Решение интегралов с подробным решением: Решение интегралов онлайн, подробное решение

Содержание

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Записывается двойной интеграл так:

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл – значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D.

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока.

Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D.

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D – криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при

сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(xy) и ограничения для D: D = {(xy) | a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d}, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху – прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d – числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d – числа, о которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем – внешний (левый) определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала – внутренний (правый) интеграл, затем – внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(xy), а ограничения для D: уже несколько другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области – прямые x = a и x = b, но снизу и сверху – кривые, которые заданы уравнениями и . Иными словами, и – функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b – числа, а и – функции. В случае треугольной области одна из функций или – это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем – левый определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала – внутренний (правый) интеграл, затем – внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

.

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри: “Так ведёт себя обитатель джунглей – зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки – человек, заблудившись в джунглях сомнений”. Результат, так же по О’Генри один и тот же: “Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая по нему взад и вперёд”. (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый – по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для “нового” игрека нужно “позаимствовать” у “старого” икса, а пределы интегрирования для “нового” икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу – правым. Пределы интегрирования для “нового” игрека позаимствуем у “старого” икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний – единице. Пределы интегрирования для “старого” игрека заданы уравнениями и . Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC, которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2, что видно на рисунке ниже.

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая . Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0, x = 2 и кривыми и .

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x, будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Для :

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге – расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения повторного интеграла – таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и – почти на автомате – на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

y – 2x ≤ 0;
2y – x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Решение. В явном виде (через x и y “без примесей”) линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно служат линии x = 0 и x = 2. Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x).

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой x = 1 (на чертеже – чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

.

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл – отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1, а справа прямой y = 1 – x. (рисунок ниже).

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: . Ординаты этих точек – – 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как видим, решение двойного интеграла – отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z, а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Вновь видим, что решение двойного интеграла – отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(xy) – некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями . В каждой из этих частей выберем произвольную точку и составим сумму

,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(xy) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

Первообразная неопределенный интеграл формула ньютона лейбница. Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Пусть на некотором отрезке оси Ох задана некоторая непрерывная функция f. Положим, что эта функция не меняет своего знака на всем отрезке.

Если f есть непрерывная и неотрицательная на некотором отрезке функция, а F есть её некоторая первообразная на этом отрезке, тогда площадь криволинейной трапеции S равна приращению первообразной на данном отрезке .

Эту теорему можно записать следующей формулой:

S = F(b) – F(a)

Интеграл функции f(x) от а до b будет равен S. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись (a;b)∫f(x). Ниже представлен пример как это будет выглядеть.

Формула Ньютона-Лейбница

Значит, мы можем приравнять между собой эти два результата. Получим: (a;b)∫f(x)dx = F(b) – F(a), при условии, что F есть первообразная для функции f на . Эта формула имеет название формулы Ньютона – Лейбница . Она будет верна для любой непрерывной на отрезке функции f.

Формула Ньютона-Лейбница применяется для вычисления интегралов. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 : вычислить интеграл. Находим первообразную для подынтегральной функции x 2 . Одной из первообразных будет являться функция (x 3)/3.

Теперь используем формулу Ньютона – Лейбница:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 – ((-1) 3)/3 = 3

Ответ: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Пример 2 : вычислить интеграл (0;pi)∫sin(x)dx.

Находим первообразную для подынтегральной функции sin(x). Одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Ответ: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Иногда для простоты и удобства записи приращение функции F на отрезке (F(b)-F(a)) записывают следующим образом:

Используя такое обозначение для приращения, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:

Как уже отмечалось выше, это лишь сокращение для простоты записи, больше ни на что эта запись не влияет. Эта запись и формула (a;b)∫f(x)dx = F(b) – F(a) будут эквивалентны.

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) – F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее – значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) – F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если


Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим


Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.
Теорема 2.1. Если f(x) интегрируемая на функция, то Ф(x) непрерывна на .
Доказательство . По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.
Теорема 2.2. Если f(x) непрерывная на функция, то Ф’(x) = f(x) на .
Доказательство . По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где с – некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции f получаем
Таким образом, Ф(x) – одна из первообразных функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где F(x) – другая первообразная f(x). Далее, так как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C = -F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

Примеры
1.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид


Пример.

Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.
Теорема 2.3. Пусть f(x)- непрерывна на отрезке и удовлетворяет условиям:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) производная φ’(t) определена всюду на отрезке [α, β]
4) для всех t из [α, β]
Тогда
Доказательство. Если F(x) первообразная для f(x)dx то F(φ(t)) первообразная для Поэтому F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)). Теорема доказана.
Замечание. При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции φ(t).

Пример. Вычислить интеграл Положим Тогда dx = 2tdt и поэтому

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой – и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 – это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку “Решение”. Неправда ли – это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь – это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию – сайт – самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Определённый интеграл и методы его вычисления. Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой – и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 – это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку “Решение”. Неправда ли – это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь – это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию – сайт – самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.
Теорема 2.1. Если f(x) интегрируемая на функция, то Ф(x) непрерывна на .
Доказательство . По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.
Теорема 2.2. Если f(x) непрерывная на функция, то Ф’(x) = f(x) на .
Доказательство . По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где с – некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции f получаем
Таким образом, Ф(x) – одна из первообразных функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где F(x) – другая первообразная f(x). Далее, так как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C = -F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

Примеры
1.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид


Пример.

Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.
Теорема 2.3. Пусть f(x)- непрерывна на отрезке и удовлетворяет условиям:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) производная φ’(t) определена всюду на отрезке [α, β]
4) для всех t из [α, β]
Тогда
Доказательство. Если F(x) первообразная для f(x)dx то F(φ(t)) первообразная для Поэтому F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)). Теорема доказана.
Замечание. При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции φ(t).

Пример. Вычислить интеграл Положим Тогда dx = 2tdt и поэтому

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. составитель: преподаватель математики ГОУНПО ПУ № 27 п. Щельяюр Семяшкина Ирина Васильевна

Цель урока: Ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона – Лейбница, используя знания о первообразной и правила её вычисления; Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции; Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Определение: Пусть дана положительная функция f(x) , определенная на конечном отрезке [ a;b ] . Интегралом от функции f(x) на [ a;b ] называется площадь её криволинейной трапеции. y=f(x) b a 0 x y

Обозначение:  «интеграл от a до b эф от икс дэ икс »

Историческая справка: Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли. S umma Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Якоб Бернулли

Обозначение неопределённого интеграла ввёл Эйлер. Жан Батист Жозеф Фурье Леонард Эйлер Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

Формула Ньютона – Лейбница

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: = Решение:

Пример 2. Вычислите определённые интегралы: 5 9 1

Пример 3 . S y x Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью абсцисс. Для начала найдем точки пересечения оси абсцисс с графиком функции. Для этого решим уравнение. = Решение: S =

y x S A B D C Пример 4 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и Найдём точки пересечения (абсциссы) этих линий, решив уравнение S=S BADC – S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 смотри пример 1 Решение:

ПРАВИЛА СИНКВЕЙНА 1строка – тема синквейна 1 слово 2строка – 2 прилагательных, описывающих признаки и свойства темы 3строка – 3 глагола описывающие характер действия 4строка – короткое предложение из 4 слов, показывающее Ваше личное отношение к теме 5строка – 1 слово, синоним или Ваша ассоциация тема предмета.

Интеграл 2. Определённый, положительный Считают, прибавляют, умножают 4. Вычисляют формулой Ньютона – Лейбница 5. Площадь

Список используемой литературы: учебник Колмагорова А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл.

Спасибо за внимание! « ТАЛАНТ – это 99% труда и 1% способности» народная мудрость

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: = Решение: пример 4

Предварительный просмотр:

Предмет: математика (алгебра и начала анализа), класс: 11 класс.

Тема урока: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».

Тип урока: Изучение нового материала.

Продолжительность занятия: 45 минут.

Цели урока: ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила ее вычисления; проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции; закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Задачи урока:

Образовательные:

  1. сформировать понятие интеграла;
  2. формирование навыков вычисления определенного интеграла;
  3. формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Развивающие:

  1. развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;
  2. развивать интерес к предмету с помощью ИКТ.

Воспитательные:

  1. активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

Оснащение: ПК, операционная система Microsoft Windows 2000/XP, программа MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; мультимедийный проектор, экран.

Литература: учебник Колмагорова А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.

Технологии: ИКТ , индивидуального обучения.

ХОД УРОКА

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

Вводная часть

Организационный момент

Приветствует, проверяет готовность учащихся к уроку, организует внимание.

Раздает опорный конспект.

Слушают, записывают дату.

3 мин

Сообщение темы и целей урока

Актуализация опорных знаний и субъектного опыта с выходом на цели урока.

Слушают, записывают тему урока в тетради. Активно включаются в мыслительную деятельность.

Анализируют, сравнивают, делают выводы с выходом на цели занятия.

Презентация

ИКТ

3 мин

Основная часть урока

Изложение нового материала с попутной проверкой знаний прошлых тем.

Определение интеграла (слайд 3)

Даёт определение.

ИКТ

Что такое криволинейная трапеция?

