Решение дифференциалов онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

  • Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y
  • Понижение порядка уравнения, не содержащего y
  • Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда .

Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и – произвольные константы интегрирования.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Заменяя z

произведением функций u и v, получим

Тогда получим выражения с функцией v:

Выражения с функцией u:

Дважды интегрируем и получаем:

.

Для интегрирования по частям обозначаем:

.

Интегрируем по частям и получаем:

.

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и

уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и – произвольные константы интегрирования.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка

. Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Интегрируем полученную функцию:

Мы пришли к цели – общему решению данного дифференциального уравения:

.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

или

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Интегрируем:

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для и ,

понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

.

Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

,

где и – произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка

с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

или

.

При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).

Пример 7.

Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Используя вновь подстановку

,

получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными.

Решим и его:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1, y‘(0) = −1.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:

.

Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Чтобы определить C1, используем данные условия y(0) = 1, y‘(0) = −1 или p(0) = −1. В полученное выражение подставим y = 1, p = −1:

.

Получаем

и

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

.

Из начального условия y(0) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1, y‘(1) = −1.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Таким образом, получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p, получим

Интегрируем обе части уравнения

Получим

или

Используем начальные условия и определим C1. Если x = 1, то y = 1 и p = y‘ = −1, поэтому

.

Тогда

Из начального условия y(1) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

НазадЛистатьВперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

Интегрирующий множитель для уравнение в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0)
левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции
U(x,y), то есть dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy.
Напомним, что полный диференциал функции U находится по формуле
Условие проверки уравнения на соответствие полному дифференциалу имеет вид
(1)

Уравнение сводные к ДР в полных дифференциалах

В некоторых случаях зависимость
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
не является уравнением в полных дифференциалах, не выполняется условие (1). Однако существует функция “мю” такова, что если на нее умножить первоначальное уравнение то получим уравнением в полных дифференциалах.
Необходимым и достаточным условием этого является равенство между собой частных производных

Функция “мю” называют интегрирующим множителем.
Таким образом кроме ДУ относительно функции u(x,y) на практике приходится решать дифференциальное уравнение в частных производных относительно интегрирующего множителя.
Но до сих пор остается открытым вопрос, как искать интегрирующий множитель?

Как найти интегрирующий множитель?

В теории обычно методика уже разработана и интегрирующий множитель следует искать в виде
где “омега” – известная функция одной или двоих переменных.
В этом случае получаем
После подстановки в условие полного дифференциала получим
Разделим переменные в последней строке
Проинтегрировав и положив постоянную интегрирования равной нулю находим интегрирующий множитель
Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть “омега” равна аргументу. Тогда некоторые частные производные равны нулю, а интегрирующий множитель находят по формуле
2) Если “омега” ровна y то формула вычисления интегрирующего множителя имеет вид
3) В случае когда “омега” равна сумме или разности квадратов переменных интегрирующий множитель находим по формуле
4) И вариант когда имеем произведение переменных дает следующую зависимость для определения мю
Вывод формулы интегрирующего множителя без практики Вас ничего не научит, поэтому рассмотрим задачи из контрольной работы на которых Вы увидите суть всех приведенных выше формул. Примеры задавали во Львовском национальном университете им. И. Франка .

Уравнение в полных дифференциалах. Задача Коши.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и задачу Коши
Решение: Выпишем множители при дифференциалах

и проверим выполняется ли условие полного дифференциала функции двух переменных

Как видим, левая часть уравнения не является полным дифференциалом (условие не выполняется). Проверим допускает ли дифференциальное уравнение интегрирующий множитель

С правой стороны видим, что данное уравнение допускает множитель интегрирования, причем он зависит только от y.
Найдем интегрирующий множитель из дифференциального уравнения с отделенными переменными

После умножения всех членов уравнения на найденный интегрирующий множитель “мю” () получим Ду первого порядка

Если вновь проверить ДУ, то тепер условие на полный дифференциал некоторой функции выполняется

Далее будем решать полученное ДУ, как в случае обычного полного дифференциала. Проинтегрируем второе слагаемое по y

Запомните правило – если интегрирования идет по y, то сталая зависит от “икса”, и наоборот.
Сталую которая входит в уравнения определяют вычислением частичной производной найденного решение по “икс” и приравниванием до множителя в ДУ при dx.

Отсюда находим постоянную

Учитывая все вышеизложенное, записываем общий интеграл дифференциального уравнения

В задании необходимо найти частичное решение (задачу Коши). Для этого записываем дополнительное условие на функцию и определяем сталую

Отсюда имеем частичное решение дифференциального уравнения

Оно пока записано в неявной форме, однако в этом случае можем найти зависимость функции от переменной y(x):
– частичное решение дифференциального уравнения.

