Прямоугольные матрицы как решать: Как решать прямоугольные матрицы. Понятие матрицы. Виды матриц

18. Решение слау с прямоугольной матрицей, общее решение, фундаментальные решения Фундаментальная система решений

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.

Определение

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

Пример

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы 

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей – четыре первых, от четвертой – две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем  третьей и третью строку умножим на  :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь  – независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные),  – зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные).

Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных  (в рассматриваемом примере  , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы  (в этом случае получили, что  – количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): 

Так как ранг матрицы  , а количество неизвестных системы  , то тогда количество решений в ФСР  (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются 

любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения  , получаем, что  .

Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря  , , будем иметь, что  , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты  не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

    

Придавая константам  определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Шпаргалка по “Высшей математике”

1. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Матрицей  размера m на n называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т. д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа – номер строки и номер столбца.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная  матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

 Диагональная  матрица, у которой все диагональные  элементы равны 1, называется единичной  матрицей 
Сложение матриц.

Свойства сложения:

• А + В = В + А.
• (А + В) + С = А + (В + С) .
• Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2.

Отметим еще раз, что  складывать можно только матрицы  одинаковой размерности.

Умножение матрицы на число.

Свойства умножения матрицы на число

• (km)A=k(mA).
• k(A + B) = kA + kB.
• (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С+В=А, т.е. С=А+(-1)В. 
Перемножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий  для размерностей сомножителей, а  именно: число столбцов первого множителя  должно равняться числу строк  второго.

Для квадратных матриц одного порядка  произведения АВ и ВА существуют и  имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем  случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают

Обратная матрица.

 Квадратная матрица А называется вырожденной, если ∆А=0, и невырожденной, если∆А≠0

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается

Для существования обратной матрицы  необходимо и достаточно, чтобы  исходная матрица была невырожденной.

 

2. Определитель матрицы. Свойства определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. (∆А)

Свойства  определителей

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):  , где и т. д. — строчки матрицы,  — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором  элемента  матрицы  n-го  порядка  называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

 При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются. 
Алгебраическим дополнением  Аij  элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

4. Теорема замещения.

Суммы произведений произвольных чисел bi ,b2,…,b на алгебраические дополнения элементов любого столбца или строки матрицы порядка n равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)числами b1,b2,…,bn.

5. Теорема аннулирования.

Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

 

 

6. Некоторые методы вычисления определителей.

Теорема (Лапласа). Определитель матрицы порядка N = сумме произведения всех миноров k-го порядка которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов и алгебраических дополнений этих миноров

Теорема (о разложении определителя по элементам  ряда). Определитель кв. матрицы=сумме  произведений элементов некоторого ряда и алгебраических

дополнений  этих элементов

7. Умножение матриц. Свойства умножения.

Операция  умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк  второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что:_,

где i=_{, , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.}

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности  в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством  строк 2-ой матрицы. Для согласованных  матриц можно определить операцию умножения.

Если  матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

8. Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица — матрица  , полученная из исходной матрицы   заменой строк на столбцы. 
Формально, транспонированная матрица для матрицы   размеров   — матрица   размеров  , определённая как A^T[i, j] = A[j, i]. 
Например,

      и       

9. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А^-1, A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм  нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а_ij записываем его алгебраическое дополнение.

а_ijАij

А* – союзная  матрица.

2. транспонируем полученную союзную матрицу. А^*Т
3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

_{,  A^-1 =A^*Т}

Теорема: (об аннулировании определителя): 
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.

10. Матричная запись системы линейных уравнений и её решения.

Матрицы дают возможность кратко записать систему  линейных уравнений. Пусть дана система  из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем  произведение

т.е. в  результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему  можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу  можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно  решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

11. Решение невырожденных линейных систем, формулы Крамера.

СЛАУ  принято записывать в матричной  форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.

Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:

Х=А^-1*В

А^-1=

X1=_{(A11b1 + A21b2 + …+An1bn)}

Теорема: (Крамера): 
решение невырожденных уравнений АХ=В, _{можно записать так:}

_{, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец    свободного члена В.}

12. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Максимальное  число линейно-зависимых строк  матрицы A наз. рангом матрицы и обознач r(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы.

Свойства:

1)при  транспонировании rang=const.

2)если  вычеркнуть нулевой ряд, то  rang=const;

3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.

3)для  вычисл ранга с помощью элементар преобраз матрица A преобраз в матриц B, ранг которой легко находится.

