Решение интегралов примеры с решением: Интегралы: задачи, примеры, решения

1.1: Интегралы как решения – Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

332

• Йиржи Лебл
• Университет штата Оклахома

ОДУ первого порядка представляет собой уравнение вида

\[\dfrac{dy}{dx}=f(x,y) \номер\]

или просто

\[y’=f(x,y) \номер\]

В общем, не существует простой формулы или процедуры, которой можно следовать, чтобы найти решение. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда решение получить несложно. В этом разделе предположим, что \(f\) является функцией только \(x\), то есть уравнение имеет вид

.

\[y’=f(x) \label{1.

1.1} \]

Мы могли бы просто проинтегрировать (антидифференцировать) обе части по \(x\).

\[\int y’ (x) dx = \int f(x) dx + C \nonumber \]

это

\[y(x)=\int f(x) dx + C \nonumber \]

Это \(y(x)\) на самом деле является общим решением. Итак, чтобы решить уравнение \(\ref{1.1.1}\), мы находим некоторую первообразную \(f(x)\), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение.

Сейчас самое время поговорить об обозначениях и терминологии исчисления. Учебники по математическому анализу мутят воду, говоря об интеграле прежде всего как о так называемом 9х f(t) dt + C \номер \]

Отсюда терминология «интегрировать», когда на самом деле мы можем иметь в виду «антидифференцировать». Интегрирование — это всего лишь один из способов вычисления первообразной (и этот способ работает всегда, см. следующие примеры). Интеграция определяется как площадь под графиком, это происходит только для вычисления первообразных. Ради согласованности мы будем продолжать использовать обозначение неопределенного интеграла, когда нам нужна первообразная, и вы всегда должны думать об определенном интеграле.

9{x_0} f(x) dx + y_0 = y_0\). Это!

Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференцирование) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Таким образом, уравнение \(\ref{1.1.2}\) представляет собой формулу, которую мы можем вставить в калькулятор или компьютер, и он будет рад рассчитать для нас определенные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как и с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной. 92} ds + 1. \nonumber \]

Решение

Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, занимающимися исчислением во втором семестре. Скажите им найти решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Нельзя (в закрытом виде). Нет абсолютно ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

Используя этот метод, мы также можем решать уравнения вида

\[y’ = f(y) \nonumber \]

Запишем уравнение в системе обозначений Лейбница.

\[\dfrac{dy}{dx} = f(y) \nonumber \]

Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять местами \(x\) и \(y\), чтобы получить

\[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{f(y)} \nonumber \]

То, что мы делаем, похоже на алгебру с \(dx\) и \(dy\). Заманчиво просто заняться алгеброй с \(dx\) и \(dy\), как если бы они были числами. И в этом случае это работает. Однако будьте осторожны, так как подобные расчеты могут привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной. На данный момент мы можем просто интегрировать, 92} \nonumber \]

Интегрируем, чтобы получить

\[x = \dfrac{-1}{y} + C \nonumber \]

Находим \(y = \dfrac{1}{C-x} \). Таким образом, общее решение

\[y = \dfrac{1}{C-x} \,\ или\,\, y=0 \nonumber \]

Обратите внимание на особенности решения. Если например \(C=1\), то решение по мере приближения \(x=1\). См. рисунок \(\PageIndex{1}\). Как правило, по самому уравнению трудно сказать, как поведет себя решение.

2\) очень красивое и определено везде, но решение определено только на некотором интервале \((-\infty, C)\) или \((C, \infty)\) . Обычно, когда это происходит, мы рассматриваем только одно из них как решение. Например, если мы наложим условие \(y(0) = 1\), то решение будет \(y=\frac{1}{1-x}\), и мы будем рассматривать это решение только для \(x \) на интервале \((-\infty,1)\). На рисунке это левая часть графика. 92, \quad v(0) = 10 \nonumber \]

Как только мы найдем \(v\), мы можем проинтегрировать и найти \(x\).

---

Эта страница под названием 1.1: Интегралы как решения распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Йиржи Леблом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Йиржи Лебль

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www. jirka.org/diffyqs

Интегральные и двойные интегральные примеры исчисления с решениями

Содержание

Существуют два основных математических операторах, которые вы будете зарегистрировать. Оба этих оператора позволяют нам найти конкретную информацию о функции. Интеграция процесса – это не что иное, как нахождение первообразной функции, поэтому первообразные также называются интегралами функции.

