Реферат по алгебре: Реферат по алгебре на тему «Функции»

Рефераты по математике, готовые и бесплатные

1	Реферат 09 декабря 2002
2	Реферат 23 января 2002
3	Реферат 11 августа 2003
4	Реферат
5	Реферат 23 января 2002
6	Реферат 23 января 2002
7	Реферат 09 декабря 2002
8	Реферат 23 января 2002
9	Реферат 23 января 2002
10	Реферат 23 января 2002
11	Реферат 23 января 2002
12	Реферат 08 декабря 2007
13	Реферат 22 января 2007
14	Реферат
15	Реферат 26 апреля 2007
16	Реферат 23 января 2002
17	Реферат 23 июня 2006
18	Реферат 27 января 2007
19	Реферат
20	Реферат 14 декабря 2002
21	Реферат 19 июня 2006
22	Реферат 03 июня 2013
23	Реферат 10 декабря 1999
24	Реферат 23 января 2002
25	Реферат 23 января 2002
26	Реферат 24 января 2007
27	Реферат
28	Реферат
29	Реферат 29 октября 2006
30	Реферат 23 января 2002
31	Реферат 22 декабря 1998
32	Реферат 23 января 2002
33	Реферат 23 января 2002
34	Реферат 23 января 2007
35	Реферат 09 января 2007
36	Реферат 23 января 2002
37	Реферат
38	Реферат 23 января 2002
39	Реферат 23 января 2002
40	Реферат 21 февраля 2000
41	Реферат 08 октября 2008
42	Реферат 23 января 2002
43	Реферат 23 января 2002
44	Реферат 23 января 2002
45	Реферат 23 января 2002
46	Реферат 12 августа 2003
47	Реферат 23 января 2002
48	Реферат 12 августа 2003
49	Реферат 23 января 2002
50	Реферат 23 января 2002
51	Реферат 23 января 2002
52	Реферат 14 декабря 2002
53	Реферат 19 июня 2006
54	Реферат 23 января 2002
55	Реферат 21 мая 2006
56	Реферат 28 декабря 1999
57	Реферат 13 августа 2003
58	Реферат 23 января 2002
59	Реферат 17 октября 2010
60	Реферат 14 декабря 2002
61	Реферат 14 декабря 2002
62	Реферат 23 января 2002
63	Реферат 13 августа 2003
64	Реферат 23 января 2002
65	Реферат 23 января 2002
66	Реферат 18 июня 2006
67	Реферат 23 января 2002
68	Реферат 23 января 2002
69	Реферат 14 декабря 2002
70	Реферат 23 января 2002
71	Реферат
72	Реферат 14 декабря 2002
73	Реферат 18 сентября 2006
74	Реферат 18 сентября 2006
75	Реферат 24 января 2007
76	Реферат 14 декабря 2002
77	Реферат 23 января 2002
78	Реферат 15 июня 2011
79	Реферат 13 августа 2007
80	Реферат 13 августа 2003
81	Реферат 25 августа 2007
82	Реферат
83	Реферат 23 января 2002
84	Реферат 17 декабря 2002
85	Реферат 17 декабря 2002
86	Реферат 23 января 2002
87	Реферат 12 ноября 2007
88	Реферат 17 декабря 2002
89	Реферат 29 января 2007
90	Реферат 24 января 2007
91	Реферат 23 января 2002
92	Реферат 23 июня 2006
93	Реферат 17 августа 2004
94	Реферат 17 декабря 2002
95	Реферат 24 января 2007
96	Реферат
97	Реферат 18 сентября 2006
98	Реферат 07 июля 2007
99	Реферат 23 января 2002
100	Реферат 19 июня 2006

Основные темы рефератов по математике для студентов

Интересный и познавательный реферат в ВУЗе – это труд студента, открывающий, описывающий мало изученные подробности и данные какого-либо явления. Математика – наука точная, имеющая разделы и направления. В высших учебных заведениях изучается только лишь ее часть, которая важна для той или иной профессии. В зависимости от этого, преподаватели дают узконаправленные темы для рефератов, которые важно изучить студентам.

Получить хорошую оценку по реферату стремится каждый студент. Для этого важно предоставить не только «сухую» теорию, но также определенные статистические данные, формулы с примерами применения, исторические интересные данные. Студенту нужно серьезно отнестись к выполнению этой работы, так как она умножает знание по предмету, помогает структурировать текст и выделять в нем главное.

Темы рефератов по это дисциплине

Темы могут изменяться, в зависимости от учебного плана каждого учебного учреждения. Мы подобрали основные тематики по математике, которые позволяют получить общее представление о науке.

1. История возникновения математики, как комплексной науки.
2. Алгебра и геометрия: связь с другими науками.
3. Начало анализа и алгебра.
4. Интегралы: определение, способы вычисления.
5. Графики элементарных функций.
6. Комплексные и собственные числа.
7. Собственные векторы матрицы.
8. Двойные интегралы. Полярные координаты.
9. Дифференциальные уравнения: запись и вычисление.
10. Поверхности второго порядка, кривые.
11. Линейная зависимость векторов.
12. Применение математических головоломок, игр: примеры.
13. Математический анализ.
14. Полярная система координат: кривые.
15. Цилиндрическая система координат.
16. Сферическая система координат.
17. Системы координат: матрица поворота.
18. Рекомендации доказательства математических теорем.
19. Векторная алгебра: применение на практике.
20. Системы линейных уравнений: определение, применение.
21. Матрицы: определение, практическое применение.
22. Аналитическая геометрия как раздел науки, применение на практике.
23. Производные: вычисление, применение.
24. Математика в выбранной специальности: особенности и проблемы применения.
25. Математическое программирование: значение и практическое применение.
26. Линейные, нелинейные уравнения: понятие, решение.
27. Математическая статистика: концепции, применение.
28. Уравнение переходного процесса.
29. Тройные и кратные интегралы.
30. Смешанные математические задачи в работе.
31. Тригонометрические неравенства: определение, примеры.
32. Аристотель и его вклад в математическую науку.
33. Тригонометрические формулы как раздел математики.
34. Эйлер: значение для науки его разработок.
35. Крамер и Гаусс: краткий обзор разработок, значение для математики.
36. Вклад в развитие математики Маклорена, Коши, Лапласа.
37. Теория вероятности в физике.
38. Математические функции: характеристическая и кумулянтная.
39. Основатели теории вероятности, значение этой теории на практике.
40. Аш-теорема: описание, значение.
41. Доска Гальтона.
42. Монти Холл и его парадокс.
43. Применение метода наименьших квадратов.
44. Криволинейная корреляция.
45. Экстремумы функции многих переменных.
46. Аксиоматический метод.
47. Развитые логика и мышление как результат изучения математики.
48. Новейшие открытия в математике.
49. Статистическое наблюдение и применение обработки, анализа данных.
50. Критерии согласия статистического предположения (гипотезы).
51. Метод Монте-Карло: моделирование случайных величин.
52. Критерий Вилкинсона.
53. Дифференциальные уравнения нескольких порядков методов Эйлера.
54. Однофакторный дисперсионный анализ.
55. Шкала Nom: выборочное распределение.
56. Биометрия и математическая статистика.
57. Методы корреляции, корреляционный анализ.
58. Вариационные ряды и обработка опытов.
59. Стереографическая проекция.
60. Вклад Исаака Ньютона в развитие математики.

Писать о математических понятиях можно очень долго, исследуя труды авторов каждой новой теории. Поэтому преподаватели выбирают темы, наиболее подходящие для специальности студентов. Правила оформления преподаватель определяет при выборе студентом темы реферата.

Заказать реферат по алгебре в Лиде недорого, цена от 10 руб.

Оплатить выбранные товары вы можете следующим способом:

Зарегистрируйтесь. Перейдите в личный кабинет в раздел “Баланс” -> “Пополнить баланс”.

Введите сумму для пополнения и нажмите “Пополнить”.

После нажатия кнопки «Пополнить» вы перейдете на специальную защищенную платежную страницу процессинговой системы bePaid

На платежной странице будет указан номер заказа и сумма платежа. Для оплаты вам необходимо ввести свои карточные данные и подтвердить платеж, нажав кнопку «Оплатить».

Если ваша карта поддерживает технологию 3-D Secure, системой ваш будет предложено пройти стандартную одноминутную процедуру проверки владельца карты на странице вашего банка (банка, который выдал вашу карту).

После оплаты наш менеджер свяжется с вами для уточнения деталей по доставке.

Обращаем ваше внимание, что после проведения платежа на указанный вами электронный адрес придет подтверждение оплаты. Просим вас сохранять данные оплат.

Мы принимаем платежи по следующим банковским картам: Visa, Visa Electron, MasterCard, Maestro, Белкарт.

Платежи по банковским картам осуществляются через систему электронных платежей bePaid. Платежная страница системы bePaid отвечает всем требованиям безопасности передачи данных (PCI DSS Level 1). Все конфиденциальные данные хранятся в зашифрованном виде и максимально устойчивы к взлому. Доступ к авторизационным страницам осуществляется с использованием протокола, обеспечивающего безопасную передачу данных в Интернетe (SSL/TLS).

Возврат денежных средств осуществляется на карту, с которой ранее была произведена оплата. Срок поступления денежных средств на карту от 3 до 30 дней с момента осуществления возврата Продавцом.

*-Алгебры и их применение (Дипломная работа), стр.3

хх* = х₁² + х22 – i(х₂х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А – *-алгебра без единицы, а А΄ – алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1)*

Доказательство.

Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1х = хх^-1 = е,

получим х*(х^-1)*= (х*)^-1х*=е.

Но это означает, что (х^-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА₁ следует, что х*А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1. 5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1В.

Определение 1.6. Элемент хА – *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y*)^-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1)*)^-1= ((х*)^-1)^-1 = х^-1, то х^-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

1. I ≠ A;

2. Из х, yI следует x + y I;

3. Из хI, а αА следует α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁ становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

7 класс доклад/реферат о «истории происхождения алгебры»

Ответ:

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[10].

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. {3}+ax+b=0. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений[14].

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].

реферат геометрия – Содержание: Введение. С. Возникновение и понятие функции в древнем мире. С.

Содержание:

• Введение. С.
• Возникновение и понятие функции в древнем мире. С.
• Возникновение и понятие функции в древнем Египте. С.
• Возникновение и понятие функции в Вавилоне. С.
• Графическое изображение зависимостей, а также история возникновения. С.
• Вклад в развитие графиков функций Рене Декарта. С.
• Графическое решение линейных уравнений. С.
• Алгоритм построения графика функций. С.
• Заключение. С.
• Список источников. С.

Цель.

I.Узнать, как решаются графические методы решения уравнений и неравенств. II.Рассмотреть разные способы решений уравнений и неравенств.

Введение.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Возникновение и понятие функции в древнем мире.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

Графическое изображение зависимостей, а также история возникновения.

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты ученые прибегли не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере "научных дискуссий" не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края". Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных. Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств. Идеи Оресма на много обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

Вклад в развитие графиков функций Рене Декарта.

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического языка, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциями над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо, установленным правилам делать алгебраические преобразования, причем все эти преобразования производились в общем виде. Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций – неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии. График является опорным образом при усвоении значительного числа функциональных понятий. Идея функциональной зависимости, формируемая в курсе алгебры, является основополагающей для понимания реальных процессов и явлений, рассматриваемых в смежных дисциплинах. Так, например, при изучении равноускоренного движения используется сведения о линейной функции, при изучении электричества – сведения о прямой и обратной пропорциональности.

Алгоритм построения графика функции.

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f(x+m),

у = f(x)+l и у = f(x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на│m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на│l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y. Графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, а все известные – в другую. Так находится корень.

Гра фи че ски ре шить урав не ние:

Решение:

Построим графики функций.

Графиком функции является парабола, проходящая через

точки

График функции – прямая, построим её по таблице.

0 3 0

Графики пересекаются в точке Других точек пересечения нет, т.к.

функция монотонно возрастает, функция монотонно убыва- ет, а, значит, их точка пересечения является единственной.

Ответ:

Графически решить квадратное уравнение

x 2 – 2x – 3 = 0

перенесем все слагаемые, кроме x 2 в правую часть уравнения

x 2 = 2x + 3;

введем переменную y:

x 2 = y = 2x + 3;

построим графики полученных функций.

