Решение интегралов 1 рода решение: Криволинейный интеграл I рода. Примеры - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Криволинейный интеграл I рода. Примеры

Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.

Формулы криволинейного интегралу первого рода

Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром

Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается

Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид

Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi₁<phi<phi₂. Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле

На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.

Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L – отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу

За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z’=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле

Подставляем и находим криволинейный интеграл

Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.

Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L – дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.

Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x²+y²+z².
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x’_t=a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:

Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл

Интеграл не сложен в плане расчетов.

Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L – дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t – винтовой линии.

Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x’_t=-sin(t), y’_t=cos(t), z’_t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:

Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл

Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L – дуга кривой x=t, , z=t^₃, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.

Подставляем их в формулу дифференциала дуги:

Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах

Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.

Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x²+y²+z²,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.

Производные за параметром имеют вид
x’_t=-a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:

Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение

При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.

Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x^4/3+y^4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x^2/3+y^2/3=a^2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид

Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x’_t=-3a*cos²(t)*sin(t), y’_t=3a*cos(t)*sin²(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды:

Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной

Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.

Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x²+y²)²=a²(x²-y²).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.

Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:

Тогда из уравнения дуги

выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом

Найдем дифференциал дуги по формуле:

Запишем подынтегральную функцию:

Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти

Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.

Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L – четверть круга x²+y²+z²=R², y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x²+y²+z²=R² и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку

В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X²+z²=R², где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью

Вычисляем производные

затем находим дифференциал дуги:

Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление

Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.

Криволинейный интеграл 1 рода приложение. Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства..

Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.

Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.

Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).

1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )

3. Построим интегральную сумму , где – длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.

Переходя к пределу при условии (условие В ), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:

Теорема существования.

Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Линейность
а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности .

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если, то = +

3. .Здесь – длина дуги .

4. Если на дуге выполнено неравенство , то

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

5. Теорема об оценке.

Если существуют константы , что , то

Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка , что

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на L, получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t 0 соответствует точке A, а t 1 соответствует точке B.

Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу ( – известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги):

Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .

Криволинейный интеграл 2 рода.

Задача о работе силы.

Какую работу производит сила F (M ) при перемещении точки M по дуге AB

Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где – угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр).

1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(

условие А )

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .

4. Переходя к пределу при условии (условие В ), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):

. Часто обозначают

Теорема существования.

Пусть вектор – функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

Способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

Выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

Способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства криволинейного интеграла 2 рода.

1. Линейность
а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности .

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если, то = + .

Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L 1 , так и элементы L 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. Ориентируемость.

= –

Доказательство. Интеграл по дуге –L, т..е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо стоит ().

Вынося «минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.

Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривойL: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.

1. Организуем разбиение области- дуги Lна элементы – элементарные дугитак, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и
(условие А )

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму
, где- длина дуги(обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.

Переходя к пределу при условии
(условие В ), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:

Теорема существования 10 .

Пусть функция
непрерывна на кусочно-гладкой дугеL 11 . Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Линейность а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности
.

2. Аддитивность. Если
, то
=
+

Доказательство. Выберем разбиение области Lтак, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементыL 1 , так и элементыL 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3.
.Здесь – длина дуги .

4. Если на дуге выполнено неравенство, то

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

5. Теорема об оценке.

Если существуют константы
, что, то

Доказательство. Интегрируя неравенство
(свойство 4), получим
. По свойству 1 константы
можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка
, что

Доказательство. Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то существует ее нижняя грань
и верхняя грань
. Выполнено неравенство. Деля обе части наL, получим
. Но число
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке
функция должна принимать это значение. Следовательно,
.

На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f (x , y ) – функция двух переменных, а L – кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
В каждой части свободно выбрать точку M .
Найти значение функции в выбранных точках.
Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
Найти сумму всех произведений.
Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .

первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) – выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) – значение функции f (x , y ) в выбранной точке.

Δs i – длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i – проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i – длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) (“игрек” должен быть выражен через “икс”), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) (“икс” через “игрек”), где и интеграл вычисляем по формуле

Пример 1.

где AB – отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):

Из уравнения прямой выразим y через x :

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни “иксы”:

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L – часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая – четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции “игрек”, выраженной через “икс”: y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение “игрека” через “икс” и определим дифференциал этого выражения “игрека” по “иксу”: . Теперь, когда всё выражено через “икс”, криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции “икс”, выраженной через “игрек”: x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L – отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;

б) L – дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке – синяя). Напишем уравнение прямой и выразим “игрек” через “икс”:

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L – дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , – непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

а в подынтегральные функции подставим

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

если L – часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая – часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L – замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox – A (2; 0) , с осью Oy – B (0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.