В этой статье мы дадим краткий обзор интегрального исчисления и двойного интегрального исчисления. Затем мы обсудим, как оценивать проблемы интеграла и двойного интеграла на примерах с пошаговым объяснением.

Что такое интегральное исчисление?

Интегральное исчисление — это раздел математики, изучающий интегралы. Интеграл — это просто площадь, объем или длина, вычисленные по правилам интегрирования. Эти правила используются для решения математических задач.

Интеграл можно рассматривать как математическое уравнение, связывающее одну величину с другой величиной во времени. Первая величина (независимая переменная) изменяется, а вторая величина (зависимая переменная) остается постоянной.

Что такое двойной интеграл?

В исчислении есть мощная операция, называемая двойным интегралом. Эту операцию можно использовать для вычисления множества различных геометрических величин, таких как площади, объемы и моменты.

Двойной интеграл — это название, данное операции нахождения площади двумерной области, разделенной на несколько подобластей. Подынтегральная функция — это функция, определяющая, как объединяются субрегионы.

Пределы интегрирования указывают границы области, по которой вычисляется интеграл.

Подынтегральная функция может быть любой функцией, которая принимает два аргумента: по одному для каждой подобласти. Любая функция, которая принимает три или более аргумента, может использоваться в качестве подынтегральной функции при вычислении двойного интеграла.

После того, как мы определили нашу функцию, нам нужно выяснить, как ее интегрировать. Это включает в себя поиск всех возможных значений «x» и «y» в каждой подобласти, определяемой нашей функцией подынтегрального выражения.

Мы называем эти решения пределами, и они указывают границы нашей области, в которой мы пытаемся вычислить что-то конкретное (в данном случае область).

Чтобы узнать, какой объем находится внутри контейнера неизвестной формы, вы можете использовать двойное интегрирование.

Примеры интегралов и двойных интегралов с решениями

Следующие примеры помогут вам научиться вычислять интегралы и двойные интегралы.

Пример 1: Для интеграла

Интегрируйте заданную функцию, если интегрирующей переменной функции является «w».

f(w) = 5w ² – 6w ³ + 2w ⁴ + 5cos(w) – 20w

Решение

91:054 интегральную форму, поставив интегральное обозначение.

f(w) = 5w ² – 6w ³ + 2w ⁴ + 5cos(w) – 20w

ʃ f(w) dw = ʃ [5w 6 1 ⁴ + 5cos(w) – 20w] dw

Шаг 2: Теперь с помощью правил сумм и разностей интегрального исчисления запишем запись интегрирования с каждым членом функции отдельно.

ʃ [5w ² – 6w ³ + 2w ⁴ + 5cos(w) – 20w] dw = ʃ [5w ² ] dw – ʃ [6w ³ ] dw + ʃ [2w ⁴ ] dw + ʃ [5cos(w)] dw – ʃ [20w] dw

Шаг 3: Вынести постоянные коэффициенты за пределы системы интегрирования.

ʃ [5W ² – 6W ³ + 2W ⁴ + 5COS (W) – 20W] DW = 5ʃ [W ² ] DW – 6ʃ [W ³ ] DW + 2ʃ 2ʃ 2ʃ 2ʃ 2ʃ [W ³ ]. 4 ] dw + 5ʃ [cos(w)] dw – 20ʃ [w] dw

Шаг 4: Теперь применим степенные и тригонометрические правила интегрального исчисления к приведенному выше выражению, чтобы проинтегрировать его.

= 5 [w ²⁺¹ / 2 + 1] – 6 [w ³⁺¹ / 3 + 1] + 2 [w ⁴⁺¹ / 4 + 1] + 5 [sin(w )] – 20 [w ¹⁺¹ / 1 + 1] + C

= 5 [w ³ / 3] – 6 [w ⁴ / 4] + 2 [w ⁵ / 5] + 5 [sin(w)] – 20 [w ² / 2] + C

= 5/3 [w ³ ] – 6/4 [w ⁴ ] + 2/5 [w ⁵ ] + 5 [sin(w)] – 20/2 [w ² ] + C

= 5/3 [w ³ ] – 3/2 [w ⁴ ] + 2/5 [w ⁵ ] + 5 [sin(w)] – 10 [w ² ] + C

= 1,67 [w ³ ] – 1,5 [w ⁴ ] + 0,4 [w ^{7] + 5}

[sin(w)] – 10 [w ² ] + C

= 1,67w ³ – 1,5w ⁴ + 0,4w ⁵ + 5sin(w) – 902 3 ^{7 2 Вот почему интегралы часто считаются трудными для решения. Калькулятор первообразных можно использовать для уменьшения сложности вычисления задач интегрального исчисления.}

Пример 2: Для двойного интеграла

Интегрируйте заданную функцию, если интегрирующие переменные функции — «x & y».

