Примеры решения производных с ответами
Алгоритм решения производных
Теорема
Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.
Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.
Процесс нахождения производный называется дифференцированием.
– производная суммы (разницы).
– производная произведения.
– производная частного.
Нужна помощь в написании работы?
Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решений производных
Пример 1
Задача
Найти производную функции
Решение
Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:
Ответ
Пример 2
Задание
Найти производную функции
Решение
Обозначим , где .
3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).
Пример 5
Задача
Найти производную функции .
Решение
В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.
Ответ
.
Пример 6
Задача
Найти производную функции .
Решение
Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.
Ответ
.
Пример 7
Задача
Найти производную функции .
Решение
Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.
Ответ
.
Пример 8
Задача
Найти производную функции .
Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.
Ответ
.
Пример 9
Задача
Найти производную функции .
Решение
Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.
Ответ
.
Пример 10
Задача
Найти производную функции .
Решение
По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
Ответ
.
Средняя оценка 2.
4 / 5. Количество оценок: 93
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
107631
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Методы решения задач: техника вычисления производных.
Федеральное агентство по образованию
___________________________________
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»
_______________________________________
Методические указания
к решению задач
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2009
УДК 517.
22 (077)
Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции».
Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009
Настоящее издание призвано помочь
студентам-заочникам младших курсов
самостоятельно научиться решать задачи
по теме «Производная функции». Освоение
этого раздела математического анализа
на первый взгляд не вызывает затруднения
у студентов. Но без четкого овладения
именно техникой дифференцирования и
понятием производной практически
невозможно дальнейшее продвижение в
освоении курса математического анализа.
Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].
Производная функции
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
Пусть
функцияопределена
в интервале (a;b)
и непрерывна в точке,
и пусть.
В окрестности точкивыбирается произвольная точкаx.
Тогда разностьназывается приращением аргумента в
точке.
А разность– приращением функции. На рисунке
рассмотрим секущую, проведенную через
точкиMиN.
Уголназывается углом наклона секущей, аее угловым коэффициентом.
Из прямоугольного треугольника MPN. Если точкаNбудет стремиться кMвдоль данной линии, то есть, то секущаяMNв пределе перейдет в касательнуюl , а угол наклона секущей –, в угол наклона касательной –.
Определение:
Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е.
Геометрический смысл производной.
Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции приравна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке, т.е.
Физический смысл производной.
Если – закон прямолинейного движения точки, то– скорость этого движения в момент времениt.
Быстрота протекания физических,
химических и других процессов выражается
с помощью производной.
Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:
Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:
В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:
– производная слева;
– производная справа.
Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производнуютогда и только тогда, когда односторонние производныесуществуют и равны между собой, причем.
Если для некоторого значения xвыполняется одно из условий
,
то говорят, что в точкеxсуществует бесконечная производная,
равная соответственно.
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемойв этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Пример 1.1. Пользуясь определением производной найти производную функции.
Решение: Зададим аргументу данной функции приращение. Тогда приращение функции. Воспользуемся определением производной:
.
Ответ: .
Производные высшего порядка — Решенные примеры задач
Мгновенная скорость изменения скорости во времени называется ускорением a(t) объекта.
Производные высшего порядка
Если s = s(t) — функция положения (перемещения) объекта, движущегося по прямой линии, мы знаем, что его первая производная имеет простую физическую интерпретацию как скорость v(t) тела.
объект как функция времени:
Мгновенная скорость изменения скорости по отношению ко времени называется ускорением a(t) объекта. Тогда функция ускорения является производной функции скорости и, следовательно, второй производной функции положения:
Таким образом, если f является дифференцируемой функцией x, то ее первая производная f ′(x) = имеет очень простую геометрическую интерпретацию как наклон касательной к графику y = f(x). Поскольку f ‘ также является функцией x, f ‘ может иметь собственную производную, и, если она существует, обозначается (f ‘)’ = f ”,
. Мы можем интерпретировать вторую производную как скорость изменения скорости изменения. Но его геометрическая интерпретация не так проста. Однако существует тесная связь между второй производной f ′′(x) и радиусом кривизны графика y = f(x), которую вы узнаете в старших классах.
Точно так же, если f ” существует, оно может быть или не быть дифференцируемым.
Если это так, то производная от f′′ называется третьей производной от f и обозначается
Физически интерпретировать третью производную можно в случае, когда функция является функцией положения f(t) объекта, который движется по прямой. Поскольку s′′′ = (s′′)′ = a′(t), третья производная функции положения является производной функции ускорения и называется рывком:
Таким образом, рывок – это скорость изменения ускорения.
Свое название он получил потому, что большой рывок означает внезапное изменение ускорения, вызывающее резкое движение автомобиля.
Пример 10.31
Найдите y′, y′′ и y′′′, если y = x3 − 6×2 − 5x + 3. ′= 3×2 − 12x – 5
y′′= 6x – 12
y′′′ = 6.
Пример 10.32
Найти y′′′, если y = 1/x .
Решение
Пример 10.33
Найдите f ”, если f(x) = x cos x.