Расширенная матрица метод гаусса: Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Содержание

1.2.3. Метод Гаусса

Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы, если определитель системы равен нулю. В связи с этим, рассмотрим еще один, наиболее универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.

Пусть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных1.

(1.2)

Расширенной матрицей системы (1.2) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:

(1.3)

Расширенная матрица системы называется верхнетреугольной, если в матрице системы все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

(1. 4)

Расширенную матрицу системы мы будем называть диагональной, если матрица системы представляет собой единичную:

(1.5)

К элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы относятся преобразования трех типов:

1) Перемена местами любых двух строк:

.

2) Умножение любой строки на любое число, отличное от нуля

.

3) Прибавление к любой строке любой другой, умноженной на произвольное число:

.

Известно, что элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной матрице, т.е. система линейных алгебраических уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет те же решения, что и исходная.

Идея метода Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований от расширенной матрицы системы вида (1.

3) перейти вначале к верхнетреугольной матрице (1.4) (прямой ход метода Гаусса), а затем и к диагональной (1.5) (обратный ход метода Гаусса).

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы не возникло ни одной нулевой строки (это соответствует тому, что определитель исходной системы отличен от нуля), то система имеет единственное решение. Его легко найти, исходя из диагонального вида: .

Продемонстрируем на примерах технику использования элементарных преобразований.

Пример 8. Решить систему уравнений .

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Выберем в первом столбце ведущий элемент, т.е. элемент, с помощью которого удобно будет сделать нули под ним. Таким числом является единица. Поменяем местами первую и третью строки (элементарное преобразование 1-го вида):

С помощью элементарных преобразований 3-го типа делаем нули под ведущим элементом ():

.

Теперь выбираем ведущий элемент во втором столбце. Поскольку пока единицы нет, то её желательно создать. Для этого из второй строки вычтем удвоенную третью ():

.

Делаем нуль под ведущим элементом ():

.

Умножим третью строку на (– элементарное преобразование 2-го типа):

.

Мы получили матрицу верхнетреугольного вида. Переходим к обратному ходу метода Гаусса. В качестве ведущего элемента выбираем единицу, стоящую в третьем столбце. Делаем нули над ней ():

.

Последний шаг. С помощью единицы во втором столбце зануляем элемент над ней ():

.

Получена матрица диагонального вида. Проверку полученного решения сделайте самостоятельно. Ответ: .n

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы возникает хотя бы одна нулевая строка (это означает, что определитель исходной системы равен нулю), то система либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример 9. Решить систему уравнений

Решение.

Распишем последнюю строку полученной матрицы в виде уравнения:

Очевидно, что это уравнение, а значит и вся система, решений не имеет. n

Пример 10. Решить систему уравнений

.

Решение.

.

Вотличие от предыдущего примера, последняя строка непротиворечива. Она указывает на то, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Таким образом, мы, фактически, получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы их найти, одну из переменных (её называют свободной) переносят в правую часть расширенной матрицы, а остальные переменные (их называют базисными или связными) выражают через эту свободную. Имеем

.

Таким образом, .

Это общее решение системы. Присваивая свободной переменной конкретные значения, можно получать частные решения, например,

и т.д.

Ответ: .n

Отметим ещё одно достоинство метода Гаусса. Для систем линейных уравнений 4-го порядка и выше метод Гаусса оказывается эффективнее метода Крамера и матричного метода и приводит к решению гораздо быстрее.

Пример 11. Решить систему уравнений

.

Решение.

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ: .n

Линейная алгебра и некоторые ее приложения

Линейная алгебра и некоторые ее приложения
  

Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения: Учебное пособие для вузов.—4-е изд., испр,— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 392 с.

