Производные уравнения: Как найти производную функции, примеры решения

Помогите решить / разобраться (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

Посмотреть правила форума

BorisMorozov	Производные и уравнения 26.06.2018, 12:33
26/06/18 6	Часто вижу, как, чтобы решить какое-нибудь уравнение, от каждой его части берут производную (либо интеграл, зависит от случая) и решают получившееся уравнение с производными (интегралами). А почему вообще от каждой части уравнения можно взять производную (интеграл)? Почему решение уравнения не меняется от этого?

kotenok gav	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 12:45
21/05/16 4294 Аделаида	BorisMorozov в сообщении #1322664 писал(а): Почему решение уравнения не меняется от этого? Меняется; к примеру и .

Mikhail_K	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 12:52
Заслуженный участник 26/01/14 4179	BorisMorozov в сообщении #1322664 писал(а): Часто вижу, как, чтобы решить какое-нибудь уравнение, от каждой его части берут производную Приведите примеры. Тут такая вещь: производные от левой и правой части уравнений брать нельзя, но от тождеств – можно. Просто потому, что если две функции тождественно равны, то и их производные тождественно равны. Так же и с интегралами.

thething	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 12:53
Заслуженный участник 27/12/17 1381 Антарктика	Пусть есть уравнение , тогда или . Таким образом, если — оператор дифференцирования, то, чтобы решить уравнение, надо применить какой-нибудь обратный оператор к оператору дифференцирования, т.е. какой-то оператор интегрирования, и наоборот. Производную обычно берут, когда решают интегральные уравнения Вольтерра второго рода. Поскольку такие уравнения представляют собой равенства между функциями, то, естественно, производные одинаковых функций — равны (как функции), при условии, что дифференцирование вообще законно. Если речь о простейших уравнениях, типа квадратного, то там имеется ввиду не функциональное равенство, а поиск значений, обращающих функцию в ноль, поэтому дифференцирование/интегрирование не является законным.

BorisMorozov	Re: Mikhail_K 26. 06.2018, 14:04
26/06/18 6	Вот примеры. 1. Из “Фейнмановских лекций”, выпуск 2, глава 15, параграф 1. Автор рассказывает о принципе относительности и преобразованиях Галилея. Он пишет такое уравнение: , где x’ – координата в движущейся системе, x- в неподвижной, u – скорость движения системы координат относительно неподвижной системы. Вот что дальше: “Дифференцируя, получаем “. 2. “Высшая математика для начинающих”, Зельдович, глава 6, параграф 6. “Разберём ещё несколько простых примеров уравнений с разделяющимися переменными. Пусть . Разделяя переменные, получаем , откуда , или , или, наконец, . ” Почему можно проинтегрировать обе части уравнения? 3. Та же книга, глава 6, параграф 7. Есть уравнение, обозначенное в тексте как (10): . Автор пишет: “Умножим левую и правую части (10) на и проинтегрируем обе части получившегося равенства: . Отсюда имеем “. Опять же, почему можно проинтегрировать обе части?

Mikhail_K	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 14:12
Заслуженный участник 26/01/14 4179	BorisMorozov Уже было сказано выше. Если равенство означает тождественное равенство, т.е. выражения в левой и правой части представляют собой одинаковые функции, то дифференцировать/интегрировать можно. У одинаковых функций, понятно, и производные и интегралы тоже совпадают. Если равенство нетождественное, т.е. левая и правая часть совпадают не всюду, а только в какой-то точке (которую в уравнении обычно и требуется найти), то дифференцировать/интегрировать нельзя. У разных функций производные и интегралы тоже разные, и могут совпадать по значениям не в тех же точках, где совпадают исходные функции. Что касается примера 2, правомерность таких манипуляций с выражениями, содержащими дифференциалы, должна специально объясняться в учебнике.

thething	Re: Производные и уравнения 26. 06.2018, 14:15
Заслуженный участник 27/12/17 1381 Антарктика	По примеру 2 можно сказать так: исходное уравнение можно привести к виду , или , а дальше, опять же равенство функций со всеми вытекающими.

