Высшая математика Т2
Высшая математика Т2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ВВЕДЕНИЕ § 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества § 1.2. Операции над множествами § 1.3. Символика математической логики § 1.4. Действительные числа § 1.5. Определение равенства и неравенства § 1.6. Определение арифметических действий 1.6.1. Общие соображения 1.6.2. Стабилизирующиеся последовательности 1.6.3. Определение арифметических действий § 1.7. Основные свойства действительных чисел § 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа § 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество § 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Глава 2. Предел последовательности § 2.1. Понятие предела последовательности § 2.  2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины § 2.4. Неопределенные выражения § 2.5. Монотонные последовательности § 2.6. Число e § 2.7. Принцип вложенных отрезков § 2.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса § 2.10. Верхний и нижний пределы § 2.11. Условие Коши сходимости последовательности § 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел Глава 3. Функция. Предел функции § 3.1. Функция 3.1.1. Функция от одной переменной. 3.1.2. Функции многих переменных. 3.1.3. Полярная система координат § 3.2. Предел функции § 3.3. Непрерывность функции § 3.4. Разрывы первого и второго рода § 3.5. Функции, непрерывные на отрезке § 3.6. Обратная непрерывная функция § 3.7. Равномерная непрерывность функции § 3.8. Элементарные функции § 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность Глава 4.  Дифференциальное исчисление функций одной переменной§ 4.1. Производная § 4.2. Геометрический смысл производной § 4.3. Производные элементарных функций § 4.4. Производная сложной функции § 4.5. Производная обратной функции § 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) § 4.7. Дифференциал функции 4.7.1. Дифференцируемые функции 4.7.2. Дифференциал функции 4.7.3. Приближенное выражение приращения функции § 4.8. Другое определение касательной § 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка § 4.11 Дифференцирование параметрически заданных функций § 4.12. Теоремы о среднем значении § 4.13. Раскрытие неопределенностей § 4.14. Формула Тейлора § 4.15. Ряд Тейлора § 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций § 4.17. Локальный экстремум функции § 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке § 4.19. Выпуклость кривой.  Точка перегиба§ 4.20. Асимптота графика функции § 4.21. Непрерывная и гладкая кривая § 4.22. Схема построения графика функции § 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали § 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов § 5.2. Методы интегрирования § 5.3. Комплексные числа § 5.4. Теория многочлена n-й степени § 5.5. Действительный многочлен n-й степени § 5.6. Интегрирование рациональных выражений § 5.7. Интегрирование иррациональных функций Глава 6. Определенный Интеграл § 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение § 6.2. Свойства определенных интегралов § 6.3. Интеграл как функция верхнего предела § 6.4. Формула Ньютона – Лейбница § 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме § 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла § 6.8. Несобственные интегралы § 6.  9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов § 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках Глава 7. Приложения интегралов. Приближенные методы § 7.1. Площадь в полярных координатах § 7.2. Объем тела вращения § 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги § 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента § 7.5. Площадь поверхности вращения § 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций § 7.8. Формула Симпсона Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 8.1. Предварительные сведения § 8.2. Предел функции § 8.3. Непрерывная функция § 8.4. Частные производные и производная по направлению § 8.5. Дифференцируемые функции § 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях § 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала § 8.  8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент8.8.2. Производная по направлению 8.8.3. Градиент функции 8.8.4. Однородные функции § 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка § 8.10. Формула Тейлора § 8.11. Замкнутое множество § 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве § 8.13. Экстремумы § 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции § 8.15. Теорема существования неявной функции § 8.16. Касательная плоскость и нормаль § 8.17. Системы функций, заданных неявно § 8.18. Отображения § 8.19. Условный (относительный) экстремум Глава 9. Ряды § 9.1. Понятие ряда § 9.2. Несобственный интеграл и ряд § 9.4. Ряды с неотрицательными членами § 9.5. Ряд Лейбница § 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды § 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами § 9.8. Последовательности и ряды функций.  Равномерная сходимость§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов § 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов § 9.11. Степенные ряды § 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов § 9.13. Функции exp(z), sinz, cosz от комплексного переменного § 9.14. Ряды в приближенных вычислениях § 9.15. Понятие кратного ряда |
Интегрирование по частям, формулы и примеры решений
Содержание:
- Объяснение
- Примеры решения интегралов данным методом
Рассмотрим функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$, которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
$d(u v)=u d v+v d u$
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$
Полученное равенство перепишем в виде:
$\int u d v=u v-\int v d u$
Эта формула называется формулой интегрирования по частям
{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$2)$\int P_{n}(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_{n}(x) \arccos x d x$ ; $\int P_{n}(x) \ln x d x$
Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в качестве $u$ оставшиеся сомножители.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \ln x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$$\int \ln x d x\left\|\begin{array}{l} u=\ln x \quad d v=d x \\ d u=\frac{d x}{x} \quad v=x \end{array} \quad\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=$$
$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \arcsin x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции
$u$ и
$v$, затем выполним интегрирование по частям.