Теоретический минимум
Криволинейные и поверхностные интегралы часто встречаются в физике. Они бывают двух видов, первый из которых рассматривается здесь. Этот
тип интегралов строится согласно общей схеме, по которой вводятся определённые, двойные и тройные интегралы. Коротко напомним эту схему.
Имеется некоторый объект, по которому проводится интегрирование (одномерный, двумерный или трёхмерный). Этот объект разбивается на малые части,
в каждой из частей выбирается точка. В каждой из этих точек вычисляется значение подынтегральной функции и умножается на меру той части, которой
принадлежит данная точка (длину отрезка, площадь или объём частичной области). Затем все такие произведения суммируются, и выполняется предельный
переход к разбиению объекта на бесконечно малые части. Получающийся предел и называется интегралом.
1. Определение криволинейного интеграла первого рода
Рассмотрим функцию , определённую на кривой . Кривая предполагается спрямляемой. Напомним, что это означает, грубо говоря,
что в кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, причём в пределе бесконечно большого числа звеньев длина ломаной должна оставаться
конечной. Кривая разбивается на частичные дуги длиной и на каждой из дуг выбирается точка . Составляется произведение ,
проводится суммирование по всем частичным дугам . Затем осуществляется предельный переход с устремлением длины наибольшей
из частичных дуг к нулю. Предел является криволинейным интегралом первого рода
.
Важной особенностью этого интеграла, прямо следующей из его определения, является независимость от направления интегрирования, т.е.
.
2. Определение поверхностного интеграла первого рода
Рассмотрим функцию , определённую на гладкой или кусочно-гладкой поверхности . Поверхность разбивается на частичные области
с площадями , в каждой такой области выбирается точка . Составляется произведение , проводится суммирование
по всем частичным областям . Затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных
областей к нулю. Предел является поверхностным интегралом первого рода
.
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи, а фактически следует непосредственно из
определения. Интеграл сводится к определённому, только нужно записать дифференциал дуги кривой, вдоль которой проводится интегрирование.
Начнём с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой, заданной явным уравнением . В этом случае дифференциал дуги
.
Затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной , и интеграл принимает вид
,
где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой, по которой проводится интегрирование.
Очень часто кривая задаётся параметрически, т. е. уравнениями вида . Тогда дифференциал дуги
.
Формула эта очень просто обосновывается. По сути, это теорема Пифагора. Дифференциал дуги – фактически длина бесконечно малой части кривой.
Если кривая гладкая, то её бесконечно малую часть можно считать прямолинейной. Для прямой имеет место соотношение
.
Чтобы оно выполнялось для малой дуги кривой, следует от конечных приращений перейти к дифференциалам:
.
Если кривая задана параметрически, то дифференциалы просто вычисляются:
и т.д.
Соответственно, после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом:
,
где части кривой, по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра .
Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда кривая задаётся в криволинейных координатах. Этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальной
геометрии. Приведём формулу для вычисления интеграла вдоль кривой, заданной в полярных координатах уравнением :
.
Приведём обоснование и для дифференциала дуги в полярных координатах. Подробное обсуждение построения координатной сетки полярной системы координат
см. . Выделим малую дугу кривой, расположенную по отношению к координатным линиям так, как показано на рис. 1. В силу малости всех фигурирующих
дуг снова можно применить теорему Пифагора и записать:
.
Отсюда и следует искомое выражение для дифференциала дуги.
С чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять, что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю –
определённому интегралу. Действительно, выполняя замену, которая диктуется параметризацией кривой, вдоль которой вычисляется интеграл, мы устанавливаем
взаимно-однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра . А это и есть сведение к интегралу
вдоль прямой, совпадающей с координатной осью – определённому интегралу.
4. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
После предыдущего пункта должно быть ясно, что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода – запись элемента поверхности ,
по которой выполняется интегрирование. Опять-таки начнём с простого случая поверхности, заданной явным уравнением . Тогда
.
Выполняется замена в подынтегральной функции, и поверхностный интеграл сводится к двойному:
,
где – область плоскости , в которую проектируется часть поверхности, по которой проводится интегрирование.
Однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно, и тогда она задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида
.
Элемент поверхности в этом случае записывается уже сложнее:
.
Соответствующим образом записывается и поверхностный интеграл:
,
где – область изменения параметров, соответствующая части поверхности , по которой проводится интегрирование.
5. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода
Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является
константой, а представляет собой функцию точки . Найдём массу этой кривой. Разобьём кривую на множество малых элементов,
в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна , то его масса
, где – любая точка выбранного кусочка кривой (любая, так как плотность в пределах
этого кусочка приближённо предполагается постоянной). Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей:
.
Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода.

Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда .
Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда . Тогда
заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода
.
Замечание . Громоздкая формула для элемента поверхности, заданной параметрически, неудобна для запоминания. Другое выражение получается в дифференциальной геометрии,
оно использует т. н. первую квадратичную форму поверхности.
Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода
Пример 1. Интеграл вдоль прямой .
Вычислить интеграл
вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .
Сначала запишем уравнение прямой, вдоль которой проводится интегрирование: . Найдём выражение для :
.
Вычисляем интеграл:
Пример 2. Интеграл вдоль кривой на плоскости .
Вычислить интеграл
по дуге параболы от точки до точки .
Заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы: .

Вычисляем интеграл:
.
Однако можно было проводить вычисления и иначе, пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешённым относительно переменной .
Если принять переменную за параметр, то это приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги:
.
Соответственно, интеграл несколько изменится:
.
Этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал. Получится такой же интеграл, как и в первом способе вычисления.
Пример 3. Интеграл вдоль кривой на плоскости (использование параметризации) .
Вычислить интеграл
вдоль верхней половины окружности .
Можно, конечно, выразить из уравнения окружности одну из переменных, а затем провести остальные вычисления стандартно. Но можно использовать и
параметрическое задание кривой. Как известно, окружность можно задать уравнениями . Верхней полуокружности
отвечает изменение параметра в пределах . Вычислим дифференциал дуги:
.
Таким образом,
Пример 4. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных координатах .
Вычислить интеграл

вдоль правого лепестка лемнискаты .

