Простейшие дифференциальные уравнения: Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

, где А – некоторая постоянная.

 

Решение таких уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка после введения вспомогательной функции и подстановки ее в исходное уравнение.

Производная функции равна . Подставим ее в исходное дифференциальное уравнение второго порядка и получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решение которого хорошо известно.

Затем делаем обратную замену: И решаем это дифференциальное уравнение первого порядка обычным образом.

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка

Решение.

Введем вспомогательную функцию . Подставим ее в исходное уравнение и получим дифференциальное уравнение первого порядка вида: . Решаем его обычным образом:

Подставим начальные условия в полученное решение. Так как

у(0)=2,то . А так как , то , значит .

Частное решение исходного уравнения примет вид: .

 

7.4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка вида .

Решение уравнения данного вида можно найти с помощью вспомогательной функции . При этом дифференциальное уравнение второго порядка сводится к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными: . Последовательность действий при решении такова:

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Решение. Преобразуем исходное дифференциальное уравнение: . Введем функцию , тогда .

Найдем решение данного дифференциального уравнения.

 

, , , .

Делаем обратную замену:

, тогда , .

После интегрирования получим общее решение: .

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение:Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

 

Процедура решения таких дифференциальных уравнений состоит из следующих этапов:

 

1). Составляют характеристическое алгебраическое уравнение

вида . В этом уравнении постоянные коэффициенты берут из исходного дифференциального уравнения второго порядка.

 

2). Находят корни характеристического уравнения, от значения которых и зависит вид решения дифференциального уравнения.

 

Рассмотрим, какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при различных вариантах значений корней характеристического уравнения.

 

1). Корни характеристического уравнения действительные, разные и равные Запомним без доказательства, что в этом случае общее решение исходного дифференциального уравнения записывают в виде:

 

2).

Корни характеристического уравнения действительные, равные между собой . В этом случае общее решение имеет вид:

 

3). Если действительных корней характеристического уравнения нет, то говорят, что корни характеристического уравнения есть так называемые комплексные числа вида: , где α, β действительные числа, i – так называемая мнимая единица .

При этом .

Тогда общее решение дифференциального уравнения записывают в виде:

 

 

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

.

Находим корни уравнения:

Общее решение имеет вид:

 

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

Найдем частное решение при заданных начальных условиях. Подставим начальные условия в найденное решение:

 

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение.

Составим характеристическое уравнение: .

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда .

Значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

 

Дополним решение начальными условиями. Пусть

Раздел 8. Понятие о рядах.

Числовой ряд.

Метод разложения в ряд является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения дифференциальных уравнений.

Ряды бывают числовые и функциональные.

Определение:

Выражение вида: называется числовым рядом, а

– членами числового ряда, если они являются числами, для которых известен закон, позволяющий определить каждый элемент этого ряда.

 

Числовые ряды бывают сходящимися и расходящимися.

 

Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда имеет конечный предел: , где – частичные суммы ряда. В противном случае ряд является расходящимся.

Пример сходящегося ряда: – геометрическая прогрессия.

Пример расходящегося ряда: (1+2+3…).

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒


Читайте также:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов



Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 923; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.

su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.005 с.)

дифференциальные уравнения в частных производных

ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

Основные определения теории уравнений в частных производных

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений – решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.

Пусть – некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

(1)

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

Примеры.

– дифференциальное уравнение первого порядка.

– дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Или

Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных [5, c.58].

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность – это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа [5, c.68]:

параболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

гиперболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

эллиптические (пример: 1. ,) – содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

(1)

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

(2)

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно [5, c.78].

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой.

6.1: Простейший тип дифференциального уравнения

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    96169
    • Джеффри Р. Часнов
    • Гонконгский университет науки и технологий 9{2} \nonumber \]

      с \(B\) второй константой интегрирования. Две константы интегрирования \(A\) и \(B\) могут быть затем определены из начальных условий. Если мы знаем, что начальная высота массы равна \(x_{0}\), а начальная скорость равна \(v_{0}\), то начальные условия равны

      \[x(0)=x_{ 0}, \quad \frac{d x}{d t}(0)=v_{0} . \nonumber \]

      Подстановка этих начальных условий в уравнения для \(d x / d t\) и \(x\) позволяет нам решить для \(A\) и \(B\). Единственное решение, удовлетворяющее как оде, так и начальным условиям, равно 9{2} . \nonumber \]