 

Пример 2.Найти решение задачи Коши
Решение: Записываем заданное дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциалах

Далее проверим имеем ли полный дифференциал, выписываем множители

и находим частные производные

Условие на полный дифференциал не выполняется.
Проверим не допускает это уравнение интегрирующего множителя

Видим что данное уравнение допускает интегрирующий множитель который зависит только от y. Найдем его интегрированием уравнения

После умножения всех членов уравнения на найденный интегрирующий множитель исходное ДУ преобразуется к виду

что соответствует уравнению в полных дифференциалах

Как решить такое уравнение Вы уже знаете, поэтому переходим к интегрированию для простоты второго доданка (возле dx)

Чтобы определить постоянную – ищем частную производную функции u по “икс” и приравниваем ко второму множителя в полном дифференциале

На этот раз сталая функции не ровна константе и для ее установки нужно найти несколько интегралов

Общий интеграл дифференциального уравнения при подстановке C(x) примет вид

Решим задачу Коши для ДУ

Отсюда имеем
частичное решение дифференциального уравнения.

 

Пример 3. Найти решение уравнения при условии Коши
Решение: Перепишем ДУ расписав производную дифференциалами

Далее действуем по методике для таких уравнений.
Выписываем множители возле дифференциалов

Проверяем условие на полный дифференциал функции

Условие не выполняется. Проверим, допускает ли интегрирующий множитель данное уравнение ?

Как видим правая сторона зависима от y поэтому уравнение допускает интегрирующий множитель.
Найдем его из ДУ

После умножения всех членов уравнения на интегрирующий множитель “мю” получим следующее уравнение

Условие полного дифференциала подтверждается
().
Далее применяем методику для ДУ в полных дифференциалах. С первого слагаемого уравнения интегрированием находим зависимость u(y)

Далее вычисляем частную производную функции u(x,y) по “икс”

и сравниваем с частичной производной начального уравнения

Нетрудно найти отсюда константу

Возвращаемся и записываем общий интеграл дифференциального уравнения

По условию необходимо найти частичный интеграл уравнения (решить задачу Коши). Для этогоопределяем значение функции в точке

Константа равна 2, а частичное решение ДУ

Для ясности ответа найдем (обратную) зависимость х(у):
– частичное решение уравнения
Красивый ответ несмотря на массу преобразований и интегралов.

Из приведенных ответов Вы получили полезную инструкцию для вычислений. Для проверки полученных знаний самостоятельно найдите решение уравнений, используя интегрирующий множитель
Оставайтесь с нами, впереди еще много готовых примеров дифференциальных уравнений.

Решения дифференциальных уравнений – изучите и поймите онлайн

Было бы неплохо иметь решение всех ваших задач? Или, по крайней мере, ваши математические проблемы? Как насчет задач с дифференциальными уравнениями? К сожалению, вы даже не можете найти решения всех видов дифференциальных уравнений. Однако здесь вы можете найти по крайней мере некоторые виды решений дифференциальных уравнений .

Проверка решений дифференциальных уравнений

Начнем с того, как проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения. Предположим, вам дано дифференциальное уравнение 92 – 4x – 4 }\right) \\ &= 0.\end{align}\]

Следовательно, \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения.

Что делать, если вы хотите получить представление о том, как выглядит решение, не решая дифференциального уравнения?

Графики решений дифференциальных уравнений

Есть два основных метода, которые вы можете использовать, чтобы получить представление о том, как выглядит решение дифференциального уравнения и как оно ведет себя, не решая его.

  • Если вам нужна численная аппроксимация, вы можете использовать метод Эйлера.

  • Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать поведение решений.

В статьях по этим темам будет много примеров построения графиков решений. Если вы действительно можете решить дифференциальное уравнение, вы можете построить график общего решения. {-ax}+\frac{b}{a},\]

— решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

При решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка используется интегрирующий коэффициент, и в статьях «Линейные дифференциальные уравнения» и «Неоднородные линейные уравнения» есть множество примеров.

Экспоненциальные решения дифференциального уравнения

Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами — это почти единственный класс дифференциальных уравнений, для которых гарантировано экспоненциальное решение. Однако это не означает, что другие дифференциальные уравнения не могут иметь в своих решениях экспоненциальные функции. Давайте посмотрим на пример. 92 – 6r + 8 = 0.\]

Это делит на \( (r-2)(r-4) = 0\), которое имеет решения \(r=2\) и \(r=4\) , который оказался в показателях решения! Такие вещи, как характеристические многочлены и линейные дифференциальные уравнения второго порядка, — это некоторые из вещей, о которых вы узнаете, если будете посещать занятия по дифференциальным уравнениям.

