Решение lim онлайн: Правило Лопиталя онлайн

Второй замечательный предел

Примеры решенийПроизводная онлайн Интегралы онлайнПределы онлайн Точки разрыва функцииПравило Лопиталя Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Предел последовательности обозначается буквой e: (1)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=log_ex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1^∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов , , , только второй и третий равны e.

lim x →

Примечание: число “пи” (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity

Типовые замены в пределах

1. cos(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
2. sin(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
3. cos(x) ≈ [-1;1], x → ∞
4. sin(x) ≈ [-1;1], x → ∞
5. cos2(x) ≈ [0;1], x → ∞
6. sin²(x) ≈ [0;1], x → ∞

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.

.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда

.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.

Пример 7.
. (Здесь ).

Пример 8. .

Пример 9.
.

Пример 10.
.

Пример 11. .

Пример 12.


.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

Похожие презентации:

Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах

Производная. Основные теоремы о производных. Формулы дифференцирования функций. (Лекция 5)

Пределы функций. Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е»

Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов

Основные теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя. (Лекция 11)

Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)

Функции нескольких переменных. (Тема 5)

Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления
пределов функций
Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на

некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой.
Теорема 1 Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций
имеет предел при x a , то предел этой алгебраической суммы при x a существует
и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при
x a , то предел произведения при x aсуществует и равен произведению пределов
сомножителей.
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пусть С – постоянная, тогда lim x a [С g ( x)] lim x a С lim x a g ( x) С lim x a f ( x)
Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при x a , то предел при x a целой

положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть
lim x a [ f ( x)] n [lim x a f ( x)] n
Пример
2
3
10 20 2 30 3
( x 1)( x 2) 2 ( x 30) 3
10
20
30
lim x
lim x 1 1 1 lim x 1 lim x 1 lim x 1 1 1 1 1
x6
x
x
x
x x x
Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при x a, отличный от нуля, то предел
1
обратной ей по величине функции
равен обратной величине предела данной
f ( x)
функции, то есть lim x a
1
1
f ( x) lim x a f ( x)
Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при x a и предел
делителя отличен от нуля, то предел их частного при x a равен частному пределов
делимого и делителя, то есть
lim x a
f ( x) lim x a f ( x)
g ( x) lim x a g ( x)
Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при x a и n f ( x) (n – натуральное)
существует в точке а и в некоторой ее окрестности U a , то
lim x a n f ( x) n lim n a f ( x)
Теорема о промежуточной функции
Пусть в некоторой окрестности U a точки а функции f(x) заключена между двумя
функциями (x ) и (x), имеющими одинаковый предел А при x a , то есть
( x) f ( x) ( x) (1) и lim x a ( x) lim x a ( x) A (2), тогда функция f(x)
имеет тот же предел, то есть lim x a f ( x) A (3).
Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах,
признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно
больших функциях.
Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах.
5x 2
1. Найти lim
x 4 2 x 3
Решение. Так как x 4 , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к
числу 2*4+3=11. Следовательно
5 x 2 22
lim
2
x 4 2 x 3
11
3x 5
x 2 x 7
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и
знаменатель дроби, получим
3x 5
3 5/ x 3
lim
lim
x 2 x 7
x 2 7 / x
2
2. Найти
lim
2
x
9
3. Найти lim
x 3 x 2 3 x
Решение. Числитель и знаменатель при x 3 стремятся к нулю. Принято говорить,
0
x2 9
( x 3)( x 3) x 3
что получается неопределенность 0 . Имеем
.
x( x 3)
x
x 2 3x
2
x
Если x 3, то lim 2 9 lim x 3 . Но при x 3 дробь x 3 3 3 2 . Итак
x 3 x 3 x
x 3
x
x
3
2
x 9
lim 2
2
x 3 x
3x
x3 x2 x 1
4. Найти lim 3
x 1 x x 2 x 1
0
. Разложим на множители
0
x3 x 2 x 1
( x 1) 2 ( x 1)
x 1 0
lim
lim
0
числитель и знаменатель дроби. lim 3
x 1 x x 2 x 1
x 1 ( x 1)( x 1) 2
x 1 x 1
2
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида
x 3 10001
5. Найти lim 3
x 10 x 20 x 2 100 x
0
. Имеем
0
3
2
x 10001
( x 10)( x 10 x 100)
x 2 10 x 100
lim
lim
lim
, так как
x 10 x 3 20 x 2 100 x
x 10
x 10
x( x 10)
x( x 10) 2
Решение. Имеет место неопределенность вида
числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть
является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь –
бесконечно большая величина.
x 4 2
x
6. Найти lim

