Простые интегралы: примеры решения интегралов

Содержание

Несвойственные интегралы 1-го и 2-го рода

Несвойственный интеграл I рода

Если функция f(x) интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке [a;b], тогда несвойственный интеграл находят через предельный переход за формулой

и говорят, что несвойственный интеграл совпадающий, если существует такая конечная граница.
В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается.

Несвойственный интеграл ІІ рода

Если функция f(x) неограничена в околе точки B и интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке , тогда несвойственный интеграл ІІ рода вычисляют по формуле

и говорят, что интеграл совпадающий, если существует его конечная граница. В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается. Точка B называется особенной.

І. Вычислить интегралы

Начнем рассмотрение готовых ответов к несвойственным интегралам от простых к сложным заданиям.

Пример 2.147 (2334) Найти несвойственный интеграл
Имеем несвойственный интеграл І роду. Изменяем бесконечность на фиксированную точку из промежутка, вычисляем интеграл и после подстановки пределов интегрирования находим границу при следовании верхнего предела к бесконечности

 

Пример 2.148 ( 2335) Найти интеграл
Подинтегральная функция (логарифм) неопределенна в нуле, который отвечает нижней границе интегрирования. В соответствии с вышеприведенными формулами, имеем несвойственный интеграл второго рода. Для его нахождения переходим к границе в нуле, также выполняем интегрирование частями

Сам по себе интеграл не сложен в плане вычислений.
Замечание: в дальнейшем границу писать НЕ будем, а при вычисление несвойственных интегралов понимаем, что ищем значения границы в особенных точках (или в плюс минус бесконечности ) !!!

 

Пример 2.149 (2336) Вычислить интеграл
Разбиваем интеграл на 2 и находим несвойственные интегралы І рода

 

Пример 2. 150 (2337 ) Найти интеграл
Выполняем манипуляции идентичные, как и в предыдущем задании и приходим к несвойственным интегралам второго рода

 

Пример 2.151 ( 2338) Найти интеграл
Верхняя граница направляется к бесконечности, следовательно имеем несвойственный интеграл первого рода. Для нахождения предельного значения находим неопределенный интеграл и при подстановке пределов выносим переменную за скобки в числителе и знаменателе логарифма. В результате вклад бесконечно малых величин (1/x) направляется к нулю при переменной направляющейся к бесконечности. Таким образом находим главное значение интеграла

 

Пример 2.152 (2339) Найти интеграл

Решение: Вычислим последний интеграл методом Остроградського – метод не из простых, однако эффективный в подобных примерах:

возьмем производную от каждой части равенства (производная от интеграла равная подинтегральной функции)

Возведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства

В результате получим систему из 4 линейных уравнений из которой находим 4 константы

Таким образом можем записать неопределенный интеграл в виде

Дальше подставляем пределы и находим границе дроби и арктангенса при переменной направляющейся к плюс минус бесконечности.

В конечной формуле можно еще избавиться от иррациональности в знаменателе, но это уже проделайте самостоятельно.

 

Пример 2.153 ( 2340)Найти интеграл

Вычислим последний интеграл методом неопределенных коэффициентов:

Записываем подинтегральные функции и, возведя их под общий знаменатель, 

а дальше приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства.
В результате решим систему трех уравнений и определим сталые

Подставим их в расписание и найдем неопределенный интеграл

после возведения под табличные формулы интегрирования получим логарифмы, которые группируем и арктангенс. 

В бесконечности выносим из числителя и знаменателя дроби под логарифмом слагаемое с самым старшим показателем переменной и сокращаем на него. Тогда получим логарифм единицы.
В нуле с точностью до наоборот, сталые оставляем – остальные слагаемые с переменными не дают вклада.
С арктангенсом ситуация более определена и его значение на пределе подставляем в формулу

 

Пример 2. 154 ( 2341)Вычислить интеграл
Покажем, как можно найти интеграл такого вида двумя способами.

І способ: расписание методом неопределенных коэффициентов:


Чему равен арктангенс в нуле, единице и бесконечности Вы должны знать на память при решении подобных заданий.
Здесь применили метод неопределенных коэффициентов (A=C=0; B=D=1/2) :

ІІ способ – через замену переменных:

Пределы интегрирования при замене переменных здесь стали другими (в нуле минус бесконечность).

 

Пример 2.155 (2342) Найти интеграл
Особенной точкой здесь является нуль, поскольку корень в знаменателе становится равным нулю, а подинтегральная функция направляется к бесконечности. Но это происходит на таком малом участке интегрирования, что вклад мизерен и в целом интеграл совпадающий.
Для его вычисления переходим под интегралом к новым переменным, находим новые пределы интегрирования и находим арктангенсы на краях

Вычисления не сложны, поскольку свели интегрирование под простой табличный интеграл.

 

Пример 2.156 (2343) Найти интеграл
В бесконечности подинтегральная функция направляется к нулю, поэтому делаем вывод, что имеем несвойственный интеграл І рода. Для его нахождения кое-как превращаем функцию и выполняем замену переменных

В результате сводим интеграл к логарифму, который упрощаем используя свойства логарифмов.

 


Пример 2.157 ( 2344) Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Выполняем интегрирование частями

Второе слагаемое раскладываем методом неопределенных коэффициентов

В результате приходим к случаю когда имеем несвойственный интеграл І и ІІ рода одновременно, поэтому предел будет иметь вид

Здесь учтены следующие предельные переходы

Интеграл равен нулю.