На чертеже выше изображена лемниската. Вдоль её правого лепестка нужно проводить интегрирование. Найдём дифференциал дуги для кривой :
.
Следующий шаг – определение пределов интегрирования по полярному углу. Ясно, что должно выполняться неравенство , а потому
. At+i произвольную точку Mk и составим сумму где Alt – длина дуги и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть Д / – наибольшая издлин частичных дуг, т. е. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Определе нив. Если при интегральная сумма (I) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом \ -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом В этом случае функция /(М) называется интегрируемой вдоль кривой АВУ кривая А В называется контуром интегрирования, А – начальной, В – конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению, Пример 1. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью J(M). Найти массу т кривой L. (2) Разобьем кривую L на п произвольных частей) и вычислим приближен- но массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке /(Af*). Тогда сумма кшо где Д/д – длина Дг-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при Ы -* 0 (Д / = max Л/») получим точное значение массы всей кривой L, т.е. Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит, 1.1. Существование криволинейного интеграла 1-го рода Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис.2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями (3) где L – длина кривой АВ. Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x} у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной I: / (х(1)} у(1)). Обозначив через значение параметра I, отвечающее точке Мку перепишем интегральную сумму (I) в виде Это – интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны междусобой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом, (5) Теорема 1. Если функция /(М) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл (поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа). 1.2. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода 1. Из вида интегральной суммы (1) следует, что т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит ог направления интегрирования. 2. Линейность. Если для каждой из функций /() существует криволинейный интеграл по кривой ABt то для функции а/, где а и /3 – любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ> причем 3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков и для функции /(М) существует криволинейный интеграл по АВУ то существуют интегралы причем 4. Если 0 на кривой АВ, то 5. Если функция интегрируема на кривой АВ, то функция || также интегрируема на А В, и при этом б. Формула среднего значения. Если функция / непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что где L – длина кривой АВ. 1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями причем точке А соответствует значение t = to, а точке В – значение. Будем предполагать, что функции) непрерывны на вместе со своими производными и выполнено неравенство Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле В частности, если кривая АВ задана явным уравнением непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и точке А соответствует значение х = а, а точке В – значение х = 6, то, принимая х за параметр, получаем 1.4. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Тогда криволинейный интеграл взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы: Пример 2. Вычислитькриволинейный интеграл где L – контур треугольнике с вершинами в точка* (рис.3). По свойству аддитивности имеем Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: , то На отрезке АН имеем, откуда причем тогда Рис. Наконец, Следовательно, Замечание. При вычислении интегралов мы воспользовались свойством 1, согласно которому. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть А В – гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть – вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками координаты которых обозначим соответственно через (рис. 4). На каждой из элементарныхдуг АкАк+\ возьмем произвольно точку и составим сумму Пусть Д/ – длина наибольшей из дуг Определение. Если при сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек rjk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-города от вектор-функции по кривой АВ и обозначается символом Так что по определению Теорема 2. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-города существует. Пусть – радиус-вектор точки М(х, у). Тогда и подынтегральное выражение в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(M) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции по кривой АВ можно записать коротко так: 2.1. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями, где функции непрерывны вместе с производными на отрезке, причем изменению параметра t от t0 до t\ соответствует движение точки по кривой АВ отточки А к точке В. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода сводится к следующему определенному интегралу: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла. О) Пример 1. Вычислить интеграл вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки 2) вдоль параболы, соединяющей те же тонки) Уравнение линии параметр, откуда Так что 2) Уравнение линии AB: Отсюда поэтому Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависитот формы пути интегрирования. 2.2. Свойства криволинейного интеграл а 2-го рода 1. Линейность. Если существуют Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между то при любых действительных а и /5 существует и интеграл причем 2. Аддитеностъ. Если кривая АВ разбита на части АС и СБ и криволинейный интеграл существует, то существуют и нтегралы Последнее свойство соитвггггнусг физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода ках работы силового поля F вдоль некоторого путь: при изменении направления дешкения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 2.3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода где ориентированная кривая АВ (А – начальная точка, В – конечная точка) задана векгорным уравнением (здесь I – длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6). Тогда dr или где г = т(1) – единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(1). Тогда Заметим, что последний интеграл в этой формуле – криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной г заменяется на противоположный вектор (-г), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.
Криволинейный интеграл с примерами решения
Содержание:
Криволинейный интеграл
Вычисление криволинеиного интеграла
Криволинейный интеграл второго рода
Криволинейный интеграл
