Решение дифференциального однородного уравнения: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание

Глава 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение, связывающее независимую переменную , функцию и ее производные , называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

1. Порядок дифференциального уравнения

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Задача.

Укажите дифференциальное уравнение первого порядка (выберите несколько вариантов ответа).

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)

Решение.

1) Представим уравнение в виде ;

– уравнение первого порядка.

2) Содержит , поэтому является дифференциальным уравнением первого порядка.

3) Не содержит производных, поэтому не является дифференциальным уравнением.

4) Содержит , поэтому является дифференциальным уравнением второго порядка.

Ответ. №1, №2.

§1 Дифференциальные уравнения I порядка
2. Дифференциальные уравнения I порядка.	Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением I порядка.
3. Решение дифференциального уравнения I порядка	Решением дифференциального уравнения первого порядка , называется дифференцируемая на некотором интервале функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
4. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка	Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при любом значении произвольной постоянной является решением данного уравнения. Построенный на плоскости график всякого решения данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению на плоскости соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С.
5. Частные решения	Решения, которые получаются из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Частные решения удовлетворяют начальным условиям (условиям Коши): или . Геометрически график частного решения – это интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости .

§2 Типы дифференциальных уравнений первого порядка

6. Уравнения с разделяющимися переменными или

Разделить переменные и проинтегрировать полученные выражения

Задача.

Дано дифференциальное уравнение при . Тогда его решением является функция … .

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

– уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные.

; ; ; ; ; .

, значит , . Тогда , . Тогда .

Ответ. №2.

Задача.

Дано дифференциальное уравнение , тогда функция является его решением при равном …

Варианты ответов: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0

Решение.

, , ; .

Сравнивая с , получаем, что , откуда .

Ответ. №1.

7. Однородное уравнение ,

где , – однородные функции одного порядка

Замена: ; ,

Задача.

Уравнение является… .

Варианты ответов: 1) уравнением Бернулли 2) однородным дифференциальным уравнением

3) уравнением с разделяющимися переменными 4) дифференциальным уравнением 1 порядка

Решение.

Уравнение перепишем в виде , т.е. в виде , значит, оно является однородным.

Ответ. №2.

Задача.

Найти общий интеграл уравнения .

Решение.

Функции , – однородные второго порядка.

Пусть , откуда , тогда

;

Разделим на .

; ; .

Так как , то ; .

Ответ. .

8. Линейное уравнение

Замена: ,

Задача.

Проинтегрировать уравнение: .

Решение.

Полагаем , тогда и уравнение примет вид

, .

Решим сначала уравнение .

, , .

Подставим и решим уравнение ,

, , . Тогда .

Ответ. .

9. Уравнение Бернулли , ,
Замена: ,
Задача. Выберите несколько вариантов ответов. Из данных дифференциальных уравнений уравнениями Бернулли являются: Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Приведем уравнение к виду: 1) – линейное ДУ; 2) – ДУ с разделяющимися переменными; 3) – уравнение Бернулли; 4) – уравнение Бернулли. Ответ. №3, №4.
10. Уравнения в полных дифференциалах , где
, . 1) проверить выполнение условия . 2) используя равенства , , найти функцию . 3) записать решение .
Задача. Решить уравнение . Решение. ; . ; . . Значит, , . Отсюда , , далее , . , . Ответ. .
§3 Дифференциальные уравнения высших порядков
11. Дифференциальные уравнения высших порядков	Дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида .
12. Решение дифференциальных уравнений	Решением дифференциального уравнения n-го порядка является n раз дифференцируемая функция , которая обращает данное уравнение в тождество.
13. Общее решение дифференциального уравнения	Функция называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка, если при любом выборе произвольных постоянных эта функция удовлетворяет начальным условиям задача Коши.
14. Частное решение дифференциального уравнения	Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением этого уравнения.
15. Уравнения, допускающие понижение порядка
а) , n раз проинтегрировать
Задача. Общее решение ДУ имеет вид … . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. , , Ответ. №3
б) (нет у). Замена: , ,
Задача. Общим решением дифференциального уравнения является … . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Сделаем замену: , . Получим уравнения: . – уравнение с разделяющимися переменными. . . . Т.к. , то , тогда , , где . Ответ. №1.
в) (нет х). Замена: , ,
Задача. Порядок дифференциального уравнения можно понизить заменой … . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Так как в уравнении нет х, то замена . Ответ. №2.