{2 x+1} \sin x}{5}+C$
Больше примеров решений Решение интегралов онлайн
Читать дальше: простейшие дроби.
Дифференцирование и интегрирование – формулы, примеры, различия
Дифференцирование и интегрирование являются важными ветвями исчисления, и формулы дифференцирования и интегрирования дополняют друг друга. Интегрируя производную функции, мы получаем в результате исходную функцию. Простыми словами, интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию, поэтому интеграл еще называют первообразной. Дифференциация используется для разбиения функции на части, а интеграция используется для объединения этих частей в исходную функцию. Геометрически формула дифференцирования и интегрирования используется для нахождения наклона кривой и площади под кривой соответственно.
Далее в этой статье мы рассмотрим правила дифференцирования и интегрирования, формулы и разницу между ними. Мы также решим несколько примеров на основе дифференциации и интеграции для лучшего понимания концепции.
| 1. | Что такое дифференциация и интеграция? |
| 2. | Формулы дифференцирования и интегрирования |
| 3. | Правила дифференциации и интеграции |
| 4. | Разница в дифференциации и интеграции |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о дифференциации и интеграции |
Что такое дифференциация и интеграция?
Дифференцирование и интегрирование — это области исчисления, в которых мы определяем производную и интеграл функции. Дифференцирование — это процесс нахождения отношения небольшого изменения одной величины к малому изменению другой, зависящему от первой величины. С другой стороны, процесс нахождения площади под кривой функции называется интегрированием. Мы можем найти дифференцирование и интегрирование функции при определенных значениях и в определенном диапазоне конечных пределов.
Интеграция функции, которая выполняется в определенных и конечных пределах, называется определенной интеграцией.
Основная формула для дифференцирования и интегрирования функции f(x) в точке x = a определяется выражением,
- Дифференцирование: f'(a) = lim h→0 [f (а+ч) – f(ч)]/ч
- Интегрирование: ∫f(x) dx = F(x) + C
Далее, в следующем разделе мы рассмотрим часто используемые формулы дифференцирования и интегрирования.
Формулы дифференцирования и интегрирования
Дифференцирование функции f(x) дает f'(x), которая является производной от f(x), а дальнейшее интегрирование f'(x) возвращает исходную функцию f(x). Также иногда обратный процесс интегрирования не может генерировать постоянные члены исходной функции, и поэтому к результатам интегрирования добавляется константа «C». В этом разделе мы рассмотрим различные наиболее часто используемые дифференцирования и формулы интегрирования для алгебраических функций, постоянной функции, показательной функции, логарифмической функции и тригонометрических функций.
| Дифференциация | Интеграция |
|---|---|
| d(x n )/dx = nx n-1 | ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C, n ≠ -1 |
| d(K)/dx = 0 | ∫К дх = Кх + С |
| d(e x )/dx = e x | ∫e x dx = e x + C |
| d(a x )/dx = a x log a | ∫a x dx = a x /log a + C |
| d(ln x)/dx = 1/x | ∫(1/x) dx = ln x + C |
| d(log a x)/dx = 1/(x ln a) | ∫log a x dx = x log a x – x/ln a |
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, формулы дифференцирования и интегрирования
Далее мы суммируем все тригонометрические формулы дифференцирования и интегрирования в таблице ниже.
У нас есть шесть основных тригонометрических функций — sin x, cos x, tan x, cot x, sec x и cosec x. Также откроем формулы дифференцирования и интегрирования обратных тригонометрических функций – sin -1 x, cos -1 x, tg -1 x, ctg -1 x, sec -1 х, а cosec -1 х. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических функций дополняют друг друга.