Основное содержание книги составляют теория определителей и краткий курс собственно линейной алгебры. В качестве «приложений» линейной алгебры рассматриваются самые разные вопросы: дается краткое изложение общей теории кривых и поверхностей второго порядка, вводятся основные понятия тензорной алгебры, излагаются основные понятия теории трупп и элементы теории представлений групп. В одной из глав книги методы линейной алгебры применяются к основным понятиям физики — принципам относительности, классическому и релятивистскому.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными
§ 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка
§ 3. Свойства определителей
§ 4. Миноры и алгебраические дополнения
§ 5 Разложение определителя по элементам строки или столбца
§ 6. Системы n линейных уравнений с n неизвестными
§ 7. Ранг матрицы
§ 8. Понятие о линейной зависимости
§ 9. Произвольные системы линейных уравнений
§ 10. Однородные системы
§ 11. Метод Гаусса
ГЛАВА II. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 2. Поле комплексных чисел
§ 3. Определение векторного пространства
§ 4. Размерность и базис
§ 5. Изоморфизм векторных пространств
§ 6. Переход к новому базису
§ 7. Подпространства векторного пространства
§ 8. Линейные многообразия
§ 9. Пересечение и сумма лодпространств
§ 10. Определение аффинного пространства
§ 11. Введение координат в аффинном пространстве
§ 12. Переход к новой системе координат
§ 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств
§ 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве
ГЛАВА III. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 2. Действия над линейными операторами
§ 3. Прямоугольные матрицы
§ 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
§ 5. Ранг и дефект линейного оператора
§ 6. Невырожденный линейный оператор
§ 7. Инвариантные подпространства
§ 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
§ 9. Спектр линейного оператора
§ 10. Жорданова нормальная форма
ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Скалярное произведение
§ 2. Ортонормированный базис
§ 3. Ортогональное дополнение
§ 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство
ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 2. Оператор, сопряженный данному
§ 3. Самосопряженный оператор
§ 4. Ортогональный оператор
§ 5. Унитарный оператор
§ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве
ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
§ 3. Закон инерции квадратичных форм
§ 4. Определенные формы
§ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
§ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве
ГЛАВА VII. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
§ 2. Инварианты кривой второго порядка
§ 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы
§ 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка
ГЛАВА VIIII. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ
§ 2. Определение и простейшие свойства тензоров
§ 3. Операции над тензорами
§ 4. Тензоры в евклидовом пространстве
ГЛАВА IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Двумерные пространства со скалярным произведением
§ 2. Полуевклидова плоскость
§ 3. Псевдоевклидова плоскость
§ 4. Псевдоортогональный оператор
§ 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея
§ 6. Принцип относительности Эйнштейна
§ 7. Преобразования Лоренца
§ 8. Некоторые следствия из формул Лоренца
ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Примеры групп. Определение группы
§ 2. Подгруппа
§ 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени
§ 4. Изоморфизм групп
§ 5. Разложение группы по подгруппе
§ 6. Нормальная подгруппа
§ 7. Фактор-группа
§ 8. Прямое произведение групп
§ 9. Классы сопряженных элементов группы
§ 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп
§ 11 Гомоморфизм групп
ГЛАВА XI. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
§ 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы
§ 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства
§ 3. Группа вращений правильного n-угольника Cn
§ 4. Диэдральные группы Dn
§ 5. Группа вращений тетраэдра T
§ 6. Группа вращений куба О
§ 7. Группа симметрии тетраэдра Td
§ 8. Группа симметрии куба Oh
§ 9. Заключение
ГЛАВА XII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
§ 2. Изоморфные представления
§ 3. Подпредставление
§ 4. Прямая сумма представлений
§ 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления
§ 6. Регулярное представление
§ 7. Функции, определенные на группе
§ 8. Скалярное произведение на группе
§ 9. Лемма Шура
§ 10. Следствия из леммы Шура
ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ
§ 2. Характеры неприводимых представлений
§ 3. Дальнейшие свойства характеров
§ 4. Основное соотношение
§ 5. Число неприводимых представлений группы
§ 6. Представления коммутативной группы
§ 7. Представления циклических групп
§ 8. Представления диэдральных групп
§ 9. Характеры группы вращений тетраэдра
§ 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра
§ 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц
§ 12. Тензорное произведение векторных пространств
§ 13. Тензорное произведение линейных операторов
§ 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп)
§ 15. Характеры группы симметрии куба
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Расширенная матрица – метод, примеры, значение

Расширенная матрица представляет собой матрицу, образованную путем объединения столбцов двух матриц для формирования новой матрицы. Расширенная матрица является важным инструментом в матрицах, используемых для решения простых линейных уравнений. Количество строк в расширенной матрице равно количеству переменных в линейном уравнении.

В этой статье давайте обсудим понятие расширенной матрицы и ее свойства. Мы узнаем, как решать расширенную матрицу и как она помогает решать систему линейных уравнений. Давайте узнаем больше о том, как решать расширенную матрицу, свойства расширенной матрицы, с помощью примеров.

1. Что такое расширенная матрица?
2. Значение расширенной матрицы
3. Как решить расширенную матрицу?
4. Свойства расширенной матрицы
5. Нахождение обратной матрицы с использованием расширенной матрицы
6. Часто задаваемые вопросы по расширенной матрице

Что такое расширенная матрица?

