Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Как решить систему линейных уравнений? Далее полезно изучить урок Правило Крамера. Матричный метод.
Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.
Метод
Гаусса прост тем, что для его освоения
ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.
Необходимо
уметь складывать и умножать!
Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод
Замечу, что сам алгоритм метода во всех
трёх случаях работает одинаково.Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.
На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы: . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.
Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:
После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:
2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .
3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.
4)
Строку матрицы можно умножить
(разделить) на
любое число, отличное
от нуля.
5)
Это преобразование вызывает наибольшие
затруднения, но на самом деле ничего
сложного тоже нет. К строке матрицы
можно прибавить
другую строку, умноженную на число,
отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу
из практического примера: .
Сначала я распишу преобразование очень
подробно. Умножаем первую строку на
–2: ,
и ко
второй строке прибавляем первую строку
умноженную на –2: .
Теперь первую строку можно разделить
«обратно» на –2: .
Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯ
На
практике так подробно, конечно, не
расписывают, а пишут короче:
Еще
раз: ко второй строке прибавили
первую строку, умноженную на –2.
Умножают строку обычно устно или на
черновике, при этом мысленный ход
расчётов примерно такой:
«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »
«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »
«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.
Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений
!
ВНИМАНИЕ:
рассмотренные манипуляции 
Например, при
«классических» действиях
с матрицами что-то
переставлять внутри матриц ни в коем
случае нельзя!
Вернемся к нашей
системе .
Она практически разобрана по косточкам.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.
(2) Делим вторую строку на 3.
Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:
Теперь
систему нужно «раскрутить» в обратном
направлении – снизу вверх, этот процесс
называется 
В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .
Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:
Ответ:
Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример 1
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы:
Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?
Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:
Теперь
первая строка у нас останется неизменной
до конца решения.
Уже легче.
Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:
Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:
Результат записываем во вторую строку:
Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:
Результат записываем в третью строку:
На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:
Не
нужно считать всё сразу и одновременно.
Порядок вычислений и «вписывания»
результатов последователен и
обычно такой: сначала переписываем
первую строку, и пыхтим себе потихонечку
– ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО:
А
мысленный ход самих расчётов я уже
рассмотрел выше.
Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:
В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:
На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:
Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.
Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.
В
результате элементарных преобразований
получена эквивалентная исходной система
линейных уравнений:
Круто.
Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.
В третьем уравнении у нас уже готовый результат:
Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:
И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:
Ответ:
Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!
Пример 3
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим
на левую верхнюю «ступеньку».
Там у нас
должна быть единица. Проблема состоит
в том, что в первом столбце единиц нет
вообще, поэтому перестановкой строк
ничего не решить. В таких случаях единицу
нужно организовать с помощью элементарного
преобразования. Обычно это можно сделать
несколькими способами. Я поступил
так:
(1) К
первой строке прибавляем вторую строку,
умноженную на –1.
То есть, мысленно умножили вторую строку
на –1 и выполнили сложение первой и
второй строки, при этом вторая строка
у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
(3)
Первую строку умножили на –1, в принципе,
это для красоты. У третьей строки также
сменили знак и переставили её на второе
место, таким образом, на второй «ступеньке
у нас появилась нужная единица.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 3.
Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:
Ответ: .
Пример 4
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.
В
последней части рассмотрим некоторые
особенности алгоритма Гаусса.
Первая
особенность состоит в том, что иногда
в уравнениях системы отсутствуют
некоторые переменные, например:
Как
правильно записать расширенную матрицу
системы? Об этом моменте я уже рассказывал
на уроке Правило
Крамера. Матричный метод.
В расширенной матрице системы на месте
отсутствующих переменных ставим
нули:
Кстати,
это довольно легкий пример, поскольку
в первом столбце уже есть один ноль, и
предстоит выполнить меньше элементарных
преобразований.
Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .
Здесь
на левой верхней «ступеньке» у нас
двойка. Но замечаем тот факт, что все
числа в первом столбце делятся на 2 без
остатка – и другая двойка и шестерка.
И двойка слева вверху нас устроит! На
первом шаге нужно выполнить следующие
преобразования: ко второй строке
прибавить первую строку, умноженную на
–1; к третьей строке прибавить первую
строку, умноженную на –3.
Таким образом,
мы получим нужные нули в первом столбце.
Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.
Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.
Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Решить
методом Гаусса систему 4-х линейных
уравнений с четырьмя неизвестными.
Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.
Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример
2: Решение: Запишем
расширенную матрицу системы и с помощью
элементарных преобразований приведем
ее к ступенчатому виду. Выполненные
элементарные преобразования: (1)
Ко второй строке прибавили первую
строку, умноженную на –2. К третьей
строке прибавили первую строку, умноженную
на –1. Внимание! Здесь
может возникнуть соблазн из третьей
строки вычесть первую, крайне не
рекомендую вычитать – сильно повышается
риск ошибки.
