировать трудно, а дифференцировать легко. Известна “народная” мудрость, гласящая, что “дифференцирование — дело техники, а интегрирование — это искусство”. Но это высказывание полностью справедливо только для элементарных функций, для которых дифференцирование приводит снова к элементарным функциям (или их комбинациям). Если же дифференцирование проводится по параметрам, оно, как правило, приводит к сложным функциям более общего класса.
Различие между дифференцированием по параметрам и дифференцированием по аргументу может быть проиллюстрировано на функции Бесселя J. Производная Бесселя J по ее аргументу z была известна в течение достаточно долгого времени и имеет относительно простой замкнутый вид:
Однако аналитическое вычисление её производной по параметру ν является более сложным.
Обобщенная гипергеометрическая функция и её производные играют существенную роль в решении различных задач теоретической и прикладной математики (см., например, статью L. U. Ancarani и G. Gasaneo относительно применения производных по параметрам в квантовой механике). Обобщенная гипергеометрическая функция порождает в качестве частных случаев многие из наиболее часто используемых элементарных функций (например, тригонометрические, гиперболические, логарифмические, и обратные тригонометрические функции), а также многие специальные функции, в том числе функции Бесселя, Струве, Кельвина, Ангера-Вебера, неполную гамма-функцию и интегральные функции (показательную, синус и косинус).
Интересно, что история функции (z) начинается почти ровно 200 лет назад. В докладах Берлинской академии за 1816-17 годы (опубликовано в 1819 г.), в работе Analytische Auflösung der Keplerschen Aufgabe, Фридрих Вильгельм Бессель рассматривает так называемое уравнение Кеплера M=E-e sin(E), где M — средняя аномалия, E — эксцентрическая аномалия, а e — эксцентриситет кеплеровской орбиты. Решение этого уравнения может быть представлено (в современной записи) через функции Бесселя целого порядка:
В этой первой работе Бессель ещё не использует современные обозначения, но его функция появляется уже в неявном виде. Например, он использует следующую сумму (обратите внимание, что Бессель использует обозначение Гаусса для
В наше время мы можем записать это выражение в виде суммы двух функций Бесселя на языке Wolfram Language следующим образом:
Эта сумма как раз и является первой производной функции Бесселя -2 a e (e i):
В своей следующей работе в 1824 г.
Бессель использует почти современные обозначения (замена J I) для обозначения своей функции:
Он также выводит фундаментальные соотношения для этой функции, такие как:
Различные специальные случаи общей функции Бесселя встречаются уже в трудах Бернулли, Эйлера, Даламбера и других (подробнее см. статью). Основным справочником по функциям Бесселя по сей день остается классическая монография Г. Н. Ватсона “Теория бесселевых функций”, которая была многократно переиздана и существенно дополнена по сравнению с первым изданием 1922 г.
Таким образом, в то время как производные функции Бесселя J относительно аргумента z были известны с начала девятнадцатого века, только к середине двадцатого века были найдены частные случаи для производных по индексу. Производные некоторых функций Бесселя по ν в точках ν=0,1,2,… и ν=1/2 были даны Дж. Р. Эйри в 1935 году, а выражения для других функций семейства Бесселя в этих точках — в книге В.
Магнуса, Ф. Бейтмена и Р. П. Сони “Формулы и теоремы для специальных функций математической физики“ (1966):
Обобщение на любые полуцелые значения ν было представлено на Международной конференции по абстрактному и прикладному анализу (Ханой, 2002) в следующем виде:
Эти результаты, наряду с выражениями для производных по параметру функций Струве в целых и полуцелых точках, были опубликованы в 2004-2005 гг. Различные новые формулы для дифференцирования по параметрам функций Ангера и Вебера, функций Кельвина, неполных гамма-функций, функции параболического цилиндра, функций Лежандра и Гаусса, обобщенных и вырожденных гипергеометрических функций можно найти в “Справочнике по специальным функциям: Производные, интегралы, ряды и другие формулы”. Краткий обзор и ссылы см. H. Cohl.
Вероятно, покажется удивительным, что при наличии всех этих результатов, первые производные функций Бесселя в замкнутом виде при произвольных значениях параметра были получены только в 2015 г.