 

Пример 2.158 (2345) Вычислить интеграл
В бесконечности подинтеграьная функция направляется к нулю – имеем І несвойственный интеграл.
Обозначив арктансенс через новую переменную определяем пределы интегрирования, дальше упрощаем функцию и интегрированием частями находим значение в крайних точках.

 

Пример 2.159 (2346) Найти интеграл
Неопределенный интеграл І рода решаем дважды применив интегрирование частями

В результате приходим к записи интеграла через самого себя, то есть рекуррентной формуле 

Перегруппировываем известные и неизвестные по разные стороны знака равенства

и выражаем

отсюда искомый интеграл

Метод не новый, и когда Вы имеете произведение экспоненты на синусы и косинусы без него не обойтись.

 

Пример 2.160 ( 2347) Найти интеграл
На бесконечности подынтегральное выражение дает бесконечно малую осциллирующую около нуля функцию.
Чтобы обойти такую неопределенность используем методику предыдущего примера. Дважды применив интегрирование частями

приходим к рекуррентной формуле

Из нее найти интеграл достаточно просто:
интегралы переносим в одну сторону, сталые в другую.

А дальше выполняем деления одной постоянной справа на множитель при интеграле

Отсюда и имеем искомый интеграл

Запомните методику последних двух заданий, на модулях и экзаменах на этом поплатилась значительная часть студентов.
Не будьте в их числе!

 

Пример 2.161 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Находим его и делаем вывод

что интеграл разбегается, поскольку преде не является конечным.

 

Пример 2.162 Найти интеграл
Экспоненту интегрировать не трудно, при отрицательном показателе она в бесконечности направляется к нулю

 

Пример 2.163 Вычислить интеграл
Интеграл по виду не сложный, однако при подстановке пределов многие из Вас пишут логарифм минус логарифм = бесконечность минус бесконечность, а дальше что границы не существует, а интеграл расходится.
А он совпадающий причем к нулю

В этом также легко убедиться проанализировав подинтегральную функцию, ее знаменатель положительный для положительных и отрицательных значений переменной, числитель непарная функция, следовательно интеграл справа от оси абсцисс нивелирует интеграл слева.

 

Пример 2.164 Найти интеграл
В знаменателе дроби выделяем полный квадрат и сводим интеграл под формулу арктангенса.

При следовании переменной к бесконечности арктангенс направляется к Pi/2, при минус бесконечности к – Pi/2.
В сумме получаем Int=Pi.

 

Пример 2.165 Найти интеграл

Имеем интеграл І рода. Покажем, что он расходится. Знаменатель на рассматриваемом промежутке удовлетворяет условие ln(x)<x-1, поэтому имеем следующее неравенство между функциями
,
Однако второй интеграл расходится

Поскольку функция принимает большие значения , то заданный интеграл также расходится!

 

Пример 2.166 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Его находим расписанием подинтегральной функции через простые множители, как это реализовать расписано дальше

Данный интеграл нашли методом неопределенных коэффициентов:

записываем функцию в виде расписания простых дробей

Дальше их возводим к общему знаменателю


приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x в обеих частях равенства и находим сталіе A=1, B=-1; C=1 .
Их и подставляем в интеграл

 

Пример 2.167 Найти интеграл
Чтобы не раскладывать на простые дроби через неопределенные коэффициенты прибавим и отнимем в числителе единицу. Это позволит получить в числителе такой же множитель как и знаменатель и разложить дробь на два интегралы.
Дальнейшее их вычисление и определение пределов приведено в формуле
.

 

Пример 2.168 Найти интеграл
При переменной направляющейся к бесконечности функция, которая интегрируется направляется к нулю. Имеем несвойственный интеграл первого рода. Чтобы найти его значение выносим переменную из под корня знаменателя, переходим к новой переменной интегрирование (при этом изменяются пределы). В результате получим арксинус, который и вычисляем
.

 

Пример 2.169 Найти интеграл
Здесь необходимо, чтобы параметр превращался в нуль. Для других его значений несвойственный интеграл первого рода находим методом замены переменных. В результате приходим к логарифму, который расписываем к самому простому виду

 

Пример 2.170 Найти интеграл
Здесь в нуле надо найти предел, для этого вычисляем несвойственный интеграл, и подставляем пределы интегрирования.

Интеграл равен 0,5.

 

Пример 2.171 Найти интеграл
В нуле имеем особенность, которую при интегрировании необходимо обойти. Сначала превращаем функцию, чтобы перейти к новой переменной. Дальше применяем интегрирование частями, если множителем имеем экспоненту то это быстро приводит к конечному результату или рекуррентной формуле. Дальше подставляем пределы и анализируем, какие слагаемые сбегаются и к какой границе (значении).

 

Пример 2.172 Найти интеграл
В бесконечности синус осциллирует, если умножить на переменную то получим осциллирующую функцию с растущей амплитудой. Выполняем интегрирование частями и переходим к границе.

Поскольку последней границы не существует, то интеграл расходится.

 

Пример 2.173 Вычислить интеграл
Поскольку мы знаем к чему сводить подобные интегралы, то выполняем превращение функции в начале. Вы же можете обозначить корень из аргумента за новую переменную и в результате превращений прийти к тому же конечного интегралу. Самостоятельно проинтегрирував  частями, Вы получите, что интеграл равен единице

 

Пример 2.174 Найти интеграл

В подобных примерах нужно дважды применять интегрирование частями.