      Например, предположим, что мы сбросили мяч с крыши 50-метрового здания. Через какое время мяч упадет на землю? Этот вопрос требует решения уравнения \ref{6.1} для времени \(T\), которое требуется для \(x(T)=0\), учитывая \(x_{0}=50\) метр и \(v_{ 0}=0\). Решение для \(T\),

      \[\begin{align} T &=\sqrt{\frac{2 x_{0}}{g}} \\ &=\sqrt{\frac{2 \cdot 50 }{9.8}} \mathrm{sec} \\ & \приблизительно 3.2 \mathrm{sec} . \end{выровнено} \nonumber \]


      Эта страница под названием 6.1: The Simplest Type of Differential Equation распространяется под лицензией CC BY 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Джеффри Р. Часновым с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Джеффри Р. Часнов
        Лицензия
        СС BY
        Версия лицензии
        3,0
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. источник@https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/applied-linear-алгебра-и-дифференциальные-уравнения.pdf

      Как составить простое дифференциальное уравнение

      $\begingroup$

      Я занимаюсь численным анализом, когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, но у меня никогда не было занятий по дифференциальным уравнениям. Кажется, вы можете пройти вводный курс численного анализа, просто зная, что такое дифференциальное уравнение и как работает процесс решения задач с начальными значениями. Поэтому я знаю несколько способов их численного решения, но я никогда не учился решать их математически. 92 +c$, $c$ — некоторая константа

      Я могу составить дифференциальное уравнение вида –

      $\frac{dy}{dx} = 10x$

      Но я хочу иметь дифференциальные уравнения, в которых $\ frac{dy}{dx}$ зависит не только от $x$, но и от $x$ и $y$.

      Как это сделать?

      Редактировать

      Чтобы уточнить, я пытаюсь создать простые уравнения вида $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$, $y(0) = y_0$ с решениями $y $, которые также относительно просты. Это делается для того, чтобы я мог написать первые несколько итераций RK-методов вручную, чтобы увидеть, как все это работает. 92$. “Локально” таким $\gamma_C$ является график функции $x\mapsto y(x)$. Отсюда следует, что функция $$x\mapsto\phi(x):=F\bigl(x, y(x)\bigr)$$ тождественно равно $C$. Поэтому по цепному правилу $$\phi'(x)=F_{.1}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot 1+ F_{.2}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot y ‘(х)\эквив0\ ,$$ где $F_{. 1}$ обозначает частную производную от $F$ по первому элементу, и аналогично для $F_{.2}$. Решение последнего уравнения относительно $y'(x)$ дает $$y'(x)\equiv -{F_{.1}\bigl(x,y(x)\bigr)\over F_{.2}\bigl(x,y(x)\bigr)}\ . $$ Но это означает, что функция $x\mapsto y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $$y’=-{F_x(x,y)\over F_y(x,y)}\ .\qquad(2)$$ Здесь правая часть ($=: f(x,y)$) — известная (соответственно, легко вычислимая) функция от $x$ и $y$, не зависящая от $C$. Поэтому уравнение $(2)$ можно рассматривать как дифференциальное уравнение, характеризующее семейство кривых $\gamma_C$, определяемое $(1)$. 92\bigr)=\ldots\quad.$$ После вычислений (и, возможно, некоторого упрощения) мы можем записать дифференциальное уравнение $$y’=-{F_x(x,y)\over F_y(x,y)}=:f(x,y)\ ,$$ где теперь $f(x,y)$ — некоторое определенное выражение от $x$ и $y$, не содержащее параметр $C$.

      Обратите внимание, что приведенные выше объяснения не учитывают “особые точки” или точки, в которых касательная к рассматриваемой кривой $\gamma_C$ вертикальна.

      $\endgroup$

      2 92}\right)$$

      $$y’ = -2x \left(y\right)$$

      $$y’ = -2xy$$

      Нижнее уравнение будет типичным ОДУ первого порядка, которое вы хотел бы решить, используя что-то вроде метода Эйлера или Рунге Кутта.

      Если вы заметили, на самом деле это было довольно легко настроить. Я взял производную чего-то, что знал, а затем нашел исходную функцию в производной. Затем я просто заменяю это на $y$ и делаю вид, что не знаю ответа на $y$.

      $\endgroup$

      $\begingroup$

      Обычно процесс создания дифференциальных уравнений из простых уравнений заключается в взятии производной переменной на основе других, но если говорить о том, как в реальном мире создаются дифференциальных уравнений, то это выглядит следующим образом:

      Рассмотрим общество, в котором скорость изменения населения во времени (dp/dt) равна квадрату населения (это всего лишь пример, в котором «скорость изменения» зависит от другой переменной), поэтому мы имеем: 92

      Теперь это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, и здесь у вас есть реальная задача, представленная в математической форме.

    Оставить комментарий