| Дифференциация | Интеграция |
|---|---|
| d(sin x)/dx = cos x | ∫sin x dx = -cos x + C |
| d(cos x)/dx = -sin x | ∫cos x dx = sin x + C |
| d(tan x)/dx = сек 2 x | ∫tan x dx = (1/a) ln |sec x| + С |
| d(cot x)/dx = -cosec 2 x | ∫cot x dx = (1/a) ln |sin x| + С |
| d(сек x)/dx = сек x тангенс x | ∫sec x dx = (1/a) ln |sec x + tan x| + С |
| d(cosec x)/dx = -cosec x cot x | ∫cosec x dx = (1/a) ln |cosec x – ctg x| + С |
| d(sin -1 x)/dx = 1/√(1 – x 2 ) | ∫sin -1 x dx = x sin -1 x + √(1 – x 2 ) + C |
| d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 – x 2 ) | ∫cos -1 x dx = x sin -1 x – √(1 – x 2 ) + C |
| d(tan -1 x)/dx = 1/(1 + x 2 ) | ∫tan -1 x dx = x tan -1 x – (1/2) ln(1 + x 2 ) + C |
| d(кроватка -1 x)/dx = -1/(1 + x 2 ) | ∫кроватка -1 х дх = х кроватка -1 х + (1/2) ln(1 + х 2 ) + С |
| d(сек -1 x)/dx = 1/x√(x 2 – 1) | ∫сек -1 x dx = x сек -1 x – ln(|x| + √(x 2 – 1)) + C |
| d(cosec -1 x)/dx = -1/x√(x 2 – 1) | ∫cosec -1 x dx = x sec -1 x + ln(|x| + √(x 2 – 1)) + C |
Правила дифференциации и интеграции
Далее мы рассмотрим некоторые важные и часто используемые правила дифференцирования и интегрирования.
Правилами, которые используются для дифференциации комбинаций функций, являются правило произведения, частное правило и цепное правило. Точно так же мы используем различные правила интегрирования функций, такие как основная теорема исчисления, и обычно используемые методы интегрирования, а именно метод подстановки, интегрирование по частям, интегрирование по неполным дробям и т. д. Ниже приведены правила дифференцирования и интегрирование и их формулы: 9б\) f(x)dx
Разница в дифференциации и интеграции
Теперь, когда мы поняли концепцию дифференциации и интеграции, давайте теперь поймем различия между дифференциацией и интеграцией. В приведенной ниже таблице показаны их различия и важные свойства дифференциации и интеграции.
Дифференциация VS Интеграция
| Дифференциация | Интеграция |
|---|---|
Дифференциация – это процесс определения скорости изменения количества по отношению к другому количеству. | Интеграция — это процесс объединения более мелких компонентов в единое целое, которое действует как один компонент. |
| Дифференцирование используется для нахождения наклона функции в точке. | Интегрирование используется для нахождения площади под кривой интегрируемой функции. |
| Производные считаются в точке. | Определенные интегралы функций рассматриваются на отрезке. |
| Дифференциация функции уникальна. | Интегрирование функции может быть неоднозначным, так как значение константы интегрирования C произвольно. |
Дифференциация и сходство интеграции
Далее мы рассмотрим некоторые общие свойства и сходства дифференциации и интеграции. Сходства и общие формулы, которым удовлетворяют как дифференцирование, так и интегрирование:
- Они удовлетворяют свойству линейности, то есть d(f(x) ± g(x))/dx = d(f(x)) /dx ± d(g(x))/dx и ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
- Дифференциация и интеграция — процессы, противоположные друг другу.
- Они удовлетворяют свойству скалярного умножения, то есть d(kf(x))/dx = kd(f(x))/dx и ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx
Важные замечания по дифференциации и интеграции:
- Дифференциация и интеграция являются обратными процессами друг друга. Следовательно, при интегрировании производной функции мы получаем в качестве результата исходную функцию вместе с константой интегрирования.
- Дифференциация дает небольшую скорость изменения количества. С другой стороны, интегрирование дает значение в непрерывных пределах и описывает кумулятивный эффект функции.
☛ Похожие темы:
- Дифференциальные уравнения
- Производные сложных функций
- Интеграция сек x тангенс x
Часто задаваемые вопросы о дифференциации и интеграции
Что такое дифференцирование и интегрирование в исчислении?
Дифференцирование и интегрирование являются важными разделами исчисления, а формулы дифференцирования и интегрирования дополняют друг друга.
Дифференцирование — это процесс нахождения отношения небольшого изменения одной величины к малому изменению другой, зависящему от первой величины. С другой стороны, процесс нахождения площади под кривой функции называется интегрированием.
Какая связь между дифференциацией и интеграцией?
Дифференциация и интеграция являются процессами, обратными друг другу. При интегрировании производной функции в результате мы получаем исходную функцию, поэтому интеграл также называют первообразной. геометрически дифференцирование дает наклон функции, тогда как интегрирование дает площадь под кривой функции.
