Решение уравнений и их систем
На данной странице представлены онлайн калькуляторы для решения различных типов уравнений (линейных, квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических и т.д.), а также систем линейных и нелинейных уравнений. Кроме того, представлены калькуляторы дифференциальных уравнений.
Решение уравнений 9
Решение линейного уравнения Онлайн калькулятор позволяет решать линейные уравнения с описанием подробного хода решения на русском языке.
Решение квадратного уравнения
Калькулятор решает квадратные уравнения через дискриминант, а также с использованием более простых формул, если это возможно.
Решение кубического уравнения Калькулятор позволяет решать кубические уравнения множеством разных способов, начиная с самых простых и заканчивая формулой Кардано.
Решение уравнения произвольной степени Калькулятор решает полиномиальные уравнения произвольной степени. Для поиска корней уравнения используется численный алгоритм.
Решение тригонометрических уравнений
Решение показательных уравнений
Калькулятор предназначен для решения показательных уравнений.
Также присутствует описание подробного хода решения.
Решение логарифмических уравнений Калькулятор предназначен для решения логарифмических уравнений с подробным решением.
Решение линейных диофантовых уравнений NEW Калькулятор решает любые линейные диофантовы уравнения с описанием подробного хода решения на русском языке
Решение любых уравнений Калькулятор решает уравнения любых видов. Если точное решение уравнения найти не удается, кальлятор использует численный алгоритм для поиска корней.
Решение дифференциальных уравнений
2
Решение дифференциальных уравнений
Калькулятор решает дифференциальные уравнения с описанием подробного хода решения.
Калькулятор задачи Коши NEW Калькулятор решает задачу Коши с подробным решением.
Решение систем уравнений
4
Решение системы линейных уравнений методом подстановки Калькулятор решает СЛАУ методом подстановки с описанием подробного хода решения на русском языке.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера Калькулятор решает СЛАУ методом Крамера. Также доступно подробное решение на русском языке.
Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы
Решение системы уравнений Калькулятор позволяет решить практически любую систему уравнений, даже очень сложную.
Простое определение, формула, простые шаги расчета
Коэффициенты корреляции используются для измерения того, насколько сильна взаимосвязь между двумя переменными. Существует несколько типов коэффициента корреляции, но наиболее популярным является коэффициент Пирсона. 
Посмотрите видео с обзором коэффициента корреляции или прочитайте ниже:
Знакомство с коэффициентом корреляции
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Содержание:
- Что такое коэффициент корреляции?
- Что такое корреляция Пирсона? Как рассчитать:
- Вручную
- ТИ 83
- Эксель
- СПСС
- Минитаб
- Что означают результаты?
Формулы коэффициента корреляции используются для определения того, насколько сильна связь между данными. Формулы возвращают значение от -1 до 1, где:
- 1 указывает на сильную положительную связь.
- -1 указывает на сильную отрицательную связь.
- Нулевой результат означает полное отсутствие связи.
Графики, демонстрирующие корреляцию -1, 0 и +1
Значение
- Коэффициент корреляции, равный 1, означает, что при каждом положительном увеличении одной переменной происходит положительное увеличение фиксированной пропорции другой. Например, размеры обуви увеличиваются в (почти) идеальной зависимости от длины стопы.
- Коэффициент корреляции, равный -1, означает, что при каждом положительном увеличении одной переменной происходит отрицательное уменьшение другой в фиксированной пропорции. Например, количество бензина в баке уменьшается в (почти) полной корреляции со скоростью.
- Ноль означает, что для каждого увеличения нет положительного или отрицательного увеличения. Эти два просто не связаны.
Абсолютное значение коэффициента корреляции дает нам силу связи. Чем больше число, тем сильнее связь. Например, |-.75| = 0,75, что имеет более сильную связь, чем 0,65.
Нравится объяснение? Прочтите «Руководство по статистике практического мошенничества», в котором есть сотни пошаговых решений задач!
Типы формул коэффициентов корреляции.
Существует несколько типов формул коэффициента корреляции.
Одной из наиболее часто используемых формул является формула коэффициента корреляции Пирсона. Если вы посещаете базовый курс статистики, вы, вероятно, будете использовать это:
Коэффициент корреляции Пирсона
Обычно используются две другие формулы: коэффициент корреляции выборки и коэффициент корреляции генеральной совокупности.
Коэффициент корреляции выборки
S x и s y — стандартные отклонения выборки, а s xy — ковариация выборки.
Коэффициент корреляции населения
Коэффициент корреляции населения использует σ x и σ y в качестве стандартных отклонений населения, и σ xy как ковариация генеральной совокупности.
