Решение матриц методом крамера онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Метод Крамера

Пусть дана система трех линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид .

Далее составляются определители по переменным ,,. Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть

, ,.

Тогда решение системы находится по формулам Крамера

, ,

Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель.Если же и = 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же и 0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера находим неизвестные:

, ,.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения

, т.е. .

, т.е.

, т.е.

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно, система не имеет единственного решения.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

.

, , следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).

(1)

Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на () и сложим полученные уравнения

+

Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.

Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду

(2)

Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z, затем из второго уравнения находим y, а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:

А) , где. Это означает, что решаемая система несовместна.

Б) , то есть. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Рассмотрим следующий способ осуществления первого этапа решения методом Гаусса. Запишем три строки коэффициентов при неизвестных и свободных членов, соответствующих трем уравнениям системы. Свободные члены отделим от коэффициентов вертикальной линией, а под третьей строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую строку, которая соответствует первому уравнению системы, обведем – коэффициенты в этом уравнении останутся неизменными. Вместо второй строки (уравнения) надо получить строку (уравнение), где коэффициент при равен нулю. Для этого все числа первой строки умножим на (–2) и сложим с соответствующими числами второй строки. Полученные суммы запишем под горизонтальной чертой (четвертая строка). Для того чтобы вместо третьей строки (уравнения) также получить строку (уравнение), в которой коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой строки на (–5) и сложим с соответствующими числами третьей строки.

Полученные суммы запишем пятой строкой и проведем под ней новую горизонтальную черту. Четвертую строку (или пятую – по выбору) обведем. Выбирается строка с меньшими коэффициентами. В этой строке коэффициенты останутся неизменными. Вместо пятой строки надо получить строку, где уже два коэффициента равны нулю. Умножим четвертую строку на 3 и сложим с пятой. Сумму запишем под горизонтальной чертой (шестая строка) и обведем ее.

Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных

x, y и z.

Таблица 1

1	1	-2	6	*(-2)	*(-5)
2	3	-7	16
5	2	1	16
0	1	-3	4	*( 3)
0	-3	11	-14
0	0	2	-2

Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:

(3)

Обратный ход метода Гаусса

Из третьего уравнения находим.

Во второе уравнение системы подставим найденное значение, получимили.

Из первого уравнения , подставляя уже найденные значения переменных, получаем, то есть.

Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.

Проверка:

, получим

, получим

, получим

значит, система решена верно.

Ответ: ,,.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.

Таблица2

2	2	1	1	*(-3)	*(-5)
3	5	-2	0	*2
5	3	6	-2	*2
0	4	-7	-3
0	-4	7	-9
0	0	0	-12

В результате преобразований получим уравнение вида , следовательно, заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица 3

1	2	-1	0	*(-2)	*(-4)
2	-1	3	1
4	3	1	1
0	-5	5	1	*(-1)
0	-5	5	1
0	0	0	0

В результате преобразований получим уравнение вида , которое исключается из рассмотрения. Таким образом, имеем систему уравнений, в которой число неизвестных 3, а число уравнений 2.

Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть – свободная переменная.

Тогда из второго уравнения найдем , откуда, а затем найдемx из первого уравнения или.

Таким образом, ;;.

Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.

Проверка:

или , получаем.

или , получаем.

Система решена верно. Давая произвольной постоянной различные значения, будем получать различные значенияx, y и z.

Ответ: ;;.

21

Решение вопроса по правилу Крамера

Меван К.

спросил 30.10.16

3x – 2y + 5z = 6

 

9x – 8y + 1z = 46

 

-6x – 4y + 7z = 27

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Майкл Дж. ответил 30.10.16

Репетитор

5 (5)

Освоение пределов, производных и методов интегрирования

См. таких наставников

Посмотреть таких репетиторов

При использовании правила Крамера вы берете определитель. Для нахождения определителя преобразуем систему уравнений в матрицу.