Ре шить нера вен ство.

a.

b.

Решение:

a. Чтобы выполнялось неравенство, график функции должен распола-

гаться над прямой (Рис. 1). Это выполняется при

b. В этом случае, наоборот, парабола должна находиться под прямой.

Это выполняется при

a.

b.

Ре шить нера вен ство

Решение:

Построим графики функций.

Найдем корень уравнения

При нет решений.

При существует одно решение.

Чтобы выполнялось неравенство гипербола должна распо-

лагаться над прямой

Это выполняется при.

Ответ:

Ре шить гра фи че ски нера вен ство:

a.

b.

Решение.

Область определения:

Построим графики функций для (Рис. 3).

Математика в профессии повара. Не стоит недооценивать эту профессию. Повар – это не просто человек, который может быстро сделать суши или пельмени (в зависимости от запроса). Он творец, способный из кучки самых простых продуктов создать шедевр, при этом учтя все погрешности и характер изменения пищи в процессе термообработки. Итак, некоторые из его обязанностей:  Калькуляция блюда. Проще говоря, расписанный до грамма рецепт. Привычный метод "на глазок" в подобных случаях не действует: все позиции задокументированы и заверены. Это необходимо для ведения финансовой части точки общепита.  Учет потери веса продуктов в процессе обработки. Например, 250 грамм говядины и 250 грамм готового стейка – это разные вещи, так как при обжарке мясо теряет процент веса. Причем в зависимости от влажности продукта и срока/вида термообработки потеря веса меняется. Таким образом, математика в профессии повара играет первую скрипку наравне с практическими умениями.  Подсчет продуктов и порций, необходимых для банкета, в зависимости от того, какое количество гостей планируется. Данное число должно включать в себя все риски и погрешности, дабы посередине мероприятия не возникло неприятных сюрпризов. Вывод пропорций, основанный на сиюминутных потребностях заведения. Исходит из таких показателей, как количество посадочных мест, предполагаемая интенсивность посещаемости плюс небольшой форс-мажор. Все это направлено на то, чтобы избежать или минимизировать порчу продуктов, закупаемых ежедневно. Ведь рыба бывает лишь первой свежести, по версии Булгакова. Задаваясь вопросом, какую роль играет математика в нашей будущей профессии, мы должны понимать, что она будет везде, куда бы мы ни

ступили. Самостоятельно или же в симбиозе с другими науками она образует фундамент для новых свершений.

Спи сок источников:

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учрежде- ний.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразо- вательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феокти- стов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся об- щеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Список ссылок на Интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Математическая школа. Рефераты по математике бесплатно

Рефераты по математике (рефераты школьникам и студентам) Еще рефераты студентам и рефераты школьникам: Конкурсы Яндекса: Это интересно: Высказывания великих людей о математике Философский аспект в математике История математики Альфред Нобель Бытует мнение, что Альфред Нобель не включил математику в список дисциплин своей премии из-за того, что его жена изменила ему с математиком. На самом деле Нобель никогда не был женат. Настоящая причина игнорирования математики Нобелем неизвестна, но есть несколько предположений. Например, на тот момент уже существовала премия по математике от шведского короля. Другое — математики не делают важных изобретений для человечества, так как эта наука имеет чисто теоретический характер. Число Пи У числа Пи есть два неофициальных праздника. Первый — 14 марта, потому что этот день в Америке записывается как 3.14. Второй — 22 июля, которое в европейском формате записывается 22/7, а значение такой дроби является достаточно популярным приближённым значением числа Пи. Притча Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Исаак  Ньютон 4 января 1643 — 31 марта 1727 Английский математик, астроном, физик, механик, заложивший основы классической механики, он объяснил движение небесных тел – планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли. Самым известным его открытием был закон всемирного тяготения Рене Декарт Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ (ныне Декарт), департамент Эндр и Луара, Франция. В математике Декарт первым ввел в 1637 году понятие переменной величины и функции, заложил основы аналитической геометрии Омар Хайям – (полное имя) Гияс ад-дин Фатх ибн Ибрахим Омар Хайям Нишапури – Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami (анг.) Список математических трактатов Омара Хайяма: Трудности арифметики (Мушкилат ал-хисаб) – Местонахождение рукописи не найдено; Алгебраический трактат без названия – Тегеран; Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (Рисала фи-л-барахин ‘ала маса’ил алджабр ва-л-мукабала) – Париж, Лейден, Лондон, Нью-Йорк, Рим; Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис) – Лейден  Софья Ковалевская Софья Ковалевская познакомилась с математикой в раннем детстве, когда на её комнату не хватило обоев, вместо которых были наклеены листы с лекциями Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении. Джордж Данциг Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалосьему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две “нерешаемые” проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные. Абрахам де Муавр Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возросте однажды обноружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов – 27ноября 1754 года. В этот день он и умер! Архимед Он был задумчив и спокоен, Загадкой круга увлечен… Чертил мыслитель с вдохновеньем, Сдавил лишь сердце тяжкий груз. И думал Архимед: «Поникну ль          Я головой на смех врагу?» Рукою твердой взял он циркуль — Провел последнюю дугу. Пифагор Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем.

Абстрактная алгебра | Блестящая вики по математике и науке

Основная статья: Теория групп Возможные ходы кубика Рубика образуют (очень большую) группу. Теория групп полезна как абстрактное понятие симметрии, что делает ее применимой к широкому кругу областей: яркими примерами являются взаимосвязь между корнями многочлена (как в теории Галуа) и методы решения кубика Рубика.

Неформально, группа – это набор, снабженный бинарной операцией \ circ∘, так что работа с любыми двумя элементами группы также дает элемент группы.Например, целые числа образуют группу при сложении, а ненулевые действительные числа образуют группу при умножении. Операция ∘ \ circ∘ должна удовлетворять ряду свойств, аналогичных тем, которым она удовлетворяет для этих “нормальных” систем счисления: она должна быть ассоциативной (что по сути означает, что порядок операций не имеет значения), и там должен быть элементом идентификатора (0 в первом примере выше и 1 во втором). Более формально группа – это множество, снабженное операцией ⋅ \ cdot⋅, для которой выполняются следующие аксиомы; обратите внимание, что ⋅ \ cdot⋅ не обязательно относится к умножению; скорее, его следует рассматривать как функцию от двух переменных (действительно, ⋅ \ cdot⋅ может даже относиться к сложению):

Групповые аксиомы

1) Ассоциативность. Для любых x, y, z∈Gx, y, z \ в G x, y, z∈G имеем (x⋅y) ⋅z = x⋅ (y⋅z) (x \ cdot y) \ cdot z = х \ cdot (y \ cdot z) (x⋅y) ⋅z = x⋅ (y⋅z).
2) Идентичность. Существует e∈G e \ в G e∈G такое, что e⋅x = x⋅e = xe \ cdot x = x \ cdot e = xe⋅x = x⋅e = x для любого x∈Gx \ в G x∈G. Мы говорим, что eee – это тождественный элемент GGG.
3) Обратный. Для любого x∈Gx \ в Gx∈G существует ay∈Gy \ в Gy∈G такое, что x⋅y = e = y⋅xx \ cdot y = e = y \ cdot xx⋅y = e = y⋅ Икс. Мы говорим, что yyy является обратным xxx.

Также стоит отметить аксиому замыкания для акцента, так как важно проверять замыкание при работе с подгруппами (группы, полностью содержащиеся внутри другой):

4) Закрытие. Для любых x, y∈Gx, y \ в G x, y∈G, x ∗ yx * y x ∗ y также находится в GGG.

Дополнительные примеры групп включают

• Zn \ mathbb {Z} _nZn, набор целых чисел {0,1,…, n − 1} \ {0, 1, \ ldots, n-1 \} {0,1,…, n − 1 } с добавлением операции по модулю nnn
• SnS_nSn, набор перестановок {1,2,…, n} \ {1, 2, \ ldots, n \} {1,2,…, n} с операцией композиции. *, \ cdot) (R ∗, ⋅).

  Большая часть теории групп (и абстрактной алгебры в целом) сосредоточена вокруг концепции гомоморфизма групп , что по существу означает отображение одной группы в другую, сохраняющее структуру группы. Другими словами, отображение произведения двух элементов должно быть таким же, как произведение двух отображений; интуитивно говоря, произведение двух элементов не должно изменяться при отображении. Формально гомоморфизм – это функция ϕ: G → H \ phi: G \ rightarrow Hϕ: G → H такая, что

  ϕ (g1) ⋅Hϕ (g2) = ϕ (g1⋅Gg2), \ phi (g_1) \ cdot_H \ phi (g_2) = \ phi (g_1 \ cdot_G g_2), ϕ (g1) ⋅H ϕ ( g2) = ϕ (g1 ⋅G g2),

  , где ⋅H \ cdot_H⋅H – операция над HHH, а ⋅G \ cdot_G⋅G – операция над GGG.{*}, \ cdot) (R ∗, ⋅).

  Решение будущего с помощью абстрактной алгебры

  Ральф Шиффлер, доцент математики, размышляет над уравнением. (Шон Флинн / UConn Photo)

  Спросите людей, что они знают о границах математических исследований, и ответ, вероятно, будет вариативным: «Что есть в research о математике?»

  «Я думаю, что это результат того, как мы преподаем математику», – говорит Джереми Тейтельбаум, декан Колледжа свободных искусств и наук и профессор математики.«Математическое образование большинства людей заканчивается вещами, которые известны уже 2000 лет».

  Даже студенты университетов, желающие получить ученую степень в таких областях, как физика или инженерия, вероятно, закончат свое обучение с помощью дифференциальных уравнений или векторного исчисления, областей, которые были полностью разработаны и поняты к XIX веку. Математика кажется многим людям как совокупность знаний, которые одновременно статичны и полны, особенно американцам, которые (как указывается в недавней статье New York Times) являются одними из самых невежественных в математике людей в развитом мире.

  Тем не менее, математика очень жива, настаивает Тейтельбаум, и есть несколько очень простых явлений, таких как механика жидкости, которые на сегодняшний день не поддаются точному математическому описанию. «Если вы посмотрите на прибойную волну на пляже или поток воздуха над крылом самолета, у нас нет детального теоретического понимания этих вещей», – говорит он.

  Итак, на факультетах математики университетов по всему миру такие исследователи, как Ральф Шиффлер из Университета Конна, расширяют границы области. Шиффлер, чьи длинные волосы и внушительный тевтонский лоб делают его более похожим на спид-метал-гитариста, чем на профессора колледжа, вскоре опубликует статью в одном из ведущих мировых математических журналов Annals of Mathematics.

  Статья «Положительность кластерных алгебр» доказывает гипотезу, которая была впервые предложена более десяти лет назад, что по стандартам математики является довольно быстрым поворотом. «Это очень ново», – говорит Шиффлер, полушутя. «В математике все, что моложе 50 лет, является новым».

  Шиффлер показывает на протяжении более 30 страниц, казалось бы, непонятных уравнений, что все коэффициенты полиномов Лорана, которые представляют переменные кластера, которые видоизменяются для создания кластерных алгебр, являются положительными.

  Если вам это кажется греческим, вы не одиноки.

  «Это довольно технический результат, – говорит Тейтельбаум, – и это большое дело, даже если оно может показаться загадочным. « Annals – самый важный математический журнал в мире», – добавляет он. «Для математика признание своей работы означает, что он решил серьезную проблему в этой области».

  В настоящее время эта проблема носит чисто теоретический характер. Работа Шиффлера посвящена абстрактной алгебре, разделу математики, изучающему природу алгебраических структур.В то время как большинство математиков использует числа и уравнения для представления таких вещей, как доходность инвестиций или движение объекта в пространстве, абстрактная алгебра исследует новые системы уравнений. Эти уравнения не используются для представления чего-либо в реальном мире, но, тем не менее, они интересны математикам, которые, как и все исследователи, постоянно расширяют границы того, что известно.

  Недавний математический прорыв Шиффлера в настоящее время не имеет практического применения.Но, судя по истории таких достижений, в будущем он может решить проблемы, которые еще не были выявлены. (Шон Флинн / UConn Photo)

  «Математика всегда заключалась в поиске и использовании новой математики», – говорит Шиффлер. «Я был бы в восторге от реальных приложений, но не думаю, что мы дошли до этого».