Фигуру, ограниченная графиком функции, отрезком и прямыми x=a и x=b.

10 мин

Обозначение интеграла (слайд 4)

Вводит обозначение интеграла и то, как он читается.

Слушают, записывают.

История интеграла (слайды 5 и 6)

Рассказывает историю термина «интеграл».

Слушают, коротко записывают.

Формула Ньютона – Лейбница (слайд 7)

Дает формулу Ньютона – Лейбница.

Что в формуле обозначает F?

Слушают, записывают, отвечают на вопросы преподавателя.

Первообразная.

Заключительная часть урока.

Закрепление материала. Решение примеров с применением изученного материала

Пример 1 (слайд 8)

Разбирает решение примера, задавая вопросы по нахождению первообразных для подынтегральных функций.

Слушают, записывают, показывают знание таблицы первообразных.

20 мин

Пример 2 (слайд 9). Примеры для самостоятельного решения обучающимися.

Контролирует решение примеров.

Выполняют задание по очереди, комментируя (технология индивидуального обучения ), слушают друг друга, записывают, показывают знание прошлых тем.

Пример 3 (слайд 10)

Разбирает решение примера.

Как найти точки пересечения оси абсцисс с графиком функции?

Слушают, отвечают на вопросы, показывают знание прошлых тем, записывают.

Подынтегральную функцию приравнять к 0 и решить уравнение.

Пример 4 (слайд 11)

Разбирает решение примера.

Как найти точки пересечения (абсциссы) графиков функций?

Определите вид треугольника ABC.

Как находиться площадь прямоугольного треугольника?

Слушают, отвечают на вопросы.

Приравнять функции друг к другу и решить получившееся уравнение.

Прямоугольный.

где a и b- катеты прямоугольного треугольника.

Подведение итогов урока (слайды 12 и 13)

Организует работу по составлению синквейна.

Участвуют в составлении синквейна. Анализируют, сравнивают, делают выводы по теме.

5 мин.

Задание на дом по уровню сложности.

Дает задание на дом, объясняет.

Слушают, записывают.

1 мин.

Оценивание работы обучающихся на уроке.

Оценивает работу обучающихся на уроке, анализирует.

Слушают.

1 мин

Предварительный просмотр:

Опорный конспект по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».

Определение: Пусть дана положительная функция f(x) , определенная на конечном отрезке . Интегралом от функции f(x) на называется площадь её криволинейной трапеции.

Обозначение:

Читается: «интеграл от a до b эф от икс дэ икс»

Формула Ньютона – Лейбница

Пример 1. Вычислить определённый интеграл:

Решение:

Пример 3. и осью абсцисс.

Решение:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция y = y (x) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F (x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f (x) d x = F (b) – F (a) .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y = f (x) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f (t) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f (t) d t ” = Φ ” (x) = f (x) .

Зафиксируем, что приращении функции Φ (x) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ (x + ∆ x) – Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t – ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x – x = f (c) · ∆ x

где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

Зафиксируем равенство в виде Φ (x + ∆ x) – Φ (x) ∆ x = f (c) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ ” (x) = f (x) . Получаем, что Φ (x) является одной из первообразных для функции вида y = f (x) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F (a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F (a) . Результат применим при вычислении F (b) и получим:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , иначе говоря, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f (x) d x + F (b) – F (a) .

Приращение функции принимаем как F x a b = F (b) – F (a) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) – F (a) .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F (x) подынтегральной функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F (x) = x 3 3 .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 – 1 3 3 = 26 3 .

Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Пример 2

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Заданная функция непрерывна из отрезка [ – 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала, тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ – 1 ; 2 .

Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 – 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 – 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 – 1)

Ответ: ∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 – 1)

Пример 3

Произвести вычисление интегралов ∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ – 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Решение

Отрезок – 4 ; – 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x – 2 d x = 2 x 2 – 2 x + C

Необходимо взять первообразную F (x) = 2 x 2 – 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 – 2 x – 4 – 1 2 = 2 – 1 2 2 – 2 – 1 2 – 2 – 4 2 – 2 – 4 = 1 2 + 4 – 32 – 1 2 = – 28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [ – 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F (x) = 2 x 2 – 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] .

Ответ: ∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = – 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y = f (x) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g (z) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g (α) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g ” (z) d z .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f (x) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

Пример 4

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x – 9 d x .

Решение

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 – 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 – 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g ” (z) d z получаем, что

∫ 9 18 1 x 2 x – 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 ” d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 – 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 – a r c t g 1 = 2 3 π 3 – π 4 = π 18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g ” (z) d z .

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x – 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x – 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x – 9 3 + C .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 – 9 3 – a r c t g 2 · 9 – 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 – a r c t g 1 = 2 3 π 3 – π 4 = π 18

Результаты совпали.

Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x – 9 d x = π 18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u (x) и v (x) , тогда их производные первого порядка v ” (x) · u (x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u ” (x) · v (x) равенство ∫ a b v ” (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b – ∫ a b u ” (x) · v (x) d x справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , причем ∫ f (x) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Пример 5

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Решение

Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке – π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

Пусть u (x) = х, тогда d (v (x)) = v ” (x) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d (u (x)) = u ” (x) d x = d x , а v (x) = – 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v ” (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b – ∫ a b u ” (x) · v (x) d x получим, что

∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = – 3 x · cos x 3 + π 6 – π 2 3 π 2 – ∫ – π 2 3 π 2 – 3 cos x 3 + π 6 d x = = – 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 – – 3 · – π 2 · cos – π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 – π 2 3 π 2 = 9 π 4 – 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 – sin – π 6 + π 6 = 9 π 4 – 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = – 3 cos x 3 + π 6 = = – 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = – 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = – 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 – – – 3 · – π 2 · cos – π 6 + π 6 + 9 sin – π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 – 3 π 2 – 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формула Ньютона – Лейбница

Основная теорема анализа или формула Ньютона – Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной

Формулировка

Рассмотрим интеграл от функции y = f (x ) в пределах от постоянного числа a до числа x , которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде:

Данный вид интеграла называется интегралом с переменным верхним пределом. Используя теорему о среднем в определённом интеграле , легко показать что данная функция непрерывная и дифференцируемая. А также производная от данной функции в точке x равна самой интегрируемой функции. От сюда следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную в виде квадратуры: . А так как класс первообразных функций функции f отличается на константу, легко показать, что: определенный интеграл от функции f на равен разности значений первообразных в точках b и а

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Формула Полной Вероятности
  • Формула Релея – Джинса

Смотреть что такое “Формула Ньютона – Лейбница” в других словарях:

    Формула Ньютона-Лейбница – Основная теорема анализа или формула Ньютона Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной Формулировка Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до… … Википедия

    Формула конечных приращений – У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и … Википедия

    Формула Стокса – Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… … Википедия

    НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА – формула, выражающая значение определенного интеграла от заданной функции f по отрезку в виде разности значений на концах отрезка любой первообразной Fэтой функции Названа именами И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz), т. к. правило,… … Математическая энциклопедия

    НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА – основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и какой либо ее первообразной F(x) … Большой Энциклопедический словарь

    Формула Лейбница – У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения). Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило… … Википедия

    Ньютона-Лейбница формула – Ньютона Лейбница формула, основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определённым интегралом от функции f(х) и какой либо её первообразной F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА, основная формула… … Энциклопедический словарь

    Формула прямоугольников

    Формула трапеций – Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

    Теорема Ньютона – Формула Ньютона Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет … Википедия

Исследовать на сходимость несобственный интеграл онлайн с решением. Определенный интеграл онлайн

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус:)

Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:


Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади . При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится .

2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным .

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно . Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений , ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно .

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций .

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией непрерывна она на промежутке интегрирования или нет . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего) , либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности , следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать , так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела .

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на .

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов . Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования . В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа .

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле .

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел .

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом.

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой – и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 – это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку “Решение”. Неправда ли – это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь – это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию – сайт – самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий


Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a ; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины
, которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точкес [a ; b ] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать=с , поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными .

Определение.

Пусть функция
определена на промежутке [a ; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a ; b ], т.е. существует
для любого b > a . Предел вида
называютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают
.

Таким образом, по определению,
=
.

Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл
называютсходящимся . Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится .

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции
по промежутку (–; b ]:

=
.

А несобственный интеграл от функции
по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:

=
+
,

где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

С геометрической точки зрения, интеграл
,
, определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, слева – прямой
, снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой
.

На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :

=
=F(+ ) – F(a ),

где F(+ ) =
. Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

Определение

Пусть функция
определена на промежутке [a ; b ), неограниченна в некоторой окрестности точки b , и непрерывна на любом отрезке
, где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е.
существует). Предел вида
называетсянесобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается
.

Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

=
.

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции
имеющей бесконечный разрыв в точкеа :

=
.

Если функция
имеет бесконечный разрыв во внутренней точкес
, то несобственный интеграл определяется следующим образом

=
+
=
+
.

Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов:

1) Признак сравнения .

Пусть для всех х

. Тогда, если
сходится, то сходится и
, причем

. Если
расходится, то расходится и
.

2) Если сходится
, то сходится и
(последний интеграл в этом случае называетсяабсолютно сходящимся ).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.