Расширенная матрица — это средство для решения простых линейных уравнений. Коэффициенты и постоянные значения линейных уравнений представлены в виде матрицы, называемой расширенной матрицей. Проще говоря, расширенная матрица представляет собой комбинацию двух простых матриц по столбцам. Если в первой матрице m столбцов, а во второй n столбцов, то в расширенной матрице будет m + n столбцов.

Давайте разберемся в концепции расширенной матрицы с помощью трех линейных уравнений, представленных следующим образом.

A 1 x + B 1 Y + C 1 Z = D 1

A 2 x + B 2 Y + C 2 Z = D 2 9000 Y + C 2 . a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

Три приведенных выше уравнения могут быть представлены в матричной форме с коэффициентами в виде одной матрицы, постоянными членами в виде другой матрицы и переменные в виде отдельной матрицы.

Матрица коэффициентов – A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)

Матрица постоянных членов – B = \(\begin{bmatrix}d_1\\d_2\ \d_3\end{bmatrix}\)

Матрица переменных – C = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)

Расширенная матрица ‘M’ может быть представлена ​​как матрица после объединения матриц с коэффициентами и постоянными условиями.

М = [А | B]

M = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\)

Здесь M — расширенная матрица, а количество строк в расширенной матрице равно количеству линейных уравнений. Коэффициенты членов x находятся в первом столбце, коэффициенты членов y находятся во втором столбце, коэффициенты члена z находятся в третьем столбце, а постоянный член находится в последнем столбце. Элементарные операции со строками можно легко выполнить над расширенной матрицей, чтобы найти решения линейных уравнений.

Расширенная матрица Значение

Расширенная матрица — это матрица, образованная путем соединения матриц с одинаковым количеством строк по столбцам. Он используется для решения системы линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы.

Как решить расширенную матрицу?

Расширенная матрица решается путем выполнения операций над ее строками и помогает найти решение линейных уравнений, представленных в расширенной матрице. Расширенная матрица содержит значения коэффициентов и постоянные члены. Применяя метод преобразования строк Гаусса-Жордана, операции над строками помогают преобразовать часть расширенной матрицы в единичную матрицу. Элементы, оставшиеся в последнем столбце после преобразований строки, являются значениями переменной линейных уравнений.

Поймем это с обозначениями из уравнений прямой. Три уравнения линий: 2 , а 3 х + b 3 у + с 3 z = d 3 . Представим эти три уравнения в виде расширенной матрицы.

A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\)

Здесь мы можем выполнить множество операций со строками, чтобы получить следующую матрицу. Мы применяем элементарные операции со строками, чтобы сделать левую часть полосы единичной матрицей, а правую часть — решением системы уравнений.

A = \(\begin{bmatrix} 1&0&0|&k\\0&1&0|&l\\0&0&1|&m\end{bmatrix}\)

Здесь элементы в последней строке представляют значения переменных, и мы имеем x = k, y = l, z = m соответственно.

Свойства расширенной матрицы

Следующие свойства помогают лучше понять расширенную матрицу.

  • Расширенная матрица представляет собой прямоугольную матрицу.
  • Количество столбцов равно количеству переменных в линейных уравнениях и постоянному члену.
  • Количество строк равно количеству линейных уравнений.
  • Строки расширенной матрицы можно поменять местами.
  • Элементы определенной строки можно умножать или делить на константу.
  • Определенную строку можно добавлять и вычитать из других строк матрицы.
  • Кратность строки может быть добавлена ​​к другой строке матрицы.

Нахождение обратной матрицы с использованием расширенной матрицы

Рассмотрим матрицу 3 × 3 A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\) и, чтобы найти обратную матрицу A, мы получаем расширенную матрицу (A | I ), где I — единичная матрица размера 3 × 3. Мы применяем элементарные операции со строками над (A | I), чтобы сделать левую часть расширенной матрицы единичной и получить матрицу (I | A -1 ).

Важные замечания по расширенной матрице

  • Расширенная матрица — это матрица, которая формируется путем соединения матриц с одинаковым количеством строк вдоль столбцов.
  • Используется для решения системы линейных уравнений и поиска обратной матрицы.
  • Мы можем применять элементарные операции со строками к расширенной матрице.

Похожие темы

  • Ковариационная матрица
  • Обратная единичная матрица
  • Инволютивная матрица
  • Идемпотентная матрица
  • Эрмитова матрица

Часто задаваемые вопросы по расширенной матрице

Что такое расширенная матрица в алгебре?

