Главная
Разностные и дифференциальные уравнения: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Разностные и дифференциальные уравнения: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.

§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

первого порядка.

Уравнение вида , где- искомая функция, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называетсяинтегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где- заданная функция переменныхи, называетсяДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать вдифференциальной форме: , гдеи- заданные функции переменныхи.

Условие , где,-заданные числа, называется начальным условием.

Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию, называетсязадачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной, такое, из которого при надлежащем выборе значения постояннойможно получить решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной(при этом не исключаются и значения). Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом уравнения.

Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).

ДУ вида называется уравнением сразделёнными переменными

. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида илиназывается уравнением сразделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или, сводится (с учётом) к интегрированию уравнения сразделёнными переменными.

При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или. Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения) или являются особыми решениями.

В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:

9.

1. 9.2.

9.3 . 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8 . 9.9 . 9.10 .

9.11 .

9.12 .

Дифференциальное уравнение вида () приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой, где- новая искомая функция.

В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:

9.13 . 9.14.

9.15 . 9.16.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл;2) найти то частное решение (частный интеграл) которое удовлетворяет заданному начальному условию.

В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.17 ,.

9.18 ,.

9.19 ,.

9.20 ,.

9.21 ,.

9.22 ,.

Дифференциальное уравнение вида или, гдеи- однородные функции одинаковой степени, называетсяоднородным.

Функция , обладающая свойствомпри всех, называетсяоднородной функцией степени .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой ,или, где- новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функциии возвращаясь к искомой функции, находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки, использовать подстановку, где- новая неизвестная функция.

В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений:

Неклассические вариационные и краевые задачи и их приложения

Математика и телекоммуникации Дифференциальные уравнения Проект завершен

Год 2018

Теги нелинейные функционально-дифференциальные уравнения псевдомонотонные операторы дифференциально-разностные уравнения с вырождением следы обобщенных решений оператор Шредингера собственные числа и функции гамильтона-допустимые уравнения Ли-допустимые

Научное направление:

  • Дифференциальные уравнения с частными производными;
  • Математическая физика;
  • Вычислительная математика;
  • Теоретическая механика.

Для исследования линейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений используют симметризованные матрицы, соответствующие разностным операторам, при этом кососимметричная составляющая не нарушает сильную эллиптичность линейного оператора и свойства гладкости обобщенных решений. Ранее были предложены критерии разрешимости нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, в которых разностные операторы описываются симметричными матрицами. Было показано, что в отличие от линейного случая для нелинейных задач кососимметричная часть влияет на эллиптичность. В данном проекте предлагается использовать разработанные ранее методы для исследования нелинейных эллиптических задач с разностными операторами, которым соответствуют треугольные матрицы.

Будут также рассмотрены линейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением с переменными коэффициентами. Для этих уравнений будет установлена связь с нелокальными эллиптическими краевыми задачами типа А. В. Бицадзе, А.А. Самарского, а также исследован вопрос о существовании следов обобщенных решений на многообразиях, порожденных сдвигами границы внутрь области.

Будет также рассмотрен вопрос о спектральной устойчивости оператора Шредингера. Будут развиты и применены вариационно-гамильтоновые методы исследования качественных свойств движения бесконечномерных динамических систем. Планируется построить функционалы действия по Гамильтону для уравнений движения непотенциальных систем, включая дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, а также найти первые интегралы этих уравнений, используя подходы, основанные на применении теории преобразования переменных для исследования инвариантности самих уравнений движения и соответствующих им функционалов. Предполагается разработать теорию регуляризации и численных методов оценивания погрешности решения обратных задач для дифференциальных и функционально — дифференциальных уравнений при различной априорной информации об искомом решении.

Перечень РИД по проекту (ключевых публикаций, патентов, свидетельств):

  1. Solonukha O.V. On Nonlinear and Quasilinear Functional Differential Equations //Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series S, V.9, N 3, 2016, pp. 869-893
    ISSN 1937-1632 (print) 1937-1179 (online)
  2. Попов В.А. Следы обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//«Современная математика. Фундаментальные направления» (Journal of Mathematical Sciences)  №62, 2016, с. 124-139.
  3. Skubachevskii A.L. Nonlocal Elliptic Problems in Infinite Cylinder and Applications//Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S, 2016, vol. 9, № 3, pp. 847-868.
  4. А.Л.Скубачевский, Ю.Тсузуки Уравнения Власова-Пуассона для двухкомпонентной плазмы в полупространстве//ДАН, 2016, том 471, № 5, с. 1–3
  5. Скубачевский А.Л. “Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения”// Успехи математических наук, том 71, выпуск 5, 2016, с. 1-96.
  6. Будочкина С.А., Савчин В.М. Операторное уравнение со второй производной по времени и Гамильтона-допустимые уравнения // Доклады Академии наук, 2016, том 470, №1, с. 7-9.
  7. Budochkina S.A., Savchin V.M. An operator equation with the second time derivative and Hamiltonian-admissible equations // Doklady Mathematics, 2016, Vol. 94, No. 2, pp. 487-489.
  8. Burenkov V. I., Goldshtein V., Ukhlov A. Conformal spectral stability estimates for the Neumann Laplacian. Mathematische Nachrichten 289 (2016), p. 1-17. DOI: 10.1002/mana.201500439
  9. О.В. Солонуха, Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов, Математические заметки, 2018, 4, с. 604-620.
  10. G.M. Kuramshina, A.G. Yagola. Applications of regularizing algorithms in structural chemistry. – Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2017, Vol. 5, Issue 3, pp. 53-72.
  11. A.S. Leonov, A.N. Sharov, A. G. Yagola. A posteriori error estimates for numerical solutions to inverse problems of elastography. – Inverse Problems in Science and Engineering, 2017, v. 25, issue 1, pp. 114-1287, DOI: 10.1080/17415977.2016.1138949.
  12. A.S. Leonov, A.N. Sharov and A.G. Yagola. Solution of the inverse elastography problem for parametric classes of inclusions with a posteriori error estimate. – Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2017, v. 25, pp. 1-7, DOI: 10.1515/jiip-2017-0043.
  13. G.G. Onanov and A.L. Skubachevskii. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. 12 (2017) 192-207.
  14. V.M. Savchin, S.A. Budochkina, Yake Gondo, A.V. Slavko, ON THE CONNECTION BETWEEN FIRST INTEGRALS, INTEGRAL INVARIANTS AND POTENTIALITY OF EVOLUTIONARY EQUATIONS, EURASIAN MATHEMATICAL JOURNAL, 2018, 9(4),  с. 82-90.
  15. Попов В. А., Оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением, Современная математика. Фундаментальные направления, 2018, 64, 1, с. 131-147.
  16. Буренков Виктор Иванович, Чигамбаева Диана, Нурсултанов Ерлан Даутбекович, Marcinkiewicz-type interpolation theorem and estimates for convolutions for Morrey-type spaces, Eurasian Mathematical Journal, 2018, 2, с. 82–88.
  17. Солонуха О.В., О критерии сильной эллиптичности для дифференциально- разностных операторов, Сборник материалов международной конференции “XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральными эволюционным задачам” КРОМШ-2018, Статья в сборнике, 2018, с. 31-34.
  18. Леонов Александр Сергеевич, Шаров Александр Николаевич, Ягола Анатолий Григорьевич, Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе с апостериорной оценкой точности, Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2019.
  19. Savchin Vladimir Mikhailovich, Budochkina Svetlana Aleksandrovna, Bi-variational evolutionary systems and approximate solutions, International Journal of Advanced and Applied Sciences, 2019.

 

Цели проекта

Руководитель проекта

Результаты проекта

Область исследования

Партнеры

Российский фонд фундаментальных исследований

Страна партнера

Россия

Предыдущий проект

Химия

Разработка новых методов синтеза природных соединений и их аналогов на основе домино-реакций и высокоселективных реагентов, с целью поиска новых биологически активных веществ

Следующий проект

Математика и телекоммуникации

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях

п х_0. 2)$, так что численное решение (6) будет хорошо аппроксимировать $\cos t_n$ при $h t_n \ll 1$. В пределе $h\to 0$, $x_n \to \cos t_n,$ как и ожидалось.

Производные и конечные разности

С моральной точки зрения разностное уравнение является дискретной версией дифференциального уравнения и дифференциальное уравнение является непрерывной версией разностного уравнения. Метод численного интегрирования ОДУ представляет собой переписывание дифференциального уравнения в виде разностного уравнения, которое затем итеративно решается компьютером. Это большая тема со множеством тонкостей. Метод также может быть применен к нелинейным уравнениям и уравнениям в частных производных. Ниже мы даем краткий словарь между конечно-разностными и дифференциальными операторами. 92} (x_{n+2}-2 x_{n+1} + x_n).$$

При использовании метода Эйлера мы принимаем $D \приблизительно \Delta/h$. С таким же успехом мы могли бы оставить члены более высокого порядка в $\Delta$, чтобы получить рекурсивные отношения с тремя или более членами. То, что это простое изменение приводит к численной нестабильности, является признаком нетривиальной природы предмета. Существует множество названных алгоритмов, которые улучшают и обобщают метод Эйлера, опираясь на идеи, изложенные выше. (См., например, Рунге-Кутта. методы, семейство надежных алгоритмов, используемых для численного решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.) 9l \log x|_{x=1} = \delta_{l1},$$ где $\delta_{ij}$ — дельта Кронекера.

Дифференциальные и разностные уравнения в математическом моделировании

спросил

Изменено 2 года, 4 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я немного читаю о математическом моделировании и видел несколько моделей населения, основанных на дифференциальных уравнениях. Я также видел некоторые (не многие), которые могут поддерживать как разностные, так и дифференциальные уравнения.

Мой вопрос: в случае, когда проблема (не обязательно о росте населения) может быть смоделирована в обоих направлениях, каковы преимущества/недостатки использования каждого метода? Ответ на первый вопрос всегда зависит от проблемы?

Я читал такие книги, как “Математическая биология” Дж. Д. Мюррея и “Математические модели” Хабермана, но эти авторы не упоминают преимущества/недостатки использования того или иного метода.

Если бы вы могли порекомендовать мне литературу по этому вопросу, было бы здорово.

Большое спасибо.

  • обыкновенные дифференциальные уравнения
  • математическое моделирование
  • приложения

$\endgroup$

5

$\begingroup$

На практике дифференциальные уравнения намного легче изучать, чем разностные уравнения. Я думаю, это потому, что дифференциальные системы в основном усредняют все вместе, что значительно упрощает динамику. С другой стороны, дискретные системы более реалистичны.

Отличным примером этого является логистическое уравнение. Дифференциальная версия $x’ = rx(1-x)$ проста для изучения и решения даже для студентов, изучающих вводный курс. С другой стороны, $x_{n+1} = r’x_n(1-x_n)$ (1) не только порождает интересную динамику и хаотическое поведение, но и связывает с открытыми теоретическими проблемами.

В качестве компромисса числовые аспекты разностного уравнения намного проще.

$\endgroup$

$\begingroup$

Да, разностные уравнения сложнее. Но есть способ решения уравнения логистической разности $x_{n+1}=r’x_n(1-x_n)$, который дает решение, аналогичное решению $x’=rx(1-x)$. Один из способов указан в http://www.dankalman.net/AUhome/atlanta17JMM/kalman_logisitc_paper.

Оставить комментарий