Решение матрицы крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при или рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица исходной системы — квадратная, порядка , и  — столбцы высоты . Предположим, что . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на , получим

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

(15.3)

Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть ,  — определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, :

        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где — алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.     

        Пример 15.1   Решите систему уравнений

Решение. Выписываем матрицу системы и столбец свободных членов .

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ: .         

        Замечание 15.1   При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в том, что вычисление определителей требует выполнения большого числа арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной работы. Этот способ будет описан позже.         

        Замечание 15. 2   При решении системы уравнений приходится выполнять довольно большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то допущена ошибка.         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Правило Крамера | Формула правила Крамера

Содержание

Если вы хотите решить систему линейных уравнений со многими переменными, то методы исключения и замены отнимают много времени. Правило Крамера — это более короткий способ простого и быстрого решения таких уравнений. Правило Крамера использует определители и их свойства для решения системы линейных уравнений.

Давайте разберемся, что такое правило Крамера и его формула на примерах.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — один из важных методов, применяемых для решения системы уравнений. Это правило названо в честь Габриэля Крамера, опубликовавшего правило для произвольного числа неизвестных в 1750 году. Это наиболее часто используемая формула для получения решения данной системы уравнений, образованной с помощью матриц.

В этом методе значения переменных в системе уравнений вычисляются с помощью определителей матриц. Таким образом, правило Крамера также известно как детерминантный метод. Это правило имеет некоторые ограничения в отношении решений. Это правило применимо только тогда, когда система имеет единственное решение.

Если имеется система уравнений от $n$ переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$, записанная в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A}$ = матрица коэффициентов, представляющая собой квадратную матрицу
• $\text{X}$ = матрица-столбец с переменными
• $\text{B}$ = матрица-столбец с константами (находящимися в правой части уравнений)

Формула правила Крамера

Правило Крамера для решения системы линейных уравнений использует формулу, включающую определители матриц, полученных из набора заданных линейных уравнений.

Эта формула известна как формула правила Крамера. 9Столбец {th}$ заменяется матрицей столбцов $\text{B}$ 

Разделите каждый из этих определителей $\text{D}_{x1}$, $\text{D}_{x2}$, $\text{D}_{x3}$, …, $\text{D} _{nn}$ на $\text{D}$, чтобы найти значение соответствующих переменных. То есть $x_{1} = \frac{\text{D}_{x1}}{\text{D}}$, $x_{2} = \frac{\text{D}_{x2}}{ \text{D}}$, $x_{3} = \frac{\text{D}_{x3}}{\text{D}}$…., $x_{n} = \frac{\text{ D}_{xn}}{\text{D}}$.

Примечание:  

• Система уравнений имеет единственное решение только при $\text{D} \ne 0$
• Система уравнений не имеет решения при $\text{D} = 0$

Правило Крамера 2 x 2

Правило Крамера $2 \times 2$ используется для решения пары линейных уравнений с двумя переменными.

Следующие шаги используются для решения пары линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ с использованием правила Крамера.

Шаг 1: Запишите пару линейных уравнений в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$.

Шаг 2: Найдите $\text{D}$, который является определителем матрицы $\text{A}$. Также найдите определители $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, где

• $\text{D}_x = det (\text{A})$, где первый столбец заменен на $\text{B}$
• $\text{D}_y = det (\text{A})$, где второй столбец заменен на $\text{B}$

Шаг 3: Найдите значения переменных $x$ и $y$, разделив каждое из $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$ на $\text{D}$ соответственно. .

Примеры правила Крамера 2 x 2

Пример 1: Решите пару линейных уравнений: $3x – y = 7$ и $2x + 5y = -1$.

Данная пара уравнений равна

$3x – y = 7$ ——————————— (1)

$2x + 5y = -1$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\ -1 \end{bmatrix }$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A} = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
• $\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
• $\text{B} = \begin{bmatrix} 7\\ -1 \end{bmatrix}$

Следовательно,

• $\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}$
• $\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
• $\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 2 & -1 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 3 \times 5 – (-1) \times 2 = 15 + 2 = 17$

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 7 \times 5 – (-1) \times (-1) = 35 – 1 = 34$

 $\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \times (-1) – 7 \times 2 = -3 – 14 = -17$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{34}{17} = 2$, а $y = \frac{\text{D}_y} {\text{D}} = \frac{-17}{17} = -1$.

