Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема 13.
Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.
Всем привет. Сегодня мы выведем формулу суммы первых n-членов геометрической прогрессии.
Расскажу историю о награде изобретателя шахматной игры. По преданию, индийский принц, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, что исполнить любое твое желание». Изобретатель попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Говорят, что принц рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него ученый.
Так сколько же зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Итак, получим последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…
А это геометрическая прогрессия (bn):
Возникает необходимость найти сумму 64-х слагаемых: S64 = 1+2+4+8+16+32+64+…
Это очень сложно и громоздко…
Давай выведем формулу суммы первых n-членов (Sn) для геометрической прогрессии (bn). Обозначим сумму (Sn):
Sn =b1+b2+b3+b4+…+bn (1).
Умножим обе части этого равенства на q, получим:
Snq=b1
Учитывая, что
b2=b1q, b3=b2q, …., bn =bn-1q, получим:
Snq=b2+b3+b4+….
bn-1q+ bn+bnq (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:
Snq- Sn= (b2+b3+b4+…+ bn+ bnq) – (b1+b2+b3
Sn(q-1)= bnq- b1, отсюда
S n = bnq-b1q-1; q≠1
При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде, подставим вместо bn формулу n-го члена bn=b1qn-1
S n=bnq-b1q-1= b1qn-1q-b1q-1= b1qn-b1q-1= S n=b1(qn-1)q-1, если q≠1.
Итак,
|
Sn=b1(qn-1)q-1 |
Вернемся к задаче о вознаграждении и вычислим количество зерен:
S64 =1(264-1)2-1=264-1= 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18,4 ∙ 1018
Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.
Давай рассмотрим несколько примеров:
(bn) – геометрическая прогрессия, где
b1=2, b2= -4. Найдем сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:
S n=b1(qn-1)q-1 , q=b2b1=-2,
S8=2((-2)8-1)-2-1=2(256-1)-3=-170
Ответ: 170
Рассмотрим еще один пример:
Найдем сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 3; 6; 12; 24;….
Найдите S10 = ?
S n =b1(qn-1)q-1, q=b2b1=63=2
S10=b1(qn-1)q-1 = 3(210-1)2-1 = 3(210 – 1)=
3 ∙ (1024 – 1) = 3 ∙ 1023 = 3069.
Ответ: 3069
В следующей задаче найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 6 и четвертый – равен 54, если известно, что все ее члены положительны.
Итак, чтобы найти сумму семи членов, необходимо найти знаменатель данной прогрессии.
Знаменатель прогрессии тогда равен:
$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$
Если знаменатель прогресии:
- Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
Пример:
1, -2, 4, -8, 16, -32… – знаменатель -2 и первы член 1. - Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
Пример:
1, 5, 25, 125, 625 … – знаменатель 5. - Меньше чем -1,
Пример:
1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … – знаменатель -5. - Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
Пример:
4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 … – знаменатель $\frac{1}{2}$
4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 .
3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$что верно только для |q| < 1
Калькулятор геометрической прогрессии
Задачи с геометрической прогрессией
Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8… геометрической прогрессией?
Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8… Чему равен ее 10-й член?
Решение: Мы можем использовать формулу an = a1 . qn-1
a10 = 2 . 210-1 = 2 . 512 = 10243) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
a5 – a1 = 15
a4 – a2 = 6
Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума
Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
2 * 200 / 100
Форум о прогрессияхОтвет: Потери на трение 69,75 PSI для 200-футового шланга диаметром 1,75 дюйма при скорости 150 галлонов в минуту.
