§1. Определение производной.
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
Механический и геометрический смысл
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при .
Производную принято обозначать так: .
Таким образом, по определению
.
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точкеравен .
Пример.
Найдите производную функции в точке=2:
1) Дадим точке =2 приращение. Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Найдем предел отношения при :
.
Таким образом, .
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять
производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
Имеем:
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть тогда
Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
Решение:
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при .
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Тогда
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;. (2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)’=u’+v’.(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x
соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x),
∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v.
Тогда функция
y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]–[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)’=u’+v’.
Теорема 2.Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)’=u’v+uv’. (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3.
Производная частного двух функций равна
дроби, знаменатель которой равен квадрату
делителя, а числитель- разности между
произведением производной делимого на
делитель и произведением делимого на
производную делителя, т.е.
Если то(5)
Теорема 4.Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y’=0.
Теорема 5.Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y’=Cu'(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Решение.
Данная функция имеет вид , гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Решение.
Применим формулу (5).
Здесь ;.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2); 12);
3)13)
4)14)
5)15)
6)16)
7)17)
8)18)
9)19)
10)20)
Определение производной. Правила вычисления производных. Таблица производных
Похожие презентации:
Определение производной. Правила вычисления производных. Таблица производных
Производная. Правила вычисления производных
Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование. Общее определение производной. (Семинар 7)
Устные упражнения. Определение производной. (10 класс)
Определение производной
Определение производной
Определение производной
Производная функции.
Правила вычисления производных
Определение производной
Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной
Урок 54.
Тема: Определение производной.
Правила вычисления
производных. Таблица
производных
Цели обучения:
• 10.3.1.9 – знать определение производной функции и
находить производную функции по определению;
степенной функции;
• 10.3.1.11 – знать и применять правила дифференцирования
Изучение нового материала
Пусть дана функция у=f(х)
y
f ( x) f ( x0 x)
f
x
f ( x0 )
0
х0
x
х
x
∆х=хх0 – приращение аргумента
Пусть х – произвольная точка в окрестности
Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции
фиксированной точки х0
и обозначается
f
∆f =Разность
f(x)-f(xх-х
0)
или
0 называется
∆f =f(x
0+ ∆x)-f(x
0) – приращение
приращением
аргумента
и обозначается функции
∆ x =x-x0
х=х0+ ∆ x
Определение производной
у
Если разностное отношение х имеет предел при х 0
то его называют производной функции в т.
х0lim
х 0
f ( x0 x ) f ( x0 )
y
lim
f ( x 0 )
x x 0
x
Вообще данную операцию называют
дифференцированием функции, а
производная – это результат
дифференцирования
Пример:
f ( x ) ( x ) и найти f ( x 0 ),
если x 0 3
2
1) y ( x0 x) x0 x0 2 x0 x x x0
2
2
2 x0 x x
2
2
2
2
x(2 x0 x)
y 2 x0 x x
2)
2 x0 x
x
x
x
3) lim (2 x0 x) 2 x0
2
x0
х 0
f ( x ) ( x ) 2 х – производная функции
– производная функции в т. х0
f ( 3 ) 2 ( 3 ) 6
т.е.
2
Схема вычисления производной функции:
1. Найти приращение функции на отрезке [ x; x+Δx]:
y y ( x x) y ( x)
2. Разделить приращение функции на приращение
аргумента: y
y ( x x) y ( x)
x
x
3. Найти предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
y
y ( x x) y ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
Задание: Найти производную функции:
1.
y x
2.
y C , где С число
3.
4.
5.
3
y kx b, где k и b числа
1
y
x
y x
Решение 1: Вычислить производную функции y x 3
1.
f f ( x x) f ( x) ( x x) x
3
3
x 3 3x 2 x 3x x 2 x 3 x 3
3x 2 x 3x x 2 x 3
2.
3.
y 3x 2 x 3x x 2 x 3
3x 2 3x x x 2
x
x
y
2
2
y lim
lim 3x 3 x x x
x 0 x
x 0
2
2
lim 3x lim 3x x lim x
x 0
2
x 0
3x 0 0 3x
x 0
2
Таблица простейших производных
ФУНКЦИЯ
ПРОИЗВОДНАЯ
(С )
0
( х )
1
( х )
n
1
х
( х )
nх
n 1
1
2
х
1
2 х
Правила дифференцирования
(вычисления производных)
(u v) u v
• (1)
• (2)
• (3)
• Следствия:
(uv) u v uv
u u v uv
2
v
v
Сv
С
1) (Сv) Сv 2) 2
v
v
Примеры.
1)
2)
3)
4)
х
f ( x)
9 1
f ( x) (2 x 3 х 2 4 х 12)
2
4
х
2
f ( x) 10
8 х
f ( x) (14 х )
3
Примеры.
