Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ § 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ § 2. АРИФМЕТИКА § 3. ГЕОМЕТРИЯ § 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ § 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ § 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН § 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА § 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ § 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Глава II. АНАЛИЗ § 2. ФУНКЦИЯ Графики функций. § 3. ПРЕДЕЛ § 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ Примеры вычисления производных. Производная суммы. Производная произведения. Производная частного. Производная обратной функции. Таблица производных. Нахождение производной функции от функции. § 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Отыскание наибольших и наименьших значений функции. Производные высших порядков. Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость. Признаки максимумов и минимумов.  Исследование графиков функций.§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Теорема о среднем и примеры ее применения. § 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Формула Тейлора. § 10. ИНТЕГРАЛ Определенный интеграл. Связь дифференциального и интегрального исчисления. § 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Неявное задание функции. Геометрическое изображение. Частные производные и дифференциал. Дифференцирование неявных функций. Задачи на максимум и минимум. Формула Тейлора. Относительный максимум и минимум. § 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА Контурные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. § 16. РЯДЫ Сходимость ряда. Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды. Степенные ряды. Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости. Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии.  2.§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА § 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Уравнение эллипса и его фокальное свойство. Законы движения планет. Эллипс инерции. Гипербола и ее фокальное свойство. Парабола и ее директрисса. Свойство касательной к параболе. Директриссы эллипса и гиперболы. Конические сечения. Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности. Формулы преобразования координат. Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов. § 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей. Алгебра векторов. Скалярное произведение и его свойства. § 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ Уравнение плоскости и уравнения прямой. Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.  Эллипсоид. Гиперболоиды и конус 2-го порядка. Параболоиды. § 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ Эллипс как результат «сжатия» окружности. Пример решения более сложной задачи. Важнейшие применения аффинных преобразований Формулы аффинных преобразований. Ортогональные преобразования. § 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ § 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке. Проективная плоскость. Проективные отображения; основная теорема. Проективная геометрия. Запись проективных преобразований формулами. § 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА Проективные преобразования круга в себя. Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ) § 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Разложение многочлена на множители и формулы Виета. Теорема о симметрических многочленах. Работы Лагранжа. Открытие Абеля. Теория Галуа. Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.  Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа. § 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теория комплексных чисел. Поверхность модуля многочлена. О возрастании модуля многочлена при удалении от начала. Существование минимумов поверхности M. Лемма Даламбера. Простые и кратные корни многочлена. Теорема Ролля и некоторые ее следствия. Правило знаков Декарта. Теорема Штурма. Задача Гурвица. § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ |
Производная e x 2x 3. Производная e в степени x и показательной функции
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной
как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и
точно определённые правила дифференцирования.
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т.
е.
Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
| 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто | |
2. Производная независимой переменной. Чаще всего “икса”. Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго | |
| 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. | |
| 4. Производная переменной в степени -1 | |
| 5. Производная квадратного корня | |
| 6. Производная синуса | |
| 7. Производная косинуса | |
| 8. Производная тангенса | |
| 9. Производная котангенса | |
| 10. Производная арксинуса | |
| 11. Производная арккосинуса | |
| 12. Производная арктангенса | |
| 13. Производная арккотангенса | |
| 14. Производная натурального логарифма | |
| 15. Производная логарифмической функции | |
| 16. Производная экспоненты | |
| 17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
1. Производная суммы или разности | |
| 2. Производная произведения | |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
| 3. Производная частного | |
| 4. Производная сложной функции |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u “v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений.
Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.
Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.
Пошаговые примеры – как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль.
Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную “икса”. Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2.
Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение.
В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:- Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Производные простых функций
1. Производная от числа равна нулюс´ = 0
Пример:
5´ = 0
Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента.
Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной равна единице
x´ = 1
Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .
Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу.
Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.
6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2
7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3
8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9.
nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2) .
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3) .
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам.
Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7) .
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса – sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin
x)′ = cos
x
.
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы .
Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и ,
то
(4) .
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку .
При ,
.
Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2
x
и y = sin 3
x
.
Пример 1
Найти производную от sin 2x .
Решение
Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .
Ответ
(sin 2x)′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2
x
.
Решение
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Ответ
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3
x
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить ,
то эта формула примет вид (5).
