1.2.3. Метод Гаусса
Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы, если определитель системы равен нулю. В связи с этим, рассмотрим еще один, наиболее универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.
Пусть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных1.
(1.2) |
Расширенной матрицей системы (1.2) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:
(1.3) |
Расширенная матрица системы называется верхнетреугольной, если в матрице системы все элементы ниже главной диагонали равны нулю:
(1. |
Расширенную матрицу системы мы будем называть диагональной, если матрица системы представляет собой единичную:
(1.5) |
К элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы относятся преобразования трех типов:
1) Перемена местами любых двух строк:
.
2) Умножение любой строки на любое число, отличное от нуля
.
3) Прибавление к любой строке любой другой, умноженной на произвольное число:
.
Известно, что элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной матрице, т.е. система линейных алгебраических уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет те же решения, что и исходная.
Идея
метода Гаусса заключается в том, чтобы
с помощью элементарных преобразований
от расширенной матрицы системы вида
(1.
Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы не возникло ни одной нулевой строки (это соответствует тому, что определитель исходной системы отличен от нуля), то система имеет единственное решение. Его легко найти, исходя из диагонального вида: .
Продемонстрируем на примерах технику использования элементарных преобразований.
Пример 8. Решить систему уравнений .
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
.
Выберем в первом столбце ведущий элемент, т.е. элемент, с помощью которого удобно будет сделать нули под ним. Таким числом является единица. Поменяем местами первую и третью строки (элементарное преобразование 1-го вида):
С помощью элементарных преобразований 3-го типа делаем нули под ведущим элементом ():
.
Теперь выбираем ведущий элемент во втором столбце. Поскольку пока единицы нет, то её желательно создать. Для этого из второй строки вычтем удвоенную третью ():
.
Делаем нуль под ведущим элементом ():
.
Умножим третью строку на (– элементарное преобразование 2-го типа):
.
Мы получили матрицу верхнетреугольного вида. Переходим к обратному ходу метода Гаусса. В качестве ведущего элемента выбираем единицу, стоящую в третьем столбце. Делаем нули над ней ():
.
Последний шаг. С помощью единицы во втором столбце зануляем элемент над ней ():
.
Получена матрица диагонального вида. Проверку полученного решения сделайте самостоятельно. Ответ: .n
Если
при переходе к верхнетреугольной матрице
в матрице системы возникает хотя бы
одна нулевая строка (это означает, что
определитель
исходной системы равен нулю), то система
либо не имеет решения вовсе, либо имеет
бесчисленное множество решений.
Пример 9. Решить систему уравнений
Решение.
Распишем последнюю строку полученной матрицы в виде уравнения:
Очевидно, что это уравнение, а значит и вся система, решений не имеет. n
Пример 10. Решить систему уравнений
Решение.
.
Вотличие от предыдущего примера, последняя строка непротиворечива. Она указывает на то, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Таким образом, мы, фактически, получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы их найти, одну из переменных (её называют свободной) переносят в правую часть расширенной матрицы, а остальные переменные (их называют базисными или связными) выражают через эту свободную. Имеем
.
Таким образом, .
Это общее решение системы. Присваивая свободной переменной конкретные значения, можно получать частные решения, например,
и т.д.
Ответ: .n
Отметим ещё одно достоинство метода Гаусса. Для систем линейных уравнений 4-го порядка и выше метод Гаусса оказывается эффективнее метода Крамера и матричного метода и приводит к решению гораздо быстрее.
Пример 11. Решить систему уравнений
.
Решение.
Проверку сделайте самостоятельно.