Посетите мой канал Youtube, чтобы получить дополнительные советы и помощь со статистикой!
В начало
Корреляция между наборами данных является мерой того, насколько хорошо они связаны. Наиболее распространенной мерой корреляции в статистике является корреляция Пирсона. Полное название: Pearson Product Moment Correlation (PPMC) . Он показывает линейную связь между двумя наборами данных. Проще говоря, он отвечает на вопрос: Могу ли я нарисовать линейный график для представления данных? Для обозначения корреляции Пирсона используются две буквы: греческая буква rho (ρ) для генеральной совокупности и буква «r» для выборки.
Возможные проблемы с корреляцией Пирсона.
PPMC не может определить разницу между зависимыми переменными и независимыми переменными. Например, если вы пытаетесь найти корреляцию между высококалорийной диетой и диабетом, вы можете найти высокую корреляцию 0,8. Однако вы также можете получить тот же результат с переключением переменных.
Пример из реальной жизни
Корреляция Пирсона используется в тысячах реальных жизненных ситуаций. Например, ученые в Китае хотели узнать, существует ли связь между генетическими различиями популяций сорного риса. Цель состояла в том, чтобы выяснить эволюционный потенциал риса. Была проанализирована корреляция Пирсона между двумя группами. Он показал положительную корреляцию момента продукта Пирсона между 0,783 и 0,895 для сорных популяций риса. Эта цифра достаточно высока, что свидетельствует о достаточно прочной связи.
Если вам интересно увидеть больше примеров PPMC, вы можете найти несколько исследований на веб-сайте Openi Национального института здравоохранения, которые показывают результаты различных исследований, от визуализации кисты молочной железы до роли, которую углеводы играют в потере веса.
Вернуться к началу
Посмотрите видео, чтобы узнать, как найти PPMC вручную.
Как найти коэффициент корреляции Пирсона (вручную)
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Пример вопроса : Найдите значение коэффициента корреляции из следующей таблицы:
| Субъект | Возраст х | Уровень глюкозы y | 1 | 43 | 99 |
|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 3 | 25 | 79 |
| 4 | 42 | 75 | 5 | 57 | 87 |
| 6 | 59 | 81 |
Шаг 1: Создайте диаграмму. Используйте полученные данные и добавьте еще три столбца: xy, x 2 и y 2 .
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | ху | х 2 | г 2 | 1 | 43 | 99 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 3 | 25 | 79 |
| 4 | 42 | 75 | 5 | 57 | 87 |
| 6 | 59 | 81 |
Шаг 2: Умножьте x и y, чтобы заполнить столбец xy.
Например, строка 1 будет 43 × 9.9 = 4 257 .
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | ху | х 2 | г 2 | 1 | 43 | 99 | 4257 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 1365 | 3 | 25 | 79 | 1975 |
| 4 | 42 | 75 | 3150 | 5 | 57 | 87 | 4959 |
| 6 | 59 | 81 | 4779 |
Шаг 3: Возьмем квадрат чисел в столбце x и поместим результат в столбец x 2 .
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | ху | х 2 | г 2 | 1 | 43 | 99 | 4257 | 1849 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 1365 | 441 | 3 | 25 | 79 | 1975 | 625 |
| 4 | 42 | 75 | 3150 | 1764 | 5 | 57 | 87 | 4959 | 3249 |
| 6 | 59 | 81 | 4779 | 3481 |
Шаг 4: Возьмем квадрат чисел в столбце у и поместим результат в столбец у 2 .
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | ху | х 2 | г 2 | 1 | 43 | 99 | 4257 | 1849 | 9801 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 1365 | 441 | 4225 | 3 | 25 | 79 | 1975 | 625 | 6241 |
| 4 | 42 | 75 | 3150 | 1764 | 5625 | 5 | 57 | 87 | 4959 | 3249 | 7569 |
| 6 | 59 | 81 | 4779 | 3481 | 6561 |
Шаг 5: Сложите все числа в столбцах и поместите результат в конец столбца. Греческая буква сигма (Σ) — это короткий способ сказать «сумма» или суммирование.
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | ху | х 2 | г 2 | 1 | 43 | 99 | 4257 | 1849 | 9801 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 1365 | 441 | 4225 | 3 | 25 | 79 | 1975 | 625 | 6241 |
| 4 | 42 | 75 | 3150 | 1764 | 5625 | 5 | 57 | 87 | 4959 | 3249 | 7569 |
| 6 | 59 | 81 | 4779 | 3481 | 6561 |
| Σ | 247 | 486 | 20485 | 11409 | 40022 |
Шаг 6: Используйте следующую формулу коэффициента корреляции.