 

При формировании матрицы у вас будет столбец коэффициентов, соответствующих переменным. Самая нижняя переменная — это первый столбец. Итак, вот наша матрица. Позвоните в эту матрицу M.

3 -2 5

9 -8 1

-6 -4 7

Затем обнаружите определяющий вель. Это дет(М).

 

Далее вы найдете определитель для каждого столбца.

 

Find det(x) using the matrix

 

 

6         -2         5

 

46       -8         1

 

27       -4         7

 

 

Затем найдите DET (Y), используя Matrix

3 6 5

9 46 1

-6       27        7

 

 

Then find det(z) using the matrix

 

3         -2            6
 
9         -8            46
 
-6        -4            27

 

 

Обратите внимание, что в последних трех матрицах коэффициенты в правой части уравнения соответствуют столбцам конкретных определителей.

 

Теперь ваши решения таковы:

 

x = det(x) / det(M)

 

y = det(y) / det(M)

 

z = det(M) / det )

Голосовать за 1 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Правило Крамера – GeeksforGeeks

Матрицы – одна из важных тем в математике. Матрицы и определители используются для нахождения решений различных систем уравнений. Правило Крамера используется для нахождения неизвестных в заданной системе линейных уравнений. Давайте, как применить правило Крамера и его объяснение. Это требует некоторых предварительных знаний о матрицах, определителях и системе линейных уравнений.

Правило Крамера 

Правило Крамера – это правило, которое используется для нахождения неизвестных из заданного набора линейных уравнений. Это правило справедливо только в том случае, если данная система уравнений имеет единственное решение. Это не работает с системой уравнений с бесконечным числом решений или без решения. Это правило используется для нахождения решений для любого количества переменных с одинаковым количеством уравнений. Это правило использует определители для нахождения решения заданных уравнений или значений неизвестных.

Формула правила Крамера

Формула правила Крамера для решения системы AX = B (где A = матрица коэффициентов, B = матрица столбцов констант (RHS), X = матрица столбцов неизвестных) или для нахождения значений переменных включает следующие шаги,

Шаги формулы правила Крамера

1. Запишите данную систему уравнений в форме AX = B.
2. Найдите значение определителя ( D ) матрицы A. ( Примечание: Если определитель равен нулю, то система уравнений не имеет единственного решения, что неверно в правиле Крамера).
3. Теперь найдите значение D _x , которое является определителем матрицы A, в которой константы данных линейных уравнений заменяют коэффициент при x.
4. Теперь найдем значение D _y , которое является определителем матрицы A, в которой коэффициенты при y заменены константами данных линейных уравнений.
5. Теперь найдем значение D _z , которое является определителем матрицы A, в которой коэффициенты при z заменены константами данных линейных уравнений. (найти этот определитель, только если в данном уравнении присутствуют 3 переменные).
6. Аналогичным образом найдите определители для всех неизвестных, если их больше трех.
7. Найдите значения x = D _x /D , y = D _y /D , z = D _z /D .

Образец Вопросы

Вопрос 1: Решение:

Решение:

Уравнения в форме AX = B

A =, B =, X =

THE, DEGRINANT D D. матрицы A =  = 12 × 20 – 3 × (-10) = 240 + 30 = 270

Теперь найдите D _x и D _y 

D _x =  = [46×20 – (-10)×(-11)] = 920 – 110 = 820

D 3 =[12×(-11) – 3×46] = -132 -138 = -270

Теперь найдем x = D _x /D, y = D _y /D 

x = 810/270 = 3, y = -270/270 = -1

x = 3, y = -1

АХ = В

a =, b =, x =

Затем, определитель D матрицы A = = 6,6 × 8,6 – 4,2 × 0,95 = 56,76 – 3,99 = 52,77

Теперь, найдите D _x и D _Y

D _x = = 5,2 × 8,6 – 19,3 × 0,95 = 44,72 – 18,335 = 26,385

D _y = = 6,6 × 19,3 – 4,2 × 5,2 = 127,38 – 21,84 = 105,54

, насыщенность x = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = D = DI NICS X = 127,38 – 21,84 = 105,54

. х /D  , y = D _y /D

x = 26,385/52,77 = 0,5, y = 105,54/52,77 = 2

x = 0,5, y = 2

Вопрос 3: Решай:

Решение:

Let x ² = A, Y ² = B

. Тогда. Тогда. запишем в виде:

 

Данные уравнения в виде AX = B

A =       , B =     , X = 

Тогда определитель D матрицы A =  = 3×(-1) – 6×4 = -3-24 = -27

Теперь найдите D _a и D _b

D _a = = 91×(-1) – 38×4 = – 91 – 152 = -243

D _b = = 3×38 – 6×91 = 114 – 546 = -432

Сейчас , найти a = D _a /D, b = D _b /D

a = -243/-27 = 9, b = -432/-27 = 16

a = 9, b = 16

Теперь x ² = a = 9, x = √9 = 3

y ² = B = 16, Y = √16 = 4

Вопрос 4: Solve:

Вопрос 4: SOLVE:

Вопрос 4: SOLVE:

Вопрос 4: SOLVE:

. Решение:

Данные уравнения в виде AX = B

A =  , B = , X =  

Тогда определитель D матрицы A =  = 3(20 – 26) – (-4)(80 – 12) + 8(-52-(-6)) = 3×(-6) + 4×68 – 46×8 = -18 + 272 – 368

= -114

Теперь находим D _х , D _y и D _z

D _x =  = 34(20 – 26) – (-4)(20 + 122) + 8(-13 – 61) 

= 34 × (-6) + 4 × 142 + 8 × (-74) = -204 + 568 – 592 = -228

D _y =  = 3(20 + 2 × 61) – 34(80 – 12) + 8(61 × 4 + 6) 

= 3 × 142 – 34 × 68 + 8 × 250 = 426 – 2312 + 2000 = 114

D _z =   = 3(61+13) – (-4)(61×4 + 6) + 34(-52+6) 

= 3 × 74 + 4 × 250 + 34 × (- 46) = 222 + 1000 -1564  = -342

Теперь найдем x = D _x /D, y = D _y /D, z = D _z /D

x = -228/- 114 = 2, y = 114/-114 = -1, z = -342/-114 = 3   

x = 2, y = -1, z = 3

Вопрос 5: Решить:

Решение:

Данные уравнения в виде AX = B

A = , B = , X =    

Тогда определитель матрицы A 3 (10 + 54) + 8 (-1-18) +10 (6-20)

= 3 × 64-8 × 19 + 10 × (-14) = 192 -152-140 = -100

Сейчас , найти D _x , D _y и D _z

D _x =  = 8(10+54) + 8(-15-99) + 10(90-110)

= 8 × 64 + 8 × (-114) + 10 × (-20) = 512 – 912 – 200 = -600 

D _y =   = 3(-15-99) – 8(-1-18) + 10(-11+30)

= 3 × (-114) + 8 × 19 + 10 × 19 = -342 + 152 +190 = 0

D _z =   = 3(110-90) + 8(-11+30) + 8(6-20) 

= 3 × 20 + 8 × 19 + 8 × (-14) = 60 + 152 – 112 = 100

Теперь найдем x = D _x /D, y = D _y /D, z = D _z /D

x = – 600/-100 = 6, у = 0/-100 = 0, z = 100/-100 = -1

x = 6, y = 0, z = -1

Вопрос 6: Реша:

Решение:

Данные уравнения в форме AX = B

A =   , B = , X =     

Тогда определитель D матрицы A =  = 2(6 – 63) – 4(3 + 36) – 6(-21 – 24) = 2 × (-57) – 4 × 39 – 6 × (-45) = -114 – 156 + 270  = 0

Поскольку |D| = 0, что означает, что данная система уравнений не имеет единственного решения, что неверно в правиле Крамера, так как оно определено только для системы уравнений, имеющей единственное решение.