(Ю. А. Брычков, ”Высшие производные функций Бесселя относительно индекса“, 2016 г.). Они выражаются в виде комбинаций произведений функций Бесселя и обобщенных гипергеометрических функций. Например:
Графики ниже дают некоторое представление о поведении функции Бесселя (z) и ее производной в областях, представляющих интерес. Во-первых, мы приводим (в действительной ν–z-плоскости) выражение для первой производной от (z) по ν (см. уравнение в начале статьи):
Для фиксированного индекса, а именно ν=π, мы приводим графики функции Бесселя вместе со своими первыми двумя производными (по аргументу и индексу):
Интересно отметить, что производные (по z и по ν) имеют почти совпадающие нули.
Как мы получили это?
Примечательно, что даже почти через 300 лет после введения классической функции (функция Бесселя (z) была введена Даниилом Бернулли в 1732 г.
), по-прежнему можно найти новые и относительно простые формулы, относящиеся к таким функциям. Фактически формулы для введенной выше производной (вместе с соответствующими результатами для производной , и функций Неймана, Макдональда и Кельвина) были получены с помощью языка Wolfram Language. Подробная информация о том, как искались эти производные опубликована здесь. В этом посте мы приведём лишь набросок одного из вариантов подхода, который может быть использован и для других специальных функций.
Во-первых, напомним, что функции Бесселя и другие, которыми мы сейчас интересуемся, являются функциями гипергеометрического типа; но дифференцирование по параметрам общей гипергеометрической функции одной переменной требует более сложных функций гипергеометрического типа более чем одной переменной (см. статью L. U. Ancarani и G. Gasaneo). Первая производная по отношению к “верхним” параметрам , и все производные символьного целого порядка m по отношению к “нижним” параметрам обобщенной гипергеометрической функции, могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции Кампе де Ферье двух переменных по следующим формулам:
Вышеуказанная гипергеометрическая функция Кампе де Ферье определяется двойным рядом (см.
здесь и здесь):
Функцию Кампе де Ферье можно рассматривать как обобщение гипергеометрической функции на две переменные:
Соответствующая регуляризованная версия функции также может быть определена путем замены произведения символов Похгаммера в знаменателе на .
Функция Кампе де Ферье может быть использована для представления производных функции Бесселя J по параметру:
Это выражение совпадает с простой формулой выше, которая включает в себя гипергеометрические функции одной переменной, хотя это сразу не очевидно (мы пока ещё не имеем полного набора формул для упрощения многомерных гипергеометрических функций до выражений, содержащих только одномерные гипергеометрические функции).
Двойные ряды, аналогичные приведенному выше определению обобщенной гипергеометрической функции двух переменных, также возникают при вычислении преобразования Меллина от произведений трех G-функций Мейера:
Правая часть этой формулы включает в себя G-функцию Мейера двух переменных, которая в общем (нелогарифмическом) случае может быть представлена в виде конечной суммы гипергеометрических функций Кампе де Ферье с некоторыми коэффициентами, по аналогии с двумя формулами (первая, вторая) для G-функции Мейера одной переменной.
Наконец, функция Кампе де Ферье также возникает при разделении действительной и мнимой частей гипергеометрических функций от одной переменной, z = x+iy, с действительными параметрами:
(вышеприведенная формула была выведена Э. Д. Крупниковым, но не опубликована).
Следует отметить, что в последние годы гипергеометрические функции многих переменных находят все большее число приложений в таких областях, как квантовая теории поля, химия, машиностроение, теория связи и радиолокации. Многие практические результаты могут быть представлены с использованием таких функций, и поэтому большинство основных результатов в этой области получены в прикладной научной литературе. Теория таких функций в теоретической математике до сих пор разработана относительно слабо.
Символьные производные в языке Wolfram Language
Автор этих новых и интересных формул с символьными производными, Юрий Брычков, является членом нашей команды, что позволяет нам довести эту постоянно развивающуюся область математики до внимания наших пользователей.
