Производные сложных функций онлайн: Дифференцирование функции, заданной неявно

Логарифмическое дифференцирование функций

Метод логарифмического дифференцирования становится пригодным при дифференцировании произведения нескольких функций или их частки. Его удобно применять при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей (функций), а также когда показатель функции также представляет собой функцию

В таких случаях целесообразно обе части выражения сначала прологарифмировать по основанию , а затем приступить к дифференцировке. Этот способ получил название логарифмического дифференцирования. Производную логарифма функции называют логарифмической производной. Суть метода с помощью формул можно описать следующим образом:

имеем сложную функцию вида

к обеим сторонам применяем логарифмирования

находим производные правой и левой части равенства

Приравниваем производные и выражаем

В этом суть метода, дальше все зависит от функции .

Если она представляет собой произведение функций

то по свойствам логарифма он будет равен сумме логарифмов

Если имеем дробь от функций

то применяя логарифмирования получим

Если имеем функцию в степени другой

то по свойствам логарифма получим

В случае корней дифференцировки значительно упрощается

Дальнейшее вычисление производных зависит от сложности самих функций. Рассмотрим конкретные примеры, чтобы данный материал стал для Вас более понятным и наглядным.

Задача.

Используя логарифмирования найти производную (Дубовик В.П., Юрик И.И. “Высшая математика. Сборник задач”)

1) (5.2.178)

2) (5.2.191)

3) (5.2.195)

4) (5.2.199)

Решение.

Примеры выбрано сложные для того, чтобы раскрыть всю силу метода логарифмического дифференцирования и рассмотреть типичные распространенные примеры.

1) Проведем логарифмирования левой и правой частей

Найдем производную правой части

Производная левой части показана при изложении теоретического материала. Записываем обе части

Далее переносим функцию из знаменателя в правую часть и не забываем поменять ее значение

Несмотря на сложный вид данный пример полностью решено.

2) Используем свойства логарифма к данному примеру

Проводим дифференцирования обеих частей равенства

Сведем к общему знаменателю правую сторону. В результате математических операций получим

Подставим в исходную равенство, перенеся функцию в правую часть

В результате ряда несложных математических манипуляций получили достаточно компактный конечный результат производной. При исчислении данного примера направления подобный результат пришлось бы искать очень долго.

3) Несмотря на сложный вид данное выражение, на основе свойств степеней, можно переписать в следующем виде

Применим к нему логарифмирования

Производная от правой части будет равна следующему выражению

Здесь для упрощения дальнейших выкладок введено обозначение .

Учитывая производную , окончательно получим

Можно оставлять в таком виде, поскольку суть данного урока научиться применять метод логарифмического дифференцирования. Но если Вы захотите для упрощения свести все к общему знаменателю, то получите следующее выражение

Поверьте это займет у Вас много времени.

4) Проводим логарифмирования функции

Дальше по методике находим производную правой части. Она будет равна выражению

Подставляя в формулу для производной от , получим

На этом решения примера завершен.

Практикуйте с подобными задачами и через некоторое время у Вас не будет никаких трудностей с такого сорта примерами.

Как найти производную логарифма: натурального, сложной функции

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Производные логарифмов: формулы и примеры

В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

• Виды логарифмов
• Общая формула производной логарифма
• Производная натурального логарифма
• Примеры задач

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log₁₀x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = log_e x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Примеры задач

Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log₄x.

Решение:
Используя общую формулу производной получаем:

Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Сложный функциональный плоттер

Вы можете использовать этот инструмент для построения графиков функций комплексных, расщепленно-комплексных и двойных чисел, а также их инверсий в 2D и 3D.
Основная цветовая схема и идея были полностью вдохновлены плоттером сложных функций Дэвида Бау, но моя цель состояла в том, чтобы моя версия работала быстрее (используя webgl) и имела больше функций (разделенные комплексные числа, двойные числа, трехмерное построение, инверсии) и была более настраиваемый.

Основное использование

Чтобы ввести функцию, наведите указатель мыши на нижнюю часть окна (или коснитесь на мобильном телефоне) и щелкните 3 горизонтальные полосы, которые отобразят интерфейс для ввода функций и настройки инструмента.
В порядке чтения значки в нижней части экрана: справка, меню (три горизонтальные полосы, упомянутые выше), загрузка фонового изображения (это позволяет вам управлять изображением по вашему выбору с помощью введенной вами функции), загрузка и полноэкранный режим.
Переменная z предоставляет координаты x и y каждого пикселя в форме x + iy.
Любые другие переменные станут переключаемыми значениями в меню, которые вы можете использовать для управления программой.
Когда пользователь входит в функцию, каждая точка (x,y) окрашивается в соответствии с тем, где они находятся под f(x+iy). Если вы хотите, чтобы точки окрашивались в зависимости от того, где они возникли, а не где они закончились, включите «инвертировать» в настройках, чтобы численно инвертировать функцию. Это довольно дорого, поэтому подумайте об отключении AA или уменьшении окна, если у вас возникнут проблемы (вы также можете настроить параметры инверсии в меню).

Константы

е
пи или π
i

Операторы и функции

Примечание: ниже u и v используются для представления любого выражения
Группировка (u)
Величина |u| или ‖u‖
Conjuagte u*
Основная арифметика : u+v,u-v,u*v или u⋅v,u/v или u÷v

Для умножения вы также можете просто написать переменные рядом друг с другом, то есть uv или 2uv или 2 u v или ipiuv или i pi u v все действительны и будут вести себя так же, как если бы использовалось *. Обратите внимание, что 2(u) будет работать нормально, но v(u) — это функция, а не умножение (также обратите внимание, что (v)u или (v)(u) будут работать нормально). 9v, ln(u), log(u), log(u,b) (Аргумент b в log может использоваться для указания базы, по умолчанию e)
Факториал : u! (действительно gamma(u+1))

Триггерные функции

: sin(u), cos(u), tan(u)
Обратные триггерные функции : asin(u), acos(u), atan(u)
Гиперболические триггерные функции : sinh(u), ch(u), tanh(u)

Угол : arg(u)
Получить действительные/мнимые компоненты : re(u), im(u)
Знак : sgn(u)
Шаг : шаг(u)
Квадратный корень : sqrt(z) или √(z) (или просто возведение в степень)
Гамма-функция : gamma(u) или Γ(u)
Зета-функция : zeta(u) или ζ(z)

Итерируемая функция {var=update, var=initial, iterations} (Думайте о var=update как о теле цикла for, например, {z’ = z’ +1 , z’ = 0, 5} будет инициализировать z’ значением 0, а затем добавлять к нему единицу в каждой из 5 итераций).

Значение по умолчанию var равно z’, вам не нужно указывать “z’=”, если вы планируете использовать z’ (поэтому {z’ +1, 0, 5} также работает), но если вы хотите использовать другую переменную, такую ​​как «y», вам нужно будет указать ее ({y = y +1, y = 0, 5}). Итерации должны быть целым числом

Производная w.r.t z (u)’ (Вы можете вкладывать производные так глубоко, как хотите, но из-за ограничений арифметических операций с плавающей запятой результаты ухудшаются довольно быстро) Обратите внимание на круглые скобки, z’ в итерируемой функции не является производной из з.

Интеграл w.r.t z $(u) или $[нижний](u) или $[нижний, верхний](u). Когда параметры нижней и верхней границы опущены, используются значения по умолчанию 0 и z соответственно. Интегрируется по прямой от нижней до верхней границы. Вы также можете использовать $[lower, upper, variable](u), чтобы указать переменную для интегрирования по отношению к z по умолчанию. Используйте $[lower,upper,variable,iter](u), чтобы указать количество шагов, которые необходимо выполнить при интеграции. Вы можете использовать ∫ вместо $. 9я, 100н).

Прочее

Чтобы сгенерировать парсер для пользовательского ввода, я использовал peg.js. Сгенерированный файл синтаксического анализатора включен вместе с файлом грамматики, который я написал и использовал для создания синтаксического анализатора. Исчисление

. Почему сложные функции могут иметь одну и ту же производную во всех направлениях, а функции с несколькими переменными – нет?

На действительной числовой прямой с одной переменной у вас фактически есть два направления. Если задана функция $f$ с положительной производной в точке $x_0,$, если вы немного увеличите $x$ от $x_0$, то вы увеличите $f(x),$ но если вы уменьшите $x$, вы уменьшите $f(x).$ Увеличение — это положительное изменение, уменьшение — отрицательное изменение, а ненулевое положительное значение никогда не равно отрицательному.

Так почему же мы говорим, что существует только одна производная от $f$ в точке $x_0$, когда мы можем изменить $f(x)$ двумя разными способами? Это потому, что то, как мы измеряем

скорость изменений, делает их одинаковой скоростью. Например, с функцией $f(x) = 2x$ (выбирая линейную функцию, чтобы не беспокоиться о «пределе»), если изменение $x$ составляет $+1$ (увеличение ), то изменение $f(x)$ равно $+2,$, тогда как если изменение $x$ равно $-1$ (убывающее), то изменение $f(x)$ равно $-2.$ Но скорость в каждом случае есть $$ \frac{2}{1} = \frac{-2}{-1} = 2. $$

Если взять комплексную функцию $f(z) = 2z,$, если изменение $z$ равно $+1$, то изменение $f(z)$ равно $+2,$ если изменение $z$ равно $+i$, то изменение $f(z)$ равно $+2i,$ и т. д. Как бы мы ни меняли $z,$, получается, что $f(z)$ всегда изменяется ровно на $2$, умноженное на изменение $z.$

Для функции $g(z) = 2iz,$ получается что независимо от того, как изменится $z$, $g(z)$ изменится ровно в $2i$ раз больше. Если к действительной части $z$ добавить $1$, не меняя мнимой части, то действительная часть $g(z)$ совсем не изменится, а мнимая часть увеличится на $2.$ Если к мнимой части $z$ добавить $1$, не меняя вещественной части, то мнимая часть $g(z)$ вообще не изменится, а действительная часть 92,$ каждое из которых должно быть независимо дифференцируемым, чтобы $f$ было дифференцируемым.