В результате придем к рекуррентной формуле

откуда и определяем интеграл

Данный интеграл – это классика интегрирования, если бы экспонента и синус имели множители при аргументах, то вычисления были не такие простые как в рассмотреном примере.

 

Пример 2.175 Найти интеграл
Здесь с первого взгляда может показаться, что интеграл не принадлежит к несвойственным. Однако, разложив знаменатель на одночлены, видим, что во внутренней точке имеет особенность, а именно разрыв второго рода.
При нахождении несвойственного интегралу второго рода при переходе к границам два логарифма упрощаем, по правилу разница логарифмов равна логарифму части. Таким образом лишь одно из слагаемых дает вклад

На графике функции эта особенность имеет вид

Пример 2.176 Найти интеграл
В единице корень в знаменателе превращается в нуль и функция там имеет вертикальную асимптоту. Чтобы ее обойти прибавим и отнимем в числителе единицы и распишем интеграл на два. Их вычисление уже не содержит никаких особенностей

График функции, не доходя до 1 справа имеет вид

Пример 2.177 Найти интеграл
Неопределенность в заданный интеграл вносит то что логарифм вблизи нуля направляется к минус бесконечности. Интегрируя частями, придем к особенности в нуле, Вы ее можете свести к следствию второй важной границы, мы же записываем конечное значение.

Для наглядности графики подинтегральной функции на указанном промежутке имеет вид

Как можно убедиться здесь все гладко и красиво.

 

Пример 2.178 Найти интеграл
При приближении к нулю за счет квадрата знаменателя функция растет к бесконечности. Но и при этом промежуток на котором это происходит направляется к нулю. Поэтому несвойственный интеграл существует и с помощью приведенной замены переменных находится без проблем

Найденный интеграл не что другое как площадь фигуры между функцией и осью ординат. За исключением особенности в нуле графики функции имеет вид верхней линии, а значение интеграла – заштрихованной на рисунке поверхности.

Пример 2.179 Найти интеграл
В единице логарифм направляется к минус бесконечности, чтобы учесть это выполняем замену переменных под интегралом

В результате предел равен бесконечности, поэтому заданный интеграл разбегается.
График подинтегральной функции в околі особенной точки имеет вид

Пример 2.180 Найти интеграл
При приближении к единице логарифм направляется к нулю, а функция к плюс бесконечности.
Чтобы вычислить несвойственный интеграл ІІ рода выполняем замену переменных и переходим к корневой функции в знаменателе, которая после интегрирования не имеет особенности

Значение интеграла равно площади заштрихованной фигуры.

Пример 2.181 Найти интеграл
Здесь свой вклад вносит точка x=0, поскольку в ней функция из двух сторон направляется к плюс бесконечности.
Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде показателей переменной.
Дальше разделяем интеграл на два и находим значение в пределе.

Получили совпадающий интеграл. Вид функции приведен на рисунку

Пример 2.182 Найти интеграл
Здесь идентичная ситуация, в нуле имеем особенность. По схеме предыдущего задания находим два неопределенных интеграла

 

Пример 2.183 Найти интеграл
Здесь в нуле имеем особенность, но поскольку знаменатель в нуле непарный то график общей функции имеет в нуле разрыв второго рода. Такие функции интегрируемые и по схеме выше находим предел в нуле.

Около нуля график функции имеет вид

Пример 2.184 (2348) Найти интеграл

Вычислим нулевое приближение с устранимой особенностью в бесконечности

Дальше интегрированием частями находим значение для номера n

Получили рекуррентную формулу: In=n*In – 1, отсюда интеграл равен

На этом ознакомление с основными приемами нахождения несвойственных интегралов подходит к концу.
Больше готовых ответов на интегрирование функций ищите на страницах сайта.
Если нужна помощь, также обращайтесь!

Тест по теме “Неопределенные и определенные интегралы”

Тест для самоконтроля

Тема: «Неопределенные и определенные интегралы»

Вариант № ___

Задание № 1. (выберите варианты ответов согласно тексту задания) Для функции f(x) укажите ее первообразную F(x).

A) f(x) = x Б) f(x) = 2x В) f(x) = Г) f(x) =

Варианты ответов:

1) F(x) = 2x 2) F(x) = 3) F(x) = 4) F(x) =

Задание № 2. (выберите один вариант ответа) Найдите одну из первообразных функции f(x) = 3 – .

Варианты ответов:

1) 3x – 2) 3х + 3) 3 – 4) 3x +

Задание № 3. (выберите один вариант ответа) Найдите общий вид первообразных функции f(x) = 3 – 5.

Варианты ответов:

1) х3 – 5 + С 2) 3 – 5х + С 3) х3 – 5х + С 4) х3 + С

Задание № 4. (выберите два варианта ответов) Укажите верные равенства.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 5. (выберите один вариант ответа

) Найдите неопределенный интеграл от функции f(x) = 4 + .

Варианты ответов:

1) 4 + 2) 4 +

3) 4 + 4) 4 +

Задание № 6. (выберите два варианта ответов) Какие из интегралов находятся методом подстановки?