Ответ: 2868 / 5413,27 = 0,529809
Щелкните здесь, если вам нужны простые пошаговые инструкции по решению этой формулы.
Из нашей таблицы:
- Σx = 247
- Σy = 486
- Σху = 20 485
- Σx 2 = 11 409
- Σy 2 = 40 022
- n — объем выборки, в нашем случае = 6
Коэффициент корреляции =
- 6(20 485) – (247 × 486) / [√[[6(11 409) – (247 2 )] × [6(40,022) – 486 2 ]]]
= 0,5298
Диапазон коэффициента корреляции от -1 до 1. Наш результат 0,5298 или 52,98%, что означает, что переменные имеют умеренную положительную корреляцию.
Наверх.
Нравится объяснение? Прочтите «Руководство по статистике практического мошенничества», в котором есть еще сотни пошаговых объяснений, таких как это!
Если вы принимаете статистику AP, вам фактически не придется работать с формулой корреляции вручную.
Вы будете использовать свой графический калькулятор. Вот как найти r на TI83.
Шаг 1: Введите данные в список и постройте точечный график, чтобы убедиться, что ваши переменные приблизительно коррелированы. Другими словами, ищите прямую линию. Не знаете, как это сделать? См.: TI 83 Диаграмма рассеяния.
Шаг 2: Нажмите кнопку STAT.
Шаг 3: Прокрутите вправо до меню CALC.
Шаг 4: Прокрутите вниз до 4:LinReg(ax+b), затем нажмите ENTER. Вывод покажет «r» в самом низу списка.
Совет : Если вы не видите r, включите диагностику, а затем повторите шаги.
Посмотрите видео:
Найдите коэффициент корреляции в Excel
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Шаг 1: Введите данные в два столбца в Excel. Например, введите данные «x» в столбец A и данные «y» в столбец B.
Шаг 2: Выберите любую пустую ячейку.
Шаг 3: Нажмите функциональную кнопку на ленте.
Шаг 4: Введите «корреляция» в поле «Поиск функции».
Шаг 5: Нажмите «Перейти». КОРРЕЛ будет выделен.
Шаг 6: Нажмите «ОК».
Шаг 7: Введите местоположение ваших данных в поля «Массив 1» и «Массив 2» . В этом примере введите «A2:A10» в поле «Массив 1», а затем введите «B2:B10» в поле «Массив 2».
Шаг 8: Нажмите «ОК». Результат появится в ячейке, выбранной на шаге 2. Для этого конкретного набора данных коэффициент корреляции (r) равен -0,1316.
Предупреждение. Результаты этого теста могут ввести в заблуждение, если только вы не построили точечный график, чтобы убедиться, что ваши данные примерно соответствуют прямой линии. Коэффициент корреляции в Excel 2007 будет , всегда будет возвращать значение, даже если ваши данные отличаются от линейных (т. е. данные соответствуют экспоненциальной модели).
Вот и все!
Подпишитесь на наш канал Youtube, чтобы получать дополнительные советы и статистику по Excel.
Наверх.
Посмотрите видео для шагов:
Коэффициент корреляции Пирсона в SPSS
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Шаг 1: Нажмите «Анализ», затем нажмите «Корреляция», затем нажмите «Двумерный анализ». Появится окно двумерных корреляций.
Шаг 2: Щелкните одну из переменных в левом всплывающем окне Двумерные корреляции. Затем щелкните центральную стрелку, чтобы переместить переменную в окно «Переменные:». Повторите это для второй переменной.
Шаг 3: Установите флажок «Pearson» , если он еще не установлен. Затем щелкните переключатель «односторонний» или «двусторонний» тест. Если вы не уверены, является ли ваш тест односторонним или двусторонним, см. раздел: Это односторонний или двусторонний тест?
Шаг 4: Нажмите «ОК» и прочтите результаты.
Каждое поле в выходных данных показывает корреляцию между двумя переменными. Например, PPMC для числа старших братьев и сестер и среднего балла составляет -0,098, что означает практически отсутствие корреляции. Вы можете найти эту информацию в двух местах в выходных данных. Почему? Эти перекрестные ссылки на столбцы и строки очень полезны, когда вы сравниваете PPMC для десятков переменных.