Someone	Re: Производные и уравнения 26. 06.2018, 14:25
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	BorisMorozov в сообщении #1322678 писал(а): 2. “Высшая математика для начинающих”, Зельдович, глава 6, параграф 6. “Разберём ещё несколько простых примеров уравнений с разделяющимися переменными. Пусть . Разделяя переменные, получаем , откуда , или , или, наконец, . ” Почему можно проинтегрировать обе части уравнения? BorisMorozov в сообщении #1322678 писал(а): Если равенство означает тождественное равенство, т. е. выражения в левой и правой части представляют собой одинаковые функции, то дифференцировать/интегрировать можно. У одинаковых функций, понятно, и производные и интегралы тоже совпадают. В случае дифференциальных уравнений как раз и ищется такая функция, чтобы уравнение превращалось в тождество.

BorisMorozov	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 14:27
26/06/18 6	То есть в этих примерах были записаны тождества, а не уравнения?

thething	Re: Производные и уравнения 26. 06.2018, 14:29
Заслуженный участник 27/12/17 1381 Антарктика	BorisMorozov В этих примерах записаны равенства между функциями. А по определению две функции равны, если…

BorisMorozov	Re: Производные и уравнения 26.06. 2018, 14:37
26/06/18 6	Спасибо. Кажется, понял.

Munin	Re: Производные и уравнения 26.06.2018, 15:09
Заслуженный участник 30/01/06 72407	BorisMorozov в сообщении #1322689 писал(а): То есть в этих примерах были записаны тождества, а не уравнения? Разница между “тождествами” и “уравнениями” называется такими словами в основном в школе. Хотя по сути, остаётся и дальше на всю жизнь. Равенство вполне можно назвать уравнением, если рассматривать его как дифференциальное уравнение. Соответственно, неизвестной здесь является функция и её и надо найти. То есть, с точки зрения “что с этим делать” – это уравнение. Но с точки зрения “выполняется ли это при любых или только при одном значении ” – тождество.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 12 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Глава 3.

Производная функции одной переменной

УДК 517.1

Составители: О.Я. Шевалдина

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов

Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.

Методические указания содержат кратко изложенный теоретический материал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с традиционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.

Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»

ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет – УПИ» , 2008

3.1. Производная функции в точке

Пусть функция определена на множестве и– предельная точка множества Х. Напомним: для любой точки приращениеопределяется формулой.Приращением функции в точкеназывается функция аргумента:

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то значение этого предела называют производной функции в точке, обозначают или.

Используются и другие символические обозначения производной:

, ,.

Лагранж¹Ньютон²Лейбниц³

Таким образом, по определению

, (3.1)

где .

Пример 3.1. Найдем производную функции в любой точкеобласти определения:

.

Следовательно, функция имеет в каждой точкепроизводную.

Экономисты используют для обозначения производной также символ (т. е.) и терминмаржинальное значение функции в точке .

X Физический смысл производной

Производная – скорость изменения функции в точке . В частности, если– время, – координата точки, движущейся по прямой в момент , то– мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной

Пусть график функции ;,– две точки графика функции(рис. 3.1).

Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим .

Г

Определение. Если существует , то прямаяс угловым коэффициентом, проходящая через точку, называетсякасательной к графику функции в точке.

Теорема 3.1. График функции имеет в точкекасательную тогда и только тогда, когда функцияимеет в точкепроизводную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как функциянепрерывна, то. Но. Поэтому, то есть функцияимеет в точкеконечную производную.

Достаточность. Если существует , то есть, то. Так как функции,непрерывные, то, то есть существует касательная к графику функции в точке.

Замечание. Так как , то приполучаем.

Таким образом, – это тангенс угла наклона касательной к графику функциив точке.

Уравнения касательной и нормали

Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде . Так как, то, откуда. Поскольку угловой коэффициент касательной, то ее уравнение имеет вид

_.

Определение. Нормальной прямой (или нормалью) к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной в этой точке.

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной формулой

.

Уравнение нормали к графику функции в точке

.

Бесконечные производные

Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точкебесконечную производную (равную илисоответственно). В этом случаекасательная к графику функции в точке параллельна оси(), и так как она проходит через точку, то ее уравнение имеет вид:.

Пример 3. 2. Рассмотрим функцию ,. Имеем

–вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.2).