х
6) f ( x)
4
3
2
2
7/1) f ( x) ( х (5 2 х))
7/2) f ( x) ( х (5 2 х)) (5 х 2 х )
2
2
3
English Русский Правила
Производный инструмент: определение, объяснение и типы
Эксперты Insider выбирают лучшие продукты и услуги, которые помогают принимать разумные решения с вашими деньгами (вот как). В некоторых случаях мы получаем комиссию от наших партнеров, однако наше мнение остается нашим собственным. Условия применяются к предложениям, перечисленным на этой странице.
- Производные инструменты — это контракты, цена которых определяется базовым активом, индексом или ценной бумагой.
- Существует два типа деривативов: внебиржевые деривативы и стандартизированные деривативы.
- Производные инструменты используются для хеджирования рисков и могут использоваться для спекуляций.
Спасибо за регистрацию!
Получайте доступ к своим любимым темам в персонализированной ленте, пока вы в пути.
Когда вы думаете об инвестировании, вы можете быть более знакомы с акциями и облигациями. Еще один тип инвестиционного инструмента, с которым вы, возможно, не знакомы, — это деривативы. Хотя все инвестиции в фондовый рынок сопряжены с неотъемлемым риском, некоторые виды инвестиций, как правило, более рискованны, чем другие. Производные попадают в этот лагерь.
Что такое производная?Производные инструменты — это контракт, стоимость которого определяется базовым активом или индексом — отсюда и название «дериватив». Одним из примеров типа дериватива являются опционы, поскольку их стоимость меняется в зависимости от движения цены базовой акции.
Существует два типа деривативов: внебиржевые деривативы, которые торгуются в частном порядке, а также стандартизированные деривативы, которыми можно торговать на стандартной бирже.
Общеизвестно, что внебиржевые деривативы, также известные как внебиржевые деривативы, вызвали Великую рецессию, создав повышенный спрос на базовые активы, такие как ипотечные кредиты.
Зарождение рынка деривативов началось в 1865 году, когда фермеры и продавцы зерна объединились, чтобы хеджировать риски на рынке кукурузы. Эти деривативы использовались как часть хеджирования и спекуляций для снижения риска, что может привести к завышению цен, что является предметом манипуляций и мошенничества. Эти типы деривативов называются фьючерсными контрактами, которые мы рассмотрим позже.
«Производные инструменты отличаются от ценных бумаг тем, что они больше похожи на ставку, чем на инвестиции. Большинство распространенных контрактов на производные инструменты имеют срок действия, что означает ограниченное время для получения ими прибыли», — объясняет Ашер Рогови, зарегистрированный в SEC инвестор. советник и директор по инвестициям в Magnifina.
“Ценные бумаги, с другой стороны, являются либо бессрочными, либо подлежащими погашению, поэтому инвесторы могут просто держать их в течение длительного времени.
Основное преимущество деривативов по сравнению с ценными временных рамок они могут получить гораздо более высокую прибыль, торгуя деривативами вместо базовой ценной бумаги. Конечно, с этим более высоким потенциалом прибыли связан более высокий риск».
Производные инструменты могут быть сложными, поскольку существуют различные типы производных контрактов. Некоторые распространенные типы деривативов: Если вы покупаете «колл-опцион», вы получаете право купить акции позже. «Пут-опцион» предлагает вам возможность продать акции позднее.
Фьючерсные контракты доступны для торговли на стандартной бирже, расчеты осуществляются каждый день, и их можно купить или продать в любое время.Контракты на деривативы могут продаваться либо на внебиржевом рынке (OTC), либо на таких биржах, как Чикагская группа товарных бирж (CME Group) или Корейская биржа.
Как работают деривативы? Производные инструменты могут использоваться различными способами для хеджирования рисков или в качестве спекулятивных инструментов. Как финансовый инструмент, стоимость операций с производными финансовыми инструментами зависит от рыночных условий, таких как кредит, собственный капитал и процентные ставки.
По данным экономического факультета Государственного университета Сан-Хосе, деривативы и свопы играют важную роль в экономике, передавая риски. Риск передается другим сторонам, которые готовы взять его на себя за вознаграждение. Таким образом, деривативы похожи на страховую отрасль, где вы страхуетесь от таких рисков, как падение цены акций. Но вместо того, чтобы называться «страхованием», это называется хеджированием.
Вы можете застраховаться от риска с помощью деривативных контрактов, купив контракт, стоимость которого поможет компенсировать любые другие убытки, которые вы можете понести по другим позициям. С помощью хеджирования инвесторы стремятся снизить риск убытков, занимая противоположные позиции на рынке, чтобы минимизировать риск. Производные контракты — это соглашения между двумя организациями, часто называемыми «контрагентами», которые работают вместе, чтобы снизить риск в отношении их общих инвестиций и базового актива.
Производные инструменты также можно использовать в качестве рычага.
В инвестировании кредитное плечо — это когда инвестор максимально использует деньги, взятые взаймы, чтобы попытаться максимизировать прибыль. Хотя эта стратегия может увеличить прибыль, она также может увеличить риск.