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 7. (выберите один вариант ответа) В результате подстановки

t = 3x + 2 интеграл приводится к виду…

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 8. (выберите один вариант ответа) Неопределенный интеграл равен…

Варианты ответов:

1) cos + C 2) + C

3) 4cos + C 4) cos + C

Задание № 9. (выберите один вариант ответа) Используя свойства определенного интеграла, интеграл можно привести к виду…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 10. (выберите один вариант ответа) Вычислите интеграл .

Варианты ответов:

1) 18 2) 6 3) 15 4)

Тест для самоконтроля

Тема: «Неопределенные и определенные интегралы»

Вариант № ___

Задание № 1. (выберите один вариант ответа) Найдите одну из первообразных функции f(x) = .

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 2. (выберите варианты ответов согласно тексту задания) Для функции f(x) укажите ее первообразную F(x).

A) f(x) = 4 Б) f(x) = 4x В) f(x) = Г) f(x) =

Варианты ответов:

1) F(x) = 2) F(x) = 3) F(x) = 4) F(x) = 2

Задание № 3. (выберите один вариант ответа) Найдите общий вид первообразных функции f(x) = – .

Варианты ответов:

1) – + С 2) + + С

3) + + С 4) + + С

Задание № 4. (выберите один вариант ответа) Найдите неопределенный интеграл от функции f(x) = – .

Варианты ответов:

1) 2ln|x| – 2) ln |x| –

3) 2ln |x| – 4) | –

Задание № 5. (выберите два варианта ответов) Укажите верные равенства.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 6. (выберите один вариант ответа) В результате подстановки

t = интеграл приводится к виду…

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 7. (выберите один вариант ответа) Неопределенный интеграл равен…

Варианты ответов:

1) + C 2) + C

3)+ C 4) + C

Задание № 8.

(выберите два варианта ответов) Какие из интегралов находятся методом подстановки?

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 9. (выберите один вариант ответа) Используя свойства определенного интеграла, интеграл можно привести к виду…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 10. (выберите один вариант ответа) Вычислите интеграл dx.

Варианты ответов:

1) 6,6 2) 33 3) 6,2 4) 15

Тест для самоконтроля

Тема: «Неопределенные и определенные интегралы»

Вариант № ___

Задание № 1. (выберите один вариант ответа) Найдите одну из первообразных функции f(x) = .

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 2. (выберите один вариант ответа) Найдите общий вид первообразных функции f(x) = – .

Варианты ответов:

1) – + С 2) – + С

3) – + С 4) – + С

Задание № 3. (выберите варианты ответов согласно тексту задания) Для функции f(x) укажите ее первообразную F(x).

A) f(x) = 3 Б) f(x) = 3x В) f(x) = Г) f(x) =

Варианты ответов:

1) F(x) = 2) F(x) = 3) F(x) = 4) F(x) = 3х

Задание № 4. (выберите один вариант ответа) Найдите неопределенный интеграл от функции f(x) = .

Варианты ответов:

1) + 2)

3) + 4) +

Задание № 5. (выберите два варианта ответов) Укажите верные равенства.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 6. (выберите два варианта ответов) Какие из интегралов находятся методом подстановки?

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 7. (выберите один вариант ответа) Неопределенный интеграл равен…

Варианты ответов:

1) C 2) + C

3) + C 4) + C

Задание № 8. (выберите один вариант ответа) В результате подстановки

t = интеграл приводится к виду…

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 9.

(выберите один вариант ответа) Используя свойства определенного интеграла, интеграл можно привести к виду…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 10. (выберите один вариант ответа) Вычислите интеграл dx.

Варианты ответов:

1) 8 2) 9 3) 26 4) 28

Тест для самоконтроля

Тема: «Неопределенные и определенные интегралы»

Вариант № ___

Задание № 1. (выберите один вариант ответа) Найдите общий вид первообразных функции f(x) = 2 + 2х.

Варианты ответов:

1) + + С 2) + + С 3) + + С 4)4 + 2+ С

Задание № 2. (выберите варианты ответов согласно тексту задания) Для функции f(x) укажите ее первообразную F(x).

A) f(x) = 1 Б) f(x) = x В) f(x) = Г) f(x) =

Варианты ответов:

1) F(x) = x 2) F(x) = 3) F(x) = 4) F(x) =

Задание № 3. (выберите один вариант ответа) Найдите одну из первообразных функции f(x) = – .

Варианты ответов:

1) 2) + 3) 4)

Задание № 4. (выберите два варианта ответов) Укажите верные равенства.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 5. (выберите один вариант ответа) Найдите неопределенный интеграл от функции f(x) = .

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 6. (выберите один вариант ответа) В результате подстановки

t = 5x 1 интеграл приводится к виду…

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 7. (выберите два варианта ответов) Какие из интегралов находятся методом подстановки?

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Задание № 8. (выберите один вариант ответа) Неопределенный интеграл равен…

Варианты ответов:

1) + C 2) + C

3) + C 4) + C

Задание № 9. (выберите один вариант ответа) Используя свойства определенного интеграла, интеграл можно привести к виду…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Задание № 10. (выберите один вариант ответа) Вычислите интеграл .

Варианты ответов:

1) 32,5 2) 31 3) 33 4) 31,5

Ответы на тест

15 баллов

«5» – 1 3, 14 баллов

«4» – 11, 12 баллов

«3» – 8 – 10 баллов

«2» – 7 и менее баллов

Электронный учебник по математическому анализу

был построен в предположении, что числа $a,\,b$ конечны и $f(x)$ – непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел $a,\,b$ бесконечно. 3+1}. \]

Правила интеграции

Интеграция

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Его часто используют, чтобы найти область под графиком функции и осью x .