Нам также повезло, что в нашем распоряжении имеется новая функция системы Mathematica (языка Wolfram Language) — Entity, которая позволяет, помимо прочего, быстро (в течение нескольких недель или дней) представлять новые результаты в вычисляемом формате и на всех платформах, где используется язык Wolfram Language, нашим пользователям. Например, в системе Mathematica, можно вычислитьследующее выражение:
Тем самым мы получаем основную формулу этой статьи. Мы можем проверить формулу численно, подставив сначала символьные значения ν и z, и получив выражение:
Далее, мы отделяем левую и правую части и подставляем случайные значения для аргумента и параметра:
Численная производная от левой части вычисляется в языке Wolfram Language с помощью предельной процедуры. Равенство левой и правой частей, и, следовательно, правильность исходной формулы для производной очевидны.
Помимо множества новых результатов относительно символьных и параметрических производных, которые упоминались в этой статье и доступны только через EntityValue (хотя более глубокая интегрирация этого функционала в будущих версиях языка Wolfram Language требует постоянных усилий), большое количество результатов в этой области уже было имплементировано в ядро системы Mathematica и ядро языка Wolfram Language.
Такие производные по параметрам не вычисляются автоматически по причине их сложности, но их можно увидеть, используя команду FunctionExpand. Например:
Производные по индексу второго и более высокого порядка функций Бесселя и связанных с ними функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции Кампе де Ферье двух переменных , но полученные формулы могут быть довольно сложными, и могут включать в себя полиномы Белла Y:
Последнее выражение возникает из представления функции Бесселя (z) через композицию функции (;ν+1;w) и :
Мы используем формулу Фаа-ди-Бруно, которая позволяет получить выражение n-й производную композиции m функций . В случае m = 2 (см. здесь и здесь), мы получаем, например, выражение:
Соответствующая формула для общих m и n может быть получена и проверена в языке Wolfram Language:
В то время как многочлены Белла Y, для которых не существует общего замкнутого вида, как правило, необходимы для представления производных высшего порядка, один из авторов этого поста, Юрий Брычков, нашел способ устранить многочлены Y из n-х производных по параметру функций Бесселя, оставляя нас с замечательным результатом:
Для удобства заинтересованных пользователей, которые хотели бы видеть в одном месте все известные формулы для производных специальных функций по параметрам (в том числе те, которые перечислены выше), мы собрали и представили эти формулы следующими способами:
1.
В табличном формате (скачать здесь).
2. В формате ноутбука Mathematica (скачать здесь).
3. Подмножество формул, которые были известны до 2009, можно увидеть на сайте Wolfram Function Site в разделах “Дифференцирование” различных функций (например, см. эту страницу).
В нашем следующем посте мы дадим выражения замкнутого вида производных для коллекции из более 400 функций с общими правилами для производных символьного и дробного порядка. Мы надеемся, что вам понравится самостоятельно исследовать мир производны специальных функций с помощью языка Wolfram Language!
По вопросам о технологиях Wolfram пишите на [email protected]
AC Вторая производная
Мотивирующие вопросы
Как производная функции говорит нам, возрастает или убывает функция на интервале?
Что мы можем узнать, взяв производную от производной ( второй производной) функции \(f\text{?}\)
Что значит сказать, что функция вогнута вверх или вогнута вниз? Как эти характеристики связаны с некоторыми свойствами производной функции?
В каких единицах измеряется вторая производная? Как они помогают нам понять скорость изменения скорости изменения?
Для данной дифференцируемой функции \(y= f(x)\text{,}\) мы знаем, что ее производная \(y = f'(x)\text{,}\) является родственной функцией, выход которой \(x=a\) сообщает нам наклон касательной к \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text{.
}\) То есть высоты на графике производной сообщают нам значения наклонов на графике исходной функции.
В точке, где \(f'(x)\) положительно, наклон касательной к \(f\) положителен. Следовательно, на интервале, где \(f'(x)\) положительно, функция \(f\) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \(f'(x)\) отрицательно на интервале, график \(f\) убывает (или падает).
Производная от \(f\) говорит нам не только о том, возрастает или убывает функция \(f\) на интервале, но также о том, как функция \(f\) возрастает или убывает. Посмотрите на две касательные линии, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что вблизи точки \(A\) значение \(f'(x)\) положительно и относительно близко к нулю, а вблизи этой точки график медленно растет. Напротив, вблизи точки \(B\text{,}\) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \(f\) быстро убывает вблизи \(B\text{.}\)
Рисунок 1.6.1. Две касательные линии на графике.Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным, а также большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»
Поскольку производная \(y = f'(x)\text{,}\) сама по себе является функцией, мы можем взять ее производную — производную от производной — и спросить: «Что говорит производная от производной нам о том, как ведет себя исходная функция?» Начнем с исследования движущегося объекта.
Предварительный просмотр 1.6.1.
Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.2. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \((2,4)\) на графике указывает на то, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.
Рисунок 1.6.2. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.Обыденным языком опишите поведение автомобиля на указанном интервале времени. В частности, следует тщательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \([0,1]\text{,}\) \([1,2]\text{,}\) \([2,3 ]\text{,}\) \([3,4]\text{,}\) и \([4,5]\text{,}\) плюс общий комментарий о том, что машина делает на интервале \([0,12]\текст{.}\)
На левых осях, представленных на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \(y = s'(t)\text{.
}\)Что означает функция \(y = s'(t)\) в контексте данной задачи? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \(s'(t)\) положительно? когда \(s'(t)\) равно нулю? когда \(s'(t)\) отрицательно?
Переименуйте функцию, которую вы нарисовали в (b), так, чтобы она называлась \(y = v(t)\text{.}\) Опишите поведение \(v\) словами, используя такие фразы, как «\(v\) возрастает на интервале \(\ldots\)» и «\(v\) постоянно на интервале \(\ldots\text{.}\)»
Нарисуйте график функции \(y = v'(t)\) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \(v'(t)\) связано с графиком \(y=v(t)\text{.}\)
Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение
До сих пор мы интуитивно использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , для описания графика функции. Здесь мы определим эти термины более формально.
Определение 1.6.4.
Для данной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((a,b)\text{,}\), мы говорим, что \(f\) возрастает на \((a,b)\ ) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) if \(x \lt y\text{,} \) тогда \(f(x) \lt f(y)\text{.}\) Аналогично, мы говорим, что \(f\) убывает на \((a,b)\) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) если \(x \lt y\text{,}\), то \(f (x) \gt f(y)\text{.}\)
Проще говоря, возрастающая функция — это функция, возрастающая по мере движения слева направо по графику, а убывающая функция — функция, уменьшающаяся по мере увеличения входного значения. Если у функции есть производная, то знак производной говорит нам, является ли функция возрастающей или убывающей.
Пусть \(f\) — функция, дифференцируемая на отрезке \((a,b)\text{.}\) Можно показать, что если \(f'(x) > 0\) для каждый \(x\) такой, что \(a \lt x \lt b\text{,}\), то \(f\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) аналогично, если \(f'(x) \lt 0\) на \((a,b)\text{,}\), то \(f\) убывает на \((a,b)\text{.
}\)
Например, функция, изображенная на рис. 1.6.5, возрастает на всем интервале \(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) и убывает на интервале \(0 \lt x \lt 2\ text{.}\) Обратите внимание, что значение \(x = 0\) не включено ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция меняется с возрастающей на убывающую.
Рисунок 1.6.5. Функция, убывающая на промежутках \(-3 \lt x \lt -2\) и \(0 \lt x \lt 2\) и возрастающая на \(-2 \lt x \lt 0\) и \ (2 \lt x \lt 3\text{.}\)Подраздел 1.6.2 Вторая производная
Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \(f\) — это новая функция, заданная правилом
\begin{уравнение*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}
Поскольку \(f’\) сама по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \(y = [f'(x)]’\text{.}\ ) Назовем полученную функцию вторую производную от \(y = f(x)\text{,}\) и обозначим вторую производную через \(y = f”(x)\text{.
}\). Следовательно, иногда мы будем называть \(f’\) «первая производная» от \(f\text{,}\), а не просто «производная» от \(f\text{.}\)
Определение 1.6.6.
Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть
\begin{уравнение*} f”(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}
Смысл функции производной сохраняется, поэтому при вычислении \(y = f”(x)\text{,}\) эта новая функция измеряет наклоны касательных к кривой \(y = f'( x)\text{,}\), а также мгновенную скорость изменения \(y = f'(x)\text{.}\) Другими словами, точно так же, как первая производная измеряет скорость, с которой исходная функция изменяется, вторая производная измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная поможет нам понять, как меняется сама скорость изменения исходной функции.