Используя понятие длины кривой, а также формулы для ее вычисления при различных способах задания кривой, можно ввести понятие интеграла вдоль спрямляемой (в частности, гладкой или кусочно гладкой) кривой так же, как вдоль прямолинейного отрезка.
Пусть на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат имеется непрерывная спрямляемая кривая (рис. 5.1),
в точках которой задана действительная функция Выберем разбиение кривой с точками деления Длины элементарных дуг обозначим через а максимальную их этих длин — через Возьмем на каждой дуге по точке
Отметим, что подобное разбиение можно построить и в случае замкнутой кривой, если за точку совпадающую в этом случае с взять любую точку кривой а остальные точки расположить в соответствии с выбранным направлением на этой замкнутой кривой.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением
Составим сумму вида
которую называют интегральной суммой функции вдоль кривой
Пусть существует предел интегральных сумм (5.1) при не зависящий ни от выбора разбиения кривой от выбора точек на элементарных дугах, т. е. для любого числа существует такое число что для любого разбиения кривой с параметром при любом выборе точек на дугах выполняется неравенство
Такой предел называют криволинейным интегралом первого рода (иногда — первого типа) вдоль кривой (или дуги) и обозначают
Итак,
Отметим, что в определении криволинейного интеграла первого рода направление обхода кривой не играет никакой роли, так как от выбора направления не зависит интегральная сумма.
Пусть, например, кривая не замкнута, а обозначает ту же кривую, но с противоположным направлением обхода (от к если исходным является направление от к ). Тогда можно записать
Аналогично можно ввести понятие интеграла вдоль пространственной кривой. Пусть на пространственной кривой задана функция (рис. 5.2).
Как и в плоском случае, проведем разбиение кривой точками на элементарные дуги На каждой дуге выберем точку
Составив интегральную сумму и перейдя к пределу при получим значение интеграла вдоль пространственной кривой
где — длина элементарной дуги — максимальная из длин
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Двойной интеграл: примеры решения
Вычислить двойной интеграл
Вычислить криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл 1 рода
Вычисление криволинеиного интеграла
Если плоская кривая спрямляема, можно ввести натуральный параметр этой кривой. В этом случае положение точки на кривой будет определяться длиной дуги кривой от начальной точки до точки Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
где — длина кривой Тогда функцию определенную на кривой можно рассматривать как сложную функцию натурального параметра
Выберем разбиение кривой и точки на элементарных дугах этого разбиения. Составим соответствующую интегральную сумму. Пусть есть значение натурального параметра для точки а — значение натурального параметра для точки Тогда длины элементарных дуг можно записать в виде а интегральную сумму представить следующим образом:
Правая часть равенства есть интегральная сумма, соответствующая определенному интегралу от функции по отрезку Переход к пределу в обеих интегральных суммах выполняется при одном условии
Поэтому
причем существование одного из интегралов в этом равенстве означает существование и другого. Выявленная связь позволяет получить условия существования криволинейного интеграла первого рода.
Если кривая спрямляема, а функция непрерывна на этой кривой (часто говорят — непрерывна вдоль кривой то сложная функция непрерывна на отрезке так как функции и параметрического представления кривой являются непрерывными на отрезке Следовательно, интеграл в правой части (5.6) существует [VI]. Резюмируя, можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 5.1. Если кривая спрямляема (в частности, является кусочно гладкой), а функция непрерывна вдоль этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции вдоль кривой существует.
Итак, криволинейный интеграл первого рода можно свести к определенному интегралу с помощью формулы (5.6). Однако эта формула с практической точки зрения не очень удобна, поскольку в качестве параметра кривой далеко не всегда (а точнее, редко) выбирают натуральный параметр.
Пусть кривая задана произвольными параметрическими уравнениями
где функции и непрерывны вместе со своими производными и на отрезке Тогда кривая спрямляема и для нее определен натуральный параметр Натуральный параметр можно отсчитывать от любого конца кривой и в данном случае отсчет удобно вести от начальной точки кривой, соответствующей значению Тогда возрастанию параметра будет соответствовать возрастание параметра а для дифференциала длины дуги плоской кривой будет выполняться равенство
При этом значение соответствует точке и значению а значение точке и значению В определенном интеграле в равенстве (5. 6) справа можно выполнить замену переменного, переходя от натурального параметра s к параметру В результате указанное равенство преобразуется к виду
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода следует заменить в подынтегральной функции переменные и их выражениями через параметр а дифференциал — дифференциалом длины дуги, выразив его через параметр Оговоренное выше согласование параметра и натурального параметра означает, что в определенном интеграле в (5.9) справа нижний предел интегрирования меньше верхнего т.е.
Если плоская кривая является графиком функции то в качестве параметра кривой естественно выбрать абсциссу точки кривой. При этом формула (5.9) приобретает вид
Аналогично при задании кривой функцией в виде получаем
Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением Тогда, учитывая формулы связи декартовых и полярных координат, а также выражение для дифференциала длины дуги в полярных координатах
находим
Примеры с решением
Пример 1.
Вычислим криволинейный интеграл первого рода где — дуга параболы заключенная между точками В данном случае
и в соответствии с (5.10)
Пример 2.
Найдем криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой заданной параметрическими уравнениями
В соответствии с (5.8) имеем
Кроме того, Следовательно, используя (5.9), получаем
Пример 3.
Вычислим криволинейный интеграл первого рода от функции вдоль замкнутой кривой заданной уравнением (астроиды).
Для вычисления интеграла необходимо кривую задать параметрическими уравнениями. Астроиду можно описать следующим образом:
Находим и Следовательно, Отметим, что правая часть последнего равенства обращается в нуль в четырех точках, соответствующих значениям
т.е. астроида является кусочно гладкой кривой.
Переходя от криволинейного интеграла к определенному, получаем