Только складываем! (2)
У второй строки сменили знак (умножили
на –1). Вторую и третью строки поменяли
местами. Обратите
внимание,
что на «ступеньках» нас устраивает не
только единица, но еще и –1, что даже
удобнее. (3)
К третьей строке прибавили вторую
строку, умноженную на 5. (4)
У второй строки сменили знак (умножили
на –1). Третью строку разделили на 14.
Обратный ход:
Ответ: .
Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные
преобразования: (1)
К первой строке прибавили вторую. Таким
образом, организована нужная единица
на левой верхней «ступеньке». (2)
Ко второй строке прибавили первую
строку, умноженную на 7. К третьей
строке прибавили первую строку, умноженную
на 6.
Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.
Обратный ход:
Ответ:
Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные
преобразования: (1)
Первую и вторую строки поменяли
местами. (2)
Ко второй строке прибавили первую
строку, умноженную на –2.
К третьей
строке прибавили первую строку, умноженную
на –2. К четвертой строке прибавили
первую строку, умноженную на –3. (3)
К третьей строке прибавили вторую,
умноженную на 4. К четвертой строке
прибавили вторую, умноженную на –1. (4)
У второй строки сменили знак. Четвертую
строку разделили на 3 и поместили вместо
третьей строки. (5)
К четвертой строке прибавили третью
строку, умноженную на –5.
Обратный ход:
Ответ:
\
Как решить уравнение Гаусса онлайн с решением
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из
величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом
Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и
прикладной математикой, широта проблематики.
Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры,
теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии
и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений,
поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:
– универсальность;
– не требует проверки системы на совместимость;
– минимальное количество математических операций.
Так же читайте нашу статью “Решить неравенство онлайн решателем”
Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения методом Гаусса и сравнить ответы.
Решим следующее уравнение методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Составляем расширенную матрицу системы
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим
вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой – вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[ -\frac{18}{18}=-1\]. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными.
Искомое решение находим “с
конца”. Из четвёртого уравнения имеем
\[x_4=-\frac{7}{18}\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}\]
Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18},\]
Наконец, подстановка значений
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}\]
Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].
Решить систему матричных уравнений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru.
Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что
вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе.
Так же вы можете посмотреть
видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Калькулятор исключения Гаусса
Выберите порядок матрицы, заполните необходимые поля ввода и нажмите кнопку расчета с помощью калькулятора исключения Гаусса.
Содержание:
- Калькулятор исключения Гаусса
- Как выполнить исключение Гаусса?
Дайте нам отзыв
✎
✉
Калькулятор исключения Гаусса
Калькулятор исключения Гаусса приводит матрицу, образованную системой уравнений, к ее упрощенной форме. Найдите другую информацию и значения, связанные с матрицей, такие как:
- Матрица, обратная
- Определитель
- Собственные значения
- Свойства, трассировка и т. д.
Что такое исключение Гаусса?
Этот метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса.
Он использует метод эшелона строк для достижения желаемой формы матрицы. Затем значения переменных математического уравнения легко вычисляются из результирующей матрицы.Используется расширенная матрица.
Как выполнить исключение Гаусса?
Операции со строками используются в матрице, чтобы сделать диагональные элементы равными 1 с нулями под ними. Далее он используется, чтобы сделать матрицу диагональной матрицей. Таким образом, значения распознаются из самой уменьшенной матрицы.
Прежде всего, вы должны составить уравнение таким образом, чтобы все одинаковые переменные выровнялись по столбцам. Если одно из уравнений не содержит никакой переменной, то вместо нее в матрице ставится 0.
Давайте посмотрим на пример использования этого метода.
Пример:Найдите значения переменных, используемых в следующих уравнениях, с помощью метода исключения Гаусса-Жордана.
1x + 1y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Решение
3x + 8y – 7 = 0
6x + 3y – 3 = 0
9x + 4y – 4 = 0
Шаг 2: Создайте расширенную матрицу.
Шаг 3: Выполнить эшелонирование строк.
Строка вычтения 1, умноженная на 2 из строки 2: R 2 = R 2 – 2R 1
Вычетная строка 1 Умножено 3 из строк 3: R 3 = R 3 9090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090900 – 3R 1
Разделить 1-й ряд на 2: R 2 = R 2 /2
Из 3-го ряда вычесть 2-й ряд, умноженный на 3: R 3 = R 3 – 3R 2
Умножьте строку 3 на -2: R 3 = -2 R 3
Это конец метода исключения Гаусса. Значения переменных можно легко вычислить по этой матрице. Первый столбец представляет x, второй — y, а третий — переменную z.
В третьей строке только z. Это означает, что z=3. Поместите это во вторую строку, чтобы вычислить y, а затем в первую строку, чтобы найти x.