Подраздел 1.6.3 Вогнутость
В дополнение к вопросу о том, возрастает или убывает функция, естественно также спросить о том, как функция возрастает или убывает.
Есть три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может возрастать все быстрее, она может увеличиваться с той же скоростью или она может увеличиваться медленнее. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, с естественным сравнением с линиями, которые вообще не изгибаются. Более того, мы хотим понять, как изгиб графика функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.
На самой левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. По мере того, как мы движемся слева направо, наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .
Для крайнего правого графика на рисунке 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \(x\) функция увеличивается, но наклоны касательных линий уменьшаются. Эта функция увеличивается с убывающей скоростью .
Аналогичные варианты относятся к уменьшению функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции предполагают отрицательный наклон. Отрицательные числа представляют интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\(-100\) больше, чем \(-2\текст{.}\)». Но мы должны помнить, что «больше чем» описывает, как числа лежат на числовой прямой: \(x \gt y\) при условии, что \(x\) лежит справа от \(y\text{.}\). Конечно, \(-100\) меньше, чем \(-2\text{ .}\) Неформально может быть полезно сказать, что «\(-100\) более отрицательно, чем \(-2\text{.}\)». Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся более отрицательными по мере вход увеличивается, функция должна быть убывающей.
Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, уменьшающуюся с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклоны этих линий становятся все менее и менее отрицательными по мере нашего движения слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя и отрицательные, увеличиваются, поэтому мы говорим, что самая левая кривая равна 9.0011 уменьшается с возрастающей скоростью .
Остается рассмотреть только крайнюю правую кривую на рис. 1.6.8. Для этой функции наклоны касательных линий отрицательны на всем изображенном интервале, но по мере движения слева направо наклоны становятся все более и более отрицательными. Следовательно, наклон кривой уменьшается, и мы говорим, что функция убывает с убывающей скоростью .
Теперь мы вводим понятие вогнутости , которое обеспечивает более простой язык для описания этих поведений.
x\text{,}\), мы говорим, что кривая 9{x}\text{,}\) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.
На рис. 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных линий к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклоны касательных линий увеличиваются по мере движения слева направо. Другими словами, функция \(f\) является вогнутой на показанном интервале, потому что ее производная \(f’\text{,}\) возрастает на этом интервале. Аналогично, на правом графике на рисунке 1.6.9, где показанная функция вогнута вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат выше кривой, а наклоны касательных линий уменьшаются по мере нашего движения слева направо. Тот факт, что его производная \(f’\text{,}\) убывает, делает \(f\) вогнутой вниз на интервале.
Рисунок 1.6.9. Слева — вогнутая вверх функция; справа, вогнутый вниз. Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально, поскольку определения терминов вогнуты вверх, и вогнуты вниз 9.
0012 .
Определение 1.6.10.
Пусть \(f\) — дифференцируемая функция на отрезке \((a,b)\text{.}\). Тогда \(f\) вогнута вверх на \((a,b)\), если и только если \(f’\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) \(f\) вогнут вниз на \((a,b)\) тогда и только тогда, когда \(f’\) убывает на \((a,b)\text{.}\)
Мероприятие 1.6.2.
Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.11. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \(y = v(t) = s'(t)\) и \(y = v'(t)\) в предварительном просмотре 1.6.1.
Рисунок 1.6.11. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.На каких интервалах функция положения \(y = s(t)\) возрастает? уменьшается? Почему?
На каких интервалах функция скорости \(y = v(t) = s'(t)\) возрастает? уменьшается? ни один? Почему?
Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость изменения скорости объекта.
Скажем, функция ускорения автомобиля называется \(a(t)\text{.}\) Как \(a(t)\) вычисляется из \(v(t)\text{?}\) Как \( a(t)\) вычисляется из \(s(t)\text{?}\) Объясните.Что вы можете сказать о \(s”\) всякий раз, когда \(s’\) возрастает? Почему?
Используя только слова возрастающее , убывающее , постоянное , вогнутое вверх , вогнутое вниз и линейное , завершите следующие предложения. Для функции положения \(s\) со скоростью \(v\) и ускорением \(a\text{,}\)
на интервале, где \(v\) положительно, \(s\) равно .
на интервале, где \(v\) отрицательно, \(s\) равно .