Функция под знаком определенного интеграла справа является периодической с периодом Поэтому интеграл по отрезку можно заменить учетверенным интегралом по отрезку Таким образом,
Пример 4.
Найдем криволинейный интеграл первого рода от функции вдоль отрезка прямой, соединяющего точки Уравнение этой прямой имеет вид и для вычисления криволинейного интеграла можно использовать формулу (5.10). В данном случае Используя в определенном интеграле замену переменного получаем
Пример 5.
Пусть — правый лепесток лемнискаты Бернулли, который в полярных координатах описывается уравнением Вычислим вдоль криволинейный интеграл от функции
Так как и
Учитывая, что в данном случае и используя (5.12), находим
Условия существования криволинейного интеграла переносятся и на пространственный случай. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями
где функции и и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, а функция пределена и непрерывна на кривой то криволинейный интеграл от функции вдоль кривой существует, причем
Пример 6.
Вычислим криволинейный интеграл первого рода вдоль пространственной кривой заданной параметрическими уравнениями
Предварительно находим
Далее в соответствии с формулой (5. 13) получаем
В заключение отметим следующее. Так как криволинейный интеграл первого рода, согласно формуле (5.6), фактически есть определенный интеграл, на него переносятся основные свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, оценка интеграла по модулю (модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции), теорема о среднем. Последняя позволяет ввести понятие среднего значения функции вдоль кривой под которым понимают отношение криволинейного интеграла от вдоль к длине кривой
В то же время понятия верхнего и нижнего пределов интегрирования, присущие определенному интегралу, не имеют аналогов для криволинейного интеграла, а известное свойство определенного интеграла менять знак, когда верхний и нижний пределы меняются местами, не распространяется на криволинейный интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода
Пусть на плоскости задана кривая и на этой кривой — непрерывные функции и Разобьем кривую точками на элементарных дуги и выберем на каждой дуге точку (см. рис. 5.1). Обозначим через координаты точки Кроме того, обозначим через проекции векторов на координатные оси и Составим интегральные суммы
вдоль кривой для функции по переменному и для функции по переменному По-прежнему через обозначим максимальную из длин элементарных дуг
Если существуют пределы интегральных сумм (5.26) при не зависящие ни от разбиения кривой на элементарные дуги, ни от выбора точек на этих дугах, то эти пределы называют криволинейными интегралами второго рода вдоль кривой от функции по переменному и от функции по переменному у и обозначают
Итак, по определению
В приложениях часто встречается сумма интегралов (5.27) и (5.28) от двух функций и (в частном случае эти функции могут совпадать). Такую сумму называют криволинейным интегралом второго рода общего вида и записывают под одним знаком интеграла:
К криволинейному интегралу второго рода приводит задача вычисления работы силы при перемещении материальной точки по криволинейному пути.
Действительно, предел в правой части формулы (5.25) можно представить в виде суммы двух пределов, каждый из которых есть криволинейный интеграл второго рода по соответствующему переменному.
Следовательно, вместо (5.25) можем записать
где и — проекции силы на координатные оси и
Отметим, что работу силы на криволинейном пути можно представить и криволинейным интегралом первого рода в виде (5.24). Это позволяет записать равенство
которое устанавливает связь между криволинеиными интегралами двух видов.
Криволинейные интегралы первого и второго рода имеют много общего. Однако у них есть и существенное различие: если первый из этих интегралов не зависит от выбора направления обхода кривой (от выбора ориентации этой кривой), то второй при изменении направления обхода на противоположное меняет знак. Это связано с тем, что в интегральной сумме интеграла первого рода значения функции умножаются на длины дуг в то время как в случае интеграла второго рода значения функции умножаются на проекции (или ) вектора на координатную ось (или ). В последнем случае изменение направления обхода приводит к изменению направления векторов и, как следствие, к изменению знака их проекций. Таким образом, для криволинейных интегралов второго рода имеем
причем из существования интегралов в правых частях этих равенств вытекает существование интегралов в левых частях, и наоборот..
Понятие криволинейного интеграла второго рода можно перенести на случай пространственной кривой. Если на кривой в пространстве заданы непрерывные функции то, как и выше, разбивая кривую на элементарные дуги с длинами можно построить интегральные суммы
и рассмотреть их пределы при стремлении к нулю величины Эти пределы, если они существуют, называют криволинейными интегралами второго рода по переменным и вдоль пространственной кривой и обозначают
В приложениях часто встречается сумма этих интегралов, которую объединяют общим знаком интеграла:
Для пространственной кривой существует аналогичная связь между криволинейными интегралами первого и второго родов:
где — векторная функция, для которой и
являются координатными функциями в прямоугольной декартовой системе координат — углы, образованные единичным вектором касательным к кривой в точке с осями и соответственно.
Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру часто обозначают специальным символом и иногда называют контурным интегралом. Для такого интеграла направление обхода контура уже нельзя задать, указав начальную и конечную точки кривой. Чтобы определить направление обхода контура, можно использовать различные способы. Например, при параметрическом задании контура в качестве направления его обхода можно выбрать то, которое соответствует возрастанию параметра кривой.
В плоском случае для простейших контуров (окружность, эллипс) направление обхода часто сравнивают с движением часовой стрелки. При этом обход контура против хода часовой стрелки (или просто против часовой стрелки) называют положительным, а обход контура по ходу часовой стрелки (по часовой стрелке) — отрицательным (рис. 5.5, а).
В приложениях зачастую контур фигурирует как граница некоторой плоской области (в этом случае контур простой). Тогда обход контура можно соотнести с этой областью: при положительном обходе контура область все время остается слева, а при отрицательном — справа (рис. 5.5, б).
Однако описанные способы указания направления обхода контура приемлемы лишь в относительно простых ситуациях. В каком смысле следует понимать обход контура на рис. 5.6
