Решение интегралов примеры: Интегралы, примеры решений

Приемы взятия сложных интегралов / Хабр

Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).

Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.

Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм

Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл .

Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo

Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:

Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .

B peзультaтe пoлучим cлeдующee:

Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .

Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции

Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.

Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa

гдe  — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep

Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку

Teм caмым, пoлучaeм

Дoпуcтим чтo . Toгдa , a пocкoльку oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт

Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep

и тaк дaлee.

Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния

Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. .

Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку . Пoлучим

To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:

Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe

Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть

Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:

Teпepь нaм нужнo пocчитaть , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:

Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe

блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк

и

Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк

Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.

Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим

Ho мы-тo знaeм, чтo  — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк

Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo и мы пoлучим

Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo

a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:

Xoтитe eщё?

Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.

Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■

Примеры интегрирования дробно-рациональных функций

Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров “Найти интеграл” или “Вычислить интеграл”, поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.

Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций. Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые


В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей

При сведении к общему знаменателю получим такие числительные

Далее раскрываем скобки и группируем

Приравниваем значение при одинаковых степенях “икс” справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.

Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование


На этом пример решен.

Пример 16. Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители

Далее выполняем разложение дроби на простейшие

Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными

Подставляем значения А,В,С в разложение и вычисляем интеграл

Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.

Пример 17. В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя

Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель

В числителе получим следующее выражение.

Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу


Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.

Готовые решения контрольной по интегрированию

• < Предыдущие ответы
• > Следующие ответы
• Контрольная работа по интегрированию № 2
• Контрольная работа по интегрированию № 3

• Назад
• Вперёд

Определение, правила, примеры и решение

Мы можем найти площадь под прямой на графике с помощью различных формул. Но задумывались ли вы когда-нибудь, как найти площадь под кривой? Потому что если да, не беспокойтесь, мы на одной волне.

Мы уже знаем, что можем вычислить наклон кривой посредством дифференцирования. Теперь попробуем вычислить формулу площади под кривой.

Для лучшего понимания рассмотрите этот график.

 

Как можно рассчитать площадь под кривой от точки 0 до 3 на оси x и выше?

Согласно Риману, сумма площадей определенных прямоугольников под линией кривой дает приблизительную площадь под этой кривой. Примерно так:

 

Но этого недостаточно. Как насчет того, чтобы уменьшить ширину прямоугольных плит. И еще и еще. Может быть так:

 

Эта область будет более точной, чем предыдущая. Но что, если… мы уменьшим его еще немного. Настолько, что почти ноль! Что-то щелкнуло в вашем сознании?

ДА, производные! Производные используются для расчета мгновенного наклона. Мы собираемся использовать эту концепцию, чтобы найти площадь под этой кривой. Это понятие называется интегралом.

Давайте узнаем, что такое интегралы? Каковы правила интегралов и как их решить?

Что такое интегралы?

Интегрирование — это процесс нахождения интегралов. Интегралы имеют множество применений, например, для нахождения объемов, массы и т. д. Но в этой статье мы обсудим площадь под кривой.

Определение интеграла:

«Если производная функции равна f’(x), то ее интеграл равен ∫f(x).dx + c».

Это можно объяснить на примере. Рассмотрим функцию и ее производную, т. е. f'(x) = 3. Но какова ее первообразная? Мы можем сделать некоторые предположения.

Если подумать, мы получаем постоянный член как производную для функции с одним X. То есть:

= 3x

Итак, мы получаем исходную функцию 3x путем антидифференцирования.

Коэффициент интегрирования

Посмотрите на эти уравнения:

• 3x + 12
• 3x + 100 

Производная всех этих уравнений также равна

06 3x 9.

Итак, чтобы исправить любую ошибку, мы пишем:

= 3x + C        , где c может быть любым постоянным числом

Вот почему интеграл имеет все возможные первообразные этой функции.

Теперь, когда вы знаете, что такое интеграл, мы теперь изучим целочисленное представление.

Интегральная запись

У каждой операции есть свой оператор, символ. Для производных у нас есть обозначение d/dx. Точно так же для интегралов мы используем причудливое s .

∫ fx.dx + c

Интегралы и производные

Вы можете задаться вопросом: «Теперь я знаю, что такое интеграл, но как он связан с производными?».

Если быть точным, то первообразные (обратное дифференцирование) и неопределенные интегралы — это почти одно и то же. Но есть большая разница между определенными интегралами и первообразными.