на интервале, где \(v\) равно нулю, \(s\) равно .
на интервале, где \(a\) положителен, \(v\) равен .
на интервале, где \(a\) отрицательно, \(v\) равно .
на интервале, где \(a\) равно нулю, \(v\) равно .
на интервале, где \(a\) положителен, \(s\) равен .
на интервале, где \(a\) отрицательно, \(s\) равно .
на интервале, где \(a\) равно нулю, \(s\) равно .
Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая и вторая производные связаны друг с другом. В упражнении 1.6.2 мы можем заменить \(s\text{,}\) \(v\text{,}\) и \(a\) на произвольную функцию \(f\) и ее производные \(f ‘\) и \(f”\text{,}\) и, по существу, все те же самые наблюдения. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \(f\) вогнут вверх, \(f’\) возрастает, а \(f”\) положителен. Точно так же на интервале, где график \(f\) вогнут вниз, \(f’\) убывает, а \(f”\) отрицательна.
Мероприятие 1.6.3.
Картофель помещают в печь, измеряют температуру картофеля \(F\) (в градусах по Фаренгейту) в различные моменты времени и записывают в следующую таблицу. Время \(t\) измеряется в минутах. В упражнении 1.
5.2 мы вычислили приближения к \(F'(30)\) и \(F'(60)\), используя центральные разности. Эти значения представлены во второй таблице ниже вместе с несколькими другими, рассчитанными таким же образом.
Таблица 1.6.12. Выберите значения \(F(t)\text{.}\)
| \(т\) | \(Ф(т)\) |
| \(0\) | \(70\) |
| \(15\) | \(180.5\) |
| \(30\) | \(251\) |
| \(45\) | \(296\) |
| \(60\) | \(324,5\) |
| \(75\) | \(342,8\) |
| \(90\) | \(354,5\) |
Таблица 1.6.13. Выберите значения \(F'(t)\text{.}\)
| \(т\) | \(Ф'(т)\) |
| \(0\) | нет данных |
| \(15\) | \(6.03\) |
| \(30\) | \(3,85\) |
| \(45\) | \(2,45\) |
| \(60\) | \(1,56\) |
| \(75\) | \(1. 00\) |
| \(90\) | нет данных |
В каких единицах выражены значения \(F'(t)\text{?}\)
Используйте центральную разность для оценки значения \(F”(30)\text{.}\)
Что означает значение \(F”(30)\), которое вы вычислили в (b), в зависимости от температуры картофеля? Напишите несколько аккуратных предложений, в которых с соответствующими единицами обсуждаются значения \(F(30)\text{,}\) \(F'(30)\text{,}\) и \(F”(30) \text{,}\) и объясните общее поведение температуры картофеля в этот момент времени.
В целом температура картофеля увеличивается с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с убывающей скоростью? Почему?
Мероприятие 1.6.4.
Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как набросать график \(f’\) по графику \(f\text{.}\)
На рисунке 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \(f\text{,}\), нарисуйте соответствующий график \(f’\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \(f” \) на втором наборе осей.
Кроме того, для каждого напишите несколько аккуратных предложений в духе предложений из упражнения 1.6.2, которые связывают поведение \(f\text{,}\) \(f’\text{,}\) и \(f ”\text{.}\) Например, напишите что-то вроде
\(f’\) находится на интервале , что связано с тем, что \(f\) находится на том же интервале , а \(f”\) находится на интервале.
, но, конечно, с заполненными пробелами. Всюду рассматривайте масштаб сетки для графика \(f\) как \(1 \times 1\text{,}\) и примите горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен графику для \(f\text{.}\) Если вам нужно настроить вертикальный масштаб по осям для графика \(f’\) или \(f ”\text{,}\) вы должны пометить это соответствующим образом.
Рисунок 1.6.14. Две заданные функции \(f\text{,}\) с осями для построения графиков \(f’\) и \(f”\) ниже.Подраздел 1.6.4 Резюме
Дифференцируемая функция \(f\) возрастает на отрезке, если ее первая производная положительна, и убывает, когда ее первая производная отрицательна.