Как дифференциация и интеграция являются обратными процессами?
Когда мы интегрируем производную функции, мы получаем исходную функцию. Также интеграл функции называется ее первообразной. Основная теорема исчисления устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием и показывает, как они являются процессами, обратными друг другу.
Почему дифференцирование и интегрирование являются линейными преобразованиями?
Дифференциация и интегрирование являются линейными преобразованиями, поскольку они удовлетворяют следующим свойствам:
- d(f(x) ± g(x))/dx = d(f(x))/dx ± d(g(x))/dx и ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
- d(kf(x))/dx = kd(f(x))/dx и ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx
Каковы различия и сходства между дифференциацией и интеграцией?
Некоторые из общих различий и сходств между дифференциацией и интеграцией:
- Дифференциация — это процесс определения скорости изменения количества по отношению к другой величине, а Интеграция — это процесс сведения меньших компонентов в единую единицу, которая действует как один компонент.
- Они оба удовлетворяют свойству линейности.
- Производные рассматриваются в точке, а определенные интегралы функций рассматриваются на интервале.
реальный анализ – Производные интегралов: вывод компонентов доказательства
Я думаю, что путаница возникает из-за часто используемого злоупотребления обозначениями в исчислении, а именно из-за неправильного использования свободных и связанных переменных.
Здесь мы имеем дело с операциями над функциями. Строго говоря, функции — это вещи, которые принимают объекты и выводят объекты. В формальной теории, такой как ZF, их можно определить как наборы упорядоченных пар, для которых не существует двух пар, равных по первому элементу, но различающихся по второму. 92$, что теперь неоднозначно, поскольку $x$ теперь является свободной переменной и может быть просто числом, но это нормально, поскольку люди обычно понимают, что подразумевается под такой записью (а именно, что эта переменная на самом деле связана, а не свободна).
Производные следуют аналогичному соглашению. Под $\frac{df(x)}{dx}$ понимается функция $x \mapsto \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h) – f(x) }{h} $.
Однако это небольшое злоупотребление выходит за рамки. А именно используются бессмысленные выражения, такие как $\frac{df}{dx}$, где теперь у нас есть две свободные переменные, которые не имеют никакой связи, и требуется полное знание контекста, чтобы понять, что имел в виду автор такой ерунды. Что еще больше сбивает с толку, так это использование одних и тех же символов в качестве функций и чисел в разных контекстах, с такими абсурдами, как $x=x(y)$, $y=y(x)$, $\frac{dy}{dx }$, где всего одно предложение назад мы могли использовать $x$ и $y$ как фиксированные числа, функции и фиктивные переменные. 9\простой(х)$.
Теперь, зная все это, давайте займемся вашим делом.
По глупости $\frac{\partial g(t, a(t), b(t))}{\partial t} = \frac{\partial g}{ \partial t} + \frac{\ частичное g}{ \partial a} \frac{da}{dt} +\frac{\partial g}{\partial b} \frac{db}{dt}$ и особенно последний член $\frac{\partial g}{ \partial b} \frac{db}{dt}$, что вас беспокоит, мы имеем в виду следующее.
Под $\frac{\partial g}{ \partial b}$ мы подразумеваем взять функцию $g$, сформировать ее частную производную по третьей компоненте (номер аргумента – это единственное, что вам нужно для того, чтобы возьмем частную производную, все $x$ и $t$ – это просто дурацкие манекены), а именно $\partial_3 g$, теперь наложим это на функцию $b$, следовательно, $(x_0, x_1, x_2) \mapsto (\partial_3 g) (x_0, x_1, b(x_2))$. 9x f(y, t) dy = f(x,t)$$
Итак, теперь нам нужно составить нашу карту с функцией $b$, и мы получаем, что карта
$$(t,a,x ) \mapsto f(b(x), t)$$
Если вы оцениваете это как $(t,t,t)$ (теперь $t$ здесь свободно), это будет $f(b(t), т)$. Важно понимать, что эти переменные связаны (если вы еще не вычисляли функцию в какой-то момент) и не имеют значения сами по себе.
Итак, да, это стандартная фундаментальная теорема исчисления, здесь нет никаких хитростей, просто обозначения неоднозначны и сбивают с толку.
Кроме того, хотя это чрезвычайно утомительно, вы также можете использовать более общую абстрактную запись для цепного правила $D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g $, и избегайте любого злоупотребления связанными переменными, постоянно вводя новые функции, когда это уместно, формируя композиции $\circ$ и используя нотацию $\mapsto$, которая позволяет избежать двусмысленности.