Решение дифференциальных уравнений 1 порядка онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка вида a1(x)y' + a0(x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным. Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y'+y=b(x).

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

=

Использовать замену переменных y=u*v
Использовать метод вариации произвольной постоянной
Находить частное решение при y() = .

Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y' + a

0(x)y = b(x). Например, для y'-exp(x)=2*y это будет y'-2*y=exp(x).

Теорема. Пусть a₁(x), a₀(x), b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a₁≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x₀, y₀), x₀∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀ и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y'+a0(x)y=0.
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e

x, записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C₁– некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).

Пример. Решить уравнение y' + 2y = 4x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y' + 2y = 0. Решая его, получаем y = Ce^-2x. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e^-2x. Подставляя y и y’ = C'(x)e^-2x – 2C(x)e^-2x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe

2^x, откуда C(x) = 2xe^2x – e^2x + C₁ и y(x) = (2xe^2x – e^2x + C₁)e^-2x = 2x – 1 + C₁e^-2x – общее решение исходного уравнения. В этом решении y₁(x) = 2x-1 – движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y₂(x) = C₁e^-2x -собственное движение объекта.

Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin

22x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin²2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin²2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin²2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin²2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin²2x
u’ = 2/sin² 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей:

заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте).

Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике.

И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

2$) равна нулю

Найдите производную от $N(x,y)$ по $x$

$\frac{d}{dx}\left(4y\right)$

Производная постоянной функции ($4y$) равна нулю

4

Используя тест на точность, мы проверяем, что дифференциальное уравнение является точным интеграл от функции 9{3}}{3}$ относительно $y$ для получения

$0+g'(y)$

Промежуточные шаги

Упростить и изолировать $g'(y)$

$4y=0+ g$

$x+0=x$, где $x$ — любое выражение

$4y=g$

Переформулировать уравнение

$g=4y$

7

Приравняем $4y$ и $0+g'(y)$ и изолируем $g'(y)$

$g'(y)=4y$

Промежуточные шаги

Интегрируем обе стороны с относительно $y$ 9{3}+C_0}{6}}$

Частные решения дифференциальных уравнений | StudySmarter

Обычно вы любите обедать каждый день, но в какое время вы его едите? Вы предпочитаете есть до полудня, в полдень или после полудня? Конкретное время, когда вы любите обедать, является частным решением общего вопроса о том, когда вы любите поесть. Вы можете сделать то же самое с дифференциальными уравнениями. Общее решение содержит константу, но частное решение дифференциального уравнения 0179 нет.

В чем разница между общим и частным решением дифференциального уравнения?

Общее решение дифференциального уравнения — это решение, содержащее константу. На самом деле это семейство функций, которое решает дифференциальное уравнение.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, удовлетворяющее начальному значению.

Другими словами, вы можете выбрать одно конкретное решение из семейства функций, которое решает дифференциальное уравнение, но также имеет дополнительное свойство, состоящее в том, что оно проходит через начальное значение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано как

\[ y’ + P(x)y = Q(x)\]

где \(P(x)\) и \(Q(x) \) являются функциями. Вы можете увидеть, как найти решения этого типа дифференциального уравнения, в статье Линейные дифференциальные уравнения. Эти решения имеют в себе константу интегрирования и составляют семейство функций, решающих уравнение.

Если вы добавите начальное значение к линейному дифференциальному уравнению первого порядка, вы получите то, что называется начальное значение задачи (часто пишется IVP). Это будет выглядеть так:

\[\begin{align} &y’ + P(x)y = Q(x) \\ &y(a) = b \end{align}\]

, где \(P(x) \) и \(Q(x)\) — функции, а \(a\) и \(b\) — вещественные константы. Поскольку у вас есть начальное значение, решение этой проблемы с начальным значением — это ровно одна функция, а не их семейство. Это частное решение более общего линейного дифференциального уравнения первого порядка без начального значения.

Поиск конкретного решения линейного дифференциального уравнения

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как можно найти конкретное решение линейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим задачу начального значения линейного дифференциального уравнения

\[ \begin{align} &y’ -\frac{y}{x} = 3x \\ & y(1) = 7 . \end{align}\]

Сначала найдите общее решение, затем, если возможно, найдите частное решение.

Решение:

Сначала решим дифференциальное уравнение, чтобы получить общее решение. Здесь \(P(x) = -1/x\) и \(Q(x) = 3x\), поэтому вы знаете, что коэффициент интегрирования равен

\[ \begin{align} \exp\left( -\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x\right) &= \exp\left(-\log x\right) = \frac{1}{x}.\end{align} \]

Это означает, что решение

\[ y’ -\frac{y}{x} = 3x \]

задается как

\[ \begin{align} y\left(\frac{1}{ x}\right) &= \int 3x\left(\frac{1}{x}\right)\, \mathrm{d}x \\ &= \int 3 \, \mathrm{d}x \\ & = 3x + С. \end{align}\] 92 + 4x.\]

Не все линейные начальные задачи первого порядка имеют решение.

Вернемся к линейному дифференциальному уравнению, но с другим начальным значением. Есть ли конкретное решение для

\[ \begin{align} &y’ -\frac{y}{x} = 3x \\ & y(0) = 7 \end{align}\]

Решение:

Из предыдущего примера вы знаете, что общее решение

\[ y’ -\frac{y}{x} = 3x \]

равно

\[ y(x) = 3x^2 + Cx . \] 92 + C\cdot 0,\]

или

\[ 7 = 0.\]

Эй, подождите! Семь не равно нулю, так что же дает? Поскольку вы не можете найти \(C\), удовлетворяющую начальному значению, эта задача с начальным значением не имеет конкретного решения!