Ответ: .n
Линейная алгебра и некоторые ее приложения
Линейная алгебра и некоторые ее приложения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными § 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка § 4. ![]() § 5 Разложение определителя по элементам строки или столбца § 6. Системы n линейных уравнений с n неизвестными § 7. Ранг матрицы § 8. Понятие о линейной зависимости § 9. Произвольные системы линейных уравнений § 10. Однородные системы § 11. Метод Гаусса ГЛАВА II. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО § 2. Поле комплексных чисел § 3. Определение векторного пространства § 4. Размерность и базис § 5. Изоморфизм векторных пространств § 6. Переход к новому базису § 7. Подпространства векторного пространства § 9. Пересечение и сумма лодпространств § 10. Определение аффинного пространства § 11. Введение координат в аффинном пространстве § 12. Переход к новой системе координат § 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств § 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве ГЛАВА III. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 2. Действия над линейными операторами § 3. Прямоугольные матрицы § 4. ![]() § 5. Ранг и дефект линейного оператора § 6. Невырожденный линейный оператор § 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора § 9. Спектр линейного оператора § 10. Жорданова нормальная форма ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО § 1. Скалярное произведение § 2. Ортонормированный базис § 3. Ортогональное дополнение § 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Оператор, сопряженный данному § 3. Самосопряженный оператор § 4. Ортогональный оператор § 5. Унитарный оператор § 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы § 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов § 3. Закон инерции квадратичных форм § 4. Определенные формы § 5. ![]() § 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве ГЛАВА VII. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду § 2. Инварианты кривой второго порядка § 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы § 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка ГЛАВА VIIII. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ § 2. Определение и простейшие свойства тензоров § 3. Операции над тензорами § 4. Тензоры в евклидовом пространстве ГЛАВА IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 1. Двумерные пространства со скалярным произведением § 2. Полуевклидова плоскость § 3. Псевдоевклидова плоскость § 4. Псевдоортогональный оператор § 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея § 6. Принцип относительности Эйнштейна § 7. Преобразования Лоренца § 8. ![]() ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП § 1. Примеры групп. Определение группы § 2. Подгруппа § 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени § 4. Изоморфизм групп § 5. Разложение группы по подгруппе § 6. Нормальная подгруппа § 7. Фактор-группа § 8. Прямое произведение групп § 9. Классы сопряженных элементов группы § 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп § 11 Гомоморфизм групп ГЛАВА XI. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР § 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы § 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства § 3. Группа вращений правильного n-угольника Cn § 4. Диэдральные группы Dn § 5. Группа вращений тетраэдра T § 6. Группа вращений куба О § 7. Группа симметрии тетраэдра Td § 8. Группа симметрии куба Oh § 9. Заключение ГЛАВА XII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП § 2. ![]() § 3. Подпредставление § 4. Прямая сумма представлений § 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления § 6. Регулярное представление § 7. Функции, определенные на группе § 8. Скалярное произведение на группе § 9. Лемма Шура § 10. Следствия из леммы Шура ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ § 2. Характеры неприводимых представлений § 3. Дальнейшие свойства характеров § 4. Основное соотношение § 5. Число неприводимых представлений группы § 6. Представления коммутативной группы § 7. Представления циклических групп § 8. Представления диэдральных групп § 9. Характеры группы вращений тетраэдра § 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра § 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц § 12. Тензорное произведение векторных пространств § 13. Тензорное произведение линейных операторов § 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп) § 15. ![]() СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ |
Расширенная матрица – метод, примеры, значение
Расширенная матрица представляет собой матрицу, образованную путем объединения столбцов двух матриц для формирования новой матрицы. Расширенная матрица является важным инструментом в матрицах, используемых для решения простых линейных уравнений. Количество строк в расширенной матрице равно количеству переменных в линейном уравнении.
В этой статье давайте обсудим понятие расширенной матрицы и ее свойства. Мы узнаем, как решать расширенную матрицу и как она помогает решать систему линейных уравнений. Давайте узнаем больше о том, как решать расширенную матрицу, свойства расширенной матрицы, с помощью примеров.
1. | Что такое расширенная матрица? |
2. | Значение расширенной матрицы |
3.![]() | Как решить расширенную матрицу? |
4. | Свойства расширенной матрицы |
5. | Нахождение обратной матрицы с использованием расширенной матрицы |
6. | Часто задаваемые вопросы по расширенной матрице |
Что такое расширенная матрица?