x 0
Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть
сумму x 4 2 . Получим
lim
x 0
x 4 2
( x 4 2)( x 4 2)
x 4 4
1
1
lim
lim
lim
x 0
x 0
x
x( x 4 2)
x( x 4 2) x 0 x 4 2 4
7. Найти lim
x 0
5
(1 x) 3 1
x
Решение. Положим 1 x y 5 ,
3
2
(1 x) 3 1
y
1
y
y 1
3
тогда lim
lim 5
lim 4
x 0
x 0 y 1
x 0 y y 3 y 2 y 1
x
5
3
2
8. Найти lim x 2 x 3x 4
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
5
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и
знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x 3 получим
x 3 2 x 2 3x 4
1 2 / x 3 / x2 4 / x3 1
lim
lim
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
x 4 3 / x 2 / x 2 1 / x 3
4
9. Найти lim
3x 4 2
x
x 8 3x 4
4
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x
получим
3x 4 2
3 2 / x4
3
lim
lim
3
x
x 8 3 x 4 x 1 3 / x 3 4 / x 4 1
10. Найти lim
x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
Решение. Имеет место неопределенность вида
выражение на сопряженное
x 8 x 3 x 4 x 3 lim
2
lim
x
2
( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3 )( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3)
x
lim
x
4x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
lim
. Умножим и разделим данное
x 8x 3 x 4 x 3
2
1
1 8 / x 3/ x2 1 4 / x 3/ x2
x
Примеры для самостоятельного решения.
x 2 6x 8
1. lim
x 2 x 2 8 x 12
1 x x2 1 x x2
2. lim
x 0
x2 x
2 x 3x 5 x 6
lim
3. x x 3 3x 2 7 x 1 4.
4
5. lim 3
x 0
2
x
1 x 1
2x 3
7. lim x
x 2 3
5
x
1
9. lim
x 1 x 4 1
6.
2
lim
x 1
4 x x2 2
x 1
lim (3 x 1 3 x )
x
4
8. lim
x 1
x 1
x 1
4
2
2

English     Русский Правила

Оценка предела – методы, сопряженные, законы, решенный пример и часто задаваемые вопросы

Предел – это основная теория исчисления и анализа. Предел функции в точке x ее области определения — это значение, к которому функция приближается по мере того, как ее аргумент приближается к $x$. Другими словами, говорят, что функция имеет предел L в точке $x$, если можно сделать функцию произвольно близкой к $L$, выбирая значение все ближе и ближе к $x$. Обратите внимание, что фактические значения не имеют отношения к значению предела. Математически предел функции представляется как:

$\lim_{x \to k} f(x) = L$

Предел функции читается как «Предел $f(x)$ при приближении $x$ к $k$ равен $L$» .

Оценка пределов означает определение значения, к которому функция приближается в определенной точке. При оценке пределов мы сначала проверяем, является ли функция непрерывной. Если мы обнаруживаем, что предел непрерывен в точке, где мы его оцениваем, мы просто подставляем значение и решаем функцию.

В этой статье мы обсудим, как найти предел функции, используя различные методы оценки. 92 – y – 20}{y – 5} = \lim_{y \to 5} \dfrac{(y – 5)(y + 4)}{y – 5}$

$\Rightarrow \lim_{y \ to 5}( y + 4)$

$\Rightarrow 9$

Предел заменой

Предел определяется как приближение значения функции по мере приближения переменной внутри этой функции к заданному значению. Предположим, у нас есть предел $\lim_{x \to k}f(x)$. Представляет собой значение $f(x)$, когда $x$ ближе к $k$, но не точно равно $k$. Правило подстановки определяет предел, просто заменяя $x$ на $k$. Математически это правило определяется как: 92 + 47y + 1} = 2$

Оценка предела путем рационализации

Давайте узнаем, как найти предельное исчисление путем рационализации. Мы можем найти предел некоторой функции с помощью некоторых рационализирующих приемов. В методе рационализации мы рационализируем числитель функции. Рационализация числителя означает умножение числителя и знаменателя на сопряженное число числителя. Например, $\sqrt{x} +7$ сопряжено с $\sqrt{x} -7$.

Оцените следующий предел, рационализируя: 9{+}$» учитывает только те значения $x$, которые меньше или больше $k$ соответственно.

Conjugates

Если вы попытаетесь заменить и получите $\dfrac{0}{0}$ (0, деленное на 0), а выражение содержит квадратный корень, то рационализируйте выражение, как вы рационализируете в алгебре. То есть умножьте числитель и знаменатель на сопряженную часть, которая содержит в себе квадратный корень.

Давайте научимся находить предел с помощью метода сопряженных чисел на примере:

Оцените следующий предел, используя правило сопряжения:

$\lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y} – 1}{y}$ 

Решение:

Поскольку прямая замена дает неопределенной формы $\dfrac{0}{0}$, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженный числитель $\sqrt{1+y}+1$:

$\lim_{y \to 0} \ dfrac {\ sqrt {1 + y} -1} {y} = \ lim_ {y \ to 0} \ dfrac {(\ sqrt {1 + y} -1) – \ sqrt {1 + y} +1} { y(\sqrt{1+y}+1)}$

$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y}-1}{y(\sqrt{1+y} +1)}$

$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{y}{y(\sqrt{1+y}+1)}$

$k = \dfrac{1}{2}$

Законы предела

Ниже приведены законы предела:

Предположение: $c$ постоянна и $\lim_{x \to a}f(x)$ и $\lim_{x \to a}k(x)$ существует

1. $\lim_{x \to a}k = k$ – Предел вычитания равен вычитанию пределов.

2. $\lim_{x \to k}x = k$ – Приближается предел линейной функции равносогнутой к числу $x$. 9n$, где $n$ — натуральное число.

3. $\lim_{x \to k} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{k}$, где $n$ — целое положительное число, а если $n$ четное, мы предполагаем что $k > 0$.

4. $\lim_{x \to k} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim{x \to k} f(x)}$, где $n$ — натуральное число, и если $n$ четно, то мы предполагаем, что $\lim_{x \to k}f(x) > 0$.

5. $\lim_{x \to k}ck(x) = c \lim_{x \to k} f(x)$.

6. $\lim_{x \to a}[f(x) + k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}k(x) $- Лимит добавления равен сумме лимитов.

7. $\lim_{x \to a}[f(x) – k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) – \lim_{x \to a}k(x) $- Предел вычитания равен вычитанию пределов.

8. $\lim_{x \to a}[f(x) + k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}k(x )$- Предел произведения равен вычитанию пределов.

9. $ \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f (x)} {k (x)} = \ dfrac {\ lim_ {x \ to a} f (x)} {\ lim_ {x \ к a}k(x)}$ ( Если $\lim_{x \to k} k \neq 0$- Предел частного равен частному пределов. 92 – 1}{y – 1} = \lim_{y \to 1}\dfrac{(y – 1)(y + 1)}{y – 1}$

   $\Rightarrow \lim_{y \to 1 }(y -1)$

   Теперь мы можем подставить $y =1$ до предела

   $\lim_{y \to 1}(y-1) = (1+1) = 2$

   Wilison lim – Консультант по финансовым решениям

   Новичок в инвестировании?

   Начните с обзора некоторых основ. Когда вы определите свои цели и оцените свое отношение к риску, попросите меня помочь вам прояснить свой инвестиционный выбор. Инвестирование — это стремление приумножить свои деньги для достижения своих целей. Существует множество способов инвестирования и несколько фундаментальных и сопутствующих факторов, о которых следует помнить. Также важно отметить, что инвестирование сопряжено с риском потери денег.

   Риск против вознаграждения

   Со временем более агрессивные инвестиции, такие как акции, обычно приносили более высокую прибыль, но с большей вероятностью потери денег.

   Преимущество времени

   Если вы начнете инвестировать в молодом возрасте, у вас может быть больше времени для потенциального роста ваших инвестиций и больше возможностей пережить рыночный спад.

   Диверсификация

   Вложение денег в различные виды инвестиций может помочь управлять рисками.

   Мы предлагаем полный спектр инвестиций, в том числе: акции и облигации, взаимные фонды, биржевые фонды (ETF) и управляемые портфели.

   Как правило, акции имеют самый высокий потенциал риска/доходности, а облигации (инвестиции с фиксированным доходом) — самый низкий.

   Акции и облигации

   Акции: доля собственности в компании.
   Облигации: Деньги, предоставленные взаймы компании или правительству, которое соглашается выплатить вам долг.

   Паевые инвестиционные фонды

   Профессионально управляемые инвестиции, объединяющие деньги большого числа инвесторов для покупки комбинации акций, облигаций и/или других ценных бумаг.

   ETF

   Наборы ценных бумаг, которые можно покупать и продавать в течение дня и которые могут предложить налоговые льготы, большую диверсификацию и более низкие затраты для инвесторов.

   Управляемые портфели

   Рекомендуемые инвестиционные стратегии с портфелями, созданными, отслеживаемыми и ребалансируемыми профессионалами в области инвестиций. Не существует универсального подхода к инвестированию. То, как вы инвестируете, будет определяться вашими целями, временным горизонтом, потребностями в ликвидности и устойчивостью к риску. Вот несколько вопросов, которые следует задать себе, когда вы начнете думать об инвестировании.

   Для чего вы инвестируете?

   Четко сформулированная цель — например, решение о том, сколько вам понадобится на пенсии, — это первый шаг в определении того, что может потребоваться для достижения вашей цели.

   Каков ваш временной горизонт?

   Если вы откладываете для более долгосрочной цели, такой как выход на пенсию, вы можете действовать более агрессивно, чем если бы вы откладывали для более краткосрочной цели, такой как покупка дома.

   Каковы ваши потребности в ликвидности?

   Очень важно знать, сколько наличных денег вам может понадобиться в данный момент, и насколько легко вы можете конвертировать актив в наличные без потенциального убытка.

   Какова ваша терпимость к риску?

   На какой уровень риска вам было бы удобно пойти в погоне за потенциально более высокой прибылью?

   Инвестирование — это стремление приумножить свои деньги для достижения своих целей. Существует множество способов инвестирования и несколько фундаментальных и сопутствующих факторов, о которых следует помнить. Также важно отметить, что инвестирование сопряжено с риском потери денег.

   Со временем более агрессивные инвестиции, такие как акции, обычно приносили более высокую прибыль, но с большей вероятностью потери денег.

   Если вы начнете инвестировать в молодом возрасте, у вас может быть больше времени для потенциального роста ваших инвестиций и больше возможностей пережить рыночный спад.

   Вложение денег в различные виды инвестиций может помочь управлять рисками.

   Мы предлагаем полный спектр инвестиций, в том числе: акции и облигации, взаимные фонды, биржевые фонды (ETF) и управляемые портфели.

   Как правило, акции имеют самый высокий потенциал риска/доходности, а облигации (инвестиции с фиксированным доходом) — самый низкий.

   Акции: доля собственности в компании.
   Облигации: Деньги, предоставленные взаймы компании или правительству, которое соглашается выплатить вам долг.

   Профессионально управляемые инвестиции, объединяющие деньги большого числа инвесторов для покупки комбинации акций, облигаций и/или других ценных бумаг.

   Наборы ценных бумаг, которые можно покупать и продавать в течение дня и которые могут предложить налоговые льготы, большую диверсификацию и более низкие затраты для инвесторов.

   Рекомендуемые инвестиционные стратегии с портфелями, созданными, отслеживаемыми и ребалансируемыми профессионалами в области инвестиций.

   Не существует универсального подхода к инвестированию. То, как вы инвестируете, будет определяться вашими целями, временным горизонтом, потребностями в ликвидности и устойчивостью к риску. Вот несколько вопросов, которые следует задать себе, когда вы начнете думать об инвестировании.

   Четко сформулированная цель — например, решение о том, сколько вам понадобится на пенсии, — это первый шаг в определении того, что может потребоваться для достижения вашей цели.

   Если вы откладываете для более долгосрочной цели, такой как выход на пенсию, вы можете действовать более агрессивно, чем если бы вы откладывали для более краткосрочной цели, такой как покупка дома.

   Очень важно знать, сколько наличных денег вам может понадобиться в данный момент, и насколько легко вы можете конвертировать актив в наличные без потенциального убытка.

   На какой уровень риска вам было бы удобно пойти в погоне за потенциально более высокой прибылью?

   Начнем

   Используйте наши инструменты, чтобы прояснить свои потребности и выяснить, на каком уровне вы находитесь.

   Закрыть сообщение от Wilison lim

   Если вы не знаете, с чего начать, я буду рад помочь.

   Давай встретимся

   Открытое сообщение от Wilison lim

   Взгляды и перспективы

   Получите информацию об инвестициях, советы по экономии и многое другое.

   Инвестиции с учетом налогов
   стратегий, которые стоит рассмотреть

   Будущее социального обеспечения:
   Как подготовиться

   Получите самую свежую информацию от
   Главного инвестиционного управления

   Узнать больше

   Preferred Rewards

   Preferred Rewards

   Получайте реальные выгоды и вознаграждения от своих инвестиций в Merrill и остатков на банковских счетах в Bank of America. И по мере того, как ваши балансы растут, растут и ваши преимущества.

   Узнайте больше о Preferred Rewards

   Держите вместе

   Свяжите свои инвестиционные счета Merrill и банковские счета Bank of America, чтобы просматривать и управлять своими деньгами в Интернете и на мобильном устройстве. С помощью всего одного входа в систему вы можете мгновенно переводить средства между своими счетами. Сноска ¹

   Узнайте больше о связывании ваших инвестиционных счетов Merrill и банковских счетов Bank of America

   Что вас больше всего волнует?

   Инвестируйте в решение наиболее важных для вас задач. Получите ресурсы, инструменты и решения, соответствующие вашим финансовым целям.

   Узнайте больше о жизненных приоритетахУзнайте больше о жизненных приоритетах

   Закрыть Жизненные приоритеты

   Закрыть модальное окно

   Инвестируйте в то, что для вас важнее всего: получите ресурсы, инструменты и решения, соответствующие вашим финансовым целям

   Выберите тему и изучите связанную ресурсы:

   Позаботьтесь о семье и близких

   Узнайте больше о семье

   Семья

   Определите свои финансовые цели, чтобы объединить все это

   Узнайте больше о финансах

   Финансы

   Возьмите на себя расходы на здравоохранение

   Узнайте больше о здоровье

   Здоровье

   Ресурсы, которые помогут вам чувствовать себя как дома

   Узнайте больше о доме

   Дома для дома каждый Этап вашей карьеры

   Узнайте больше о работе

   Работа

   Проведите свободное время, занимаясь своими увлечениями

   Узнайте больше о досуге

   Досуг

   Измените жизнь других людей

   Узнайте больше о благотворительности

   Благотворительность

   Запишитесь на прием
   

   424. 999.0151

   1. Некоторые банковские и брокерские счета могут не подходить для движения денег в режиме реального времени, включая, помимо прочего, переводы в/из банковских IRA (CD, Money Market), 529s, Bank of America Advantage SafeBalance Banking™, кредитные карты и переводы с IRA, кредиты (HELOC, LOC, ипотека) и счета в военном банке. Счета, подходящие для переводов в режиме реального времени, будут отображаться онлайн в раскрывающемся меню «куда/от» на экране перевода.
   2. Чтобы зарегистрироваться в программе Bank of America Preferred Rewards, вы должны иметь активный, отвечающий требованиям личный расчетный счет в Bank of America ^® и поддерживать баланс, необходимый для одного из уровней баланса на ваших объединенных соответствующих депозитных счетах в Bank of America (например, как чековый, сберегательный, депозитный сертификат) и/или ваши инвестиционные счета Merrill (например, счета управления денежными средствами, планы 529). Вы можете выполнить требование комбинированного баланса для регистрации одним из следующих способов:
      1.    и. совокупный средний дневной баланс за три месяца на ваших соответствующих депозитных и инвестиционных счетах или
      2.    ii. текущий комбинированный баланс при условии, что вы зарегистрируетесь в момент открытия своего первого подходящего личного расчетного счета и удовлетворите требования к балансу в конце как минимум одного дня в течение 30 дней после открытия этого счета.
      У вас должен быть не менее 20 000 долларов США для уровня Gold, 50 000 долларов США для уровня Platinum, 100 000 долларов США для уровня Platinum Honors, 1 000 000 долларов США для уровня Diamond и 10 000 000 долларов США для уровня Diamond Honors. Клиенты Private Bank имеют право на регистрацию на уровне Diamond и могут претендовать на уровень Diamond Honors в зависимости от их соответствующих балансов в Bank of America, Merrill и Private Bank. Подробную информацию об учетных записях, которые соответствуют требованиям для комбинированного расчета баланса и получения преимуществ программы, см. в вашем Личном графике сборов.