Пример 3.3. Рассмотрим функцию ,. Имеем:. Следовательно, прямая– вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.3).

Односторонние производные

Пусть определена на множествеи– предельная точка.

Если существует конечный предел , то его называютлевой производной функции в точке и обозначают.

Аналогично . Число(если оно существует), называетсяправой производной функции в точке.

Теорема 3.2. Пусть – предельная точка. Функцияимеет производную в точкетогда и только тогда, когда,, причем

.

Пример 3. 4. . .

Имеем: ,.

Так как , функцияне имеет производной в нуле.

Пример 3.5. Пусть . Выясним, существует ли производная этой функции в точке.

Имеем: .

Итак, функция в точкеимеет производную.

Пример 3.6.

, то есть непрерывна в точке. Однако

не существует. Действительно, если , а если. Следовательно, предел по Гейне не существует.

§22.13 Производные и дифференциальные уравнения ‣ Свойства ‣ Глава 22 Эллиптические функции Якоби

Содержимое

1. §22.13(i) Производные инструменты
2. §22.13(ii) Дифференциальные уравнения первого порядка
3. §22.13(iii) Дифференциальные уравнения второго порядка

§22.13(i) Производные

Таблица 22.13.1: Производные эллиптических функций Якоби по переменной.

Обратите внимание, что каждая производная в таблице 22.13.1 является постоянным кратным произведение соответствующих кополярных функций. (Модуль k опущен во всей таблице.)

Альтернативные и симметричные формулировки этих результатов см. Карлсон (2004, 2006a) .

§22.13(ii) Дифференциальные уравнения первого порядка

22.13.1		(ддз⁡сн⁡(г,к))2	= (1−sn2⁡(z,k))⁢(1−k2⁢sn2⁡(z,k)),
22.13.2		(ддз⁡сп⁡(г,к))2	= (1−cn2⁡(z,k))⁢(k′2+k2⁢cn2⁡(z,k)),
22.13.3		(ддз⁡дн⁡(г,к))2	=(1−dn2⁡(z,k))⁢(dn2⁡(z,k)−k′2).

22.13.4		(ддз⁡кд⁡(г,к))2	= (1−cd2⁡(z,k))⁢(1−k2⁢cd2⁡(z,k)),
22.13.5		(ддз⁡сд⁡(г,к))2	=(1−k′2⁢sd2⁡(z,k))⁢(1+k2⁢sd2⁡(z,k)),
22. 13.6		(ddz⁡nd⁡(z,k))2	= (nd2⁡(z,k)−1)⁢(1−k′2⁢nd2⁡(z,k)),
22.13.7		(ddz⁡dc⁡(z,k))2	= (dc2⁡(z,k)−1)⁢(dc2⁡(z,k)−k2),
22.13.8		(ддз⁡нк⁡(г,к))2	=(k2+k′2⁢nc2⁡(z,k))⁢(nc2⁡(z,k)−1),
22.13.9		(ddz⁡sc⁡(z,k))2	= (1+sc2⁡(z,k))⁢(1+k′2⁢sc2⁡(z,k)),
22.13.10		(ддз⁡нс⁡(г,к))2	= (ns2⁡(z,k)−k2)⁢(ns2⁡(z,k)−1),
22.13.11		(ддз⁡дс⁡(г,к))2	=(ds2⁡(z,k)−k′2)⁢(k2+ds2⁡(z,k)),
22. 13.12		(ддз⁡ксс⁡(г,к))2	=(1+cs2⁡(z,k))⁢(k′2+cs2⁡(z,k)).

Альтернативные и симметричные формулировки этих результатов см. Карлсон (2006a) .

§22.13(iii) Дифференциальные уравнения второго порядка

22.13.13		d2dz2⁡sn⁡(г,к)	=-(1+k2)⁢sn⁡(z,k)+2⁢k2⁢sn3⁡(z,k),
22.13.14		d2dz2⁡сп⁡(г,к)	=-(k′2−k2)⁢cn⁡(z,k)−2⁢k2⁢cn3⁡(z,k),
22.13.15		d2dz2⁡dn⁡(г,к)	=(1+k′2)⁢dn⁡(z,k)−2⁢dn3⁡(z,k).