против часовой стрелки? В таких непростых ситуациях направление обхода можно задать, выбрав на контуре три различные точки и указав, в каком порядке они проходятся. Для контурных интегралов, в которых направление обхода контура задано как положительное (против часовой стрелки),иногда используют специальное обозначение если же направление обхода контура задано как отрицательное, то используют обозначение Таким образом, если — окружность, то в интеграле
предполагается обход против часовой стрелки, а в интеграле по часовой стрелке.
Пример 9.
Вычислим криволинейный интеграл второго рода
вдоль пространственной кривой заданной параметрическими уравнениями
В данном случае и Поэтому, используя формулу (5.36), находим
Пример 10.
Найдем криволинейный интеграл второго рода
вдоль параболы между ее точками и В соответствии с (5.34) имеем
{l_1j_1k_1}_{l_2j_20}\) можно вычислить по квадратурному правилу Гаусса–Якоби.
Численное решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода | Компьютерный журнал
Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта
Закрыть
Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте
Расширенный поиск
Журнальная статья
К. Т. Х. Бейкер,
CTH Бейкер
Ищите другие работы этого автора на:
Оксфордский академический
Google ученый
Л. Фокс,
Л. Фокс
Ищите другие работы этого автора на:
Оксфордский академический
Google ученый
Д. Ф. Майерс,
Д. Ф. Майерс
Ищите другие работы этого автора на:
Оксфордский академический
Google ученый
К. Райт
К. Райт
Ищите другие работы этого автора на:
Оксфордский академический
Google ученый
Компьютерный журнал , том 7, выпуск 2, 1964 г., страницы 141–148, https://doi.org/10.1093/comjnl/7.2.141
Опубликовано:
01 января 1964 г.
5
5 PDF
Разделенный вид
Цитировать
Процитируйте
К. Т. Х. Бейкер, Л. Фокс, Д. Ф. Майерс, К. Райт, Численное решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода, The Computer Journal , том 7, выпуск 2, 1964, страницы 141–148, https: //doi.org/10.1093/comjnl/7.2.141
Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)
Закрыть
Разрешения
Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта
Закрыть
Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте
Advanced Search
Решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода рассматривается в терминах линейной комбинации собственных функций ядра. Практические и теоретические трудности возникают, когда любое соответствующее собственное значение очень мало, и получаются «практические» решения, исключающие «малые» собственные решения и являющиеся точными для слабо возмущенного интегрального уравнения. Обсуждаются методы упрощения вычисления соответствующих собственных решений и подробно рассматриваются четыре численных примера.
*
Вычислительная лаборатория Оксфордского университета, 9 South Parks Road, Oxford.
Этот контент доступен только в формате PDF.
Выдача Раздел:
Артикул
Скачать все слайды
Реклама
Цитаты
Альтметрика
Дополнительная информация о метриках
Оповещения по электронной почте
Оповещение об активности статьи
Предварительные уведомления о статьях
Оповещение о новой проблеме
Получайте эксклюзивные предложения и обновления от Oxford Academic
Ссылки на статьи по телефону
Последний
Самые читаемые
Самые цитируемые
Обобщенная 3-связность сложенного гиперкуба FQ _n
Дуэльный метод вычислительной разгрузки на основе DQN в сети IIoT с поддержкой MEC
Оценка логического вывода о членстве с помощью состязательной устойчивости
Практическая стеганографическая коммуникация на основе блокчейна с помощью состязательного ИИ: пример использования биткойнов
AWFC: предотвращение атак с переворачиванием меток на пути к федеративному обучению для интеллектуального Интернета вещей
Реклама
Вейвлет-метод Чебышева для численного решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода
На этой странице
АннотацияВведениеЗаключениеСсылкиАвторские праваСтатьи по теме
Представлен вычислительный метод решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Метод использует вейвлеты Чебышева, построенные на единичном интервале, как основу метода Галеркина, и сводит решение интегрального уравнения к решению системы алгебраических уравнений. Свойства вейвлетов Чебышева используются для того, чтобы сделать матрицы коэффициентов вейвлета разреженными, что в конечном итоге приводит к разреженности матрицы коэффициентов полученной системы. Наконец, числовые примеры представлены, чтобы показать обоснованность и эффективность метода.
1. Введение
Многие задачи математической физики можно сформулировать в виде интегральных уравнений. Эти уравнения также встречаются как переформулировки других математических задач, таких как уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения. Поэтому изучение интегральных уравнений и методов их решения очень полезно в приложениях. В последние годы для аппроксимации решения интегрального уравнения используется несколько простых и точных методов, основанных на ортогональных базисных функциях, включая вейвлеты [1–5]. Основное преимущество использования ортогонального базиса состоит в том, что он сводит задачу к решению системы алгебраических уравнений. В целом существует так много различных семейств ортогональных функций, которые можно использовать в этом методе, что иногда бывает трудно выбрать наиболее подходящее. Начиная с 1991, метод вейвлетов применялся для решения интегральных уравнений [6–10]. Вейвлеты, как очень хорошо локализованные функции, очень полезны для решения интегральных уравнений и дают точные решения. Кроме того, метод вейвлетов позволяет создавать очень быстрые алгоритмы по сравнению с обычно используемыми алгоритмами.
В различных областях науки и техники встречается большой класс интегральных уравнений, которые называются линейными интегральными уравнениями Фредгольма первого рода. Для численного решения этих типов интегральных уравнений было предложено несколько методов. Babolian и Delves [11] описывают расширенную технику Галеркина для численного решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В [12] предложено численное решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода с помощью кусочной интерполяции. Льюис [13] исследовал вычислительный метод решения интегральных уравнений первого рода. Вейвлеты Хаара применялись для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода в [14]. Кроме того, Шанг и Хан [15] использовали мультивейвлеты Лежандра для решения интегральных уравнений первого рода.
