Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒ Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: , где А – некоторая постоянная.
Решение таких уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка после введения вспомогательной функции и подстановки ее в исходное уравнение. Производная функции равна . Подставим ее в исходное дифференциальное уравнение второго порядка и получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решение которого хорошо известно. Затем делаем обратную замену: И решаем это дифференциальное уравнение первого порядка обычным образом. Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка Решение. Введем вспомогательную функцию . Подставим ее в исходное уравнение и получим дифференциальное уравнение первого порядка вида: . Решаем его обычным образом: Подставим начальные условия в полученное решение. Так как Частное решение исходного уравнения примет вид: .
7.4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка вида . Решение уравнения данного вида можно найти с помощью вспомогательной функции . При этом дифференциальное уравнение второго порядка сводится к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными: . Последовательность действий при решении такова:
Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка: . Решение. Преобразуем исходное дифференциальное уравнение: . Введем функцию , тогда . Найдем решение данного дифференциального уравнения.
, , , . Делаем обратную замену: , тогда , . После интегрирования получим общее решение: .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Определение:Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
Процедура решения таких дифференциальных уравнений состоит из следующих этапов:
1). Составляют характеристическое алгебраическое уравнение
2). Находят корни характеристического уравнения, от значения которых и зависит вид решения дифференциального уравнения.
Рассмотрим, какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при различных вариантах значений корней характеристического уравнения.
1). Корни характеристического уравнения действительные, разные и равные Запомним без доказательства, что в этом случае общее решение исходного дифференциального уравнения записывают в виде:
2).
3). Если действительных корней характеристического уравнения нет, то говорят, что корни характеристического уравнения есть так называемые комплексные числа вида: , где α, β действительные числа, i – так называемая мнимая единица . При этом . Тогда общее решение дифференциального уравнения записывают в виде:
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение. Составим характеристическое уравнение: . Находим корни уравнения: Общее решение имеет вид:
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения . Решение. Составим характеристическое уравнение Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при заданных начальных условиях. Подставим начальные условия в найденное решение:
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения Решение. Составим характеристическое уравнение: . Найдем корни характеристического уравнения: , тогда . Значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .
Дополним решение начальными условиями. Пусть Раздел 8. Понятие о рядах. Числовой ряд. Метод разложения в ряд является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения дифференциальных уравнений. Ряды бывают числовые и функциональные. Определение: Выражение вида: называется числовым рядом, а – членами числового ряда, если они являются числами, для которых известен закон, позволяющий определить каждый элемент этого ряда.
Числовые ряды бывают сходящимися и расходящимися.
Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда имеет конечный предел: , где – частичные суммы ряда. В противном случае ряд является расходящимся. Пример сходящегося ряда: – геометрическая прогрессия. Пример расходящегося ряда: (1+2+3…). ⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒ Техника нижней прямой подачи мяча Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса Стандарт Порядок надевания противочумного костюма Общеразвивающие упражнения без предметов |
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 923; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. |
дифференциальные уравнения в частных производных
ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
Основные определения теории уравнений в частных производных
Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.
Неформально говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.
Одно из простейших применений дифференциальных уравнений – решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.
Пусть – некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.
Рассмотрим уравнение
(1)
связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.
Примеры.
– дифференциальное уравнение первого порядка.
– дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной
Или
Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.
В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных [5, c.58].
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Первая особенность – это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.
Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.
Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u
Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа [5, c.68]:
параболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;
гиперболические (пример: ) – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками;
эллиптические (пример: 1. ,) – содержащие только вторые производные, причем одного знака.
Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка
(1)
определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия
(2)
Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно [5, c.78].
Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция
Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой.
6.1: Простейший тип дифференциального уравнения
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- Джеффри Р. Часнов
- Гонконгский университет науки и технологий 9{2} \nonumber \]
с \(B\) второй константой интегрирования. Две константы интегрирования \(A\) и \(B\) могут быть затем определены из начальных условий. Если мы знаем, что начальная высота массы равна \(x_{0}\), а начальная скорость равна \(v_{0}\), то начальные условия равны
\[x(0)=x_{ 0}, \quad \frac{d x}{d t}(0)=v_{0} . \nonumber \]
Подстановка этих начальных условий в уравнения для \(d x / d t\) и \(x\) позволяет нам решить для \(A\) и \(B\). Единственное решение, удовлетворяющее как оде, так и начальным условиям, равно 9{2} . \nonumber \]
Например, предположим, что мы сбросили мяч с крыши 50-метрового здания. Через какое время мяч упадет на землю? Этот вопрос требует решения уравнения \ref{6.1} для времени \(T\), которое требуется для \(x(T)=0\), учитывая \(x_{0}=50\) метр и \(v_{ 0}=0\). Решение для \(T\),
\[\begin{align} T &=\sqrt{\frac{2 x_{0}}{g}} \\ &=\sqrt{\frac{2 \cdot 50 }{9.8}} \mathrm{sec} \\ & \приблизительно 3.2 \mathrm{sec} . \end{выровнено} \nonumber \]
Эта страница под названием 6.1: The Simplest Type of Differential Equation распространяется под лицензией CC BY 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Джеффри Р. Часновым с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Джеффри Р. Часнов
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 3,0
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
- источник@https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/applied-linear-алгебра-и-дифференциальные-уравнения.pdf
Как составить простое дифференциальное уравнение
$\begingroup$
Я занимаюсь численным анализом, когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, но у меня никогда не было занятий по дифференциальным уравнениям. Кажется, вы можете пройти вводный курс численного анализа, просто зная, что такое дифференциальное уравнение и как работает процесс решения задач с начальными значениями. Поэтому я знаю несколько способов их численного решения, но я никогда не учился решать их математически. 92 +c$, $c$ — некоторая константа
Я могу составить дифференциальное уравнение вида –
$\frac{dy}{dx} = 10x$
Но я хочу иметь дифференциальные уравнения, в которых $\ frac{dy}{dx}$ зависит не только от $x$, но и от $x$ и $y$.
Как это сделать?
Редактировать
Чтобы уточнить, я пытаюсь создать простые уравнения вида $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$, $y(0) = y_0$ с решениями $y $, которые также относительно просты. Это делается для того, чтобы я мог написать первые несколько итераций RK-методов вручную, чтобы увидеть, как все это работает. 92$. “Локально” таким $\gamma_C$ является график функции $x\mapsto y(x)$. Отсюда следует, что функция $$x\mapsto\phi(x):=F\bigl(x, y(x)\bigr)$$ тождественно равно $C$. Поэтому по цепному правилу $$\phi'(x)=F_{.1}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot 1+ F_{.2}\bigl(x,y(x)\bigr)\cdot y ‘(х)\эквив0\ ,$$ где $F_{. 1}$ обозначает частную производную от $F$ по первому элементу, и аналогично для $F_{.2}$. Решение последнего уравнения относительно $y'(x)$ дает $$y'(x)\equiv -{F_{.1}\bigl(x,y(x)\bigr)\over F_{.2}\bigl(x,y(x)\bigr)}\ . $$ Но это означает, что функция $x\mapsto y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $$y’=-{F_x(x,y)\over F_y(x,y)}\ .\qquad(2)$$ Здесь правая часть ($=: f(x,y)$) — известная (соответственно, легко вычислимая) функция от $x$ и $y$, не зависящая от $C$. Поэтому уравнение $(2)$ можно рассматривать как дифференциальное уравнение, характеризующее семейство кривых $\gamma_C$, определяемое $(1)$. 92\bigr)=\ldots\quad.$$ После вычислений (и, возможно, некоторого упрощения) мы можем записать дифференциальное уравнение $$y’=-{F_x(x,y)\over F_y(x,y)}=:f(x,y)\ ,$$ где теперь $f(x,y)$ — некоторое определенное выражение от $x$ и $y$, не содержащее параметр $C$.
Обратите внимание, что приведенные выше объяснения не учитывают “особые точки” или точки, в которых касательная к рассматриваемой кривой $\gamma_C$ вертикальна.
$\endgroup$
2 92}\right)$$
$$y’ = -2x \left(y\right)$$
$$y’ = -2xy$$
Нижнее уравнение будет типичным ОДУ первого порядка, которое вы хотел бы решить, используя что-то вроде метода Эйлера или Рунге Кутта.
Если вы заметили, на самом деле это было довольно легко настроить. Я взял производную чего-то, что знал, а затем нашел исходную функцию в производной. Затем я просто заменяю это на $y$ и делаю вид, что не знаю ответа на $y$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Обычно процесс создания дифференциальных уравнений из простых уравнений заключается в взятии производной переменной на основе других, но если говорить о том, как в реальном мире создаются дифференциальных уравнений, то это выглядит следующим образом:
Рассмотрим общество, в котором скорость изменения населения во времени (dp/dt) равна квадрату населения (это всего лишь пример, в котором «скорость изменения» зависит от другой переменной), поэтому мы имеем: 92
Теперь это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, и здесь у вас есть реальная задача, представленная в математической форме.