Формула доказана.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) .
Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t .
Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций.
Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис .
За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
основных производных | Superprof
Что такое производная?
Производная функции – это мгновенная скорость изменения функции в определенной точке. Процесс вычисления производной известен как дифференцирование. Нахождение производных – одна из фундаментальных концепций исчисления, особенно его подветви дифференциального исчисления.
Противоположность производной известна как антипроизводная. Поскольку интеграл и первообразные функций тесно связаны, мы часто используем эти термины как синонимы. Процесс вычисления интеграла функции известен как интегрирование. Интеграция обратна дифференцированию. Другими словами, мы можем сказать, что производная функции — это скорость изменения значения y функции по отношению к переменной x.
Существует более одного метода математического представления производной функции.
Производная может быть обозначена в дробной форме следующим образом:
или .
В качестве альтернативы вы можете обозначить производную следующим образом:
Производную функции можно вычислить с помощью приведенной ниже предельной формулы:
Мы можем найти несколько производных одной и той же функции. Когда мы вычисляем производную функции, она известна как первая производная. Аналогично, при дальнейшем дифференцировании первой производной мы получаем вторую производную, при дальнейшем дифференцировании второй производной мы получаем третью производную и так далее. Вторые и третьи производные функций также известны как производные высшего порядка.
В этой статье мы увидим некоторые основные производные правила и формулы или правила дифференцирования. Эти правила просты, и вы можете их запомнить, так как они будут полезны при вычислении производных функций. Иногда, когда функции сложные, мы одновременно используем несколько производных правил.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Производная константы
Производная константы равна нулю. Например, рассмотрим функцию , где m — константа. Производная этой функции будет обозначаться или и равна нулю.
Производная x
Производная переменной равна 1. Например, функция имеет производную, равную 1. Это может быть обозначено следующим образом:
Производная константы Кратное
Если константа умножается на функцию, то общий вид ее производной задается следующим образом.
Здесь k — константа, а u — функция
Пример
Найдите производную функции
Решение
Используя приведенное выше правило, мы можем дифференцировать эту функцию следующим образом:
Поскольку производная переменной равна 1, следовательно, производная функции равна . Это может быть представлено математически как:
Производная линейной функции
Производная линейной функции равна ее наклону.
Линейная функция может быть записана в общем виде, в форме точки наклона и в форме пересечения наклона. Форма пересечения наклона линейной функции . Здесь m — наклон линии, переменная, а b — постоянная функции. Любая функция, записанная в форме пересечения наклона, имеет производную, равную . Рассмотрим следующий пример:
Найдите производную функции
Поскольку приведенная выше функция представлена в форме пересечения наклона, следовательно, наклон приведенной выше функции равен 7. Производная функции также равна ее наклону и может быть записана следующим образом:
Степенное правило
Формула для нахождения производной экспоненциальной функции приведена ниже:
Рассмотрим следующий пример, чтобы узнать, как найти производную степенной функции.
Пример
Найдите производную функции
Решение
Мы можем использовать два основных правила производных, дифференцируя приведённую выше функцию.
Во-первых, поскольку функция умножается на константу 4, следовательно, мы можем записать функцию как произведение 4 и так:
Теперь нам нужно найти производную, потому что, когда константа умножается на функцию, мы найти производную функции и умножить на нее константу.
Примените здесь правило степени производной, чтобы найти производную от .
Упрощение вышеуказанной производной функции даст нам следующее:
Производная квадратного корня
Формула для поиска производной квадратного корня приведена ниже:
Пример 1
Найдите производную функции
Решение
Узнайте, как отличить указанную выше функцию, выполнив следующие действия.
Шаг 1 – Сначала найдите производную члена внутри функции квадратного корня. Внутри квадратного корня нам дана переменная . Производная переменной равна 1.
Шаг 2 – Подстановка значения функции и ее производной в формулу даст нам следующую производную функции:
Пример 2
Найти производную функции
Решение
Опять же, нам нужно решить эту функцию пошагово.
Шаг 1 – Найдите производную члена внутри функции квадратного корня. Находя производную константы, умноженной на функцию, мы можем переписать функцию как:
Нам нужно найти производную функции и умножить ее на константу. Поскольку производная переменной равна 1, значит, производная указанной выше функции равна 2.
