(35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.
aij– элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.
В общем виде матрицу размером m×n записывают так
.
Примеры:
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.
Главной
диагональю квадратной
матрицы назовём диагональ, идущую из
левого верхнего в правый нижний угол.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .
↑ назад в содержание ↑
Во всех случаях, когда вводятся новые математические объекты, необходимо договариваться о правилах действийнад ними, а также определить – какие объекты считаются равнымимежду собой.
Природа объектов не имеет никакого значения. Это могут быть вещественные или комплексные числа, векторы, матрицы, строки или что-то иное.
К
числу стандартных действий относятся
линейные операции, а именно: умножение
на число и сложение; в данном конкретном
случае – умножкние матрицы на число и
сложение матриц.
При умножении матрицы на число каждый матричный элемент умножается на это число, а сложение матриц подразумевает попарное сложение элементов, расположенных в эквивалентных позициях.
Терминологическое выражение ” линейная комбинация<” (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Матрицы A = || ai j || и B = || ai j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:
| (1) |
|
для
любых допустимых значений индексов i
и j.
К линейным
операциям над
элементами множества или пространства
относятся операции сложения элементов
и их умножения на скаляр (число).
Умножение
матрицы на число
При
умножении матрицы A
на число λ
(слева или справа) каждый ее матричный
элемент умножается на это число:
| (2) |
|
Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:
| (3) |
|
Линейной
комбинацией матриц A и B называется
выражение вида ,
гдеи– числовые коэффициенты.
↑ назад в содержание ↑
Прямоугольная матрица – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2
Cтраница 2
Прямоугольную матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора, отображающего одно векторное пространство в другое. [16]
Прямоугольной матрицей называется множество чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. [17]
Если прямоугольная матрица составлена из нулей и единиц, то минимальное число линий, которые содержат все единицы, равно максимальному числу единиц, которые могут быть выбраны так, чтобы никакие две из них не лежали на одной и той же линии. [18]
BI укороченная прямоугольная матрица, то метод, приведенный в § 12 – 2 а, изменяется следующим образом. Вместо преобразования к контурным величинам необходимо произвести преобразование к узловым величинам.
[19]
Идеология прямоугольных матриц позволяет освободиться от разграничения матриц и векторов. Теперь все можно считать матрицами – но надо следить, какую матрицу представляет собой вектор – вектор-столбец или вектор-строку. [20]
Понятие прямоугольной матрицы
Понятие прямоугольной матрицы позволяет считать векторы тоже матрицами. Чтобы матрицу А умножать на х справа, надо, чтобы элемент х был обязательно вектор-столбцом. После транспонирования вектор-столбца возможно х А. [22]
ПОДМАТРИЦА прямоугольной матрицы А размера пХ т – матрица размера kxl, где lfcre, lfm, образованная элементами, находящимися на пересечении фиксированных k строк и 2 столбцов матрицы с сохранением прежнего порядка.
Для прямоугольных матриц одно обращение ( например, левостороннее) может существовать без другого, но для квадратных матриц это невозможно. [24]
Для прямоугольной матрицы А размера т X п определитель квадратной подматрицы / г-го порядка называется м и н о р о м / г – ro порядка матрицы А. [25]
Умножение прямоугольных матриц можно связать с последовательным выполнением линейных преобразований неизвестных, если только в определении последних отказаться от предположения, что число неизвестных сохраняется при линейном преобразовании. [26]
Изучение прямоугольных матриц наталкивается на определенные трудности, связанные с тем, что две такие матрицы одного и того же размера нельзя перемножать. Более того, при умножении матрицы размера ту г на матрицу размера / Хя получается матрица, размер которой тХл отличается от размера каждой из перемноженных матриц. [27]
Ранг прямоугольной матрицы А не превосходит минимального из чисел ее строк и столбцов.
[28]
| Конструкция матриц. [29] |
У прямоугольных матриц и пуансонов-матриц буртики выполняют только с двух сторон. [30]
Страницы: 1 2 3 4
Различные типы матриц
Типы матриц:
Существуют различные типы матриц, такие как прямоугольная матрица, нулевая матрица, квадратная матрица, диагональная матрица и т. д. В этом посте представлен обзор различных типов матриц.
(1) Матрица строк: Матрица строк — это тип матрицы, которая имеет только одну строку. Он может иметь несколько столбцов, но в матрице строк присутствует только одна строка. Пример матрицы строк может быть задан как
содержит всего одну строку, но три столбца.
Мы можем математически определить матрицу строк как:
Матрица формы
, где 1 представляет только одну строку, а n представляет количество столбцов.
(2) Матрица столбцов: Матрица столбцов — это тип матрицы, который имеет только один столбец. Он может иметь несколько строк, но в матрице столбцов присутствует только один столбец. Пример матрицы столбца может быть задан как:
, который имеет только один столбец, но имеет три строки.
Мы можем математически определить матрицу столбцов как:
Матрица вида
где m представляет количество строк, а 1 представляет только один столбец.