Расширенная матрица представляет собой представление линейных уравнений в матричной форме и используется для нахождения решений линейных уравнений. Линейные уравнения ax + by = c и px + qy = r могут быть представлены в виде расширенной матрицы как A = \(\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\end{bmatrix}\). Здесь коэффициент члена x представлен в первом столбце, коэффициент члена y представлен во втором столбце, а постоянный член представлен в последнем столбце.

Как представить расширенную матрицу?

Расширенная матрица представляет коэффициенты переменных в линейных уравнениях и постоянные члены линейных уравнений в формате прямоугольной матрицы. Линейные уравнения 3 x + b 3 y +c 3 z = d 3 , можно представить в виде расширенной матрицы следующим образом.

A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\)

Количество строк равно количеству линейных уравнений, а количество столбцы равны количеству переменных и постоянному члену.

Как решить расширенную матрицу?

Расширенная матрица решается путем выполнения операций со строками с использованием метода Гуасса Жордана. Расширенная матрица A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\) упрощается за счет выполнения многочисленных операций со строками, чтобы получить A = \(\begin{bmatrix } 1&0&0|&k\\0&1&0|&l\\0&0&1|&m\end{bmatrix}\). Здесь часть расширенной матрицы представляет собой единичную матрицу, а последний столбец представляет значения переменной, присутствующей в линейных уравнениях.

Какие операции над строками можно выполнять над расширенной матрицей?

Следующие важные операции со строками можно выполнять над расширенной матрицей.

  • Строки расширенной матрицы можно менять местами.
  • Элементы определенной строки можно умножать или делить на константу.
  • Определенную строку можно добавлять и вычитать из других строк матрицы.
  • Кратность строки может быть добавлена ​​к другой строке матрицы.

Какая польза от расширенной матрицы?

Расширенная матрица полезна для представления коэффициентов переменных и постоянных членов линейных уравнений в виде матрицы, а также для решения и нахождения значений переменных путем выполнения операций со строками. Мы также можем использовать метод расширенной матрицы, чтобы найти обратную матрицу.

Что такое метод расширенной матрицы?

Метод расширенной матрицы — это метод в алгебре, который используется для решения системы линейных уравнений. Каждая строка расширенной матрицы представляет уравнение системы.

Как найти ранг расширенной матрицы?

Мы можем найти ранг расширенной матрицы, выполняя элементарные операции со строками над расширенной матрицей и подсчитывая количество строк без нулей.

Решающие системы с исключением Гаусса – Дифференциальное исчисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполнение операций со строками над матрицей.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рис. 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем записать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, такая как

, имеет матрицу коэффициентов

и представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термы идут в первом столбце, y -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0.

Как

Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты x -членов в виде чисел в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
  3. Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

Показать решение

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

Попробуйте

Напишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Показать решение

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы для решения систем уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

Показать решение

Когда столбцы представляют переменные и

Попробуйте

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

Показать решение

Выполнение операций со строками над матрицей

Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строчно-ступенчатую форму, в которой единицы по главной диагонали от левого верхнего угла до нижнего правого угла, и нули в каждой позиции ниже главной диагонали как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.

  1. В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1. Оно называется ведущим 1.
  2. Любые строки со всеми нулями помещаются внизу матрицы.
  3. Любой интерлиньяж 1 находится ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
  4. Любой столбец, содержащий первую единицу, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции над строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять местами ряды. (Обозначение: )
  2. Умножить строку на константу. (Обозначение: )
  3. Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение:

Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения по Гауссу относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу с числом 1 в качестве элемента вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.

Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Как сделать

Для заданной расширенной матрицы выполните операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

  1. В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, ниже ввода 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решение данной системы методом исключения Гаусса.

Показать решение

Во-первых, мы запишем это как расширенную матрицу.

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

Теперь у нас есть 1 в качестве первой записи в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на и затем прибавив результат к строке 2.

Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на

.

Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет собой обратную подстановку в первое уравнение.

Решением является точка

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Показать решение

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Использование исключения Гаусса для решения заданной системы уравнений
.

Показать решение

Запишите систему в виде расширенной матрицы.

Получите 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на

.

Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на и добавьте строку 1 к строке 2.

Вторая строка представляет уравнение Следовательно, система несовместна и не имеет решения.

Решение зависимой системы

Решение системы уравнений.

Показать решение

Выполните операции со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк.

Матрица заканчивается со всеми нулями в последней строке: Таким образом, существует бесконечное число решений, и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите

.

Таким образом, решение этой системы:

Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов

Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов.

Показать решение

В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом будет умножение строки 1 на и добавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.

Далее получить ноль в строке 3 столбца 1.

Далее получить ноль в строке 3 столбца 2.