Эту матрицу можно еще больше упростить, используя метод Гаусса-Жордана. Для этого:
Добавить строку 3, умноженную на 7/3, к строке 2: 7/3R 3 + R 2
Вычесть строку 3, умноженную на -2, из строки 1: R 1 = R 1 -2R 3
Вычесть строку 2 из строки 1: R 1 = R 1 – R2
В этой матрице нахождение значений переменных — это вопрос поиска. г=3, у=2 и х=1.Tinder: приложение для знакомств. Встретиться. Чат
С более чем 70 миллиардами совпадений на сегодняшний день Tinder® является лучшим бесплатным приложением для знакомств, и лучшее место для знакомства с новыми людьми. Вы ищете настоящую любовь? Открытые отношения? Вы хотите пойти туда и найти дату, или вы просто хотите подружиться и поболтать? С помощью Tinder вы можете встречаться с местными жителями повсюду и получать максимум удовольствия от свиданий:
Независимо от того, натурал вы, гей, бисексуал или что-то среднее, Tinder позволяет вам быть тем, кто вы есть, и найти того, кого вы хотите.
Поделитесь своими интересами и узнайте больше о своих совпадениях, чтобы начать разговор и зажечь искры.
Фото Проверенные профили: Потому что единственные сюрпризы, которые мы хотим, это цветы на первом свидании
Видеочат: Проверьте свою химию онлайн-знакомств и познакомьтесь с новыми людьми из дома!
Куда-то едете? Познакомьтесь с местными жителями и присоединитесь к сообществу людей со всего мира. Свидание в Нью-Йорке, знакомство с новыми друзьями в Майами или свидание в Лондоне: куда бы вы ни пошли, мы будем там.Некоторые люди называют нас своим «самым надежным приложением для сватов», некоторые называют нас «самый популярный в мире бесплатный сайт знакомств» , но вы можете просто позвонить нам, когда захотите встретиться с людьми из вашего района.
Матч, чат и свидание. Это наша мантра.
Находить новых людей в Tinder® легко и весело. Выделите свой профиль своими лучшими фотографиями и немного о себе, чтобы повысить свой потенциал поиска партнеров. Используйте функцию Swipe Right™, чтобы поставить лайк кому-то, используйте функцию Swipe Left™, чтобы отказаться. Если кто-то любит вас в ответ, это совпадение! И никакого давления: с нашей функцией двойного согласия интерес должен быть взаимным, чтобы он соответствовал. Сколько приложений для знакомств могут сказать такое?Пока вы здесь, поднимите тост за жизнь Gold и наслаждайтесь некоторыми премиальными функциями Tinder с нашей подпиской Tinder Gold™
Likes You позволяет вам видеть всех своих поклонников, экономя ваше драгоценное время
Неограниченное количество Likes для вас, чтобы поймать чувства для стольких новых людей, сколько вы хотите
Перемотка назад, чтобы вы могли отменить свой последний лайк или нет
Используйте Passport, чтобы отправиться в любую точку мира, чтобы найти людей в Интернете за пределами вашего почтового индекса минут, чтобы привлечь больше внимания
5 суперлайков доступно в неделю, потому что иногда вам очень-очень нравится кто-то
Ищете доступ ко всем премиум-функциям Tinder? Присоединяйтесь к Tinder Platinum™, чтобы ваши лайки располагались в приоритете с потенциальными совпадениями, чтобы иметь возможность отправлять сообщения перед сопоставлением и многое другое.Есть плюс для тех, кто не готов завязать отношения с Gold или Platinum. С Tinder Plus® вы разблокируете такие функции, как неограниченные лайки, неограниченные перемотки и паспорт.
Так чего же ты ждешь? Загрузите лучшее бесплатное приложение для знакомств уже сегодня! Неважно, хотите ли вы завести друзей, познакомиться с новыми людьми или найти свою идеальную пару, Tinder — это место, где каждый может найти именно то, что ищет. — и тебе пора уже появиться.
————————————————–
Если вы решите приобрести Tinder Plus®, Tinder Gold ™ или Tinder Platinum™ будет снята с вашей учетной записи Google Play, и с вашей учетной записи будет снята плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода. Автообновление можно отключить в любое время, зайдя в настройки в Play Store после покупки. Отмена текущей подписки не допускается в течение активного периода подписки. Если вы не хотите покупать Tinder Plus®, Tinder Gold™ или Tinder Platinum™, вы можете просто продолжать использовать Tinder бесплатно.
Он использует метод эшелона строк для достижения желаемой формы матрицы. Затем значения переменных математического уравнения легко вычисляются из результирующей матрицы.
Для этого: 
Используйте функцию Swipe Right™, чтобы поставить лайк кому-то, используйте функцию Swipe Left™, чтобы отказаться. Если кто-то любит вас в ответ, это совпадение! И никакого давления: с нашей функцией двойного согласия интерес должен быть взаимным, чтобы он соответствовал. Сколько приложений для знакомств могут сказать такое?