F (x, y) = 2x ² Y – 3x ³ + 4y ³ + 2xy ² – 6xy

Раствор

. запишите его в виде двойного интеграла, поставив интегральное обозначение.

f(x, y) = 2x ² y – 3x ³ + 4y ³ + 2xy ² – 6xy

ʃ ʃ F (X, Y) DX DY = ʃ ʃ [2x ² Y – 3x ³ + 4y ³ + 2xy ² – 6xy] DX

2

7

7 + 2xy ² – 6xy] DX

7 + 2xy ^{. 2:} Прежде всего, проинтегрируем функцию по «x».

. + 2xy ² – 6xy] dx} dy … (1)

Шаг 3: Теперь возьмем форму интегрирования x 1 и запишем представление интегрирования отдельно для каждого члена функции с помощью правил суммы и разности интегрального исчисления и вынести постоянные коэффициенты за обозначения.

. 4y ³ ] DX + ʃ [2xy ² ] DX – ʃ [6xy] DX

= 2yʃ [x ² ] DX – 3ʃ [x ³ ] DX + 4Y ³ [x ³ ] DX + 4Y ³ 77. dx + 2y ² ʃ [x] dx – 6yʃ [x] dx

Шаг 4: Теперь применим степенные и тригонометрические правила интегрального исчисления к приведенному выше выражению, чтобы проинтегрировать его.

= 2y [x ²⁺¹ / 2 + 1] – 3 [x ³⁺¹ / 3 + 1] + 4y ³ [x] + 2y ² [x ¹⁺¹ / 1 + 1] – 6y [x ¹⁺¹ / 1 + 1] + C

= 2y [x ³ / 3] – 3 [x ⁴ / 4] + 4y ³ [x ] + 2 года ² [x ² / 2] – 6 лет [x ² / 2] + C

= 2x ³ y/3 – 3x ⁴ / 4 + 1 86 3 9 2y ² x ² / 2 – 6yx ² / 2 + C

= 2x ³ Y / 3 – 3x ⁴ /4 + 4xy ³ + x

2 Y ² – 3x ² Y + C

7. в 1).

. + 2xy ² – 6xy] dx} dy

= ʃ [2x ³ y/3 – 3x ⁴ / 4 + 4xy ³ + x ² y ² – 3x ² y + C] dy … (2)

Шаг 6: Теперь интегрируем приведенную выше функцию относительно «y».

. /3] dy – ʃ [3x ⁴ / 4] dy + ʃ [4xy ³ ] dy + ʃ [x ² y ² ] dy – ʃ [3x ² y] dy + [ʃ C] dy

= 2x ³ /3ʃ [y] dy – 3x

4 / 4ʃ [1] dy + 4x ʃ [y ³ ] dy + x ² ʃ [y ² ] dy – 3x ² ʃ [y] dy + ʃ 3 900 = 2x ³ /3 [y ¹⁺¹ / 1 + 1] – 3x ⁴ / 4 [y] + 4x [y ³⁺¹ / 3 + 1] + x ² [y ²⁺¹ / 2 + 1] – 3x ² [y ¹⁺¹ / 1 + 1] + [Cy] + C

= 2x ³ /3 [y ² / 2] – 3x ⁴ / 4 [y] + 4x [y ⁴ / 4] + x ² [y ³ / 3] – 3x ² [y ² / 2] + [Cy] + C

= 2x ³ y ² /6 – 3x ^{4×6 7 4 8 / 9014} /4 + x ² y ³ /3 – 3x ² y ² /2] + Cy + C

Hence,

ʃ ʃ [2x ² y – 3x ³ + 4y ³ + 2xy ² – 6xy] dx dy = 2x ³ y ² /6 – 3x ⁴ y / 4 + 4xy 9 9 0186 4 00187 y ³ /3 – 3x ² y ² /2] + Cy + C

 

Суммировать

описывать определенные области или объемы.