Когда мы находим производные, мы уменьшаем разницу между двумя точками настолько, что она становится бесконечно малой. Но в интегралах мы делаем столько мелких деталей, что число этих достигает бесконечности.

Проще говоря, в производных мы применяем предел приблизительно нулевого значения, а в интегрировании мы применяем предел до бесконечности. Таким образом, мы можем сказать, что интегралы являются обратными производными.

Правила вычисления интегралов

Есть несколько правил, которые помогают решать интегралы так же, как мы используем правила дифференцирования. Правила интегралов очень похожи на правила, которые мы используем для решения производных.

Степенное правило

Когда функция возведена в некоторую степень, для интегрирования используется следующее правило:

∫ fx.dx = (xn+1)/n+1                     дифференциация. Давайте сначала докажем, что это правило является обратным степенному правилу дифференцирования.

Пример

Производная функции равна 6×2. Давайте пересмотрим процесс дифференциации и поступим наоборот.

• Из степени функции вычитается единица, поэтому, чтобы найти ее обратную, мы прибавляем единицу к степени, т.е. 6×2+1 = 6×3.
• Коэффициент такой же, как мощность, поэтому, чтобы обратить его, мы разделим на то же число, т.е. 6×3/3 = 2×3.

Таким образом, интеграл от 6×2 равен 2×3 (исходная функция). Чтобы проверить, равна ли производная 2×3 6×2, воспользуйтесь калькулятором производной.

Умножение на константу

Когда мы видим функцию, которая находится в умножении на некоторое постоянное число, мы применяем правило. Согласно этому правилу при интегрировании постоянный член выносится за интегральную запись.

∫k.fx dx =ck ∫fx dx

Пример                 

Функция f(y) = 6y ² + 12 лет. Вы видите постоянные числа 6 и 12. Возьмем 6 обычных.

= 6 (Y ² + 2y)

Применить интеграцию:

∫ 6y ² + 12y .Dy = 6 ∫ y ² + 2y . dy

. у ² + 2у .dy 

=  6 { (у ²⁺¹ )/2+1 + 2у ¹⁺¹ /1+1 } 

=  6 { у ^{3 +} /3 ² }

= 2 года ³ + 6 лет ² + c

Правило суммы

Когда две функции добавляются, то при интеграции их можно интегрировать отдельно, а затем добавить позже.

∫ (fx + gx).dx = ∫ fx.dx + ∫ gx.dx               

Пример

Найдите интеграл от u ⁵ + 2u.

Решение:

∫u ⁵ + 2U.DU = ∫u ⁵ .du + ∫2u.du

= (U ^{5 + 1} /5 + 1) + 2∫ 2. у.ду

= U ⁶ /6 + 2U ^{1 + 1} /2

= U ⁶ /6 + U ² + C

Differ Differe Rule

955555

правило, когда функции находятся в вычитании, их можно интегрировать отдельно.

∫ (fx – gx).dx = ∫ fx.dx – ∫ gx.dx

Пример

Найдите интеграл от u ⁵ – 2u.

Решение:

  ∫u ⁵ + 2u.du = ∫u ⁵ .du – ∫2u.du

= (u ⁵⁺¹ / 5+1) – 2∫1u.du

= u ⁶ – 2u ¹⁺¹ /2

= u ⁶ /6 – u ² + c

Из приведенного выше примера видно, что единственная разница между правилом суммы и разности заключается в символ знака.

Интегрирование по частям

Это обратное правило дифференцирования произведения. Выведем его формулу.

Правило продукта:

(uv)’ = uv’ + u’v

Применить интегрирование с обеих сторон.

∫(uv)’.dx = ∫ uv’.dx + ∫ u’v.dx

uv = ∫ uv’.dx + ∫ u’v.dx

∫ uv’.dx = uv – ∫ u ‘v.dx

Пример

Вычислить ∫ x.cosx .dx

Решение:

Определить u и v’.

u = x  

v’ = cosx

Найдите значения u’ и v.

Для u’ найдите производную от u.

u = x

u’ = 1

Для v найдите интеграл от v’.

v = cosx

∫v.dx =  ∫ cosx.dx = sinx

Решить.