Равновесные решения дифференциальных уравнений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют равновесное решение.

Равновесный раствор \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка — это такое, которое удовлетворяет условию \(y'(x)\equiv 0\).

Другими словами, равновесное решение дифференциального уравнения первого порядка — это постоянное решение ! Равновесные решения иногда называют устойчивыми решениями .

Одним из известных дифференциальных уравнений, имеющих не одно, а два равновесных решения, является логистическое уравнение,

\[P’ = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\]

92 + 12x } }.\]

Итак, теперь у вас есть два равновесных решения и общее решение! Как узнать, какой из них правильный? Ну, технически они все верны. Они составляют набор функций, которые решают дифференциальное уравнение. Если бы вам были даны начальные значения, вы могли бы либо выбрать одно из равновесных решений, либо найти \(B\) в общем решении, чтобы получить конкретное решение.

Чтобы увидеть пример дифференциального уравнения, которое может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений в зависимости от начального значения, см. нашу статью Общие решения дифференциальных уравнений. 9\круг\). Какое дифференциальное уравнение моделирует это и каково равновесное решение?

Решение

Во-первых, давайте определимся, что это за переменные. Конечно, одним из них будет время, а другим — температура, но вам нужно выяснить, какая из них является независимой переменной, а какая — зависимой. Поскольку температура пиццы зависит от времени, это означает, что время является независимой переменной, а температура – зависимой переменной. Задав каждому из них переменную, пусть

  • \(t\) время с момента выхода из духовки; и
  • \(y(t)\) — температура с момента выхода из духовки.

Теперь нужно выяснить, какое уравнение моделирует эту ситуацию. Закон охлаждения Ньютона вам в помощь! Помните, что для охлаждения объекта (в данном случае ваша пицца охлаждается до комнатной температуры) скорость изменения температуры определяется как константа, умноженная на разницу между текущей температурой и комнатной температурой. Другими словами,

\[y'(t) = k(y(t) – 70),\]

где \(k\) – постоянная охлаждения.

Вам все еще нужно начальное значение, чтобы завершить это как дифференциальное уравнение.

Каково начальное значение? Это температура на выходе из духовки, поэтому \(y(0) = 375\). Таким образом, чтобы завершить дифференциальное уравнение как задачу с начальным значением,

\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\ ]

где \(k\) – постоянная охлаждения. 9\circ\) перед едой. Как долго вам придется ждать?

Решение

В предыдущем примере вы видели, как составить это дифференциальное уравнение и найти равновесное решение, и вы обнаружили, что

\[\begin{align} &y'(t) = k(y( t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\]

где \(k\) – постоянная охлаждения. Давайте опираться на эту информацию.

Это хорошее разделимое уравнение, и запись его в разделимой форме даст вам

\[ \frac{1}{y-70}y’ = k. \]

Тогда интегрирование обеих частей по \(t\) дает

\[ \ln |y-70| = kt+C.\]

Вы можете либо использовать информацию, приведенную в задаче, чтобы сначала найти \(k\) и \(C\), либо найти явное решение, а затем найти константы. В любом случае вы получите один и тот же ответ.

Если вы подставите начальное условие \(y(0) = 375\), вы получите

\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]

поэтому \( C = \ln 305\). 9\circ\), но вы его не использовали. Переводя это в переменные, \(y(5) = 350\). Подставив его вместе с \(C\) в уравнение, вы получите

\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\]

Другими словами,

\[ \begin{align} 5k &= \ln |350-70| – \ln 305 \\ &= \ln 280 – \ln 305 \\ &= \ln \frac{280}{305}, \end{align}\]

, поэтому

\[k= \frac{1 }{5} \ln \frac{280}{305} .\]

Тогда, сложив все вместе, мы получим решение задачи с начальным значением: 9\круг\). Поэтому вместо того, чтобы искать явное решение, просто подключите температуру и определите время. Это означает

\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]

так

\[ \ln 230 – \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]

, что означает

\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \приблизительно 16.5.\]

Итак, вам нужно будет подождать около 16,5 минут, прежде чем вы сможете съесть пиццу, не обжигая рот.

Решения дифференциальных уравнений — основные выводы

  • Чтобы убедиться, что \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения \(y’=f(x,y)\), оцените \(y'( x) – f(x, y(x))\) и посмотрите, получится ли \(0\). Если да, то \(y(x)\) является решением.
  • Чтобы получить численное приближение к решению дифференциального уравнения, вы можете использовать метод Эйлера.
  • Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать, как будут вести себя решения.
  • Равновесное решение (также называемое постоянным решением) \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка – это решение, удовлетворяющее условию \(y'(x)\equiv 0\).

Обыкновенные дифференциальные уравнения | Королевский университет искусств и науки онлайн

Обзор

Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения и их приложения в естественных и технических науках. Конкретные темы включают дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, преобразования Лапласа и системы линейных уравнений.

Этот курс может быть использован учащимися Queen для получения степени по программам в области искусств и естественных наук (кроме специальностей MATH). Студенты из других учебных заведений, изучающие инженерные или научные программы, должны уточнить в своем домашнем учебном заведении, подходит ли этот курс для их программ получения степени.

ПРИМЕЧАНИЕ. Предполагается некоторое знание линейной алгебры.

Результаты обучения

  • Создание дифференциальных уравнений из текстовых задач/прикладных сценариев.
  • Выбор наиболее подходящего метода для решения конкретной задачи с граничными значениями или начальными значениями из нескольких различных жизнеспособных методов.
  • Генерация общих и частных решений дифференциальных уравнений с использованием соответствующих методов решения.
  • Проверка того, что выражение или функция действительно являются решением дифференциального уравнения.
  • Интерпретация результатов решения дифференциального уравнения.

Темы

  • Разделимые ДУ 1-го порядка
  • Линейные ДУ 1-го порядка
  • Линейные ДУ высших порядков с постоянными коэффициентами
    • однородные – действительные различные корни, комплексные корни, повторяющиеся вещественные корни.
    • неоднородные – перекрывающиеся и неперекрывающиеся с однородными растворами.
  • Преобразования Лапласа
    • Введение в интегральное преобразование Лапласа, изменение области определения с t на s.
    • Прямые и обратные преобразования Лапласа функций с использованием таблицы преобразований. Новые функции: кусочно-ступенчатые функции.
    • Прямое и обратное преобразование ДУ с помощью преобразований Лапласа
  • Системы дифференциальных уравнений
    Предыстория/обзор – редукция строк, вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
    • Преобразование систем ДУ 1-го порядка в матричный вид.
    • Построение векторных решений для матричной формы с использованием собственных векторов и собственных значений.

Условия

Режим доставки

Онлайн

Оценка

2 % – самопроверка основ онлайн
4 % — Еженедельная регистрация (10 лучших из 12 еженедельных)
50 %     

** Оценка может быть изменена **

в

9ТОЛЬКО 0003 онлайн-курсы (раздел 700), они могут выбрать любой из следующих вариантов для написания экзамена:

  • Написать итоговый экзамен онлайн: вы будете писать в onQ с прокторингом Examity. Плата за онлайн-экзамен в размере 100 долларов США будет снята с вашей учетной записи SOLUS.
  • Сдайте итоговый экзамен лично: вы будете писать в кампусе Queen в Кингстоне. С вас не будет взиматься дополнительная плата за написание в кампусе.

Если студент зачислен в ЛЮБОЙ очные курсы (раздел 001, 002 и т. д.), вы ДОЛЖНЫ сдавать все свои выпускные экзамены лично в кампусе Queen, в том числе для онлайн-курса. Вы не можете выбрать сдачу экзаменов онлайн.

Место и время выпускных экзаменов

После окончательного согласования графика экзаменов дата экзамена будет опубликована в вашей учетной записи SOLUS. Даты экзаменов для каждого семестра указаны в Академическом календаре. Расписания студенческих экзаменов на осенний семестр публикуются через SOLUS непосредственно перед праздником Дня Благодарения; для зимнего семестра они публикуются в пятницу перед неделей чтения, а для летнего семестра они отдельно отмечаются в онлайн-программах по искусству и науке. Студенты должны отложить окончательную подготовку любых планов поездок до тех пор, пока не будет опубликовано расписание экзаменов. Экзамены не будут перенесены или отложены из-за трудоустройства, планов поездок/отпусков или бронирования авиабилетов.

Информация для инструктора
Учебник и материалы

ASO оставляет за собой право вносить изменения в список необходимых материалов, полученный инструктором до начала курса. Пожалуйста, посетите веб-сайт Campus Bookstore по адресу http://www.campusbookstore.com/Textbooks/Search-Engine , чтобы получить самый последний список необходимых материалов для этого курса, прежде чем покупать их.

Большинство учебных материалов (заметки, практические задачи и т. д.) предоставляются в рамках курса.

Политика в отношении калькуляторов
Калькуляторы, разрешенные для использования во время викторин, тестов и экзаменов, предназначены для поддержки основных вычислительных функций, необходимых для большинства курсов искусств и естественных наук и прикладных наук.

Оставить комментарий