Первое правило, которое необходимо знать, – интегралы и производные противоположны!


Иногда мы можем вычислить интеграл
, потому что мы знаем соответствующую производную.

Правила интеграции

Вот наиболее полезные правила с примерами ниже:

Общие функции Функция Интеграл
Константа ∫a dx топор + C
переменная ∫x dx х 2 /2 + С
Квадрат ∫x 2 dx x 3 /3 + С
Взаимное ∫ (1 / x) dx ln | x | + C
Экспоненциальная ∫e x dx e x + C
∫a x dx a x / ln (a) + C
∫ln (x) dx x ln (x) – x + C
Тригонометрия (x в радианах) ∫cos (x) dx sin (x) + С
∫sin (x) dx -cos (x) + С
мкс 2 (x) dx загар (x) + C
Правила Функция
Интегральный
Умножение на константу мкф (x) dx c∫f (x) dx
Правило мощности (n ≠ −1) ∫x n dx x n + 1 n + 1 + C
Правило суммы ∫ (ж + г) dx ∫f dx + ∫g dx
Правило разницы ∫ (ф – г) dx ∫f dx – ∫g dx
Интеграция по частям См. Интеграцию по частям
Правило замены См. Интеграцию заменой

Примеры

Пример: что такое интеграл от sin (x)?

Из приведенной выше таблицы это указано как −cos (x) + C

Записывается как:

∫sin (x) dx = −cos (x) + C

Пример: каков интеграл от 1 / x?

Из приведенной выше таблицы это указано как ln | x | + C

Записывается как:

∫ (1 / x) dx = ln | x | + C

Вертикальные стержни || по обе стороны от x означает абсолютное значение, потому что мы не хотим давать отрицательные значения функции натурального логарифма ln .

Правило мощности

Пример: Что такое ∫x

3 dx?

Возникает вопрос: “Что такое интеграл x 3 ?”

Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:

∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

∫x 3 dx = x 4 4 + C

Пример: Что такое ∫√x dx?

√x также равно x 0. 5

Мы можем использовать правило мощности, где n = 0,5:

∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

∫x 0,5 dx = x 1,5 1,5 + C

Умножение на константу

Пример: Что такое ∫6x

2 dx?

Мы можем переместить 6 за пределы интеграла:

∫6x 2 dx = 6∫x 2 dx

А теперь используйте правило мощности на x 2 :

= 6 x 3 3 + C

Упростить:

= 2x 3 + C

Правило суммы

Пример: Что такое ∫ (cos x + x) dx?

Используйте правило суммы:

∫ (cos x + x) dx = cos x dx + ∫x dx

Найдите интеграл каждого (используя таблицу выше):

= грех х + х 2 /2 + С

Правило разницы

Пример: Что такое ∫ (e

w – 3) dw?

Используйте правило разницы:

∫ (e w -3) dw = ∫e w dw – ∫3 dw

Затем вычислите интеграл каждого (используя таблицу выше):

= e Вт – 3 Вт + C

Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности

Пример: Что такое ∫ (8z + 4z

3 – 6z 2 ) dz?

Используйте правило суммы и разности:

∫ (8z + 4z 3 – 6z 2 ) dz = ∫8z dz + ∫4z 3 dz – ∫6z 2 dz

Постоянное умножение:

= 8∫z dz + 4∫z 3 dz – 6∫z 2 dz

Правило мощности:

= 8z 2 /2 + 4z 4 /4 – 6z 3 /3 + C

Упростить:

= 4z 2 + z 4 – 2z 3 + C

Интеграция по частям

См. Интеграцию по частям

Правило замещения

См. Интеграцию заменой

Заключительный совет

  • Попрактикуйтесь
  • Не забудьте dx (или dz и т. Д.)
  • Не забудьте + C

6834, 6835, 6836, 6837, 6838, 6839, 6840, 6841, 6842, 6843

Неопределенный интеграл и основные правила интеграции

Первообразные и неопределенный интеграл

Пусть функция \ (f \ left (x \ right) \) определена на некотором интервале \ (I.\ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right). \]

В этом определении \ (\ int {} \) называется интегральным символом, \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением, \ (x \) называется переменной интегрирования, \ (dx \) называется дифференциалом переменной \ (x, \), а \ (C \) называется постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Интегрирование – это обратный процесс дифференцирования, поэтому таблица основных интегралов следует из таблицы производных.

Здесь предполагается, что \ (a, \) \ (p \ left ({p \ ne 1} \ right), \) \ (C \) – вещественные константы, \ (b \) – основание экспоненты функция \ (\ left ({b \ ne 1, b \ gt 0} \ right). \)

Свойства неопределенного интеграла

  1. Если \ (a \) некоторая константа, то

    \ [\ int {af \ left (x \ right) dx} = a \ int {f \ left (x \ right) dx}, \]

    т.е. постоянный коэффициент можно вынести за знак интеграла.
  2. Для функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \)

    \ [\ int {\ left [{f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right] dx} = \ int {f \ left (x \ right) dx} \ pm \ int {g \ left (x \ right) dx}, \]

    я.4}}}}} {4} + C. \]

    Пример 5.

