Как решать неопределенные интегралы. Гайд для чайников — Офтоп на DTF
Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.
Лурк
4056 просмотров
Мы остались с ним в пустом классе и он медленно начал объяснять мне, как правильно брать разные интегралы разными способами. И вот уже в конце нашего первого занятия он предложил мне взять мой первый в жизни интеграл. Но как только я его увидела, я жутко испугалась и убежала.
Сайт МИФИ
Два математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Один (пессимист) утверждал, что большинство ее вообще не знает, а другой (оптимист) — что хоть и не много, но знают. Когда пессимист отошел в туалет, оптимист подозвал симпатичную официантку-блондинку и говорит:
— Когда мой коллега вернется, я задам вам вопрос. Суть не важна.
Все, что вы должны сделать — это сказать “Треть икс куб”.
2 по dх? — Треть икс куб… – отвечает официантка.
Пессимист сильно удивляется, на что официантка добавляет:
— А хули ты удивляешься, блять? Училась по гайдам с ДТФ.
Все очень просто. Глядим на эту картинку:
Да, это скриншот с Word. Криворукие программисты сайта дтф за десять лет так и не прикрутили поддержку формул в постах.
Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 – это функция, зависящая от х. Функция2 – это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку “С” и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.
Теперь смотрим на эту картинку:
Хочешь стать самым крутым? Придется выучить эту срань.
2 по dх?
— Треть икс куб… – отвечает официантка.
Пессимист сильно удивлен, оптимист довольно улыбается.
Когда официантка приносит счёт, вмешивается пессимист:
— Дамочка, а чему равно число пи?
Официантка подумала немного и выдала:
— Дор?
Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:
Такое даже Буратино может решить в уме.
Запоминаем:
- Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
- Если перед подынтегральной функцией стоит константа, то ее можно вынести за знак интеграла.
Применяя оба правила на практике получаем:
Распад исходного интеграла на более мелкие является крупнейшей геоматематической катастрофой этого блога.
Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго).
Кто-то может сказать, что у нас сумма 3 разных интегралов, а, соответственно, сумма трех разных С. Но С – это любое число, а сумма трех любых чисел дает любое число.
Содержание скрыто
Показать
Два дагестанских математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Далее события развивались с утомительной неизбежностью.
Как привлечь внимание дурака? Читай дальше.
Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:
По статистике, 85% аудитории Доты 2 не поняло, что произошло.
Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл – табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.
Молодец, что не забыл С. Идем дальше.
2 по dх?
— Не знаю, не разбираюсь в этом, да и оно мне, собственно, до пизды, — отвечает официантка.
Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).
Нижняя строчка означает, что u и v – это какие-то функции от х.
Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:
U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:
Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:
Готов к полному пиздецу?
Полный пиздец как он есть.
Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение – метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:
Ловко, да? Все, что нам нужно – это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.
Это мы коммунистическим путем привели левую часть к общему знаменателю.
Теперь можно и сократить знаменатели.
Надо раскрыть скобки.
Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:
Ну а теперь:
Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):
Модуль ставить обязательно. Ты же помнишь, что функция под логарифмом всегда должна быть больше нуля?
Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.
Как правильно решить интегралы
Практическое применение интегралов в жизни
Реальный мир не идеален и не прямолинеен. В нем нет геометрических форм без изъяна, нет движения без ускорения. И зависимости между величинами редко представлены прямой линией. Поэтому вычисления не обходятся без интегралов.
Определение
Интеграл — важнейшее понятие математики.
Связано с необходимостью отыскивать функции по их производным и измерять объемы и площади, работу сил за какой-либо промежуток времени.
Множество частных случаев из жизни делают интегрирование не просто полезным, а необходимым действием. Интеграл поможет:
- рассчитать стоимость, изучив зависимость потребности от предложений;
- вычислить время выполнения работы, с учетом усталости людей;
- узнать, как изменяется долг по кредиту в течение времени;
- определить прирост жителей города
Место интегралам нашлось не только в физико-математических науках, но и в астрономии, экономике, медицине, биологии и архитектуре.
Понимая практическую значимость интегралов, легче усвоить базовые понятия и применять их в решении задач.
Из истории интегрирования
Интегрирование рассматривается, как сложение бесконечно малых частей бесконечное количество раз.
