Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, – правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) – 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х – 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х – 10х = 8 – 25$
Приведем подобные слагаемые.
2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Практика: решай 5 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)
Линейные и квадратные уравнения
Определение
Уравнение (с одной переменной) – это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\).
Замечание
Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.
Определение
Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\), при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\).
Пример
Уравнение \(\dfrac {10}{x-1}=5\) определено при всех значениях переменной \(x\), кроме \(x=1\), потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).
Определение
Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.
Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\), потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac{10}{3-1}=5\) или, что то же самое, \(5=5\), что является верным равенством.
Замечание
1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Решение простых линейных уравнений
Алгебраические уравнения переводятся с полных английских предложений. Эти уравнения можно решить. На самом деле, чтобы успешно решить задачу со словами, нужно написать и решить уравнение.Посмотрите на эти два определения в следующих разделах и сравните примеры, чтобы убедиться, что вы понимаете разницу между выражением и уравнением.
Определение алгебраического выражения
Алгебраическое выражение
Пример 1: 4( x – 3) + 6
Определение алгебраического уравнения
Алгебраическое уравнение — это утверждение о равенстве двух алгебраических выражений, как показано в примере 2.
Пример 2: 4( х – 3) + 6 = 14 + 2 х
Самый простой способ отличить математическую задачу от уравнения — заметить знак равенства.
В примере 3 вы берете алгебраическое выражение из примера 1 и упрощаете его, чтобы просмотреть процесс упрощения. Алгебраическое выражение упрощается за счет использования дистрибутивного свойства и объединения подобных терминов.
Пример 3: Упростите следующее выражение: 4( x − 3) + 6
Вот как можно упростить это выражение:
1. Удалите скобки, используя свойство распределения.
4 х + −12 + 6
2. Соедините одинаковые термины.
Упрощенное выражение: 4
Примечание : Эта проблема не решается для x . Это связано с тем, что исходная задача представляет собой выражение, а не уравнение, и, следовательно, не может быть решена.
Чтобы решить уравнение, выполните следующие действия:
1. Упростите обе части уравнения, используя свойство дистрибутивности и комбинируя одинаковые члены, если это возможно.
2. Переместите все члены с переменными в одну часть уравнения, используя свойство сложения уравнений, а затем упростите.
3. Переместите константы в другую часть уравнения, используя свойство сложения уравнений, и упростите.
4. Разделить на коэффициент, используя свойство умножения уравнений.
В примере 4 вы решаете уравнение, приведенное в примере 2, используя четыре предыдущих шага, чтобы найти решение уравнения.
Пример 4: Решите следующее уравнение: 4( x – 3) + 6 = 14 + 2 x
Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:
- 1.
Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.
- 2а.
Переместите все члены с переменными в левую часть уравнения.
Свойство сложения уравнений гласит, что если к обеим частям уравнения добавить один и тот же член, уравнение останется верным утверждением. Свойство сложения уравнений также верно для вычитания одного и того же члена из обеих частей уравнения.
- 2б.
Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.
Примечание: Вычитание 6 заменено добавлением -6, потому что коммутативное свойство сложения работает, только если все операции являются сложением.
- 3.
Перенесите константы в правую часть уравнения и упростите.
Примечание: Для перемещения константы использовалась обратная операция.
- 4.
Разделить на коэффициент и упростить.
Решение х = 10.
Пример 5: Решите следующее уравнение: 12 + 2(3 х – 7) = 5 х – 4
Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:
- 1а.
Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.
- 1б.
Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.
- 2а.
Переместите переменные в левую часть уравнения.
В этом примере добавьте −5 x в каждую часть уравнения.
- 2б.
Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.
Примечание: Все вычитания заменяются добавлением отрицательного числа.
- 3.
Перенесите константы в правую часть уравнения и упростите.
Примечание: Для перемещения константы использовалась обратная операция.
- 4.
Поскольку коэффициент равен 1, шаг 4 не требуется.
Решение: x = −2.
Пример 5: Решите следующее уравнение: 6 – 3(2 – x ) = -5 x + 40
Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:
- 1.
Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.
Вы не забыли раздать отрицательную тройку?
- 2а.
Переместите переменные в левую часть уравнения.
В этом примере добавьте 5 x к каждой части уравнения.
- 2б.
Поместите одинаковые термины рядом друг с другом.
- 2с.
Упростите, объединив похожие термины.
- 3.
В данном примере этот шаг необязателен, так как все константы находятся в правой части уравнения.
- 4.
Разделить на коэффициент и упростить.
Решение х = 5.
Помните: Четыре шага решения уравнений нужно выполнять по порядку, но не все шаги необходимы в каждой задаче.
Как легко решать уравнения вида x + 3 = 4
Times/DivideMulti-StepRenthesesZero/No/All Sol’n
Purplemath
Что такое линейное уравнение?
«Линейные» уравнения — это уравнения, содержащие просто старую переменную, такую как « x », а не что-то более сложное, например, x 2 , или x / y , или квадратные корни, или другие более сложные выражения. Линейные уравнения — это простейшие уравнения, с которыми вам придется иметь дело.
Возможно, вы уже решали линейные уравнения; ты просто этого не знал.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Решение одношаговых уравнений
Еще в ранние годы, когда вы изучали сложение, ваш учитель, вероятно, давал вам рабочие листы, которые содержали такие упражнения, как следующие:
Заполнить поле: &квадрат; + 3 = 5
Заполните поле: &квадрат; + 3 = 5
Как только вы достаточно хорошо изучили факты сложения, вы поняли, что вам нужно поставить «2» в квадратик.