    Найдите неопределенный интеграл \ [\ int {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}} dx}. \]

    Решение.

    Запишем интегралы в виде суммы двух интегралов и вычислим их отдельно:

    \ [\ int {\ frac {{x + 1}} {{\ sqrt x}} dx} = \ int {\ left ({\ frac {x} {{\ sqrt x}} + \ frac {1}) {{\ sqrt x}}} \ right) dx} = \ int {\ left ({\ sqrt x + \ frac {1} {{\ sqrt x}}} \ right) dx} = \ int {\ sqrt x dx} + \ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x}}} = \ frac {{{x ^ {\ frac {3} {2}}}}} {{\ frac {3} { 2}}} + 2 \ sqrt x + C = \ frac {{2 \ sqrt {{x ^ 3}}}} {3} + 2 \ sqrt x + C. 3} x + C. \]

    См. Другие проблемы на странице 2.

    Методы интеграции

    Вы найдете это с помощью формулы (4) из предыдущего списка.

    Пример 2: Оценить.

    Подстановка и замена переменных

    Один из методов интегрирования, который полезен при вычислении неопределенных интегралов, которые, кажется, не соответствуют основным формулам, – это подстановка и замена переменных. Этот метод часто сравнивают с цепным правилом дифференцирования, потому что оба они применимы к составным функциям.В этом методе внутренняя функция композиции обычно заменяется одной переменной (часто и ). Обратите внимание, что производная или постоянное кратное производной внутренней функции должна быть множителем подынтегрального выражения.

    Цель использования метода подстановки – переписать задачу интегрирования в терминах новой переменной, чтобы затем можно было применить одну или несколько основных формул интегрирования. Хотя поначалу этот подход может показаться более трудоемким, в конечном итоге он значительно упростит вычисление неопределенного интеграла.

    Обратите внимание, что для того, чтобы окончательный ответ имел смысл, он должен быть записан в терминах исходной переменной интегрирования.

    Пример 6: Оценить

    Поскольку внутренняя функция композиции – x 3 + 1, заменить на

    Пример 7:

    Поскольку внутренняя функция композиции – 5 x , замените ее на

    Пример 8: Оценить

    Поскольку внутренняя функция композиции – 9 – x 2 , заменить на

    Интеграция по частям

    Другой метод интегрирования, который следует учитывать при вычислении неопределенных интегралов, которые не соответствуют основным формулам, – это интегрирование по частям. Вы можете рассмотреть этот метод, когда подынтегральное выражение является единственной трансцендентной функцией или произведением алгебраической функции и трансцендентной функции. Базовая формула интегрирования по частям –

    .

    , где u и v – дифференциальные функции переменной интегрирования.

    Общее практическое правило – сначала выбрать dv как наиболее сложную часть подынтегральной функции, которую можно легко интегрировать, чтобы найти v .Функция u будет оставшейся частью подынтегрального выражения, которая будет дифференцирована, чтобы найти du . Цель этого метода – найти интеграл ∫ v du , который легче вычислить, чем исходный интеграл.

    Пример 9: Оценить ∫ x сек 2 x dx .

    Пример 10: Оценить ∫ x 4 In x dx .

    Пример 11: Оценить ∫ arctan x dx .

    Интегралы, включающие степени тригонометрических функций, часто необходимо манипулировать, чтобы привести их в форму, в которой могут применяться основные формулы интегрирования. Для вас чрезвычайно важно быть знакомым с основными тригонометрическими тождествами, потому что вы часто использовали их, чтобы переписать подынтегральное выражение в более удобной форме. Как и при интегрировании по частям, цель состоит в том, чтобы найти интеграл, который легче вычислить, чем исходный интеграл.

    Пример 12: Оценить ∫ cos 3 x sin 4 x dx

    Пример 13: Оценить ∫ сек 6 x dx

    Пример 14: Оценить ∫ sin 4 x dx

    Если подынтегральное выражение содержит радикальное выражение формы, конкретная тригонометрическая замена может быть полезной при вычислении неопределенного интеграла.Некоторые общие правила, которым необходимо следовать,

    1. Если подынтегральное выражение содержит

    2. Если подынтегральное выражение содержит

    3. Если подынтегральное выражение содержит

    Правые треугольники могут использоваться в каждом из трех предыдущих случаев для определения выражения для любой из шести тригонометрических функций, которые появляются при вычислении неопределенного интеграла.

    Пример 15: Оценить

    Поскольку радикал имеет вид

    Правило степени для интегралов

    Правило степени для интегралов позволяет нам находить неопределенные (а затем и определенные) интегралы от множества функций, таких как многочлены, функции, содержащие корни, и даже некоторые рациональные функции.Если вы можете написать это с показателем степени, вы, вероятно, сможете применить правило мощности.

    Чтобы применить правило, просто возьмите показатель степени и добавьте 1. Затем разделите на это же значение. Наконец, не забудьте добавить константу C.

    объявление

    Интегралы от многочленов

    Нахождение интеграла от полинома включает применение правила мощности, а также некоторых других свойств интегралов. 2 \ text {dx} \)

    Решение

    Мы запишем здесь каждый шаг, чтобы вы могли увидеть процесс.2} {2} – 5x + C} \)

    Интегралы радикальных функций (функции с корнями)

    Чтобы применить это правило к этому типу функций, вы должны запомнить одну очень важную идею из алгебры.