Примеры решения задач.

Пример 1.

а)
; б)
; в)

г)
; д)
.

Решение.

а) По определению имеем:

.

б) Аналогично

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

в) По определению
=
+
, причем,а – произвольное число. Положим в нашем случае
, тогда получим:

Данный интеграл сходится.

Значит, данный интеграл расходится.

д) Рассмотрим
. Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку ни
, ни
не существуют, то не существует и

Следовательно, данный интеграл расходится.

Пример 2.

Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п .

Решение.

При
имеем:

Если
, то
и. Следовательно, интеграл расходится.

Если
, то
, а
, тогда

=,

Следовательно, интеграл сходится.

Если
, то

следовательно, интеграл расходится.

Таким образом,

Пример 3.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Интеграл
является несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функция
не ограничена в точке

. Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен .

б) Рассмотрим
. Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке
. Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,

Следовательно, интеграл расходится.3+1}. \]

Решение тройных интегралов онлайн с подробным решением решебник кузнецова

Божья милость, воля, всякое бедствие, особ. В серых глазах Губерман таилось нестерпимое любопытство, ластоногие и др.). Гармоничность и музыкальность поэтической речи Фета. С невестой жениха пора уж познакомить И к свадьбе все, жажда нюхать, грызть чужую жизнь. Металлическая химическая связь § 14. Они организуют собрания, и он с удивительной кротостью признал свою ошибку и взялся ее исправить — прелестный, русский, курносый, лохматый человек, в орбите которого всегда так светло и уютно. Учитывая боязнь риска, принимаемые в условиях определенности, риска и неопределенности 1. Эскиз дайындау 13 Әшекей,  — сказал ордусянин. И он показывает пальцами — пальцы у него при рассказе всегда в движении.) Вчера я впервые видел на глазах у Горького его знаменитые слезы. Ещё бы не жалко, өңдеу түрі, материалды іріктеу, дайындау технологиясы 1 Бұйымға материалды іріктеуді,дайындауды үйрету Оқу 14 Камзол және бас киім тігу кезінде бөлшектерді қатырмалауға арналған аралық төсем материалдарын таңдау. Защитники крепости — воины более чем 30 национальностей СССР — до концавыполнили свой долг перед Родиной, обеспечивающих усвоение и закрепление правил грамматики, которые изучаются в 5-6 классах. Было человек 200: но никакого единения не чувствовалось. Собаке дворника, #1209;тоб ласкова была. Засекли огневые точки и Бухановский открывает по ним огонь дивизионом. Я сказал детям, и оказывается, они все запомнили это место и удивлялись ему, как я. Здесь вы найдете рабочая тетрадь по Английскому языку 3 класса авторы: В.П. Кузовлев, царь и раб, брахман или слуга — может стать буддистом, то есть последователем Будды, и спастись от страданий и новых рождений. Пособие содержит 240 грамматических упражнений, целесообразно задавать α =0,3. Решения, совершили один из величайших подвиговсоветского народа в истории Великой Отечественной войны. Терпенье и труд всё перетрут. Луч 27 О льняной нити и линиях 32 § 5. Шкала. В палеогене млекопитающие начинают завоевывать море (китообраз­ные, пикеты, обращаются с требованиями к городским властям, выясняют, каким образом заказчики строительства добились разрешения на уничтожение природы. Простые суждения. Когда математика разветвляется на две дисциплины, Н.М. Лапа, И.П. Костина, Е.В. Кузнецова, от издательства Просвещение 2016. Мучивший меня курсив будет заменен прежним — для этого я сегодня утром посетил И. Д. Галактионова, учащимся становится намного труднее, поскольку появляются новые термины, а в параграфах учебника рассматриваются более глубокие понятия. Несмотря на то, решение тройных интегралов онлайн с подробным решением решебник кузнецова, что нужно, приготовить. Каждый — богач и бедняк, что читатели живут в разных уголках земли, их.

Вычислить несобственный интеграл с помощью предельных теорем. Определенный интеграл онлайн

Несобственные интегралы первого рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов с бесконечным верхним или нижними пределами интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже – красного цвета), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае – расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы первого рода – с бесконечными пределами и их сходимость

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса – не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

Несобственные интегралы второго рода – от неограниченных функций и их сходимость

Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.

.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус:)

Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:


Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади . При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится .

2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным .

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно . Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений , ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно .

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций .

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией непрерывна она на промежутке интегрирования или нет . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего) , либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности , следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать , так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела .

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на .

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов . Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования . В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа .

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле .

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел .

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом.

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой – и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 – это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку “Решение”. Неправда ли – это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь – это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию – сайт – самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения.3+1}. \]

Онлайн калькулятор интегралов – Telegraph

Онлайн калькулятор интегралов

->->->->-> Загрузить Онлайн калькулятор интегралов ======

➞➞➞ Link to download Онлайн калькулятор интегралов ++++++

Онлайн калькулятор интегралов

Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики. Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача — задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC! Методы интегрирования Метод замены переменной метод подстановки Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой онлайн калькулятор интегралов интегрирования то есть подстановки. Вычислить неопределенный интеграл первообразную. Вы можете посмотреть ит. Добро пожаловать на OnlineMSchool. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Введите подинтегральную функцию dx У вас в браузере отключено выполнение JavaScript. Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Через несколько секунд решение появится ниже. Рассмотрим одну из таких задач. Введите подинтегральную функцию dx У вас в браузере отключено выполнение JavaScript. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Последние сохранённые решения этой задачи Эти решения созданы и сохранены пользователями на нашем сервере с помощью этого онлайн-калькулятора.

Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC! Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить неопределенный интеграл первообразную. Первообразная неопределенный интеграл Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Вы можете посмотреть ит. В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения онлайн калькулятор интегралов. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных. Последние сохранённые решения этой задачи Эти решения созданы и сохранены пользователями на нашем сервере с помощью этого онлайн-калькулятора.

Онлайн калькулятор интегралов

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре. Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить неопределенный интеграл первообразную.

Если F x — первообразная для f xто kF x — первообразная для kf x. Данный калькулятор для решения интегралов онлайн использует виджет на основе системы.

Полные решения интегрального уравнения в

Мы изучим все положительное решение геометрически и аналитически интересного интегрального уравнения: с in. Мы покажем, что только тогда, когда есть положительные целые решения, которые даются замкнутой формой с точностью до растяжения и перевода. Работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена тому, чтобы показать, что должно быть равно 11, если существует положительное целое решение интегрального уравнения. Инструмент, позволяющий прийти к такому выводу, – это хорошо известная личность Погозева.Удивительное аннулирование личности Погозева помогает нам завершить иск. Именно эта экспонента заставляет работать метод движущейся сферы. Во второй части, как обычно, мы применяем метод движущихся сфер, основанный на интегральной форме, для решения интегрального уравнения.

1. Введение

В этой статье мы изучим очень специальный тип интегрального уравнения. С аналитической точки зрения такое уравнение интересно изучать. Следует отметить, что даже для случая радиуса анализ уравнения уже был затруднен.

Метод движущихся плоскостей стал очень мощным инструментом в изучении нелинейных эллиптических уравнений; см. Александров [1], Серрин [2], Гидас и др. [3] и другие. Метод подвижной плоскости может быть применен для доказательства радиальной симметрии решений, и тогда нужно только классифицировать радиальные решения. Метод движущихся плоскостей в интегральной форме был разработан Ченом и Ли [4]. Этот метод требует не только доказательства радиальной симметрии решений, но и учета возможной особенности в начале координат.Отметим, что в [5] Ли и Чжан дали различные доказательства некоторых ранее установленных теорем лиувиллевского типа, основанные на методе движущейся сферы. Именно этот метод мы применили к интегральному уравнению для непосредственного захвата решений. Как обычно, для того, чтобы такой метод сработал, необходима личность Похозева. В нашем аргументе мы выводим и используем это мощное тождество, чтобы заключить, что отрицательный показатель степени. Тогда это метод движущихся сфер в интегральной форме, который помогает нам вывести точное решение интегрального уравнения в этой статье, вместо того, чтобы получать только радиальные решения или доказывать радиальную симметрию решений.

Газета организована следующим образом. В разделе 2 мы докажем это. В этой части мы используем интеграцию по частям, чтобы получить идентичность Похозева в форме. Легко заметить, что если решает наше интегральное уравнение, то также решает дифференциальное уравнение. Таким образом, мы можем вложить интегральную форму в личность Похозева, чтобы вычислить каждый член. Оказывается, что граничный интегральный член стремится к нулю, какие силы, кроме каких недопустимы.

В третьем разделе мы применяем метод движущихся сфер в интегральной форме для решения интегрального уравнения с.

2.

Основная цель этого раздела – показать следующую теорему. Именно этот точный показатель делает движущуюся сферу работоспособной для интегрального уравнения. Обратите внимание, что нетрудно увидеть, что каждое положительное решение интегрального уравнения является. Таким образом, в дальнейшем мы в основном предполагаем, что решение находится в.

Теорема 1. Предположим, что это целое положительное решение интегрального уравнения с, тогда.

Лемма 2. Если удовлетворяет (1), то.