∫xcosx.dx = x.sinx –  ∫1.sinx.dx                

= x.sinx – cosx 9 005 Константа

3

= x.sinx – cosx + c

Правило подстановки

Это правило также известно как правило обратной цепочки . Это правило применяется в особых случаях. Иногда функцию можно настроить таким образом, чтобы можно было применить правило подстановки.

Правило:

∫ f((gx)).g’(x).dx = ∫f(u).du 

Чтобы понять эту формулу, посмотрите на задействованные операции.

g'(x) = d/dx g(x)   

Для удобства пусть

u = g(x)   тогда    du = g'(x)       

Следует отметить, что эта формула применима только когда в интегрируемой функции есть и и, и и’.

Пример

Найдите интеграл от (x + 1) ² .

Решение:

Понимая функцию, мы видим, что производная x + 1 равна 1 . Это означает, что мы можем умножить 1, чтобы использовать правило подстановки.

∫(x + 1) ² .dx = ∫(x + 1) ² .1dx                    

Теперь у нас есть u и u’, равные x + 1 и 1 соответственно. Используя формулу:

∫(x + 1) ² .1dx знак равно ∫ ты ² . du

= ∫ u ²⁺¹ / 3

= ∫u ³ /3

Возврат значения u:

= ∫(x+3) Some 4 90 3 90 144 2 3 90 Rules

∫ (1/x) .dx

8

Function	Integral
∫cos(x).dx	sinx + c
∫sin(x).dx	-cosx + с
∫sec2 (x) . dx	Tanx + C
∫ (1/x) .dx	∫ (1/x) .dx	∫ (1/x) .dx	∫ (1/x) .dx
∫ (1/X). + c
∫ex . dx	ex + c
∫ln(x).dx	x ln(x) – x + c

Types of Integrals: Indefinite and Definite Integrals

Существует два типа интегралов. Оба решаются по-разному и имеют разные приложения.

Неопределенные интегралы

Это обратная производная. Он вычисляет всю площадь под графиком кривой линии. Все примеры, которые вы видели в этой статье, относятся к неопределенной интеграции.

В этих интегралах нижняя, ни верхняя границы не применяются. Кроме того, в конце добавляется константа c , чтобы указать, что ответ включает в себя все возможные первообразные функции.

Возьмем в качестве примера пул. Считайте, что вы наполняете бассейн с помощью водопроводной трубы. Поток воды время от времени меняется по какой-то причине.

Теперь, если скорость потока была постоянной, было бы легко вычислить объем воды в бассейне через некоторое время t .

 

Но проблема в том, что расход постоянно меняется и его нельзя измерить только в одной точке. Необходимо найти скорость потока в каждой точке, чтобы знать точный объем.

 

Для этого используем неопределенные интегралы. Скорость потока рассчитывается по производным и показывает, с какой скоростью наполняется бассейн в данный момент времени.0005 т .

d/d (x ² ) = 2x  (расход)

Интегрирование показывает, каков объем воды в бассейне через время t .

∫2x.dx = x ²  (объем)

Это также подтверждает тот факт, что интегралы являются первообразными.

А что, если в бассейне уже было немного воды c ? Это означает, что наш расчетный объем не является «чистым объемом». Чтобы получить правильный ответ, добавьте c в ответ.

= x ² + c

Определенные интегралы

Определенный интеграл находит объем за определенный интервал времени. Например, вы хотите рассчитать объем, накопленный между точками a и b на оси x.

 

Чтобы вычислить площадь от 1 до 3 по оси X, мы применяем верхнюю и нижнюю границы. Таким образом, вы найдете точно определенную область выделенной части.

Продолжая пример с бассейном, предположим, что мы хотим найти объем воды, добавленной в бассейн между 5 и 8 минутами. Мы напишем:

После интегрирования функции поместите значения в и b соответственно и вычесть значение b из значения a.

= [(8) ² – (5) ² ]

= 64 – 25

= 39

Калькулятор первообразных может находить как определенные, так и неопределенные интегралы для заданных функций.

Подведение итогов

Интегралы используются для нахождения площади под кривой. Он представлен стильным символом S . Интегральные правила помогают в процессе интеграции. Интегралы могут быть определенными и неопределенными (первообразные).

Обыкновенный интеграл / кратный: определение, примеры

Интегралы >

Содержание:

1. Что такое обыкновенный интеграл?
2. Что такое кратный интеграл?

