Решение матрицы онлайн крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решающие системы с правилом Крамера — предварительное исчисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Оцените  2 × 2  детерминанты.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Оценить  3 × 3  определителей.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы по данным

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений. Существует несколько способов указать определитель, в том числе и заменить скобки в матрице прямыми линиями,

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найти определитель заданной матрицы.

Показать решение

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы познакомим вас с последним методом решения систем уравнений, использующим определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим решить для Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент в уравнении (2), и мы складываем два уравнения, переменная будет удалена.

Теперь найдите

Аналогично, чтобы найти, мы исключим

Решение даст

Обратите внимание, что знаменатель для обоих и является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения и , но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• определитель матрицы коэффициентов
• определитель числителя в решении
• определитель числителя в решении

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Тогда мы можем выразить и как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно количеству переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение с использованием правила Крамера дается как

Если мы решаем для столбца, заменяемого постоянным столбцом. Если мы решаем, столбец заменяется постоянным столбцом.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему, используя правило Крамера.

Показать решение

Решить для

Найти

Решение:

Попробуйте

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

Показать решение

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей

вниз по по каждой из трех диагоналей (сверху слева направо снизу) и вычтите произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева снизу вверх справа). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

1. Дополнить первыми двумя столбцами.
2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель заданной матрицы 3 × 3

Показать решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле . Таким образом,

Попробуйте

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

Показать решение

Можно ли использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для матриц и . Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

где

Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3 с помощью правила Крамера.

Показать решение

Использовать правило Крамера.

Затем

Решение:

Попробуйте

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

Показать решение

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

Показать решение

Начнем с нахождения определителей

Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений.

Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение (1) на
2. Добавить результат к уравнению

Получаем уравнение, которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. (Рисунок).

Рис. 1.

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

Показать решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

Затем

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (1) на и добавьте результат к уравнению (3):
2. Получение ответа на утверждение, которое всегда истинно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. (Рисунок).
   Рис. 2.

Понимание свойств определителей

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства определителей

1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
4. Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
5. Определитель обратной матрицы является обратной величиной определителя матрицы
6. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Покажите решение

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.

Дополнить первыми двумя столбцами.

Затем

Свойство 2 указывает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

Свойство 3 гласит, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

Свойство 4 гласит, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы является обратной величиной определителя Таким образом,

Свойство 6 гласит, что если любую строку или столбец матрицы умножить на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

Показать решение

Используя правило Крамера, мы имеем

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и добавьте результат к уравнению (1).

Получение утверждения, являющегося противоречием, означает, что система не имеет решения.

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

• Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
• Решение системы из трех уравнений с использованием правила Крамера

Ключевые понятия

• Определитель для см. (рисунок).
• Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения см. (рисунок).
• Чтобы найти определитель матрицы 3×3, увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. (Рисунок).
• Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого желаемого решения: см. (рисунок).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например:
  • Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
  • При перестановке двух строк определитель меняет знак.
  • Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
  • Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
  • Определитель обратной матрицы является обратной величиной определителя матрицы
  • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Раздел Упражнения

Вербальные

1. Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Показать решение

Определитель — это сумма и произведение элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить это произведение, даже если оно в конечном итоге равно 0.

2. Изучая правило Крамера, объясните, почему нет единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу.

3. Объясните, что означает в терминах обратной матрицы наличие нулевого определителя.

Показать решение

Обратное не существует.

4. Определитель матрицы равен 3. Если поменять местами строки и умножить первую на 6, а вторую на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите определитель.

5.

Показать решение

6.

 

7.

Показать решение

8.

 

9.

Показать решение

10.

 

11.

Показать решение

12.

 

13.

Показать решение

14.

15.

Показать раствор

16.

 

17.

Показать решение

18.

 

19.

Показать решение

20.

 

21.

Показать решение

22.

 

23.

Показать решение

24.

 

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

25.

Показать решение

26.

 

27.

Показать решение

28.

 

29.

Показать решение

30.

 

31.

Показать решение

32.

 

33.

Показать решение

34.

 

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

 

35.

Показать раствор

36.

 

37.

Показать решение

38.

 

39.

Показать решение

40.

 

41.

Показать решение

42.

 

43.

Показать решение

Бесконечное количество решений

44.

Технология

 В следующих упражнениях используйте функцию определителя в графической утилите.

 

45.

Показать решение

46.

 

47.

Показать решение

48.

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, то найти единственное решение.

49. Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Показать решение

Да; 18, 38

50. Два числа в сумме дают 104. Если сложить два раза первое число плюс два раза второе число, получится 208

 

51. Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше первого второй номер. Третье число на 4 больше первого числа.