Совет № 1: Всегда полезно сделать диаграмму рассеяния SPSS для набора данных до выполнения этого теста. Это потому, что SPSS будет всегда давать вам какой-то ответ и будет предполагать, что данные линейно связаны. Если у вас есть данные, которые могут лучше подходить для другой корреляции (например, экспоненциально связанные данные), SPSS по-прежнему будет запускать для вас Pearson, и вы можете получить вводящие в заблуждение результаты.
Совет № 2 : Нажмите кнопку «Параметры» в окне «Двумерные корреляции», если вы хотите включить описательную статистику, такую как среднее значение и стандартное отклонение.
Наверх.
Посмотрите это видео о том, как рассчитать коэффициент корреляции в Minitab :
Как найти коэффициент корреляции Пирсона в Minitab
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Коэффициент корреляции Minitab вернет значение r от -1 до 1.
Пример вопроса : Найдите коэффициент корреляции Minitab на основе возраста и уровня глюкозы из следующей таблицы из преддиабетического исследования 6 участников. :
| Тема | Возраст х | Уровень глюкозы y | 1 | 43 | 99 |
|---|---|---|
| 2 | 21 | 65 | 3 | 25 | 79 |
| 4 | 42 | 75 | 5 | 57 | 87 |
| 6 | 59 | 81 |
Шаг 1: Введите данные в рабочий лист Minitab .
Я ввел этот образец данных в три столбца.
Данные введены в три столбца рабочего листа Minitab.
Шаг 2: Нажмите «Статистика», затем нажмите «Основная статистика», а затем нажмите «Корреляция».
«Корреляция» выбирается в меню «Статистика > Базовая статистика».
Шаг 3: Щелкните имя переменной в левом окне, а затем нажмите кнопку «Выбрать» , чтобы переместить имя переменной в поле «Переменная». Для этого примера вопроса нажмите «Возраст», затем нажмите «Выбрать», затем нажмите «Уровень глюкозы», затем нажмите «Выбрать», чтобы перенести обе переменные в окно «Переменная».
Шаг 4: (Необязательно) Установите флажок «P-значение» , если вы хотите отобразить P-значение для r.
Шаг 5: Нажмите «ОК». Коэффициент корреляции Minitab будет отображаться в окне сеанса. Если вы не видите результатов, нажмите «Окно», а затем нажмите «Плитка». Должно появиться окно сеанса.
Результаты корреляции Minitab.
Для этого набора данных:
- Значение r: 0,530
- P-значение: 0,280
Вот оно!
Совет: Дайте своим столбцам понятные имена (в первой строке столбца, прямо под C1, C2 и т. д.). Таким образом, когда дело доходит до выбора имен переменных на шаге 3, вы легко увидите, что вы пытаетесь выбрать. Это становится особенно важным, когда в таблице данных десятки столбцов переменных!
Коэффициент корреляции Пирсона — это коэффициент линейной корреляции, который возвращает значение от -1 до +1. -1 означает, что существует сильная отрицательная корреляция, а +1 означает, что существует сильная положительная корреляция. 0 означает отсутствие корреляции (это также называется 9).0003 нулевая корреляция ).
Поначалу это может быть немного сложно понять (кто любит иметь дело с отрицательными числами?). Департамент политологии Университета Куиннипиак опубликовал этот полезный список значений коэффициентов корреляции Пирсона.
Они отмечают, что это « грубых оценок » для интерпретации сил корреляции с использованием корреляции Пирсона:
| r значение = | |
| +0,70 или выше | Очень сильная положительная связь |
| +,40 до +,69 | Сильные позитивные отношения |
| +,30 до +,39 | Умеренно положительные отношения |
| +,20 до +,29 | слабая положительная связь |
| +,01 до +,19 | Связь отсутствует или незначительна |
| 0 | Нет связи [нулевая корреляция] |
| от -.01 до -.19 | Связь отсутствует или незначительна |
| от -.20 до -.29 | слабая отрицательная связь |
| от -.30 до -.39 | Умеренное негативное отношение |
| от -.40 до -.69 | Сильные отрицательные отношения |
| -0,70 или выше | Очень сильная отрицательная связь |
Может быть полезно увидеть графически, как выглядят эти корреляции:
Графики, показывающие корреляцию -1 (отрицательная корреляция), 0 и +1 (положительная корреляция)
Изображения показывают, что сильная отрицательная корреляция означает, что график имеет нисходящий наклон слева направо: по мере увеличения значений x значения y уменьшаются.
Сильная положительная корреляция означает, что график имеет восходящий наклон слева направо: по мере увеличения значений x значения y становятся больше.
Наверх.