§4 Линейные уравнения высших порядков
16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (ЛНДУ)	() Функции заданы и непрерывны в некотором промежутке . Если , то уравнение называется линейным неоднородным.* Если , то уравнение () называется линейным однородным.*
17. Общее решение ЛНДУ	Общим решением уравнения (*) является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения , т.е.
18. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , – постоянные	Составить характеристическое уравнение . Вычислить дискриминант и корни характеристического уравнения. Записать ответ, используя следующую таблицу.
Дискриминант
Корни	,	,
Фундаментальная система частных решений	,	,	,
Общее решение

Задача.

Дано линейное однородное уравнение . Тогда общим решением является … .

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Составим характеристическое уравнение

;

, , .

Значит, общим решением будет

Ответ. №2.

Задача.

Установите соответствие между ДУ и их характеристическими уравнениями:

1. ; 2. ; 3. .

Варианты ответов: А) В) С) D)

Решение.

1) Уравнению соответствует характеристическое уравнение . (Е).

2) Уравнению соответствует характеристическое уравнение . (А).

3) Уравнению соответствует характеристическое уравнение . (В).

Ответ.

Задача.

Семейству интегральных кривых , где и произвольные постоянные, соответствует однородное дифференциальное уравнение второго порядка … .

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Из выпишем корни характеристического уравнения: , .

По теореме Виета: . .

Соответствующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: .

Ответ. №3.

Задача.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с равными действительными корнями характеристического уравнения имеет вид… .

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Так как корни характеристического уравнения равны , то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ. №2.

19. ЛНДУ второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

Для решения уравнения

(**)

необходимо:

1) найти общее решение ( ) ЛОДУ в виде

где – частные решения однородного уравнения,

– произвольные постоянные.

2) частное решение уравнения (**) записать в виде:

где – неизвестные функции.

3) составить систему

и решить ее относительно и .

4) проинтегрировав функции и , найти .

5) записать ответ в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и полученного частного решения :

20. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

со специальной правой частью

Для решения уравнения

необходимо:

1) найти общее решение ( ) ЛОДУ в виде

где , – частное решение однородного уравнения,

– произвольные постоянные.

2) по виду специальной правой части записать ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами.

		Вид правой части	Форма частного решения
		I. , где – многочлен n-ой степени, .	I. , где – многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами , – число, равное кратности корня как корня характеристического уравнения (т. е. число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения) .
		II. , где , и – многочлены степени n и m соответственно.	II. , где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения , и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, – наивысшая степень многочленов и .
		3) вычислить производные , и подставить , , в данное уравнение. 4) из полученного тождества найти значения неопределенных коэффициентов. 5) записать ответ в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и полученного частного решения :
Задача. Частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду его правой части соответствует функция … . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Решим однородное уравнение: . Ему соответствует характеристическое уравнение ; ; . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение ищем в виде: . , , . Поэтому частное решение имеет вид: . Ответ. №2. Задача. Если функция имеет вид: 1. 2. 3). 4) , то частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде … Варианты ответов: А) В) С) D) E) Решение. Однородное уравнение имеет корни характеристического уравнения, равные , а, следовательно, общее решение . Тогда частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде 1) , так как содержит многочлены первой степени и , . (D). 2) , так как содержит многочлен второй степени и , . (Е). 3) , так как содержит многочлен нулевой степени и корень кратности 2 ( , ). (А). 4) , так как содержит многочлен нулевой степени и , . (С). Ответ. Задача. Частное решение дифференциального уравнения имеет вид … . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Соответствующее уравнение имеет вид , его характеристическое уравнение , откуда , . Т.е. , . Тогда частное решение следует искать в виде , , . . Ответ. №4.
§5 Системы дифференциальных уравнений
21. Системы дифференциальных уравнений 22. Нормальная система дифференциальных уравнений	Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждая из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Система дифференциальных уравнений вида где – неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной. Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).			Задача. Система дифференциальных уравнений может быть сведена к уравнению вида… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Продифференцируем первое уравнение системы: . Подставим второе уравнение системы в полученное уравнение: . Так как из первого уравнения системы , то получаем уравнения вида: , , . Ответ. №4.