Ответ проверен в калькуляторе потерь на трение
Таблица коэффициентов Диаметр Коэффициент 0,75 дюйма 1100 1 дюйм 150 1 ¼ дюйма 80 1 ½ дюйма 24 1 ¾ дюйма 15,5 2 дюйма 8 2 ½ дюйма 2 3 дюйма 0,677 3 ½ дюйма 0,34 4 дюйма 0,2 4 ½ дюйма 0,1 5 дюймов 0,08 6 дюймов 0,05
Потренируйтесь решать уравнения потерь на трение и проверьте свой ответ по ссылке:Каковы потери на трение 200 футов шланга диаметром 1,75 дюйма с расходом 200 галлонов в минуту? Какова потеря на трение 150 футов 2-дюймового шланга с расходом 500 галлонов в минуту? Ответ 150 футов 2-дюймового шланга с потоком 500 галлонов в минуту
Какова потеря на трение 100-футового 1-дюймового шланга с расходом 100 галлонов в минуту? шланг течет 100 галлонов в минуту
Каковы потери на трение 300 футов 3-дюймового шланга с расходом 600 галлонов в минуту? Ответ 300 футов 3-дюймового шланга с потоком 600 галлонов в минуту
Каковы потери на трение 400 футов 3-дюймового шланга с расходом 800 галлонов в минуту? 4-дюймовый шланг с расходом воды 800 галлонов в минуту
Проверьте собственные потери на трение с помощью Калькулятора потерь на трение
Потеря на трение происходит, когда вода проходит через шланг.
Длина шланга, диаметр и GPM (объем) влияют на потери на трение. Когда вода проходит через шланг, трение между водой и внутренней поверхностью шланга вызывает турбулентность, которая замедляет движение воды. Это приводит к падению давления в фунтах на квадратный дюйм (потеря давления) на другом конце шланга. Чем больше галлонов в минуту, проходящих через шланг, тем больше будет турбулентность и потери на трение.Примеры потерь на трение:
100 футов 1 дюйм при 100 галлонах в минуту = 150 фунтов на квадратный дюйм
100 футов 1 1/2 дюйма при 100 галлонах в минуту = 24 фунта на квадратный дюйм 3/4 дюйма при 150 галлонах в минуту = 69,75 фунт/кв. 62 PSI
100 футов 2 1/2 дюйма при 150 галлонах в минуту = 4,5 фунтов на квадратный дюйм
100 футов 2 1/2 дюйма при 200 галлонах в минуту = 8 фунтов на квадратный дюйм
100 футов 2 1/ 2 дюйма при 300 галлонов в минуту = 18 фунтов на квадратный дюйм
200 футов 2 1/2 дюйма при 300 галлонов в минуту = 36 фунтов на квадратный дюймИнструменты оператора пожарной машины
- Таблицы потерь на трение
Список печатаемых таблиц потерь на трение для шлангов всех распространенных размеров- Распечатка потерь на трение 1 3/4 дюйма
- Распечатка потерь на трение 2 1/2 дюйма
- Памятка по потерям на трение
Компактная таблица потерь на трение для размеров шлангов и комбинации галлонов в минуту. Ограничено шагом в 100 футов и большими скачками между галлонами в минуту. - Формула потерь на трение Математическая формула для расчета потерь на трение. Эффективно, но требует больше времени и подвержено ошибкам.
- Инструкции по расчету давления нагнетания насоса
Изучение управления давлением насоса с учетом изменения высоты, потери на трение в шланге и потери на трение в устройстве. - Схема насоса и водопровода
Визуальный инструмент для отображения насоса пожарной машины и водопровода. Следуйте за водой, чтобы узнать, как насос, клапаны и водопровод работают вместе, чтобы доставить воду к огню.
FireDepartment.net стремится предоставить пожарным подразделениям и пожарным качественные инструменты. Но пользователь берет на себя полную ответственность за информацию, содержащуюся выше. Используйте на свой риск!
Формулы набора — выучить формулу для множества в математике
Формулы набора — это формулы, связанные с теорией множеств в математике.
Набор — это набор четко определенных объектов, состоящий из отдельных элементов. Знание множеств помогает нам применять формулы множества в областях, связанных со статистикой, вероятностью, геометрией и последовательностями.Формулы множеств включают объединение, пересечение, дополнение и разность множеств. Диаграммы Венна обычно используются для визуализации формул множества, чтобы получить их доказательство. Давайте узнаем о формулах множества на нескольких решенных примерах.
