Решение линейных уравнений онлайн методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Гауссом решение онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Как решить систему уравнений. Руководство к онлайн сервису

Построить график функции
Точки разрыва функции
Построение графика методом дифференциального исчисления
Упростить выражение

Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц
Определитель матрицы
Метод обратной матрицы
Обратная матрица
Метод Гаусса онлайн
LU разложение матрицы
Производная онлайн

В указанных онлайн-калькуляторах решение сохраняется в формате Word со всеми выкладками. Также доступна проверка решений в Excel.

Прямые методы

1. Решение СЛАУ методом Гаусса. Этот сервис также используется для исследования системы алгебраических уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
2. Решение СЛАУ методом Крамера происходит через нахождение определителей матрицы.
3. Метод обратной матрицы. Также смотрите онлайн-калькулятор по нахождению матричных уравнений ( A*X = B, X*A = B, и других).

Исследование системы линейных уравнений

1. Базисные решения системы линейных уравнений.
2. Исследование системы линейных уравнений на совместность и определенность.
3. Решение системы линейных однородных уравнений позволяет найти нетривиальное и фундаментальное решения.
4. Координаты вектора в базисе. В естественном базисе заданы векторы a=(1,1,0)^T, b=(1,-1,1)^T, c=(-3,5,-6)^T, d=(4,-4,5)^T. Показать, что векторы образуют базис.

Итерационные методы

1. Решения СЛАУ методом простой итерации.
2. Решения СЛАУ методом Зейделя.
3. Решения системы методом декомпозиции (LU-разложение).

см. также раздел Высшая математика онлайн: онлайн-сервисы по аналитической геометрии, линейной алгебре, теории вероятности и другим.

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель матрицы методом треугольников
3. Определитель матрицы методом понижения порядка
4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
5. Определитель матрицы методом декомпозиции

При изучении данной темы могут понадобится следующие онлайн-калькуляторы:

• Ранг матрицы
• Обратная матрица через алгебраические дополнения .Определение миноров матрицы, алгебраических дополнений, транспонированной матрицы
• Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
• Умножение матриц
• Преобразование матрицы до треугольной
• LU разложение матрицы

Калькулятор по аналитической геометрии и векторной алгебре

• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Системы линейных однородных уравнений онлайн

Системы линейных однородных уравнений — имеет вид ∑a^k_ix_i = 0.
где m > n или m n.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB. Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется

тривиальным.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция. Выберите размерность матрицы:

количество переменных:
2345678
и количество строк
23456

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.

Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (

n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример. Найти базис системы векторов (а₁, а₂,…,а_m), ранг и выразить векторы по базе. Если а₁=(0,0,1,-1), а₂=(1,1,2,0), а₃=(1,1,1,1), а₄=(3,2,1,4), а₅=(2,1,0,3).

Выпишем основную матрицу системы:

0	0	1	-1
1	1	2	0
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	0	0	0
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	0
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Найдем ранг матрицы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	-1	-1
0	-1	-2	-1
2	1	0	-3
x1	x2	x3	x4

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
— x₃ = — x₄
— x₂ — 2x₃ = — x₄
2x₁ + x₂ = — 3x₄
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄, то есть нашли общее решение:
x₃ = x₄
x₂ = — x₄
x₁ = — x₄

M.

7 Исключение Гаусса-Джордана | СТАТ ОНЛАЙН

Исключение Гаусса-Жордана — это алгоритм, который можно использовать для решения систем линейных уравнений и поиска обратной любой обратимой матрицы. Он основан на трех элементарных операциях со строками , которые можно использовать с матрицей:

1. Поменять местами две строки
2. Умножить одну из строк на ненулевой скаляр.
3. Добавить или вычесть скалярное число, кратное одной строке, другой строке.

В качестве примера операции с первой элементарной строкой поменяйте местами 1-ю и 3-ю строки.

\[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix}\Стрелка вправо  \begin{pmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

В качестве примера операции со второй элементарной строкой умножьте вторую строку на 3.

\[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} \Стрелка вправо \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 6 & -6 & 9\\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} \]

В качестве примера операции с третьей элементарной строкой дважды добавьте 1-ю строку ко 2-й строке.

\[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix}\Стрелка вправо  \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 10 & -2 & 1 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} \]

---

Эшелонная форма с уменьшенной строкой

Цель исключения Гаусса-Жордана состоит в использовании трех элементарных операций над строками для преобразования матрицы в ступенчато-редуцированная форма. Матрица в Эшелонная форма с уменьшенной строкой , также известная как каноническая форма строки , если выполняются следующие условия:

1. Все строки только с нулевыми элементами находятся внизу матрицы
2. Первая ненулевая запись в строке, называемая ведущей записью или опорной , каждой ненулевой строки находится справа от ведущей записи строки над ней.
3. Начальная запись, также называемая сводной, в любой ненулевой строке равна 1.
4. Все остальные записи в столбце, содержащие ведущую единицу, равны нулю.

Например,

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Матрицы A и B имеют эшелонированную форму с уменьшенными строками, а матрицы C и D — нет. C не находится в форме эшелона с уменьшенным рядом, потому что нарушает два и три условия. D не находится в форме эшелона с уменьшенным рядом, потому что нарушает условие четыре. Кроме того, элементарные операции со строками можно использовать для сведения матрицы D к матрице B .

---

Этапы исключения Гаусса-Жордана

Чтобы выполнить исключение Гаусса-Жордана:

1. Поменять местами строки так, чтобы все строки со всеми нулевыми элементами были внизу
2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой, самой левой ненулевой записью была наверху.
3. Умножить верхнюю строку на скаляр, чтобы первая запись верхней строки стала равной 1.
4. Прибавьте/вычтите несколько значений из верхней строки к другим строкам, чтобы все остальные записи в столбце, содержащем ведущую запись из верхней строки, были равны нулю.
5. Повторяйте шаги 2–4 для следующей крайней слева ненулевой записи, пока все ведущие записи не будут равны 1.
6. Поменяйте местами строки так, чтобы начальный элемент каждой ненулевой строки находился справа от ведущего элемента строки над ним.

Ниже показаны избранные примеры видео:

• Исключение Гаусса-Джордана — Джонатан Митчелл (YouTube)
• Использование Гаусса-Жордана для решения системы трех линейных уравнений — пример 1 — patrickJMT (YouTube)
• Алгебра — Матрицы — Метод Гаусса Джордана, часть 1 Расширенная матрица — IntuitiveMath (YouTube)
• Исключение Гаусса — patrickJMT (YouTube)

Чтобы получить обратную матрицу n × n A :

1. Создайте разбитую матрицу \(( A | I )\) , где I — единичная матрица. {-1} )\) 9{-1} = I\).

GAUSS ELMANICATE CALCUTUTUTOR

x = 0,087

Y = 2,6087

z = -1,1304

Рассчитайте

Отчет об этом AD

Рассчитайте

leminic линейных уравнений. Этот метод также называется методом исключения Гаусса-Жордана. Он представлен последовательностью операций, выполняемых над матрицей. Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя был известен китайским математикам.
Метод решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса аналогичен методу решения матриц. Например, существует связь между системой трех линейных уравнений и ее матрицей коэффициентов.
$$\begin{align} &a_1x+b_1y+c_1z={ d_1}\\
&a_2x+b_2y+c_2z={ d_2}\\
&a_3x+b_3y+c_3z={ d_3}\\
\end{выравнивание} \quad\longmapsto \left(
\begin{массив}{ccc}
{a_1} и b_1 &c_1\\
{a_2} &b_2 &c_2\\
{a_3} &b_3 &c_3\\
\конец{массив}
\справа)$$
Существует три типа операций с элементарными строками:

• Замена двух рядов;
• Умножение строки на ненулевое число;
• Добавление кратного одной строки к другой строке.

Метод исключения Гаусса состоит из двух частей. Первая часть сводит данную систему к \underline{эшелонной форме строк}. Из эшелонированной формы строки мы можем сделать вывод, имеет ли система решения, единственное решение или бесконечно много решений. Вторая часть использует операции со строками до тех пор, пока не будет найдено решение.
Эшелонная форма строки удовлетворяет следующим свойствам:

• Старший коэффициент каждой строки должен быть равен $1$;
• Все элементы в столбце ниже начального $1$ должны быть $0$;
• Все строки, содержащие нули, находятся внизу матрицы.