Взяв производную от производной функции \(f\text{,}\), мы получим вторую производную, \(f”\text{.}\) Вторая производная измеряет мгновенную скорость изменения первой производной. Знак второй производной говорит нам, увеличивается или уменьшается наклон касательной к \(f\). 9х\текст{.}\)
Единицы второй производной — это «единицы выпуска на единицу ввода на единицу ввода». Они говорят нам, как значение производной функции изменяется в ответ на изменения входных данных. Другими словами, вторая производная сообщает нам скорость изменения скорости изменения исходной функции.
Упражнения 1.6.5 Упражнения
1. Сравнение значений \(f, f’, f”\).
Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную ниже.
Для этой функции следующие ненулевые величины положительны или отрицательны?
\(f(3)\) равно
положительный
отрицательный
\(f'(3)\) равно
положительный
отрицательный
\(f”(3)\) равно
положительный
отрицательный
(Поскольку это задача с несколькими вариантами ответов, она не покажет, какие части задачи верны, а какие нет, когда вы отправляете ее.
)
2. Знаки величин \(f, f’, f”\).
Ровно в двух отмеченных точках на рисунке ниже, который показывает функцию \(f\text{,}\), производная \(f’\) равна нулю; вторая производная \(f”\) не равна нулю ни в одной из отмеченных точек. Выберите правильные знаки для каждого из \(f\text{,}\) \(f’\) и \(f”\) в каждой отмеченной точке.
| Точка | А | Б | С | Д | Е |
| \(ж\) |
|
|
|
|
|
| \(ж’\) |
|
|
|
|
|
| \(ж”\) |
|
|
|
|
|
3.
Ускорение от скорости.Предположим, что разгоняющийся автомобиль разгоняется с 0 до 64,1 миль в час за пять секунд. Его скорость указана в следующей таблице в пересчете из миль в час в футы в секунду, так что все измерения времени даны в секундах. (Примечание: 1 миля в час равна 22/15 футам/сек.) Найдите среднее ускорение автомобиля в течение первых двух секунд.
| \(т\) (с) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(v(t)\) (фут/с) | 0,00 | 32,05 | 55,55 | 72,64 | 85,45 | 94.00 |
среднее ускорение за первую секунду =
среднее ускорение за вторую секунду =
4. Скорость изменения стоимости акций.
Пусть \(P(t)\) представляет собой цену акции корпорации в момент времени \(t\text{.}\) Что каждое из следующих утверждений говорит нам о знаках первого и второго производные от \(P(t)\text{?}\)
(a) Цена акции падает все медленнее и медленнее.
Первая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
Вторая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
(b) Цена акции близка к минимуму.
Первая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
Вторая производная \(P(t)\) равна
положительная
ноль
отрицательный
5. Интерпретация графика \(f’\).
График \(f’\) (, а не \(f\)) приведен ниже.
(Обратите внимание, что это график \(f’\text{,}\), а не график \(f\text{.}\))
При каком из отмеченных значений \(x\)
A. \(f(x)\) наибольшее? \(x =\)
B. \(f(x)\) наименьшее? \(x =\)
C.
\(f'(x)\) наибольшее? \(x =\)
D. \(f'(x)\) наименьшее? \(x =\)
E. \(f”(x)\) наибольшее? \(x =\)
F. \(f”(x)\) наименьшее? \(х =\)
6.
Предположим, что \(y = f(x)\) — дважды дифференцируемая функция такая, что \(f”\) непрерывна, для которой известна следующая информация: \(f(2) = -3\text{ ,}\) \(f'(2) = 1,5\текст{,}\) \(f”(2) = -0,25\текст{.}\)
Является ли \(f\) возрастающим или убывающим вблизи \(x = 2\text{?}\) Является ли \(f\) вогнутым вверх или вогнутым вниз вблизи \(x = 2\text{?}\)
Ожидаете ли вы, что \(f(2.1)\) будет больше, чем \(-3\text{,}\), равно \(-3\text{,}\) или меньше, чем \(-3\text {?}\) Почему?
Ожидаете ли вы, что \(f'(2.1)\) будет больше, чем \(1.5\text{,}\), равно \(1.5\text{,}\) или меньше, чем \(1.5\text{? }\) Почему?
Нарисуйте график \(y = f(x)\) вблизи \((2,f(2))\) и включите график касательной.
7.
Для некоторой функции \(y = g(x)\text{,}\) ее производная задается функцией, изображенной на рисунке 1.6.15.