Что такое формулы наборов?
Формулы множеств были получены из теории множеств, и их можно использовать в качестве справочника. Напомним обозначения множеств, символы, определения и свойства множеств перед формулой.
- Если n(A) и n(B) обозначают количество элементов в двух конечных множествах A и B соответственно, то для любых двух перекрывающихся множеств A и B n(A∪B) = n(A) + n (Б) – п(А⋂В)
- Если множества A и B не пересекаются, n(A∪B) = n(A) + n(B)
- Если A, B и C — 3 конечных множества в U, то n(A∪B∪C) = n(A) +n(B) + n(C) – n(B⋂C) – n (A⋂ B)- n (A⋂C) + n(A⋂B⋂C)
Множества Формулы свойств множеств
Множественные формулы имеют почти такие же свойства, как действительные числа или натуральные числа.
Множества также следуют коммутативному свойству, ассоциативному свойству, дистрибутивному свойству. Формула множества, основанная на свойствах множеств, выглядит следующим образом.Коммутативность:
- A⋂B = B⋂A
- А∪В = В∪А
Ассоциативность:
- A⋂ (B⋂C) = (A⋂B)⋂C
- А∪ (В∪С) = (А∪В)∪С
Распределяемость: A ⋂(B∪C) = (A ⋂B) ∪ (A⋂C)
Закон идемпотента:
- A ⋂ A = A
- А ∪ А = А
Закон Ø и ∪:
- A⋂ Ø = Ø
- U ⋂ А = А
- А ∪ Ø = А
- U ∪ А = U
Наборы Формулы комплектующих Наборы
Формулы множества для дополнения множества включают основной закон дополнения, законы Де Моргана, двойное дополнение, а также закон пустого множества и универсального множества.
- Закон дополнения: A∪A’ = U, A⋂A’ = Ø и A’ = U – A
- Законы Де Моргана: (A ∪B)’ = A’ ⋂B’ и (A⋂B)’ = A’ ∪ B’
- Закон двойного дополнения: (A’)’ = A
- Законы Пустого множества и Универсального множества: Ø’ = ∪ и ∪’ = Ø
Наборы Формулы разности наборов
Формулы набора или разности наборов для двух наборов, для нулевого набора и для дополнения набора следующие.
- А – А = Ø
- Б – А = В⋂ А’
- Б – А = В – (А⋂В)
- (A – B) = A, если A⋂B = Ø
- (А – В) ⋂ С = (А ⋂ С) – (В ⋂ С)
- А ΔВ = (А-В) U (В-А)
- n(AUB) = n(A – B) + n(B – A) + n(A⋂B)
- n(A – B) = n(A∪B) – n(B)
- n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
- n(A ‘ ) = n(∪) – n(A)
Прочие формулы важных множеств
- n((A∪B) ‘ ) = n(U) + n(A⋂B) – n(A) – n(B)
Давайте посмотрим на несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулы множеств.
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Решенные примеры с использованием формул наборов
Пример 1: В клубе каждый человек играет в шахматы, карром или и то, и другое.
Количество людей, играющих в шахматы, карром или и то, и другое, составляет 11, 12 и 3 соответственно. Представив эту информацию в виде множеств и используя формулы множеств, найдите людей, которые играют либо в шахматы, либо в карром?Решение:
Пусть n(шахматы)= n(P) и n(шахматы) = n(Q)
Тогда имеем n(шахматы или карром) = n(P∪Q) и n(шахматы и карром) = n(P ∩ Q)
При n(P) = 12 , n(Q) = 12 и (P∩Q) = 3
Применяя формулу набора, n(P∪Q) = n(P) + n(Q) – n( P∩Q) = 11 + 12 – 3 = 20
Ответ: число людей, играющих и в шахматы, и в карром = 20
, 52 учащихся любят играть в бейсбол. Все ученики любят играть хотя бы в одну из двух игр. Используя формулу множеств, найдите, сколько студентов любят играть в футбол или бейсбол ? Сколько студентов любят играть только в футбол?