Шаг 2 – Подставить значение производной и исходной функции в формулу.
Мы всегда должны писать ответ в максимально упрощенной форме. Поскольку в приведенной выше функции 2 является общим числом как в числителе, так и в знаменателе, мы сократим эту константу и запишем ответ как: выражается математически как:
Рассмотрим следующий пример, чтобы узнать, как использовать приведенное выше правило взаимности для нахождения производной функции.
Пример
Найдите производную функции .
Решение
Выполните следующие действия, чтобы найти производную приведенной выше функции.
Шаг 1 – Сначала найдите производную члена в знаменателе. можно записать как произведение константы и показателя степени следующим образом:
Производная равна 2x, поэтому производная равна 4x.
Шаг 2 – Возьмите квадрат знаменателя. Имеем в знаменателе. Квадрат даст нам .
Шаг 3 – Подставьте значения из шагов 1 и 2 в формулу производной обратной функции, чтобы получить производную всей функции.
Окончательный ответ запишем в упрощенной форме, так как члены в числителе и знаменателе могут делиться друг на друга.
Производная корня
Итак, мы научились находить производную функции квадратного корня. Теперь мы увидим, как узнать производную корневой функции. Общая формула, используемая для вычисления производной корневой функции, приведена ниже:
Пример 1
Найдите производную функции .
Решение
Выполните следующие действия, чтобы найти производную приведенной выше корневой функции.
Шаг 1 – Найдите производную члена внутри корневой функции. В приведенном выше примере член внутри корневой функции равен , следовательно, производная функции равна 1.
Шаг 2 – См. значение k в приведенной выше функции. Значение k равно 3.
Шаг 3 — Найти. В приведенной выше функции . Поэтому будем писать как.
Шаг 4 – Подставьте значения k , u ‘и в формулу, чтобы получить производную функции.
Мы запишем приведенную выше производную функцию в ее наиболее упрощенной форме следующим образом:
Пример 2
Найдите производную функции
Решение
Выполните следующие шаги, чтобы найти производную приведенной выше корневой функции .
Шаг 1 – Найдите производную члена внутри корневой функции. В приведенном выше примере член внутри корневой функции равен , следовательно, производная функции равна 1.
Шаг 2 – См. значение k в приведенной выше функции. Значение k равно 5.
Шаг 3 — Найти. В приведенной выше функции . Поэтому будем писать как.
Шаг 4 – Подставьте значения k , u ‘ и в формулу, чтобы получить производную функции.
Мы запишем приведенную выше производную функцию в ее наиболее упрощенной форме следующим образом:
Сумма или разность
Производная суммы или разности вычисляется следующим образом:
Пример 1
Найдите производную функции .Решение
Чтобы вычислить производную приведенной выше функции, нам нужно использовать правило сумм производной. Правило суммы производных гласит, что если в функции есть несколько членов, между которыми есть арифметическая операция сложения, то нам нужно найти производные каждого отдельного члена и сложить их вместе. Чтобы вычислить производную первого члена, нам нужно использовать правило мощности.
Производная второго члена равна 2, а производная последнего члена равна 0, потому что это константа. Следовательно, производная всей функции может быть записана как:
Пример 2
Найдите производную функции .
Решение
Производная первого члена . Аналогично, производная второго члена равна . Мы будем использовать правило разности производных, чтобы записать производную всей функции следующим образом:
Арифметический знак вычитания останется таким же, как и в правиле разности производных.
Производная базовых тригонометрических функций
Производные некоторой основной тригонометрической функции, как указано ниже:
Производные и градиент -функция
изучить правила, регулирующие их работу. Они применили эти принципы к как можно большему количеству функций.
На иллюстрации справа показаны все шесть основных производных моделей , которым обучают в школах штата Новый Южный Уэльс, Австралия.
Это производные шести основных функций, которые вы видите… три тригонометрических функции, полиномиальная функция, экспоненциальная функция и логарифмическая функция.