  Не волнуйтесь, – говорит Тейтельбаум. Изобретать абстрактную математику – это все равно что построить дом, хотя сразу в нем жить никто не собирается. Возможно, сейчас он нам ни для чего не понадобится, но, скорее всего, он окажется полезным… когда-нибудь.

  История на стороне Тейтельбаума. По крайней мере, за несколько сотен лет успехи в математике предшествовали огромным скачкам в физике, технике и других областях науки. Новаторская физика, созданная Максвеллом в 19 веке, была бы невозможна без математики 18 века, выполненной Лапласом; а математика Римана 19-го века позволила физике 20-го века, созданной Эйнштейном. «Человеческое любопытство ведет нас в определенном направлении, – говорит Тейтельбаум, – и позже оно пригодится.Даже если на это уйдет 100 лет ».

  Тем временем такие исследователи, как Шиффлер, трудятся, выполняя работу, которая может быть удалена на несколько поколений от поиска приложения, часто используя те же простые инструменты, которые математики использовали на протяжении тысячелетий. «Это просто бумага», – говорит Шиффлер, объясняя, что он и его соавтор потратили несколько лет, пересылая черновики рукописи друг другу, время от времени собираясь вместе, чтобы поболтать через Skype.

  В этой области не используются какие-либо причудливые инструменты стоимостью в миллиард долларов, которые можно найти во многих других областях науки.Он полагается на карандаши, бумагу, а также на усердие и изобретательность небольшого числа очень преданных своему делу исследователей. В этом процессе есть что-то элементарное, что-то вневременное. Шиффлер, кажется, предпочитает этот путь и чувствует себя как дома в абстрактном, почти аскетическом мире математики.

  Я спросил Шиффлера, как он выбрал карьеру математика, и он некоторое время размышлял над этим вопросом, прежде чем решил, что это в значительной степени процесс исключения. Он пробовал другие области науки, включая астрономию и биологию, но обнаружил, что ему не нравятся бесконечные периоды ожидания, чтобы сделать наблюдения.Он даже ненадолго задумался о том, чтобы получить ученую степень в области философии, он говорит: «Но вы посмотрите, что вы можете с этим делать потом?»

  «Вы могли бы быть профессором», – заметил я.

  Он засмеялся.

  «Я не думал об этом», – сказал он, но по выражению его лица было ясно, что он совершенно счастлив там, где находится.

  границ | Развитие абстрактных математических рассуждений: случай алгебры

  Введение

  Национальный совет учителей математики США определяет алгебру как «способ мышления и набор концепций и навыков, которые позволяют учащимся обобщать, моделировать и анализировать математические ситуации» (Национальный совет учителей математики [NCTM], 2008) .Это поле включает в себя широкий спектр тем, начиная от решения элементарных линейных уравнений до более абстрактных тем, таких как моделирование заданной контекстной информации путем формулирования сложных алгебраических выражений. Алгебра обычно является первой областью школьной математики, которая поощряет абстрактное мышление учащихся. Путем перехода от конкретной арифметики к символическому языку алгебры учащиеся развивают абстрактные математические познания, необходимые для их дальнейшего продвижения в математике и естественных науках.Учитывая, что понимание фундаментальных концепций алгебры и приобретение необходимых навыков для решения задач алгебры требует определенной степени предварительных знаний и абстрактного мышления, алгебру обычно вводят в школах после развития арифметических рассуждений в качестве ее обобщения, обычно примерно в возрасте 12 лет. Это также примерно тот возраст, в котором, согласно теории когнитивного развития Пиаже, оказавшей далеко идущее влияние как на теорию, так и на практику в образовании, происходит качественное изменение когнитивного развития детей (Piaget, 1976).В частности, это возраст, в котором большинство детей переходит от конкретной операционной стадии к формальной операционной стадии (Inhelder, Piaget, 1958; Piaget, 1972). В это время дети переходят от логических рассуждений с конкретными примерами к абстрактным и становятся способными рассматривать только логические отношения между различными элементами, игнорируя их конкретное содержание. Таким образом, этот переход от конкретной стадии к формальной операционной представляет собой основу для их дальнейшего обучения.Однако многие исследования показали, что у большинства подростков этого возраста формальное мышление не развито (Lawson, 1985). Следовательно, многочисленные абстрактные концепции в учебных программах по математике и естествознанию слишком требовательны для большинства студентов, которые остаются конкретными практическими мыслителями (Лоусон и Реннер, 1975). Поэтому было предложено отложить обучение абстрактным понятиям до тех пор, пока созревание мозга не позволит перейти к этапу формальной операции. В частности, за последние два десятилетия исследования изображений мозга предоставили новые доказательства того, что подростковый возраст представляет собой период непрерывного нервного развития (Blakemore, 2012), который может длиться дольше, чем предполагает теория Пиаже.В частности, изменения созревания в некоторых областях мозга, участвующих в абстрактных математических рассуждениях, таких как префронтальная кора, могут длиться до позднего подросткового возраста (Giedd and Rapoport, 2010). Образовательные исследования подтверждают, что некоторые тесты активности префронтальной доли сильно коррелируют со способностью научного мышления и способностью отвергать научные заблуждения и принимать правильные идеи (Kwon and Lawson, 2000). Кажется, что дети вряд ли могут приобрести какие-то абстрактные навыки рассуждений до определенного возраста.

  В соответствии с аргументами, предполагающими, что понимание концепций алгебры может быть трудным для детей в начальной школе, исследования показали, что ученики действительно часто сталкиваются с трудностями при переходе от арифметики к алгебраической форме рассуждений (Kieran, 2004). Несмотря на эти результаты, многие исследователи выступают за более раннее введение алгебры в учебные программы по математике (например, Carraher et al., 2006; Warren et al., 2006). Согласно этим предложениям, развитие алгебраических навыков и ознакомление студентов с более сложными абстрактными задачами поможет улучшить их абстрактные рассуждения, облегчая тем самым переход между когнитивными фазами.Это можно делать постепенно, что соответствует современным учебным программам по математике, которые постепенно вводят элементы алгебраического мышления в начальных классах, прежде чем формально вводить алгебру в более поздних классах (Национальный совет учителей математики [NCTM], 2000). Например, с момента внедрения национальной учебной программы в Англии алгебра преподается раньше, чем 30 лет назад. Однако это изменение практики не принесло особой пользы, поскольку недавнее крупномасштабное исследование показало, что нынешняя успеваемость по алгебре в целом сопоставима с показателями студентов 30 лет назад (Hodgen et al., 2010). Кажется, что раннее начало обучения алгебре дает учащимся первоначальное преимущество, которое, по-видимому, не сохраняется в более позднем возрасте. В целом, несмотря на многочисленные попытки решить проблемы учащихся с формальными математическими рассуждениями, кажется, что сделано мало (Hodgen et al., 2010).

  Более всеобъемлющая оценка успехов учащихся и трудностей в овладении фундаментальными понятиями алгебры представлена ​​крупными международными исследованиями, такими как PISA (Программа международной оценки учащихся) и TIMSS (Тенденции в международных исследованиях математики и естествознания), которые дают представление о качестве и эффективность школьных систем во многих странах.Результаты тестирования PISA, проведенного в 2012 году с особым акцентом на математику, показывают, что учащиеся из наиболее успешных стран «чаще знакомятся с формальной математикой, чем учащиеся в большинстве других стран и экономик, участвующих в PISA» (Organization for Economic Co -Эксплуатация и развитие [OECD], 2013, стр. 148). Кроме того, данные показывают, что «знакомство с более сложным математическим содержанием, таким как алгебра и геометрия, по-видимому, связано с высокими показателями математической оценки PISA, даже если причинный характер этой связи не может быть установлен» (Организация экономического сотрудничества -Эксплуатация и развитие [ОЭСР], 2013, с.148). Эти результаты указывают на решающую роль алгебры в развитии абстрактных математических рассуждений.

  Однако, обсуждая усвоение основных понятий алгебры, важно подчеркнуть, что они представляют собой обширную часть школьной математики. Как упоминалось ранее, на своем фундаментальном уровне алгебра включает решение простых алгебраических уравнений, которые были в центре внимания настоящего исследования. Эти уравнения были выбраны потому, что перестановка уравнений представляет собой очень важный навык, необходимый для решения задач по многим школьным предметам.В рамках различных программ обучения часто предполагается, что, когда учащиеся научатся решать простые уравнения, такие как, например, они могут решать такие уравнения для любых неизвестных. Это означало бы, что они могут решать эквивалентные простые уравнения, содержащие как числа, буквы или другие символы. Однако учителя физики и химии знают, что учащиеся борются с перестановкой уравнений, особенно с уравнениями, состоящими из всех символов. Кюхеманн (1981) сообщил, что большинство учеников в возрасте до 15 лет не могут интерпретировать алгебраические буквы (символы) как неизвестные или обобщенные числа, чего можно было бы ожидать от формальных мыслителей-операционистов.Вместо этого они по-прежнему используют конкретные операционные стратегии при решении таких уравнений, например, игнорируя буквы или заменяя их числовыми значениями. Эта неэквивалентная трактовка сравнимых в остальном уравнений представляет собой лишь один пример неспособности учащихся применить усвоенный принцип решения уравнений к различным экземплярам одного и того же формата уравнения. Учитывая такие несоответствия, разные исследователи математического образования классифицируют уравнения по-разному. Например, Usiskin (1988) классифицирует «уравнения с буквами», используемые в школьной алгебре, как формулу ( A = LW ), уравнение для решения (5 x = 40), тождество (sin x = cos x tan x ), свойство [1 = n (l / n )] или функция ( y = kx ).В рамках этой, а также других классификаций важно подчеркнуть, что разные типы уравнений по-разному воспринимаются не только студентами, но и математиками в зависимости от различных способов использования идеи переменной (Chazan and Yerushalmy, 2003).

  Основываясь на этих различиях, а также на практической значимости этой темы, настоящее исследование было направлено на изучение траектории развития способности учащихся решать простые алгебраические уравнения. Основываясь на классификации Usiskin (1988), для решения были выбраны только формулы и уравнения, т.е.е., мы использовали эквивалентные трехчленные уравнения с числами или буквами. В исследовании приняли участие учащиеся начальной и средней школы, которых учили перестановке уравнений в математике по крайней мере за год до тестирования. Кроме того, они использовали формулы в других школьных предметах, таких как физика и химия. Однако мы выдвинули гипотезу, что, несмотря на многократное знакомство с простыми алгебраическими уравнениями и практику с ними, некоторым учащимся всех классов все равно будет сложно их переупорядочить, особенно если уравнения содержат только символы (буквы).Кроме того, нас интересовали стратегии студентов по решению «все-символьных» уравнений. Исходя из нашего опыта и предыдущих исследований (Susac et al., 2014, пересматривается), мы предположили, что многие студенты используют очень конкретные стратегии, такие как вставка чисел, потому что им требуется время, чтобы принять формальный алгебраический образ мышления. Следовательно, в настоящем исследовании мы исследовали возраст, в котором действительно происходит переход от рассуждений, основанных на конкретных числах, к более абстрактным алгебраическим рассуждениям.

  Материалы и методы

  Участников

  В настоящем исследовании участвовал 331 ученик из пяти начальных и четырех средних государственных школ Загреба. Что касается учеников начальной школы, то все государственные начальные школы в Хорватии имеют одинаковую учебную программу, поэтому их ученики имеют сопоставимый опыт обучения алгебре. Что касается общеобразовательных школ, мы протестировали учащихся двух гимназий (общеобразовательные школы и школы с иностранным языком обучения) и двух средних технических школ.Эти школы были выбраны для представления среднего школьного населения Загреба, которое в основном готовится к учебе в университете. В частности, выпускники двух гимназий, включенных в настоящее исследование, обычно продолжают свое образование в университете, как правило, изучая нематематические или связанные с естественными науками специальности. Для сравнения, выпускники техникумов, прошедших тестирование, часто продолжают свое образование по техническим специальностям. Учащиеся гимназий, специализирующихся на естественных и математических науках, в это исследование не включались.