(3) Нулевая матрица: Нулевая матрица — это тип матрицы, в которой все элементы равны нулю. Пример нулевой матрицы может быть указан как
9.0003
. Мы также можем математически определить нулевую матрицу как :
, где
для всех i,j.
(4) Прямоугольная матрица: Прямоугольная матрица — это тип матрицы с неравным количеством строк и столбцов.
Пример прямоугольной матрицы может быть задан как
, где у нас неравное количество строк и столбцов в матрице. Количество столбцов — 2, количество строк — 3.
Мы можем математически определить прямоугольную матрицу как матрицу формы
где
.
(5) Квадратная матрица: Квадратная матрица представляет собой тип матрицы , которая имеет равное количество строк , столбцов и столбцов . Пример квадратной матрицы может быть задан как
, где у нас равное количество строк и столбцов, равное 3.
Мы можем математически определить квадратную матрицу как матрицу формы
, где
.
(6) Диагональная матрица: Тип квадратной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, матрица
является диагональной матрицей.
Мы можем математически определить диагональную матрицу как матрицу вида
, где
когда
.
(7) Матрица идентичности: Это тип квадратной матрицы, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все недиагональные элементы равны 0. Ее также называют единичной матрицей.
Пример единичной матрицы может быть задан как
Мы можем математически определить единичную матрицу как матрицу формы
, где
для
и
для
.
(8) Скалярная матрица: Это квадратная матрица, в которой все элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю. Например,
является примером скалярной матрицы.
Мы можем математически определить скалярную матрицу как матрицу вида:
, где
для
и
для
, где k – любой скаляр.
(9) Верхняя треугольная матрица: Это тип квадратной матрицы, в которой все элементы ниже главной диагонали равны 0. Например,
является примером верхней треугольной матрицы.
Мы можем математически определить верхнюю треугольную матрицу как матрицу вида:
, где
для i>j.
(10) Нижняя треугольная матрица: Это тип квадратной матрицы, в которой все элементы выше главной диагонали равны 0. Например.
— пример нижней треугольной матрицы.
Мы можем математически определить нижнюю треугольную матрицу как матрицу вида:
где
для j>i.
Метод замены переменных для прямоугольных матрично-векторных произведений
Эдмонд Каннингем, Мадалина Фитерау Материалы 24-й Международной конференции по искусственному интеллекту и статистике , PMLR 130:2755-2763, 2021.
Аннотация
Произведения прямоугольных матриц-векторов (MVP) широко используются в машинном обучении и имеют основополагающее значение для нейронных сетей, таких как многослойные персептроны. Однако заметно отсутствует использование прямоугольных MVP в последовательных нормирующих преобразованиях потока. В этой статье выявляется этот методологический пробел и затыкается с помощью длинной и широкой формулы изменения переменных MVP. Наша теория строится на практическом алгоритме, который охватывает существующие методы увеличения размерности потоков, такие как расширенные потоки. Мы показываем, что высокие MVP тесно связаны со стохастической инверсией широких MVP, и эмпирически демонстрируем, что они улучшают оценку плотности по сравнению с существующими методами изменения размерности.
Процитировать эту статью
БибТекс
@InProceedings{pmlr-v130-cunningham21a,
title = {Метод замены переменных для прямоугольных матрично-векторных произведений},
автор = {Каннингем, Эдмонд и Фитерау, Мадалина},
booktitle = {Материалы 24-й Международной конференции по искусственному интеллекту и статистике},
страницы = {2755--2763},
год = {2021},
редактор = {Банерджи, Ариндам и Фукумизу, Кендзи},
громкость = {130},
серия = {Материалы исследования машинного обучения},
месяц = {13--15 апр},
издатель = {PMLR},
pdf = {http://proceedings.
mlr.press/v130/cunningham21a/cunningham21a.pdf},
URL = {https://proceedings.mlr.press/v130/cunningham21a.html},
abstract = { Прямоугольные матрично-векторные произведения (MVP) широко используются в машинном обучении и имеют фундаментальное значение для нейронных сетей, таких как многослойные персептроны. Однако заметно отсутствует использование прямоугольных MVP в последовательных нормирующих преобразованиях потока. В этой статье выявляется этот методологический пробел и затыкается с помощью длинной и широкой формулы изменения переменных MVP. Наша теория строится на практическом алгоритме, который охватывает существующие методы увеличения размерности потоков, такие как расширенные потоки. Мы показываем, что высокие MVP тесно связаны со стохастической инверсией широких MVP, и эмпирически демонстрируем, что они улучшают оценку плотности по сравнению с существующими методами изменения размерности. }
}
Сноска
%0 Документ конференции
%T Метод замены переменных для прямоугольных произведений матрицы на вектор
%A Эдмонд Каннингем
%A Мадалина Фитерау
%B Материалы 24-й Международной конференции по искусственному интеллекту и статистике
%C Материалы исследования машинного обучения
%D 2021
%E Ариндам Банерджи
%E Кенджи Фукумизу
%F pmrr-v130-cunningham21a
%I PMLR
%Р 2755--2763
%U https://proceedings.