Затем математики должны были узнать, какие правила применяются при сложении, вычитании, умножении или делении функций. Выяснилось, что производная цепочки функций (которые складывались и вычитались) была просто суммой и разностью их производных. Однако умножение и деление были другим делом, и Правила продукта e и Частное правило были разработаны для таких составных функций. Простой случай правила произведения, когда функция умножается на константу, оказался удивительно простым. Константа просто умножала производную.
Итак, используя символ D, означающий производную (т. е. d/dx), и обозначение тире, где D[a(x)] = a'(x) и D[g(x)] = g'( x), теперь у нас есть следующие правила:
D[a(x) + g(x)] = a'(x) + g'(x)
D[a(x) – g(x)] = a'(x) – g'(x) )
D[a(x) ⋅ g(x)] = a'(x)⋅g(x) + a(x)⋅g'(x) ~ Правило продукта
D[a( x) / g(x)] = [a'(x)⋅g(x) – a(x)⋅g'(x)]/[g(x)]² ~ Частное правило
D [k⋅a(x)] = k⋅D[a(x)] =k⋅a'(x) ~ Умножение на константу
Незадолго до того, как математики научились находить производные, когда функций внутри функций (функций функций):
D[a(g(x))] = a'(g(x))⋅g'(x), и
D[a(g(h(x)))] = a'(g( h(x)))⋅g'(h(x))⋅h'(x) ~ Цепное правило (или Функция правила функции)
Затем были разработаны правила нахождения производных для всех виды комбинаций функций (составные функции)! Конечно, была проделана большая работа по поводу того, что все эти означали и как использовать эти производные, но я говорю об основных навыках как рассчитать производные на данный момент.
Если у вас возникли трудности с поиском производных сложных функций, посмотрите все четыре видео. Они длинные (15-25 минут каждая), но я уверен, что они вам пригодятся! Я начну с обзора производных шести основных функций, а затем покажу вам, шаг за шагом, как вычислять производные большинства функций, встречающихся в школе. Немного потренировавшись, вы сможете находить производные большинства функций за 5–15 секунд и предоставлять «приведенное в порядок» решение за 20–30 секунд. Только самые сложные функции в школе должны занимать у вас больше минуты. Кстати, я говорю о нормальных курсах продвинутого уровня. На самых топовых курсах студенты могут столкнуться с весьма запутанными проблемами.
Быстрое и ловкое использование цепного правила (20 секунд на вопрос)
В этом первом видео вы научитесь использовать цепное правило для нахождения производных простых функций примерно за 20 секунд (на вопрос).
Большинство из нас учат находить производные сложных функций путем подстановки (в случае цепного правила) или по шаблону подстановки, например, для правила произведения (u’v + v’u) и частного Правило [(u’v – v’u)/v²].
Многих студентов это сбивает с толку, и, особенно в случае подстановки цепных правил, они заканчиваются «обрывками» по всей странице.
Метод, который вы узнаете здесь (для использования цепного правила), использует замену концепции (или шаблон), но избегает технического процесса … и позволяет вам вычислять производные в одной линии работы вместо до шести строк работы. Любая дальнейшая работа — это алгебраическое упрощение выражения. Если вы изучите и попрактикуетесь в этой технике, вы сможете находить производные даже самых сложных цепочек в одном процессе, быстро и не теряя из виду, где вы находитесь.
Использование правила продукта с Pizzaz! (20 секунд на вопрос)
В этом втором видео вы научитесь использовать правило продукта для нахождения производных простых функций примерно за 20 секунд (на вопрос).
Вас, вероятно, учили (как и меня) находить производные произведений функций с помощью схемы подстановки (u’v + v’u). Многие учащиеся находят использование этого шаблона запутанным, и если есть более двух функций, перемноженных вместе, использование этого шаблона становится довольно сложным! Метод, который вы здесь изучите (использование правила произведения), использует ту же основополагающую теорию (или шаблон) , но избегает технического процесса … и позволяет вычислять производные в одной строке работы. Любая дальнейшая работа — это только алгебраическое упрощение выражения. Если вы изучите и попрактикуетесь в этой технике, вы сможете находить производные даже самых сложных продуктов в одном процессе (или шаге), быстро и не теряя из виду, где вы находитесь.
Двенадцать демонстраций правила продукта в действии!