Рисунок 1.6.15. График \(y = g'(x)\text{.}\)Каков приблизительный наклон касательной к \(y = g(x)\) в точке \((2, г(2))\текст{?}\)
Сколько вещественных решений может быть у уравнения \(g(x) = 0\text{?}\) Обоснуйте свой вывод полностью и тщательно, объяснив, что вы знаете о том, как график \(g\) должен вести себя на основе заданного графика \(g’\text{.}\)
Сколько раз на интервале \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) изменяется вогнутость \(g\)? Почему?
Используйте предоставленный график для оценки значения \(g”(2)\text{.}\)
8.
Высота банджи-джампера \(h\) (в футах) в момент времени \(t\) (в секундах) частично указана в таблице:
| \(т\) | \(0.0\) | \(0,5\) | \(1.0\) | \(1,5\) | \(2. 0\) | \(2,5\) | \(3.0\) | \(3,5\) | \(4.0\) | \(4,5\) | \(5.0\) |
| \(ч(т)\) | \(200\) | \(184.2\) | \(159.9\) | \(131.9\) | \(104.7\) | \(81.8\) | \(65,5\) | \(56.8\) | \(55,5\) | \(60.4\) | \(69.8\) |
| \(т\) | \(5,5\) | \(6.0\) | \(6,5\) | \(7.0\) | \(7,5\) | \(8.0\) | \(8,5\) | \(9.0\) | \(9,5\) | \(10.0\) |
| \(ч(т)\) | \(81.6\) | \(93,7\) | \(104.4\) | \(112.6\) | \(117.7\) | \(119.4\) | \(118.2\) | \(114.8\) | \(110.0\) | \(104.7\) |
Используйте полученные данные для оценки \(h'(4.5)\text{,}\) \(h'(5)\text{,}\) и \(h'(5.
5)\text{.} \) В какой момент времени банджи-джампер поднимается быстрее всего?Используйте данные и вашу работу в (а) для оценки \(h”(5)\text{.}\)
Какое физическое свойство банджи-джампера измеряет значение \(h”(5)\)? Каковы его единицы?
Исходя из данных, на каких примерных интервалах времени функция \(y = h(t)\) вогнута вниз? Что происходит со скоростью банджи-джампера в эти промежутки времени?
9.
Для каждой последующей подсказки нарисуйте возможный график функции на интервале \(-3 \lt x \lt 3\), который удовлетворяет указанным свойствам.
\(y = f(x)\) такое, что \(f\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \lt 0\text{,}\) и вогнут вниз на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)
\(y = g(x)\) такое, что \(g\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вниз на \(-3 \lt x \ lt 0\text{,}\) и вогнут на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)
\(y = h(x)\) такое, что \(h\) убывает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \ lt -1\text{,}\) не вогнут вверх и не вогнут вниз на \(-1 \lt x \lt 1\text{,}\) и не вогнут вниз на \(1 \lt x \lt 3\text{ .
}\)\(y = p(x)\) такое, что \(p\) убывает и вогнуто вниз на \(-3 \lt x \lt 0\) и возрастает и вогнуто вниз на \(0 \lt x \lt 3\текст{.}\)
Производные функции — Amazon Timestream
Производные используются для расчета скорости изменения заданной метрики и могут быть используется для активной реакции на событие. Например, предположим, что вы вычисляете производная загрузки ЦП инстансов EC2 за последние 5 минут, и вы обратите внимание на значительную положительную производную. Это может свидетельствовать о повышенном спросе. на вашу рабочую нагрузку, поэтому вы можете решить развернуть больше инстансов EC2, чтобы лучше справиться со своей нагрузкой.
Amazon Timestream поддерживает два варианта производных функций. Эта секция предоставляет информацию об использовании производных функций Timestream, а также пример запросы.
Информация об использовании
| Функция | Тип выходных данных | Описание |
|---|---|---|
| таймсерия | Вычисляет производную каждой точки в |
| таймсерия | То же, что и |
Примеры запросов
Найдите скорость изменения загрузки ЦП каждые 5 минут в течение за последний 1 час:
SELECT DERIVATIVE_LINEAR(CREATE_TIME_SERIES(time, Measure_value::double), 5m) КАК результат ИЗ «sampleDB».