V-корреляция Крамера аналогична коэффициенту корреляции Пирсона. В то время как корреляция Пирсона используется для проверки прочности линейных отношений, V Крамера используется для расчета корреляции в таблицах с более чем 2 x 2 столбцами и строками. V-корреляция Крамера варьируется от 0 до 1. Значение, близкое к 0, означает, что связь между переменными очень мала. V Крамера, близкий к 1, указывает на очень сильную связь.
| Крамер V | |
| .25 или выше | Очень крепкие отношения |
| от 0,15 до 0,25 | Крепкие отношения |
| от 0,11 до 0,15 | Умеренные отношения |
| от 0,06 до 0,10 | слабые отношения |
| от 0,01 до 0,05 | Связь отсутствует или незначительна |
Наверх.
Коэффициент корреляции дает представление о том, насколько хорошо данные соответствуют линии или кривой. Пирсон не был изобретателем термина «корреляция», но его использование стало одним из самых популярных способов измерения корреляции.
Фрэнсис Гальтон (который также принимал участие в разработке межквартильного диапазона) был первым, кто измерил корреляцию, первоначально названную «корреляцией», что на самом деле имеет смысл, учитывая, что вы изучаете взаимосвязь между парой различных переменных. . В «Соотношениях и их измерении» он сказал
: «Статус родственников — взаимосвязанные переменные; таким образом, рост отца соответствует росту взрослого сына и т. д.; но показатель корреляции… в разных случаях различен».
Стоит отметить, однако, что Гальтон упомянул в своей статье, что он заимствовал термин из биологии, где использовалось «Корреляция и корреляция структуры», но до времени его статьи он не был должным образом определен.
В 1892 году британский статистик Фрэнсис Исидро Эджворт опубликовал статью под названием «Коррелированные средние значения», Philosophical Magazine, 5th Series, 34, 190-204, где он использовал термин «коэффициент корреляции». Только в 1896 году британский математик Карл Пирсон использовал «коэффициент корреляции» в двух статьях: «Вклад в математическую теорию эволюции» и «Математический вклад в теорию эволюции». III. Регрессия, наследственность и панмиксия. Это была вторая статья, в которой была представлена формула корреляции Пирсона «произведение-момент» для оценки корреляции.
Уравнение корреляции продукта и момента Пирсона.
Наверх.
Если вы умеете читать таблицу — вы можете проверить коэффициент корреляции. Обратите внимание, что корреляции следует рассчитывать только для всего диапазона данных. Если ограничить диапазон, r будут ослаблены.
Пример задачи : проверить значимость коэффициента корреляции r = 0,565, используя критические значения для таблицы PPMC.
Тест при α = 0,01 для размера выборки 9.
Шаг 1: Вычтите два из размера выборки, чтобы получить df, степени свободы .
9 – 7 = 2
Шаг 2: Найдите значения в таблице PPMC. При df = 7 и α = 0,01 табличное значение = 0,798
Шаг 3: Нарисуйте график, чтобы вам было легче увидеть взаимосвязь.
r = 0,565 не попадает в область отклонения (выше 0,798), поэтому недостаточно доказательств, чтобы утверждать, что в данных существует сильная линейная зависимость.
В статистике редко используется тригонометрия (например, вам никогда не понадобится находить производную tan(x)!), но связь между корреляцией и косинусом является исключением. Корреляцию можно выразить через углы:
- Положительная корреляция = острый угол <45°,
- Отрицательная корреляция = тупой угол >45°,
- Некоррелированный = ортогональный (прямой угол).
Более конкретно, корреляция — это косинус угла между двумя векторами, определяемый следующим образом (Knill, 2011):
Если X, Y — две случайные величины с нулевым средним значением, то ковариация Cov[XY] = E[X · Y] — это скалярное произведение X и Y. Стандартное отклонение X — это длина X.
Ссылки
Эктон, Ф. С. Анализ прямолинейных данных. Нью-Йорк: Довер, 1966.
Эдвардс, А. Л. «Коэффициент корреляции». Ч. 4 в Введение в линейную регрессию и корреляцию. Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman, стр. 33–46, 1976.
Гоник, Л. и Смит, В. «Регрессия». Ч. 11 в The Cartoon Guide to Statistics. Нью-Йорк: Harper Perennial, стр. 187–210, 19.93.
Книл, О. (2011). Лекция 12: Корреляция. Получено 16 апреля 2021 г. с: http://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/math29b_2011/handouts/lecture12.pdf
Другие подобные формулы, которые могут вам встретиться, включают корреляцию ( клик для статьи ) :
- Конкордантность Коэффициент корреляции.