Интегральный расчет получен при определении площадей и объемов.
Правила измерения квадратуры были известны древним ученым. В Египте и Вавилоне вычисляли площади круга и объем усеченной пирамиды.
Значительный вклад внесли древнегреческие ученые. Первый метод интегрирования назвали «исчерпание» по аналогии с водой, которую черпают кружкой из ведра. В Древней Греции Архимед объяснил задачу вычисления площади круга без знаний о числе «Пи».
Описание метода
Для нахождения площади круга в него вписываются геометрические фигуры. Высчитывается предел последовательности площадей этих фигур, который и принимается за площадь круга.
Данный способ вычисления площади рассматривает идею интегрирования. То есть нахождения предела безграничной суммы. Метод нашел применение в решении прикладных задач в разных научных областях.
Ньютон и Лейбниц сформулировали теорию интегрирования опираясь на законы дифференциального исчисления. Чтобы разобраться в классической теории нужно получить базовые знания.
Смысл интегрирования заключается в двух видах задач: геометрических и аналитико-алгебраических.
В первом случае находят площади фигур, во втором подсчитывают суммарное значение переменной величины, принимающей различные значение единиц времени, длины и других измерений.
Понятие «Интеграл» в простом изложении
Термин «интеграл» произошел от латинского integer, то есть «целостный». Данный термин предложил математик Лейбниц еще в 17 веке.
Определение
Интеграл – это сложение маленьких частей и даже обозначение ∫ представляет собой вытянутую s, что означает сумму.
Интеграл – первообразная функции. Интегрирование – определение первообразной.
В математике интеграл вычисляет площадь, ограниченную кривой линией. Неопределенный интеграл – это вся фигура. Определенный интеграл – площадь некоторой части.
Запись интеграла функции:
х – аргумент, его можно заменить любой другой переменной, в отношении которой будет осуществляться интегрирование. d – бесконечно малое число. Сочетание «dx» называют приращением и рассматривают, как бесконечно малый «икс».
На рисунке криволинейная трапеция разбита на столбцы шириной х, число столбцов – d.
Неопределённый интеграл
Определение
Неопределенный интеграл – это сумма всех первообразных данной функции, которая не имеет границ интегрирования.
Сумма F(x)+C всех первоначальных функций f(x) на интервале а< x<b является неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается ∫f(x)dx .
Если функция F(x) является первообразной для f(x) , то по определению
∫ f(x)dx = F(x)+C
∫ — знак интеграла, f(x)dx — подынтегральное выражение, f(x) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — произвольная постоянная.
Определение
Дифференцирование — процесс нахождения производной по данной функции или дифференциала. Обратный процесс – интегрирование. С помощью него по данной производной находят первоначальную функцию.
При нахождении неопределённых интегралов вычисляют первообразную и прибавляют «C».
{b} f(x) d x
\]
Нет времени решать самому?
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Примеры вычисления интегралов
Найти неопределенный интеграл.
Часто при решении используют тригонометрические формулы.
Решение определенного интеграла.
Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления интегралов:
Пример 1.
Пример 2.
Словарь базовых понятий.
Для понимания сути интеграла необходимо разбираться в базовых понятиях: функция, производная, приращение, предел.
Функция – отношение между элементами, где изменение одного элемента, повлечёт изменение другого.
Производная – функция, которая описывает скорость трансформации второй функции в каждой данной точке. Вторая функция называется первообразной. По сути — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Высчитывание проводят, используя таблицу производных со стандартными функциями.
Приращение – количественная степень изменения функции при вероятном изменении аргумента.
Предел – величина, к которой стремится значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.
Решение задач с интегралами могут показаться сложными. Выполнение практических заданий поможет преодолеть трудности.
Решение интегралов сводится к простым видоизменениям подынтегральной функции и поиску её в таблице интегралов.
Мы также можем отметить, что интегралы играют не последнюю роль в нашей жизни. В Биологических науках, к примеру, при их помощи узнают прирост популяции видов, в медицине используют в различных исследованиях, например, в томографии, в астрономии рассчитывают передвижение космических объектов и многое другое. Да и вообще трудно найти область, в которой не применяются данные методы вычисления.