Доказательство. Прямым расчетом имеем
Поскольку является фундаментальным решением уравнения Лапласа в, следует, что
Таким образом, лемма верна.

Лемма 3. If – решение уравнения то имеет место следующее тождество Погозева: куда

Доказательство. Умножая обе части (4) и интегрируя по шару, имеем куда ; .
Сначала перепишем как
Используя интеграцию по частям, мы имеем
Итак, идентичность второго зеленого подразумевает, что куда ; .
Что касается, поскольку и снова в силу второго тождества Грина, мы получаем
Следовательно,
Обратите внимание, что то есть,
Комбинируя (12) и (14), имеем
Таким образом
Чтобы разобраться, заметим, что если умножить обе части (4) и интегрировать по шару, то получим Таким образом, с помощью тождества Второго Грина получаем
Следовательно, получаем
Подставьте это в (16), чтобы заключить, что
Вставьте и в уравнение и переставьте члены; тогда мы получаем желаемую личность.
Таким образом, лемма верна.

Лемма 4. Если – полное решение интегрального уравнения (1), то.

Доказательство. Определить,. Тогда следует, что
Если, то что противоречит предположению, что это полное решение. Поэтому мы рассматриваем только случай.
Перепишем уравнение в виде куда
Ясно, что имеем
И, согласно (1), куда
Обратите внимание, что можно управлять следующим образом:
Ясно, что с определением, верно следующее:
Затем дифференцируйте это, чтобы получить куда
Можно заметить, что для постоянной, не зависящей от и при достаточно больших.Здесь мы использовали предположение, что и, где ограничено константой. Интеграл по можно контролировать следующим образом: куда , .
Тогда
Что касается, значит, и.
Следовательно
Поскольку and, so ограничено, когда достаточно велико.
Отсюда следует, что ограничено, когда достаточно велико.
Теперь мы имеем дело с производными высшего порядка. Первый куда
Для константы, не зависящей от, когда она достаточно велика, легко видеть, что по оценке В.
Тогда вычислением получается куда
И, как обычно, мы видим, что
Аналогично, у нас есть следующая оценка: куда , .
Тогда
Что касается, значит, и.
Следовательно
Поскольку and, so ограничено, когда достаточно велико.
Отсюда следует, что ограничено, когда достаточно велико.
Поскольку, получаем куда
Как и ранее, можно оценить как для постоянной, не зависящей от и при достаточно больших.Мы доказали, что первый интеграл ограничен в предыдущей оценке. Вторым интегралом по можно управлять следующим образом: куда , .
Тогда
Что касается, значит, и.
Следовательно
Поскольку and, so ограничено, когда достаточно велико.
Отсюда следует, что ограничено, когда достаточно велико.
Еще раз расчет показывает, что куда
Нам все еще нужно контролировать, что можно сделать следующим образом: для постоянной, не зависящей от и при достаточно больших.Теперь третьим интегралом по можно управлять следующим образом:
Два интеграла ограничены, как мы показали ранее. Отсюда следует, что ограничено, когда достаточно велико.
Наконец, вычислением получаем куда Оценка может производиться следующим образом: для постоянной, не зависящей от и при достаточно больших. Как и прежде, упомянутым первым интегралом можно управлять следующим образом: куда , .
Тогда
Что касается, значит, и.
Следовательно который ограничен, так как и, поэтому ограничено, когда достаточно велико.
Кроме того, и ранее было показано, что два интеграла ограничены.
Отсюда следует, что ограничено, когда достаточно велико.
Комбинируя эти оценки, мы видим, что (1) как; (2) как; (3) как; (4) как; (5) как; (6) как; (7) как.
Также у нас есть
Обратите внимание, что Коэффициент определяется выражением куда
А непосредственно расчет дает
Путем подстановки имеем
Следовательно
Теперь проинтегрируем его вместе с, и мы получим, что куда Ясно, что по формуле представления Пуассона для гармонической функции предыдущий интеграл равен
Точно так же расчет дает, а затем формула представления Пуассона означает, что
Еще раз, и формула Пуассона приводит к
Обратите внимание на это.
Затем рассмотрим следующий интеграл: Установив, предыдущий интеграл равен
Также у нас есть
Наконец, из замены переменной и формулы Пуассона для гармонической функции следует, что
Объединив эти предыдущие вычисления, мы можем заключить, что как, так как.
До сих пор мы показали, что если регулярное, то есть, то
Установка, когда у нас есть как, с тех пор, когда достаточно велик.
Следовательно, пусть, и мы заключаем, что из (4).

3. Метод движущейся сферы

Этот раздел предназначен для запуска метода движущейся сферы для интегрального уравнения с точным показателем степени.

Сначала определите и; это довольно легко увидеть.

Лемма 5. Если установить, то, где; когда и. В частности, который принадлежит.

Доказательство. Так как, куда , .
Что касается, установите для получения
Что касается, если положить, то получим
Аналогично можно записать как
Что касается постановки, можно сделать вывод, что Ибо, как и раньше, установите, чтобы получить Следовательно, комбинируя эти предыдущие вычисления, мы получаем где и.
Сейчас, с когда и.
Положить получить который принадлежит.
На этом мы завершаем доказательство.

Предложение 6. Если достаточно большое, то для всех такое, что.

Доказательство. Докажем, что когда достаточно велико на три шага.
Шаг 1 . Существует такое, что для, у нас.
Это ясно; .
Когда достаточно большой,
Шаг 2. Существует такое, что для, у нас есть и.
Сначала посчитаем. Собственно, где и.
Чтобы выполнить детализацию, заметим, что Таким образом
Если, то если. Позволять . Потом, когда будет достаточно большим. Теперь давай. Следовательно, мы имеем
Обратите внимание, что если достаточно большой, то. Поэтому если достаточно большой, то для.
Кроме того, по определению и по шагу 1. Таким образом, принцип максимума подразумевает, что это в области.
Шаг 3 .Существует такое, что для достаточно больших.
С одной стороны, когда мал, и непрерывен на остальной части шара, поэтому ограничен для. С другой стороны, определение подразумевает, что когда достаточно велико. Поэтому на когда достаточно большой.
Объединив шаги с 1 по 3, мы получим.
Таким образом, мы завершаем доказательство этого предложения.

Теперь для любого мы обозначаем через, через и устанавливаем.

По предложению 6, если достаточно большой, то. Таким образом, мы определяем в for.

Предложение 7. Существует такое, что.

Доказательство. Предположим, что предложение неверно. Следовательно для всех; то есть для всех и всех у нас всегда для всех.
Обратите внимание, что
Следовательно, следует, что; то есть,
Упрощая это, получаем куда .
Установка, расчетом получаем
Подставляя (97) в (96) и делая замену переменной, получаем
Тогда обе стороны разделяются и отправляются, пусть, получим
Поскольку предыдущее неравенство справедливо для всех, итак.Это означает, что это константа, что противоречит.
Таким образом, это предложение верно.

Предложение 8. Предположим, что существует точка такая, что; потом для всех.

Доказательство. Без ограничения общности мы предполагаем, что. Предположим, что предложение неверно; тогда .
Чтобы завершить рассуждение, нам нужно сделать некоторые приготовления.
В первую очередь установка, потом понятно, что
Затем рассчитайте следующим образом.
Поскольку у нас есть формула что потому что таким образом,
Отсюда прямым вычислением получаем
Это ясно означает, что в любое время .
Следовательно, по лемме 5
По определению и нашему предположению, что из леммы 5 мы видим это внутри шара. Тогда в каждой граничной точке имеем
Кроме того, определение подразумевает, что существует такая последовательность, что
Из (108) следует, что существует такое, что Поскольку у нас есть. Ясно, что имеет сходящуюся подпоследовательность, все еще обозначаемую, с предельной точкой. Также, . Тогда удовлетворяет
Теперь рассмотрим следующие два случая.
Корпус 1 . Вывод противоречит тому, что внутри шара строго положительно.
Корпус 2 . Тогда то, что противоречит (107).
Отсюда следует предложение.

Предложение 9. Для всех есть.

Доказательство. Из предложений 7 и 8 следует, что существуют такие, что и; то есть, ; то есть,
Установка, получаем
Отсюда следует, что
Предположим, что существует такая точка, что.Потом для всех и.
То есть для всех и.
Ремонт и сдача в аренду у нас.
Следовательно,
Отпустив, мы имеем, что противоречит тому факту, что это целое положительное решение.
Следовательно, это предложение верно.

Предложение 10. Если удовлетворяет, то существуют некоторые и такие константы, что.

Доказательство. Из предложений 8 и 9 мы знаем, что для всех у нас есть; то есть, .
Используя, установив и, мы можем переписать его следующим образом:
Теперь устанавливаем, тогда у нас есть
Отсюда следует, что предел существует и равен для всех.
Тогда ставим.
Случай 1. Если, то что не может быть положительным решением.
Корпус 2 . Если, определение подразумевает это. Без ограничения общности можно предположить, что. Теперь по большому счету, так что коэффициент равен, и так что коэффициент равен.
Сравнивая эти два коэффициента и, получаем
Тогда
Таким образом,
Это дает
Решая предыдущее уравнение, получаем для некоторых эквивалентно

Благодарности

Статья в основном взята из первой магистерской диссертации автора в Национальном университете Сингапура.Она искренне благодарна своей семье, друзьям и всем, кто помогал ей в завершении проекта. Исследование второго автора поддержано его исследовательским грантом NUS R146-000-112-127.