Решение уравнений работает почти так же, но теперь нам нужно выяснить, что входит в х вместо того, что идет в коробку. Однако, поскольку мы стали старше, чем раньше, когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.
Что значит решить уравнение?
Решение уравнения означает нахождение значения переменной, которая делает уравнение верным. В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную саму по себе; с технической точки зрения, мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение перестраивается следующим образом: «(переменная) равна (какому-то числу)», где (некоторое число) — это ответ, который они ищут.
Как решать сложением или вычитанием?
Чтобы решить линейное уравнение сложением или вычитанием, вы берете число, связанное с переменной (в x + 3 = 5 это будет число 3).
Обратите внимание, как это число связано с переменной (в в этом случае оно добавляется), и вы должны сделать противоположное для обеих частей уравнения (в данном случае, вычитая 3 из обеих частей уравнения).
Переменная представляет собой букву x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x само по себе; то есть мне нужно получить х с одной стороны от знака “равно”, а с другой стороны какое-то число.
Так как я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится “плюс шесть”, который в настоящее время находится на той же стороне, что и x . Поскольку 6 — это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этого 6, чтобы избавиться от него. То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их, добавив к нему 6.
Это приводит к наиболее важному соображению, связанному с уравнениями:
Независимо от того, с каким уравнением мы имеем дело — линейным или нет — что бы мы ни делали с одной частью уравнения, мы должны делать то же самое в другую часть уравнения.
Уравнения в этом отношении подобны малышам:
Мы должны быть тотально, тотально справедливы по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!
Что бы вы ни делали с уравнением, делайте ТОЧНО ОДИНАКОВОЕ действие с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!
Вероятно, лучший способ отслеживать это вычитание 6 с обеих сторон — это отформатировать вашу работу таким образом:
Изображение выше анимировано на «живой» странице.
Здесь вы видите, что я вычел 6 из обеих сторон, нарисовал горизонтальную черту «равно» под всем уравнением, а затем прибавил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:
x плюс ничего равно x , а 6 минус 6 равно нулю последняя строчка моей работы; а именно:
x = −9
Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была соединена с вычитанием.
Решить
х – 3 = -5
Переменная находится в левой части (LHS) уравнения и связана с «вычесть три».
Поскольку я хочу получить x само по себе, мне не нравится «3», которое в настоящее время вычитается из него. Противоположностью вычитания является сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим частям уравнения, а затем прибавив, чтобы упростить, чтобы получить мой ответ:
Тогда мой ответ:
x = −2
Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения решению уравнений.
Как проверить свое решение?
Чтобы проверить свое решение данного уравнения, вы просто подставляете значение ответа в исходное уравнение (вместо переменной) и убедитесь, что в итоге вы получите верное утверждение. В конце концов, это определение решения уравнения; а именно, решением является любое значение или набор значений (для более сложных уравнений позже), что делает исходное уравнение верным утверждением.
Итак, чтобы проверить мое решение приведенного выше уравнения, вы должны подставить “-2” вместо x в левой части (LHS) исходного уравнения, и убедитесь, что это упрощает получение исходного значения для правой части (RHS) уравнения:
Проверка:
LHS: (−2 ) − 3 = −5
Справа: −5
Поскольку теперь каждая часть исходного уравнения дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.
На этот раз переменная находится в правой части уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я изолирую ее (то есть, пока я могу получить ее саму по одну сторону от знака «равно»).
В этом уравнении у меня есть тройка, которая вычитается из переменной. Чтобы отменить вычитание, я добавлю три к каждой стороне уравнения.
4 = х – 3
+3 + 3
————
7 = x
(правую часть после прибавления можно было бы записать как “ x + 0″, но “плюс ноль” обычно игнорируется. Поэтому я записал только x на справа.)
Теперь, как часть моей ручной работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, подключив его обратно к правой части исходного уравнения и подтвердив, что в итоге я получил LHS исходного уравнения; то есть что у меня получается 4:
Проверка:
RHS: (7) − 3 = 4 = LHS
Часть «проверки» — это то, что я только что сделал выше. Я позаботился о том, чтобы маркировать вещи четко, чтобы оценщик мог найти мою «галочку» (так что я получу полную оценку за упражнение).
Мой окончательный ответ:
x = 7
Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ с переменной слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она заканчивается. Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Почему? Так как.
- Решите 2 = − x
Это уравнение почти решено. Но не совсем. У меня нет старого доброго x справа; вместо этого у меня — x . Что делать?
Я могу представить, что − x равно 0 − x . Итак, что произойдет, если я добавлю x к каждой части уравнения?
2 = –х
+х +х
———-
х + 2 = 0
Хорошо; это вроде помогло. Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится (другими словами, без знака «минус»).
И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от 2 с левой стороны, «вычитая его» с правой стороны:
х + 2 = 0
-2 = -2
———-
x = -2
Этот ответ имеет смысл. Если отрицательное значение переменной равно положительной двойке, то положительное значение переменной должно равняться отрицательной двойке. Итак, мой ответ:
x = −2
Технически последний пример представлял собой уравнение, состоящее из двух шагов, потому что для его решения требовалось прибавлять одно значение к обеим частям уравнения, а затем вычитать другое значение из обеих частей. Важно отметить, что вы можете добавлять и вычитать переменные с другой стороны уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны. Одни и те же методы работают как с переменными, так и с числами.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания.