Реферат матрицы в экономике: Применение матриц в экономике | Рефераты Высшая математика - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Применение матриц в экономике | Рефераты Высшая математика

Скачай Применение матриц в экономике и еще Рефераты в формате PDF Высшая математика только на Docsity! Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий» РЕФЕРАТ Дисциплина: Высшая математика Тема: Применение матриц в экономике Выполнил: студент группы ЭС-119(2) Ф.И.О.: Авазова Малика Улугбек кизи Город:Ташкент Омск 2020 Содержание 1.Введение 2. Матрица 3. История появления матриц. 4. Решение задач при помощи матриц 5. Заключение 6. Список литературы Количество полных рабочих дней в году Цена различных видов сырья 1 2 3 4 5 1 2 3 210 160 180 130 150 50 60 70 Необходимо определить: 1. Производительность каждого предприятия по каждому типу изделий; 2. Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья; 3. Сумму кредитования предприятий для закупки сырья, которое необходимо для выпуска продукции указанных видов и количеств. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: составим матрицы, которые характеризуют весь экономический спектр производства. Построим матрицу производительности предприятий по всем типам продукции: Каждый столбец данной матрицы соответствует производительности по каждому виду продукции. Исходя из этого, годовую производительность i- того предприятия по каждому виду продукции можно получить благодаря умножению i- того столбца матрицы C на количество рабочих дней в году для данного предприятия (i = 1, 2 ,3, 4, 5). Следовательно, годовую производительность каждого предприятия по каждому из изделий можно представить в виде матрицы: Матрица затрат сырья на единицу изделия (данные показатели по условию являются одинаковыми для всех предприятий) имеет следующий вид: Расход по типам сырья на предприятиях можно описать при помощи произведения матрицы D на матрицу C: Где j-ая строка соответствует номеру типа сырья, а i-ый столбец – номеру предприятия согласно таблице (j =1, 2, 3; i =1, 2, 3, 4, 5). На второй вопрос задачи ответ можно получить аналогично, умножив столбцы матрицы DС на соответствующее количество рабочих дней в году – это годовая потребность предприятий в каждом типе сырья: Введем вектор стоимости сырья: Тогда стоимость годового запаса сырья для каждого предприятия получим путем умножения вектора на матрицу : Исходя из этого, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора . Из вышеизложенного следует, что матрицы имеют ряд достоинств: позволяют в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дают возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса. Список используемой литературы 1. Красс М. С. Математика в экономике. М.: ФБК-ПРЕСС, 2005,472с 2. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Экономические задачи на составление систем линейных алгебраических уравнений/ Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития регионов: материалы ежегодной 78-й научно-практической конференции Ставропольского ГАУ «Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу». Секция «Финансово- экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона, г. Ставрополь, 16 апреля 2014г.-Ставрополь: ООО «Альфа Принт», 2014. С. 251-255. 3. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сахнюк П. А., Сахнюк Т. И. Опыт использования математических моделей современных экономических исследований в учебном процессе./ Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона.-Ставрополь, 2013. С. 233-236. 4. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сахнюк П. А., Сахнюк Т. И. Модель совершенствования мотивации обучения студентов экономических специальностей в учебном процессе// Информационные системы и технологии как фактор в развитии экономики региона: Сборник материалов Международный научно-практической конференции/ СтГАУ.-Ставрополь: Бюро Новостей, СтГАУ, 2013. С. 225-228. 5. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры//Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам Международно-практической конференции.-Ставрополь, СтГАУ, 2013. С. 268-271. 6. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам/Аграрная наука, творчество, рост. -2013. -С. 278-280. 7. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач//Современные наукоемкие технологии. -2013.-№6. -С.91-93.

“Векторы. Применение матриц и векторов в экономике”, Математика, химия, физика

Выдержка
Другие работы
Помощь в написании

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Векторы применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия, а также экономика. На практике они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

1. Матрицы.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Нам известны основные операции над матрицами: равенство матриц; транспонирование; сложение; умножение матрицы на число; умножение матрицы на матрицу.

Матрицы впервые появились в середине ХVIII столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Р. Гамильтона. А уже общественный вклад в разработку общей теории матриц внесли русские математики А. Н. Крылов, Лапло-Данилевский.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):


Ресурсы.	Отрасли экономики.
Промышленность.	Сельское хозяйство.
Электроэнергия.	5,3.	4,1.
Трудовые ресурсы.	2,8.	2,1.
Водные ресурсы.	4,8.	5,1.

Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В данной записи, например, матричный элемент а₁₁ = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂ = 2,1 — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент аij (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей столбцом:

Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S1 = 2· 100 + 5· 80 + 1· 130 = 730 ед. и 2-го — S2 = 3· 100 + 2· 80 + 4· 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:

Тогда общая стоимость сырья Q = 730· 30 + 980· 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S· B = (CA)B = (70 900).

Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т. е. матрицу:

а затем общую стоимость сырья:

Использование матриц в экономике обусловливает широкое применение векторов и их основных свойств. Векторы играют большую роль в разнообразных экономических расчетах и, как правило, используются наряду с матрицами. Векторы являются основным инструментом при решении задач, аналогичных задачам с применением матриц.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства (“https://westud.ru”, 14).

Пример 1.

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,.

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,.

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,.

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.

Пример 2.

Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции.

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Пример 3.

Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

Пример 4.

В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;
2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;
3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

матрица вектор экономика Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением J-гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей.

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид:

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

Где I-я строка соответствует номеру типа сырья, а J-Й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей АГод умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матрицу ВA_год:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой

Применение матричной алгебры в эконометрике. Практическое руководство для аспирантов и студентов-исследователей Мишеля Гиргюи :: SSRN

Скачать эту статью

Открыть PDF в браузере

Добавить бумагу в мою библиотеку

Делиться:

Матричная алгебра была рассмотрена в разделе линейной регрессии, множественной регрессии и моделях одновременных уравнений. Я использовал простые примеры, чтобы облегчить вам процесс обучения. Эконометрика в основном связана с экономическими измерениями. Это приложение статистики и математики к экономическим или финансовым данным для получения и интерпретации числовых результатов. Эконометристы – это экономические и финансовые аналитики, которые заинтересованы в численной оценке взаимосвязи между экономическими или финансовыми переменными. Это дисциплина, которая выходит за рамки выражения только экономической или финансовой теории с помощью математических уравнений. Основное внимание уделяется эмпирической оценке этих математических уравнений.

У вас есть вакансия, которую вы хотели бы рекламировать в SSRN?
Похожие электронные журналы
Обратная связь
Обратная связь с SSRN
Обратная связь (обязательный)
Эл. адрес (обязательный)

Если вам нужна немедленная помощь, позвоните по номеру 877-SSRNHelp (877 777 6435) в США или +1 212 448 2500 за пределами США с 8:30 до 18:00 по восточному поясному времени США, с понедельника по пятницу.
МАТРИЦЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
РЕЗЮМЕ
В этом проекте исследуются матрицы и три их приложения . Матричные теории использовались для решения экономических проблем, которые включали методы эффективного производства товаров. Для кодирования, а также для декодирования очень конфиденциальной информации. Эта проектная работа также идет дальше, чтобы применить матрицы для решения линейной системы уравнений 3 x 3 с использованием методов сокращения строк.

TABLE OF CONTENT
TITLE PAGE… …………………………………………………                   i
СЕРТИФИКАЦИЯ………………………………………………………               ii
ДЕКЛАРАЦИЯ ……………………………………………………………. III
ПОСВЯЩЕНИЕ…………………………………………………………. iv
ПРИЗНАНИЕ………………………………………………. v
РЕЗЮМЕ……………………………………………………………..         vi
СОДЕРЖАНИЕ………………………………………… …………… Vii-Viii
Глава первая: Общее введение
1,0 Фоны исследования ……………………………………… .. 1
1.2 Заявление проблемы …… …………………………………………. 5
1. 3       ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ…………………………………………………           5
Глава вторая
2.0 Обзор литературы …………………………………………………… .. 6
Глава третья: Теория матриц
3.0 ТЕОРИЯ МАТРИЦ……………………………………………………. 8
3.1.1        ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ………………………………..          8
3.2       СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ…………………………            СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ……………………………………. 15
3.4       СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ………………………………………………..          15
3.5       УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ………………………………………… 4
3
СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ…………………………..        16
3.7       ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТРОЧНАЯ ОПЕРАЦИЯ …………………………………………. 16
3,8 Эшелон и восстановленные ряды эшелоновые формы матрицы …… 17
3.9 Определитель матрицы ………………………………………………… 21
3.10 Свойства определяющего ………… ……………………………………. 22
3.11     ОБРАТНАЯ МАТРИЦА…………………………………………………………..      24
3.12     СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ……………………………………… …….
25
3.13     МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ……………      25
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ: ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ
4.0 ………………………… ВВЕДЕНИЕ………… ………………. 32
4.2.1    ОТКРЫТАЯ И ЗАКРЫТАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА…………………………………       32
4.3       ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ К СИСТЕМЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ………… 40
4.4        РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОД (РЕДУКЦИЯ РЯДОВ)……………………………………………………………….………… 41

ГЛАВА ПЯТАЯ: РЕЗЮМЕ, ВЫВОДЫ
5.1 РЕЗЮМЕ…………………………………………………………………………..    46
5.2    ВЫВОДЫ………………………………………… ……………….…………. 46

ССЫЛКА

ГЛАВА ОТДЫХ
Общее введение
1.0 Фоны исследования
Чтобы развернуть историю матриц и его применения, влияние матриц в математическом мире распространяется, потому что она обеспечивает ее. важной основой для многих принципов и практик. Важно, чтобы мы сначала определили, что такое матрицы. Таким образом, это определение не является полным и исчерпывающим ответом, а скорее широким определением, свободно охватывающим предмет.
«Матрица» — это латинское слово, обозначающее матку, и оно сохраняет это значение в английском языке. В более общем смысле это может также означать любое место, в котором что-то формируется или производится.

Происхождение математических матриц связано с изучением систем одновременных линейных уравнений. Важный китайский текст между 300 г. до н.э. и 200 г. н.э., девять глав математического искусства, дает первый известный пример использования матричных методов для решения одновременных уравнений. (Лаура Смоллер (2012)) [9]]

В седьмой главе трактата «слишком много и недостаточно» впервые появляется понятие определителя, почти за два месяца до его предполагаемого изобретения японским математиком Сэки Ковой в 1683 году или его немецким современником ГОТФРИДОМ ЛЕЙБНИЦОМ (который также приписывают изобретение дифференциального исчисления отдельно от Исаака Ньютона, но одновременно с ним).

Появляется больше вариантов использования матричных расположений чисел, в которых дается метод решения одновременных уравнений с использованием счетной доски, который математически идентичен современному матричному методу решения, описанному Каром Фридрихом Гауссом (1777-1855), также известным как Устранение Гаусса. (Vitull marie 2012)[17]

Этот проект стремится дать обзор истории матриц и их практического применения, затрагивая различные темы, используемые в соответствии с ним.

Около 4000 лет назад жители Вавилона знали, как решить простую систему линейных уравнений 2X2 с двумя неизвестными. Около 200 г. до н.э. китайцы опубликовали «Девять глав математического искусства», в которых они продемонстрировали способность решать систему уравнений 3X3. (перотти)[13] . Сила и прогресс в Матрицах и их применении не были реализованы до конца 17 века.
Возникновение предмета связано с детерминантами, величинами, связанными с квадратной матрицей, изученной основоположником исчисления Лейбницем в конце 17 века.
Лагранж выступил со своей работой о множителях Лагранжа, способе «охарактеризовать максимумы и минимумы многомерных функций». (Darkwing) Более пятидесяти лет спустя Крамер представил свои идеи решения систем линейных уравнений на основе определителей более чем через 50 лет после Лейбница (Darkwing). Интересно, что Крамер не предоставил доказательства решения системы n x n.
Как упоминалось ранее, работа Гаусса изначально была связана с решением самих линейных уравнений      , но не с матрицами. Для развития матричной алгебры были необходимы правильные обозначения или метод описания процесса. Также жизненно важным для этого процесса было определение матричного умножения и связанных с ним аспектов. «Введение матричных обозначений и изобретение слова «матрица» были мотивированы попытками разработать правильный алгебраический язык для изучения определителей. В 1848 году Дж.Дж. Сильвестр ввел термин «матрица», латинское слово «матка», как название массива чисел. Он использовал чрево, потому что, видите ли, линейная алгебра стала более актуальной с момента появления исчисления, хотя ее основополагающее уравнение ax+b=0 восходит к столетиям.

Эйлер выдвинул идею о том, что система уравнений не обязательно должна иметь решение. Он признал необходимость наложения условий на неизвестные переменные, чтобы найти решение. Первоначальная работа до этого периода в основном касалась концепции уникальных решений и квадратных матриц, в которых количество уравнений соответствовало количеству неизвестных.

В начале 19 века Гаусс ввел процедуру для решения системы линейных уравнений. Его работа касалась в основном линейных уравнений, и ему еще предстояло ввести идею матриц или их обозначений. Его усилия касались уравнений с различными числами и переменными, а также традиционных до-19работы Эйлера, Лейбница и Крамера X века. Работа Гаусса теперь подытожена термином исключение Гаусса. Этот метод использует концепции объединения, замены или умножения строк друг на друга, чтобы исключить переменные из определенных уравнений. После определения переменных учащийся должен использовать обратную замену, чтобы найти оставшиеся неизвестные переменные.

Он рассматривал матрицу как генератор определителей (Tucker, 1993). Другая часть, матричное умножение или матричная алгебра, была взята из работы Артура Кейли в 1855 г.
Кейли определил умножение матриц следующим образом: «матрица коэффициентов для составного преобразования T2T1 есть произведение матрицы для T2, умноженной на матрицу T1» (Tucker, 1993). Его работа, посвященная умножению матриц, завершилась его теоремой Кэли-Гамильтона. Проще говоря, квадратная матрица удовлетворяет. Матрицы в конце 19 века были тесно связаны с проблемами физики, и математики уделяли больше внимания векторам, поскольку они оказались основными математическими элементами. С развитием техники использование методов Кэли, Гаусса, Лейбница, Эйлера и др. определителей и линейной алгебры продвигалось вперед быстрее и эффективнее. Независимо от технологии, метод исключения Гаусса по-прежнему оказывается лучшим из известных способов решения системы линейных уравнений (Tucker, 19).93).

Влияние матриц и их приложений в математическом мире широко распространено, поскольку они обеспечивают важную основу для многих принципов и практик. Матрицы используются для решения систем линейного формата, для нахождения линий наилучшего соответствия методом наименьших квадратов, для прогнозирования будущих результатов или выявления тенденций, для кодирования и декодирования сообщений. Другие более широкие темы, для которых он используется, – это решение вопросов энергии в квантовой механике. Он также используется для создания простых повседневных домашних игр, таких как судоку. Именно из-за этих практических применений Матрицы распространились так далеко и продвинулись вперед. Ключ, однако, состоит в том, чтобы понять, что история линейной алгебры обеспечивает основу для этих приложений.

Хотя линейная алгебра является довольно новым предметом по сравнению с другими математическими практиками, ее применение широко распространено. Усилиями подкованного в расчетах Лейбница была формализована концепция использования систем линейных уравнений для решения неизвестных. Другие усилия таких ученых, как Кейли. Эйлер, Сильвестр и другие превратили матрицы в использование линейной алгебры для их представления. Гаусс применил свою теорию для решения систем уравнений, оказавшихся наиболее эффективной основой для решения неизвестных.
Технологии продолжают продвигать использование все дальше и дальше, но история матриц и их применения продолжает обеспечивать основу. Несмотря на то, что каждые несколько лет компании обновляют свои учебники, основы остаются прежними ^. (Лаура Смоллер (2001) [9].

10003

1000364
. конфиденциальной информации от одного человека к другому или от одной организации к другой с помощью электронных технологий, для решения этой проблемы необходима криптография 9.0003
Также в области экономики в этой исследовательской работе будет обсуждаться, как модель Леонтьева используется для представления экономики в виде системы линейных уравнений для эффективного расчета валового внутреннего продукта и производства товаров.