Расширенная матрица — это средство для решения простых линейных уравнений. Коэффициенты и постоянные значения линейных уравнений представлены в виде матрицы, называемой расширенной матрицей. Проще говоря, расширенная матрица представляет собой комбинацию двух простых матриц по столбцам. Если в первой матрице m столбцов, а во второй n столбцов, то в расширенной матрице будет m + n столбцов.
Давайте разберемся в концепции расширенной матрицы с помощью трех линейных уравнений, представленных следующим образом.
A 1 x + B 1 Y + C 1 Z = D 1
A 2 x + B 2 Y + C 2 Z = D 2 9000 Y + C 2 . Три приведенных выше уравнения могут быть представлены в матричной форме с коэффициентами в виде одной матрицы, постоянными членами в виде другой матрицы и переменные в виде отдельной матрицы. Матрица коэффициентов – A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\) Матрица постоянных членов – B = \(\begin{bmatrix}d_1\\d_2\ \d_3\end{bmatrix}\) Матрица переменных – C = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\) Расширенная матрица ‘M’ может быть представлена как матрица после объединения матриц с коэффициентами и постоянными условиями. М = [А | B] M = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\) Здесь M — расширенная матрица, а количество строк в расширенной матрице равно количеству линейных уравнений. Коэффициенты членов x находятся в первом столбце, коэффициенты членов y находятся во втором столбце, коэффициенты члена z находятся в третьем столбце, а постоянный член находится в последнем столбце. Расширенная матрица — это матрица, образованная путем соединения матриц с одинаковым количеством строк по столбцам. Он используется для решения системы линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы. Расширенная матрица решается путем выполнения операций над ее строками и помогает найти решение линейных уравнений, представленных в расширенной матрице. Расширенная матрица содержит значения коэффициентов и постоянные члены. Применяя метод преобразования строк Гаусса-Жордана, операции над строками помогают преобразовать часть расширенной матрицы в единичную матрицу. Элементы, оставшиеся в последнем столбце после преобразований строки, являются значениями переменной линейных уравнений. Поймем это с обозначениями из уравнений прямой. A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\) Здесь мы можем выполнить множество операций со строками, чтобы получить следующую матрицу. Мы применяем элементарные операции со строками, чтобы сделать левую часть полосы единичной матрицей, а правую часть — решением системы уравнений. A = \(\begin{bmatrix} 1&0&0|&k\\0&1&0|&l\\0&0&1|&m\end{bmatrix}\) Здесь элементы в последней строке представляют значения переменных, и мы имеем x = k, y = l, z = m соответственно. Следующие свойства помогают лучше понять расширенную матрицу. Рассмотрим матрицу 3 × 3 A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\) и, чтобы найти обратную матрицу A, мы получаем расширенную матрицу (A | I ), где I — единичная матрица размера 3 × 3. Мы применяем элементарные операции со строками над (A | I), чтобы сделать левую часть расширенной матрицы единичной и получить матрицу (I | A -1 ). Важные замечания по расширенной матрице ☛ Похожие темы Расширенная матрица представляет собой представление линейных уравнений в матричной форме и используется для нахождения решений линейных уравнений. Линейные уравнения ax + by = c и px + qy = r могут быть представлены в виде расширенной матрицы как A = \(\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\end{bmatrix}\). Здесь коэффициент члена x представлен в первом столбце, коэффициент члена y представлен во втором столбце, а постоянный член представлен в последнем столбце. Расширенная матрица представляет коэффициенты переменных в линейных уравнениях и постоянные члены линейных уравнений в формате прямоугольной матрицы. Линейные уравнения 3 x + b 3 y +c 3 z = d 3 , можно представить в виде расширенной матрицы следующим образом. A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\) Количество строк равно количеству линейных уравнений, а количество столбцы равны количеству переменных и постоянному члену. Расширенная матрица решается путем выполнения операций со строками с использованием метода Гуасса Жордана. Расширенная матрица A = \(\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1|&d_1\\a_2&b_2&c_2|&d_2\\a_3&b_3&c_3|&d_3\end{bmatrix}\) упрощается за счет выполнения многочисленных операций со строками, чтобы получить A = \(\begin{bmatrix } 1&0&0|&k\\0&1&0|&l\\0&0&1|&m\end{bmatrix}\). Следующие важные операции со строками можно выполнять над расширенной матрицей. Расширенная матрица полезна для представления коэффициентов переменных и постоянных членов линейных уравнений в виде матрицы, а также для решения и нахождения значений переменных путем выполнения операций со строками. Мы также можем использовать метод расширенной матрицы, чтобы найти обратную матрицу. Метод расширенной матрицы — это метод в алгебре, который используется для решения системы линейных уравнений. Каждая строка расширенной матрицы представляет уравнение системы. Мы можем найти ранг расширенной матрицы, выполняя элементарные операции со строками над расширенной матрицей и подсчитывая количество строк без нулей. В этом разделе вы: Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц. Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей. Например, рассмотрим следующую систему уравнений. Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы: Мы также можем записать матрицу, содержащую только коэффициенты. Система уравнений три на три, такая как , имеет матрицу коэффициентов и представлена расширенной матрицей Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термы идут в первом столбце, y -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0. Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу. Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений. Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант. Напишите расширенную матрицу данной системы уравнений. Мы можем использовать расширенные матрицы для решения систем уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме. Найдите систему уравнений из расширенной матрицы. Когда столбцы представляют переменные и Напишите систему уравнений из расширенной матрицы. Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк. Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строчно-ступенчатую форму, в которой единицы по главной диагонали от левого верхнего угла до нижнего правого угла, и нули в каждой позиции ниже главной диагонали как показано. Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон. Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции над строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение. Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк. Метод исключения по Гауссу относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу с числом 1 в качестве элемента вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже. Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже. Для заданной расширенной матрицы выполните операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Решение данной системы методом исключения Гаусса. Во-первых, мы запишем это как расширенную матрицу. Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2. Теперь у нас есть 1 в качестве первой записи в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на и затем прибавив результат к строке 2. Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет собой обратную подстановку в первое уравнение. Решением является точка Решите данную систему методом исключения Гаусса. Использование исключения Гаусса для решения заданной системы уравнений Запишите систему в виде расширенной матрицы. Получите 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на и добавьте строку 1 к строке 2. Вторая строка представляет уравнение Следовательно, система несовместна и не имеет решения. Решение системы уравнений. Выполните операции со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк. Матрица заканчивается со всеми нулями в последней строке: Таким образом, существует бесконечное число решений, и система классифицируется как зависимая. Таким образом, решение этой системы: Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов. В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом будет умножение строки 1 на и добавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом. Далее получить ноль в строке 3 столбца 1. Далее получить ноль в строке 3 столбца 2. Последний шаг — получить 1 в строке 3 столбца 3. Запишите систему уравнений в виде строк-ступеней. Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку, чтобы получить ступенчатую форму. Решение системы линейных уравнений с помощью матриц. Сначала запишем расширенную матрицу. Далее мы выполняем операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами и Затем Последняя матрица представляет эквивалентную систему. Используя обратную подстановку, мы получаем решение в виде Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц. Написать расширенную матрицу. Сначала умножьте строку 1 на, чтобы получить 1 в строке 1 столбца 1. Последняя матрица представляет следующую систему. По тождеству видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим универсальное решение. Решая второе уравнение для и подставляя его в первое уравнение, мы можем решить для с точки зрения Теперь подставим выражение для во второе уравнение для решения относительно Общее решение: Решите систему с помощью матриц. Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса? Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса. Дана система уравнений, решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора. Решите систему уравнений. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений. На странице матрицы калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве переменной матрицы Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную Оценить. Используя обратную замену, решение Кэролин инвестирует в общей сложности 12 000 долларов США в две муниципальные облигации, по одной из которых выплачивается 10,5% годовых, а по другой — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке? У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть сумма, вложенная в 10,5% годовых, и сумма, вложенная в 12% годовых. В качестве матрицы имеем Умножить строку 1 на и добавить результат к строке 2. Затем Так Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%. Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, на один из которых выплачивается 5 %, на другой — 8 %, а на третий — 9 %. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма инвестиций в 9% вдвое превышала сумму, вложенную в 5%. Сколько было вложено по каждой ставке? У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5% годовых, пусть будет сумма, вложенная под 8% годовых, и пусть будет сумма, вложенная под 9% годовых. Таким образом, В качестве матрицы имеем Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона. Третья строка сообщает нам, таким образом, Вторая строка говорит нам Подставляя мы получаем Первая строка говорит нам Подстановка и мы получаем Ответ: 3000 долларов инвестировано под 5%, 1000 долларов инвестировано под 8% и 6000 долларов инвестировано под 9%. Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке. 150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10% Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений с использованием исключения Гаусса. 1. Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты. 2. Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений. 3. Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции над строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы Нет, существует множество правильных методов использования операций над строками в матрице. Два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Затем разделить строку 1 на 9.. 4. Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. 5. Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет. Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений. Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы. 6. 7. 8. 9. 10. Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы. 11. 12. 13. 14. 15. Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса. 16. 17. Нет решений 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы. 47. 48. 49. 50. 51. Решений не существует. Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение. 52. Каждый день в магазине кексов продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день? 53. В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день? 860 красный бархат, 1340 шоколадный 54. Вы вложили 10 000 долларов на два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года? 55. Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. 4% для счета 1, 6% для счета 2 56. Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным? 57. Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы? $126 58. Три самых популярных вкуса мороженого – шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. 59. В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три мороженого составили 16,9% от продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент продаж меньше, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году. Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2% 60. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. 61. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете. 100 миндальных орехов, 200 орехов кешью, 600 фисташек a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
Элементарные операции со строками можно легко выполнить над расширенной матрицей, чтобы найти решения линейных уравнений.
Расширенная матрица Значение
Как решить расширенную матрицу?
Три уравнения линий: 2 , а 3 х + b 3 у + с 3 z = d 3 . Представим эти три уравнения в виде расширенной матрицы.
Свойства расширенной матрицы
Нахождение обратной матрицы с использованием расширенной матрицы
Часто задаваемые вопросы по расширенной матрице
Что такое расширенная матрица в алгебре?
Как представить расширенную матрицу?
Как решить расширенную матрицу?
Здесь часть расширенной матрицы представляет собой единичную матрицу, а последний столбец представляет значения переменной, присутствующей в линейных уравнениях.
Какие операции над строками можно выполнять над расширенной матрицей?
Какая польза от расширенной матрицы?
Что такое метод расширенной матрицы?
Как найти ранг расширенной матрицы?
Решающие системы с исключением Гаусса – Дифференциальное исчисление
Цели обучения
Рис. 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.
Написание расширенной матрицы системы уравнений
Это называется матрицей коэффициентов.
Как
Написание расширенной матрицы для системы уравнений
Попробуйте
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы
Попробуйте
Выполнение операций со строками над матрицей
Исключение по Гауссу
Как сделать
Решение системы методом исключения Гаусса
Попробуйте
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
. Решение зависимой системы
Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите
Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов
Попробуйте
Решение системы линейных уравнений с помощью матриц
Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.
Решение системы линейных уравнений с помощью матриц
Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц
Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.
Попробуйте
How To
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Попробуй
Ключевые понятия
См. (Рисунок).
Раздел Упражнения
Вербальные
Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.
Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
Алгебраический
Расширения
Реальные приложения
Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза больше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.
Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?
Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.
Глоссарий