Иногда вы даже получаете более одного решения!

Вернемся к линейному дифференциальному уравнению, но с другим начальным значением. Есть ли конкретное решение для

\[ \begin{align} &y’ -\frac{y}{x} = 3x \\ & y(0) = 0 \end{align}\] 92 + C\cdot 0,\]

или

\[ 0= 0.\]

Эй, подождите минутку, это всегда верно! Неважно, какое значение \(C\) вы введете, оно всегда будет удовлетворять начальному значению. Это означает, что эта задача с начальными значениями имеет бесконечно много решений!

Так почему же это происходит? Оказывается, существование решения и единственность решения зависят от функций \(P(x)\) и \(Q(x)\).

Если \(a, b \in \mathbb{R}\) и \(P(x)\), \(Q(x)\) являются непрерывными функциями на интервале \((x_1, x_2) \) где \(x_1 < a < x_2 \), то решение задачи о начальных значениях

\[\begin{align} &y’ + P(x)y = Q(x) \\ &y(a) = b \end{align}\]

существует и уникален .

Обзор непрерывных функций см. в разделе Непрерывность в течение интервала.

Другими словами, сложность дифференциального уравнения

\[ y’ -\frac{y}{x} = 3x \]

состоит в том, что функция

\[ P(x) = -\frac{ 1}{x} \]

– это , а не непрерывная функция в точке \(x=0\), поэтому любое начальное значение, проходящее через \(x=0\), может не иметь решения или может не иметь уникальное решение.

Частные решения неоднородных дифференциальных уравнений

Во-первых, напомним, что однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка выглядит как

\[ y’ + P(x)y = 0.\]

частный случай линейного дифференциального уравнения первого порядка вы уже видели! Другими словами, линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

\[\begin{align} &y’ + P(x)y = Q(x) \\ &y(a) = b \end{align} \]

где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – функции, а \(a\) и \(b\) – вещественные константы. Поэтому все, что вам нужно сделать, чтобы найти больше информации об уравнениях такого типа, — это просмотреть статью «Неоднородные линейные уравнения».

Частные решения разделимых дифференциальных уравнений

Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое можно записать в виде

\[y’=f(x)g(y).\]

Для Более подробную информацию об этих типах дифференциальных уравнений вы можете найти в наших статьях Separable Equations и Application of Separation of Variables.

Как и в случае с линейными дифференциальными уравнениями первого порядка, вы получаете семейство функций как решение разделимых уравнений, и это называется общим решением. С другой стороны, решение задачи с начальным значением

\[\begin{align} &y’=f(x)g(y) \\ &y(a)=b \end{align}\]

равно конкретное решение .

Давайте рассмотрим пример.

Найти частное решение задачи о начальных значениях

\[ \begin{align} & y’ = \dfrac{y^2}{x} \\ & y(1) = 2 \end{align}\] 92} \, \mathrm{d} y = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x \]

, поэтому

\[ -\frac{1}{y} = \ln |х| + C. \]

Тогда решение для \(y\), общее решение будет

\[ y(x) = -\frac{1}{ \ln |x| + C }.\]

Теперь вы можете использовать начальное условие \(y(1)=2\), чтобы найти конкретное решение. Это означает

\[ 2 = -\frac{1}{ \ln |1| + C },\]

и

\[C = -\frac{1}{2}.\]

Таким образом, частным решением будет

\[ y(x) = -\frac{1}{ \ln |x| – \frac{1}{2} }.\]

Теперь давайте посмотрим на ограничения, которые могут быть у решения. Имея знаки абсолютного значения, вам не нужно беспокоиться о том, чтобы взять журнал отрицательного числа. Однако у вас по-прежнему не может быть \(x=0\), и вам также нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю. Это означает, что вам нужно

\[ \ln |x| – \frac{1}{2} \ne 0.\]

Используя свойства логарифмов, можно увидеть, что \(x \ne \pm \sqrt{e}\) также является необходимым условием.

Это означает, что ваше решение может находиться в четырех интервалах:

• \( -\infty < x < -\sqrt{e} \)
• \( -\sqrt{e} < x < 0 \)
• \(0 < x < \sqrt{e}\)
• \( \sqrt{e} < x < \infty\).

Так как же узнать, в какой из них находится ваше решение? Просто посмотрите на начальное значение! Начальное значение для этой задачи равно \(y(1) = 2\), а \(x=1\) находится в интервале \((0, \sqrt{e})\). Это означает, что доменное ограничение для этого конкретного решения равно \( (0 , \sqrt{e} )\). 9{-3} \) удовлетворяет как начальному значению, так и дифференциальному уравнению, это частное решение задачи с начальным значением.

Давайте взглянем на кое-что не первого порядка.

Найти конкретное решение задачи о начальных значениях

\[ \begin{align} &y” = 3x+2 \\ &y(0)=3 \\ &y'(0) = 1. \end{align} \]

Решение :

Первый шаг — найти общее решение. Обратите внимание, что на самом деле это уравнение второго порядка, поэтому оно имеет два начальных значения. Однако это особенно красивое уравнение второго порядка, так как единственная \(y\) в нем является второй производной, а она уже разделена. 92 + x + 3.\]

Частные решения дифференциальных уравнений — основные выводы

• Линейное уравнение первого порядка \[\begin{align} &y’ + P(x)y = Q(x) \\ &y (a) = b \end{align}\]

  , где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – функции, а \(a\) и \(b\) – действительные значения константы называется задачей начального значения.