Ан обычный интеграл — другое название простого старого одиночного интеграла, состоящего из:

• Функция, которую нужно проинтегрировать (подынтегральная функция) по вещественной (числовой) прямой,
• Одна переменная для интегрирования (например, x или y),
• Область пространства для интегрирования (область интегрирования).

Обыкновенный интеграл с подынтегральной функцией x ² и областью интегрирования [0, 1].

Еще один способ определения обычного интеграла: это единственный способ, в котором для поиска решения можно использовать фундаментальную теорему исчисления. С другими типами вы не можете напрямую использовать теорему; Вы должны сначала каким-то образом манипулировать интегралом.

Сравнение обычного интеграла с другими интегралами

Хотя во вводном исчислении он обычно называется просто «интегралом», в высших текстах по математическому анализу он упоминается как «обычный», чтобы отделить его от других интегралов, например:

• Строка интегралы (обобщенные обычные интегралы, работающие по кривым),
• Интегралы произведения (которые имеют умножение вместо суммирования),
• Двойные интегралы (набор из двух одинарных интегралов). С обычным (одиночным) интегралом вы можете использовать основную теорему исчисления для интегрирования по области. Двумерный двойной интеграл необходимо разбить на два одномерных обычных интеграла, прежде чем его можно будет вычислить (Goetz, 2020).

Почему они называются “Обычными”?

Обыкновенные интегралы называются обыкновенными, потому что они равны обыкновенным дифференциальным уравнениям (Hall, 2012). Например, следующее обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием X(0) = x ₀

эквивалентно нахождению решения следующего обыкновенного интеграла (Папаспилиопулос, 2007):

Множественные интегралы равны определенные интегралы и являются расширением обычного (одиночного) интеграла, который находит площадь под кривой. Обычно основное внимание уделяется двойным интегралам, которые находят площадь области на плоскости, и тройным интегралам, которые находят объемы.

Множественные интегралы возникают во многих областях физической науки, особенно в механике, для нахождения объемов, масс и моментов инерции.

Типы кратных интегралов

1. Двойные интегралы
2. Тройной интеграл
3. Множественные интегралы для больших размерностей

1. Двойные интегралы

Двойные интегралы позволяют найти объем двумерной области или поверхности. Общие шаги решения:

• Вычислить внутренний интеграл,
• Подставить результат в уравнение,
• Решите внешний интеграл.

Пошаговый пример см.: Рабочий пример двойного интеграла.

2. Тройные интегралы

Решение тройного интеграла.

Тройные интегралы расширяют интегрирование для нахождения трехмерных объемов или массы, когда объем имеет переменную плотность. Рабочий пример см .: Центр масс с тройными интегралами .

3. Кратные интегралы для больших размерностей

Теоретически возможно иметь кратный интеграл для любого количества измерений. Например, четверных интегралов находят гиперобъемов : объем объектов в четырехмерном пространстве.

Допустим, у нас есть четырехмерный ящик в пространстве с координатами (x, y, z, w). четверной интеграл может быть определен так же, как определяются интегралы в меньших размерностях: как пределы сумм Римана:

1. Разделить блок на i j k l блоков одинакового размера:
   • i коробки в направлении x,
   • j коробки в направлении Y,
   • k коробки в направлении z,
   • л ящики в направлении w.
2. Выбрать одну точку в каждом ящике, умножив f в точке на объем ящика,
3. Подведите итоги по всем ящикам.

Четверной интеграл является пределом i j k l при их стремлении к бесконечности [1].

Интегралы в более высоких измерениях встречаются редко, поскольку они имеют мало практического применения и их сложно вычислить. Например, скорость истощения стока (в гидрологии) может быть выражена в виде пятикратного интеграла, но решение требует меньше вычислительных усилий при аналитическом вычислении четырех интегралов [2].

Ссылки

[1] Роуэн, Дж. (2018). Математика 53 Лето 2018 г. Домашнее задание 20: Решения выбранных задач. Получено 5 мая 2021 г. с: https://math.berkeley.edu/~jrowan/53Summer18/MATH53Su18ROWAN-ASSIGNMENT20SOLNS.pdf
[2] Maroney, C. & Rehmann, C. (2017). Скорость истощения потока радиальной коллекторной скважины в безнапорном водоносном горизонте вблизи полностью впадающей реки. Журнал гидрологии, том 547, апрель, страницы 732–741

Ссылки

Гетц, П.