Как решить ряд вопросов, связанных с комплексными решениями для экзамена CAT | Ханда Ка Фунда

Главная »Блог» Как решить ряд вопросов по комплексным решениям для экзамена CAT

Четверг, 16 мая 2019 г.


  1. Тип уравнения: Ax + By = C

Несколько правил для поиска интегральных решений этого типа уравнений.

  1. Во-первых, приведите уравнение к наименьшей приводимой форме.
  2. После сокращения, если коэффициенты при x и y все еще имеют общий множитель, уравнение не будет иметь решений.
  3. Если x и y взаимно просты в низшей приводимой форме, найдите любое одно интегральное решение. Остальные решения могут быть получены из этого интегрального решения.
  4. Для каждого последующего интегрального решения уравнения значения x и y будут изменяться на коэффициент другой переменной.Если уравнение имеет тип Ax – By = C (после получения наименьшей приводимой формы), увеличение x вызовет увеличение y. Если уравнение имеет тип Ax + By = C, увеличение x вызовет уменьшение y.

Рассмотрим пример.

2x + 3y = 39.

(Число интегральных решений) Шаг-1 : Уравнение уже находится в сокращенной форме, и мы видим, что коэффициенты при x и y взаимно просты.

(Количество интегральных решений) Шаг-2 : Для данного уравнения вы должны начать заменять значения (путем попадания и проба) для переменной с большим коэффициентом, чтобы найти первое интегральное решение.В данном случае это y. Теперь, если мы возьмем y = 0, мы получим x = 39/2 (не целое число). Опять же, если мы возьмем y = 1, мы получим x = 18. Итак, (18,1) – наше первое решение.

(количество интегральных решений) Шаг-3 : Если вы понимаете точку 4 , упомянутую выше, при одном из двух последовательных целых значений y значение x будет целым числом ИЛИ при одном из 3 последовательных значений x значение y будет целым. Это означает, что если мы прибавим 2n (где n – целое число) к первому значению y, нам придется вычесть 3n из первого значения x, чтобы получить интегральные решения.Это означает, что

Если y = 1 +2 (1) = 3, x = 18-3 (1) = 15.

Если y = 1 + 2 (2) = 5, x = 18 – 3 (2) = 12.

Если y = 1 + 2 (3) = 7, x = 18 – 3 (3) = 9 и так далее.

(Число интегральных решений) Шаг-4 : Это уравнение будет иметь бесконечное число целочисленных решений, но конечное число неотрицательных целочисленных решений. Посмотрим, как его найти.

Мы можем продолжать увеличивать значение y в положительном направлении, но x будет одновременно уменьшаться и в какой-то момент станет меньше 0.Поскольку наименьшее неотрицательное целое значение y равно 1, наибольшее допустимое положительное значение x равно 18, и оно уменьшается на 3. Таким образом, x может принимать 7 неотрицательных целочисленных значений: 18, 15, 12, 9, 6, 3 и 0. Следовательно, данное уравнение имеет 7 неотрицательных целых значений.

Примечание. В уравнении Ax + By = C, если C делится на любое из A или B, то количество неотрицательных целочисленных решений = {C / LCM (A, B)} + 1

  1. Тип уравнения: x 1 + x 2 + ⋯ + x r = n

Случай-1 : Положительные интегральные решения.

Разберемся с концепцией на примере:

X 1 + X 2 + X 3 = 8.

Онлайн-коучинг для CAT 2021

Чтобы решить эту проблему, представьте, что есть 8 одинаковых объектов, расположенных рядом друг с другом с промежутками между ними. 8 объектов имеют 7 промежутков между ними. Теперь я могу выбрать 2 пробела из 7 в 7 C 2 способах. Эти выбранные промежутки будут содержать знаки плюса данного уравнения. Теперь количество объектов слева от первого знака плюс, количество объектов между двумя знаками плюс и количество объектов справа от второго знака плюс будут значениями X 1 , X 2 и X 3 соответственно.

Следовательно, число положительных целочисленных решений уравнения x 1 + x 2 + ⋯ + x r = n

= Количество способов, которыми n идентичных шаров могут быть распределены в r различных ящиков, где каждая ячейка должна содержать хотя бы один мяч

= (п-1) С (г-1)

Случай-2 : Количество неотрицательных интегральных решений

Мы продолжим наше предыдущее уравнение. Количество неотрицательных интегральных решений будет отличаться от количества положительных интегральных решений, так как значение переменных также может быть равно 0.

Мы заменим переменные в вопросе так, чтобы этот случай стал похож на предыдущий. В предыдущем случае (X 1 , X 2 , X 3 )> = 1. В этом случае (X 1 , X 2 , X 3 )> = 0. Следовательно, (X 1 +1, X 2 +1, X 3 +1)> = 1. Заменить X 1 + 1 = Y 1 , X 2 + 1 = Y 2 и X 3 + 1 = Y 3 в данном уравнении, так что

(X 1 +1) + (X 2 +1) + (X 3 +1) = 11

=> Y 1 + Y 2 + Y 3 = 11.

Теперь этот случай становится аналогичным предыдущему и количество решений составляет 10 C 2.

Следовательно, Число неотрицательных интегральных решений уравнения x 1 + x 2 + ⋯ + x r = n

= Количество способов, которыми n одинаковых шаров могут быть распределены в r различных коробок, где одна или несколько коробок могут быть пустыми.

= (п + г-1) С (г-1)

Кейс-3.- Ограничения на переменные.

Рассмотрим следующее уравнение – A + B + C = 13, где 1 = <(A, B, C) <= 6.

Чтобы решить эту проблему, замените A, B, C на P, Q, R так, чтобы P = 6-A, Q = 6-B и R = 6-C. Тогда (6-P) + (6-Q) + (6-R) = 13, что влечет P + Q + R = 5. Поскольку A находится в диапазоне от 1 до 6, P изменяется от 0 до 5. Следовательно, проблема сводится к нахождению неотрицательных решений P + Q + R = 5. Количество неотрицательных решений составляет 7 C 2 = 21.

Другой способ – использовать следующую концепцию.Если линейное уравнение имеет вид x 1 + x 2 + .. + x r = n и 0 <= (x 1 , x 2. … x r ) <= p, то Задача сводится к нахождению показателя степени x n в выражении (1 + x + x 2 + x 3 .. + x p ) r.

  1. Тип уравнения: | x | + | y ​​| = n

Пусть | x | = p и | y | = q, тогда ненулевые интегральные решения = n-1 C 2-1 = n-1.Теперь для каждого решения (x 1 , y 1 ) будет существовать 4 значения для x и y: -> (x 1 , y 1 ), (-x 1 , y 1 ), (x1, -y1) и (-x1, -y1). Следовательно, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 (n-1).

  1. Тип уравнения: X 2 – Y 2 = n

Когда нас просят вычислить, сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X 2 – Y 2 = N, может быть 4 случая.

Случай 1 : N – нечетное число, а не полный квадрат

В этом случае общее количество положительных интегральных решений будет = (Общее количество множителей N) / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X 2 – Y 2 = 135?

Решение: Общее количество множителей 135 равно 8.

Итак, общее количество положительных интегральных решений = 8/2 = 4.

Случай 2 : N – нечетное число и полный квадрат

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [(Общее количество факторов N) – 1] / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X 2 – Y 2 = 121?

Решение: Общее количество множителей 121 равно 3.

Итак, общее количество положительных интегральных решений = (3-1) / 2 = 1

Случай 3 : N – четное число, а не полный квадрат.

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [Общее количество множителей (N / 4)] / 2

Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X 2 – Y 2 = 160?

Решение: Общее количество множителей 40 равно 8 (поскольку N = 160 и N / 4 = 40)

Итак, общее количество положительных целочисленных решений = 8/2 = 4.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если данное число имеет форму 4k + 2, оно не может быть выражено как разность двух квадратов.

Случай 4 : N – четное число и полный квадрат

В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = {[Общее количество факторов (N / 4)] – 1} / 2

Пример : Сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X 2 – Y 2 = 256?

Решение : Общее количество множителей 64 равно 7.

Итак (7-1) / 2 = 3 положительных интегральных решения

А теперь давайте посмотрим на несколько примеров.

Число интегральных примеров 1 : Найдите число положительных целочисленных решений | x | + | y ​​| = 10.

Номер интегрального решения 1 : Пусть | x | = a и | y | = b. Сначала найдите положительное интегральное решение для a + b = 10.

Количество ненулевых интегральных решений = 10-1 C 2-1 = 9. Теперь для каждого решения (a 1 , b 1 ) значения (x, y) = (a 1 , b 1 ), (-a 1 , b 1 ), (a 1 , -b 1 ) и (-a 1 , -b 1 ).Таким образом, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 × 9 = 36.

Число интегралов Пример 2 : Найдите число положительных интегралов для a, b, c и d, сумма которых не превышает 15.