Использование основной теоремы для вычисления определенных интегралов
Все ресурсы AB исчисления AP
3 диагностических теста 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
AP Calculus AB Помощь » Интегралы » Основная теорема исчисления » Использование основной теоремы для вычисления определенного интеграла
Использование основной теоремы исчисления для вычисления определенного интеграла
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Здесь мы используем основную теорему исчисления:
Здесь мы не беспокоимся о добавлении константы c, потому что мы вычисляем определенный интеграл.
Сообщить об ошибке
Оценить .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Мы можем интегрировать это без особых проблем
. Старт
. Перепишите мощность
. Интегрировать
. Оценить
. Упростить
Обратите внимание, что нас не просили оценивать, поэтому вам не следует пытаться использовать первую часть Фундаментальной теоремы исчисления. Это дало бы нам неправильный ответ .
Сообщить об ошибке
Используя Фундаментальную теорему исчисления и полностью упростив решение интеграла.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления
.
Поскольку обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 3 и 6.
Чтобы найти первообразную, мы должны знать, что в интеграле .
Первообразная функции равна , поэтому мы должны вычислить .
Согласно правилам логарифмирования, вычитание двух логарифмов равносильно получению логарифма дроби этих двух значений:
.
Затем мы можем упростить до окончательного ответа
Сообщить об ошибке
Используя основную теорему исчисления, решить интеграл.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл с помощью основной теоремы, мы должны сначала взять первообразную функции. Антипроизводная от это . Поскольку пределы интегрирования равны 1 и 3, мы должны вычислить первообразную при этих двух значениях.
обозначает антипроизводную.
Когда мы это сделаем,
и .
Следующим шагом является нахождение разницы между значениями на каждом пределе интегрирования, поскольку Основная теорема утверждает
.
Таким образом, мы вычитаем, чтобы получить окончательный ответ .
Сообщить об ошибке
Решите, используя Фундаментальную теорему исчисления.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления
.
Так как обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 3.
Первообразная функции равна , поэтому мы должны вычислить .
Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.
Чтобы найти окончательный ответ, мы должны взять разность этих двух решений, так что окончательный ответ.
Сообщить об ошибке
Решите, используя Фундаментальную теорему исчисления.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления
.
Так как обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 2. оценивать .
Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.
Чтобы найти окончательный ответ, мы должны найти разницу между этими двумя решениями, поэтому окончательный ответ равен .
Сообщить об ошибке
Вычислить неопределенный интеграл:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
5 Объяснение:
Сначала вычислите неопределенный интеграл:
Обратите внимание, что является производной от .
Итак, приступайте к определению новой переменной:
Теперь интеграл можно записать в терминах
Следовательно:
Когда мы перейдем к вычислению неопределенного интеграла, константа интегрирования будет проигнорирована, поскольку она будет вычтена при вычислении.
Мы можем либо вернуться к исходной переменной и оценить исходные пределы интегрирования, либо найти новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной. Давайте рассмотрим оба эквивалентных метода:
Решение 1)
поэтому последний член исчезает. Первый член сводится к , поскольку функция тангенса равна .
Решение 2)
Мы могли бы решить и без преобразования исходной переменной. Вместо этого мы могли бы просто изменить пределы интегрирования. Используйте определение, присвоенное переменной , которое было , а затем используйте его, чтобы определить, какое значение принимается, когда (нижний предел) и когда (верхний предел).
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
87 0004
Объяснение:
Это фундаментальная теорема задачи исчисления. Поскольку производная и антипроизводная компенсируют друг друга, нам просто нужно вставить пределы в нашу функцию (с внешней переменной). Затем мы умножаем каждую на производную от оценки:
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
65 9001 Объяснение:
Используя основную теорему исчисления, производная антипроизводной просто дает нам функцию с подставленными пределами, умноженную на производную соответствующих границ:
На последнем шаге мы сделали использование следующего тригонометрического тождества:
Сообщить об ошибке
Вычислить следующий неопределенный интеграл:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
4
44
44
Пояснение:
Вычислите следующий неопределенный интеграл:
Вспомните, что мы можем разделить вычитание и сложение внутри интегралов на отдельные интегралы.
Это означает, что мы можем рассмотреть нашу проблему в два этапа.
Напомним, что мы можем интегрировать любой экспоненциальный член, добавляя 1 к показателю степени и разделив на новый показатель степени.