Решение:
Дано: n(A U B ) = 70, n(A) = 45, n(B) = 52
Требуется найти n (A ⋂ B)
Используя формулу множеств, n (A ⋂ B)= n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
n(A ⋂ B)= 45 + 52 – 70 = 27
Студенты, которые любят играть только в футбол = 45 – 27 =18
Ответ: 18 учащихся любят играть только в футбол.
Пример 3: Есть 100 студентов, 35 любят рисовать и 45 любят танцы, а 10 любят и то, и другое. Скольким ученикам нравится любой из них или ни один из них?
Решение:
Общее количество учеников = 100
Количество учеников, которым нравится рисовать, n(P) = 35
Количество учеников, которым нравится танцевать, n(D) = 45 как и в обоих случаях, n(P∩D) = 10
Требуется найти n(A ∪ B), т. е. число студентов, которым нравится любой из них, и
Используя формулу множеств, n(P∪D) = n( P) + n(D) – n(P∩D)
⇒ 45 + 35 – 10 = 70
Количество учащихся, которым не нравится ни то, ни другое = Общее количество учащихся – n(P∪D) = 100 – 70 = 30
Ответ: Следовательно 70 учащимся нравится любой из них, а 30 учащимся не нравится ни один из них.
Часто задаваемые вопросы о формулах наборов
Что такое формула наборов?
Формула множества задается в общем виде как n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B), где A и B — два множества, а n(A∪B) показывает количество элементов, присутствующих либо в A, либо в B, а n(A⋂B) показывает количество элементов, присутствующих как в A, так и в B.
Что такое формула пересечения множеств?
Формула множества для пересечения множеств A и B обозначается ⋂. n(A⋂B) означает элементы, общие для обоих множеств A и B. n(A⋂B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
Каковы применения формул для множеств ?
Формулы набора имеют широкий спектр применения во многих абстрактных понятиях. Например, если R — множество действительных чисел, а Q — множество рациональных чисел, то R-Q = множество иррациональных чисел. Теория вероятности принимает правила множеств. Например, выборочное пространство — это универсальное множество. Если A и B — два взаимоисключающих события, то P(A∪B) = P(A) + P(B) — P(A⋂B).
Что такое декартова формула произведения множеств?
Если A и B — два множества, их декартово произведение — это множество упорядоченных пар элементов множества A и множества B. A × B = {(x,y) / x ∈ A и y ∈ B}
Что Являются ли формулы набора дополнением к набору?
Формулы множества для дополнения множества следующие.
- Таблицы потерь на трение
3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$
Длина шланга, диаметр и GPM (объем) влияют на потери на трение. Когда вода проходит через шланг, трение между водой и внутренней поверхностью шланга вызывает турбулентность, которая замедляет движение воды. Это приводит к падению давления в фунтах на квадратный дюйм (потеря давления) на другом конце шланга. Чем больше галлонов в минуту, проходящих через шланг, тем больше будет турбулентность и потери на трение.
Ограничено шагом в 100 футов и большими скачками между галлонами в минуту.
Набор — это набор четко определенных объектов, состоящий из отдельных элементов. Знание множеств помогает нам применять формулы множества в областях, связанных со статистикой, вероятностью, геометрией и последовательностями.
Множества также следуют коммутативному свойству, ассоциативному свойству, дистрибутивному свойству. Формула множества, основанная на свойствах множеств, выглядит следующим образом.
Количество людей, играющих в шахматы, карром или и то, и другое, составляет 11, 12 и 3 соответственно. Представив эту информацию в виде множеств и используя формулы множеств, найдите людей, которые играют либо в шахматы, либо в карром?