Последний шаг — получить 1 в строке 3 столбца 3.

Попробуйте

Запишите систему уравнений в виде строк-ступеней.

Показать решение

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку, чтобы получить ступенчатую форму. Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц.

Показать решение

Сначала запишем расширенную матрицу.

Далее мы выполняем операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами и

Затем

Последняя матрица представляет эквивалентную систему.

Используя обратную подстановку, мы получаем решение в виде

Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц

Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.

Показать решение

Написать расширенную матрицу.

Сначала умножьте строку 1 на, чтобы получить 1 в строке 1 столбца 1. Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Последняя матрица представляет следующую систему.

По тождеству видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим универсальное решение. Решая второе уравнение для и подставляя его в первое уравнение, мы можем решить для с точки зрения

Теперь подставим выражение для во второе уравнение для решения относительно

Общее решение:

Попробуйте

Решите систему с помощью матриц.

Показать решение

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

How To

Дана система уравнений, решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
  2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Показать решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

На странице матрицы калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве переменной матрицы

Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную

Оценить.

Используя обратную замену, решение

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролин инвестирует в общей сложности 12 000 долларов США в две муниципальные облигации, по одной из которых выплачивается 10,5% годовых, а по другой — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть сумма, вложенная в 10,5% годовых, и сумма, вложенная в 12% годовых.

В качестве матрицы имеем

Умножить строку 1 на и добавить результат к строке 2.

Затем

Так

Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%.

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, на один из которых выплачивается 5 %, на другой — 8 %, а на третий — 9 %. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма инвестиций в 9% вдвое превышала сумму, вложенную в 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5% годовых, пусть будет сумма, вложенная под 8% годовых, и пусть будет сумма, вложенная под 9% годовых. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.

Третья строка сообщает нам, таким образом,

Вторая строка говорит нам Подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам Подстановка и мы получаем

Ответ: 3000 долларов инвестировано под 5%, 1000 долларов инвестировано под 8% и 6000 долларов инвестировано под 9%.

Попробуй

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

Show Solution

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений с использованием исключения Гаусса.

  • Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Расширенные матрицы на калькуляторе

Ключевые понятия

  • Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Операции со строками включают умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и перестановку строк.
  • Мы можем использовать исключение Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Операции со строками выполняются над матрицами для получения ступенчатой ​​формы. См. (Рисунок).
  • Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в расширенной матричной форме. Выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Обратно заменить, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Раздел Упражнения

Вербальные

1. Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.

Показать решение

Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты.

2. Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.

3. Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции над строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы

Покажите решение

Нет, существует множество правильных методов использования операций над строками в матрице. Два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Затем разделить строку 1 на 9..

4. Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

5. Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Показать решение

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

6.

7.

Показать решение

8.

9.

Показать решение

10.

 

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

11.

Показать решение

12.

13.

Показать решение

14.

15.

Показать решение

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

16.

17.

Показать решение

Нет решений

18.

19.

Показать раствор

20.

21.

Показать раствор

22.

23.

Показать раствор

24.

25.

Показать решение

26.

27.

Показать решение

28.

29.

Показать решение

30.

31.

Показать раствор

32.

33.

Показать решение

34.

35.

Показать решение

36.

37.

Показать решение

38.

39.

Показать решение

40.

41.

Показать раствор

42.

43.

Показать решение

44.

45.

Показать решение

46.

Расширения

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

47.

Показать решение

48.

49.

Показать решение

50.

51.

Показать решение

Решений не существует.

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

52. Каждый день в магазине кексов продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день?

53. В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?

Show Solution

860 красный бархат, 1340 шоколадный

54. Вы вложили 10 000 долларов на два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?

55. Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза больше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.

Показать решение

4% для счета 1, 6% для счета 2

56. Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?

57. Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?

Показать решение

$126

58. Три самых популярных вкуса мороженого – шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?

59. В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три мороженого составили 16,9% от продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент продаж меньше, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.

Show Solution

Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2%

60. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.

61. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.

Show Solution

100 миндальных орехов, 200 орехов кешью, 600 фисташек

Глоссарий

расширенная матрица
матрица коэффициентов, соединенная с постоянным столбцом, разделенным вертикальной чертой в скобках матрицы
Матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение Гаусса
использование элементарных операций над строками для получения матрицы в виде эшелона строк
основная диагональ
элемента из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядно-эшелонная форма
после выполнения операций со строками, матричная форма, содержащая единицы вниз по главной диагонали и нули на каждом месте ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы и эквивалентны по строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками
рядные операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т.

Оставить комментарий