Спекуляция — это стратегия, при которой инвесторы покупают такие активы, как деривативы, и предполагают, что цена изменится в будущем. Учитывая его название, это больше предположение, чем достоверные данные. Инвестор, использующий эту стратегию, надеется максимизировать прибыль, но, как следует из самого термина, все спекулятивный и может быть очень рискованным.
Подсказка: Прежде чем приступить к инвестированию в деривативы, вы должны оценить общий риск контрагента, который относится к вероятности того, что другая сторона не выполнит свою часть сделки.
Плюсы и минусы деривативов Если вы думаете об инвестировании в деривативы, перед тем, как начать, ознакомьтесь с плюсами и минусами.
Этот тип инвестиций может иметь больше движущихся частей и соображений, поскольку есть контрагент и он основан на базовых активах.
Подсказка: Поймите, как деривативы работают с вашими общими финансовыми целями и как вы собираетесь их использовать для максимизации прибыли при минимизации убытков.
Производные инструменты — это еще один инвестиционный инструмент, который используется для минимизации риска при максимизации прибыли. Это сложный финансовый инструмент, который имеет дело с активами, стоимость которых может меняться, но также предоставляет возможности для хеджирования рисков и использования кредитного плеча для получения прибыли. Важно отметить, что деривативы могут быть сопряжены с риском и возможностью мошенничества.
«Производные финансовые инструменты не предназначены для начинающих или случайных инвесторов. Поскольку они, по сути, являются ставками, Уолл-стрит очень хорошо следит за тем, чтобы их цены были точными», — отмечает Роговой.
«Поскольку деривативы имеют тенденцию истекать, у них меньше права на ошибку. С ценными бумагами некоторые неудачные сделки можно спасти, удерживая их в течение длительного времени. Неопытные трейдеры печально известны тем, что теряют значительные суммы капитала на рискованных ставках на опционы на акции».
Мелани Локерт
Мелани Локерт — основательница блога и автор книги «Дорогой долг».
В своем блоге она рассказала о своем пути к погашению долга по студенческому кредиту в размере 81 000 долларов. Ее работы публиковались в Business Insider, Time, Huffington Post и других изданиях.
Она также является соучредителем Lola Retreat, который помогает смелым женщинам столкнуться со своими страхами, реализовать свои мечты и разработать план, чтобы контролировать свои финансы.
ПодробнееПодробнее
Определение производной
Определение производной Производная
Наклон секущей линии
Пример:
Рассмотрим функцию
у = f(х) = х 2
Затем секущая линия от x = 2 до x = 4 определяется линией, соединяющей две точки (2,f(2)) и (4,f(4)). Эта линия имеет наклон
f(4) – f(2) 16 –
4
подъем/бег =
знак равно
= 6
4 –
2
4 – 2
В общем случае мы даем следующее определение
| Определение наклона секущей линии Пусть y = f(x) — функция. Затем наклон секущей между x = а и х = b равно е(б) – е(а) |
Производная
Если вместо выбора (4,f(4)), мы выберем (2 + h,f(2 + h)) в качестве второго имеем, что наклон секущей равен
f(2 + h) – f(2) f(2 + h) –
f(2)
=
(2 + ч) –
2
ч
(2 + ч) 2 – 2 2 4 + 4ч + ч 2 –
4
знак равно
=
час
ч
4ч + ч 2
знак равно
= 4 + ч
час
Что произойдет, если мы позволим h приблизиться к 0? Геометрически это называется
наклон касательной к f(x)
при x = 2.
Аналитически это называется Производная от f(x) при x =
2. В приведенном выше примере ограничение равно 4.
Мы говорим, что f'(2) = 4.
Определение производной Производная (f ‘(х) или df/dx) функции f(x) при x = c определяется от |
Упражнения: Найти f ‘ из следующих функций
А. f(x) = 2x – 1 при x = 2
B. f(x) = x 2 при x = 1
C. f(x) = 1/x при x = 3
D. f(x) = при x = 4
Мы вызываем функцию, которая переводит значение x в производную по значению x производная функции.
Пример
Найдите производную от
3
f(x) =
Икс
Решение
Находим предел
Теперь умножьте числитель и знаменатель на x(x + з) чтобы получить
Упражнения: Найти f ‘(x) для следующих функций
А.
f(x) = x 3
Б. f(x) = 4 – x
C. f(x) =
Альтернативная форма производной
Есть это еще один способ записать производную. Так как производная есть ограничивающий наклон секущей, мы можем считать, что первая точка в точке c фиксирована. а затем второй точкой будет переменное значение x, стремящееся к c. Затем наклон касательной будет
Если функция не является непрерывной, то числитель либо не существует, либо не будет стремиться к нулю, а знаменатель будет приближаться нуль. Это приводит нас к следующей теореме.
Теорема Если f(x) — дифференцируемая функция при x = c
тогда f (х)
непрерывна в точке x =
в. |