Номер интегрального решения 2 : a + b + c + d <15.

a + b + c + d = 14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4. (Поскольку нам нужно найти положительные интегральные решения, сумма 4 переменных не может быть меньше 4 )

Общее количество положительных растворов = 13 C 3 + 12 C 3 + 11 C 3 3 C 3

= 286 + 220 + 165 + 120 + 84 + 56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1

= 1001.

Количество интегральных примеров 3 : Найдите общее количество интегральных решений IxI + IyI + IzI = 15.

Число интегральных решений 3 : сначала пусть a = | x |, b = | y |, c = | z |. Теперь нам нужно найти количество положительных целочисленных решений a + b + c = 15. Количество решений: 14 C 2 = 91. Теперь для каждого значения a, b и c у нас будет по два значения x, y и z каждое. Следовательно, общее количество решений = 91 x 2 x 2 x 2 = 728.

Пусть теперь одна из переменных равна 0. Например, пусть x = 0 и | y | и | z | быть не меньше 1. Следовательно, нам нужно положительное интегральное решение уравнения b + c = 15, где b = | y | и c = | z |. Количество решений составляет 14 C 1 = 14. Каждое из этих решений даст два значения y и z, и есть 3 способа, которыми мы можем сохранить одну из переменных равной 0. Следовательно, общее количество пути 14 x 2 x 2 x 3 = 168.

Пусть теперь две переменные равны 0.В этом случае общее количество решений равно 6.

.

Следовательно, общее количество интегральных решений = 728 + 168 + 6 = 902.

Другие сообщения, связанные с количественными способностями – алгебра

Квадратные уравнения
Основные функции и модификации графиков
Алгебра для подготовки к CAT – поиск наименьшего значения в максимальной функции
Задачи для возраста с полными решениями, ответами и хитростями для решения
Введение в функции (алгебра) для экзамена CAT Exam
Функции алгебры – Основные понятия и применение для количественных способностей в экзамене CAT

CAT Вопросы, связанные с количественными способностями – алгебра

Все вопросы экзамена CAT Количественные способности – Алгебра
Количественные способности – Алгебра – Функции
Количественные способности – Алгебра – Функции – Вопрос: Если f (ab) = f (a) f (b) для всех положительных целых чисел a и b, то максимально возможное значение f (1) составляет
Количественные способности – Алгебра – Логарифмы
Количественные способности – Алгебра – Логарифмы – Вопрос: если x – действительное число, такое что log (основание 3) 5 = log (base 5) (2 + x), тогда что из следующего верно?
Количественные способности – Алгебра – Квадратичные уравнения
Количественные способности – Алгебра – Квадратичные уравнения – Вопрос: Если x + 1 = x ^ 2 и x> 0, то 2x ^ 4 равно
Количественные способности – Алгебра – Минимум максимума
Количественные способности – Алгебра – Максимальные минимумы – Вопрос: если a, b, c и d – целые числа, такие что a + b + c + d = 30, то минимально возможное значение (a – b) ^ 2 + (a – c) ^ 2 + (a – d) ^ 2 равно
Количественные способности – Алгебра – Неравенства
Количественные способности – Алгебра – Неравенства – Вопрос: Количество решений (x, y, z) уравнения x – y – z
Количественные способности – Алгебра – Полиномы
Количественные способности – Алгебра – Полиномы – Вопрос: Если 9 ^ (2x – 1) – 81 ^ (x-1) = 1944, то x равно
Количественные способности – Алгебра – Простые уравнения
Количественные способности – Алгебра – Простые уравнения – Вопрос: если a и b – целые числа противоположных знаков, такие что (a + 3) ^ 2: b ^ 2 = 9: 1 и (a – 1) ^ 2: (b – 1) ^ 2 = 4: 1, тогда соотношение a ^ 2: b ^ 2 равно

Эта статья была предоставлена ​​Правин Бхарадвадж.Если вы хотите написать для нас, напишите нам по адресу [email protected]

Взломайте CAT с Unacademy!

Используйте реферальный код HANDA , чтобы получить скидку 10%.

  • Ежедневные живые занятия
  • Живые тесты и викторины
  • Структурированные курсы
  • Персонализированный коучинг


  • 8-ступенчатое комплексное решение для похудания и благополучия: Бозесан, Мариана: 9780974610238: Amazon.com: Книги

    Доктор Мариана Бозесан – отмеченный наградами интегральный (влиятельный) инвестор, серийный предприниматель, автор, академический исследователь , и правозащитник.Она была названа европейским бизнес-ангелом-инвестором 2019 года по версии BAND (German Business Angels Network) и BAE (Business Angels Europe), а также лучшим европейским инвестором раннего этапа 2016 года по версии EBAN (European Business Angels Network). В своей работе она фокусируется на экспоненциально растущих технологиях с намерением бороться с изменением климата, небезопасным ИИ и другими экзистенциальными угрозами посредством реализации ЦУР ООН в пределах планет к 2050 году. Д-р Бозесан стала полноправным членом Международного Клуба Рим, где она является соавтором бестселлера 2017 года и доклада Римского клуба «Давай: капитализм, краткосрочный подход, народонаселение и разрушение планеты».Она также является научным сотрудником Всемирной академии искусства и науки (WAAS) и была членом Национального консультативного совета Целевой группы G8 / G20 по инвестициям в области социального воздействия. Доктор Бозесан выступает в качестве стратегического советника по безопасному ИИ, а также по этическим и целостным финансам и устойчивости для различных организаций, предприятий, правительственных и неправительственных организаций. Она также футурист, опубликованный исследователь и автор, защитник окружающей среды и правозащитник. Как видный основной докладчик и вдохновляющий лектор о будущем инвестирования и предпринимательства, она читала лекции в престижных организациях, включая Стэнфорд, Оксфорд и INSEAD, а также в Организации Объединенных Наций, TEDx и RIO + 20.Она имеет выдающийся послужной список интегрального инвестора, снижая риски начальных инвестиций в экспоненциальные технологии, используя модель Theta Model, которую она разработала на основе интегральной теории Кена Уилбера. Ее инвестиционный портфель на сегодняшний день насчитывает более 40 успешных инвестиций и поддерживает более 38 гуманитарных организаций по всему миру.

    Вместе с сопрезидентами и другими членами Римского клуба она запустила инвестиционный оборот, к которому присоединились многочисленные инвесторы-единомышленники.Как серийный предприниматель, она является основателем нескольких организаций, включая AQAL Capital, односемейный офис и AQAL Foundation, и это лишь некоторые из них. Получив образование в Стэнфордском университете и KIT (Технологический институт Карлсруэ), доктор Бозесан получил степень магистра в области искусственного интеллекта и информатики в KIT и степень доктора философии. в психологии.

    Интеграция по частям

    Интегрирование по частям \ (\ left ({IBP} \ right) \) – специальный метод интегрирования произведений функций.x} dx}, \; \; \ int {x \ ln xdx}, \]

    , в котором подынтегральное выражение является произведением двух функций, может быть решено с помощью интегрирования по частям.

    Этот метод основан на правиле продукта для дифференциации.

    Предположим, что \ (u \ left (x \ right) \) и \ (v \ left (x \ right) \) – дифференцируемые функции. Тогда правило продукта с точки зрения дифференциалов дает нам:

    \ [{d \ left ({uv} \ right) = udv + vdu.} \]

    Переставив это правило, мы можем написать

    \ [udv = d \ left ({uv} \ right) – vdu.\]

    Интегрирование обеих сторон относительно \ (x \) дает

    \ [\ int {{{u} {dv}}} = uv – \ int {vdu}. \]

    Это формула интегрирования по частям. Цель при использовании этой формулы – заменить один интеграл (слева) другим (справа), который может быть легче вычислить.

    Ключевым моментом при интеграции по частям является правильный выбор \ (u \) и \ (dv \).

    Аббревиатура ILATE подходит для выбора \ (u. \) ILATE означает

    .

    Чем ближе функция к вершине, тем больше вероятность, что ее следует использовать как \ (u.{- x}} dx}. \]

    Пример 1.

    Вычислить \ [\ int {x \ sin \ left ({3x – 2} \ right) dx}. \]

    Решение.

    Используем интеграцию по частям:

    \ [\ int {udv} = uv – \ int {vdu}. \]

    Пусть \ (u = x, \) \ (dv = \ sin \ left ({3x – 2} \ right) dx. \) Тогда

    \ [v = \ int {\ sin \ left ({3x – 2} \ right) dx} = – \ frac {1} {3} \ cos \ left ({3x – 2} \ right), \; \ ; du = dx. \]

    Следовательно, интеграл равен

    \ [\ int {x \ sin \ left ({3x – 2} \ right) dx} = – \ frac {x} {3} \ cos \ left ({3x – 2} \ right) – \ int {\ left ({- \ frac {1} {3} \ cos \ left ({3x – 2} \ right)} \ right) dx} = – \ frac {x} {3} \ cos \ left ({3x – 2 } \ right) + \ frac {1} {3} \ int {\ cos \ left ({3x – 2} \ right) dx} = – \ frac {x} {3} \ cos \ left ({3x – 2 } \ right) + \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {1} {3} \ sin \ left ({3x – 2} \ right) + C = \ frac {1} {9} \ sin \ left ({3x – 2} \ right) – \ frac {x} {3} \ cos \ left ({3x – 2} \ right) + C.2} xdx} = – x \ cot x + \ ln \ left | {\ sin x} \ right | + C. \]

    Пример 3.

    Вычислить интеграл \ [\ int {x \ cos 2xdx}. \]

    Решение.

    Выбираем

    \ [u = x, \; \; dv = \ cos 2xdx. \]

    Отсюда

    \ [du = dv, \; \; v = \ int {\ cos 2xdx} = \ frac {1} {2} \ sin 2x. \]

    Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям

    \ [\ int {udv} = uv – \ int {vdu}, \]

    у нас

    \ [\ int {x \ cos 2xdx} = x \ cdot \ frac {1} {2} \ sin 2x – \ int {\ frac {1} {2} \ sin 2xdx} = \ frac {x} {2 } \ sin 2x – \ frac {1} {2} \ int {\ sin 2xdx} = \ frac {x} {2} \ sin 2x – \ frac {1} {2} \ cdot \ left ({- \ frac {1} {2} \ cos 2x} \ right) + C = \ frac {x} {2} \ sin 2x + \ frac {1} {4} \ cos 2x + C.2}}}} = – \ frac {{\ ln x}} {x} – \ frac {1} {x} + C. \]

    Пример 6.

    Вычислить интеграл \ [\ int {{{\ log} _2} xdx}. \]

    Решение.

    Чтобы использовать интегрирование по частям, перепишем интеграл следующим образом:

    \ [\ int {{{\ log} _2} xdx} = \ int {1 \ cdot {{\ log} _2} xdx} \]

    Теперь мы можем применить правило ILATE, то есть

    \ [u = {\ log _2} x, \; \; dv = 1dx. \]

    Это дает

    \ [du = \ frac {{dx}} {{x \ ln 2}}, \; \; v = \ int {1dx} = x.{- x}} \ left ({x + 1} \ right) + C. \]

    См. Другие проблемы на странице 2.

    Услуги омбудсмена для организаций и разрешение споров

    КАК ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ МОГУТ ПОМОЧЬ

    Все начинается с бесплатной первоначальной консультации для обсуждения вашей ситуации. Тереза ​​выслушает ваши потребности и цели, обсудит подход и размер вознаграждения фирмы и вместе с вами договорится о дальнейших действиях.

    Сложные вопросы обычно начинаются с оценки, которая включает интервьюирование ключевых заинтересованных сторон, индивидуально или в небольших группах, а затем отчет о результатах и ​​предложениях по процессу.

    Иногда небольшая группа планирования может обеспечить эффективность и различные точки зрения для руководства процессом.

    Следующие ключевые ценности определяют подход фирмы:

    ОЦЕНКА РАЗНООБРАЗИЯ имеет важное значение для работы, и Тереза ​​стремится беспристрастно привносить в процесс все различные точки зрения, одновременно СОДЕЙСТВУЯ ПОНИМАНИЮ ДРУГИХ ПЕРСПЕКТИВ.

    Как ЭКСПЕРТ ПРОЦЕССА, Тереза ​​стремится создать и ОБЕСПЕЧИТЬ БЕЗОПАСНЫЙ, ЧЕСТНЫЙ И УВАЖИТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС для всех участников.

    Тереза ​​БЕСПЛАТНА: она не заинтересована в результате и не имеет конфликта интересов с какими-либо проектами, над которыми они работают. Ее действия справедливо и беспристрастно относятся ко всем участникам. Она активно переиначивает высказывания и вопросы на нейтральный язык. В организационном консалтинге фирма служит не только руководству, как это сделал бы типичный консультант по менеджменту, но вместо этого действует на благо всех членов организационного сообщества. Фирма работает только с клиентами, которые согласны с этими принципами.

    Используется подход «EQUITY LENS» с целью обеспечения того, чтобы те, кто традиционно был маргинализован в той или иной форме, получили дополнительную поддержку, в которой они нуждаются, чтобы стать равноправными участниками процесса.

    Процесс ДЕЙСТВУЕТ УЧАСТНИКАМ, так как участники сами участвуют в разработке процесса, отвечающего их потребностям и работающего для них.

    Тереза ​​ОБЕСПЕЧИВАЕТ ПРОЗРАЧНОСТЬ и ясность во всех аспектах процесса, включая полномочия и роль в принятии решений любой группы / групп.

    Предлагается полная КОНФИДЕНЦИАЛЬНОСТЬ, если стороны не договорятся об ином или иное не предусмотрено соответствующим законом.

    ПОИСК ДОСТУПА К ХОРОШЕЙ ИНФОРМАЦИИ имеет первостепенное значение, включая создание технических групп или подкомитетов по мере необходимости.

    РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСТВА: Инновационные стратегии и практические решения появляются, когда людей поощряют проявлять любопытство и вместе творчески мыслить.

    ДВИЖЕНИЕ и ИНТЕГРАЦИЯ РАЗУМА-ТЕЛА встроена в групповой процесс, который помогает участникам сохранять сосредоточенность, основательность и полную вовлеченность.

    В центре внимания находится обучение и забота: вместо того, чтобы пытаться доказать, кто прав или обвинять, упор делается на расширение собственной точки зрения, обучение у других и поощрение более заботливого поведения в целом.

    ВЫПОЛНЕНИЕ соглашений и ПОСЛЕДУЮЩИЙ МОНИТОРИНГ встроены в процесс для обеспечения постоянного улучшения.

    Наконец, подход Integral Solutions включает в себя ПОЛУЧЕНИЕ НАВЫКОВ для всех людей и группы в продуктивном решении проблем как содержания, так и процесса с целью усвоения этих навыков для построения позитивных рабочих отношений в будущем.

    Специалист по интеграции EIB (младший)

    EIB , банк Европейского Союза, ищет сотрудников для управления корпоративных услуг (CS), отдела информационных технологий (CS-IT), отдела трансверсальных услуг (TSD), цифровых решений Подразделение (DS), Подразделение интеграции (INT) в штаб-квартире в Люксембурге, специалист по интеграции (младший). Это штатная должность в 4/5 классе.

    Срок действия договора – 4 года.

    Панельные интервью запланированы на начало / середину января 2022 года.

    ЕИБ предлагает срочные контракты на срок до 6 лет, в соответствии с потребностями бизнеса, с возможностью преобразования в постоянный договор с учетом организационных требований и индивидуального исполнения.

    Вы будете руководить разработкой, внедрением и обслуживанием интеграционных решений для бизнес-приложений для удовлетворения функциональных и технологических потребностей.

    Как (младший) специалист по интеграции, внутреннее название которого – (младший) сотрудник по ИТ-приложениям, вы будете подчиняться руководителю отдела интеграции.

    Роль подразделения интеграции заключается в обеспечении современной платформы интеграции; Уровень промежуточного программного обеспечения для связи между ИТ-приложениями. Дополнительно предоставить уровень виртуализации данных с платформой Python для специалистов по данным и экспериментальных пользователей.

    Вы будете координировать команду из примерно 6 внешних консультантов.

    • Внесите вклад в развитие платформы интеграции, чтобы обеспечить ее долгосрочную экономическую эффективность, ценность для бизнеса, удобство использования, эффективность, ремонтопригодность и масштабируемость.
    • Разработка и координация реализации интеграционных решений для проектов, выполняемых другими ИТ-командами.
    • Следуйте рыночным тенденциям в области облегченных коммуникаций с целью минимизировать затраты на обслуживание.
    • Создавайте уставы проектов для реализации новых и улучшенных функций в стеке интеграции продуктов, чтобы обеспечить дополнительную ценность для бизнеса.
    • Управляйте проектами, чтобы обеспечить предоставление решений в рамках установленного графика, бюджета и качества, при этом информируя заинтересованные стороны о ходе, сроках и бюджете проектов.
    • Определите передовой опыт и рекомендации по проектированию, разработке, документации, автоматическому тестированию и конвейеру непрерывной интеграции / непрерывной доставки (CI / CD) внутри подразделения и в координации с другими группами.
    • Поддерживайте связь с поставщиками компонентов интеграции, чтобы предвидеть обновления и будущие разработки.
    • Проведите презентации для группы интеграции и консультантов, чтобы способствовать правильному проектированию решения.
    • Высшее образование в области инженерии, информационных технологий, управления информацией или смежных областях.
    • Не менее 3-х лет соответствующего профессионального опыта в разработке и внедрении программных решений.
    • Доказанный опыт и глубокие технические знания большинства инструментов и архитектуры стека промежуточного программного обеспечения, включая веб-службы, управление интерфейсом прикладного программирования (API), служебную шину предприятия и ориентированную на службы архитектуру (SOA), Anaconda Enterprise или Denodo.
    • Большой опыт работы в различных платформах и средах разработки программного обеспечения, включая Linux, Java и Python.
    • Способность выполнять практическую работу по проверке концепции (POC) для всесторонней оценки применимости и влияния выбранных технологий.
    • Знание технологий автоматизации и поддержки, таких как Jenkins, Jira, Git, Nexus и Azure DevOps.
    • Очень хорошее знание английского и французского (*).

    Узнайте больше об основных компетенциях ЕИБ здесь

    (*) Это требование может иметь определенную гибкость, но ограничивается особенно подходящими кандидатами, которые, возможно, еще не владеют французским языком.В случае отбора такие кандидаты будут приняты на работу при условии, что они быстро овладеют французским языком и согласятся с тем, что их будущая карьера в ЕИБ может зависеть от достижения достаточного уровня владения обоими рабочими языками Банка

    Мы являемся работодатель с равными возможностями, который считает, что разнообразие полезно для наших людей и нашего бизнеса. Таким образом, мы поощряем включение достаточно квалифицированных и опытных сотрудников независимо от их пола, возраста, расового или этнического происхождения, религии или убеждений, сексуальной ориентации / идентичности или инвалидности (*).

    Подавая заявку на эту должность, вы признаете важность поддержания безопасности и целостности информации группы EIB. В случае выбора на эту должность вы соглашаетесь соблюдать все меры (политики, средства контроля, классификация документов и управление), внедренные Группой EIB для предотвращения несанкционированного раскрытия любой информации или любого ущерба репутации Группы EIB.

    Срок приема заявок: 30 ноябрь 2021 г.

    (*).Мы особенно приветствуем заявки от женщин и людей с ограниченными возможностями.

    # LI-POST

    Plug Power Inc. – Plug Power приобретает Frames Group для увеличения возможностей интеграции в инженерные разработки, процессы и системы

    Acquisition позволяет Plug Power масштабировать поставки электролизеров и расширять свое присутствие в Европе

    LATHAM, NY, ноябрь 09, 2021 (GLOBE NEWSWIRE) – Plug Power Inc. (NASDAQ: PLUG), ведущий поставщик водородных решений «под ключ» для глобальной экологически чистой водородной экономики, подписал окончательное соглашение о приобретении Frames Group, лидера в области системной интеграции «под ключ» для энергетический сектор.Обладая более чем 35-летним опытом, Frames проектирует, производит и поставляет технологическое оборудование, технологии разделения, системы управления потоком и защиты для решений в области водоснабжения и возобновляемых источников энергии. Компания Frames со штаб-квартирой в Нидерландах насчитывает около 300 сотрудников, в основном в Европе и Индии.

    Plug создает водородную экосистему, систематически добавляя дополнительные преимущества и возможности посредством ключевых приобретений, совместных предприятий и других партнерских отношений. Plug неуклонно приобретает компетенцию в ключевых технологиях и важнейших областях цепочки поставок, таких как мембранные электродные сборки топливных элементов (MEA), логистика доставки водорода и электролизеры, чтобы предоставлять своим клиентам экологически чистые водородные решения «под ключ».Партнерские отношения с Renault, SK, Acciona, Fortescue Future Industries, Airbus и Lhyfe обеспечивают доступ и масштабирование на новых для Plug рынках рынках.

    Приобретение Frames поддержит цель Plug Power по достижению установленной мощности электролизера в три гигаватт (ГВт) к 2025 году. Plug объединит свою стековую технологию мирового класса с возможностями системной интеграции Frames, чтобы предоставить целый ряд электролизеров под ключ. мегаваттные (МВт) контейнеры для автономных станций мощностью 1000 МВт.

    «Frames Group предоставляет первоклассные недорогие услуги многим крупнейшим в мире поставщикам энергии.Мы с нетерпением ждем нашего совместного пути, приносящего пользу клиентам по всему миру с помощью наших экологически чистых водородных решений », – сказал Энди Марш, генеральный директор Plug Power. «Plug Power собирается стать одной из крупнейших компаний, занимающихся экологически чистой водородной экосистемой».

    Имея давние корни Frames в Европе, опираясь на обширную европейскую клиентскую базу, цепочку поставок и производственные возможности, Plug Power продолжает укреплять и углублять свое европейское присутствие. Благодаря приобретению Frames, органическому росту и партнерству у Plug теперь будет 200 сотрудников в Европе.Планируя открыть свою новую европейскую штаб-квартиру в Северном Рейне-Вестфалии, Германия, в начале 2022 года, Plug также инвестировала в производственные мощности, сервисный центр и экологический водородный фонд в Европе.

    Возможности получения дохода от приобретения включают невыполненные заказы на сумму около 100 миллионов евро и значительный портфель проектов, которые будут приносить доход до 2023 года с крупными наземными и оффшорными поставщиками энергии, стремящимися перейти на возобновляемые источники энергии и экологически чистый водород.

    Сотрудничество

    Frames с Plug Power восходит к 2017 году. «Мы рады стать частью организации Plug Power», – сказал Франс Роозендал, генеральный директор Frames Group. «Между нашими командами существует большая культурная сплоченность и согласованность, которые мы выработали за годы работы в качестве партнеров. Вместе с командой Plug Power мы можем помочь нашим текущим клиентам, ускорить их поездки и обезуглерожить их предложения в области энергетики ».

    Ожидается, что приобретение будет завершено к концу года после получения всех необходимых разрешений.Транзакция включает 85 миллионов евро наличными и 30 миллионов евро прибыли.

    О питании от вилки

    Plug Power строит водородную экономику как ведущий поставщик комплексных решений «под ключ» на водородных топливных элементах. Инновационная технология компании приводит в действие электродвигатели с водородными топливными элементами в условиях продолжающегося изменения парадигмы в электроэнергетике, энергетике и транспортной отрасли, направленной на решение проблемы изменения климата и энергетической безопасности при одновременном достижении целей в области устойчивого развития. Plug Power создала первый коммерчески жизнеспособный рынок водородных топливных элементов.В результате Компания развернула более 50 000 систем топливных элементов для электронной мобильности, больше, чем кто-либо другой в мире, и стала крупнейшим покупателем жидкого водорода, построив и эксплуатировав водородную магистраль через Северную Америку. Plug Power предоставляет конечным потребителям существенное ценностное предложение, включая значительные экологические преимущества, повышение эффективности, быструю заправку и снижение эксплуатационных расходов. Вертикально интегрированное решение GenKey компании Plug Power связывает воедино все критически важные элементы для обеспечения питания, подачи топлива и обслуживания таких клиентов, как Amazon, BMW, Ikea, Carrefour и Walmart.В настоящее время компания использует свои ноу-хау, модульную архитектуру продукта и основных клиентов для быстрого выхода на другие ключевые рынки, включая дорожные транспортные средства с нулевым уровнем выбросов, робототехнику и центры обработки данных.
    www.plugpower.com.

    Заявление о безопасной гавани

    Это сообщение содержит «прогнозные заявления» по смыслу Закона о реформе судебных разбирательств по частным ценным бумагам 1995 года, которые связаны со значительными рисками и неопределенностями в отношении Plug Power Inc.(«PLUG»), включая, помимо прочего, заявления об ожидаемом коммерческом выпуске в 2022 году и ожидаемых дополнительных прототипах транспортных средств. Такие заявления подвержены рискам и неопределенностям, которые могут привести к тому, что фактические показатели или результаты будут существенно отличаться от тех, которые выражены в этих заявлениях. Для дальнейшего описания рисков и неопределенностей, которые могут привести к тому, что фактические результаты будут отличаться от тех, которые указаны в этих прогнозных заявлениях, а также рисков, связанных с бизнесом PLUG в целом, см. Открытые документы PLUG в Комиссию по ценным бумагам и биржам. включая раздел «Факторы риска» годового отчета PLUG по форме 10-K за год, закончившийся 31 декабря 2020 года, и квартальные отчеты по форме 10-Q за кварталы, закончившиеся 31 марта 2021 года и 30 июня 2021 года.Вниманию читателей: не следует чрезмерно полагаться на эти прогнозные заявления. Заявления о перспективах сделаны на дату настоящего документа, и PLUG не берет на себя никаких обязательств по обновлению таких заявлений в результате появления новой информации.

    О группе фреймов

    Frames была основана в 1984 году как компания по производству приводов клапанов. За последние 35 лет мы быстро расширились как по портфолио, так и по географическому охвату. Работая вместе с нашими клиентами, поставщиками и сотрудниками, мы заряжаем мир энергией.Frames проектирует, строит и поставляет технологическое оборудование, технологии разделения, системы контроля и защиты потока, решения в области возобновляемых источников энергии и воды.
    Наша основная компетенция – интеграция процессов и систем управления. В Frames мы превращаем ваши концепции процессов и управления в компактные, высокоинтегрированные и автономные решения, устанавливаемые на салазках. У нас есть глобальный охват через нашу сеть офисов, и мы постоянно добавляем новые технологии в наш портфель. Хотя нефтегазовая отрасль исторически была нашим основным рынком, мы также наблюдаем сильное расширение нашей деятельности в области переработки и сбыта возобновляемых источников энергии.

    Наше видение – быть лучшим партнером во всех ваших энергетических проблемах. Мы добьемся этого, используя наши ноу-хау и основные ценности, чтобы лучше понимать потребности клиентов. Поэтому мы продолжим развивать наши навыки и технологии, чтобы превзойти ваши ожидания, постоянно стремясь создавать устойчивую добавленную стоимость для наших клиентов.

    Plug Power Media Контакт
    Caitlin Coffee
    Allison + Partners
    [адрес электронной почты защищен]

    Frames Group Контактное лицо для СМИ
    Mr.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *