История появления алгебры как науки
Содержание:
Введение
Алгебра, наряду с арифметикой, является наукой о числах и, через числа, о количествах вообще. Не изучая свойств каких-либо частных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства абстрактных величин как таковых, независимо от того, на какие конкретные приложения они способны. Разница между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука изучает свойства данных, определенных величин, в то время как алгебра изучает общие величины, значение которых может быть произвольным, и, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые являются общими для всех величин, независимо от их значений. Таким образом, алгебра-это обобщенная арифметика. Это заставило Ньютона назвать свой трактат по алгебре “Общей арифметикой”. Гамильтон, полагая, что так же, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру “Наукой о чистом времени” – название, которое Морган предложил изменить на “Исчисление последовательности”.
Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни ее исторического развития. Алгебру можно определить как “науку о количественных отношениях”.
Деление алгебры
В настоящее время, отчасти по педагогическим соображениям, отчасти в силу исторического развития этой науки, алгебра делится на низшую и высшую. К низшей алгебре относятся теория элементарных арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теория степеней и корней, теория логарифмов и комбинаторика. Высшая алгебра включает в себя теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок и, наконец, представление различных частных способов разделения корней уравнений, определения числа действительных или мнимых корней данного уравнения с числовыми коэффициентами и приближенных или аналитических (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.
История алгебры
Происхождение термина “алгебра”.
Происхождение самого слова “алгебра” не совсем ясно. По мнению большинства исследователей, слово “алгебра” происходит от названия работы арабского математика аль-Хорезми (от названия которого, по мнению большинства исследователей, происходит популярное слово “алгоритм”) “аль-Джабр аль-мукабала”, то есть “учение о перестановках, соотношениях и решениях”, но некоторые авторы производят слово “алгебра” от имени математики ГЕБЕРА, но само существование такой математики подлежит сомнению.
Самые старые комбинации в алгебре
Первой дошедшей до нас работой, содержащей исследование алгебраических вопросов, является трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы находим, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), изучение степеней чисел и решение многих неясных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное собрание сочинений Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно сложные алгебраические задачи.
Мы не знаем никаких других работ по алгебре в древности, кроме утраченной работы знаменитой дочери Теона, Ипатии.
Арабская алгебра
В Европе алгебра вновь появляется только в эпоху Возрождения, и то от арабов. Как арабы достигли истин, которые мы находим в их писаниях, дошедших до нас в большом количестве, неизвестно. Возможно, они были знакомы с трактатами греков или, как некоторые думают, получили свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магомед ибн Муса, живший примерно в середине девятого века в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние труды по всем отраслям науки. Магомед Абульвафа переводил и комментировал труды Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в X веке). Но ни он, ни другие арабские математики не привнесли в алгебру много своего. Они изучили его, но не улучшили.
Возрождение алгебры в Европе
Первым произведением, появившимся в Европе после долгого перерыва со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим торговым делам на Восток, познакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) числами, а также с арифметикой и алгеброй арабов.
По возвращении в Италию он написал сочинение, охватывающее как арифметику, так и алгебру, а также частично геометрию. Однако эта работа не имела большого значения в истории науки, поскольку оставалась малоизвестной и была вновь открыта только в середине xviii века во флорентийской библиотеке. Тем временем сочинения арабов начали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что древнейший арабский труд по алгебре Магомеда-бен-Мусы был переведен на итальянский язык, но этот перевод не сохранился до нашего времени. Первый известный печатный трактат по алгебре – “Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita”, написанный итальянцем Лукасом де Бурго. Первое издание вышло в 1494 году, а второе-в 1523 году. Она показывает нам состояние алгебры в начале XVI века в Европе. Здесь не видно большого прогресса по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения некоторых частных задач высшей арифметики, автором решаются только уравнения первой-второй степени, и притом из-за отсутствия символического обозначения все задачи и способы их решения приходится излагать словами, предельно пространно.
Наконец, нет общих решений даже для квадратичного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится специальный метод решения, так что наиболее существенная особенность современного А. – общность его решений еще полностью отсутствует в начале XVI века.
Решение уравнений третьей и четвертой степени
В 1505 году Сципион Феррео впервые решил частный случай кубического уравнения. Это решение, однако, не было им опубликовано, а было сообщено одному студенту – Флориде. Последний, находясь в Венеции в 1535 году, вызвал на соревнование известного тогда математика Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для решения которых необходимо было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже сам нашел решение таких уравнений, причем не только в одном частном случае, который был решен Феррео, но и в двух других частных случаях. Тарталья принял вызов и предложил Флориде свои собственные задачи. Результатом состязания стало полное поражение от Флориды.
Тарталья решал предложенные ему задачи в течение двух часов, в то время как Флориде не мог решить ни одной из задач, предложенных ему противником (число задач, предложенных с обеих сторон, составляло 30). Тарталья, как и Феррео, продолжал скрывать свое открытие, которое заинтересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к изданию обширный труд по арифметике, алгебре и геометрии, в котором он также хотел дать решение уравнений 3-й степени. Но Тарталья отказался рассказать ему о своем методе. И только когда Кардано принес клятву на Евангелии и дал честное слово дворянина, что не откроет метод решения уравнений Тартальи, а запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья после долгих колебаний согласился открыть свою тайну любопытному математику и довольно туманно показал ему правила решения кубических уравнений, изложенные в стихах. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел им подтверждение. Однако, несмотря на свое обещание, он опубликовал метод Тартальи, и этот метод до сих пор известен как “формула Кардано”.
Вскоре было найдено решение уравнений четвертой степени. Итальянский математик предложил задачу, решение которой по известным до того времени правилам было недостаточным и требовало умения решать биквадратичные уравнения. Большинство математиков считали эту проблему неразрешимой. Но Кардано предложил его своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решения уравнений четвертой степени в целом, сведя их к уравнениям третьей степени. В работе Тартальи, напечатанной в 1546 году, мы также находим изложение метода решения не только уравнений первой и второй степени, но и кубических уравнений, и описан инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Работа Бомбелли, опубликованная в 1572 году, интересна тем, что в ней рассматривается так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который смутил Кардано, не сумевшего решить его с помощью своего правила, а также указывается на связь этого случая с классической задачей о трисекции угла. алгебра уравнения математической
Развитие алгебры в Европе
В Германии первая работа по алгебре принадлежит Христиану Рудольфу Яуэрскому и впервые появилась в 1524 году, а затем снова была опубликована Штифелем в 1571 году.
Сами Штифель и Шейбл, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.
В Англии первый трактат по алгебре принадлежит Роберту Рекорду, профессору математики и медицины в Кембридже. Его сочинение по алгебре называется “Точильный камень остроумия”. Здесь впервые вводится знак равенства ( = ). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение по алгебре Пелетария; в Голландии в 1585 году Стевин не только представил уже известные ему исследования, но и внес некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он обозначал неизвестное. Однако для обозначения неизвестного он использовал только цифры, обведенные по кругу. Итак, первое неизвестное (теперь обычно обозначаемое х) В его случае обозначалось обведенной единицей, второе-обведенной двойкой и так далее. Большие успехи были сделаны в алгебре после трудов Виеты, который первым рассмотрел общие свойства уравнений произвольных степеней и показал методы приближенного нахождения корней любых алгебраических уравнений.
Он первым обозначил буквами величины, входящие в уравнения, и тем самым придал алгебре ту общность, которая является характерной чертой алгебраических исследований нового времени. Он также очень близко подошел к открытию биномиальной формулы, найденной позднее Ньютоном, и, наконец, в его трудах можно даже найти разложение отношения стороны квадрата, вписанного в окружность, к дуге окружности, выраженной в виде бесконечного произведения. Фламандец Альберт Жирар, или Жерар, чей трактат по алгебре появился в 1629 году, первым ввел в науку понятие мнимых величин. Англичанин Харриот показал, что каждое уравнение можно рассматривать как произведение некоторого числа факторов первого порядка, и ввел знаки > и
Приобретение полной формы алгебры
После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг стремительно продвигается вперед благодаря трудам Декарта, Ферма, Уоллиса и особенно Ньютона, не говоря уже о множестве менее известных математиков, которые совместными усилиями за сравнительно короткое время значительно превзошли своих предшественников и придали ей форму, сохранившуюся до наших дней.
В этом кратком очерке невозможно рассмотреть прогресс, которым алгебра обязана этим математикам. Мы лишь вкратце упомянем основные моменты дальнейшего стремительного совершенствования алгебры, за которым последовало шаг за шагом совершенствование других отраслей математики вообще. С этого времени алгебра также вступает в более тесную связь с геометрией, после развития Декартом аналитической геометрии, а также с бесконечно малым анализом, изобретенным Ньютоном и Лейбницем.
Заключение
После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг стремительно продвигается вперед благодаря трудам Декарта, Ферма, Уоллиса и особенно Ньютона, не говоря уже о множестве менее известных математиков, которые совместными усилиями за сравнительно короткое время значительно превзошли своих предшественников и придали ей форму, сохранившуюся до наших дней. В этом кратком очерке невозможно рассмотреть прогресс, которым алгебра обязана этим математикам. Мы лишь вкратце упомянем основные моменты дальнейшего стремительного совершенствования алгебры, за которым последовало шаг за шагом совершенствование других отраслей математики вообще.
Список литературы
- История математики в школе, Г. И. Глазер, Москва, Просвещение, 1964г.
- Очерки по истории математики, Б. В. Болгарский, Минск, “Высшая школа”, 1979.
- Математика, Я знаю мир, Москва, АСТ 2000.
- Энциклопедический словарь молодого математика, Москва, Педагогика-пресс, 1999.
Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова
Рада видеть вас на моем сайте. |
Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой.Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях.
Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно – просто прислав файлы в Telegram!
Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока. Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!
Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.
Лучшие университеты мира: МГУ и MIT
Моя видео презентация:
Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞
Шаг 1. Сфотографируйте задание
Шаг 2. Все файлы пришлите мне в чат в Telegram.
После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)
Шаг 3. Если всё понравится – оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Шаг 4. Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.
Шаг 5. Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.
ТОП 5 ответов на ваши вопросы
Как вы работаете?
Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:
- Вы присылаете необходимые файлы с описанием в Telegram.
- Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
- Вы оплачиваете заказ.
- Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
- В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.
Какая будет цена?
Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.
Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в Telegram. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).
Какой срок выполнения?
Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.
Как происходит оплата?
Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Какие гарантии?
Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.
Что обо мне говорят студенты и школьники
Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.
Правовые документы:
Условия использования
Политика конфиденциальности
Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова
Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой. |
Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц – мы это тоже умеем!
Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно – просто прислав файлы в Telegram!
Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока. Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!
Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.
Лучшие университеты мира: МГУ и MIT
Моя видео презентация:
Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞
Шаг 1. Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.
Шаг 2. Все файлы пришлите мне в чат в Telegram.
После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)
Шаг 3. Если всё понравится – оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Шаг 4. Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.
Шаг 5. Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.
ТОП 5 ответов на ваши вопросы
Как вы работаете?
Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:
- Вы присылаете необходимые файлы с описанием в Telegram.
- Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
- Вы оплачиваете заказ.
- Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
- В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.
Какая будет цена?
Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.
Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в Telegram. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).
Какой срок выполнения?
Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.
Как происходит оплата?
Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Какие гарантии?
Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.
Что обо мне говорят студенты и школьники
Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.
Правовые документы:
Условия использования
Политика конфиденциальности
Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова
Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой. |
Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц – мы это тоже умеем!
Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно – просто прислав файлы в Telegram!
Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока. Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!
Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.
Лучшие университеты мира: МГУ и MIT
Моя видео презентация:
Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞
Шаг 1. Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.
Шаг 2. Все файлы пришлите мне в чат в Telegram.
После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)
Шаг 3. Если всё понравится – оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Шаг 4. Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.
Шаг 5. Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.
ТОП 5 ответов на ваши вопросы
Как вы работаете?
Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:
- Вы присылаете необходимые файлы с описанием в Telegram.
- Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
- Вы оплачиваете заказ.
- Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
- В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.
Какая будет цена?
Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.
Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в Telegram. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).
Какой срок выполнения?
Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.
Как происходит оплата?
Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Какие гарантии?
Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.
Что обо мне говорят студенты и школьники
Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.
Правовые документы:
Условия использования
Политика конфиденциальности
Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова
Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой. |
Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц – мы это тоже умеем!
Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно – просто прислав файлы в Telegram!
Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока. Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!
Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.
Лучшие университеты мира: МГУ и MIT
Моя видео презентация:
Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞
Шаг 1. Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.
Шаг 2. Все файлы пришлите мне в чат в Telegram.
После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)
Шаг 3. Если всё понравится – оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Шаг 4. Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.
Шаг 5. Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.
ТОП 5 ответов на ваши вопросы
Как вы работаете?
Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:
- Вы присылаете необходимые файлы с описанием в Telegram.
- Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
- Вы оплачиваете заказ.
- Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
- В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.
Какая будет цена?
Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.
Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в Telegram. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).
Какой срок выполнения?
Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.
Как происходит оплата?
Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.
Какие гарантии?
Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.
Что обо мне говорят студенты и школьники
Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.
Правовые документы:
Условия использования
Политика конфиденциальности
История появления алгебры как науки. Бесплатный доступ к реферату
История появления алгебры как науки.doc Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также
промокод на новый заказ в Автор24.
Это бесплатно.
Введение
В наше время алгебра остается одной из важных и востребованных наук. Алгебра – это наука не только о числах и действия, совершаемые над ними, но и развитие логического мышления, которое так необходимо для современного мира.
Алгебра является обобщенной арифметикой. Об этом можно узнать в тракте Исаака Ньютона об алгебре «Общая арифметика», у Гамильтона в работе «Наука чистого времени». Следовательно, алгебру можно определить как «науку о количественных соотношениях».
Цель работы – рассмотреть различные подходы к происхождению и развитию алгебры как науки.
Для достижения цели, мы решаем следующие задачи:
1. Проанализировать литературу по теме «История появления алгебры как науки»
2. Выявить основные понятия и этапы развития алгебры.
3. Рассмотреть распространенные математические знаки и даты их возникновения.
4. Рассмотреть историческое развитие алгебры в странах Европы.
5. Систематизировать знания по алгебре.
Данная работа является актуальной, поскольку история помогает осознать важность появления алгебры как науки и дает возможность рассмотрения различных понятий, этапов и методов.
Глава 1. История появления алгебры как науки
1.1. Происхождение термина «алгебра»
Происхождение самого слова “алгебра” не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово “алгебра” произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово “алгоритм”) “Аль-джабр-аль-мукабалла”, то есть “учение о перестановках, отношениях и решениях”, но некоторые авторы производят слово “алгебра” от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению[5].
Но все же обратимся к самим истокам древнего счета.
Истоки алгебры исходят из Древнего Египта, Древней Греции, Арабских стран и Древнего Вавилона, где уже к II тыс. до н.э научились излагать свои познания в алгебраической сфере в числовой форме.
В основном, в Египте решались задачи такого типа как: вычисление площади участков, объемов сосудов, количества того или иного провианта и тому подобные. Также огромный прорыв произошел в Вавилоне, где уже решались уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. В Древней Греции алгебра имела другой вид, отличающийся от выше перечисленных. Там она приняла геометрический вид, то есть любое доказательство или утверждение учитывалось в том случае, если оно давалось на геометрическом языке. Математики Древней Греции предпочитали работе с числами работу с отрезками. Предполагается, что такой подход к решению задач отображал определённые черты духовного мира, свойственные только древним грекам. Геометрический путь, безусловно, считается гениальным открытием античных математиков, однако он регрессировал развитие алгебры, также при этом ограничивался диапазон чисел, которые будут использоваться в тех или иных случаях, то есть число должны быть строго положительными[2,7].
Можно сделать вывод, что алгебра является древнейшей наукой, так как числа вошли в жизнь человека еще во II тыс.
до н.э.
1.2. Древнейшие сочинения по алгебре
Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
и получи доступ ко всей экосистеме Автор24
Введение
В наше время алгебра остается одной из важных и востребованных наук. Алгебра – это наука не только о числах и действия, совершаемые над ними, но и развитие логического мышления, которое так необходимо для современного мира.
Алгебра является обобщенной арифметикой. Об этом можно узнать в тракте Исаака Ньютона об алгебре «Общая арифметика», у Гамильтона в работе «Наука чистого времени». Следовательно, алгебру можно определить как «науку о количественных соотношениях».
Цель работы – рассмотреть различные подходы к происхождению и развитию алгебры как науки.
Для достижения цели, мы решаем следующие задачи:
1. Проанализировать литературу по теме «История появления алгебры как науки»
2. Выявить основные понятия и этапы развития алгебры.
3. Рассмотреть распространенные математические знаки и даты их возникновения.
4. Рассмотреть историческое развитие алгебры в странах Европы.
5. Систематизировать знания по алгебре.
Данная работа является актуальной, поскольку история помогает осознать важность появления алгебры как науки и дает возможность рассмотрения различных понятий, этапов и методов.
Глава 1. История появления алгебры как науки
1.1. Происхождение термина «алгебра»
Происхождение самого слова “алгебра” не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово “алгебра” произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово “алгоритм”) “Аль-джабр-аль-мукабалла”, то есть “учение о перестановках, отношениях и решениях”, но некоторые авторы производят слово “алгебра” от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению[5].
Но все же обратимся к самим истокам древнего счета.
Истоки алгебры исходят из Древнего Египта, Древней Греции, Арабских стран и Древнего Вавилона, где уже к II тыс. до н.э научились излагать свои познания в алгебраической сфере в числовой форме. В основном, в Египте решались задачи такого типа как: вычисление площади участков, объемов сосудов, количества того или иного провианта и тому подобные. Также огромный прорыв произошел в Вавилоне, где уже решались уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. В Древней Греции алгебра имела другой вид, отличающийся от выше перечисленных. Там она приняла геометрический вид, то есть любое доказательство или утверждение учитывалось в том случае, если оно давалось на геометрическом языке. Математики Древней Греции предпочитали работе с числами работу с отрезками. Предполагается, что такой подход к решению задач отображал определённые черты духовного мира, свойственные только древним грекам. Геометрический путь, безусловно, считается гениальным открытием античных математиков, однако он регрессировал развитие алгебры, также при этом ограничивался диапазон чисел, которые будут использоваться в тех или иных случаях, то есть число должны быть строго положительными[2,7].
Можно сделать вывод, что алгебра является древнейшей наукой, так как числа вошли в жизнь человека еще во II тыс. до н.э.
1.2. Древнейшие сочинения по алгебре
Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел
. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии[1,3].
Первым известным печатным трактатом об алгебре считается “Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita”, который написал итальянец Лукас дэ Бурго. Первый раз трактат издали в 1494 г, позднее его переиздали в 1523 г.
Трактат указывает нам, о состоянии алгебры в начале XVI века в Европе. Здесь не прослеживались большие отличия и успехи по сравнению с тем, что уже знали арабы или Диофант. Кроме некоторых решений сугубо частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно.
Христиан Рудольф из Иayepa первым создал сочинение об алгебре в пределах Германии, которое впервые появилось в 1524 г. а после этого было переиздано в 1571 г Стифелем. Шейбль и Стифель, независимо от Лукаса де Бурго и других математиков апеннинского полуострова, смогли разработать ряд алгебраических вопросов.
Англия, в свою очередь, также включилась в написание сочинений и трактатов об алгебре. Первый из подобных трактатов принадлежал Роберту Рекорду, влиятельному по тому времени преподавателю математики и медицины в Кембриджском университете.
Его работа об алгебре называется «The Whetstone of Wit» («Точильный камень остроумия»), в которой впервые был введен такой важный знак, как равенство, т.е. равно.
Во Франции первое сочинение об алгебре было написано Пелетрариусом в 1588; В 1585 г Голандец Стевин, не только изложил известные до него исследования, но также он смог модернизовать, усовершенствовать алгебру, введя новые обозначения для неизвестных. Правда, для того, чтобы обозначить неизвестные переменные он решил использовать всего лишь числа, обведенные в кружочек. Например, первая неизвестная (часто обозначаемая x) у голландца обозначалась единицей, которая была обведена в кружочек, вторая – обведена двойкой, и можно также продолжать по этому принципу.
Фламандец Жирар или Жерар, чей трактат по алгебре вышел в свет в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Английский житель Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки «<» и «>».
Позже, в 1631 году, эти труды опубликовал Варнер[8,9].
Из выше сказанного, вытекает вывод, что трактаты об алгебре, взявшие истоки древних времен усовершенствовались постоянно. Каждое открытие ознаменовалось большим событием в мире алгебры.
1.3. Алгебра арабов
Не менее интересна алгебра древних арабов. В VII-VIII веках в арабских странах алгебра стала самостоятельной ветвью математики, туда же перекочевал центр научной деятельности. Было открыто большое количество библиотек, прекрасная обсерватория при Доме мудрости. Сюда съезжались учёные из разных стран. Когда-то в этом знаменитом доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный-математик Аль-Хорезми. Здесь он разработал правила преобразования уравнения, о которых он пишет в своем трактате «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», что любое уравнение можно решить с помощью двух операций: восполнение – метод переноса отрицательных членов в другую часть уравнения, и противопоставление – метод приведения подобных членов.
Ни он, ни другие математики, писавшие по-арабски, не употребляли никаких сокращённых обозначений
Магазин работ
Посмотреть все
РефератИстория развития математики
280 ₽
РефератСоздание и развитие алгебры как науки
250 ₽
Курсовая работаИстория появления алгебры как науки
150 ₽
Посмотреть все
Не нашел ответ на свой вопрос?
Опиши, с чем тебе нужна помощь.
Эксперты Автор24 бесплатно ответят тебе в течение часа
Прикрепить файл
Твой вопрос отправлен
Скоро мы пришлем ответ экпертов Автор24 тебе на почту
Помощь эксперта
Нужна помощь по теме или написание схожей работы?
Свяжись напрямую с автором и обсуди заказ.
4.8
batori2015
История 168 заказов
Отправить письмо схожим авторам, которые сейчас на сайте
Регистрация прошла успешно!
Теперь вам доступен полный фрагмент работы, а также
открыт доступ ко всем сервисам
экосистемы
Скачивание началось
В файле вы найдете полный фрагмент работы доступный на сайте, а также промокод referat200 на новый заказ в Автор24.
Введи почту
Зарегистрируйся через почту и получи неограниченный доступ к материалам. Это бесплатно.
Читать тексты на сайте можно без ограничений. Однако для копирования и использования работ нужно
зарегистрироваться в экосистеме Автор24.
Это бесплатно.
алгебра | История, определение и факты
математики греко-римского мира
Смотреть все СМИ
- Ключевые люди:
- Джон фон Нейман Сэр Уильям Роуэн Гамильтон Диофант Эмми Нётер Томас Хэрриот
- Похожие темы:
- элементарная алгебра современная алгебра линейная алгебра теорема о рациональном корне биномиальная теорема
Просмотреть весь связанный контент →
Популярные вопросы
Что такое алгебра?
Алгебра — это раздел математики, в котором абстрактные символы, а не числа, обрабатываются или оперируются с помощью арифметики. Например, x + y = z или b – 2 = 5 являются алгебраическими уравнениями, а 2 + 3 = 5 и 73 * 46 = 3358 – нет. Используя абстрактные символы, математики могут работать с общими терминами, применимыми гораздо шире, чем конкретные ситуации, связанные с числами.
Чем отличаются алгебра и геометрия?
Алгебра — это раздел математики, в котором арифметические операции и другие формальные операции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Геометрия — это раздел математики, изучающий форму объектов, их пространственные отношения и свойства пространства, в котором находятся объекты.
Резюме
Прочтите краткий обзор этой темы
алгебра , раздел математики, в котором арифметические операции и формальные манипуляции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Представление о существовании такой отдельной дисциплины математики, а также термин алгебра для ее обозначения возникли в результате медленного исторического развития. В этой статье представлена эта история, прослеживается эволюция во времени понятия уравнения, систем счисления, символов для передачи математических утверждений и манипулирования ими, а также современного абстрактного структурного взгляда на алгебру.
Для получения информации о конкретных разделах алгебры, см. элементарная алгебра, линейная алгебра и современная алгебра.
Возникновение формальных уравнений
Возможно, самым основным понятием в математике является уравнение, формальное утверждение о том, что две части математического выражения равны — как в простом уравнении x + 3 = 5 — и что обе части можно одновременно манипулировать уравнением (складывать, делить, извлекать корни и т. д. с обеих сторон), чтобы «решить» уравнение. Тем не менее, каким бы простым и естественным ни казалось это понятие сегодня, его принятие сначала потребовало развития многочисленных математических идей, каждая из которых требовала времени, чтобы созреть. Фактически, только в конце 16 века закрепилась современная концепция уравнения как единого математического объекта.
Особого внимания заслуживают три основных направления процесса, ведущего к этой консолидации:
Попытки решить уравнения, включающие одну или несколько неизвестных величин.
При описании ранней истории алгебры слово уравнение часто используется из соображений удобства для описания этих операций, хотя ранние математики не знали о таком понятии.Эволюция представления о том, что именно считается допустимым числом. Со временем это понятие расширилось, чтобы включить более широкие области (рациональные числа, иррациональные числа, отрицательные числа и комплексные числа), которые были достаточно гибкими, чтобы поддерживать абстрактную структуру символической алгебры.
Постепенное совершенствование символического языка, пригодного для разработки и передачи обобщенных алгоритмов или пошаговых процедур для решения целых категорий математических задач.
Эти три нити прослеживаются в этом разделе, особенно в том, как они развивались на древнем Ближнем Востоке и в Греции, в исламскую эпоху и в эпоху европейского Возрождения.
Britannica Quiz
Числа и математика
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.
Решение задач в Египте и Вавилоне
Самый ранний из сохранившихся математических текстов из Египта — папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.). Этот и другие тексты свидетельствуют о способности древних египтян решать линейные уравнения с одним неизвестным. Линейное уравнение — это уравнение первой степени, то есть уравнение, в котором все переменные даны только в первой степени. (В сегодняшних обозначениях такое уравнение с одним неизвестным будет 7 x + 3 x = 10.) Свидетельства примерно 300 г. до н.э. указывают на то, что египтяне также знали, как решать задачи, включающие систему двух уравнений с двумя неизвестными величин, включая квадратные (второй степени или квадраты неизвестных) уравнения. Например, учитывая, что периметр прямоугольного участка земли составляет 100 единиц, а его площадь 600 квадратных единиц, древние египтяне могли найти длину поля l и ширина w . (В современных обозначениях они могли решить пару одновременных уравнений 2 w + 2 l = 100 и w l = 600.
) Однако в течение всего этого периода символы не использовались – задачи формулировались. и решается устно. Типична следующая задача:
Метод расчета количества,
умножить на 1 1 / 2 прибавив 4 получилось 10.
Какое количество говорит об этом?
Сначала вы вычисляете разницу между этими 10 и этими 4. Затем получается 6 результатов.
Затем вы делите 1 на 1 1 / 2 . Затем 2 / 3 результатов.
Затем вы вычисляете 2 / 3 из этих 6. Затем 4 результата.
Вот, это 4, количество, которое сказало это.
То, что вы нашли, верно.
Обратите внимание, что за исключением 2 / 3 , для которых существовал специальный символ, египтяне выражали все дробные количества, используя только единичные дроби, то есть дроби, имеющие числитель 1.
Например, 3 / 4 будет записано как 1 / 2 + 1 / 4 .
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Вавилонская математика восходит к 1800 г. до н.э., о чем свидетельствуют клинописные тексты, сохранившиеся на глиняных табличках. Вавилонская арифметика была основана на хорошо разработанной позиционной шестидесятеричной системе счисления, то есть на системе с основанием 60, в отличие от современной десятичной системы, основанной на единицах 10. Вавилоняне, однако, не использовали постоянно ноль. . Большая часть их математики состояла из таблиц, например, для умножения, обратных величин, квадратов (но не кубов), а также квадратных и кубических корней.
Помимо таблиц, многие вавилонские таблички содержали задачи, требующие решения какого-то неизвестного числа. Такие задачи объясняли процедуру решения конкретной проблемы, а не предлагали общий алгоритм решения подобных задач.
Отправной точкой для задачи могут быть отношения, включающие определенные числа и неизвестное, или его квадрат, или системы таких отношений. Искомым числом может быть квадратный корень из заданного числа, вес камня или длина стороны треугольника. Многие вопросы были сформулированы с точки зрения конкретных ситуаций, таких как разделение поля между тремя парами братьев при определенных ограничениях. Тем не менее их искусственный характер ясно давал понять, что они созданы в дидактических целях.
История алгебры | аль-Хорезми
Содержание
| 1. | Введение |
| 2. | Что такое алгебра |
| 3. | История алгебры |
| 3. | Стадии развития алгебры |
| 4. | Вклады разных стран |
| 5. | Вклад великих математиков
|
6. | Резюме |
| 7. | О Куэмате |
| 8. | Часто задаваемые вопросы |
| 9. | Внешние ссылки |
27 октября 2020 г.
Время прочтения: 12 минут
ВведениеГеометрия и математика как предмет могут быть разделены на три важные ветви. Алгебра считается одним из старейших компонентов в истории математики. Алгебра занимается изучением символов, экспонент, известных и неизвестных переменных и уравнений. История алгебры была подробно рассмотрена здесь.
Что такое алгебра?
Теория чисел, геометрия и их анализ составляют обширную часть математики, известную как “Алгебра” . Другими словами, алгебра — это часть математики, которая имеет дело с символами и правилами вычисления этих символов.
Читайте также:
- Алгебра в реальной жизни
- Алгебра против исчисления
Загружаемый PDF
Если вы когда-нибудь захотите перечитывать ее столько раз, сколько захотите, вот загружаемый PDF-файл, чтобы узнать больше.
История алгебры
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми известен как «Отец алгебры». Он был персидским математиком, написавшим книгу под названием Китаб Аль Мухтасар фи Хисаб Аль Габр Ва И Мукабала на арабском языке, которая позже была переведена на английский язык как «Краткая книга по расчетам путем завершения и уравновешивания», , от которого произошло слово АЛГЕБРА . В книге приводится систематическое решение линейных и квадратных уравнений.
Согласно Аль-Хорезми, слово алгебра описывается как «редукция» и «уравновешивание» вычитаемых членов, то есть транспозиция в другие части уравнения (отмена подобных членов).
Стадии развития алгебры
В 9 есть три критических стадии развития0047 «Символическая алгебра» , которая выглядит следующим образом:
1. Риторическая алгебра Она была разработана древними вавилонянами , где уравнение было записано в виде слов, которые сохранились до 16 века.
Пример: x + 5 = 8, записывается как “Вещь плюс пять равно восьми”
2. Синкопированная алгебраВпервые это выражение появилось в Diophantus Arithmetica (3-й век) Брахмагупта ‘s «Спута Сиддханта Брахмагупты» (9 век), , где использовалось мало символов, а вычитание использовалось только один раз в уравнении.
3. Алгебра символовНа этом этапе в алгебре использовались все символы. Многие исламские математики, такие как Ибн Аль-Банна и Аль Каласади , писали в своих книгах о Символической алгебре . Франсуа Виете полностью развил его в 16 веке. 92 + q = px \end{align}\]
В ранней алгебре Квадратные уравнения играли важную роль, где говорят, что они принадлежат одному из трех приведенных выше уравнений.
# Греки и индийские ведические математики разработали еще два этапа алгебры, которые лежат между риторическим и синкопированным этапами, известными как этапы геометрического конструирования.
Взносы разных стран I. Вавилон
Древние вавилоняне разработали риторический этап алгебры, где уравнения записывались в виде слов. Они использовали линейную интерполяцию для аппроксимации промежуточных значений , поскольку их больше не интересовали точные решения. Табличка Plimpton 322, одна из самых известных табличек, разработанная примерно в 1900 – 1600 гг. до н.э., дает таблицы “Пифагорейские тройки”.
Узнайте больше о .
Ниже приведены важные вклады:
- Они разработали гибких алгебраических операций для устранения дробей и множителей путем добавления равных к равным и умножения одинаковых величин в обеих частях уравнения.
- Они также знали простых форм разложения на множители , трехчленные квадратные уравнения с положительным членом и кубические уравнения
Древний Египет Ахмед, египетский математик , написал египетский папирус в 1650 г. до н.э., известный как «Папирус Ринда» , который считается самым обширным древнеегипетским математическим документом в истории. В основном они использовали линейные уравнения.
Папирус Райнда содержит задачи линейного уравнения в форме
x + xa = b и x + xa + bx = c , где a, b и c являются известными терминами, и x обозначаются как “ага” или куча . Уравнения решались «методом ложного положения» или «правильным ложным положением» , в котором в левую часть уравнения подставляется конкретное значение, а полученный ответ после выполнения необходимой арифметической операции сравнивается с правой частью уравнения.
III. China- ZHOUBI SUANGJING — один из старейших китайских математических документов.
Ниже приведены пять основных книг китайских математиков по алгебре.
Девять глав по математическому искусству | Это одна из самых влиятельных книг, в которой даны решения для определения и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием как положительных, так и отрицательных чисел. В одной из задач есть решение для пяти неизвестных в четырех уравнениях. |
Морское зеркало Круга- измерение | LI ZHI написал эту книгу, в которой он решал уравнения высшей степени, равной шести, с помощью метода Горнера. |
Математический трактат в девяти разделах | Цинь Чиу-Шао, богатый губернатор и министр, изобрел китайскую теорему об остатках для решения одновременных сравнений. |
Магический квадрат | В этой книге автор Ян Хуэй сформировал магический квадрат или матрицу, расставив коэффициенты и константы для решения одновременных линейных уравнений. Он работал с методами редукции столбцов, чтобы получить решение. |
Драгоценное зеркало четырех стихий | Чу Ши-Чие написал эту книгу в 1303 году, в которой неизвестные величины в алгебраических уравнениях были представлены как небо, человек, земля и материя. Метод Горнера используется для решения уравнения уравнений с высшей степенью четырнадцати. |
Драгоценное зеркало из четырех элементов
Греческий математик представлял стороны геометрических объектов, линий и букв, связанных с ними
Изобрели “Применение областей” для получения решений уравнений, решаемых в геометрической алгебре.
Ниже приведены несколько греческих математиков, чей вклад стал важной вехой в истории алгебры:
1. Тимарид (ок. 400 г. до н.э. – 350 г. до н.э.) создал известное правило под названием
«Цветение Тимарида», в котором говорится, что
‘Если дана сумма n величин, а также сумма каждой пары, содержащей определенную величину, то эта конкретная величина равна [1/(n – 2)] разности между суммы этих пар и первая заданная сумма’
2.
Евклид Александрийский , называемый «Отцом геометрии». Он написал учебник под названием «Элементы» , который обеспечивает основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных задач, в более общие системы постановки и решения уравнений.
Во времена Евклида отрезки считались величинами. Они были решены с помощью теории геометрии, которая в современной алгебре представляет собой не что иное, как решение известных и неизвестных величин с применением арифметических операций. 92 + 2ab \end{align}\]
- Предложения 6 и 11 дают решение квадратного уравнения
ax + x 2 = b 2 и ax + x 2 = a 2 геометрически.
Дата — еще одна книга, написанная Евклидом для Александрийской школы. Он содержит пятнадцать определений и девяносто пять утверждений, которые служат алгебраическими правилами и формулами.
В книге есть решение для dx 2 + b 2 c – adx = 0,
шесть из тринадцати книг сохранились. Диофант был первым, кто ввел символы для неизвестных сокращений чисел для степеней чисел, отношений и операций , используемых в синкопированной алгебре.
Единственная разница между Diophantus Arithmetica и современной алгеброй — специальные символы для операций, экспонент и отношений. 92 \end{align}\]
2. Брахма Спхта Сиддханта
Брахмагупта написал Брахма Спхта Сиддханта, в котором он дал решений общих квадратных уравнений для положительных и отрицательных корней . Он дал триады Пифагора m,
\(\begin{align}½ ( m2/n – n), ½ ( m2/n + n) \end{align}\) с помощью неопределенного анализа. Он был первым, кто дал решение диофантову линейному уравнению ax + by = c , где a, b и c — целые числа.
Брахмагупта следовал синкопированной алгебре, где сложение, вычитание и деление представлены так, как указано в таблице ниже. Аббревиатуры использовались для обозначения умножения, эволюции и неизвестных величин.
Дополнение | Размещение номеров рядом |
Вычитание | Помещение точки над вычитаемым |
Отдел | Размещение делителя под делимым |
3. Бхаскара II
- Один из ведущих индийских математиков 12 века.
- Он написал книги под названием “Лилавати” и “Виджа-Ганита” , где он дал решения для определенных и неопределенных уравнений, линейных и квадратных уравнений и троек Пифагора.
- Он также дал решение уравнения Пелла.
- Он обозначил неизвестные переменные как начальных символов цветов.
- Бхаскара лучше всех давал решения с использованием неопределенного анализа.
Вклады великих математиков:
1.
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми
- персидский математик, чьи работы оказали большое влияние на математику, астрономию и географию.
- Он написал книгу «Краткая книга по расчетам путем завершения и уравновешивания» , переведенную на арабский язык как «Китаб Аль Мухтасар фи Хисаб Аль Габр Ва И Мукабала» , из которой было придумано слово АЛГЕБРА.
- Книга дает систематический подход к решению линейных и квадратных уравнений на методы уменьшения и балансировки . Вот используемые им шаги:
- Шаг 1 : редукция, в которой данное уравнение сводится к одному из следующих стандартных типов,
ось 2 = ось | Квадраты равные корни |
топор 2 = с | Число одинаковых квадратов |
бх = с | Корни равные числа |
ось 2 + bx = с | Квадраты и корни равны числам |
ах 2 + с = Ьх | Квадраты и числа равны корням. |
bx + c = ax 2 | Корни и числа равны квадратам. |
- Шаг 2: уравновешивание путем добавления одинаковых величин в каждую сторону и удаления отрицательных корней, единиц и квадратов из уравнений. 92 + 7 = х\конец{выравнивание}\)
Аль-Хорезми дал объединяющую теорию, которая произвела новую революцию в математической истории, где рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины рассматриваются как «алгебраические объекты».
.Вклад Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми в алгебру сделал его адресным имеет «Отец алгебры»
Амалия Эмми Нётер, немецкий математик , внесла свой вклад в абстрактную алгебру . Знаменитая теорема в математической физике была названа ее именем и известна как Теорема Нётер .
Она разработала теорий колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения.Эмми Нётер родилась во франконской еврейской семье Макса Нётер, который был математиком. Она училась Математика в “Университете Эрлангена” Она работала в Математическом институте Эрлангена под руководством Пауля Гордана в 1907 году. математические исследования Дэвида Гилберта и Фликса Клиена, чтобы присоединиться к математическому факультету . Четыре года она читала лекции под именем Дэвида Гильберта. В 1919 году она получила «звание приват-доцента» после получения разрешения на хабилитацию.
Математическая работа Нётер делится на три «эпохи»
- Вклад в теории алгебраических инвариантов и числовых полей (1908 – 1919)
- Нётер развила “теорию идеалов в коммутативных кольцах” в инструмент, имеющий широкое применение, который был опубликован в ее статье “Idealtheorie in Ringbereichen” (1920 – 1926)
- Она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам и объединил теорию представлений групп с теорией модулей и идеалов (1927 – 1935).
Павел Александрос, Альберт Эйнштейн, Жан Дьедонн, Герман Вейль и Норберт Винер описали ее как одну из самых важных женщин в истории математики . За вклад в абстрактную алгебру она получила титул «Мать алгебры».века, и вклад математиков разных стран безграничен. Современная алгебра — это эволюция всех их работ, которая упростила задачу. Решение квадратных уравнений с любым количеством экспонент может быть получено как для положительных, так и для отрицательных целых чисел с помощью простого арифметического анализа.
Автор: Nethravati C, учитель Cuemath
О CuemathCuemath, удобная для студентов платформа математики, проводит регулярные интерактивные онлайн-занятия для академиков и развития навыков, как по ментальной математике, так и по ментальной математике iOS и Android — это универсальное решение для развития у детей множества навыков.
Ознакомьтесь со структурой комиссий Cuemath и подпишитесь на бесплатную пробную версию.
Часто задаваемые вопросы (FAQ) Кто такой Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми?Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми был мусульманским математиком и астрономом, жившим в Багдаде примерно в 9 веке. Он написал книгу под названием «китаб Аль-Джабр», от которой произошло слово «АЛГЕБРА».
Кто отец алгебры?Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми известен как «Отец алгебры».
Кто мать алгебры?Эмми Нётер Известна как “Мать современной алгебры”
Каков вклад исламского мира в алгебру?- Арабские математики первыми ввели алгебру как самостоятельную дисциплину в элементарной форме.
- Подчеркивает индуистское влияние, подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние и подчеркивает греческое влияние — это три алгебраические теории, происходящие из АРАБСКОЙ АЛГЕБРЫ.
- Аль-Хассар, математик из Марокко, разработал специальную математическую систему записи дробей, в которой числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой.
- Омар Хайям написал книгу по алгебре, в которую вошли алгебраические уравнения 3-й степени. Он предоставил как арифметические, так и геометрические решения квадратных уравнений.
- Аль-Кархи Преемник Абу Аль-Вафа аль-Бузджани был первым, кто нашел решения для уравнений вида . Он первый, кто заменил геометрические операции арифметическими операциями, составляющими основу алгебры.
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, мусульманский математик написал книгу в году 9 века под названием «Китаб аль-Джабр», от которой произошло слово «АЛГЕБРА». Итак, алгебра была изобретена в году IX века.
Развитие абстрактных математических рассуждений: пример алгебры
Введение
Национальный совет учителей математики США определяет алгебру как «способ мышления и набор понятий и навыков, которые позволяют учащимся обобщать, моделировать и анализировать математические ситуации» (Национальный совет учителей математики [NCTM], 2008).
Эта область включает в себя широкий спектр тем, начиная от решения элементарных линейных уравнений и заканчивая более абстрактными темами, такими как моделирование заданной контекстной информации путем формулирования сложных алгебраических выражений. Алгебра обычно является первой областью школьной математики, которая поощряет абстрактное мышление учащихся. Совершая переход от конкретной арифметики к символическому языку алгебры, учащиеся развивают абстрактное математическое познание, необходимое для их дальнейшего продвижения в математике и естественных науках. Учитывая, что понимание фундаментальных понятий алгебры и приобретение необходимых навыков для решения задач по алгебре требует определенной степени предварительных знаний и абстрактного мышления, алгебра обычно вводится в школах после развития арифметического мышления, как его обобщение, обычно в возрасте около 12 лет. Примерно в этом же возрасте, согласно теории когнитивного развития Пиаже, имевшей далеко идущее влияние как на теорию, так и на практику образования, происходит качественный сдвиг в когнитивном развитии детей (Piaget, 19).
76). В частности, это возраст, в котором большинство детей переходят от стадии конкретной операции к стадии формальной операции (Inhelder and Piaget, 1958; Piaget, 1972). В это время дети переходят от логических рассуждений на конкретных примерах к абстрактным и становятся способными рассматривать только логические отношения между различными элементами, игнорируя их конкретное содержание. Следовательно, этот переход от конкретной к формально-операциональной стадии представляет собой основу для их дальнейшего образовательного продвижения. Однако многие исследования показали, что формальные рассуждения не развиты у большинства подростков этого возраста (Лоусон, 19 лет).85). Следовательно, многочисленные абстрактные концепции в учебных программах по математике и естественным наукам слишком требовательны для большинства студентов, которые остаются мыслителями конкретных операций (Lawson and Renner, 1975). Поэтому было предложено отложить обучение абстрактным понятиям до тех пор, пока созревание мозга не позволит перейти к стадии формального функционирования.
В частности, за последние два десятилетия исследования визуализации мозга предоставили новые доказательства того, что подростковый возраст представляет собой период непрерывного развития нервной системы (Blakemore, 2012), который может длиться дольше, чем предполагает теория Пиаже. В частности, возрастные изменения в некоторых областях мозга, которые участвуют в абстрактных математических рассуждениях, таких как префронтальная кора, могут сохраняться до позднего подросткового возраста (Giedd and Rapoport, 2010). Педагогические исследования подтверждают, что некоторые тесты активности префронтальной доли сильно коррелируют со способностью к научному мышлению и способностью отвергать научные заблуждения и принимать правильные идеи (Kwon and Lawson, 2000). Кажется, что дети вряд ли могут приобрести некоторые навыки абстрактного мышления до определенного возраста.В соответствии с аргументами, предполагающими, что понимание алгебраических понятий может быть трудным для детей в начальной школе, исследования показали, что учащиеся действительно часто сталкиваются с трудностями при переходе от арифметической к алгебраической форме рассуждений (Kieran, 2004).
Несмотря на эти выводы, многие исследователи выступают за более раннее введение алгебры в учебную программу по математике (например, Carraher et al., 2006; Warren et al., 2006). Согласно этим предложениям, развитие алгебраических навыков и предоставление учащимся более сложных абстрактных задач поможет улучшить их абстрактное мышление, тем самым облегчив переход между фазами познания. Это можно было бы делать постепенно, что соответствует современным учебным планам по математике, которые постепенно вводят элементы алгебраического мышления в младших классах, прежде чем формально вводить алгебру в более поздних классах (Национальный совет учителей математики [NCTM], 2000). Например, с момента введения в действие национальной учебной программы в Англии алгебра преподается раньше, чем это было 30 лет назад. Тем не менее, это изменение практики не было слишком полезным, так как недавний крупномасштабный опрос показал, что нынешняя успеваемость по алгебре в целом сопоставима с успеваемостью учащихся 30 лет назад (Hodgen et al.
, 2010). Создается впечатление, что раннее начало обучения алгебре дает учащимся первоначальное преимущество, которое не сохраняется в более позднем возрасте. В целом, несмотря на многочисленные попытки решить трудности учащихся с формальными математическими рассуждениями, кажется, что достигнут незначительный прогресс (Hodgen et al., 2010).Более комплексная оценка успехов учащихся и трудностей в овладении фундаментальными понятиями алгебры представлена крупными международными опросами, такими как PISA (Программа международной оценки учащихся) и TIMSS (Тенденции в международных исследованиях в области математики и естественных наук), которые дают представление о качества и эффективности школьных систем во многих странах. Результаты тестирования PISA, проведенного в 2012 году с особым акцентом на математику, показывают, что учащиеся в странах с самыми высокими показателями «чаще знакомятся с формальной математикой, чем учащиеся в большинстве других стран и экономик, участвующих в PISA» (Организация экономического сотрудничества).
-эксплуатация и развитие [ОЭСР], 2013, стр. 148). Кроме того, данные свидетельствуют о том, что «воздействие на более продвинутый математический контент, такой как алгебра и геометрия, по-видимому, связано с высокой успеваемостью по математике PISA, даже если причинно-следственный характер этой связи не может быть установлен» (Организация экономического сотрудничества). -эксплуатация и развитие [ОЭСР], 2013, стр. 148). Эти результаты указывают на решающую роль алгебры в развитии абстрактных математических рассуждений.Однако, обсуждая усвоение основных понятий алгебры, важно подчеркнуть, что они представляют собой обширную часть школьной математики. Как упоминалось ранее, на фундаментальном уровне алгебра включает в себя решение простых алгебраических уравнений, которым посвящено настоящее исследование. Эти уравнения были выбраны потому, что преобразование уравнений представляет собой очень важный навык, необходимый для решения задач по многим школьным предметам. В различных рамках обучения часто предполагается, что, как только учащиеся научатся решать простые уравнения, такие как, например, они могут решать такие уравнения для любого неизвестного.
Это означало бы, что они могут решать эквивалентные простые уравнения, содержащие как числа, буквы или другие символы. Однако учителя физики и химии знают, что учащиеся испытывают трудности с перестановкой уравнений, особенно для уравнений, состоящих из всех символов. Кюхеманн (1981) сообщил, что большинство учащихся в возрасте до 15 лет не могут интерпретировать алгебраические буквы (символы) как неизвестные или обобщенные числа, чего можно было бы ожидать от формальных операционально мыслящих людей. Вместо этого они по-прежнему используют конкретные операционные стратегии при решении таких уравнений, например, игнорируя буквы или заменяя их числовыми значениями. Такое неэквивалентное обращение с сопоставимыми в других отношениях уравнениями представляет собой лишь один пример неспособности учащихся применить выученный принцип решения уравнений к различным экземплярам одного и того же формата уравнения. Учитывая такую неравноценность, разные исследователи математического образования классифицируют уравнения по-разному.
Например, Усыскин (1988) классифицирует «уравнения с буквами», используемые в школьной алгебре, как формулу ( A = LW ), уравнение, которое нужно решить, (5 x = 40), тождество (sin x = cos x tan x ), свойство [1 = n (l/ n )] или функция ( y = kx ). В рамках этой, а также других классификаций важно подчеркнуть, что разные типы уравнений по-разному воспринимаются не только студентами, но и математиками в зависимости от различного использования идеи переменной (Чазан и Йерушалми, 2003).Мотивированное этими различиями, а также практической значимостью этой темы, настоящее исследование было направлено на изучение траектории развития способности учащихся решать простые алгебраические уравнения. На основе классификации Усискина (1988) были выбраны только формулы и уравнения для решения, т. е. мы использовали эквивалентные трехчленные уравнения с цифрами или буквами. Среди участников исследования были учащиеся начальной и средней школы, которых как минимум за год до тестирования обучали перестановке уравнений по математике.
Кроме того, они использовали формулы в других школьных предметах, таких как физика и химия. Однако мы предположили, что, несмотря на неоднократное знакомство и практику с простыми алгебраическими уравнениями, некоторые учащиеся всех классов все еще будут испытывать трудности с их перестановкой, особенно если уравнения содержат только символы (буквы). Кроме того, нас интересовали стратегии студентов в решении «всесимвольных» уравнений. Исходя из нашего опыта и предыдущих исследований (Susac et al., 2014, пересматривается), мы предположили, что многие учащиеся используют очень конкретные стратегии, такие как вставка чисел, потому что им требуется время, чтобы принять формальный алгебраический способ мышления. Следовательно, в настоящем исследовании мы исследовали возраст, в котором действительно происходит переход от рассуждений, основанных на конкретных числах, к более абстрактным алгебраическим рассуждениям.Материалы и методы
Участники
Участниками настоящего исследования были 331 ученик пяти начальных и четырех средних государственных школ Загреба.
Что касается учащихся начальных классов, то все государственные начальные школы Хорватии имеют одинаковую учебную программу, поэтому их учащиеся имеют сопоставимый опыт обучения алгебре. Что касается средних школ, то мы протестировали учащихся двух гимназий (общеобразовательных и школ с иностранным языком обучения) и двух техникумов. Эти школы были выбраны, чтобы представлять средний контингент средних школ Загреба, в основном готовящийся к учебе в университете. В частности, выпускники двух гимназий, включенных в настоящее исследование, как правило, продолжают свое образование в университете, как правило, изучая специальности, не связанные с математикой или наукой. Для сравнения, выпускники проверенных техникумов часто продолжают обучение по техническим специальностям. В исследование не включались учащиеся гимназий, специализирующихся в области естественных наук и математики.В настоящем исследовании приняли участие учащиеся с седьмого класса начальной школы (возраст 13–14 лет) до второго класса средней школы (возраст 16–17 лет).
Таким образом, в нашу выборку вошли учащиеся четырех возрастных групп, т. е. разных классов школы: 7-8-го класса начальной школы и 1-го и 2-го класса средней школы. Учитывая, что в хорватских школах перестановка уравнений преподается в конце шестого класса начальной школы, что примерно соответствует возрасту учащихся 12–13 лет, всех наших участников обучали решению задачи, используемой в исследовании, не менее одного года. до этого измерения. Количество протестированных учащихся женского и мужского пола в каждом классе показано в таблице 1.ТАБЛИЦА 1. Количество учащихся по полу и возрасту.
Исследование одобрено комитетом по этике Министерства науки, образования и спорта, а также директорами школ. Родители каждого студента дали информированное письменное согласие до того, как ребенок принял участие в эксперименте.
Материалы
Прогрессивные матрицы Равена использовались для оценки общих когнитивных способностей (Рэйвен, 1941, 1999).
Тест на внимательность d2 (Брикенкамп, 1962, 1999), но данные не анализировались в настоящем исследовании.Компьютеризированный тест перестановки уравнений был подготовлен с использованием E-Prime (Psychology Software Tools Inc., Питтсбург, Пенсильвания, США). В каждом испытании в центре поля зрения предъявлялись простые уравнения, состоящие из трех элементов (цифр или букв). Представленные цифры и буквы были черными, отображались шрифтом Ariel размером 24 pt на белом фоне. Задача участников состояла в том, чтобы сделать x предмет уравнения. Одновременно с уравнением под уравнением был представлен потенциально правильный или неправильный ответ. Участникам было предложено решить, был ли предложенный ответ правильным или неправильным.
В исследовании использовались три типа уравнений:
Уравнения A: x ⋅ a = b,
Уравнения B: xa=b,
Уравнения C: ax=b.
Предлагались ответы следующих типов: x ⋅ a = b, xa=b и ax=b. Во всех представленных уравнениях a и b обозначают разные буквы и цифры, которые с одинаковой вероятностью появлялись в ходе эксперимента.
Процедура
Участники были протестированы в течение двух учебных периодов (продолжительностью 45 минут). В течение одного школьного периода учащиеся в своих классах применяли Прогрессивные матрицы Равена и тест внимания d2. В тот же или в другой день студенты решали компьютеризированный тест на перестановку уравнений и заполняли анкету после измерения в компьютерном классе.
Перед проведением теста на перестановку уравнений участники были ознакомлены с заданием. Им было предложено ответить как можно быстрее, нажав указательным и средним пальцами одну из двух кнопок мыши, соответствующих правильным и неправильным ответам соответственно. Перед экспериментом участники выполняли тренировочный блок, состоящий из 6 уравнений, эквивалентных тем, которые использовались в последующих экспериментальных испытаниях.
Во время практических и экспериментальных испытаний каждое уравнение предъявлялось до тех пор, пока участник не ответит, максимум до 30 с. Если участник не отвечал в течение 30 с, уравнение исчезало с экрана и оставалось еще 30 с, чтобы дать ответ.
Однако эти поздние ответы (<0,1% всех испытаний) не были включены в анализ. После каждого ответа следующее уравнение предъявлялось с задержкой в 1 с. Время реакции (ВР) автоматически измерялось компьютером от начала стимула до ответа участника. Никакой обратной связи с участниками не было.В ходе эксперимента участникам были представлены три ранее описанных типа уравнений, которые были рандомизированы по четырем блокам. Каждый блок состоял из 15 уравнений каждого типа уравнений, что в сумме составляло 45 представленных уравнений на блок. Два блока содержали уравнения с числами, а два других блока содержали уравнения с буквами (символами). Уравнения в первом и третьем блоках содержали числа, а уравнения во втором и четвертом блоках состояли из букв. При необходимости участники могли сделать перерыв между блоками.
После завершения компьютеризированного теста участники заполнили анкету, предназначенную для оценки их стратегий при решении уравнений. Отвечая на эти анкеты, участники описывали, как они решали уравнения каждого типа, и ранжировали их по сложности.
Кроме того, они указывали, зависел ли их ответ от типа предложенных ответов и меняли ли они свои стратегии решения проблем в ходе эксперимента.Анализ данных
Для каждого участника и каждого состояния оценивались время реакции и точность. Только правильные ответы были включены в анализ RT. Обратная эффективность также рассчитывалась как отношение времени реакции и точности (Townsend and Ashby, 1978). Более низкие значения этого показателя указывают на более высокую эффективность при выполнении конкретной задачи. Обратная эффективность используется для учета компромиссов между скоростью и точностью, и мы использовали ее как меру сложности задачи.
Чтобы определить влияние возраста, пола, уровня абстракции, повторений и типа уравнения, был проведен двухфакторный дисперсионный анализ повторных измерений (ANOVA) на точность и RT. Повторные действия апостериорных тестов с использованием поправки Бонферрони были использованы для дальнейшей оценки различий между различными состояниями.
Кроме того, был рассчитан коэффициент частичной корреляции, чтобы определить связь между когнитивными способностями участников и их эффективностью в перестановке уравнений. Порог p < 0,05 использовали для определения уровня значимости эффекта.Чтобы оценить стратегии участников в решении уравнений, мы проанализировали их ответы в заданных апостериорных анкет с использованием общего индуктивного подхода (Thomas, 2003) и описательных статистических процедур. Описание каждого участника того, как он / она решал каждый тип уравнения, было классифицировано. Следовательно, разные категории отражают разные стратегии решения уравнений ученика, некоторые из которых были правильными, а некоторые — неправильными. Некоторые участники использовали более одной стратегии и соответственно были отнесены к двум или более категориям. Для упрощения сравнения используемых стратегий в зависимости от возраста участников все стратегии были разделены на конкретные и основанные на правилах (более абстрактные) группы.
Каждый участник был отнесен к конкретной, основанной на правилах или смешанной (конкретной и основанной на правилах) группе. Мы также оценили мнение студентов о сложности типа уравнения на основе их рангов, указанных в анкете. 9Для сравнения средняя точность и RTs. Полученные результаты для точности указали на статистически значимое основное влияние Возраста [ F (3,323) = 9,43, p < 0,001, ηp2 = 0,081] и Пола [ F (1,323) = 6,40, p < 0,05 , ηp2 = 0,019], а эффект взаимодействия был недостоверным [ F (3,323) = 1,45, p > 0,05, ηp2 = 0,013]. Рисунок 1А показывает, что точность увеличивается с возрастом участников. В среднем девочки были более точными, чем мальчики, а учащиеся 7-го класса начальной школы были менее точными, чем учащиеся 1-го и 2-го классов средней школы, а учащиеся 8-го класса были менее точными, чем учащиеся 2-го класса. разряд средней школы.РИСУНОК 1. (А) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы и 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для участников мужского и женского пола.
Столбики погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.Соответствующее сравнение для RT выявило статистически значимый основной эффект возраста [ F (3,322) = 12,91, p < 0,001, ηp2 = 0,107] и эффект взаимодействия [ F (3,322) = 4,14, p < 0,01, ηp2 = 0,037]. Основной эффект пола не был статистически значимым для RT [ F (1,322) = 0,09, p > 0,05, ηp2 <0,0001]. Средние RT уменьшались с возрастом участников (рис. 1B). Мальчики быстрее справлялись с уравнениями в первом классе средней школы, тогда как девочки во втором классе.
Эффекты возраста и уровня абстракции
Чтобы проверить различия между точностью участников и RT при решении уравнений с цифрами и буквами в разном возрасте, мы использовали двухфакторный смешанный анализ ANOVA с фактором возраста между субъектами (7-й против 7-го). 8-й против 1-го против 2-го класса) и внутрипредметный фактор Уровень абстракции (цифры против букв). Что касается точности, статистически значимые основные эффекты возраста [ F (3,327) = 8,37, p < 0,001, ηp2 = 0,071] и уровень абстракции [ F (1,327) = 47,17, p < 0,001, ηp2 = 0,126], а также эффект взаимодействия [ F (3,327) = 4,89, p < 0,01, ηp2 = 0,043].
Участники были более точными в уравнениях с числами, но только в начальной школе и в 1-м классе средней школы (рис. 2А). Во 2-м классе общеобразовательной школы статистически значимой разницы в точности решения уравнений с цифрами и буквами не было.РИСУНОК 2. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы и 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для уравнений с цифрами и уравнениями с буквами. Столбики погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.
Для RT результаты выявили статистически значимое основное влияние обоих факторов, Возраст [ F (3,326) = 11,68, p < 0,001, ηp2 = 0,097] и уровень абстракции [ F (1,326) = 4,45, p < 0,05, ηp2 = 0,013], при этом взаимодействие было несущественным [ F (3,326) = 0,61, p > 0,05, ηp2 = 0,006]. РТ умерли с возрастом, учащиеся 2-го класса общеобразовательной школы были самыми быстрыми, а учащиеся 1-го класса общеобразовательной школы были быстрее, чем учащиеся 8-го класса.
Подобная картина присутствует в данных RT, как и в данных точности; различия между уравнениями с цифрами и буквами уменьшались с возрастом участников (рис. 2В).Эффекты возраста и типа уравнения
Мы использовали двухфакторный дисперсионный анализ ANOVA со смешанным дизайном с междисциплинарным фактором Возраст (7-й против 8-го против 1-го против 2-го класса) и внутрисубъектный фактор Тип уравнения (A против B против уравнения C), чтобы проверить различия между точностью участников и RT для разных типов уравнений в разном возрасте. Для точности существенны основные эффекты как возраста [ F (3,327) = 8,37, p < 0,001, ηp2 = 0,071], так и типа уравнения [F (2,654) = 66,59, p < 0,001, ηp2 = 0,169], а также их взаимодействие [ F (6,654) = 2,53, p < 0,05, ηp2 = 0,023]. Все участники были менее точны в уравнениях C по сравнению с уравнениями A и B, в то время как участники 1-го класса средней школы были менее точны в уравнениях B по сравнению с уравнениями A (рис.
3A).РИСУНОК 3. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) РТ для участников 7 и 8 классов начальной школы и 1 и 2 классов средней школы, разделенных по разным типам уравнений (уравнения А, В и С). Столбики погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.
Соответствующие результаты для RT снова выявили значительные основные эффекты как возраста [ F (3,326) = 11,68, p < 0,001, ηp2 = 0,097], так и типа уравнения [ F (2,652) = 491,59, p < 0,001, ηp2 = 0,113], а также их взаимодействие [ F (6,652) = 3,56, p < 0,01, ηp2 = 0,032]. Учащиеся начальной школы решали уравнения А быстрее, чем уравнения В и С, в то время как учащиеся средней школы медленнее всего решали уравнения С. (Рисунок 3Б).
Эффекты возраста и повторения
Двухфакторный дисперсионный анализ ANOVA со смешанным дизайном с межсубъектным фактором Возраст (7-й класс по сравнению с 8-м классом по сравнению с 1-м классом по сравнению со 2-м классом) и внутригрупповым фактором Блок (первый по сравнению со вторым блоком) использовались для тестирование различий между точностью участников и RT во времени в ходе эксперимента.
Результаты показали статистически значимое основное влияние обоих факторов, возраста [ F (3,327) = 8,37, p < 0,001, ηp2 = 0,071] и Блок [ F (1,327) = 5,11, p < 0,05, ηp2 = 0,049], при этом взаимодействие не было значимым [9]. F (3,327) = 1,20, p > 0,05, ηp2 = 0,011]. Рисунок 4А иллюстрирует тенденцию повышения точности от 7-го класса начальной школы до 1-го класса средней школы, в то время как попарные сравнения выявили статистически значимую разницу между уровнями точности участников 7-го класса по сравнению с участниками средней школы. и учащиеся 8-го класса по сравнению с учащимися 2-го класса средней школы.РИСУНОК 4. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для первого и второй блок. Столбики погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.
Для RT результаты показали соответствующие значимые основные эффекты обоих факторов, возраста [ F (3,326) = 11,88, p < 0,001, ηp2 = 0,099] и блока [ F (1,326) = 312,27, p < 0,001, ηp2 = 0,489], при этом взаимодействие было несущественным [ F (3,326) = 2,58, p > 0,05, ηp2 = 0,02].
Участники всех возрастов стали быстрее решать уравнения во втором блоке (рис. 4Б).Решение уравнений и когнитивные способности
Связь между эффективностью решения уравнений учащимися и их когнитивными способностями определялась путем расчета коэффициента частичной корреляции между обратной эффективностью участников и их баллами по прогрессивным матрицам Равена с учетом влияния возраста . Полученные результаты указывают на статистически значимую корреляцию между эффективностью решения уравнений и когнитивными способностями [9].1049 r (307) = –0,22 [95% ДИ: -0,32, -0,11], p < 0,001], что указывает на то, что участники с более высокими когнитивными способностями в целом были более эффективны в решении уравнений.
Стратегии, используемые для решения уравнений
Оценка ответов участников в анкетах подтвердила, что они использовали разные стратегии для решения уравнений с буквами. Мы классифицировали их ответы и разделили их на две группы – конкретные стратегии и стратегии, основанные на правилах.
Наиболее часто используемой конкретной стратегией (37% всех участников) была вставка цифр вместо букв. 11% участников использовали метод запоминания «треугольник», а 4% использовали стратегию «самый большой сверху», основанную на убеждении, что продукты и числители «большие». Для уравнения a / x = b , один участник написал объяснение: «Мы получили b , разделив a на x . Таким образом, b наименьшее, а a самое большое. Тогда мы получим x , разделив a на b ».Наиболее распространенной стратегией, основанной на правилах (38% всех участников), было стандартное применение операций умножения/деления к уравнению. 11% участников сообщили о правильном перемещении букв на другую сторону уравнения и часто указывали операцию стрелками. Наиболее часто используемая неправильная стратегия (6%) заключалась в том, чтобы «перемещать буквы, отличные от 9».1049 x с другой стороны уравнения и изменить знак», что означало изменение умножения на деление и наоборот.
Эта стратегия дала правильные ответы для уравнений А и В, но не для уравнений С. 6% участников использовали какое-то выученное правило. Например, один участник написал для a / x = b : «Если x — знаменатель, то решение — это дробь оставшихся множителей, учитывая, что числитель исходной дроби (тот, у которого x ) остается прежним». Для уравнения a / x = b (тип C) некоторые участники (8%) только поменяли местами x и b , не выполняя двух шагов умножения и деления.На рис. 5 показано, как доля участников, использовавших конкретные и основанные на правилах стратегии, менялась с возрастом. Большинство младших участников (из начальной школы) использовали конкретные стратегии, тогда как участники из средней школы в основном использовали более абстрактные стратегии, основанные на правилах. Некоторые участники использовали как конкретные стратегии, так и стратегии, основанные на правилах. Например, одна участница использовала стандартную процедуру умножения/деления для уравнений А и В, но вставляла «действительные числа» для решения уравнений С.
Участники, которые использовали как конкретные стратегии, так и стратегии, основанные на правилах, обычно использовали конкретную стратегию для решения уравнений C.РИСУНОК 5. Соотношение используемых типов стратегий (C, конкретная; R, основанная на правилах; C&R, конкретная и основанная на правилах) для учащихся 7-го и 8-го классов начальной школы и 1-го и 2-го классов средней школы школа.
Ранги сложности уравнения
На рисунке 6A показаны обратные показатели эффективности для различных типов уравнений (все с буквами) для участников разного возраста. Чтобы проверить различия между обратной эффективностью участников в решении различных типов уравнений, был проведен двухфакторный смешанный анализ ANOVA с межпредметным фактором Возраст (7-й против 8-го против 1-го против 2-го класса) и внутрипредметный фактор Тип уравнения ( Было использовано уравнение А против В против С). Полученные результаты свидетельствуют о статистически значимом основном влиянии обоих факторов, возраста [ F (3,325) = 11,84, p < 0,001, ηp2 = 0,099] и тип уравнения [ F (2,650) = 43,72, p < 0,05, ηp2 = 0,119], в то время как взаимодействие не было значимым [ F (6, 650) = 0,33, p > 0,05, ηp2 = 0,003].
Если мы примем обратную эффективность как меру сложности задачи (Townsend and Ashby, 1978), результаты показывают, что уравнения C были самыми трудными. Между уравнениями А и В не было статистически значимой разницы.РИСУНОК 6. (A) Обратная эффективность уравнений с буквами для учащихся 7 и 8 классов начальной школы и 1 и 2 классов средней школы, разделенных для разных типов уравнений (A, B, и уравнения С). Столбики погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы. (B) Доля типов уравнений, оцененных участниками в каждом классе как наименее сложные и наиболее сложные.
Участники ранжировали различные типы уравнений по сложности в анкетах. 28 участников сообщили, что все типы уравнений одинаково сложны. Трое участников считали, что уравнения с умножением (тип А) проще, чем уравнения с делением (В и С). Восемь участников не дали ответа на этот вопрос. На рисунке 6B показаны данные остальных участников по их возрастным группам. Большинство участников сообщили, что уравнения А были самыми простыми.
Однако значительное число учащихся средней школы (32%) считали уравнения Б самыми простыми. Большинство участников согласились с тем, что уравнения C были самыми сложными.Обсуждение
Точность и скорость решения уравнений
Результаты, полученные в настоящем исследовании, свидетельствуют о том, что испытуемые в целом довольно успешно перестраивали уравнения, при этом уровень точности составил в среднем 85%. Хотя это может показаться довольно высоким, если принять во внимание истинно-ложный характер тестовых заданий, это становится менее удовлетворительным результатом, особенно для уравнений, состоящих из всех символов, которые были правильно решены 82% участников. Однако наши данные показывают, что учащиеся становятся более эффективными, т. е. более точными и быстрыми, в старших классах школы.
Что касается гендерных различий, то девочки нашей выборки в среднем были точнее в перестановке уравнений, чем мальчики, при этом достоверных различий в их скорости не выявлено.
Этот вывод противоречит распространенному мнению о том, что мальчики лучше разбираются в математике, чем девочки, которое основано на сообщениях о том, что мальчики превосходят девочек по стандартным тестам, таким как SAT (например, Byrnes and Takahira, 1993). Однако в большинстве исследований не сообщается об отсутствии различий между мальчиками и девочками в оценках по алгебре (например, Bridgeman and Wendler, 19).91). На самом деле девочки иногда справляются даже лучше, чем мальчики (например, Else-Quest et al., 2010), в то время как мужское превосходство среди подростков обычно связано с пространственным мышлением мальчиков и более разнообразными стратегиями решения задач (Geary, 1996). В настоящем исследовании мы наблюдали немного более высокую точность для девочек, чем для мальчиков, но в целом сопоставимую скорость решения уравнений, что перекликается с предыдущими выводами, предполагающими небольшие, если таковые имеются, гендерные различия в решении простых алгебраических уравнений.
Важно подчеркнуть, что успехи учащихся в решении простых алгебраических уравнений различались для разных типов уравнений. В частности, в рамках настоящего исследования мы сравнили эквивалентные форматы уравнений, которые содержали либо символы, либо числа. Как и ожидалось, полученные результаты показывают, что младшие участники были более точными и быстрыми в решении уравнений с числами, чем с буквами, хотя они были эквивалентны. Это указывает на то, что младшие школьники все еще борются с более абстрактными уравнениями. Напротив, учащиеся 2-го класса (возраст 16–17 лет) имели сопоставимый уровень точности и RT для уравнений с цифрами и буквами. Это указывает на то, что они достигли адекватного уровня формальных рассуждений (Инхельдер и Пиаже, 19).58), по крайней мере, для этой конкретной задачи.
Затем мы сравнили эффективность участников в решении трех разных типов уравнений. Самая низкая точность и самые длинные RT, полученные для уравнений C ( a / x = b ), позволяют предположить, что это был самый сложный тип уравнения.
Младшие школьники боролись с этим типом уравнения; точность участников 7-го класса (возраст 13–14 лет) составила всего 72%. Точность уравнений C увеличивалась с возрастом участников, у второклассников (возраст 16–17 лет) достигала 85%. Эти результаты отражают тот факт, что для решения уравнений C необходимы две операции, и только одна операция для двух других типов уравнений, что указывает на то, что процедурная сложность также оказывает значительное влияние на эффективность решения уравнений. Наши данные говорят о том, что даже самые старшие наши участники, которым на момент тестирования было 16–17 лет, испытывали трудности с чуть более сложными, но все же очень простыми уравнениями. Это согласуется с предыдущими сообщениями о трудностях учащихся с «всесимвольными» уравнениями (Ekenstam and Nilsson, 19).79; Кюхеманн, 1981).В дополнение к изучению влияния возраста, пола и типов уравнений, в рамках настоящего исследования мы также изучали влияние практики на все типы уравнений.
Наши участники стали быстрее и точнее переставлять уравнения во время измерения. Этот вывод согласуется с предыдущим отчетом о том, как дети становятся быстрее в течение 5-дневной практики решения алгебраических уравнений (Qin et al., 2004). Кажется, что некоторые из наших участников научились решать уравнения, поскольку они неоднократно подвергались им в течение короткого периода времени, даже без обратной связи. Даже участники 2-го класса общеобразовательной школы (возраст 16–17 лет), имевшие стабильно высокие показатели точности от начала до конца измерения, стали быстрее переставлять уравнения. Это может быть интересным открытием для учителей математики. Однако необходимы дополнительные исследования, чтобы изучить долгосрочный эффект такой короткой и интенсивной практики решения уравнений.Кроме того, наши результаты показали, что участники с более высокими когнитивными способностями более эффективно решали уравнения. Это согласуется с предыдущим лонгитюдным тестированием, которое показало, что учащиеся с более высокими показателями IQ, как правило, демонстрировали более высокие когнитивные уровни и быстрее продвигались по уровням алгебры, чем учащиеся с более низкими показателями IQ (Küchemann, 1981).
Было высказано предположение, что в знакомых алгебраических задачах участники полагаются на автоматические процедуры и полученные факты, которые более систематически усваиваются людьми с более высокими когнитивными способностями (Bornemann et al., 2010). Следовательно, они превосходят людей с более низкими общими когнитивными способностями, выделяя при этом такое же или даже меньшее количество когнитивных ресурсов для выполнения задачи. Соответственно, мы можем сделать вывод, что наши участники с более высокими способностями извлекали выгоду из более эффективных процессов по сравнению с людьми с более низкими когнитивными способностями. Однако общие когнитивные способности — не единственный фактор, влияющий на понимание человеком алгебраических уравнений. Важны и другие факторы, такие как интуитивные предположения и прагматические рассуждения о новых обозначениях, аналогии со знакомыми системами символов, вмешательство новых знаний в математике и влияние вводящих в заблуждение учебных материалов (MacGregor and Stacey, 19).
97).Конкретные и основанные на правилах стратегии решения уравнений
Половина участников использовали конкретные стратегии для перестановки уравнений, и наиболее часто используемой конкретной стратегией была вставка чисел в уравнения. При использовании этой стратегии учащиеся думают об эквивалентном уравнении с числами, решают его, а затем применяют алгоритм решения к уравнению с символами. Например, для уравнения A ( x ⋅ a = b ) они вставляют числа, так что уравнение становится 2⋅3 = 6, а затем заключают, что «если 2 = 6/3, то x = b / a ». Кажется, что эти участники еще не достигли стадии формальной эксплуатации и более удобны с конкретными числами в уравнениях. Это согласуется с предыдущими исследованиями алгебраической обработки у подростков (Ekenstam and Nilsson, 1979; Küchemann, 1981; Susac et al., пересматривается).
Значительное число участников (11%) использовали метод «треугольника», который часто преподается учителями физики, чтобы «упростить» перестановку уравнений для своих учеников.
В рамках этой стратегии треугольник делится на три части. Две величины, которые перемножаются вместе, записываются рядом в нижней части треугольника. Оставшееся количество (их произведение) написано вверху. Для x ⋅ a = b (уравнение), x и a записаны внизу, а b вверху. Если мы хотим сделать x предметом уравнения, x должны быть покрыты, а то, что осталось, а именно « b над a », представляет собой результат. Хотя эта стратегия помогает учащимся переставлять уравнения, она не развивает формальные рассуждения.Стратегия «самый большой сверху» также берет свое начало в конкретном образе мышления. Как сообщили несколько участников, они всегда считали произведение в уравнениях умножения и числитель в уравнениях деления самым большим объектом, который помогал им в перестановке. Например, в уравнениях А ( x ⋅ a = b ) они считают b самым большим объектом, который помог им сформировать решение (самый большой идет вверху, поэтому x = b / a ).
Хотя они не вставляли числа в уравнения явно, опыт участников с натуральными числами, вероятно, может объяснить ход их рассуждений (самое большое число всегда является произведением двух натуральных чисел, а числитель больше знаменателя и результат разделение). В нашем предыдущем исследовании мы обнаружили, что британские студенты также используют эту стратегию (Susac et al., в процессе пересмотра).Более половины участников (56%) рассуждали более абстрактно при решении хотя бы одного типа уравнений, т. е. применяли правила. В ходе тестирования немногие участники совершили переход от конкретной замены букв цифрами к распознаванию закономерностей и правил. Наиболее часто используемой стратегией, основанной на правилах, было умножение и деление уравнения с «буквой рядом с x ». Эта процедура была выполнена правильно большинством участников, решивших ее использовать. Однако наиболее распространенная неверная стратегия заключалась в процедуре перемещения «буквы рядом с 9».1049 x ” на другой стороне уравнения и изменение операции, умножение на деление и наоборот.
Это, вероятно, отражает неправильное применение изученной процедуры для уравнений со сложением/вычитанием, указывая на то, что применение математических правил и процедур может сбить учащихся с толку.Как и в нашем предыдущем исследовании (Susac et al., пересматривается), некоторые участники сообщали о переносе букв на другую сторону уравнения. Это подтверждает результаты, показывающие, что пространственное мышление тесно связано с числовым чувством (как в случае ментальной числовой линии; например, Dehaene, 19).97) и математических операций вообще. Ряд нейровизуализационных и нейропсихологических исследований продемонстрировал, что взаимосвязь между обработкой чисел и пространства глубоко укоренена в организации теменных цепей для этих способностей (Hubbard et al., 2005). Эксперты-математики в нашем предыдущем исследовании часто использовали пространственные термины при объяснении своих стратегий решения уравнений (Susac et al., на пересмотре). Кажется, что развитие пространственного мышления у учащихся может быть полезным даже в «непространственных» областях математики, таких как алгебра.
Кроме того, визуализация также может быть полезна для развития навыков решения математических задач (Scheiter et al., 2010)Некоторые участники сообщили о стратегиях, основанных на некоторых типах правил, которые они разработали сами. Повторяя перестановку уравнений, они распознавали некоторые закономерности, из которых выводили некоторые общие правила. Хотя правила участников не всегда были правильными, они, возможно, представляют собой шаг в разработке более последовательных и правильных стратегий решения. Ряд участников признали, что им не нужно выполнять два шага умножения и деления для .a / x = b уравнение (тип C), и просто поменял местами x и b . При этом они разработали новую, более эффективную стратегию во время эксперимента посредством распознавания образов, что имеет большое значение при выполнении алгебраических задач (Ортон и Ортон, 1999).
В целом полученные результаты свидетельствуют о том, что доля использования конкретных стратегий снижается одновременно с увеличением доли стратегий, основанных на правилах, с возрастом участников.
Эта прогрессия постепенная и, вероятно, продолжается после 2-го класса средней школы (возраст 16–17 лет). Наши данные подтверждают, что развитие алгебраического мышления представляет собой процесс, разворачивающийся в течение длительного времени. Следовательно, мы можем заключить, что дети в возрасте 14–15 лет находятся в процессе перехода от конкретных к абстрактным стратегиям в алгебре, что согласуется с предыдущими исследованиями (Küchemann, 19).81).Ранги сложности уравнений
Чтобы определить сложность различных типов уравнений с буквами, мы оценили обратную эффективность для возрастных групп наших участников. Во всех возрастных группах участники наименее эффективно решали уравнения С, что говорит о том, что это самые сложные типы уравнений. Это открытие было ожидаемым, потому что уравнения C обычно решаются в два этапа, тогда как для уравнений A и B требуется только один шаг. Не все участники выполнили две операции при решении a / x = b (например, некоторые из них поменяли местами x и b ).
Однако для уравнений C и уравнение, и решение включают в себя деление, которое обычно сложнее, чем умножение (Hecht et al., 2003).Обратные показатели эффективности показали, что уравнения А имеют ту же сложность, что и уравнения В. Уравнения B, x / a = b , вероятно, самые простые, потому что их решение основано на умножении, а порядок переменных в произведении не важен. В уравнениях А x ⋅ a = b , решение включает в себя деление, поэтому необходим дополнительный шаг для определения правильного порядка числителя и знаменателя (поскольку a / b не то же самое, что b / и ). Однако кажется, что наши участники не полностью осознавали эту закономерность, что можно наблюдать в их результатах обратной зависимости эффективности.
Интересно отметить, что подавляющее большинство участников сообщили, что уравнения B сложнее, чем уравнения A, хотя это не подтверждается полученными результатами. Вероятно, на их самоотчеты снова повлиял тот факт, что деление воспринимается как более сложная задача, чем умножение.
Однако при оценке сложности уравнения участники не учли тот факт, что правильное решение этих уравнений также включает эти операции. Тем не менее, увеличение числа участников, которые оценили уравнения B как самые легкие среди старших школьников, предполагает, что некоторые старшие участники (из средней школы) узнали о шаблонах в задаче. Кроме того, кажется, что метакогнитивные навыки улучшаются с возрастом, поскольку учащиеся средней школы в среднем оценивают сложность уравнения более точно, чем младшие участники. Этот вывод согласуется с предыдущими сообщениями о важности метакогнитивной деятельности для успеха в решении математических задач (Kramarski and Mevarech, 2003; Cohors-Fresenborg et al., 2010).Заключение
Цель настоящего исследования состояла в том, чтобы исследовать развитие навыков абстрактного мышления учащихся при решении простой задачи перестановки уравнений. Хотя все наши участники изучили перестановку уравнений по математике по крайней мере за год до нашего тестирования и должны были решать простые уравнения по математике и естественным наукам, у них все еще были трудности с некоторыми типами уравнений.
Однако точность и скорость перестановки уравнений увеличивались с возрастом участников. Участники младшего возраста решали уравнения с числами точнее и быстрее, чем с буквами, что говорит о том, что они все еще мыслят конкретным образом. Разница в эффективности решения уравнений с цифрами и буквами исчезла у участников 2-го класса общеобразовательной школы (возраст 16–17 лет), что свидетельствует об их способности мыслить более абстрактно, по крайней мере, в нашей задаче. Переход от конкретных рассуждений к формальным отразился и на стратегиях, которые участники использовали для решения уравнения с буквами. Младшие участники начальной школы (возраст 13–15 лет) в основном использовали конкретные стратегии, такие как вставка чисел, в то время как участники средней школы (возраст 15–17 лет) в основном использовали стратегии, основанные на правилах.Наши результаты показывают, что переход от конкретных рассуждений к абстрактным представляет собой довольно длительный процесс, даже для простой алгебраической задачи, используемой в этом исследовании.
Учителя и разработчики политики в области образования должны знать, что недостаточно один раз узнать о перестановке уравнений в математике. Не следует предполагать, что учащиеся быстро овладевают этим навыком и могут легко применять его в другом контексте, например, при решении задач по физике. Наоборот, преподаватели должны использовать любую возможность, чтобы поощрять учащихся к формальным рассуждениям — как к распознаванию образов, так и к эффективному применению математических правил и известных процедур.Заявление о конфликте интересов
Авторы заявляют, что исследование проводилось в отсутствие каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.
Благодарность
Это исследование было поддержано грантом Фонда развития Загребского университета (198002) для Аны Сусак.
Ссылки
Blakemore, SJ (2012). Визуализация развития мозга: мозг подростка. Нейроизображение 61, 397–406.
doi: 10.1016/j.neuroimage.2011.11.080Pubmed Abstract | Опубликован полный текст | CrossRef Полный текст
Борнеманн, Б., Фот, М., Хорн, Дж., Рис, Дж., Вармут, Э., Вартенбургер, И., и другие. (2010). Математическое познание: индивидуальные различия в распределении ресурсов. ЗДМ 42, 555–567. doi: 10.1007/s11858-010-0253-x
Полный текст CrossRef
Brickenkamp, R. (1962). Тест d 2: Aufmerksamkeits-Belastungs-Test . Геттинген: Хогрефе.
Бриккенкамп, Р. (1999). Priručnik za Test d2, Test Opterećenja Pažnje . Jastrebarsko: Наклада Шлепок.
Бриджмен Б. и Вендлер К. (1991). Гендерные различия в предикторах оценок по курсу математики в колледже. Дж. Образование. Психол. 83, 275–284. doi: 10.1037/0022-0663.83.2.275
CrossRef Полный текст
Бирнс, Дж. П., и Такахира, С. (1993). Объяснение гендерных различий по предметам SAT-math. Дев. Психол. 29, 805–810. дои: 10.1037/0012-1649.29.5.805
CrossRef Full Text
Carraher, D.
W., Schlieamann, A.D., Brizuela, B.M., and Earnest, D. (2006). Арифметика и алгебра в раннем математическом образовании, J. Res. Мат. Образовательный 37, 87–115.Чазан Д. и Ерушалми М. (2003). «Об оценке когнитивной сложности школьной алгебры: исследование изучения алгебры и направлений изменения учебных программ», в A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics, eds J. Kilpatrick, WG Martin и D. Schifter (Reston, Вирджиния: NCTM), 123–135.
Cohors-Fresenborg, E., Kramer, S., Pundsack, F., Sjuts, J., and Sommer, N. (2010). Роль метакогнитивного мониторинга в объяснении различий в успеваемости по математике. ЗДМ 42, 231–244. doi: 10.1007/s11858-010-0237-x
CrossRef Full Text
Dehaene, S. (1997). Чувство числа. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
Экенстам, А. А., и Нильссон, М. (1979). Новый подход к оценке математической компетентности детей. Образовательный. Стад. Мат.
10, 41–66. doi: 10.1007/BF00311174Полный текст CrossRef
Else-Quest, N.M., Hyde, J.S., and Linn, M.C. (2010). Межнациональные модели гендерных различий в математике: метаанализ. Психология. Бык. 136, 103–127. doi: 10.1037/a0018053
Pubmed Abstract | Опубликован полный текст | Полный текст CrossRef
Geary, DC (1996). Половой отбор и половые различия в математических способностях. Поведение. наук о мозге. 19, 229–247. doi: 10.1017/S0140525X00042400
Полный текст CrossRef
Гидд, Дж. Н., и Рапопорт, Дж. Л. (2010). Структурная МРТ развития головного мозга у детей: чему мы научились и куда идем? Нейрон 67, 728–734. doi: 10.1016/j.neuron.2010.08.040
Pubmed Abstract | Опубликован полный текст | Полный текст CrossRef
Hecht, S.A., Close, L., and Santisi, M. (2003). Источники индивидуальных различий в навыках фракций. Дж. Экспл. Детская психология. 86, 277–302. doi: 10.1016/j.bbr.2011.03.031
Опубликовано Аннотация | Опубликован полный текст | Полный текст CrossRef
Ходжен, Дж.
, Кюхеманн, Д., Браун, М., и Коу, Р. (2010). Отношение учащихся младших классов средней школы к математике: данные крупномасштабного исследования в Англии. Рез. Мат. Образовательный 12, 155–156. doi: 10.1080/14794802.2010.496983CrossRef Полный текст
Хаббард, Э. М., Пьяцца, М., Пинель, П., и Дехане, С. (2005). Взаимодействия между числом и пространством в теменной коре. Нац. Преподобный Нейроски. 6, 435–448. doi: 10.1038/nrn1684
Pubmed Abstract | Опубликован полный текст | CrossRef Полный текст
Инхельдер, Б., и Пиаже, Дж. (1958). Рост логического мышления от детства к юности. Нью-Йорк: Базовый. doi: 10.1037/10034-000
Полный текст CrossRef
Киран, К. (2004). Алгебраическое мышление в младших классах: что это такое? Матем. Образовательный 8, 139–151.
Крамарски Б. и Мевареч З. Р. (2003). Улучшение математического мышления в классе: эффекты совместного обучения и метакогнитивного обучения. утра.
Образовательный Рез. Дж. 40, 281–310. doi: 10.3102/00028312040001281CrossRef Full Text
Küchemann, D. (1981). «Алгебра», в Понимание математики детьми: 11–16 , изд. К. М. Харт (Лондон: Джон Мюррей), 102–119.
Квон, Ю.-Дж., и Лоусон, А.Е. (2000). Связь роста мозга с развитием способностей к научному мышлению и концептуальным изменением в подростковом возрасте. Дж. Рез. науч. Учить. 37, 44–62. doi: 10.1002/(SICI)1098-2736(200001)37:1<44::AID-TEA4>3.0.CO;2-J
Полный текст CrossRef
Lawson, AE (1985). Обзор исследований по формальным рассуждениям и преподаванию естественных наук. Дж. Рез. науч. Учить. 22, 569–618. doi: 10.1002/tea.3660220702
CrossRef Full Text
Lawson, A.E., and Renner, J.W. (1975). Взаимосвязь предмета конкретной и формальной операционной науки и уровня развития учащегося, J. Res. науч. Учить. 12, 347–358. doi: 10.1002/tea.3660120405
CrossRef Полный текст
МакГрегор М.
и Стейси К. (1997). Понимание учащимися алгебраических обозначений: 11–15. Учеб. Стад. Мат. 33, 1–19. doi: 10.1023/A:10029703CrossRef Полный текст
Национальный совет учителей математики [NCTM]. (2000). Принципы и стандарты школьной математики. Рестон: NCTM.
Национальный совет учителей математики [NCTM]. (2008). Алгебра: что, когда и для кого, позиция Национального совета учителей математики . Доступно по адресу: http://www.nctm.org/uploadedFiles/About_NCTM/Position_Statements/Algebra%20final%2092908.pdf
Организация экономического сотрудничества и развития [ОЭСР]. (2013). Результаты PISA 2012: что учащиеся знают и умеют делать – успеваемость учащихся по математике, чтению и естественным наукам, Vol. I. Пиза: Издательство ОЭСР. doi: 10.1787/9789264201118-en
Полный текст CrossRef
Ортон А. и Ортон Дж. (1999). «Модель и подход к алгебре», в Модель преподавания и изучения математики , изд.
А. Ортон (Лондон: Кассел), 104–120.Пиаже, Дж. (1972). Интеллектуальная эволюция от подросткового возраста к взрослой жизни. Гул. Дев. 15, 1–12. doi: 10.1159/000271225
CrossRef Full Text
Piaget, J. (1976). Теория Пиаже . Гейдельберг: Springer Berlin.
Qin, Y., Carter, C.S., Silk, E., Stenger, V.A., Fissell, K., Goode, A., et al. (2004). Изменение паттернов активации мозга по мере того, как дети учатся решать алгебраические уравнения. Проц. Натл. акад. науч. США 101, 5686–5691. doi: 10.1073/pnas.0401227101
Pubmed Abstract | Опубликован полный текст | Полный текст CrossRef
Raven, JC (1941). Стандартизация прогрессивных матриц, 1938. Br. Дж. Мед. Психол. 19, 137–150. doi: 10.1111/j.2044-8341.1941.tb00316.x
CrossRef Full Text
Raven, JC (1999). Priručnik – 3. dio: Standardne Progresivne Matrice . Jastrebarsko: Наклада Шлепок.
Шайтер, К., Герджетс, П., и Шух, Дж. (2010).
Приобретение навыков решения задач по математике: как анимация может помочь понять структурные особенности задач и процедуры решения. Инстр. науч. 38, 487–502. doi: 10.1007/s11251-009-9114-9CrossRef Full Text
Susac, A., Bubic, A., Kaponja, J., Planinic, M., and Palmovic, M. (2014). Движения глаз раскрывают стратегии учащихся при решении простых уравнений. Междунар. J. Sci. Мат. Образовательный 12, 555–577. doi: 10.1007/s10763-014-9514-4
CrossRef Full Text
Thomas, D. (2003) Общий индуктивный подход к качественному анализу . Доступно по адресу: http://www.health.auckland.ac.nz/hrmas/resources/Inductive2003.pdf [по состоянию на 10 июля 2008 г.].
Таунсенд, Дж. Т., и Эшби, Ф. Г. (1978). «Методы моделирования производительности в простых системах обработки», в Cognitive Theory , Vol. 3, ред. Н. Дж. Младший Кастеллан и Ф. Рестл (Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум), 199–239.
Усыскин З. (1988). «Концепции школьной алгебры и использование переменных», в «Идеи алгебры», K-12, Ежегодник Национального совета учителей математики , 1988 г.
, ред. А. Ф. Коксфорд и А. П. Шульте (Рестон, Вирджиния: NCTM), 8– 19.Уоррен, Э. А., Купер, Т. Дж., и Лэмб, Дж. Т. (2006). Исследование функционального мышления в начальных классах: основы раннего алгебраического мышления. Дж. Матем. Поведение 25, 208–223. doi: 10.1016/j.jmathb.2006.09.006
CrossRef Full Text
HISTORY
Нет недостатка в анализе или критике по преподаванию математики, особенно с 1950-х гг. Этот статья, однако, не предназначена для обзора идей или исследований, а попытаются опираться на учебники, исследования и обзоры в своих исторических контекст, картина жизни в классе математики на протяжении всего история Соединенных Штатов. Правда, точность таких выводы сильно ограничены вопиющим отсутствием данных изнутри класс. Тем не менее историческая перспектива как на самом деле преподавали математику, по сравнению с историей теоретических дебатов, важно обнаружить, если это возможно.
Формальное образование в колониальной Америке ограничивается обучением грамоте и обучением элиты колледжа в классика.
Одна из распространенных форм обучения в северо-восточных и средних колониях.
была городская школа, английское заведение для подготовки клерков.
Таким образом, учебная программа первоначально включала арифметику до влияния пуритан.
заменил этот «неакадемический», «искусственный» предмет религией и более
упор на чтение. В городах с деловыми интересами определенные механические
математические навыки все еще были необходимы, и их преподавали в нескольких школах (Уиллоуби, 19 лет).67,
п.2). Позднее, в восемнадцатом веке, крестовый поход Бена Франклина за
утилитарное образование и появление академий привели к арифметике и механике.
искусства представлены в качестве предметов из-за их внутренней ценности в реальном мире.
Эта форма включения была довольно отчетливой из математики, перекочевавшей в латинские гимназии. Подготовительные школы колледжей придерживались подхода факультетской психологии к образование, считая, что ум тренирован на самых трудных предметах был бы готов к любой задаче.
До 1726 года это означало изучение
древние языки. В 1726 году Гарвард нанял своего первого профессора
математике и вскоре после этого стали требовать знания арифметики, поскольку
необходимое условие для поступления в колледж (Уиллоуби, стр. 4). В ответ,
арифметика стала преподаваться в большинстве средних школ. Это очень
интересно отметить, что порядок, в котором различные темы в математике
преподаются в сегодняшних средних школах в том же порядке, что и в Гарварде.
стали требовать для поступления такие дисциплины: арифметика, алгебра (1820 г.),
геометрия (1844 г.) и более поздние углубленные темы (стр. 4).
Рост всеобщего бесплатного обязательного образования вместе с новыми требованиями к поступлению в колледж и постоянной потребностью для базовых коммерческих вычислительных навыков означало значительное увеличение в числе учащихся, которых обучали арифметике и тому подобному увеличение числа привилегированных мальчиков, изучающих алгебру и геометрию.
К сожалению, не было предыдущего поколения граждан, обученных
математика должна быть доступна для обучения этих студентов. Общее
школьное движение в целом испытывало нехватку учителей, и в то время
новые нормальные школы помогли обучить эту новую рабочую лошадку и ввели
педагогический аспект профессии, они мало сделали для развития вида
математического понимания, которое требуется для эффективного обучения. Следовательно,
большинство учителей полагались на метод «правил» (Bidwell & Ciason, 19).70,
п.1-10), в которых было представлено то или иное правило для конкретной задачи,
запоминал, а потом тренировал. Арифметика в это время считалась
чрезвычайно сложный предмет; и мальчики, если они даже попытались научиться
это началось только в возрасте двенадцати или тринадцати лет. Девушки никогда не были
преподавал формальные правила и, как большинство граждан, любые практические знания
числа, которые они достигли, пришли только из жизненного опыта.
В 1821 году вышло первое издание книги Уоррена Колберна. Первые уроки арифметики стали доступны в США. Основанная на идеях школы Песталоцци, она была одной из самые популярные и влиятельные тексты по арифметике, когда-либо опубликованные (Bidwell & Циасон, стр. 13). Эта программа обучения была первой «новой математикой». разработан, чтобы провести даже очень маленьких детей (пять или шесть лет) через открытие понятий чисел и операций. Процесс противоположен старому методу правил, в котором абстрактные символы и шаблоны предъявлялись первыми и практиковались до тех пор, пока один из них не стал достаточно опытным попробовать решить практическую задачу. Чему большинство студентов научились в таких инструкция заключалась в том, как следовать примерам. Очень редко они понимали Операция.
Система Колберна начинается с практических задач, подсчет зерен, составление комбинаций с кнопками и т. д.
и практикует эти
до тех пор, пока ребенок не поймет смысл операции. Только
затем вводятся абстрактные числа и знаки, чтобы помочь ребенку развить
общий принцип. Основной упор делается на понимание.
Личные представления Колберна о целях изучения математики были
во-первых, для его практического использования, а во-вторых, для ценности умственной дисциплины
(Бидвелл и Сиасон, стр. 24).
Есть доказательства, хотя бы в количестве продаж, что книга Колберна широко использовалась (Willoughby, p.3). Где-то Однако между идеалами обучения и реальным классом что-то всегда кажется, что он теряется. Оставшаяся история математического образования отчасти является продолжающейся борьбой за реализацию идеалов Песталоцци обучения через понимание в первую очередь. Одно объяснение педагогической Различия в математическом образовании заключаются в отношении учителей к своему предмету. Способ преподавания математики часто зависит от представления учителя или общества о том, что такое математика.
Когда видна математика
исключительно как инструмент или набор навыков, этому чаще всего обучают с помощью упражнений.
Когда математика рассматривается как совокупность знаний, важных для понимания
окружение, учитель может также представить структуру, которая помогает
учащимся понять связь между различными навыками. Но только
когда учитель считает, что настоящая ценность математики заключается в продолжающемся
будет ли он естественным образом направлять учеников в процессе открытия новых отношений?
учиться с помощью аналитической индукции (Grouws, 1992, с.131)
Математика в школе на протяжении девятнадцатого считалось, что это инструмент для тренировки мыслительных способностей. Таким образом, его преподавание характеризовалось такими крайностями муштры и дисциплины. что до половины каждого учебного дня можно было бы отводить на арифметику, не происходит много обучения. На самом деле арифметика была первопричиной за отказ от продвижения по службе в конце 1800-х годов (Grouws, стр.
13). В то же время,
контингент средних школ быстро увеличивался (Уиллоуби, стр. 20),
что означало растущее число студентов, не имеющих планов получения высшего образования
которые не чувствовали особой необходимости развивать такие умственные дисциплины. По вполне понятным причинам,
росло общественное недовольство формальными методами и
восстание против идеи математики как предмета, достойного изучения из-за его
интеллектуальная ценность (Grouws, p.10). С 1840-х по 19 в.50-е, американка
общество преимущественно рассматривало роль математики исключительно как социальную
полезность. Только после «Спутника I» общественность признала
внутренние ценности математики для общего блага (Барлаж, стр. 28).
В 1845 г. научный метод применялся в классе посредством рационализации из школьной программы по математике. Два обзора (Ститт, 1845 г. и Уилсон, 1919) педагогами выделяются оценкой того, какие виды математики считались деловым сообществом и рядовым гражданином, чтобы играть важную роль в повседневной жизнь.
Они обнаружили, что только меньшие числа и самые основные
операции использовались регулярно, и поэтому было высказано предположение, что чем больше
сложные, запутанные и утомительные практики исключаются из учебной программы
(Гроус, стр. 17)
Еще одна научная база для ограниченных преподавание только непосредственно полезной математики было в многообещающей области психологических исследований. Ребенок Дж. Стэнли Холла учится в 1880-е годы были ценны тем, что способствовали использованию манипулятивных методов и опыта. в обучении и для мотивации исследований в области когнитивного развития. Его предложения отложить большую часть математического образования на более поздние годы, однако был включен в антиинтеллектуальное движение после Первой мировой войны, которое дошел до того, что поставил под угрозу роль математики как стандартной школы предмет (Grouws, стр. 13). Именно эта девальвация математики привел к основанию Национального совета учителей математики (NCTM) в 1920 (Уиллоуби, стр.
11).
Еще один удар в этой борьбе нанес Э.Л. Торндайк в 1920-х годах. Его исследования, хотя и не очень тщательные или убедительный аргумент против теорий «передачи обучения». Перенос относится к идее о том, что навыки рассуждения, приобретенные при изучении математики, могут быть обобщены учащимися и, таким образом, быть полезными во всех аспектах жизни. В определенной степени это развенчание теории переноса было положительным, поскольку это положило конец господству факультетской психологии и почитанию муштры среди педагогические теоретики (Уиллоуби, стр. 16). К сожалению, любой школьник сегодня скажу вам, что это не закончилось упражнение в классе. И как ни странно, та форма математики, которую предложил Торндайк, не была все такое разное. Он присоединился к тем, кто хотел много трудолюбивого, абстрактная и нереалистичная математика была исключена из школьной программы, но вместо этого защищая понимание и структуру, он защищал новое правило и упрощенный, ориентированный на конкретную проблему подход.
Эта форма арифметики
без рассуждений усилил антиинтеллектуальное движение, чтобы учить
только та математика, которая была немедленно полезна, если вообще была полезна (стр. 17).
На рубеже веков новое явление появилось, что даже сегодня продолжает характеризовать образовательную реформу – комиссия экспертов. Группы временами были частными или финансируемые государством, профессионально однородные или разнообразные, о которых сообщают по-разному, исследовали или рекомендовали изменения в организации, учебной программе и педагогике. Обилие комиссий, советов и исследований составило бы библиографию. длиннее этой композиции, но несколько наиболее влиятельных отчетов из этих групп будут представлены здесь в их историческом контексте. Можно спорить, в какой степени любая из этих комиссий повлияла на жизнь внутри страны. на уроке математики, но некоторые идеи современной практики могут основываться на их критике и оценках.
В 1892 году Комитет десяти по среднему Школьные предметы спонсировались подкомиссией по математике. Финал отчет встал на сторону социальных утилитаристов за то, что они оставили наиболее сбивающие с толку и исчерпывающие темы вне арифметики, а также за включение таких курсов, как как бухгалтерия для старшеклассников, не стремящихся в колледж или тригонометрия для мальчиков по естественным и техническим наукам. Что касается осмысленной математики, комитет рекомендовал общее тенденция к декомпартментализации предметов в математике и предложил, чтобы в средних школах преподавались параллельные курсы алгебры и геометрии. предназначен для интеграции предметов. Пока параллельные курсы были попытки, они, как правило, терпели неудачу либо потому, что учителя были больше интересовался одним предметом, чем другим, или потому, что они не могли установить связь между ними (Уиллоуби, стр. 6).
В 1900 году вступительный экзамен в колледж Совет (CEEB) был основан с целью стандартизации поступления в колледжи.
требования. Официальная политика этого правления заключалась в том, чтобы никогда не диктовать
программы государственных средних школ, но влияние такой организации
неизбежно. Их значительное влияние на образование в 1950-х гг.
будет обсуждаться позже.
В 1908 г. Международная комиссия по Преподавание математики опубликовало среди своих отчетов обзор американских образование, которое дает нам представление о статусе средней математики в это время. Напомним, во-первых, что алгебра даже не требовалась колледжей до 1820 г., а геометрию не преподавали до 1844 г.08 Исследование показало, что почти во всех средних школах США есть как минимум один год алгебры и геометрии, что в 50% школ на один семестр больше алгебры, и что менее 20% школ предлагали какую-либо высшую математику (Уиллоуби, стр.7).
Кульминация прогрессивной эры математическое образование было представлено в докладе филиала Математического Ассоциация Америки.
Отчет Национального комитета за 1923 г.
по математическим требованиям отвечал за составление плана
учебная программа для недавно переработанной школьной организации 6-3-3, включающая
результаты педагогических исследований психологии и различных экспериментальных
школьные программы. Отчет включал практические, культурные и дисциплинарные
обоснования предмета и наметил различные планы для младших
и программы старших классов средней школы, которые можно было бы легко адаптировать к конкретным
обстоятельства. Были рекомендованы некоторые темы по алгебре и геометрии
быть введены в младших классах средней школы, и было предложено, чтобы все учащиеся
завершить программу до восьмого класса, причем только те, кто освоил
продолжение. Курсы по статистике, цеховой математике, геодезии, навигации,
или начертательная геометрия были предложены для тех, кто предпочел не следовать
подготовка к колледжу (Bidwell & Ciason, p.382-460).
Большая часть обсуждавшейся до сих пор истории место среди ограниченного круга специалистов и заинтересованных лиц; но если когда-либо вопросы математического образования действительно приобрела национальную известность и привлекла внимание среднего Гражданин, это было во время движения «Новая математика» конца 1950-х и 1960-х годов.
Однако распространенное заблуждение тогда заключалось в том, что реформа математики
обучение было новой идеей. Очевидно, такие дискуссии уже
происходили еще в 1800-х гг. Другие факторы континуума
идеи, которые еще не обсуждались, важно рассмотреть здесь
прежде чем рассматривать феномен «новой математики».
В девятнадцатом веке такие люди, как Дьюи, Пиаже и другие когнитивные психологи часто использовали арифметические задачи. за их исследование обучения (Grouws, p.8). Одна характеристика их исследований была школа-лаборатория. В двадцатом веке экспериментальные школьные программы продолжали изобиловать, все чаще в пределах контексте университета. Эти программы охватили такое разнообразие целей и методов, что трудно даже выбрать тот, который представитель. Некоторые из наиболее известных университетских проектов приехал из Иллинойса (UICSM, 1951), Мэриленд (UMMaP, 1957-58), Миннесота (Миннемат) и Сиракузы (Мэдисонский проект, 1957 г.
) (Барлаж, 1982 г.).
Большинство из них имели только региональное влияние, но дело здесь в том, что
много исследований и усилий, направленных на реформирование математического образования
задолго до «новой математики». Одним из важных объединяющих проектов был Карнеги.
Восьмилетнее исследование корпорации (1932–1940) для оценки долгосрочных последствий
экспериментальных изменений в учебной программе.
Роль, которую сыграла психология Торндайка за прогрессивизм в начале 1900s со временем сменилось новым поколением психологических исследователей. Мирон Росскопф преодолел Торндайка. критика передачи обучения путем разработки процесса, посредством которого обобщение можно было научить (Уиллоуби, стр. 21). Это вернуло представление о математика как предмет, полезный для обучения навыкам рассуждения, адаптируемым к любому задача. Теории программированного обучения Б. Ф. Скиннера значительно повлияло на разработку новых программ в более мелкие адаптируемые единицы к индивидуальному обучению.
Влияние гештальта Вертгеймера
психология должна была подчеркнуть важность организации данных и
способность видеть закономерности. Такой акцент на инсайте противоречил
бихевиористских идей прошлого века. Такие интуитивные идеи
был популярен среди математиков и педагогов с 1920 лет, но
были омрачены появлением стандартизированного интеллекта и мастерства
тесты и требования утилитарной математики для новой средней школы
Население. После Второй мировой войны гештальт-психология стала одной из
основы движения за реформу математики.
Вторая мировая война также положила начало интереса правительства США к математическому образованию как к вопросу национальной обороны. Несколько комитетов во время войны высказались беспокойство по поводу неадекватных математических навыков прибывающих офицеров. Комиссия NCTM по послевоенным планам сообщила в 1944 и 1945 серия рекомендации, направленные на достижение «функциональной компетентности» по математике для всех, кто мог (Уиллоуби, с.
11).
Что сделало проекты и комитеты Отличительной чертой 1950-х годов по сравнению с их предшественниками и последующими была повышенная участие математиков и их доминирующее влияние на идеи педагогов. Двадцатый век ознаменовался достижениями и открытиями. в чистой математике так же важны, как и в технике; и после войны математики заинтересовались образованием, особенно с надеюсь, что можно будет преподавать больше математики до того, как студенты начнут обучение в бакалавриате. исследования. В то же время росло общее осознание того, что рынок труда требовал повышенной технической компетентности. Исследовательская работа в то время показали, что дети способны к обучению довольно продвинутых темы в гораздо более молодом возрасте. То, что не обсуждалось в это время, было независимо от того, такие предметы, как теория множеств, линейная алгебра и формальная большинству учащихся следует обучать дедуктивному мышлению (Барлаж).
Программы перевоспитания были рассчитаны на очень способных учеников, словно целое поколение
математиков готовили.
В 1955 году этот университет интересовался средним образование нашло свое отражение в Комиссии CEEB по математике. Доклад этой группы за 1959 г. был первым национальным предложением по существенному реорганизация школьной программы по математике для включения в нее того, что было называют «современной математикой». Современная математика не была образовательной терминологии, но буквально относились к темам математики, таким как линейное программирование и вероятности, которые были открытиями двадцатого века, все еще построенный математиками.
Этот отчет мог остаться незамеченным, за исключением того, что в октябре 1957 года Советский Союз запустил первый спутник в космосе, спутник 1. Влияние этого события невозможно переоценить. Внезапно каждый американец стал сильно беспокоиться о качестве математики.
и научное образование (Барлаге, стр. 28). Дело было не только
гордости, но и национальной безопасности. Следствие этой заботы
были деньги. В 1958 году был принят Закон об образовании в области национальной обороны.
и впервые было выделено финансирование для программ, связанных с
разработка новых программ математического образования. NSF направил
часть этих денег и в 1958 создали школьную группу по изучению математики.
Это был самый влиятельный из всех проектов того времени (стр. 29).
Его главным достижением стала разработка ряда учебников для
все уровни обучения с упором на математическую структуру, действительное число
система, тщательное использование языка и дедуктивных доказательств, открытие, экспериментирование,
и научных приложений. Они были задуманы как модель для коммерческого использования.
издатели, которые вскоре выпустили соответствующим образом переработанные учебники (Уиллоуби,
стр.46).
Первая фаза движения за реформы Упомянутое выше было нацелено на студентов колледжа.
Кембридж
Конференция 1963 г. ознаменовала вторую фазу, в ходе которой была изменена система обучения.
для всех классов и всех уровней способностей стали важными. Кооператив
Закон об исследованиях» 1963 года и «Закон о начальном и среднем образовании».
1965 г. продолжал финансировать разработку новых программ.
Однако этот второй раунд программ по-прежнему характеризовался
те же цели, что и у первых — более продвинутая, современная и абстрактная математика
в более молодом возрасте и обучение через открытие структуры по сравнению с
запоминание — идеалы, зародившиеся среди профессоров математики в колледжах.
для студентов колледжа. Разработка учебного плана и тестов
не руководствовались теориями обучения или педагогическими исследованиями (Макинтош,
1971, с.22).
Довольно много споров вокруг «новых математике» с самого начала (McIntosh, 1971, p.3-12). Несмотря на все Если говорить о радикальной реформе, то эти изменения сводились к смещению акцентов.
Категорически они состояли из:1. Перестановка тем в лучшую сторону логическая последовательность;
2. более раннее обсуждение передовых идей;
3. удаление нескольких посторонних тем для включения новой темы иметь значение;
4. введение теории множеств как объединяющей темы;
и 5. а больший акцент на формальную логику, приложения и манипуляции для аналитического индукция.
С исторической точки зрения легко увидеть, что большинство этих изменений являются просто продолжением давних тем в образовательная реформа. Перенос предметов в более ранние классы был медленная, но последовательная эволюция и упор на изучение открытий и применение было защищено начиная с первых уроков Колберна. Так единственными действительно «новыми» аспектами «новой математики» были современные темы, новая потребность в специализированных учителях математики в начальных школах, а также значительное Повышение квалификации учителей без отрыва от производства посредством конференций, семинаров и академические курсы (Барлаж).
При обсуждении движения «новая математика» легко думать, что учебный план и педагогические изменения дали о себе знать в каждом классе страны. Это было не совсем так. Наибольшие последствия ощущались в городских средних школах, в которых обучалось более 1500 учащихся. Но ограниченный опрос Совета колледжей 1963 года среди 181 городской школы со значительным процентом студентов, направляющихся в колледж, все еще обнаружили, что 30% школ не преподавали ряд предметов, таких как теория множеств, вероятность, действительные числа и исчисление, считающиеся центральными в новом математические программы (McIntosh, стр. 21). В сельских школах новая математика была не более чем слух, возможно замеченный при наличии устоявшейся лексики в новых учебниках.
Весь феномен этой попытки радикальная реформа — это отдельная история с томами рекомендаций и представления о сути проблемы. Большинство из них отражают взгляды Песталоцци.
идеи обучения открытиями или определенные школы теории обучения, такие как
Запрограммированная инструкция Скиннера. Но несмотря на все замечательные идеи
и благие намерения, стандартизированные результаты тестов в 1960-х и 70-х годах на самом деле
немного уменьшилось, и разочарование изобиловало. Источники финансирования
начали требовать программы «Возвращение к основам» и установили более жесткие стандарты.
ответственности. Такие требования показать доказательства обучения заставили
вернуться к правилам и упражнениям, не оставляя времени для воспитания интереса к
математика или время для студентов, чтобы достичь понимания и мастерства через
практические опыты. Приложение было сокращено до нескольких словесных задач
после применения метода, разработанного в начале девятнадцатого века.
В 1980-е годы прозвучал еще один призыв к «совершенству». в школах и еще один раунд некоторых экспериментальных программ в некоторых школы для некоторых учеников.
Сегодня существует огромное количество исследований
проводимого математического образования (Grouws, стр. 27-29), но относительно
мало широкое вмешательство в школах со стороны университетов.
Тот факт, что большинство городских средних школ сегодня предоставляют возможность
лучшим ученикам по математике является свидетельством того, что с точки зрения содержания математика
образование продолжает свою историческую тенденцию преподавать больше математики большему количеству
учащихся младшего возраста. Но продолжающийся провал среднего и
учащиеся с низкими способностями на уроках математики указывают на то, что
инструкторы еще не научились ежедневно учить математику для понимания
для тех, кто естественно не понимает концепции.Ссылки
Барлаж, Э. (1982). Новая математика: исторический отчет о Реформа преподавания математики в Соединенных Штатах Америки. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 224 703)
Бидвелл, Дж.
К., и Циасон, Р. Г. (Ред.). (1970). Чтения по истории
математического образования. Вашингтон, округ Колумбия: Национальный совет учителей
математики.Броуди, Х.С. (1985, март). Прошлое и будущее образования. Представленный документ на ежегодном собрании Ассоциации надзора и учебных программ Девелопмент, Чикаго. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 253 969)
Гроуз, Д.А. (Ред.). (1992). Справочник исследований по преподаванию математики и обучение. Национальный совет учителей математики. Нью-Йорк: Макмиллан Паблишинг Ко.
Хайден, Р. В. (1983, апрель). Исторический взгляд на «новую математику». Американский симпозиум по исследованиям в области образования, Монреаль. (Документ ЭРИК Репродукционная служба № ED 228 046)
Макинтош, Джерри А. (ред.). (1971). Перспективы вторичной математики Образование. Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.
Уиллоуби, С.С. (1967). Современное преподавание математики в средней школе. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.
Философия и история математики – Факультет философии – Колледж гуманитарных и социальных наук им. Дитриха
Логика и математика являются инструментами почти для всех сотрудников кафедры, но они также являются и объектами исследования. В качестве инструментов они предоставляют средства для строгого учета аспектов опыта; как объекты исследования они исследуются на предмет их внутренней согласованности, их философского обоснования и их соответствия конкретным целям. С древних времен существовала тесная связь между философской и математической мыслью, связь, которую можно увидеть в философских размышлениях Платона, Декарта, Лейбница и Канта.
Тонкие взаимодействия между философией и математикой можно увидеть и в развитии математики в 19 веке, т. е. в революционных концептуальных достижениях Дирихле, Римана, Дедекинда и других, а также в столь же драматических изменениях в логике, по большей части благодаря Булю, Фреге, Пеано, Пирсу и Шредеру.
Дополненные продолжающейся эволюцией наук, например, в работах Герца, Маха и Эйнштейна, эти разработки формируют фон для появления ранней аналитической философии и современной математической логики. Этот исторический фон существенным образом меняет современную дискуссию в области философии математики.На предмет глубокое влияние оказывают результаты метаматематических исследований, но, что наиболее важно для работы в этом отделе, также математическая практика. Теоремы о неполноте справедливо считаются жемчужинами математической логики прошлого века. Они также рассматриваются как имеющие огромное философское значение; это кажется правильным, но только относительно точного понятия «формальной системы». Последнее определяется с помощью понятия вычислимости. С одной стороны, можно понять кажущиеся противоречивыми взгляды Гёделя и Тьюринга на математические знания и возможности человеческого разума. С другой стороны, можно вернуться назад и увидеть то, что должны были уловить «формальные теории», и обнаружить драматическую трансформацию математики в XIX веке.
век.«Структуралистский» взгляд на математику, который можно найти в «основополагающей» работе Дедекинда, на самом деле возник из его конкретной работы по алгебраической теории чисел. Его широкий взгляд на математику повлиял на этот взгляд, на который, конечно же, также повлияли Гаусс, Дирихле и Риман. Зиг взял эту точку зрения за отправную точку и соединил ее с квазиконструктивной перспективой доступных областей, чтобы прийти к артикуляции «редуктивного структурализма». Эта позиция решает ряд традиционных гносеологических и онтологических проблем. Вместе с Аводи и рядом других коллег Зиг редактирует и переводит замечательные и наиболее важные философские эссе Пола Бернейса, сотрудника Гильберта по теории доказательств. Собственная точка зрения Зига развита в его книге 9.1049 Hilbert’s Programs and Beyond , опубликованном издательством Oxford University Press.
Философия математики традиционно занималась вопросами обоснованности и правильности. Но в последнее время ряд исследователей стремились охарактеризовать более общие методологические цели и ценности, влияющие на решения, которые математики принимают в своей повседневной практике, например, при постановке вопросов, формулировании определений, написании доказательств и структурировании теорий.
Используя идеи теории доказательств, формальной проверки и истории математики, Авигад работал над созданием более надежных описаний математических концепций, методов и понимания.Аводи исследует связи между теорией категорий и структурализмом, особенно в свете новой программы Univalent Foundations. Univalent Foundations включает новую основополагающую аксиому, аксиому одновалентности, согласно которой можно идентифицировать изоморфные структуры. Этот новый принцип имеет очевидные философские последствия и, несомненно, заставит философов математики скорректировать свои взгляды. Философы, интересующиеся структурализмом, начали осознавать важность этих недавних разработок, например, несколько ведущих философов физики, в том числе Ледиманн (Бристоль) и Халворсон (Принстон), активно занимались философскими исследованиями универсальных основ. В дополнение к всеобъемлющей книге Homotopy Type Theory , Аводи написал обзорную статью на тему однолистности и структурализма, которая будет опубликована в журнале Philosophia Mathematica и послужит для ознакомления с предметом более широкой аудитории философов математики.
История математики может быть полезным подспорьем в разработке надежной и информативной философии математики. Зиг исследовал логицистские и структуралистские взгляды, которые можно найти в основополагающих трудах Дедекинда. Эти взгляды возникли из конкретной математической работы Дедекинда по алгебраической теории чисел, и они резко контрастируют с взглядами его современника Леопольда Кронекера. В работе с Ребеккой Моррис и соответственно с Дирком Шлиммом Зиг проанализировал в качестве центральных черт работы Дедекинда введение абстрактных понятий (структур) и использование структур, сохраняющих отображений между разными структурами (однотипными). Используемая здесь концепция абстракции не является классической, которую можно найти, например, в «Логике» Канта, а скорее той, которая раскрывается в трудах по логике современного и очень влиятельного геттингенского философа Германа Лотце.
Авигад исследовал методологические аспекты работы Дедекинда, особенно развитие его теории идеальных делителей, пытаясь понять, как такие методологические соображения взаимодействуют с философскими воззрениями.
Вместе с Ребеккой Моррис он изучал историю основополагающей теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, которая проливает свет на методологические силы, сформировавшие развитие современной концепции функции, а также некоторые вопросы, которые Фреге пришлось решать в своей трактовке. функций. Авигад также рассматривал философские взгляды Курта Гёделя по отношению к метаматематической традиции и пытался охарактеризовать и объяснить непростое противоречие между взглядами Гёделя и Карнапа.Эта конкретная работа о драматическом сдвиге в развитии математики в 19 веке, где одни говорят о «преобразовании предмета», а другие — о «революции», оказала глубокое влияние на философию математики — предмет, который, как совсем недавно, как и двадцать лет назад, был озабочен «Grundlagentreit» между Брауэром и Гильбертом в 1920-х годах. И Гильберт, и Брауэр глубоко связаны с широкими вопросами, упомянутыми выше. Зиг вместе с коллегами В. Эвальдом, М. Халлеттом и У. Майером работал над редактированием неопубликованных конспектов лекций Гильберта из 189 г.
0-х до 1930-х годов. Они открывают совершенно новый и свежий взгляд на эволюцию фундаментального мышления Гильберта и появление теории доказательств, а также на истоки аналитической философии.Истоки современной алгебры
Ли Леди
Я не знаю ни одного другого предмета, который преподается в таком антиисторический путь как математика. Хотя математики часто довольно щепетильно отдают должное оригинальные первооткрыватели теорем, они также являются энергичными переформулируя эти теоремы в терминах понятий, первооткрыватели были бы совершенно незнакомы.
Когда Эмиль Артин преподавал теорию Галуа, он, по-видимому, обсудить собственный подход Галуа. Он рассказывает анекдот в том смысле, что он спросил одного из своих классов, сколько его книгу на эту тему признал бы и сам Галуа, и один из его студентов предположил, что, вероятно, название была бы единственной узнаваемой вещью во всем книга. А потом другой студент сказал: «Нет, он, наверное, сказать: «Хорошо, Галуа, это я, но кто этот парень, Теория?» ”
Учение Артина в этом отношении было исключительным.
В целом,
преподавание математики дает учащимся мало возможностей для понимания
откуда взялись математические идеи и какова первоначальная
мотивация для разработки различных математических тем была.Аспиранты изучают все виды мощных концепций и например, теоремы о банаховых пространствах еще до того, как они понятия не имею, почему математики когда-либо интересовались такие пространства или для чего хороша теория, которую они изучают. (Многие студенты никогда не узнают об этом.)
На мой взгляд, это во многом связано с тем, что сегодня мы видим расщепление математики на миллионы крошечных небольшие узкие специальности, многие из практикующих которых знают почти ничего о математике, кроме их собственной маленькой занозы.
Я ни в коем случае не историк математики. Здесь я просто представить краткий очерк развития современной алгебры (иногда называемая абстрактной алгеброй), взятой из книги Бурбаки, Элементы истории математики (французское название, Элементы истории математики ).
Аксиоматический подход
Рождение алгебры в том виде, в каком ее знают математики сегодня, также зарождение аксиоматического подхода к математике.Обычно мы не учим студентов, насколько революционна аксиоматическая подход есть. Как правило, в бакалавриате в Современная алгебра (часто называемая уровнем Герштейна). конечно), мы просто принимаем аксиоматический подход как нечто само собой разумеющееся. с первого дня. Этот подход так знаком и так удобен современному математику, которому мы редко уделяем много думал о том, как это сбивает с толку студентов, чьи предыдущие опыт математики был ограничен такими курсами, как исчисление. (Однако иногда студенты видели немного аксиоматического подхода в линейной алгебре, но с очень небольшим объяснением того, почему это когда-либо решил заняться вроде бы конкретной темой вроде векторные пространства таким абстрактным образом.)
Аксиоматический подход — это не просто использование аксиом в математика. В конце концов, использование аксиом восходит к как Евклид.
Но Евклид, прежде чем изложить свои аксиомы, начинает с определения примитивные представления о геометрии. Точка определяется примерно как говоря: «То, что имеет положение, но не имеет размера». И линия определяется как «То, что имеет длину, но не имеет ширины». (Я не помню, как Евклид определяет понятие прямолинейность. Я не думаю, что он определял прямую линию как кратчайшее расстояние между двумя точками.)
С другой стороны, современный аксиоматический подход в основном такое отношение когда мы занимаемся математикой, нам не нужно знать, что мы работаем с. Нам нужно только знать правила. (Так что в геометрии нам не нужно знать, что такое точка или прямая). является. Нам нужно знать только аксиомы.)
Это сильно отличается от преподавания математики в курсы математического анализа в гимназии, средней школе и колледже. Там считается очень важным, чтобы учащиеся понимали что такое числа (хотя и так, что математики шокирующе неформальным) и какое сложение, вычитание и умножение, прежде чем изучать правила, которые позволяют на самом деле заниматься арифметикой.
И очень важно тщательно
освоить арифметику, прежде чем переходить к ее символическому представлению.
форма в средней школе алгебры. И очень важно быть
знакомы с рядом конкретных примеров функций и
понимать понятия дифференциации и интеграции
прежде чем приступить к изучению правил, позволяющих на самом деле
дифференцировать и объединять функции. (на самом деле расчет
учителей часто раздражает, когда ученики, придумывая
аксиоматический подход сами по себе как бы обнаруживают, что
на самом деле не нужно понимать понятия, чтобы
для выполнения расчетов.)Но типичный курс бакалавриата по современной алгебре начинается говоря что-то вроде: «Группа состоит из набора элементов которое можно умножить таким образом, что следующее выполняются три аксиомы». (Четыре аксиомы, если одна из них включает замкнутость, которая была, по сути, ключевой аксиомой и в какой-то степени был единственным в первоначальном развитии теории групп, ассоциативность и наличие элемента идентичности а инверсия воспринимается как само собой разумеющаяся.
)Понятно, что студент может недоуменно спросить: «Но что это за элементы? И как это умножение работает?» И ответ, который дает аксиоматический подход, таков: «Это не имеет значения. Имеют значение только правила».
Это отношение, что можно изучать вещи без знание того, о чем говорят, является невероятным познавательным скачок, и это реальная основа (а не математическая основу, а психологическую основу) абстрактного математика.
Конечно, для того, чтобы дать учащимся понять, что есть какая-то осязаемая реальность в том, о чем мы говорим, мы немедленно обеспечиваем их некоторыми знакомыми примерами группы (или кольца, или что-то еще). И одна из стратегий, которую студенты могут использовать, когда они не могут справиться с уровнем абстракции, который они даются, это сказать: «Хорошо, когда профессор говорит «группа», Я думаю, что он говорит о целых числах. И когда — говорит он, — умножение, я подумаю о сложении». (Я сам иногда использовал эту стратегию, изучая новый своего рода математика.
) Но эта стратегия работает не очень хорошо.
Это вводит в заблуждение, потому что любой конкретный пример будет иметь
ряд специальных свойств, которые не будут верны для групп
в целом. (Сложение целых чисел коммутативно, например,
а целые числа образуют циклическую группу.) Итак, если нужно
иметь конкретные дела
подумать (и я думаю, что почти все мы так делаем), нужно
мыслить не в рамках одного примера, а в терминах
ряд очень непохожих примеров.И мой собственный опыт заключался в том, что даже после того, как я стал хорошим при такого рода абстрактном мышлении я все же пришел бы к некоторые понятия (например, понятие бесплатного продукта неабелевых групп или тензорного произведения), которые были так абстрактно и где было так трудно найти какие-либо естественные примеры, которые я еще долго находил их очень трудно думать.
Но здесь аксиоматический подход может спасти вас на более высоком уровне. Вам действительно не нужно подумайте о том, что такое бесплатный продукт или тензорный продукт на самом деле (“как это выглядит”, с моей точки зрения).
Вам просто нужно найти
набор аксиом, описывающих его поведение. (Этот
стало в значительной степени стандартным способом думать о
тензорные произведения, и я всегда испытывал какое-то презрение к
для математиков, доказавших теоремы о тензорных произведениях
начнем с построения.)Это, безусловно, одно из преимуществ аксиоматического подхода: что можно работать с довольно сложными объектами (и большинство математических конструкций, даже натуральные числа, на самом деле довольно сложно) без необходимости думать о том, как они «выглядят». Но основное преимущество подхода это обычно один набор аксиом будет описывать очень большое количество совершенно непохожих математических системы, и поэтому, исходя из аксиом, можно доказать теоремы которые применимы к огромному количеству различных вещей. (Большинство из нас не придает большого значения использованию аксиоматическая характеристика действительных чисел, например, потому что поле действительных чисел это единственная математическая вещь, к которой этот полный набор применяются аксиомы.
)Но как этот революционно новый способ математического думать пришло?
На самом деле это произошло очень постепенно и несколько естественный способ. Это произошло потому, что в течение XIX века математики стали становиться все более и более заинтересованы в новом виде предмета, имеющего делать с алгеброй, но не алгеброй в смысле решения уравнений (хотя интерес к решению алгебраических уравнений, безусловно, был одним из корней этого нового интереса). Но скорее это была алгебра в более или менее в том смысле, в каком мы используем это слово сегодня (но без думать об этом в абстрактных терминах), а именно изучение структур, в которых можно было бы работать в очень так же, как традиционная алгебра работает в сфере рациональных чисел, действительных чисел или комплексных чисел. Некоторыми из этих структур были: комплексные числа, кватернионы, различные кольца алгебраических чисел (некоторые подкольца комплексных чисел), помимо алгебры матриц разработанная Сильвестром и Кэли, и алгебра логики разработан Буль.
Кроме того, изучались группы перестановок,
что изначально не считалось алгеброй
вообще, я считаю, но там, где основные концепции были разработаны
Лежандр, Абель и Галуа как подход к пониманию
решение алгебраических уравнений.Все эти предметы изначально изучались для очень естественных и практические причины, связанные с вопросами геометрии, анализ, теория чисел и теория уравнений.
Новым во всех этих предметах был интерес прежде всего в конструкции в целом, а не в расчетах внутри этой структуры. Пожалуй, это было особенно ясно в работы Лежандра, Абеля и Галуа о группах подстановок, где важен был набор подгрупп, а не чем отдельные перестановки.
Бурбаки выделяет три основных потока, ведущих к развития современной алгебры: (1) теория алгебраических числа, разработанные Гауссом, Дедекиндом, Кронекером и Гильберт. (2) Теория групп перестановок (и, позже группы геометрических преобразований), где Работа Галуа и Абеля была фундаментальной. (3) Развитие линейной алгебры и гиперкомплексных систем.
Теория групп
Изучение групп перестановок использовал Лагранж в первая попытка разработать то, что позже стало теорией Галуа. Позднее в 1832 году Галуа определил понятие нормальной подгруппы, разрешимой группы и утверждалось существование силовских подгрупп, хотя, по-видимому, без доказательство. (С другой стороны, Галуа не использовал понятие поля).Но по мере дальнейшего развития теории групп другие математики (Сам Галуа, разумеется, погиб на дуэли, видимо из-за его политической активности, сразу после окончания своего трактата) постепенно стало ясно, что изучение перестановок группы на самом деле имели очень мало общего с перестановками сами себя.
И Иордания в 1868 году начал изучение бесконечных групп, в частности группы, состоящие из преобразований геометрическое пространство. Это исследование было продолжено Феликсом Кляйном. и Пукаре, и был особенно воодушевлен Феликсом Кляйном. Erlanger Программа для геометрии. (В этот момент были ряд различных видов геометрии, таких как евклидова геометрия, неевклидова геометрия, проективная геометрия, аффинная геометрия и дифференциальная геометрия.
Клейн предположил, что
каждая конкретная форма геометрии должна быть охарактеризована
как изучение тех свойств, которые являются инвариантными
при определенной группе преобразований. Например,
Евклидова геометрия состоит из изучения тех геометрических
свойства, которые не изменяются жесткими движениями.)
концепции и теоремы, которые были разработаны для перестановки
группы применимы точно так же к этим группам преобразований.К концу 19 век, Кэли и Дедекинд и многие другие математики. стали очень хорошо осознавать, что то, что было действительно актуально в группе теории был закон композиции (умножения) в группе а не природа объектов, составляющих группу.
Но важность групп в этот момент все же должна была с их конкретными приложениями. Группы по-прежнему рассматривались как состоящие из операторов какой-то и Дедекинд и Кэли остановился перед определением групп аксиоматическим способом и рассматривая их как структуры, представляющие интерес для их ради. 9п факторы полностью, если разрешить использование р-го корня из -1, что, конечно же, является комплексным числом.
(Достаточно иметь дело со случаем, когда p — простое
и, конечно, отличается от 2.)
Принято считать, что это доказательство того, что
Сам Ферма имел в виду.
Но доказательство ошибочно, потому что оно зависит от предположения
что разложение на простые множители
уникален, даже когда речь идет об алгебраических числах.
Но это не всегда верно, как видно из
пример, (1 + \sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = (2)(3),
, где легко доказать, что ни один из четырех множителей в этих двух разложениях можно далее разложить на произведения внутри кольца, состоящего из всех чисел вида а + б \ кв. {- 5}, с обычными целыми числами a и b. (Здесь \sqrt{-5} используется для обозначения квадратного корня из -5 , что, конечно же, является комплексным числом.)Теория алгебраических чисел получил дальнейшее развитие у Дирихле, Эрмита, Куммера, Кронекера и Дедекинда. Кронекер и Дедекинд использовали два разных метода. (которые, хотя и очень непохожи, в конечном итоге эквивалентны) ввести некоторые «идеальные числа» в кольца алгебраических чисел, чтобы исправить отсутствие уникальной факторизации.
Метод Дедекинда был изобретением того, что мы сегодня
назовем в произвольном кольце идеалами.
В своем творчестве Дедекинд в основном установил
основы современной коммутативной теории колец.
Однако методы Дедекинда и Кронекера
не смог предоставить доказательство Великой теоремы Ферма,
хотя они позволяли доказывать во многих особых случаях.Другая основная нить, ведущая к современному коммутативному кольцу теория пришла из алгебраической геометрии, и я не буду обсудить это здесь, за исключением упоминания о том, что математики стали очень хорошо осознавать, что алгебра функций, определяемая на алгебраической кривой или поверхности имело много общего с кольца алгебраических чисел. Здесь мы видим эту важность того факта, что математики, работающие над тем, что изначально казались очень разные специальности были знакомы с друг друга работают и находятся под его влиянием. (существовали еще третий майор пример коммутативных колец, а именно тех, которые состоят из функции, определяемые степенным рядом.
)Бурбаки идентифицирует 142-страничную статью Стейница 1910 года под названием Алгебраическая теория поля породила современная концепция алгебры. (Можно также отметить, что гораздо раньше Пеано, в 1888 г., дал аксиоматическое определение вещественного векторного пространства и определил понятие линейного преобразования между векторные пространства.) Слово «поле» впервые было использовано Дедекиндом, который занимался некоторыми областями, содержащимися в комплексных числах (поля алгебраических чисел). А также именно Дедекинд и Гильберт первыми увидели теорию Галуа как соответствие между подполями и подгруппами Группа Галуа. (Дедекинд первым подумал о группе Галуа. как состоящий из автоморфизмов расширения поля, а не чем перестановки корней рассматриваемого многочлена.)
Стейниц в своей статье 1910 г. развил понятия первоклассное поле (к этому времени было много работы по теории конечных полей), сепарабельное расширение и степень трансцендентности, и доказал, что всякое поле имеет алгебраически замкнутое расширение.
Но что делает его статью полностью современной
заключается в том, что вместо определения поля как набора комплексных чисел
классы конгруэнтности и т.п., Стейниц просто определил
поле представляет собой структуру, состоящую из множества элементов, в которых
определены две операции (называемые сложением и
умножение), удовлетворяющее определенному набору правил.Понятие кольца впервые использовал Дедекинд, употребивший слово «порядок». (точнее, конечно, его немецкий эквивалент «орднунг»). Слово «кольцо» (которое на самом деле одно и то же в немецком и на английском) был представлен Гильбертом. Дело в том, что в кольцо алгебраических чисел (или любое конечное целочисленное расширение базы кольцо), если посмотреть на силы элемент, то можно найти точку, в которой последующие степени могут быть выражены в виде линейных комбинаций предшествующие. Таким образом, умножение в определенном смысле превращается обратно на себя, что-то вроде геометрического кольца.
Но только в 1914 году появилась первая газета, в которой генерал понятие кольца определено аксиоматически: «О делителях нуля и разложении колец», по Френкелю.
Хотя это дало генералу
определение, сама статья была посвящена
коммутативные артиновы локальные кольца, в которых единственным простым идеалом является
главный.В том же 1914 году Хаусдорф на своем Grundzüge der Mengenlehre , дал аксиоматическое определение общая топология. Конечно, это было время, когда алгебраисты, аналитики и топологи общались друг с другом, интересовались в работе друг друга, находились под влиянием друг друга, и во многих на самом деле это были одни и те же лица.
Теория алгебр (гиперкомплексные системы)
Отправной точкой для третьего потока в развитии алгебра была изобретением Гамильтона кватернионов. (Комплексные числа использовались в алгебре итальянским алгебраисты примерно с 1550 г., а к 1800 г. теория исчисления с использованием комплексных переменных были достаточно хорошо развиты, Коши и др. Именно Гаусс ввел геометрическое представление комплексных чисел.)В 1878 году Фробениус доказал, что кватернионы являются единственными возможное (конечномерное) ассоциативное расширение комплекса числа, на которые деление было возможно и единственное (конечномерное) некоммутативное расширение вещественного числа, на которые возможно деление.
Это было
два года спустя независимо доказал К. С. Пирс.
(Гаусс был
убежден, что поле комплексных чисел было единственным
конечномерное коммутативное расширение поля
вещественная система счисления. Впоследствии это было доказано
Вейерштрасс.)Позже Кейли заметил, что существует множество матриц два на два, удовлетворяющих таблице умножения из кватернионов. (Понятие матрицы принадлежит Сильвестру, который ввел матрицы как сокращение для замены переменные, то есть то, что мы теперь называем линейными преобразованиями.) Но не раньше 1870 г. отметили американцы Б. Пирс и К. С. Пирс, что множество квадратных матрицы заданного размера образуют алгебраическую систему, которая позволяет складывать, вычитать и умножать (т. современная терминология, кольцо).
Термин «алгебра», по-видимому, использовался американцами и британское в его современном понимании, т. е. кольцо, которое конечномерный векторное пространство над комплексными числами (или действительными числами). С другой стороны, немцы в основном предпочитали термин «гиперсложная система».
Помимо кватернионов Гамильтона,
основным примером до 1850 г. были «внешние алгебры» Грассмана,
но аналогия с кватернионами и другими алгебрами была только
много позже видел.Другими примерами алгебр над комплексными числами были видели в период с 1850 по 1860 год, но общее исследование алгебр (и, следовательно, корни некоммутативного кольца теория) начинается только в 1870 году в работе Б. Пирса и К. С. Пирс, которые вводят понятие идемпотента и нильпотентные элементы и разложение идемпотента элемент в сумму ортогональных примитивных идемпотентов.
Кэли и Сильвестр и другие британские и американские математики затем начал работать над проблемой классификации алгебр небольшая размерность над комплексными числами.
За это время развитие групп Ли и алгебр (которые не являются ассоциативными) продолжалась, и некоторые из фундаментальные понятия теории ассоциативных алгебр (концепция радикала, например) были разработаны сначала для алгебр Ли.
Другим ключевым источником идей и примеров была концепция групповая алгебра, которая была по существу определена Дедекинд в 1896 году, в письме к Фробениусу.
Дедекинд был
очень ясно об отношении этого к общей теории
алгебр, хотя теория представлений групп
разработанная Бернсайдом и Шуром (около 1905) нет
в то время явно использовать методы теории колец.Понятие простой алгебры над комплексными числами была определена в 1893 г. немецким математиком Т. Молиеном, который затем доказал первую версию теоремы Веддерберна, т. е. что простая алгебра над комплексными числами есть изоморфно кольцу n на n матриц над комплексными числами. Именно в этот момент появилось понятие двустороннего идеала. получили распространение, и о них было доказано множество теорем. Но из опроса Бурбаки не ясно, первоначально использовалось слово «идеальный», и, возможно, аналогия с работой Дедекинда о коммутативных кольцах сразу не увидел.
Понятие полупростой алгебры было введено Эли Картан. (К сожалению, у меня нет пары.)
Развитие около 1900 г. теории конечных полей. американскими математиками Э. Х. Муром и Л. Э. Диксоном. было то, что мотивировало обобщение теории алгебр на случай где базовое поле было неограниченным.
Веддерберн, другой американец, в 1905 году доказал, что каждое конечное тело
(также известная как алгебра с делением) на самом деле коммутативна.В 1903 г. в мемуарах об алгебраическом решении дифференциальной уравнения, Пуанкаре определил понятия левого идеального и правый идеал для алгебры. (Как уже упоминалось, двусторонние идеалы были в основном известен со времен публикации Молиена в 1893 г.) В этом мемуарах, Пуанкаре доказывает, что минимальные левые идеалы в кольцо n на n матриц имеет размерность n. Однако это результат не был замечен алгебраистами.
Понятия левого и правого идеалов были заново открыты. в 1907 Веддерберна, доказавшего, что радикал был самым большим нильпотентный левый идеал и доказал свою известную «Теорема Веддерберна» (позже обобщенный Эмилем Артином), в котором говорится, что каждый полупростая алгебра над произвольным базовым полем — это прямое произведение колец матриц над телами.
В 1920 г. Эмми Нётер и В. Шмайдлер использовал понятия левого и правого идеала в статье посвящен кольцам дифференциальных операторов.
Но иначе,
эти концепции были проигнорированы после статьи Веддерберна.
до 1927, когда Эмми Нётер,
и Брауэр (а позже А.А. Альберт и Хассе)
возобновил их изучение.К 1934 г. основная теория полупростых колец была по существу полный.
Итоговое утверждение Бурбаки таково: «Аксиоматизацию алгебры начали Дедекинд и и Гильберта, а затем активно развивался Стейницем (1910). Затем он был завершен в годы после 1920 года Артином, Нетер и их коллеги в Геттингене (Хассе, Крулл, Шрейер, ван дер Варден). Он был представлен миру в полной форме по книге ван дер Вардена (1930)».
Что мы видим из всего этого (по крайней мере, на мой взгляд) заключается в том, что развитие современной алгебры никогда не было мотивировано математиками, стремящимися к абстракции ради нее самой. Вместо этого алгебраисты, работающие над вполне конкретными проблемами пытались изобрести инструменты, которые могли бы помочь своим исследованием этих проблем, и медленно (очень медленно, если оглянуться на их работу в ретроспективе) стал замечать, что одни и те же логические закономерности повторяется снова и снова в различных примерах.