  В настоящем исследовании участвовали учащиеся от седьмого класса начальной школы (возраст 13–14 лет) до второго класса средней школы (возраст 16–17 лет). Таким образом, в нашу выборку вошли учащиеся четырех возрастных групп, т.е. разных классов школы: 7 и 8 классов начальной школы, 1 и 2 классов средней школы. Учитывая, что в хорватских школах перестановка уравнений преподается в конце шестого класса начальной школы, что примерно соответствует возрасту учащихся от 12 до 13 лет, все наши участники обучались тому, как решать задачу, использованную в исследовании, по крайней мере, в течение одного года. до этого измерения.Количество протестированных девочек и мальчиков в каждом классе показано в Таблице 1.

  ТАБЛИЦА 1. Количество учеников по возрасту и полу.

  Исследование было одобрено этическим комитетом Министерства науки, образования и спорта, а также директорами школ. Родители каждого ученика дали информированное письменное согласие до того, как ребенок принял участие в эксперименте.

  Материалы

  Прогрессивные матрицы Равена использовались для оценки общих когнитивных способностей (Raven, 1941, 1999).Также проводился тест внимания d2 (Brickenkamp, ​​1962, 1999), но данные не анализировались в настоящем исследовании.

  Компьютерный тест перестановки уравнений был подготовлен с использованием E-Prime (Psychology Software Tools Inc., Питтсбург, Пенсильвания, США). В каждом испытании простые уравнения, состоящие из трех элементов (цифр или букв), были представлены в центре поля зрения. Представленные цифры и буквы были черными, отображались шрифтом Ariel размером 24 пт на белом фоне.Задача участников заключалась в том, чтобы сделать x предметом уравнения. Одновременно с уравнением под уравнением был представлен потенциально правильный или неправильный ответ. Участников попросили решить, был ли предложенный ответ правильным или неправильным.

  В исследовании использовались уравнения трех типов:

  Уравнения A: x ⋅ a = b,

  Уравнения B: xa = b,

  Уравнения C: ax = b.

  Предлагаемые ответы были следующих типов: x ⋅ a = b, xa = b и ax = b.Во всех представленных уравнениях a и b обозначают разные буквы и цифры, которые все с одинаковой вероятностью появлялись во время эксперимента.

  Процедура

  Участники были протестированы в течение двух школьных периодов (продолжительностью 45 минут). В течение одного школьного периода ученикам в классах предлагались прогрессивные матрицы Raven и d2 Test of Attention. В тот же или другой день студенты решили компьютеризированный тест на перестановку уравнений и заполнили анкету после измерения в компьютерной лаборатории.

  Перед проведением теста на перестановку уравнений участники были ознакомлены с заданием. Им было предложено ответить как можно быстрее, нажав одну из двух кнопок мыши указательным и средним пальцами, что соответствует правильному и неправильному ответам соответственно. Перед экспериментом участники выполнили обучающий блок, состоящий из 6 уравнений, эквивалентных тем, которые использовались в последующих экспериментальных испытаниях.

  Во время как практических, так и экспериментальных испытаний каждое уравнение представлялось до тех пор, пока участник не ответил, максимум до 30 секунд.Если участник не отвечал в течение 30 секунд, уравнение исчезало с экрана, и оставалось еще 30 секунд, чтобы дать ответ. Однако эти поздние ответы (<0,1% от всех испытаний) не были включены в анализ. После каждого ответа с задержкой в ​​1 с представлялось следующее уравнение. Время реакции (RT) автоматически измерялось компьютером от начала стимула до реакции участника. Отзывов участникам не было.

  В ходе эксперимента участникам были представлены три ранее описанных типа уравнений, которые были рандомизированы по четырем блокам.Каждый блок состоял из 15 уравнений каждого типа, что в сумме составляло 45 представленных уравнений на блок. Два блока содержали уравнения с числами, а два других блока содержали уравнения с буквами (символами). Уравнения в первом и третьем блоках содержали числа, а во втором и четвертом блоках – буквы. При необходимости участники могли делать перерывы между блоками.

  После завершения компьютеризированного теста участники заполнили анкету, предназначенную для оценки их стратегий во время решения уравнений.Отвечая на эти анкеты, участники описали, как они решали каждый тип уравнения, и ранжировали их по сложности. Кроме того, они указали, зависел ли их ответ от типа предложенных ответов, и изменили ли они свои стратегии решения проблем в ходе эксперимента.

  Анализ данных

  Для каждого участника и каждого условия оценивались время реакции и точность. Только правильные ответы были включены в анализ RT.Обратная эффективность также рассчитывалась как отношение времени реакции и точности (Townsend and Ashby, 1978). Более низкие значения этого показателя указывают на более высокую эффективность решения конкретной задачи. Обратная эффективность используется для учета компромиссов между скоростью и точностью, и мы использовали ее как меру сложности задачи.

  Чтобы определить влияние возраста, пола, уровня абстракции, повторений и типа уравнения, был проведен двухфакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (ANOVA) на точность и RT.Повторные измерения post hoc тестов с использованием поправки Бонферрони использовались для дальнейшей оценки различий между различными состояниями. Кроме того, был рассчитан частный коэффициент корреляции, чтобы определить связь между когнитивными способностями участников и их эффективностью при перестановке уравнений. Порог p <0,05 использовался для определения уровня значимости эффекта.

  Чтобы оценить стратегии участников при решении уравнений, мы проанализировали их ответы в анкете post hoc , используя общий индуктивный подход (Thomas, 2003) и описательные статистические процедуры.Описание каждым участником того, как он / она решал каждый тип уравнения, было разделено на категории. Следовательно, разные категории отражают разные стратегии решения уравнений учащимися, некоторые из которых были правильными, а некоторые – неправильными. Некоторые участники использовали более одной стратегии и, соответственно, были отнесены к двум или более категориям. Чтобы упростить сравнение используемых стратегий в зависимости от возраста участников, все стратегии были разделены на конкретные и основанные на правилах (более абстрактные) группы. Каждый участник был отнесен к конкретной, основанной на правилах или смешанной (конкретной и основанной на правилах) группе.Мы также оценили мнения студентов о сложности типа уравнения на основе их рангов, представленных в анкете.

  Результаты

  Эффективность решения уравнений

  Возрастные и гендерные эффекты

  Двусторонний дисперсионный анализ с факторами возраста (7-й против 8-го, 1-го против 2-го классов) и пола (мужской и женский) был проведен для сравнения средней точности и RT. Полученные результаты по точности указывают на статистически значимый основной эффект Возраст [ F (3,323) = 9,43, p <0.001, ηp2 = 0,081] и Пол [ F (1,323) = 6,40, p <0,05, ηp2 = 0,019], в то время как эффект взаимодействия не был значимым [ F (3,323) = 1,45, p> 0,05, ηp2 = 0,013]. На рисунке 1A показано, что точность возрастает с возрастом участников. В среднем девочки были более точными, чем мальчики, а участники 7-го класса начальной школы были менее точными, чем ученики 1-го и 2-го классов средней школы, в то время как ученики 8-го класса были менее точными, чем ученики 2-го класса. класс средней школы.

  РИСУНОК 1. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы, отдельно для мальчиков и девочек. женщины-участницы. Планки погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.

  Соответствующее сравнение RT выявило статистически значимый основной эффект возраста [ F (3,322) = 12,91, p <0,001, ηp2 = 0.107] и эффект взаимодействия [ F (3,322) = 4,14, p <0,01, ηp2 = 0,037]. Основной эффект гендера не был статистически значимым для RT [ F (1,322) = 0,09, p > 0,05, ηp2 <0,0001]. Средние RT уменьшались с возрастом участников (Рисунок 1B). Мальчики быстрее решали уравнения в первом классе средней школы, а девочки - во втором классе.

  Эффекты возраста и уровня абстракции

  Чтобы проверить разницу между точностью участников и RT при решении уравнений с числами и буквами для разного возраста, мы использовали двусторонний дисперсионный анализ смешанного дизайна с межсубъектным фактором возраста (7-е место по сравнению с возрастом).8-й против 1-го против 2-го классов) и фактор внутрипредметного уровня абстракции (числа против букв). Что касается точности, статистически значимые основные эффекты возраста [ F (3,327) = 8,37, p <0,001, ηp2 = 0,071] и уровня абстракции [ F (1,327) = 47,17, p <0,001 , ηp2 = 0,126], а также эффект взаимодействия [ F (3,327) = 4,89, p <0,01, ηp2 = 0,043]. Участники были более точны в уравнениях с числами, но только в начальной школе и в первом классе средней школы (Рисунок 2A).Во 2-м классе общеобразовательной школы не было статистически значимой разницы в точности решения уравнений с цифрами и буквами.

  РИСУНОК 2. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для уравнений с числами и уравнениями с буквами. Планки погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.

  Для RT результаты выявили статистически значимое основное влияние обоих факторов: Возраст [ F (3,326) = 11.68, p <0,001, ηp2 = 0,097] и уровень абстракции [ F (1,326) = 4,45, p <0,05, ηp2 = 0,013], в то время как взаимодействие не было значимым [ F (3,326) = 0,61, p > 0,05, ηp2 = 0,006]. RT умерли с возрастом, участники 2-го класса средней школы были быстрее всех, а ученики 1-го класса средней школы были быстрее, чем ученики 8-го класса. Аналогичная картина присутствует в данных RT, как и в данных о точности; различия между уравнениями с цифрами и буквами уменьшались с возрастом участников (рис. 2B).

  Влияние возраста и типа уравнения

  Мы использовали двусторонний дисперсионный анализ смешанного дизайна с межгрупповым фактором возраста (7-й против 8-го против 1-го против 2-го классов) и внутрисубъектным фактором Тип уравнения (уравнение A против B против C) для проверки различия между точностью участников и RT для разных типов уравнений в разном возрасте. Для точности важны основные эффекты возраста [ F (3,327) = 8,37, p <0,001, ηp2 = 0,071] и типа уравнения [ F (2,654) = 66.59, p <0,001, ηp2 = 0,169], а также их взаимодействие [ F (6,654) = 2,53, p <0,05, ηp2 = 0,023]. Все участники были менее точны по уравнениям C по сравнению с уравнениями A и B, в то время как участники 1-го класса средней школы были менее точны по B по сравнению с уравнениями A (рис. 3A).

  РИСУНОК 3. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы, отдельно для разных типы уравнений (уравнения A, B и C).Планки погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.

  Соответствующие результаты для RT снова выявили значительные основные эффекты как возраста [ F (3,326) = 11,68, p <0,001, ηp2 = 0,097]] и типа уравнения [ F (2,652) = 41,59, p <0,001, ηp2 = 0,113], а также их взаимодействие [ F (6,652) = 3,56, p <0,01, ηp2 = 0,032]. Учащиеся начальной школы решали уравнения A быстрее, чем уравнения B и C, в то время как участники средней школы были самыми медленными в решении уравнений C.(Рисунок 3B).

  Эффекты возраста и повторения

  Двусторонний дисперсионный анализ смешанного дизайна с межгрупповым фактором возраста (7-й против 8-го против 1-го против 2-го классов) и внутри-субъектным фактором блока (первый и второй блоки) были использованы для проверки различий между точностью участников. и RT во времени эксперимента. Результаты показали статистически значимое основное влияние обоих факторов: возраста [ F (3,327) = 8,37, p <0,001, ηp2 = 0,071] и блока [ F (1,327) = 5.11, p <0,05, ηp2 = 0,015], в то время как взаимодействие не было значимым [ F (3,327) = 1,20, p > 0,05, ηp2 = 0,011]. Рисунок 4A иллюстрирует тенденцию повышения точности от 7-го класса начальной школы до 1-го класса средней школы, в то время как парные сравнения выявили статистически значимое различие между уровнями точности участников 7-го класса по сравнению с таковыми в средней школе. и учащиеся 8-го класса по сравнению с учащимися 2-го класса средней школы.

  РИСУНОК 4. (A) Точность (процент правильных ответов) и (B) RT для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для первого и второй блок. Планки погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы.

  Для RT результаты показали соответствующие значимые основные эффекты обоих факторов: Возраст [ F (3,326) = 11,88, p <0,001, ηp2 = 0,099] и Block [ F (1326) = 312.27, p <0,001, ηp2 = 0,489], в то время как взаимодействие не было значимым [ F (3,326) = 2,58, p > 0,05, ηp2 = 0,023]. Участники всех возрастов стали быстрее решать уравнения во втором блоке (рис. 4B).

  Решение уравнений и когнитивные способности

  Связь между эффективностью решения уравнений учащимися и их когнитивными способностями была исследована путем расчета частного коэффициента корреляции между обратной эффективностью участников и их оценками по шкале прогрессивных матриц Равена, при этом учитывались возрастные эффекты.Полученные результаты указывают на статистически значимую корреляцию между эффективностью решения уравнений и когнитивными способностями [ r (307) = –0,22 [95% ДИ: -0,32, -0,11], p <0,001], что указывает на то, что участники с более высоким когнитивные способности в целом были более эффективными при решении уравнений.

  Стратегии, используемые для решения уравнений

  Оценка ответов участников в анкетах подтвердила, что они использовали разные стратегии для решения уравнений с буквами.Мы сгруппировали их ответы и разделили их на две группы – конкретные стратегии и стратегии, основанные на правилах. Наиболее часто используемая конкретная стратегия (37% всех участников) заключалась в вставке цифр вместо букв. 11% участников использовали технику запоминания «треугольник», а 4% использовали стратегию «наибольший сверху», основанную на убеждении, что продукты и числители «большие». Для уравнения a / x = b один участник написал объяснение: «Мы получили b , разделив a на x .Таким образом, b является наименьшим, а a – наибольшим. Тогда мы получим x , разделив a на b “.

  Наиболее распространенной стратегией, основанной на правилах (38% всех участников), было стандартное применение операций умножения / деления к уравнению. 11% участников сообщили о правильном перемещении букв на другую сторону уравнения и часто указывали операцию стрелками. Наиболее часто использовавшаяся неправильная стратегия (6%) заключалась в том, чтобы «переместить буквы, отличные от x , на другую сторону уравнения и изменить знак», что означало изменение умножения на деление и наоборот.Эта стратегия дала правильные ответы для A и B, но не для уравнений C. 6% участников использовали какое-то заученное правило. Например, один участник написал для a / x = b : «Если x является знаменателем, то решение – это доля оставшихся факторов, учитывая, что номинальный знак начальной дроби (тот, у которого x ) остается прежним ». Для a / x = b уравнение (тип C) некоторые участники (8%) поменяли местами только x и b без выполнения двух шагов умножения и деления.

  На рис. 5 показано, как доля участников, использовавших конкретные стратегии, основанные на правилах, менялась с возрастом. Большинство младших участников (из начальной школы) использовали конкретные стратегии, тогда как участники из средней школы в основном использовали более абстрактные стратегии, основанные на правилах. Некоторые участники использовали как конкретные стратегии, так и стратегии, основанные на правилах. Например, одна участница использовала стандартную процедуру умножения / деления для уравнений A и B, но она вставила «действительные числа» для решения уравнений C.Участники, которые использовали как конкретные стратегии, так и стратегии, основанные на правилах, обычно использовали конкретную стратегию для решения уравнений C.

  РИСУНОК 5. Пропорции используемых типов стратегии (C, конкретная; R, основанная на правилах; C&R, конкретная и основанная на правилах) для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы. школа.

  Уровни сложности уравнения

  На рис. 6A показаны обратные меры эффективности для различных типов уравнений (все с буквами) для разных возрастов участников.Чтобы проверить различия между обратной эффективностью участников при решении различных типов уравнений, используйте двухсторонний дисперсионный анализ смешанного дизайна с межгрупповым фактором возраста (7-й против 8-го против 1-го против 2-го классов) и внутри-субъектным фактором Тип уравнения ( Уравнение A против B против C). Полученные результаты указывают на статистически значимое основное влияние обоих факторов: возраста [ F (3,325) = 11,84, p <0,001, ηp2 = 0,099] и типа уравнения [ F (2650) = 43,72, p . <0.05, ηp2 = 0,119], в то время как взаимодействие не было значимым [ F (6, 650) = 0,33, p > 0,05, ηp2 = 0,003]. Если мы примем обратную эффективность как меру сложности задачи (Townsend and Ashby, 1978), результаты показывают, что уравнения C были самыми сложными. Статистически значимой разницы между уравнениями A и B не было.

  РИСУНОК 6. (A) Обратная эффективность в уравнениях с буквами для участников 7-го и 8-го классов начальной школы, а также 1-го и 2-го классов средней школы, разделенных для разных типов уравнений (A, B, и уравнения C).Планки погрешностей представляют собой 95% доверительные интервалы. (B) Доля типов уравнений, которые участники оценили как наименее сложные и наиболее сложные в каждом классе.

  Участники оценили различные типы уравнений по сложности в анкетах. 28 участников сообщили, что все типы уравнений одинаково сложны. Трое участников думали, что уравнения с умножением (тип A) проще, чем уравнения с делением (B и C). Восемь участников не ответили на этот вопрос.На рис. 6В показаны данные остальных участников в их возрастных группах. Большинство участников сообщили, что уравнения А были самыми простыми. Однако значительная часть учащихся средних школ (32%) считала, что уравнения Б были самыми простыми. Большинство участников согласились с тем, что уравнения C были самыми сложными.

  Обсуждение

  Точность и скорость решения уравнений

  Результаты, полученные в настоящем исследовании, показывают, что тестируемые студенты в целом довольно успешно переставляли уравнения с уровнем точности в среднем 85%.Хотя это может показаться довольно высоким, если принять во внимание истинно-ложный характер тестовых заданий, это становится менее удовлетворительным результатом, особенно для уравнений, состоящих из всех символов, которые были правильно решены 82% участников. Однако наши данные показывают, что учащиеся становятся более эффективными, то есть точнее и быстрее в старших классах.

  Что касается гендерных различий, девочки в нашей выборке в среднем более точны в перестановке уравнений, чем мальчики, при этом никаких существенных различий в их скорости выявлено не было.Этот результат не согласуется с распространенным мнением о том, что мальчики лучше разбираются в математике, чем девочки, которое основано на отчетах о том, что мальчики лучше девочек проходят стандартные тесты, такие как SAT (например, Бирнс и Такахира, 1993). Однако в большинстве исследований не сообщается о различиях между мальчиками и девочками в оценке алгебры (например, Bridgeman and Wendler, 1991). На самом деле, девочки иногда справляются даже лучше, чем мальчики (например, Else-Quest et al., 2010), в то время как мужское превосходство среди подростков обычно связано с пространственным мышлением мальчиков и более разнообразными стратегиями решения проблем (Geary, 1996).В настоящем исследовании мы наблюдали немного более высокую точность для девочек, чем для мальчиков, но в целом сопоставимую скорость решения уравнений, что перекликается с предыдущими выводами, предполагающими небольшие, если таковые имеются, гендерные различия в решении простых алгебраических уравнений.

  Важно подчеркнуть, что успехи учащихся в решении простых алгебраических уравнений различались для разных типов уравнений. В частности, в рамках настоящего исследования мы сравнили эквивалентные форматы уравнений, содержащие символы или числа.Как и ожидалось, полученные результаты показывают, что более молодые участники были более точными и быстрыми в решении уравнений с числами, чем с буквами, хотя они были эквивалентными. Это указывает на то, что младшие школьники все еще борются с более абстрактными уравнениями. Напротив, учащиеся 2-го класса (возраст 16–17 лет) имели сопоставимый уровень точности и RT для уравнений с числами и буквами. Это указывает на то, что они достигли адекватного уровня формальных рассуждений (Inhelder and Piaget, 1958), по крайней мере, для этой конкретной задачи.

  Затем мы сравнили эффективность участников в решении трех различных типов уравнений. Самая низкая точность и самые длинные RT, полученные для уравнений C ( a / x = b ), позволяют предположить, что это был самый сложный тип уравнения. Младшие студенты боролись с этим типом уравнения; точность участников 7-го класса (возраст 13–14 лет) составила всего 72%. Точность уравнений C увеличивалась с возрастом участников: для учеников 2-х классов (возраст 16–17 лет) достигла 85%.Эти результаты отражают тот факт, что для решения уравнений C необходимы две операции и только одна операция для других двух типов уравнений, что указывает на то, что сложность процедуры также оказывает значительное влияние на эффективность решения уравнений. Наши данные показывают, что даже самые старшие участники, которым на момент тестирования было 16–17 лет, испытывали трудности с немного более сложными, но все же очень простыми уравнениями. Это согласуется с предыдущими сообщениями о трудностях студентов с уравнениями «все символы» (Ekenstam and Nilsson, 1979; Küchemann, 1981).

  В дополнение к изучению эффектов возраста, пола и типа уравнения, в рамках настоящего исследования мы также исследовали практические эффекты для всех типов уравнений. Наши участники стали быстрее и точнее переставлять уравнения во время измерения. Этот вывод согласуется с предыдущим отчетом, показывающим, как дети становятся быстрее во время 5-дневной практики решения алгебраических уравнений (Qin et al., 2004). Похоже, что некоторые из наших участников научились решать уравнения, поскольку они неоднократно сталкивались с ними в течение короткого периода времени, даже без обратной связи.Даже участники 2-го класса средней школы (возраст 16–17 лет), которые имели стабильно высокий уровень точности от начала до конца измерения, стали быстрее переставлять уравнения. Это может быть интересным открытием для учителей математики. Однако необходимы дополнительные исследования, чтобы изучить долгосрочный эффект такой кратковременной и интенсивной практики решения уравнений.

  Кроме того, наши результаты показали, что участники с более высокими когнитивными способностями более эффективно решали уравнения.Это согласуется с предыдущим продольным тестированием, которое показало, что студенты с более высокими показателями IQ, как правило, демонстрировали более высокий когнитивный уровень и быстрее продвигались по уровням алгебры, чем студенты с более низкими показателями IQ (Küchemann, 1981). Было высказано предположение, что при выполнении знакомых задач по алгебре участники полагаются на автоматизированные процедуры и приобретенные факты, которые более систематически усваиваются людьми с более высокими когнитивными способностями (Bornemann et al., 2010). Следовательно, они превосходят людей с более низкими общими когнитивными способностями, выделяя при этом такое же или даже меньше когнитивных ресурсов на выполнение задачи.Соответственно, мы могли сделать вывод, что наши участники с более высокими способностями извлекали выгоду из более эффективных процессов по сравнению с людьми с более низкими когнитивными способностями. Однако общие когнитивные способности – не единственный фактор, влияющий на понимание человеком алгебраических уравнений. Также важны и другие факторы, такие как интуитивные предположения и прагматические рассуждения о новой системе обозначений, аналогии со знакомыми системами символов, помехи от нового обучения математике и влияние вводящих в заблуждение учебных материалов (MacGregor and Stacey, 1997).

  Конкретные и основанные на правилах стратегии решения уравнений

  Половина участников использовали конкретные стратегии для перестановки уравнений, и наиболее часто используемая конкретная стратегия заключалась в добавлении чисел в уравнения. При использовании этой стратегии учащиеся придумывают эквивалентное уравнение с числами, решают его, а затем применяют алгоритм решения к уравнению с символами. Например, для уравнения A ( x ⋅ a = b ) они вставляют числа, так что уравнение становится 2⋅3 = 6, а затем заключают, что «если 2 = 6/3, то x = b / a .«Кажется, что эти участники еще не достигли формальной операционной стадии, и им удобнее использовать конкретные числа в уравнениях. Это согласуется с предыдущими исследованиями алгебраической обработки у подростков (Ekenstam and Nilsson, 1979; Küchemann, 1981; Susac et al., В стадии пересмотра).

  Значительное количество участников (11%) использовали метод «треугольника», которому часто учат учителей физики, чтобы «упростить» перестановку уравнений для своих учеников. В рамках этой стратегии треугольник делится на три части.Две перемноженные величины написаны рядом в нижней части треугольника. Оставшееся количество (их продукт) написано вверху. Для x ⋅ a = b (уравнение A), x и a записываются внизу, а b вверху. Если мы хотим сделать x предметом уравнения, необходимо охватить x , а то, что осталось, а именно « b over a », представляет результат.Хотя эта стратегия помогает учащимся в перестановке уравнений, эта техника не развивает их формальные рассуждения.