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.

Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.

Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы.

Для студентов высших технических учебных заведений.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
§ 2. Определения
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
§ 5.

(n) = f(x)
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
§ 28. Вынужденные колебания
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 31.

Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе XIII
ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Вычисление двойного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
§ 7. Вычисление площади поверхности
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
§ 11. Тройной интеграл
§ 12. Вычисление тройного интеграла
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле
§ 14.

Момент инерции и координаты центра масс тела
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе XIV
ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла
§ 3. Формула Грина
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
§ 5. Поверхностный интеграл
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла
§ 7. Формула Стокса
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе XV
ГЛАВА XVI. РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами
§ 4. Признак Даламбера
§ 5. Признак Коши
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 9. Функциональные ряды
§ 10. Мажорируемые ряды
§ 11. Непрерывность суммы ряда
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 13.

Степенные ряды. Интервал сходимости
§ 14. Дифференцирование степенных рядов
§ 15. Ряды по степеням x-a
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена
§ 17. Примеры разложения функций в ряды
§ 18. Формула Эйлера
§ 19. Биномиальный ряд
§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 23. Уравнение Бесселя
§ 24. Ряды с комплексными членами
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения к главе XVI
ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
§ 4.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
§ 8. Интеграл Дирихле
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
§ 11. Практический гармонический анализ
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
§ 13. Интеграл Фурье
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе XVII
ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Основные типы уравнений математической физики
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
§ 4.

Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
§ 5. Распространение тепла в пространстве
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе XVIII
ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Начальная функция и ее изображение
§ 2. Изображение функций …
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
§ 4. Свойство линейности изображения
§ 5. Теорема смещения
§ 6. Изображение функций …
§ 7.

Дифференцирование изображения
§ 8. Изображение производных
§ 9. Таблица некоторых изображений
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
§ 11. Теорема разложения
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
§ 13. Теорема свертывания
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
§ 16. Исследование свободных колебаний
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
§ 19. Теорема запаздывания
§ 20. Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе XIX
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
§ 2.

Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
§ 11. Функции от случайных величин
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 15.

Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
§ 21. Среднеарифметическая ошибка
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
§ 23. Двумерная случайная величина
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
§ 27.

Задачи математической статистики. Статистический материал
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе XX
ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
§ 3. Обратное преобразование
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
§ 6. Обратная матрица
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
§ 13.

Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
Упражнения к главе XXI
ПРИЛОЖЕНИЯ