Показать решение

Да; 33, 36, 37

52. Три числа в сумме дают 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше первых двух вместе взятых.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

 

53. Вы вкладываете 10 000 долларов США в два счета, на которые начисляются 8% и 5% годовых. В конце года на ваших объединенных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждый счет?

Показать решение

7000 долларов на первом счете, 3000 долларов на втором счете.

54. Вы инвестируете 80 000 долларов на два счета, 22 000 долларов на один счет и 58 000 долларов на другой счет. В конце года, при условии простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Каковы процентные ставки для ваших счетов?

 

55. Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детский билет стоит $5,95, билеты для взрослых стоят 11,15 долларов США, а общая сумма выручки составила 12 756 долларов США, сколько было продано детских билетов и билетов для взрослых?

Show Solution

120 детей, 1080 взрослых

56. Концертный зал продает одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов США и был продан 321 билет, то сколько было продано одиночных билетов и сколько билетов для пар?

 

57. Вы решили покрасить кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски. Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета вошло в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29 долларов США. .50. Если каждый галлон желтого цвета стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

Show Solution

4 галлона желтого цвета, 6 галлонов синего цвета

58. Вы продали два вида шарфов на фермерском рынке и хотели бы знать, какой из них более популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый шарф стоил 10 долларов, фиолетовый — 11 долларов. Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых шарфов и сколько фиолетовых шарфов было продано?

 

59. В вашем саду росли помидоры двух видов: зеленые и красные. Красный весит 10 унций, а зеленый весит 4 унции. У вас есть 30 помидоров общим весом 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

Show Solution

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

60. На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, продажи которой на 5% выше, чем у лука. Какую долю рынка занимает каждый овощ?

 

61. На том же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества продаваемых фруктов. Клубники продают вдвое больше, чем апельсинов, а киви продают на один процент больше, чем апельсинов. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Show Solution

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

62. Три группы выступили на концертной площадке. Первая группа взимала 15 долларов за билет, вторая группа взимала 45 долларов за билет, а последняя группа взимала 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй группы, сколько билетов было продано на каждую группу?

 

63. Кинотеатр продал билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а на третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, а общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

Show Solution

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

64. В прошлом году мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет составляли 78% заключенных в тюрьме. В этом году те же возрастные группы составили 82,08% населения. 20–29возрастная группа увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до своего предыдущего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет заключенных было на 2% больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процент заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

 

65. В женской тюрьме по дороге общее число заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составляло 5 525 человек. В этом году возрастная группа 20-29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30-39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40-49 летвозрастная группа удвоилась. Сейчас там 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

Show Solution

20–29: 2 100, 30–39: 2 600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает приготовить пищевую смесь из миндаля, сушеной клюквы и орехов кешью в шоколаде. Информация о пищевой ценности этих продуктов показана на (Рисунок).

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0,02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

66. Для специальной «низкоуглеводной» трейловой смеси имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов 425 г, общее количество жиров 570,2 г. Если орехов кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько штук каждого предмета будет в смеси?

 

67. Для смеси «походной» в составе смеси 1000 шт., содержащих 390,8 г жира, 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько орехов кешью, то сколько каждого элемента содержится в смеси?

Show Solution

300 миндаля, 400 клюквы, 300 кешью

68. Для смеси «Энергия-бустер» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью в сумме равно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси?

Повторные упражнения

Системы линейных уравнений: две переменные

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

1. и

Show Solution

№

2. и

В следующих упражнениях используйте замену для решения системы уравнений.

 

3.

Показать решение

4.

 

5.

Показать решение

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

6.

 

7.

Показать решение

Решений не существует.

8.

 

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

9. Фабрика имеет функцию затрат на производство и функцию дохода. Какова точка безубыточности?

Показать решение

10. Исполнитель взимает плату где – общее количество посетителей шоу. Заведение берет 75 долларов за билет. После того, как много людей купят билеты, место станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

Показать решение

Системы линейных уравнений: три переменные

В следующих упражнениях решите систему трех уравнений, используя подстановку или сложение.

 

11.

Показать решение

12.

 

13.

Показать решение

Решений не существует.

14.

 

15.

Показать решение

16.

 

17.

Показать решение

18.

 

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

19. Три нечетных числа дают в сумме 61. Меньшее число на одну треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

Показать решение

11, 17, 33

20. Билеты на спектакль в местном театре распроданы. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем билетов для детей, сколько билетов каждого типа было продано?

Решение систем с помощью правила Крамера

Для следующих упражнений найдите определитель.

21.

Показать раствор

0

22.

 

23.

Показать решение

6

24.

 

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

25.

Показать решение

26.