Пример 2: Решите пару линейных уравнений: $2x – y = 1$ и $x + 2y = 13$.

Данная пара уравнений равна

$2x – y = 1$ ——————————- (1)

$x + 2y = 13$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 13 \end{bmatrix} $, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
• $\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
• $\text{B} = \begin{bmatrix} 1\\ 13 \end{bmatrix}$

Следовательно,

• $\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$
• $\text{D}_x = \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 13 & 2 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
• $\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 13 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 – (-1) \times 1 = 4 + 1 = 5$

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 13 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 – (-1) \times 13 = 2 + 13 = 15$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 13 \end{vmatrix} = 3 \times 13 – 1 \times 1 = 26 – 1 = 25$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{15}{5} = 3$, а $y = \frac{\text{D}_y} {\text{D}} = \frac{25}{5} = 5$.

Пример 3: Решите пару линейных уравнений: $3x – 2y = 7$ и $-6x + 4y = 9$.

Данная пара уравнений равна

$3x – 2y = 7$ ——————————— (1)

$-6x + 4y = 9$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\ 9 \end{bmatrix }$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A} = \begin{bmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{bmatrix}$
• $\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
• $\text{B} = \begin{bmatrix} 7\\ 9 \end{bmatrix}$

Следовательно,

• $\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}$
• $\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -2\\ 9 & 4 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
• $\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 и 7\\ -6 и 9\end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 – (-2) \times )-6) = 12 – 12 = 0 $

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -2\\ 9 & 4 \end{vmatrix} = 7 \times 4 – (-2) \times 9 = 28 + 18 = 46$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ -6 & 9 \end{vmatrix} = 3 \times 9 – 7 \times (-6) = 27 + 42 = 69$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{46}{0} = \text{Undefined}$ и $y = \frac{\text{ D}_y}{\text{D}} = \frac{69}{0} = \text{Undefined}$.

Таким образом, пара уравнений $3x – 2y = 7$ и $-6x + 4y = 9$ не имеет решения.

Примечание: При $\text{D} = 0$ система линейных уравнений не имеет решений, т.е. система уравнений несовместна.

Правило Крамера 3 x 3

Правило Крамера $3 \times 3$ используется для решения системы линейных уравнений с тремя переменными.

Мы просто расширим тот же процесс правила Крамера для пары линейных уравнений и на систему уравнений $3 \times 3$.

Ниже приведены шаги по решению этой системы уравнений 3×3 с тремя переменными $x$, $y$ и $z$ с применением правила Крамера.

Шаг 1: Запишите систему уравнений в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$

Шаг 2: Найдите $\text{D}$, который является определителем матрицы $\text{A}$, т. е. $\text{D} = det (\text{A})$. Также найдите определители $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$, где

• $\text{D}_x = det (\text{A})$, где первый столбец заменен на $\text{B}$ 
• $\text{D}_y = det (\text{A})$, где второй столбец заменен на $\text{B}$ 
• $\text{D}_z = det (\text{A})$, где третий столбец заменен на $\text{B}$ 

Шаг 3: Найдите значения переменных $x$, $y$ и $z$, разделив каждое из $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\ text{D}_z$ на $\text{D}$ соответственно.

Примеры правила Крамера 3 x 3

Пример 1: Решите систему линейных уравнений: $2x + 5y + 2z = -38$, $3x – 2y + 4z = 17$ и $6x – y + 7z = 12$

Данная система уравнений равна

$2x + 5y + 2z = -38$ ———————————— (1)

$3x – 2y + 4z = 17$ ———————————— (2)

$6x – y + 7z = 12$ ———————————— (3)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -38 \\ 17 \\ 12 \end{bmatrix}$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7  \end{bmatrix}$
• $\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix}$
• $\text{B} = \begin{bmatrix} -38\\ 17 \\ 12 \end{bmatrix}$