4)ранг  треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. диагоналях.

Методы нахождения ранга матрицы:

1. метод окаймляющих миноров
2. метод элементарных преобразований

Метод окаймляющих миноров:

метод окаймляющих  миноров позволяет алгоритмизировать  процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.

1. если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0
2. если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0

теперь  будем окаймлять минор М1, т. е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.

М2 (i, i1, j.j1)

Дальше  аналогично строим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 (минор), до тех пор, пока не получим минор, отличный от нуля.

Процесс будет продолжаться до одного из событий: 
1. размер минора достигнет числа к.

2. на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.

В обоих  случаях величина ранга-матрицы  будет равна порядку большего отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований: 
как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.

 

Например: _{ранг = 2.}

 

13. Теорема Кронекера – Капелле. Решение произвольных линейных систем.

Теорема Кронекера-Капелли: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rang_{(волнистая). Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совмест сист < числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений.}

linear алгебра – Каков общий метод решения $Ax = b$, когда A прямоугольная

спросил 7 лет, 3 месяца назад

Изменено 7 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Предположим, мне дано, что

$A = \begin{bmatrix} 2 &4& 6 &-2 \\ 1& 0& 1 &1 \\ 0& 2 &2& -2 \end{bmatrix}$ а также $b = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

Что мне нужно сделать, чтобы найти $x$?

Должен ли я попытаться решить уравнение одновременно:

$2x_1 + 4x_2 + 6x_3 – 2x_4 = 4$

$x_1 + x_3 + x_4 = 2$

$2x_2 + 2x_3 -2x_4 = 1$

5 9 единственный способ подойти к этой проблеме?

• линейная алгебра

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Это единственный способ решить эту проблему?

На самом деле $Ax=b$ эквивалентно данной системе линейных уравнений (только в другой записи).

Но было бы проще решить, если бы мы сначала преобразовали расширенную матрицу в форму эшелона строк:

\begin{align*} \left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 4 & 6 & -2 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 \\ \end {массив}\справа] & \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & -2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 \\ \end {массив}\справа] \\ & \xrightarrow{R_2 \получает R_2-2R_1} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & -4 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 \\ \end {массив}\справа] \\ & \xrightarrow{R_2 \gets \tfrac{1}{4} R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 \\ \end {массив}\справа] \\ & \xrightarrow{R_3 \получает R_3-2R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{ массив}\справа]. \end{выравнивание*}

Поскольку операции со строками сохраняют множество решений, система уравнений $Ax=b$ будет иметь то же множество решений, что и система уравнений $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Если есть решения, их можно найти с помощью псевдоинверсии Мура-Пенроуза. 9+$ и любой $w$.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

линейная алгебра – Общее решение $AX=B$ для прямоугольных матриц

спросил 1 год, 8 месяцев назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 147 раз

$\begingroup$

Пусть $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &-1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{ bmatrix} \frac{3}{2} &-\frac{3}{2} &0\\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Найдите общее решение для $AX=B$.

---

В моем учебнике сказано, что мы можем составить новое уравнение $CX=D$,где

$$C=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 и 1 и -1 и 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1\\ \end{matrix}\right],\qquad D=\left[ \begin{matrix} \frac{3}{2} &-\frac{3}{2} &0\\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1\\ c_1, c_3 и c_5\\ c_2 & c_4 & c_6\\ \end{matrix}\right]$$

где $c_1,\dots,c_6$ – любые константы. Тогда решите это получите

$$X=\left[\begin{matrix} \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} &0\\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1\\ 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 0 \\ \end{matrix}\right]+\left[ \begin{matrix}-2 & 1\\ 1&0\\1& 0\\0 & 1 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}c_1& c_3 &c_5\\ c_2 &c_4 &c_6 \end{matrix}\right]$$

Я действительно не понимаю, почему это сработает.

• линейная алгебра
• матрицы
• системы уравнений
• матричные уравнения

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Что касается компонентов, у нас есть $$\sum_{j}A_{ij}X_{jk}=B_{ik}.$$ Матрица $X$ имеет $4\times 3 =12$ компонент, а $i$ может принимать значения $1,2,3 $ и $k$ могут принимать значения $1,2,3$, так что похоже, что у нас $9$ уравнений для $12$ неизвестных и ожидается $3$ свободных констант. Затем мы замечаем, что $A_{3,j}=0$ для всех значений $j$, поэтому три наших уравнения не дают нам никакой информации, и мы ожидаем $3+3=6$ свободных констант, как в ответе учебника.