22.13.16		d2dz2⁡cd⁡(г,к)	=-(1+k2)⁢cd⁡(z,k)+2⁢k2⁢cd3⁡(z,k),
22. 13.17		d2dz2⁡sd⁡(г,к)	=(k2−k′2)⁢sd⁡(z,k)−2⁢k2⁢k′2⁢sd3⁡(z,k),
22.13.18		d2dz2⁡nd⁡(г,к)	= (1+k′2)⁢nd⁡(z,k)−2⁢k′2⁢nd3⁡(z,k),
22.13.19		d2dz2⁡dc⁡(г,к)	=-(1+k2)⁢dc⁡(z,k)+2⁢dc3⁡(z,k),
22.13.20		d2dz2⁡nc⁡(г,к)	= (k2−k′2)⁢nc⁡(z,k)+2⁢k′2⁢nc3⁡(z,k),
22.13.21		d2dz2⁡sc⁡(г,к)	= (1+k′2)⁢sc⁡(z,k)+2⁢k′2⁢sc3⁡(z,k),
22.13.22		d2dz2⁡ns⁡(г,к)	=-(1+k2)⁢ns⁡(z,k)+2⁢ns3⁡(z,k),
22. 13.23		d2dz2⁡ds⁡(г,к)	= (k2−k′2)⁢ds⁡(z,k)+2⁢ds3⁡(z,k),
22.13.24		d2dz2⁡cs⁡(г,к)	=(1+k′2)⁢cs⁡(z,k)+2⁢cs3⁡(z,k).

Альтернативные и симметричные формулировки этих результатов см. Карлсон (2006а) 92-144x+1

 

на каком интервале f увеличивается (включая конечные точки интервала)? Интервал возрастания = —-

 

На каком интервале f убывает (включая конечные точки интервала)? Интервал убывания —

 

На каком интервале f вогнута вниз? —

 

На каком интервале f вогнута вверх? — 

 

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Томас Р. ответил 03.06.18

Репетитор

4.9 (1445)

А.С. Математика, опытная и креативная

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Мишель:

 

f(x) = X³ +3X² – 144X + 1

Чтобы найти нужное вам поведение, вы должны сначала вывести его. Это просто. Силовое правило на всем пути. Получится:

f'(X) = 3X² + 6X – 144

Приравняйте его к нулю и найдите X:

3X² + 6X – 144 = 0

3(X² + 2X – 48) = 0

3(Х + 8)(Х – 6) = 0

Х = -8 , Х = 6

Это критические значения. Функция становится горизонтальной на каждом из них. Чтобы узнать, что он делает до или после каждого, нам нужна вторая производная:

f”(X) = 6X + 6

f”(-8) = 6(-8) + 6 = -48 + 6 = -42

f”(6) = 6(6) + 6 = 36 + 6 = 42

Это означает, что при X = -8 он вогнут вниз, а при X = 6 – вогнут вверх. Как мы узнаем, когда он меняется с одного на другой? Точки перегиба. Установите f” на ноль:

6X + 6 = 0

6X = -6

X = -1

Теперь мы знаем, что она была вогнутой вниз от -∞ до -1 и вогнутой вверх от -1 до +∞. Это, в свою очередь, означает:

рост от -∞ до -8

падение от -8 до 6

рост от 6 до +

бесконечность

Голосовать за 0 Понизить голос

Подробнее

Отчет

Бобошариф С. ответил 03.06.18

Репетитор

4.4 (32)

Репетитор по математике/статистике

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

f(x)=x ³ +3x ² -144x+1

ВОК: f'(x)=3x ² +6x-144=0; x=-8, x=6 — критические точки.

 

f”(x)=6x+6

f”(-8)=-42<0 -->x=-8 точка максимума

f”(6)=42>0 ,–>x=6 — точка минимума

 

f(x) возрастает на интервалах (-∞, -8) и (6, ∞) и убывает

на (-8, 6).

Области вогнутости и выпуклости можно определить с помощью второй производной: f”(x)=6x+6; он равен нулю при x=-1. Итак, вы должны увидеть знак f”(x) до и после x=-1.

 

Голосовать за 0 Понизить голос

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.