  Стратегия «самый большой на вершине» также берет свое начало в конкретном образе мышления. Как сообщали немногие участники, они всегда считали произведение в уравнениях умножения и числитель в уравнениях деления самым большим объектом, который помог им в перегруппировке. Например, в уравнениях A ( x ⋅ a = b ) они рассматривают b как самый большой объект, который помог им сформировать решение (самый большой идет вверху, поэтому x = . b / a ).Хотя они явно не вставляли числа в уравнения, опыт участников с натуральными числами, вероятно, может объяснить их ход рассуждений (наибольшее число всегда является произведением двух натуральных чисел, а числитель больше, чем знаменатель и результат вычисления). разделение). В нашем предыдущем исследовании мы обнаружили, что британские студенты также используют эту стратегию (Susac et al., В стадии пересмотра).

  Более половины участников (56%) рассуждали более абстрактно при решении хотя бы одного типа уравнений, т.е.е., они применяли правила. В ходе тестирования немногие участники перешли от конкретной замены букв цифрами к распознаванию закономерностей и правил. Наиболее часто используемой стратегией, основанной на правилах, было умножение и деление уравнения на «букву рядом с x ». Эта процедура была выполнена правильно большинством участников, решивших ее использовать. Однако наиболее распространенная неправильная стратегия заключалась в том, чтобы переместить «букву рядом с x » на другую сторону уравнения и изменить операцию, умножение на деление и наоборот.Это, вероятно, отражает неправильное применение процедуры, изученной для уравнений с добавлением / вычитанием, что указывает на то, что применение математических правил и процедур может сбивать с толку учащихся.

  Как и в нашем предыдущем исследовании (Susac et al., В стадии пересмотра), некоторые участники сообщили о перемещении букв на другую сторону уравнения. Это подтверждает выводы, показывающие, что пространственное мышление тесно связано с чувством числа (как в случае мысленной числовой линии; e.g., Dehaene, 1997) и математические операции в целом. Ряд исследований нейровизуализации и нейропсихологии продемонстрировали, что взаимосвязь между числовой и пространственной обработкой глубоко укоренена в организации теменных цепей для этих способностей (Hubbard et al., 2005). Математические эксперты в нашем предыдущем исследовании часто использовали пространственные термины при объяснении своих стратегий решения уравнений (Susac et al., В стадии пересмотра). Кажется, что развитие пространственного мышления у студентов может быть полезным даже в «непространственных» областях математики, таких как алгебра.Кроме того, визуализация может быть полезна для развития навыков решения математических задач (Scheiter et al., 2010)

  Некоторые участники сообщили о стратегиях, основанных на некоторых типах правил, которые они разработали самостоятельно. Повторяя перестановку уравнений, они распознали некоторые закономерности, из которых они вывели некоторые общие правила. Хотя правила участников не всегда были правильными, они, возможно, представляют собой шаг в разработке более последовательных и правильных стратегий решения.Ряд участников признали, что им не нужно выполнять два шага умножения и деления для a / x = b уравнения (тип C), и просто поменяли местами x и b . При этом они разработали новую, более эффективную стратегию во время эксперимента, посредством распознавания образов, которая имеет большое значение при выполнении алгебраических задач (Orton and Orton, 1999).

  В целом, полученные результаты показывают, что доля использования конкретной стратегии уменьшается, в то время как доля стратегий, основанных на правилах, увеличивается с возрастом участников.Этот прогресс постепенный и, вероятно, продолжается после 2-го класса средней школы (возраст 16–17 лет). Наши данные подтверждают, что развитие алгебраического мышления – это длительный процесс. Следовательно, мы можем сделать вывод, что дети в возрасте 14–15 лет переходят от конкретных к абстрактным стратегиям в алгебре, что согласуется с предыдущими исследованиями (Küchemann, 1981).

  Уровни сложности уравнения

  Чтобы определить сложность различных типов уравнений с буквами, мы оценили обратную эффективность по возрастным группам наших участников.Во всех возрастных группах участники были наименее эффективными при решении уравнений C, что позволяет предположить, что это наиболее сложные типы уравнений. Этот результат был ожидаемым, потому что уравнения C обычно решаются в два этапа, в то время как для уравнений A и B требуется только один шаг. Не все участники выполнили две операции при решении a / x = b (например, некоторые из них поменяли местами x и b ). Однако для уравнений C и уравнение, и решение включают деление, что обычно труднее, чем умножение (Hecht et al., 2003).

  Обратные меры эффективности показали, что уравнения A имеют такую ​​же сложность, как и уравнения B. Уравнения B, x / a = b , вероятно, самые простые, потому что их решение основано на умножении, а порядок переменных в произведении не важен. В уравнениях A, x ⋅ a = b , решение включает деление, поэтому необходим дополнительный шаг для определения правильного порядка числителя и знаменателя (поскольку a / b не то же самое как b / a ).Однако похоже, что наши участники не полностью осознавали эту закономерность, что можно наблюдать по их результатам обратной эффективности.

  Интересно отметить, что подавляющее большинство участников сообщили, что уравнения B сложнее, чем уравнения A, хотя это не подтверждается полученными результатами. Вероятно, на их самоотчеты снова повлиял тот факт, что деление воспринимается как более трудное, чем умножение. Однако при оценке сложности уравнения участники не учли тот факт, что правильное решение этих уравнений также включает в себя эти операции.Тем не менее, увеличение числа участников, которые оценили уравнения B как самые простые среди старших школьников, предполагает, что некоторые старшие участники (из средней школы) осознали закономерности выполнения задания. Кроме того, кажется, что метакогнитивные навыки улучшаются с возрастом, поскольку учащиеся средней школы в среднем оценивали сложность уравнения более точно, чем более молодые участники. Этот вывод согласуется с предыдущими сообщениями о важности метакогнитивной деятельности для успешного решения математических задач (Kramarski and Mevarech, 2003; Cohors-Fresenborg et al., 2010).

  Заключение

  Целью настоящего исследования было изучить развитие у студентов навыков абстрактного мышления при решении простой задачи перестановки уравнений. Хотя все наши участники изучили перестановку уравнений в математике по крайней мере за год до нашего тестирования и должны были решать простые уравнения в математике и научных задачах, у них все еще были трудности с некоторыми типами уравнений. Однако точность и скорость перестановки уравнений возрастали с возрастом участников.Младшие участники были более точными и быстрыми в решении уравнений с числами, чем с буквами, что говорит о том, что они по-прежнему мыслит конкретнее. Разница в эффективности решения уравнений с числами и буквами исчезла для участников 2-го класса средней школы (возраст 16–17 лет), что свидетельствует об их способности мыслить более абстрактно, по крайней мере, по нашей задаче. Переход от конкретных рассуждений к формальным был также отражен в стратегиях, которые участники использовали для решения уравнений с буквами.Младшие участники начальной школы (возраст 13–15 лет) в основном использовали конкретные стратегии, такие как ввод чисел, в то время как участники средней школы (возраст 15–17 лет) в основном использовали стратегии, основанные на правилах.

  Наши результаты показывают, что переход от конкретных рассуждений к абстрактным представляет собой довольно длительный процесс, даже для простой алгебраической задачи, используемой в этом исследовании. Учителя и лица, определяющие политику в области образования, должны знать, что недостаточно один раз узнать о перестановке уравнений в математике.Не следует предполагать, что учащиеся быстро овладевают этим навыком и могут легко применить его в другом контексте, например, при решении задач по физике. Напротив, учителя должны использовать любую возможность, чтобы побудить учеников использовать формальные рассуждения – как распознавание образов, так и эффективное применение математических правил и известных процедур.

  Заявление о конфликте интересов

  Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

  Благодарность

  Это исследование было поддержано грантом Фонда развития Загребского университета (198002), предоставленной Ане Сусак.

  Список литературы

  Борнеманн Б., Фот М., Хорн Дж., Рис Дж., Вармут Э., Вартенбургер И. и др. (2010). Математическое познание: индивидуальные различия в распределении ресурсов. ZDM 42, 555–567. DOI: 10.1007 / s11858-010-0253-x

  CrossRef Полный текст

  Бриккенкамп Р. (1962). Тест d 2: Aufmerksamkeits-Belastungs-Test .Геттинген: Hogrefe.

  Бриккенкамп Р. (1999). Priručnik za Test d2, Test Opterećenja Pažnje . Ястребарско: Наклада Пощечина.

  Бриджмен Б. и Вендлер К. (1991). Гендерные различия в показателях успеваемости по математике в колледже. J. Educ. Psychol. 83, 275–284. DOI: 10.1037 / 0022-0663.83.2.275

  CrossRef Полный текст

  Бирнс, Дж. П., и Такахира, С. (1993). Объяснение гендерных различий в заданиях SAT-math. Dev.Psychol. 29, 805–810. DOI: 10.1037 / 0012-1649.29.5.805

  CrossRef Полный текст

  Каррахер Д. В., Шлиаманн А. Д., Бризуэла Б. М. и Эрнест Д. (2006). Арифметика и алгебра в начальном математическом образовании, J. Res. Математика. Educ. 37, 87–115.

  Хазан, Д., Иерушалми, М. (2003). «О понимании когнитивной сложности школьной алгебры: исследования изучения алгебры и направления изменения учебной программы», в A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics, eds J.Килпатрик, В. Г. Мартин и Д. Шифтер (Рестон, Вирджиния: NCTM), 123–135.

  Кохорс-Фрезенборг, Э., Крамер, С., Пундсак, Ф., Сютс, Дж., И Соммер, Н. (2010). Роль метакогнитивного мониторинга в объяснении различий в успеваемости по математике. ZDM 42, 231–244. DOI: 10.1007 / s11858-010-0237-x

  CrossRef Полный текст

  Dehaene, S. (1997). Чувство числа. Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.

  Экенстам, А.А., Нильссон, М.(1979). Новый подход к оценке математической компетентности детей. Educ. Stud. Математика. 10, 41–66. DOI: 10.1007 / BF00311174

  CrossRef Полный текст

  Гири, Д. К. (1996). Половой отбор и половые различия в математических способностях. Behav. Brain Sci. 19, 229–247. DOI: 10.1017 / S0140525X00042400

  CrossRef Полный текст

  Гедд, Дж. Н., и Рапопорт, Дж. Л. (2010). Структурная МРТ развития мозга у детей: чему мы научились и куда мы идем? Нейрон 67, 728–734.DOI: 10.1016 / j.neuron.2010.08.040

  Pubmed Реферат | Pubmed Полный текст | CrossRef Полный текст

  Ходген, Дж., Кюхеманн, Д., Браун, М., и Коу, Р. (2010). Отношение учащихся младших классов средней школы к математике: данные крупномасштабного исследования, проведенного в Англии. Res. Математика. Educ. 12, 155–156. DOI: 10.1080 / 14794802.2010.496983

  CrossRef Полный текст

  Инелдер Б. и Пиаже Дж. (1958). Развитие логического мышления с детства до подросткового возраста. Нью-Йорк: Базовый. DOI: 10.1037 / 10034-000

  CrossRef Полный текст

  Киран, К. (2004). Алгебраическое мышление в младших классах: что это такое? Math. Educ. 8, 139–151.

  Крамарски Б. и Мевареч З. Р. (2003). Улучшение математических рассуждений в классе: эффекты совместного обучения и метакогнитивного обучения. Am. Educ. Res. J. 40, 281–310. DOI: 10.3102 / 00028312040001281

  CrossRef Полный текст

  Кюхеманн, Д.(1981). «Алгебра», в Понимание математики детьми: 11–16 , изд. К. М. Харт (Лондон: Джон Мюррей), 102–119.

  Квон, Й.-Дж., и Лоусон, А. Э. (2000). Связь роста мозга с развитием способности к научному мышлению и концептуальным изменением в подростковом возрасте. J. Res. Sci. Учат. 37, 44–62. DOI: 10.1002 / (SICI) 1098-2736 (200001) 37: 1 <44 :: AID-TEA4> 3.0.CO; 2-J

  CrossRef Полный текст

  Лоусон, А. Э. (1985). Обзор исследований по формальному мышлению и преподаванию естественных наук. J. Res. Sci. Учат. 22, 569–618. DOI: 10.1002 / tea.3660220702

  CrossRef Полный текст

  Лоусон, А. Э., и Реннер, Дж. У. (1975). Взаимосвязь конкретного и формального предмета практической науки и уровня развития учащегося, J. Res. Sci. Учат. 12, 347–358. DOI: 10.1002 / tea.3660120405

  CrossRef Полный текст

  МакГрегор, М., и Стейси, К. (1997). Понимание студентами алгебраических обозначений: 11–15. Educ.Stud. Математика. 33, 1–19. DOI: 10.1023 / A: 1002970

3

CrossRef Полный текст

Национальный совет учителей математики [NCTM]. (2000). Принципы и стандарты школьной математики. Рестон: NCTM.