Итак,
Далее напомним, что интеграл синуса есть отрицательный косинус. Однако у нас уже есть отрицательный синус, поэтому должен получиться положительный косинус.
Теперь мы можем объединить наши две половины, чтобы получить окончательный ответ.
Обратите внимание, что у нас есть только одна буква «с», потому что с — это просто константа, а не переменная.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы AP Calculus AB
3 диагностических теста
164 практических теста
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
9.4. Использование контурной интеграции для решения определенных интегралов
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 34569
- Ю. 2 + 1}.\] Этот интеграл берется по действительным значениям \(x\), а в главе 3 мы решили ее с помощью замены переменных. Теперь давайте посмотрим, как решить ее с помощью контурного интегрирования. 92 + 1}.\] Это просто подынтегральная функция, с которой мы имели дело в разделе 9.3.
Теперь нам нужно выбрать контур. Обычная процедура заключается в определении замкнутого контура (петли), так что один сегмент петли является реальной линией (от \(-\infty\) до \(+\infty\)), а другой сегмент петли «удваивается» в комплексной плоскости, чтобы замкнуть петлю. Это называется замыканием контура .
Здесь мы выбираем замыкание контура по дуге полуокружности против часовой стрелки в верхней половине комплексной плоскости, как показано ниже: 9{iqz} \,g(z),\] где \(q\) — любая положительная вещественная постоянная, а контур \(C\) представляет собой дугу полукруга радиуса \(R\) в верхней половине -плоскость с центром в начале координат. Затем \[\text{Если}\;\; \big|\,g(z)\,\big| < g_{\mathrm{max}} \;\;\;\text{для всех}\;\;z \in C \;\;\;\Rightarrow \;\;\; I \rightarrow 0 \;\;\mathrm{as}\;\; g_{\mathrm{max}} \rightarrow 0. \]
Другими словами, если множитель \(g(z)\) в подынтегральном выражении не раздувается по контуру дуги (т. е. его значение ограничено ), то в пределе, когда граничное значение стремится к нулю, значение всего интеграла обращается в нуль.
Обычно интерес представляет предельный случай, когда радиус дуги стремится к бесконечности. Даже если в этом пределе подынтегральная функция обращается в нуль, может быть неочевидно, что интеграл \(I\) обращается в нуль, потому что интегрирование ведется по дуге бесконечной длины (поэтому мы имеем сортировку \(0\times\infty\) ситуации). В этом случае лемма Жордана оказывается полезной, поскольку она предоставляет набор критериев, позволяющих нам немедленно заключить, что \(I\) должно обращаться в нуль.
Доказательство леммы Жордана утомительно, и мы не будем вдаваться в его детали. 9{-iqz} \,g(z),\] где \(q\) — любая положительная вещественная постоянная, а контур \(C\) представляет собой дугу полуокружности радиуса \(R\) в нижней полуплоскости с центром в начале координат. {ix}}{x}.\] Мы хотим вычислить \(I’\) с помощью контурного интегрирования. Но есть что-то странное в \(I’\): комплексное подынтегральное выражение имеет полюс в точке \(z = 0\), прямо на прямой! 9{ix}}{x}.\end{align}\] В последней строке обозначение \(\mathcal{P}[\cdots]\) является сокращением для этой процедуры «отсечения» бесконечно малого сегмента окружающих полюс. Это называется получением главного значения интеграла.
Примечание
Несмотря на то, что это название носит то же название, что и «главные значения» для многозначных сложных операций, обсуждаемых в главе 8, между этими двумя понятиями нет никакой связи.
Теперь рассмотрим контур петли, показанный на рисунке ниже. Петля следует контуру главного значения вдоль вещественной оси, перескакивает через полюс в точке \(z = 0\) и дугой возвращается в верхнюю полуплоскость. Поскольку он не содержит полюсов, петлевой интеграл равен нулю по интегральной теореме Коши. Однако петлю также можно разбить на несколько подконтуров:
- \(\Gamma_1\), состоящий из отрезков вдоль вещественной оси. 0 d\theta \\ &= – i\pi.\end{align}\] Интуитивно, поскольку окружность полюса против часовой стрелки дает коэффициент \(2\pi i\), умноженный на остаток (который в данном случае равен 1), полуокружность по часовой стрелке связана с коэффициентом \(- i \pi\) . Наконец, собрав все вместе, \[\underbrace{\int_{\Gamma_1 + \Gamma_2 + \Gamma_3} f(z) dz}_{ =~0~(\text{интегральная теорема Коши})} = \underbrace{\ int_{\Gamma_1} f(z) dz}_{=~I’} + \underbrace{\int_{\Gamma_2} f(z) dz}_{=~0~(\text{лемма Жордана})} + \underbrace{\int_{\Gamma_3} f(z) dz.}_{=~-i \pi}\] Следовательно, \[I = \mathrm{Im}(I’) = \mathrm{Im}(i \pi) = \pi.\] Это согласуется с результатом, полученным методом дифференцирования под знаком интеграла из раздела 3.6.
В качестве альтернативы мы могли бы выбрать контур петли так, чтобы он пропускал ниже полюса в \(z = 0\). В этом случае петлевой интеграл был бы отличен от нуля, и его можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. Конечный результат тот же.
Эта страница под названием 9.
4 Пояснение:
Вычислите следующий неопределенный интеграл:
Вспомните, что мы можем разделить вычитание и сложение внутри интегралов на отдельные интегралы.
Это означает, что мы можем рассмотреть нашу проблему в два этапа.
Напомним, что мы можем интегрировать любой экспоненциальный член, добавляя 1 к показателю степени и разделив на новый показатель степени.
Итак,
Далее напомним, что интеграл синуса есть отрицательный косинус. Однако у нас уже есть отрицательный синус, поэтому должен получиться положительный косинус.
Теперь мы можем объединить наши две половины, чтобы получить окончательный ответ.
Обратите внимание, что у нас есть только одна буква «с», потому что с — это просто константа, а не переменная.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы AP Calculus AB
3 диагностических теста 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
9.4. Использование контурной интеграции для решения определенных интегралов
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 34569
- Ю. 2 + 1}.\] Этот интеграл берется по действительным значениям \(x\), а в главе 3 мы решили ее с помощью замены переменных. Теперь давайте посмотрим, как решить ее с помощью контурного интегрирования. 92 + 1}.\] Это просто подынтегральная функция, с которой мы имели дело в разделе 9.3.
Теперь нам нужно выбрать контур. Обычная процедура заключается в определении замкнутого контура (петли), так что один сегмент петли является реальной линией (от \(-\infty\) до \(+\infty\)), а другой сегмент петли «удваивается» в комплексной плоскости, чтобы замкнуть петлю. Это называется замыканием контура .
Здесь мы выбираем замыкание контура по дуге полуокружности против часовой стрелки в верхней половине комплексной плоскости, как показано ниже: 9{iqz} \,g(z),\] где \(q\) — любая положительная вещественная постоянная, а контур \(C\) представляет собой дугу полукруга радиуса \(R\) в верхней половине -плоскость с центром в начале координат. Затем \[\text{Если}\;\; \big|\,g(z)\,\big| < g_{\mathrm{max}} \;\;\;\text{для всех}\;\;z \in C \;\;\;\Rightarrow \;\;\; I \rightarrow 0 \;\;\mathrm{as}\;\; g_{\mathrm{max}} \rightarrow 0.
\]Другими словами, если множитель \(g(z)\) в подынтегральном выражении не раздувается по контуру дуги (т. е. его значение ограничено ), то в пределе, когда граничное значение стремится к нулю, значение всего интеграла обращается в нуль.
Обычно интерес представляет предельный случай, когда радиус дуги стремится к бесконечности. Даже если в этом пределе подынтегральная функция обращается в нуль, может быть неочевидно, что интеграл \(I\) обращается в нуль, потому что интегрирование ведется по дуге бесконечной длины (поэтому мы имеем сортировку \(0\times\infty\) ситуации). В этом случае лемма Жордана оказывается полезной, поскольку она предоставляет набор критериев, позволяющих нам немедленно заключить, что \(I\) должно обращаться в нуль.
Доказательство леммы Жордана утомительно, и мы не будем вдаваться в его детали. 9{-iqz} \,g(z),\] где \(q\) — любая положительная вещественная постоянная, а контур \(C\) представляет собой дугу полуокружности радиуса \(R\) в нижней полуплоскости с центром в начале координат.
{ix}}{x}.\] Мы хотим вычислить \(I’\) с помощью контурного интегрирования. Но есть что-то странное в \(I’\): комплексное подынтегральное выражение имеет полюс в точке \(z = 0\), прямо на прямой! 9{ix}}{x}.\end{align}\] В последней строке обозначение \(\mathcal{P}[\cdots]\) является сокращением для этой процедуры «отсечения» бесконечно малого сегмента окружающих полюс. Это называется получением главного значения интеграла.Примечание
Несмотря на то, что это название носит то же название, что и «главные значения» для многозначных сложных операций, обсуждаемых в главе 8, между этими двумя понятиями нет никакой связи.
Теперь рассмотрим контур петли, показанный на рисунке ниже. Петля следует контуру главного значения вдоль вещественной оси, перескакивает через полюс в точке \(z = 0\) и дугой возвращается в верхнюю полуплоскость. Поскольку он не содержит полюсов, петлевой интеграл равен нулю по интегральной теореме Коши. Однако петлю также можно разбить на несколько подконтуров:
- \(\Gamma_1\), состоящий из отрезков вдоль вещественной оси. 0 d\theta \\ &= – i\pi.\end{align}\] Интуитивно, поскольку окружность полюса против часовой стрелки дает коэффициент \(2\pi i\), умноженный на остаток (который в данном случае равен 1), полуокружность по часовой стрелке связана с коэффициентом \(- i \pi\) . Наконец, собрав все вместе, \[\underbrace{\int_{\Gamma_1 + \Gamma_2 + \Gamma_3} f(z) dz}_{ =~0~(\text{интегральная теорема Коши})} = \underbrace{\ int_{\Gamma_1} f(z) dz}_{=~I’} + \underbrace{\int_{\Gamma_2} f(z) dz}_{=~0~(\text{лемма Жордана})} + \underbrace{\int_{\Gamma_3} f(z) dz.}_{=~-i \pi}\] Следовательно, \[I = \mathrm{Im}(I’) = \mathrm{Im}(i \pi) = \pi.\] Это согласуется с результатом, полученным методом дифференцирования под знаком интеграла из раздела 3.6.
В качестве альтернативы мы могли бы выбрать контур петли так, чтобы он пропускал ниже полюса в \(z = 0\). В этом случае петлевой интеграл был бы отличен от нуля, и его можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. Конечный результат тот же.
Эта страница под названием 9.
- \(\Gamma_1\), состоящий из отрезков вдоль вещественной оси.
2 + 1}.\] Этот интеграл берется по действительным значениям \(x\), а в главе 3 мы решили ее с помощью замены переменных. Теперь давайте посмотрим, как решить ее с помощью контурного интегрирования. 92 + 1}.\] Это просто подынтегральная функция, с которой мы имели дело в разделе 9.3.
\]
{ix}}{x}.\] Мы хотим вычислить \(I’\) с помощью контурного интегрирования. Но есть что-то странное в \(I’\): комплексное подынтегральное выражение имеет полюс в точке \(z = 0\), прямо на прямой! 9{ix}}{x}.\end{align}\] В последней строке обозначение \(\mathcal{P}[\cdots]\) является сокращением для этой процедуры «отсечения» бесконечно малого сегмента окружающих полюс. Это называется получением главного значения интеграла.
0 d\theta \\ &= – i\pi.\end{align}\] Интуитивно, поскольку окружность полюса против часовой стрелки дает коэффициент \(2\pi i\), умноженный на остаток (который в данном случае равен 1), полуокружность по часовой стрелке связана с коэффициентом \(- i \pi\) . Наконец, собрав все вместе, \[\underbrace{\int_{\Gamma_1 + \Gamma_2 + \Gamma_3} f(z) dz}_{ =~0~(\text{интегральная теорема Коши})} = \underbrace{\ int_{\Gamma_1} f(z) dz}_{=~I’} + \underbrace{\int_{\Gamma_2} f(z) dz}_{=~0~(\text{лемма Жордана})} + \underbrace{\int_{\Gamma_3} f(z) dz.}_{=~-i \pi}\] Следовательно, \[I = \mathrm{Im}(I’) = \mathrm{Im}(i \pi) = \pi.\] Это согласуется с результатом, полученным методом дифференцирования под знаком интеграла из раздела 3.6.