Это первое из четырех видео в ответ на запрос подписчика YouTube.
Челси попросила меня продемонстрировать, как использовать правило произведения, чтобы найти производные набора из 12 вопросов, которые она предоставила.
В этом видео я нахожу производную этих функций:
- y = (x² + 6x +5)(x² -4x – 5)
- у = (х² – 3х +1)(х² + х + 5)
- у = (х + 1)(х² – 3)³
Я показываю, как вы можете использовать правило произведения, следуя шаблону… т. е. не используя замены (и, следовательно, никаких «обрывков» по всей странице).
Чтобы помочь вам отработать этот навык, я создал БЕСПЛАТНЫЙ ФАЙЛ в формате PDF, содержащий множество упражнений (и их решения). Возможно, вам захочется пройти их самостоятельно или с друзьями. Вы можете скачать файл отсюда.
Спасибо, Челси, за запрос этих видео. Надеюсь, они помогут вам и многим другим.
Это второе из четырех видео в ответ на запрос подписчика YouTube (спасибо, Челси).
В этом видео я вычисляю производную этих функций: 9-4
В этом видео я нахожу производную этих функций:
- y = x²√(2x + 2)
- у = (х² + 1)√(х + 1)
- у = √(х – 1).(х² – 1)
Использование правила отношения с апломбом! (20-30 секунд на вопрос)
В этом третьем видео вы научитесь использовать Частное правило для нахождения производных простых функций примерно за 20-30 секунд (на вопрос).
Вас, вероятно, учили (как и меня) находить производную отношения функций (т. е. деления одной функции на другую) с помощью шаблона подстановки (u’v – v’u)/v². Многие студенты считают использование этого шаблона запутанным!
Метод, который вы изучите здесь (для использования правила частного), использует ту же фундаментальную теорию (или шаблон ), , но избегает технического процесса .
.. и позволяет вам вычислять производные за одну линию работы. Любая дальнейшая работа — это только алгебраическое упрощение выражения. В видео вам будет показано, как настроить свою работу и какие шаги нужно выполнить (и в каком порядке), чтобы найти производную. Если вы изучите и попрактикуетесь в этой технике, вы сможете находить производные даже довольно сложных функций в одном процессе (или шаге), быстро и без потери следа того, что вы делаете.
Чтобы помочь вам отработать этот навык, я создал БЕСПЛАТНЫЙ ФАЙЛ в формате PDF, содержащий множество упражнений (и их решения). Возможно, вам захочется пройти их самостоятельно или с друзьями. Вы можете скачать файл отсюда.
Использование всех трех правил с составными функциями
Прелесть распознавания и использования структур для правил цепи, произведения и частного заключается в том, что эти же структуры могут помочь нам найти производных сложных функций с относительной легкостью .
.. и всего за одну линию работы!
Этот метод использует без замен ! Он использует структуру (или шаблон) настройки вашей работы и позволяет вам находить производные довольно сложных функций всего за одну строку работы . Остальная часть вашей работы будет посвящена упрощению и упорядочению вашей производной.
Простые структуры, меньше работы и больше легкости означают, что вы будете работать быстрее и с меньшим риском совершения ошибок по невнимательности. Таким образом, скорость и точность, с которой вы вычисляете производные, должны улучшиться!
Если шаги кажутся вам слишком сложными, посмотрите мои предыдущие три видео, чтобы вы могли понять используемые шаблоны.
Чтобы помочь вам отработать этот навык, я создал БЕСПЛАТНЫЙ ФАЙЛ в формате PDF, содержащий множество упражнений (и их решения). Возможно, вам захочется пройти их самостоятельно или с друзьями. Вы можете скачать файл отсюда.
Неявное дифференцирование стало проще
Один из моих подписчиков на YouTube попросил меня объяснить неявное дифференцирование (спасибо, Джанджира). Это первое из четырех видео, которые сделают именно это!
Это длинное видео (27:54), дающее довольно полное объяснение с примерами. Следующие три видеоролика намного короче… просто демонстрируют примеры неявной дифференциации.
До сих пор вы изучали явные функции и их производные (используя правила цепочки, произведения и частного). Явную функцию легко обнаружить! Он просто имеет член y в левой части знака = и функцию x в правой части. нет 9Термины 0312 x слева и без терминов y справа. Таким образом, y явно определяется как функция (или отношение) в терминах x . Все идет нормально.
Неявная функция в основном представляет собой любое другое уравнение, включающее x и y .
Члены могут быть перемешаны (перемещены из одной части уравнения в другую) и даже объединены (выражения могут включать как 90 312 x 90 313, так и 90 312 y 90 313 членов). В частности, если все члены перенесены в левый высший класс, мы получаем такие утверждения, как x² -xy³ + 4sin(2x + y) = 0. В общем, мы говорим, что любая функция A(x,y) = 0 является неявной функцией.. ., то есть отношение между x и y есть , подразумевающее в уравнении, но еще не сделавшее явным.
Конечно, эти уравнения/формулы не всегда являются функциями. Иногда (часто) это отношения. Но нахождение их производной неявным образом через x и y позволяют найти градиент касательной даже к таким соотношениям.
Неявный поиск производной на самом деле довольно прост и обычно занимает всего около пяти строк работы. Правила цепочки, произведения и частного по-прежнему применяются. Единственное, что нужно помнить, это то, что при нахождении производной (относительно x ) члена, включающего y , при применении цепного правила последний умноженный член будет dy/dx.
Для простоты использования и простоты написания мы обычно записываем это как 9.0312 и ‘. В этом видео я привожу примеры этого процесса.
Результатом всегда будет линейное уравнение от до ‘. Мы просто собираем все эти члены в левой части уравнения, перемещаем все остальные члены (которые не включают y ‘) в правую часть, удаляем y ‘ как общий множитель из левой части уравнения, а затем выполняем простое деление. Этот процесс демонстрируется на трех простых примерах. Следующие три видеоролика демонстрируют более типичные примеры.
Это длинное видео, но я хотел достаточно подробно охватить все основные основы , не вдаваясь в технические подробности. Здесь я концентрируюсь на основных концепциях и процессах, чтобы учащиеся могли выполнять экзаменационные и домашние задания с готовностью (если не с апломбом!).
Неявное дифференцирование ~ три примера
Надеюсь, вы видели мое предыдущее видео, в котором объясняется, что такое неявное дифференцирование , и как это сделать.
В этом видео я объясняю, как найти производную от y = sin(3x + 4y) с помощью неявного дифференцирования.
Недавно я просматривал Интернет в поисках веб-сайта или веб-страницы, на которых был представлен хороший набор вопросов, на которых учащиеся могли бы практиковать свои навыки. Одна страница, которую я обнаружил, содержала прекрасный набор из 16 вопросов, а также ссылки на их рабочие решения. Поэтому позвольте мне порекомендовать веб-страницу Дуэйна Кубы из Калифорнийского университета в Дэвисе.
Я выбрал три его примера, чтобы использовать их в качестве основы для этих трех (демонстрационных) видео… из которых это первое.
В этом видео я объясню, как найти производную от y = x²y³ + x³y² с помощью неявного дифференцирования.
В этом видео я объясню, как найти производную x² – xy + y² = 3, используя неявное дифференцирование.
g(x), загрузите мой БЕСПЛАТНЫЙ ФАЙЛ в формате PDF, который должен дать вам достаточную практику повторения на некоторое время. Возможно, вам захочется пройти их самостоятельно или с друзьями. Вы можете скачать файл отсюда.
Удивительный способ построить график функции градиента (производной)
Вероятно, вы никогда не видели этого за всю свою школьную жизнь. Конечно, в наших школах это кажется неизвестным навыком.
Обычно, когда нас просят нарисовать функцию градиента (график производной функции), нас не просят о большой точности.
Мы должны найти стационарные точки (местоположения горизонтальных касательных). Мы также должны определить, является ли градиент положительным или отрицательным между каждой из этих точек нулевого градиента. Если на исходном графике нет идентифицированных точек и масштаба по осям, дополнительная детализация не требуется.
То, что вы сейчас увидите, представляет собой графический/геометрический метод построения довольно точных функций градиента (графиков производных) с использованием очень простой геометрической техники (параллельные линии) и концепции триангуляции (градиент = рост/нарастание).