Организация экономического сотрудничества и развития [ОЭСР]. (2013). Результаты PISA 2012: что студенты знают и могут делать – Успеваемость учащихся по математике, чтению и естественным наукам, Vol. I. Пиза: Издательство ОЭСР. DOI: 10.1787 / 9789264201118-en

CrossRef Полный текст

Ортон, А.и Ортон Дж. (1999). «Образец и подход к алгебре», в Образец в преподавании и изучении математики , изд. А. Ортон (Лондон: Касселл), 104–120.

Пиаже, Дж. (1972). Интеллектуальная эволюция от юности к взрослой жизни. Hum. Dev. 15, 1–12. DOI: 10.1159 / 000271225

CrossRef Полный текст

Пиаже, Дж. (1976). Теория Пиаже . Гейдельберг: Springer Berlin.

Цинь, Ю., Картер, К. С., Силк, Э., Стенгер, В.A., Fissell, K., Goode, A., et al. (2004). Изменение паттернов активации мозга по мере того, как дети учатся решать алгебраические уравнения. Proc. Natl. Акад. Sci. США 101, 5686–5691. DOI: 10.1073 / pnas.0401227101

Pubmed Реферат | Pubmed Полный текст | CrossRef Полный текст

Рэйвен, Дж. К. (1941). Стандартизация прогрессивных матриц, 1938 г. руб. J. Med. Psychol. 19, 137–150. DOI: 10.1111 / j.2044-8341.1941.tb00316.x

CrossRef Полный текст

Рэйвен, Дж.С. (1999). Priručnik – 3. dio: Standardne Progresivne Matrice . Ястребарско: Наклада Пощечина.

Scheiter, K., Gerjets, P., and Schuh, J. (2010). Приобретение навыков решения задач по математике: как анимация может помочь понять структурные особенности задачи и процедуры решения. Instr. Sci. 38, 487–502. DOI: 10.1007 / s11251-009-9114-9

CrossRef Полный текст

Susac, A., Bubic, A., Kaponja, J., Planinic, M., and Palmovic, M.(2014). Движение глаз раскрывает стратегии учащихся при решении простых уравнений. Внутр. J. Sci. Математика. Educ. 12, 555–577. DOI: 10.1007 / s10763-014-9514-4

CrossRef Полный текст

Таунсенд, Дж. Т., и Эшби, Ф. Г. (1978). «Методы моделирования мощности в простых системах обработки», в Cognitive Theory , Vol. 3, ред. Н. Дж. Кастеллан и Ф. Рестл (Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум), 199–239.

Усискин, З. (1988). «Концепции школьной алгебры и использование переменных», в Идеи алгебры, K-12, 1988 Ежегодник Национального совета учителей математики , ред.Ф. Коксфорд и А. П. Шульте (Рестон, Вирджиния: NCTM), 8–19.

Уоррен, Э. А., Купер, Т. Дж., И Лэмб, Дж. Т. (2006). Исследование функционального мышления в начальной школе: основы раннего алгебраического мышления. J. Math. Behav. 25, 208–223. DOI: 10.1016 / j.jmathb.2006.09.006

CrossRef Полный текст

Абстрактная алгебра

• Тематический каталог
  • Гуманитарные и социальные науки
    • Антропология
    • Изобразительное искусство
    • Каталог коммуникаций, кино и театра
      • Массовые коммуникации / Связи с общественностью / Фильм
      • Речевое общение
      • Театр
    • английский
      • Состав
      • Развивающий английский
      • Литература и творческое письмо
      • Техническая коммуникация
    • История
    • Междисциплинарные исследования
      • Семейные исследования и человеческое развитие
      • Гуманитарные науки
      • Расовые и этнические исследования
      • Социальная наука
      • Женские и гендерные исследования
    • Музыка
    • Философия
    • Политическая наука
    • Психология
    • Религия
    • Социальная работа / семейная терапия / социальные услуги
    • Социология
    • Мировые языки
      • китайский язык
      • французкий язык
      • Немецкий
      • Итальянский
      • Японский
      • Языковые методы
      • латинский
      • португальский
      • русский
      • испанский
  • Математика и наука
    • Анатомия и физиология
    • Биология и микробиология
      • Специальности Биология / Биология высшего уровня
      • Микробиология
      • Неосновная биология
    • Химия
    • Наука об окружающей среде
    • География и атмосферные науки
    • Геология и океанография
    • Здоровье и кинезиология
    • Математика
      • Продвинутая математика
      • Исчисление
      • Развивающая математика
      • Конечная математика и прикладное исчисление
      • Гуманитарные науки Математика / Математика для учителей
      • Математика для карьеры
      • Математика
      • Математика Precalculus
      • Техническая математика
    • Питание
    • Физика и астрономия
    • Статистика
      • Вводная статистика
      • Статистика верхнего уровня
  • Профессиональная карьера
    • Бизнес
      • Бухгалтерский учет и налогообложение
      • Деловые коммуникации
      • Предпринимательское право
      • Бизнес-математика
      • Деловые навыки
      • Наука принятия решений
      • Финансы
      • Страхование
      • Введение в бизнес
      • MIS
      • Управление
      • Маркетинг
      • Офисные Технологии
    • Деловая статистика
    • Коммуникационные науки и расстройства
    • Информатика
    • Консультации
    • Уголовное правосудие
    • Кулинария, гостиничный бизнес, путешествия и туризм
      • Кулинарное искусство
      • Наука о еде
      • Гостеприимство
      • Путешествия и туризм
    • Исследования глухих и образование глухих
    • Экономика
    • Образование
      • Учебный план и инструкция
      • ELL
      • Дошкольное образование
      • Ed Psych / Тесты и измерения
      • Управление образованием и лидерство
      • Образовательные исследования
      • Основы / Введение в преподавание
      • Учебные технологии
      • Подготовка лицензии
      • Чтение и грамотность
      • Специальное образование
    • EMS и пожарная наука (BRADY)
      • Скорая медицинская помощь (BRADY)
      • Наука о пожаре (BRADY)
    • Инженерное дело
      • Биоинженерия
      • Химическая инженерия
      • Гражданская и экологическая инженерия
      • Электротехника и вычислительная техника
      • Общее машиностроение
      • Промышленная инженерия
      • Машиностроение и аэрокосмическая техника
      • Техническая математика / Техническая физика
    • Мода и дизайн интерьера
      • Потребительская наука
      • Мода
      • Дизайн интерьера
    • Медицинские профессии
      • Базовые курсы здоровья
      • Клиническая лабораторная наука
      • Стоматологическая помощь
      • Гигиена полости рта
      • Управление медицинской информацией
      • Массажная терапия
      • Медицинская помощь
      • Кодирование медицинского страхования
      • Медицинская терминология
      • Медицинская транскрипция
      • Помошник медсестры
      • Трудотерапия
      • Аптечный служащий
      • Флеботомия
      • Физиотерапия
      • Хирургическая техника
      • Респираторная терапия
    • Информационные технологии
      • СНГ: вычислительные концепции
      • СНГ: офисные приложения
      • Компьютерная графика / Искусство
      • Разработка игр
      • Безопасность
      • Обучение и сертификация
    • Юридические исследования и помощник юриста
    • Уход
      • LPN / LVN
      • RN
    • Успех студентов и развитие карьеры
    • Торговля и технологии
      • сельское хозяйство
      • Автомобильная техника
      • Строительные и технические работы
      • CAD / Инженерная графика / Черчение
      • Управление строительством и гражданские технологии
      • Электроника и электроэнергетика
      • Инженерные технологии и промышленный менеджмент
      • Экологические технологии
      • Технические сделки: NCCER / Contren
  • Изучающие английский язык
  • Войдите, чтобы загрузить ресурсы инструктора
    • Скачивание и использование инструкторских ресурсов
• Продукты и услуги для обучения
  • Цифровая среда обучения
    • Веселье
    • MyLab
    • Освоение
    • Учебная программа по концепциям медсестер
      • Преимущества
      • Начать
      • Отзывы
      • Обучение и поддержка
      • Редакторы и авторы
    • Район 3.0
  • Содержание курса
    • eTexts и Pearson +
      • Pearson eText под руководством инструктора
        • Системные Требования
        • Доступность
      • Мобильное приложение Pearson eText
      • Пирсон +
    • Коллекции Пирсона
  • Инструменты обучения и взаимодействия
    • Приложение для обучения Aida Calculus
    • Обучение каталитике
      • Функции
      • Истории пользователей
        • Развитие навыков критического мышления
        • Вовлечение студентов в активное обучение
        • Использование командного подхода к обучению
        • Включение методов однорангового обучения
        • Настройка обучения в реальном времени
        • Посмотреть все истории
      • Обучение и поддержка
        • Для педагогов
          • Начните работу ваших студентов
          • Как я? Видео
        • Для студентов
          • Начать
          • Купить доступ
        • Системные Требования
      • Ценообразование
      • Начать
      • Правовая информация
    • Живой ответ
    • MediaShare
    • Приложение Off the Page
    • Pearson Prep
    • StatCrunch
      • Функции
      • Что нового
      • Сообщество
      • Отзывы пользователей
      • Обучение и поддержка
      • Запросить дополнительную информацию
    • MyDietAnalysis
    • Pearson Interactive Labs
  • Подготовка к тестам и решения для тестирования
    • Платиновая образовательная группа
    • Подготовка к творческому тесту Limmer
    • Подготовка к экзамену на получение лицензии учителя
    • TestGen
  • Преподавание английского языка
    • Каталог преподавания английского языка
  • Ресурсы по дисциплинам
    • Бизнес и экономика
    • Инженерия, информатика и программирование
    • английский
    • Гуманитарные и социальные науки
    • Информационные технологии и MIS
    • Математика и статистика
    • Наук
      • Биология
      • Анатомия и физиология
      • Химия
      • Физика
    • Мировые языки
    • Профессиональная карьера
    • Педагогическое образование и вспомогательные профессии
    • Уход и здоровье
  • Ускорение, редизайн и готовность
    • Ресурсы для начала работы
      • Выбор правильных решений для вашего редизайна
    • Решения для математики
      • Модульная модель
      • Сжатая модель
      • Модель Corequisite
      • Модель путей
      • Модель исправления, не основанная на курсе
    • Решения для английского
      • Модульная / лабораторная модель
      • Сжатая модель
      • Сопутствующие требования / модель ускоренного обучения
      • Интегрированная модель чтения и письма
      • Контекстуализированная модель обучения
      • Модель исправления, не основанная на курсе
    • Результаты редизайна
    • События и вебинары
    • Запросить дополнительную информацию
    • Контрольный список готовности к редизайну
  • Готовность к колледжу и карьерное образование
    • Переход в колледж (K – 12)
      • Решения для математики
        • Решения Иллинойса для математики
        • Математика Северной Каролины 4
      • Решения для чтения и письма
    • Программы двойного зачисления
    • Результаты и истории успеха
• Продукты и услуги для учреждений
  • Аналитические услуги
  • Учебные программы
    • Учебный план
    • Курс развития
    • Внедрение и управление операциями
    • Запросить дополнительную информацию
  • Инклюзивный доступ
  • Услуги онлайн-обучения Pearson
  • Smarthinking онлайн-репетиторство
• Клиенты
  • Педагоги
    • Предварительный просмотр заголовка
  • Институциональные лидеры
    • Цифровой ученик
    • Удержание и участие
    • Ускорение и продвижение
    • Справедливость и доступность
    • Истории успеха
    • Ресурсы
    • Запросить дополнительную информацию
  • Студенты
    • Увлекаться
      • Как стать блогером
  • Общественные колледжи
    • Ресурсы и поддержка
  • Образование в частном секторе
  • Директора по персоналу
  • Реселлеры колледжей
    • Информация для заказа
    • Программа аренды печатных изданий
    • Политика Возврата
    • Обзор и настольные копии
    • Увеличение сквозных продаж
    • Распространение материалов электронного курса
• События
• Почему выбирают Пирсон?
  • Видеотека: авторы и инновации
    • Видеотека по темам
    • Видеотека по дисциплинам
    • Биография автора
    • О привлечении студентов
    • Активное обучение в классе
    • Влияние активного обучения
    • Revel Psychology – 1-е издание
    • Привлечение учащихся интерактивными фигурами
    • Авторы пира
    • Авторы Ревеля – психология
    • Авторы Пирсона – политология
    • Авторы Пирсона – программирование
    • О цифровых интерактивных материалах
    • Цифровые продукты меняют класс
    • Привлечение студентов к цифровым технологиям
    • Доступ к сегодняшним студентам
    • Создание учеников на протяжении всей жизни
    • Обучение студентов задавать вопросы
    • Вдохновляющие студенты
    • MyLab IT: подготовка студентов к сертификации
    • Написание для цифровой платформы
    • Круглый стол автора Пирсона по цифровому обучению
  • Готовность к карьере и навыки трудоустройства
    • Истории трудоустройства
    • Решения и партнерство
    • Библиотека ресурсов
  • Цифровое обучение
  • Стратегии онлайн-обучения и поддержка
    • Стратегии онлайн-обучения
    • Платформы онлайн-обучения
    • Обучение и поддержка платформы
    • Связаться с нами

• Высшее образование >
• Математика и наука >
• Математика >
• Продвинутая математика >
• Продвинутая математика >

• Абстрактная алгебра

  .

Получите eTexts, которые вам нужны, по цене от 9,99 долл. США в месяц по телефону Pearson +

• PreK – 12 Education
  
• Высшее образование
• Промышленность и профессионализм
• Блоги
• О нас

• США
  1. США
  2. Соединенное Королевство
  3. Глобальный
     
• Войти
  
• Свяжитесь с нами
• Сумка для книг

Все офисы PearsonСоединенные ШтатыВеликобританияКанадаНидерландыБельгия

Добавьте ВСЕ вещи: абстрактная алгебра и аналитика

Домашняя страница InfoQ Презентаций Добавьте ВСЕ вещи: абстрактная алгебра и аналитика

Сводка

Ави Брайант обсуждает, как законы теории групп обеспечивают полезную систематизацию практических уроков построения эффективных распределенных систем агрегирования в реальном времени.

Био

Ави Брайант возглавлял группы разработчиков продуктов, инженеров и специалистов по обработке данных в Etsy, Twitter и Dabble DB (которые он стал соучредителем и приобрел Twitter). Он известен своей работой с открытым исходным кодом в таких проектах, как Seaside, Scalding и Algebird. Ави в настоящее время работает в Stripe.

О конференции

Strange Loop – это многопрофильная конференция, целью которой является объединение разработчиков и мыслителей, создающих технологии завтрашнего дня в таких областях, как новые языки, альтернативные базы данных, параллелизм, распределенные системы, мобильная разработка и Интернет.

Зарегистрировано:

20 нояб.2013 г.

Абстрактная алгебра: структуры и приложения – 1-е издание

Содержание

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Наборы и функции
Декартово произведение; Операции; Отношения
Отношения эквивалентности
Частичные заказы

Теория чисел
Основные свойства целых чисел
Модульная арифметика
Математическая индукция

ГРУППЫ
Симметрии регулярного элемента n -угольник
Введение в группы
Свойства элементов группы
Симметричные группы
Подгруппы
Решетка подгрупп
Групповые гомоморфизмы
Представления групп
Группы в геометрии
Открытый ключ Диффи-Хеллмана
Полугруппы и Моноиды

КАЧЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
Классы смежности и теорема Лагранжа
Сопряженные и нормальные подгруппы
Факторные группы
Теоремы об изоморфизме
Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах

КОЛЬЦА
Введение в кольца
Кольца, порожденные элементами
Матричные кольца
Кольцевые гомоморфизмы
Идеалы
Факторные кольца
Максимальные и простые идеалы

ДЕЛЕНИЕ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Делимость в коммутативных кольцах
Кольца дробей
Евклидовы домены
Уникальные домены факторизации
Факторизация многочленов
Криптография RSA
Алгебраические целые числа

РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ
Введение в расширения полей
Алгебраические расширения
Решение кубических и четвертых уравнений
Конструируемые числа
Циклотомические расширения
Разделение полей и алгебраические замыкания
Конечные поля

ГРУППОВЫЕ ДЕЙСТВИЯ
Введение в групповые действия
Орбиты и стабилизаторы
Переходные групповые действия
Группы, действующие сами на себя
Теорема Силова
Краткое введение в представления групп

КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП
Составные ряды и разрешимые группы
Конечные простые группы
Полупрямое произведение.Классификационные теоремы
Нильпотентные группы

МОДУЛИ И АЛГЕБРЫ
Булевы алгебры
Векторные пространства
Введение в модули
Гомоморфизмы и частные модули
Свободные модули и декомпозиция модулей
Конечно генерируемые модули над PID, I
Конечно генерируемые модули над PID, II
Приложения к линейным преобразованиям Жордана Форма
Приложения йорданской канонической формы
Краткое введение в алгебры путей

ТЕОРИЯ ГАЛУА
Автоморфизмы расширений поля
Фундаментальная теорема теории Галуа
Первые приложения теории Галуа
Группы Галуа циклотомических расширений
Симметрии между корнями; Дискриминант
Вычисление групп Галуа многочленов
Поля конечной характеристики
Разрешимость в радикалах

МНОГООБРАЗНЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА
Введение в нётеровы кольца
Многовариантные полиномиальные кольца и аффинное пространство
The Nullstellensatz
Полиномиальное деление; Мономиальные порядки
Базис Грёбнера
Алгоритм Бухбергера
Приложения основ Грёбнера
Краткое введение в алгебраическую геометрию

КАТЕГОРИИ
Введение в Категории
Функторы

ПРИЛОЖЕНИЯ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

БИБЛИОГРАФИЯ

ИНДЕКС

Проекты появляются в конце каждой главы.

Абстрактная алгебра MAS4301 / 075A | Питер Син

Инструктор

Проф. Питер Син

Время и место

MWF 4, Литтл 125

Часы работы:

T4,6 Little 362, и по предварительной записи.

Описание и цели

Этот курс представляет собой введение в идеи высшей алгебры, основное внимание уделяется теории групп и некоторой теории колец. Теория групп – это математическое исследование симметрии.Студенты познакомятся с аксиоматическим подходом. Для иллюстрации абстрактных концепций будет использовано множество примеров групп. Студенты научатся читать математику медленно и критически и, таким образом, разовьют способность составлять собственные тщательные и точные доказательства.

Учебник

Современная абстрактная алгебра, 8-е изд., Джозеф А. Галлиан (обучение Брукса / Коула Сенсага).
Можно также использовать 7-е издание. Назначенные номера домашних заданий будут относиться к 8-му изданию, но
вы можете найти соответствующее 7-е изд.числа в этом pdf-файле (спасибо Хосе Бигио).

Календарь курса

Программное обеспечение

Некоторые примеры и упражнения в тексте используют GAP.

GAP – это бесплатный высококачественный пакет с открытым исходным кодом, доступный для Windows, Mac OS X и вариантов Unix (включая Linux). Его можно загрузить с http://www.gap-system.org

.

Это не требование курса для установки и использования GAP, но вы сочтете это хорошей проверкой вашего понимания, чтобы попытаться объяснить материал курса машине!

Веб-упражнения

Истинные / ложные проблемы на сайте Gallian

Домашнее задание

Следующий список является минимальным.Если вы стремитесь к
как высший балл, вы, вероятно, захотите попробовать проработать все упражнения
в назначенных главах.

Глава 1: 1,2,4,5,12,13,16.

Глава 2: 7,8,9,11,13,23,24,28,33,47,48.

Глава 3: 1,2,18,21,28,29,32,34,36.

Глава 4: 2,4,7,11,18,31,37,52.

Глава 5: 3,4,5,6,7,9,23,25,30,81.

Глава 6: 1,2,5,7,8,14,28,37,42.

Глава 7: 1,2,8,13,14,17,18,19,25,64.

Глава 8: 1,4,5,14,15,37,54.

гл.9: 1,2,6,9,11,12,20,37,47,51.

Глава 10: 2,3,4,7,8,9,14,16,29,48,51.

Глава 11: 3,9,15,16.

Глава 12: 1,2,3,4,6.

Выпускные классы

Всего будет 3 теста на 30 баллов и домашние задания на 10 баллов. Даты тестов указаны в календаре курса. Осмотр макияжа проводиться не будет, за исключением особых документально подтвержденных причин, таких как неотложная медицинская помощь. Экзамены могут быть изменены для студентов-спортсменов только в том случае, если я получу уведомление не менее чем за четыре недели.

Примеры экзаменов

Эти образцы предназначены для того, чтобы помочь вам понять объем и глубину экзаменационных вопросов и то, как на них отвечать, чтобы получить полную оценку.
Постарайтесь не искать решения, пока вы не сделаете все возможное, чтобы решить проблемы, иначе вы получите мало пользы от этих примеров.
Если у вас возникнет соблазн запомнить решения, вы зря потратите время, так как ни одна из задач примера не появится на реальных экзаменах.
Это также, вероятно, означает, что вам нужно переосмыслить свой подход к изучению высшей математики.

Оценочная шкала

Классы: A = 90-100, A- = 87-89, B + = 83-86, B = 78-82, B- = 75-77, C + = 70-74, C = 65-69, C- = 60-64, D = 50-59, E = 0-49
Если вы считаете, что оценка была вычислена неправильно , пожалуйста, сообщите мне об этом в течение одного дня после возврата вашей работы.

Если вы считаете, что ваша работа была неправильно оценена , пожалуйста, подайте апелляцию в письменной форме в течение семи дней с момента возврата вашей работы, подробно объяснив свои причины.Апелляции могут привести к более высокому, неизменному или более низкому баллу в зависимости от существа апелляции. Решения по апелляциям окончательны. Итоговый экзамен не подлежит обжалованию.

Правила UF по сортам находятся здесь: https://catalog.ufl.edu/ugrad/current/regulations/info/grades.aspx

Политика UF в отношении минусовых оценок находится здесь: https://catalog.ufl.edu/UGRD/academic-regulations/grades-grading-policies/#:~:text=No%20grades%20will%20be%20calculated,credit% 20is% 20предназначен% 20only% 20once. & Text = Colleges% 20may% 20not% 20accept% 20grade, credit% 20in% 20the% 20same% 20field..

Правила явки и опоздания

Явка обязательна , за исключением пропусков, разрешенных политиками UF. Позднее домашнее задание не принимается и засчитывается как ноль.
Политика UF в отношении посещаемости находится здесь: https://catalog.ufl.edu/ugrad/current/regulations/info/attendance.aspx

Особые помещения

Студенты, запрашивающие размещение в классной комнате, должны сначала зарегистрироваться в декане студенческого офиса. Декан по делам студентов предоставит студенту документацию, которая затем должна предоставить эту документацию преподавателю при запросе жилья.

Код чести

студентов UF обязаны соблюдать Клятву чести, в которой говорится: «Мы, члены сообщества Университета Флориды, обязуемся поддерживать себя и своих сверстников в соответствии с высочайшими стандартами чести и добросовестности, соблюдая Кодекс чести.
Для всех работ, представленных на зачет студентами Университета Флориды, требуется или подразумевается следующее обещание
: «Клянусь честью, я не оказывал и не получал несанкционированной помощи в выполнении этого задания
.”

Кодекс чести (http://www.dso.ufl.edu/sccr/process/student-conduct-honor-code/)
определяет ряд действий, которые нарушают этот кодекс, и возможные санкции.
Кроме того, вы обязаны сообщать о любых условиях, способствующих академическим нарушениям, соответствующему персоналу
. Если у вас есть какие-либо вопросы или проблемы, проконсультируйтесь с инструктором этого класса.

Оценка курса

Ожидается, что студенты предоставят отзывы о качестве обучения в этом курсе на основе 10 критериев.