Рассмотрим линейные интегральные уравнения Фредгольма первого рода: где и , где , – известные функции, а – неизвестная функция, подлежащая определению. В общем случае эти типы интегральных уравнений некорректны при заданных и . Поэтому (1.1) может не иметь решения, а если решение существует, то отношение отклика на малые возмущения в может быть сколь угодно большим [16].
Основная цель этой статьи — представить численный метод решения (1.1) с помощью вейвлетов Чебышева. Свойства вейвлетов Чебышева используются для преобразования (1.1) в линейную систему алгебраических уравнений. Заметим, что эти вейвлеты делают матрицы коэффициентов вейвлета разреженными, что делает вывод о разреженности матрицы коэффициентов полученной системы. Эта система может быть решена с помощью соответствующего численного метода.
План статьи таков: в разделе 2 мы рассматриваем некоторые свойства вейвлетов Чебышева и аппроксимируем функцию, а также функцию ядра этими вейвлетами. Теорема о сходимости основ вейвлетов Чебышева представлена в разделе 3. Раздел 4 посвящен представлению вычислительного метода решения (1.1) с использованием вейвлетов Чебышева и аппроксимации неизвестной функции . В разделе 5 изучается разреженность матрицы вейвлет-коэффициентов. Численные примеры приведены в разделе 6. Наконец, мы завершаем статью в разделе 7.
2. Свойства вейвлетов Чебышева
2.1. Вейвлеты и вейвлеты Чебышева
Вейвлеты состоят из семейства функций, построенных путем расширения и переноса одной функции, называемой материнским вейвлетом. Когда параметр растяжения и параметр трансляции изменяются непрерывно, мы имеем следующее семейство непрерывных вейвлетов [17]: Если мы ограничим параметры и дискретными значениями, где и — положительные целые числа, то получим следующее семейство дискретных вейвлетов: где формируют основу вейвлета для . В частности, когда и , то образует ортонормированный базис [17, 18].
Вейвлеты Чебышева имеют четыре аргумента: , – любое целое неотрицательное число, – степень многочлена Чебышева первого рода, – нормализованное время. Вейвлеты Чебышева определяются на отрезке формулой [19] куда а также . Здесь , , – полиномы Чебышева первого рода степени , заданные формулой [20] в котором . Многочлены Чебышева ортогональны относительно весовой функции на . Отметим, что вейвлеты Чебышева являются ортонормированными множествами с весовой функцией: куда .
2.2. Функция Приближение
Функция может быть расширена как куда в котором обозначает скалярный продукт в . Ряд (2.7) усекается в виде где и – два вектора, заданные формулой Аналогично, учитывая и , аппроксимируем как или в матричной форме где с элементами
3. Схождение оснований вейвлетов Чебышева
В этом разделе мы указываем, что вейвлет-разложение Чебышева функции с ограниченной второй производной равномерно сходится к .
Лемма 3.1. Если вейвлет-разложение Чебышева непрерывной функции сходится равномерно, то вейвлет-разложение Чебышева сходится к функции .
Доказательство. Лет куда . Умножая обе части (3.1) на , где и фиксированы, а затем интегрируя почленно, обоснованное равномерной сходимостью, на , имеем Таким образом, для и Следовательно и имеют одинаковые разложения Фурье с чебышевским вейвлет-базисом и, следовательно, [21].
Теорема 3.2. Функция с ограниченной второй производной, скажем, может быть разложена как бесконечная сумма чебышевских вейвлетов, и ряд сходится равномерно к , то есть,
Доказательство. Из (2.8) следует, что Если , подставив в (3.4), получим куда Таким образом, мы получаем Однако Так как получаем Теперь, если , используя (3.6), имеем Следовательно, ряд абсолютно сходится. Понятно, что при , образуют ортогональную систему, построенную скейлинговой функцией Хаара относительно весовой функции , и, таким образом, сходимость [22]. С другой стороны, у нас есть Следовательно, по лемме 3.1 ряд сходится к равномерно.
4. Решение интегральных уравнений первого рода
В этом разделе метод вейвлетов Чебышева используется для решения (1.1) с помощью аппроксимирующих функций и в матричных формах: Подставляя (4.1) в (1.1), получаем где остаток. Позволив где – матрица, которая вычисляется далее, мы имеем Наша цель состоит в том, чтобы вычислить такое, что , но в общем случае невозможно выбрать такое . В данной работе делается как можно меньше таким, чтобы где и . Теперь, используя ортонормированность вейвлетов Чебышева, мы получаем следующую линейную систему алгебраических уравнений: для неизвестных.
Здесь мы определяем два операторных уравнения и следующим образом: для всех и. Мы предполагаем, что интегральный оператор, определенный в (4.7), является компактным, взаимно однозначным, на и . Перепишем (1.1) и (4.2) в операторной форме, чтобы получить Объединение последних уравнений дает куда . При условии, что существует, мы получаем оценку ошибки: Погрешность зависит, таким образом, от обусловленности исходного интегрального уравнения, как видно из члена, от точности конечномерного оператора интегральному оператору и от приближения к .
Предположим, что функция , определенная на , непрерывно дифференцируема по времени, ; используя свойства вейвлетов Чебышева и аналогично [17], имеем где и обозначает многочлен степени, совпадающей с в чебышевских узлах порядка на . Следовательно, если мы хотим иметь , мы можем выбрать
Оценка
Для численной реализации метода, описанного в предыдущей части, нам необходимо вычислить матрицу . Для этого, учитывая и , имеем Если то , так как их носители не пересекаются, что дает . Следовательно, пусть ; подставляя в (4.14), получаем куда Теперь, если , то следует, что и если , то Следовательно, L имеет следующий вид: где матрица с элементами
5. Разреженное представление матрицы
Начнем с обсуждения разреженности матрицы как важного вопроса для увеличения скорости вычислений.
Теорема 5.1. Предположим, что – вейвлет-коэффициент Чебышева непрерывного ядра , где и . Если смешанная частная производная ограничена и тогда
Доказательство. Из (2.13) получаем Теперь пусть и ; тогда Аналогично доказательству теоремы 3.2, поскольку получаем
Замечание 5.2. Как непосредственный вывод из теоремы 5.1, при или следует, что и, соответственно, увеличивая или , можно сделать разреженным, что заключает в себе разреженность матрицы коэффициентов системы (4.6). Для этого выбираем порог и получаем следующую систему линейных уравнений с разреженной матрицей: где с записями Теперь мы можем решить (5.5) вместо (4.6).
6. Численные примеры
Для проверки достоверности настоящего метода решаются три примера и численные результаты сравниваются с их точным решением [11, 14, 15]. Кроме того, в примерах 6.1 и 6.2 наши результаты сравниваются с численными результатами в [14, 15]. Видно, что хорошие совпадения достигаются при уменьшении параметра растяжения.
Пример 6.1. В качестве первого примера пусть с точным решением [15].