Например, следующие матрицы имеют эшелонированную форму строк.
$$\слева(
\begin{массив}{cc}
1 и 5 \\
0 и 1 \\
\конец{массив}
\право), \четверо \лево(
\begin{массив}{cccc}
1 и 1 и 0 и 5 \\
0 и 1 и 3 и 4 \\
0&0 & 1 & 2 \\
\конец{массив}
\право), \четверо \лево(
\begin{массив}{cccc}
1 и 2 и 3 и 4 \\
0 и 1 и 3 и 4 \\
0&0 & 1 & 2 \\
0&0 & 0 &0 \\
\конец{массив}
\справа)$$
Матрица в

сокращенный эшелон строки

форма, если, кроме того, в каждом столбце, содержащем старший коэффициент, все остальные элементы в этом столбце равны нулю.
Например, матрицы, показанные ниже, являются примерами матриц в сокращенной эшелонированной форме строк.
$$\слева(
\begin{массив}{cc}
1 и 0 \\
0 и 1 \\
\конец{массив}
\право), \четверо \лево(
\begin{массив}{cccc}
1 и 0 и 0 и 7 \\
0 и 1 и 0 и -2 \\
0&0 & 1 & 2 \\
\конец{массив}
\право), \четверо \лево(
\begin{массив}{cccc}
1 и 0 и 0 и 2 \\
0 и 1 и 0 и -2 \\
0&0 & 1 & 2 \\
0&0 & 0 &0 \\
\конец{массив}
\справа)$$

Расширенная матрица

— это матрица, полученная путем сложения столбцов двух заданных матриц. В случае решения системы нам необходимо увеличить матрицу коэффициентов и матрицу констант. Вертикальная линия указывает на разделение между матрицей коэффициентов и постоянной матрицей. Итак, для системы трех уравнений
$$\begin{align} &a_1x+b_1y+c_1z={ d_1}\\
&a_2x+b_2y+c_2z={ d_2}\\
&a_3x+b_3y+c_3z={ d_3}\\
\end{выравнивание}$$
расширенная матрица
$$\слева(
\begin{массив}{ccc|c}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
а_2 и б_2 и с_2 и d_2 \\
a_3&b_3&c_3&d_3\\
\конец{массив}
\справа)$$
Количество решений системы зависит только от ранга матрицы, представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрицы. Согласно теореме Кронекера-Капелли любая система из трех линейных уравнений не имеет решений, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Если ранги этих двух матриц равны, то система должна иметь хотя бы одно решение. Решение единственно тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных, в данном случае, если ранг равен $3$.
Например, решим решение системы методом исключения Гаусса
$$\begin{align} &4x+5y+3z={ 10}\\
&3x+6y+7z={ 8}\\
&2x+3y+0z={ 8}\\
\end{выравнивание}$$
Коэффициенты и постоянные члены системы дают матрицы
$$\слева(
\begin{массив}{ccc}
4 и 5 и 3\\
3 &6 &7\\
2 &3&0\\
\конец{массив}
\право),\четверо\лево(
\начать{массив}{с}
10\
8\
8\
\конец{массив}
\справа)$$
Расширенная матрица
$$\слева(
\begin{массив}{ccc|c}
4 и 5 &3&10\\
3 &6 &7&8\\
2 &3&0&8\\
\конец{массив}
\справа)$$
Чтобы решить систему, приведите расширенную матрицу к уменьшенной ступенчатой ​​форме строки следующим образом.

• Разделите строку $1$ на $4$ ($R_1=\frac {R_1}4)$, чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & \ гидроразрыв 54 & \ гидроразрыв 34 & \ гидроразрыв {5} 2 \\
  3 &6 &7&8\\
  2 &3&0&8\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Вычесть строку $1$, умноженную на $3$, из строки $2$ ($R_2=R_2-3R_1$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & \ гидроразрыв 54 & \ гидроразрыв 34 & \ гидроразрыв {5} 2 \\
  0 &\frac 94 &\frac{19}4&\frac 12\\
  2 &3&0&8\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Вычесть строку $1$, умноженную на $2$, из строки $3$ ($R_3=R_3-2R_1$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & \ гидроразрыв 54 & \ гидроразрыв 34 & \ гидроразрыв {5} 2 \\
  0 &\ гидроразрыв 94 &\ гидроразрыв{19}4&\ гидроразрыв 12\\
  0 &\frac12 &-\frac 32&3\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Умножьте строку $2$ на $\frac 49$ ($R_2=\frac49 R_2$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & \ гидроразрыв 54 & \ гидроразрыв 34 & \ гидроразрыв {5} 2 \\
  0 &1 &\frac{19}9&\frac 29\\\
  0 &\frac12 &-\frac 32&3\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Вычесть строку $2$, умноженную на $\frac 54$, из строки $1$ ($R_1=R_1-\frac54 R_2$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & 0 &-\frac {17}9&\frac{20}9\\
  0 &1 &\frac{19}9&\frac 29\\
  0 &\frac12 &-\frac 32&3\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Вычесть строку $2$, умноженную на $\frac 12$, из строки $3$ ($R_3=R_3-\frac12R_2$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & 0 &-\frac {17}9&\frac{20}9\\
  0 &1 &\frac{19}9&\frac 29\\
  0 &0&-\frac{23}9&\frac{26}9\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Умножьте строку $3$ на $-\frac9{23}$ ($R_3=-\frac9{23}R_3$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 и 0 &-\фракция {17}9&\ гидроразрыв{20}9\\
  0 &1 &\frac{19}9&\frac 29\\
  0 &0&1&-\фракция{26}{23}\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Добавьте строку $3$, умноженную на $\frac{17}9$, к строке $1$ ($R_1=R_1+\frac{17}9R_3$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & 0 &0&\frac2{23}\\
  0 &1 &\frac{19}9&\frac 29\\
  0 &0&1&-\фракция{26}{23}\\
  \конец{массив}
  \right)$$
• Вычесть строку $3$, умноженную на $\frac {19}9$, из строки $2$ ($R_2=R_2-\frac{19}9R_3$), чтобы получить
  $$\слева(
  \begin{массив}{ccc|c}
  1 & 0 &0&\frac2{23}\\
  0 &1 &0&\фракция {60}{23}\\
  0 &0&1&-\фракция{26}{23}\\
  \конец{массив}
  \справа)$$
  Таким образом, решение системы $(x, y, z) = (\frac{2}{23},\frac{60}{23}, -\frac{26}{23})$.

Работа по исключению Гаусса с шагами показывает полный пошаговый расчет для нахождения решения линейной системы из трех уравнений с использованием метода исключения Гаусса. Для любой другой системы просто введите двенадцать действительных чисел в качестве коэффициентов линейных уравнений и нажмите кнопку «Создать работу». Учащиеся начальной школы используют этот калькулятор исключения Гаусса для создания работы, проверки результатов решения систем линейных уравнений, полученных вручную, или для эффективного решения домашних задач. Во многих приложениях необходимо вычислить исключение матрицы, где этот онлайн-калькулятор исключения матрицы Гаусса может помочь легко упростить вычисления для соответствующих входных данных.

Практические задачи на исключение Гаусса

Практическая задача 1:
Используя метод исключения Гаусса, решите систему уравнений
$$\begin{align} &2x+4y-z=-1\\
&х+3у+7г=2\\
&х+2у+г=-5\\
\end{выравнивание} $$
Практическая задача 2:
Математическая библиотека хочет купить книги по 25$ за 2800$.

Как решить это линейное уравнение, используя метод Гаусса Джордана?

спросил 7 лет, 9 месяцев назад

Изменено 7 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Как решать линейные уравнения методом исключения Гаусса

$$2x+3y+z=1\\ х+у+г=3\\ 3x+4y+2z=4$$

• линейная алгебра

$\endgroup$

3

$\begingroup$

\begin{выравнивание*} \left(\begin{массив}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 2&3&1&1\\ 3&4&2&4 \конец{массив}\справа)\\\\ \left(\begin{массив}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&1&-1&-5\\ 0&1&-1&-5 \конец{массив}\справа)\\\\ \begin{массив}{ccc} х&y&z \конец{массив}\qquad\qquad\\ \left(\begin{массив}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&1&-1&-5\\ 0&0&0&0 \конец{массив}\справа) \end{выравнивание*}

Z – ваша свободная переменная. Продолжайте отсюда.

$\endgroup$

10

$\begingroup$

Система не имеет единственного решения, потому что она линейно зависима ($III = I+II$), это позволяет вам отбросить одно уравнение (скажем, $III$) и найти основу для пространства решений, поместив систему в форма $$\begin{выравнивание*} х + а z & = б \\ у + с z & = d \end{выравнивание*}$$ Тогда решения будут иметь вид $(b – at, d-ct, t)$, где можно выбрать $t\in\mathbb R$.
Подсказка
Посмотрите на уравнения $I – 2\cdot II$ и $I – 3 \cdot II$.

---

Следуя подсказке, к которой вы придете $$\begin{выравнивание*} х + 2z &= 8\\ у – г &= -5 \end{выравнивание*}$$ Таким образом, для любого $t\in\mathbb R$ вектор $(8-2t, -5+t,t)$ решит вашу систему. Выбрав $t=4$, вы получите одно возможных из бесконечного множества решений, а именно то, которое вы предоставили, $$(x,y,z) = (8-2\cdot 4, -5+4,4) = (0,-1,4)$$

$\endgroup$

0

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Практические задачи на исключение Гаусса онлайн

В двух последних викторинах мы увидели, как иметь дело с системами, включающими две и три переменные. Мы также видели, что системы иногда не имеют решения или иногда имеют «избыточные» уравнения, которые приводят к бесконечному семейству решений. Тогда возникает естественный вопрос: как мы можем решать общие системы уравнений и как мы можем легко определить, имеет ли система единственное решение?

В этом и следующем тесте мы разработаем именно этот метод, который называется 9.0038 Исключение Гаусса .

Давайте начнем с пересмотра системы с тремя переменными, скажем x+2y+3z=242x-y+z=33x+4y-5z=-6.\begin{выровнено} х + 2у + 3з &= 24 \\ 2х – у + z &= 3 \\ 3x + 4y – 5z &= -6. \end{align}x+2y+3z2x−y+z3x+4y−5z​=24=3=−6.​ Что из следующего представляет собой сведение этой системы с тремя переменными к системе с двумя переменными?

Предыдущая задача иллюстрирует общий процесс решения систем:

1) Используйте уравнение, чтобы исключить переменную из других уравнений. Если имеется nnn уравнений с nnn переменными, это дает систему из n − 1n – 1n − 1 уравнений с n − 1n – 1n − 1 переменных.

2) Повторите процесс, используя другое уравнение, чтобы исключить другую переменную из новой системы и т. д.

3) В конце концов, система «должна» рухнуть до системы с 1 переменной, которая, другими словами, является значением одной из переменных. Остальные значения затем следуют довольно легко.

Например, в предыдущей задаче показано, как свести систему с тремя переменными к системе с двумя переменными. Повторение процесса сведет эту систему с двумя переменными к системе с одной переменной, после чего мы узнаем значение zzz. Это можно использовать для поиска yyy, а затем xxx, что дает полное решение.

Вернемся к системе х+2у+3г=242х-у+г=33х+4у-5z=-6,\begin{выровнено} х + 2у + 3з &= 24 \\ 2х – у + z &= 3 \\ 3x + 4y – 5z &= -6, \end{выровнено}x+2y+3z2x−y+z3x+4y−5z​=24=3=−6,​ то, что мы видели, становится −5y−5z=−45−2y−14z=−78. \begin{выровнено} -5y-5z&=-45\\ -2y-14z&=-78. \end{выровнено}−5y−5z−2y−14z​=−45=−78.​ Повторяя процесс и исключая yyy, мы получаем значение zzz. Это можно подставить обратно во второе уравнение, чтобы получить yyy, которое можно подставить обратно в первое уравнение, чтобы получить xxx. Каково решение этой системы?

Одна из возможных проблем заключается в том, что если в первом уравнении нет первой переменной, например 4y+6z=262x−y+2z=63x+y−z=2.\begin{выровнено} 4у + 6з &= 26\ 2х – у + 2з &= 6\ 3х + у – г &= 2. \end{align}4y+6z2x−y+2z3x+y−z​=26=6=2.​ Здесь мы не можем исключить xxx, используя первое уравнение. Это легко решить, переставив уравнения: 2x−y+2z=64y+6z=263x+y−z=2.\begin{выровнено} 2х – у + 2з &= 6\ 4у + 6з &= 26\ 3х + у – г &= 2. \end{align}2x−y+2z4y+6z3x+y−z​=6=26=2.​ Так что пока одно из уравнений имеет заданную переменную, мы всегда можем переставить их так, чтобы уравнение было «сверху». Но если ни в одном из уравнений нет заданной переменной, возникает проблема.