однородных линейных дифференциальных уравнений | Brilliant Math & Science Wiki

Самир Хан и Сартак Хаттар внес

Содержание

Характеристическое уравнение
Случай различных действительных корней
Случай повторяющихся действительных корней 9{2x}\]
Каково общее решение дифференциального уравнения \(y”+4y’+4y=0\)?
Поскольку коэффициенты дифференциального уравнения и его характеристического уравнения действительны, любой комплекс корней появляется в комплексно-сопряженной паре \(a \pm bi,\), где \(a\) и \(b\) вещественны, а i = \(\sqrt{-1}. {ax} \cdot (c_1 \cos bx + c_2 \sin bx)\). 9{-x} \cdot \left(c_2 \cos x\sqrt{3} + d_2 \sin x\sqrt{3}\right).\]
Цитировать как: Однородные линейные дифференциальные уравнения. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/homogeneous-linear- Differential-equations/
Однородные дифференциальные уравнения — GeeksforGeeks
В математике дифференциальное уравнение — это уравнение, которое связывает одну или несколько функций и их производных. В этой статье мы собираемся обсудить однородные уравнения, но прежде чем перейти к теме, давайте сначала разберемся с однородной функцией.
Однородная функция
Говорят, что функция f(x, y) по x и y является однородной функцией степени каждого члена, равной p. Например: f(x, y) = (x ² + y ² – xy) является однородной функцией степени 2, где p = 2. Аналогично, g(x, y) = (x ³ – 3xy ² + 3x ² y + y ³ ) является однородной функцией степени 3, где p = 3. В общем случае однородная функция ƒ(x, y) степени n выражается как:
ƒ(x, y) = x ⁿ ƒ(y/x)
Уравнение вида dy/dx = f(x, y)/g(x, y), где оба f(x, y) и g(x, y) — однородные функции степени n, простым словом обе функции одной степени, называется однородным дифференциальным уравнением. Например: dy/dx = (x ² – y ² )/xy — однородное дифференциальное уравнение.
Решение однородного дифференциального уравнения
Пусть dy/dx = f(x, y)/g(x, y) — однородное дифференциальное уравнение. Теперь, полагая y = vx и dy/dx = (v + x dv/dx) в данном уравнении, мы получаем
v + x dy/dx = F(v)
=> ∫dv/{F(v) – v} = ∫dx/x
=> ∫dv/{F(v) – v} = log |х| + C
Теперь замените v на (y/x), чтобы получить требуемое решение. Давайте посмотрим несколько примеров.
Пример 1: Решить dy/dx = y ² – x ² /2xy?
Решение:
Ясно, что поскольку каждая из функций (y ² – x ² ) и 2xy является однородной функцией степени 2, данное уравнение является однородным.
Положив y = vx и dy/dx = v + x dy/dx, данное уравнение принимает вид
=> V + X DV /DX = V ² – 1 /2V [после деления (V ² x ² /2VX ² – x ² /2VX ²)]
]
].
=> x dv/dx = ((v ² – 1/2v) – v)
=> x dv/dx = -(1 + v ² )/2v
=> 2v/(1 + v ² )dv = -1/x dx
=> ∫2v/(1 + v ² )dv = -∫1/x dx [Интегрирование обеих сторон]
=> log | 1 + v ² | = -лог | х | + журнал C
=> журнал | 1 + v ² | + журнал | х | = журнал C
=> журнал | х(1 + v ² ) | = log C
=> x(1 + v ² ) = ±C
=> x(1 + v ² ) = C ₁
=> x(1 + y ² / x ² ) = C ₁ [Подставляя исходное значение v = y/x]
=> (x ² + y ² ) = xC ₁ , что и является требуемым решением
² )dx + xy dy = 0?
Решение:
Данное уравнение может быть записано как
dy/dx = y ² – x√ (x ² + y ²)/xy, что четко одноднее
). Подставляя в нем y = vx и dy/dx = v + x dv/dx, получаем
v + x dv/dx = {v ² x ² – x√(x ² + v ² y ² )}/vx ^{2 х}
3 = [{v ² – √(1 + v ² )}/v – v]
=> x dv/dx = -√(1 + v ² )/v
=> ∫v /√(1 + v ² )dv = -∫dx/xc [интегрирование обеих сторон]
=> √(1 + v ² ) = -log | х | + C
=> √(x ² + y ² ) + x log | х | = Cx, что является требуемым решением после установки значения v = y/x.
Пример 3: Решите x dy/dx – y = √(x ² + y ² )?
Решение:
Данное уравнение можно записать в виде dy/dx = {y + √(x ² + y ² )}/x , что, очевидно, является однородным.
Положив в него y = vx и dy/dx = v + x dv/dx, получим
v + x dv/dx = {vx + √(x ² + v ² x ² ) }/x
=> v + x dv/dx = v + √(1+v ² ) [После деления {vx + √(x ² + v ² x ² )}/x]
=> x dv/dx = √(1 + v ² ) [v с обеих сторон отменяется]
=> dv/ √(1+v ² ) = 1/x dx [после перестановки]
=> ∫dv/√(1+v ² ) = ∫1/x dx [интегрирование обеих сторон]
=> log | в | + √(1 + v ² ) | = журнал | х | + журнал C
=> журнал | {v + √(1 + v ² )}/x | = журнал | С |
=> {v + √(1 + v ² )}/x = ±C
=> v + √(1 + v ² ) = C ₁ x, где C ₁ = ±C
=> y + √(x ² + y ^{2 90 ₁ x ² , которое является требуемым решением после ввода значения v = y/x}
Пример 4: Решите (x cos(y/x))(y dx + x dy) = y sin (y/x)(x dy – y dx)?
Решение:
Данное уравнение можно записать в виде
(x cos(y/x) + y sin(y/x))y – (y sin(y/x) – x cos ( у/х)) х.