В таблице 1 показаны численные результаты для этого примера с и . Также приближенное решение для , , графически показано на рис. 1, что согласуется с точным решением, и результаты сравниваются с результатами [15].
Пример 6.2. В этом примере мы решаем интегральное уравнение по настоящему методу, где точное решение [11].
В таблице 2 дана абсолютная погрешность для этого примера с и где обозначают аппроксимацию . Приближенное решение для точек коллокации графически показано на рис. 2. Видно, что численные результаты улучшаются по мере увеличения параметра. Также результаты сравниваются с результатами работы [14].
Пример 6.3. Пусть в качестве последнего примера с точным решением [14].
Предложенный метод был применен для аппроксимации решения интегрального уравнения Фредгольма (6.3) при некоторых значениях и . В табл. 3 представлена оценка погрешности результата, полученного для и . Для ошибок аппроксимации используются следующие нормы: Также ошибка для , и , графически показана на рисунках 3 и 4 для и , соответственно.
7. Заключение
Интегральные уравнения обычно трудно решить аналитически, поэтому требуется получение приближенных решений. В данной работе мы разрабатываем эффективный и точный метод решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Свойства вейвлетов Чебышева используются для сведения задачи к решению системы алгебраических уравнений с разреженной матрицей. Однако для получения лучших результатов рекомендуется использовать больший параметр. Точность сходимости этого метода была проверена на нескольких численных примерах.
Ссылки
М. Раззаги и Ю. Ордохани, «Решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Гаммерштейна с помощью рационализированных функций Хаара», Математические проблемы в технике , том. 7, нет. 2, стр. 205–219, 2001.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
М. Раззаги и Ю. Ордохани, «Метод рационализированных функций Хаара для нелинейных интегральных уравнений Фредгольма-Гаммерштейна», Международный журнал компьютерной математики , том. 79, нет. 3, стр. 333–343, 2002.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
А. Алипана и М. Дехган, «Численное решение нелинейных интегральных уравнений Фредгольма с помощью положительно определенных функций», , Прикладная математика и вычисления, , том. 190, нет. 2, стр. 1754–1761, 2007.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
C. Hsiao, «Метод гибридных функций для решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода», Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 230, нет. 1, стр. 59–68, 2009 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
А. Акюз-Дашчиоглу, «Полиномиальные решения Чебышева систем линейных интегральных уравнений», Прикладная математика и вычисления , том. 151, нет. 1, стр. 221–232, 2004.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
С. Юсефи и А. Банифатеми, «Численное решение интегральных уравнений Фредгольма с использованием вейвлетов CAS», Applied Mathematics and Computation , vol. 183, нет. 1, стр. 458–463, 2006 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
С. Юсефи и М. Раззаги, «Метод вейвлетов Лежандра для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма», Математика и компьютеры в моделировании , том. 70, нет. 1, стр. 1–8, 2005 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
Лакестани М., Раззаги М. и Деган М., «Решение нелинейных интегральных уравнений Фредгольма-Гаммерштейна с использованием полуортогональных сплайн-вейвлетов», Математические проблемы в технике, , том. 2005, нет. 1, стр. 113–121, 2005 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Х. Адиби и П. Ассари, «Использование вейвлетов CAS для численного решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода», Динамика непрерывных, дискретных и импульсных систем. Серия А , том. 16, нет. 5, стр. 673–685, 2009.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
У. Лепик и Э. Тамме, «Применение вейвлетов Хаара для решения линейных интегральных уравнений», в Dynamical Systems and Applications , стр. 395–407, 2005.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar
Э. Баболиан и Л. М. Делвес, «Расширенный метод Галеркина для уравнений Фредгольма первого рода», Журнал Института математики и Его приложения , vol. 24, нет. 2, стр. 157–174, 1979.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Г. Ханна, Дж. Румелиотис, А. Кучера, «Коллокация и интегральные уравнения Фредгольма первого рода», Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , том. 6, нет. 5, статья 131, стр. 1–8, 2005 г.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Б. А. Льюис, «О численном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода», Журнал Института математики и ее приложений , том. 16, нет. 2, стр. 207–220, 1975.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
К. Малекнеджад, Р. Моллапурасл и К. Нури, «Сходимость численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с вырожденным ядром», Прикладная математика и вычисления , том. 181, нет. 2, стр. 1000–1007, 2006.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
X. Shang и D. Han, «Численное решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода с использованием линейных мультивейвлетов Лежандра», Прикладная математика и вычисления , том. 191, нет. 2, стр. 440–444, 2007 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
М. Т. Рашед, «Численные решения интегральных уравнений первого рода», Applied Mathematics and Computation , vol. 145, нет. 2–3, стр. 413–420, 2003 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Б. К. Альперт, «Класс базисов в L2 для разреженного представления интегральных операторов», SIAM Journal on Mathematical Analysis , vol. 24, нет. 1, стр. 246–262, 1993.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
М. Раззаги и С. Юсефи, «Операционная матрица интегрирования вейвлетов Лежандра», International Journal of Systems Science , vol. 32, нет. 4, стр. 495–502, 2001.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Э. Баболиан и Ф. Фаттахзаде, «Численный метод расчета при решении интегральных уравнений с использованием операционной матрицы интегрирования вейвлетов Чебышева», Прикладная математика и вычисления , том. 188, нет. 1, стр. 1016–1022, 2007 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
J. C. Mason and D. C. Handscomb, Полиномы Чебышева , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Fla, USA, 2003.
Посмотреть по адресу:
MathSciNet
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and its Applications , Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons, New York, NY, USA, 2nd edition, 1905.