    Итак, если мы можем написать функцию, используя экспоненты, мы, вероятно, сможем применить правило мощности.

    Пример

    Найдите: \ (\ displaystyle \ int \ sqrt {x} + 4 \ text {dx} \)

    Перед применением любого исчисления вы можете переписать интеграл, используя приведенное выше правило.{\ frac {7} {4}} + C} \ end {align} \)

    Вы заметили, что большая часть работы была связана с алгеброй? Это верно для большинства задач исчисления. Часть исчисления проста, в то время как алгебра требует от вас очень осторожности и составляет большую часть проблемы.

    Интегралы с отрицательными показателями

    Еще одно старое правило алгебры позволит нам использовать правило мощности, чтобы найти еще больше интегралов. 2} \ text {dx} \)

    Воспользуйтесь приведенным выше правилом и перепишите этот интеграл с показателями.4} + \ dfrac {1} {4x} + C} \ end {align} \)

    Обратите внимание, что это работает, только если показатель степени не равен –1. Если вы попытаетесь применить здесь правило мощности, вы получите деление на ноль. Есть другое правило для работы с такими функциями, как \ (\ dfrac {1} {x} \).

    объявление

    Сводка

    Как вы видели, правило мощности можно использовать для нахождения простых интегралов, но также и гораздо более сложных интегралов. Общая стратегия всегда одна и та же – если у вас еще нет экспонентов, посмотрите, сможете ли вы написать функцию, используя экспоненты.Затем примените правило мощности и упростите.

    Да, и не забудьте добавить C!

    Нужно больше практики?

    Пакет задач «Power Rule for Integration» содержит советы и рекомендации по устранению рабочих проблем, а также множество практических занятий с полными пошаговыми решениями.

    Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

    Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

    Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

    Связанные

    Основные правила интеграции

    Обзор

    Как и в случае с дифференцированием, есть несколько основных правил, которые мы можем применять при интеграции функций.Если вы знакомы с материалом на первых нескольких страницах этого раздела, вы уже должны быть довольны идеей о том, что интеграция и дифференциация противоположны друг другу. Это означает, что когда мы интегрируем функцию, мы всегда можем дифференцировать результат, чтобы получить исходную функцию. К сожалению, обратное неверно. Как только мы дифференцируем функцию, любой постоянный член в этой функции просто обращается в нуль, потому что производная любого постоянного члена равна нулю.Это то, что нам нужно иметь в виду, когда мы думаем о том, как мы будем интегрировать функцию, потому что это означает, что наш ответ всегда будет содержать константу с неизвестным значением. Мы называем эту константу постоянной интегрирования , C .

    Мы уже говорили о правиле мощности для интеграции в другом месте в этом разделе. Это правило, по сути, является обратным правилу степеней, используемому при дифференцировании, и дает нам неопределенный интеграл переменной, возведенной в некоторую степень.Чтобы освежить вашу память, формула правила мощности интегрирования выглядит следующим образом:

    900
    ось n d x = a x n +1 + C

    Эта формула дает нам неопределенный интеграл от переменной x в степени n , умноженный на постоянный коэффициент a (обратите внимание, что n не может быть равно минус один , потому что это приведет к нулю. в знаменателе в правой части формулы).Одного этого правила достаточно, чтобы мы могли интегрировать полиномиальные функции одной переменной. Мы просто интегрируем каждый член отдельно – знак плюс или минус перед каждым термином не меняется. Неопределенные интегралы некоторых общих выражений показаны ниже. Обратите внимание, что в этих примерах a представляет константу, x представляет переменную, а e представляет число Эйлера (приблизительно 2,7183). Также обратите внимание, что первые три примера в таблице получены из применения правила мощности.

    Неопределенные интегралы от некоторых общих функций

    Постоянное значение a :

    Переменная x :

    x d x = x 2 + C
    2

    Квадрат переменной x 2 :

    x 2 d x = x 3 + C
    3

    Величина, обратная переменной 1 / :

    1 d x = ln ( x ) + C
    x

    Экспоненциальная функция e x :

    e x d x = e x + C

    Другие экспоненциальные функции a x :

    9019 натуральный логит переменной ln ( x ):

    a x d x = a x + C
    ln ( a ) 932
    ln ( x ) d x = x ln ( x ) – x + C

    Синус переменной sin ( x ):

    sin ( x ) d x = -cos ( x ) + C

    Косинус переменной cos ( x ):

    cos ( x ) d x = sin ( x ) + C

    Основные правила интегрирования, которые мы опишем ниже, включают правила степени , постоянного коэффициента (или постоянного множителя ), суммы и разности правил.Мы предоставим несколько простых примеров, чтобы продемонстрировать, как работают эти правила.