Следовательно,

• $\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{vmatrix} $
• $\text{D}_x = \begin{vmatrix} -38 & 5 & 2\\ 17 & -2 & 4 \\ 12 & -1 & 7\end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\ текст{B}$)
• $\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & -38 & 2\\ 3 & 17 & 4 \\ 6 & 12 & 7 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{ Б}$)
• $\text{D}_z = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -38\\ 3 & -2 & 17 \\ 6 & -1 & 12 \end{vmatrix}$ (Замена $z$ на $\ текст{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$, $\text{D}_y$, $\text{D}_z$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{vmatrix}$

$ = 2\begin{vmatrix} -2 и 4\\ -1 и 7 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 3 и 4\\ 6 и 7  \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix } 3 & -2\\ 6 & -1  \end{vmatrix}$

$ = 2 х (-2 х 7 – 4 х (-1)) – (-5) х (3 х 7 – 4 х 6) + 2 х (3 х (-1) ) – (-2)\умножить на 6)$

$ = 2 \раз (-14 + 4) + 5 \раз (21 – 24) + 2 \раз (-3 + 12)$

$ = 2 \times (-10) + 5 \times (-3) + 2 \times 9 = -20 – 15 + 18 = -17 $

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} -38 & 5 & 2\\ 17 & -2 & 4 \\ 12 & -1 & 7 \end{vmatrix}$

$ = -38\begin{vmatrix} -2 и 4\\ -1 и 7 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 17 и 4\\ 12 и 7  \end{vmatrix} + 2\begin{ vmatrix} 17 & -2\\ 12 & -1  \end{vmatrix}$

$ = -38 х (-2 х 7 – 4 х (-1)) – 5 х (17 х 7 – 4 х 12) + 2 х (17 х (-1) – (-2)\умножить на 12)$

$ = -38 \раз (-14 + 4) – 5 \раз (119– 48) + 2 х (-17 + 24)

$

$ = -38 \times (-10) – 5 \times 71 + 2 \times 7 = 380 – 355 + 14 = 39$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & -38 & 2\\ 3 & 17 & 4 \\ 6 & 12 & 7 \end{vmatrix}$

$= 2\begin{vmatrix} 17 и 4\\ 12 и 7 \end{vmatrix} – (-38)\begin{vmatrix} 3 и 4\\ 6 и 7  \end{vmatrix} + 2\begin{ vmatrix} 3 и 17\\ 6 и 12  \end{vmatrix}$

$ = 2 х (17 х 7 – 4 х 12) – (-38) х (3 х 7 – 4 х 6) + 2 х (3 х 12 – 17 х 6) $

$ = 2 \раз (119 – 48) + 38 \раз (21 – 24) + 2 \раз (36 – 102)

$

$= 2 \times 71 + 38 \times (-3) + 2 \times (-66) = -104$

$\text{D}_z = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -38\\ 3 & -2 & 17 \\ 6 & -1 & 12 \end{vmatrix}$

$ = 2\begin{vmatrix} -2 и 17\\ -1 и 12 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 3 и 17\\ 6 и 12  \end{vmatrix} – 38\begin{vmatrix } 3 & -2\\ 6 & -1  \end{vmatrix}$

$ = 2 х (-2 х 12 – 17 х (-1)) – (-5) х (3 х 12 – 17 х 6) – 38 х (3 х (-1) ) – (-2)\умножить на 6)$

$ = 2 \раз (-24 + 17) + 5 \раз (36 – 102) – 38 \раз (-3 + 12)$

$ = 2 \times (-7) + 5 \times (-66) – 38 \times 9 = -14 – 330 – 342 = -686$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{39}{-17}= -\frac{39}{17}$, $y = \frac {\text{D}_y}{\text{D}} = \frac{-104}{-17} = \frac{104}{17}$ и $z = \frac{\text{D}_z }{\text{D}} = \frac{-686}{-17} = \frac{686}{17}$.

Условия правила Крамера

Существуют определенные условия применения правила Крамера для решения данной системы уравнений. Некоторые из них включают следующее:

• Правило Крамера не выполняется для системы уравнений, в которой $\text{D} = 0$, поскольку для нахождения значений неизвестных $\text{D}$ должно стоять в знаменателе, а значит, эти значения остаются неопределенными.
• Кроме того, когда $\text{D} = 0$, будут две возможности, для которых
  • Система может не иметь решения.
  • Система может иметь бесконечное количество решений.
• Отсюда мы можем сказать, что по крайней мере один из определителей числителя равен $0$ (что означает бесконечно много решений) или ни один из определителей числителя не равен $0$ (что означает отсутствие решения)
• Если $\text{D} \ne 0$, говорят, что система $\text{AX} = \text{B}$ имеет единственное решение.
• Таким образом, правило Крамера помогает нам определить, имеет ли данная система «нет решений» или «бесконечное число решений», используя определители, которые мы вычисляем для применения правила.

Ключевые выводы

• При наличии $n$ переменных и $n$ уравнений необходимо вычислить $(n + 1)$ определителей.
• Это правило может давать решения только тогда, когда $\text{D} \ne 0$.
• Если $\text{D} = 0$, то система либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет решений.
• Мы не можем найти решения, используя это правило, когда система имеет бесконечное число решений.

Практические задачи

Решите следующую систему уравнений, используя правило Крамера.

• 3x + 2y = 8$, 6x – 4y = 9$
• $x + 3y = 6$, $2x – 3y = 12$
• 141x + 93y = 189$, 93x + 141y = 45$
• $x – y + z = 2$, $2x – y – z = -6$, $2x + 2y + z = -3$
• $3x + y + z = 2$, $x + 2y + z = -3$, $3x + y + 2z = 4$
• $x – 3y + z = -5$, $-3x – y – z = 1$, $2x – 2y + 3z = 1$

Часто задаваемые вопросы

Всегда ли работает правило Крамера?

Нет, правило Крамера работает не всегда. Он применим только тогда, когда данная система уравнений имеет единственное решение.

Что еще называют правилом Крамера?

Правило Крамера также известно как метод определителя.

Как работает правило Крамера?

Правило Крамера используется для нахождения решения системы уравнений с единственным решением. Он также используется, чтобы определить, имеет ли система единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечное число решений.

Что такое определение правила Крамера?

Правило Крамера утверждает решение системы уравнений, записанной в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$ (где $\text{A}$ — матрица коэффициентов, $\text{X }$ — матрица-столбец переменных, а $\text{B}$ — матрица-столбец коэффициентов) получается делением $det (\text{A})$ на тот же определитель, где соответствующие столбцы заменены на матрица $\text{B}$.

Что такое правило Крамера 2×2?

Сначала запишите данную систему уравнений $2 \times 2$ в виде $\text{AX} = \text{B}$, где $\text{X}$ — матрица-столбец переменных $x$ и $ у $. Затем найдите определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, где $\text{D} = det(\text{A})$ и $ \text{D}_x$ и $\text{D}_y$ аналогичны $det(\text{A})$, где первый и второй столбцы соответственно заменены матрицей $\text{B}$. Затем мы используем следующее, чтобы найти переменные $x$ и $y$.
a) $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}}$
b) $y = \frac{\text{D}_y}{\text{D}}$

Что такое $\text{D}_x$ в правиле Крамера?

Чтобы решить систему уравнений с помощью правила Крамера, сначала запишем ее в виде $\text{AX} = \text{B}$. Тогда $\text{D}_x$ является определителем матрицы коэффициентов по правилу Крамера, где первый столбец заменен матрицей-столбцом $\text{B}$.

Каковы преимущества правила Крамера?

Правило Крамера используется для решения системы уравнений, в которой количество переменных равно количеству уравнений. Кроме того, используя это правило, мы можем сразу найти значение любой переменной, не находя другие переменные.

Что такое правило Крамера 3×3?

Сначала запишите данную систему $3 \times 3$ уравнений в виде $\text{AX} = \text{B}$, где $\text{X}$ — матрица-столбец переменных $x$, $ у$ и $z$. Затем найдите определители $\text{D}$, $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$, где $\text{D} = det( \text{A})$ и $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$ совпадают с $det(\text{A})$, где первый, второй и третий столбцы соответственно заменены матрицей $\text{B}$. Затем используйте следующую команду, чтобы найти переменные $x$, $y$ и $z$.
a) $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}}$
b) $y = \frac{\text{D}_y}{\text{D}}$
c ) $z = \frac{\text{D}_z}{\text{D}}$

Заключение

Правило Крамера — один из важных методов, применяемых для решения системы уравнений. В этом методе значения переменных в системе уравнений вычисляются с помощью определителей матриц. Но это правило имеет некоторые ограничения в отношении решений. Это правило применимо только тогда, когда система имеет единственное решение.

Рекомендуемое чтение

• Что такое обратная матрица – определение, формула и примеры
• Транспонирование матрицы – значение, свойства и примеры
• Свойства определителя (с формулами и примерами)
• Что такое определитель матрицы – значение, определение и примеры
• Операции с матрицами — сложение, вычитание и умножение
• Типы матриц (со свойствами и примерами)
• Что такое матрица в математике – значение, определение и примеры

Вам также может понравиться

Что означают цифры карандашом? (Объяснение карандашных оценок)

Содержание Что означают оценки по карандашу? Что означает буква «H» в

Читать далее

Сколько существует типов карандашей?

Содержание Сколько существует различных типов карандашей? На основе классификации

Читать далее

Школьные принадлежности, которые нужны каждому ученику

Содержание Список школьных канцелярских принадлежностей1. Рюкзак2. Связующие3. Ластики4. Клей5. Хайлайтеры6.

Читать далее

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣

⎡​a1​a2​a3​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​⎦

⎤​

1. Дополните

   AAA

   первыми двумя столбцами.

   det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1​a2​a3 b1​b2​b3​c1​c2​c3​∣a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​∣

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

9Рисунок 2 }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1​b2​c3​+b1​c2​a3​+c1​a2​b3​−a3​b2​c1​−b3​c2 ​a1​−c3​a2​b1​

Пример 3.

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по заданному

A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣

⎡​034​2−10​111​⎦

⎤​

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 – 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 034​2−10​111​∣034​2−10​∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6​

Попробуйте 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111​−31−2​713​∣

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

и

3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3

матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx​,y=DDy​​,z=DDz​​,D=0

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель

Dx{D}_{x}Dx​

, мы заменяем столбец

xxx

столбцом констант. Если мы записываем определитель

Dy{D}_{y}Dy​

, мы заменяем столбец

yyy

постоянным столбцом. Если мы записываем определитель

Dz{D}_{z}Dz​

, мы заменяем столбец

zzz

постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x – 2y+z=-5\\ x+3y – 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14​

Решение

Используйте правило Крамера.

D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣131​1−23​−11−2​∣,Dx​=∣6−514​1−23​−11−2​∣,Dy​=∣131​6−514​−11− 2​∣,Dz​=∣131​1−23​6−514​∣

Тогда

x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx​=−3 −3​=1y=DDy​=−3−9​=3z=DDz​=−36​=−2​

Решение:

(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)

.

Попробуйте 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x – 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x – 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4​

Решение

Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решить систему уравнений по правилу Крамера.

3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x – 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x – 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)​

Решение

Начнем с нахождения определителей

D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx​, и Dy​

.

D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36​−2−4​∣=3(−4)−6(−2)=0

Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение (1) на

   −2-2−2

   .
2. Добавьте результат к уравнению

   (2)\влево(2\вправо)(2)

   .

−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ ————–} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8​

Получаем уравнение

0=−80=-80=−8

, что неверно. Следовательно, система не имеет решений. График системы показывает две параллельные линии.

Рис. 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x – 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y – 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x – 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0​(1)(2)(3)​

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132​−21−4​3−26​ ∣ 132​−21−4​∣

Тогда

1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0

Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (1) на

   −2-2−2

   и добавьте результат к уравнению (3):

   −2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y – 6x=0\\ \qquad 2x – 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0

2. Получение ответа

   0=00=00=0

   , всегда верное утверждение, означает, что система имеет бесконечное число решений.