    Правило власти

    Как мы видели, силовое правило для интеграции является обратным силовому правилу, используемому для дифференциации. Это дает нам неопределенный интеграл переменной в степени. Вот еще раз правило власти:

    900
    ось n d x = a x n +1 + C

    Давайте посмотрим на пару примеров того, как используется это правило.Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл x 3 . Применяя правило мощности, получаем:

    x 3 d x = x 4 + C
    4

    Иногда не так очевидно, что мы можем использовать правило мощности для нахождения неопределенного интеграла функции.Предположим, например, что мы хотим найти неопределенный интеграл выражения 3 x . Как мы можем использовать правило мощности для интегрирования функции кубического корня? На самом деле это довольно просто. Все, что нам нужно сделать, это переписать выражение так, чтобы мы получили степень x . Существует стандартная формула, которая позволяет нам выразить корень n -й из числа a в форме индекса (то есть как a в степени):

    n a = a 1 / n

    Применяя эту формулу к 3 x , получаем:

    3 x = x 1 / 3

    Теперь мы можем применить правило мощности, чтобы получить:

    x 1 / 3 d x = 3 x 4 / 3 + C

    Правило постоянного коэффициента

    Правило постоянного коэффициента (иногда называемое правилом постоянного множителя ) по существу говорит нам, что неопределенный интеграл c · ƒ ( x ), где ƒ ( x ) – некоторая функция, а c представляет собой постоянный коэффициент, равный неопределенному интегралу ƒ ( x ), умноженному на c .Формально это можно выразить следующим образом:

    c ƒ ( x ) d x = c ƒ ( x ) d x

    Правило постоянного коэффициента по существу позволяет нам игнорировать постоянный коэффициент в выражении, пока мы интегрируем остальную часть выражения. Например, предположим, что мы хотим найти неопределенный интеграл выражения 5 x 2 .Правило постоянных коэффициентов говорит нам, что неопределенный интеграл этого выражения равен неопределенному интегралу x 2 , умноженному на пять . Другими словами:

    5 x 2 d x = 5 x 2 d x

    Теперь мы просто применяем правило мощности к x 2 :

    5 x 2 d x = 5 x 3 + C
    3

    Правило сумм

    Правило сумм говорит нам, как мы должны интегрировать функции, которые являются суммой нескольких членов.По сути, это говорит нам, что мы должны интегрировать каждый член в сумме отдельно , а затем просто сложить результаты вместе. Порядок, в котором термины появляются в результате, не имеет значения. Формально это можно сформулировать следующим образом:

    (ƒ ( x ) + г ( x )) d x = ƒ ( x ) d x + г ( x ) г x

    Здесь вы можете спросить, почему правило написано именно так.Здесь очень важно понимать, что в функции, которая является суммой двух (или более) членов, каждый член можно рассматривать как самостоятельную функцию – даже как постоянный член. Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл полиномиальной функции ƒ ( x ) = 6 x 2 + 8 x + 10. Применяя правило сумм, получаем:

    (6 x 2 + 8 x + 10) d x = 6 x 2 d x + 8 x d x + 10 d x
    (6 x 2 + 8 x + 10) d x = 2 x 3 + 4 x 2 + 10 x + C

    Правило различия

    Правило разницы говорит нам, как мы должны интегрировать функции, которые включают разность двух или более членов.По сути, это то же самое, что и правило сумм, в том смысле, что оно говорит нам, что мы должны интегрировать каждый член в сумме отдельно . Единственное отличие состоит в том, что порядок, в котором появляются термины, имеет решающее значение, и его нельзя изменять. Формально это правило можно сформулировать следующим образом:

    (ƒ ( x ) – г ( x )) d x = ƒ ( x ) d x г ( x ) г x

    Давайте посмотрим на пример.Предположим, мы хотим найти неопределенный интеграл полиномиальной функции ƒ ( x ) = 4 x 3 – 18 x – 7. Применяя правило сумм, получаем:

    (4 x 3 – 18 x – 7) d x = 4 x 3 d x 18 x d x 7 d x
    (6 x 2 + 8 x + 10) d x = x 4 – 9 x 2 -7 x + C

    Правила суммы и разницы – это, по сути, одно и то же правило.Если мы хотим интегрировать функцию, которая содержит как сумму, так и разность ряда членов, следует помнить о том, что мы должны интегрировать каждый член отдельно и соблюдать порядок, в котором они появляются. Знак плюс или минус перед каждым термином не меняется. В качестве альтернативы вы можете думать о функции как о сумме ряда положительных и отрицательных членов и просто применять правило сумм. Тогда порядок не имеет значения – вам просто нужно помнить о знаке каждого термина.


    Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


    Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

    Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie.Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie.Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.2-5x + 3} \ dx $$

    В более общем виде интегралы вида $$ \ displaystyle \ int R (x) \ dx = \ int \ frac {P (x)} {F (x)} $$, где $$ P (x ) $$ и $$ F (x) $$ – многочлены.

    В случае, если степень $$ P (x) \ geqslant $$ степень $$ F (x) $$, необходимо выполнить деление многочленов, чтобы получить:

    $$ \ displaystyle \ frac {P (x)} {F (x)} = Q (x) + \ frac {f (x)} {F (x)} $$, где степень $$ f (x) )

    Разложение на простые дроби

    Чтобы разложить полиномиальную дробь на простые дроби, мы сначала должны выразить знаменатель как произведение многочленов 1-й и 2-й степени.p} + \ ldots $$$ где $$ A $$, $$ B $$, $$ M $$ и $$ N $$ неизвестны.

    Затем мы суммируем все эти полиномиальные функции, используя общий знаменатель, и приравниваем полученное значение к исходной дроби полинома, приравнивая коэффициенты каждой степени числителя.

    Как только коэффициенты получены, мы можем выразить исходный интеграл как сумму интегралов, которые мы знаем, как решить, используя логарифм и арктангенс.

    Порядок действий

    1. Убедитесь, что степень числителя больше, чем степень знаменателя.Если это не так, упростите дробь, сделав деление многочленов.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *