Решение матрицы по формуле крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Правило Крамера. Метод обратной матрицы

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель  , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам: ,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

;

Ответ: ,

Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод,

обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения    в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8 Решить систему по формулам Крамера.  Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: , ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: , ,

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов  последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу.

Пример 9 Решить систему по формулам Крамера. 

Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: . Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем

обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа –  занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например: Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:  – на месте отсутствующих переменных ставятся нули. Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10 Решить систему по формулам Крамера.

 

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера. Презентация на заданную тему содержит 23 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Презентации» Математика» Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Матрицы Метод Гаусса Формулы Крамера



Слайд 2

Описание слайда:

Матрица Определение Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей размера m  n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.  Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С… Коротко можно записывать так:


Слайд 3

Описание слайда:

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)


Слайд 4

Описание слайда:

Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x1 , x2, …, xn – неизвестные. ai j – коэффициенты при неизвестных. bi – свободные члены (или правые части)


Слайд 5

Описание слайда:

Типы уравнений Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.


Слайд 6

Описание слайда:

Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых уравнений; умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.


Слайд 7

Описание слайда:

Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: 1-ый шаг метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение: где Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31). Система примет вид: Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.


Слайд 8

Описание слайда:

2-ой шаг метода Гаусса 2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение: Предполагая, что находим


Слайд 9

Описание слайда:

В результате преобразований система приняла вид: В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.


Слайд 10

Описание слайда:

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b  0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b  0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система имеет бесчисленное множество решений.


Слайд 11

Описание слайда:

Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3 Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2) Тогда


Слайд 12

Описание слайда:

Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.


Слайд 13

Описание слайда:

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)


Слайд 14

Описание слайда:

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … an1x1+an2x2+…+annxn=bn


Слайд 15

Описание слайда:

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … an1 an2 … ann


Слайд 16

Описание слайда:

В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера


Слайд 17

Описание слайда:

Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей Пример. Решить систему уравнений :


Слайд 18

Описание слайда:

Решение.


Слайд 19

Описание слайда:

Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .


Слайд 20

Описание слайда:

Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:


Слайд 21

Описание слайда:

Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде


Слайд 22

Описание слайда:

Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».


Слайд 23

Описание слайда:

Использованные источники В.С. Щипачев, Высшая математика Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. Волков Е.А. Численные методы. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.




Tags Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Похожие презентации

Презентация успешно отправлена!

Ошибка! Введите корректный Email!

Email

Правила Крамера для кватернионного матричного уравнения Сильвестра и его особые случаи

  • “>

    Аслаксен, Х.: Кватернионные определители. Мат. Интел. 18 (3), 57–65 (1996)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Баксалары Дж.К., Кала Р.: Матричное уравнение \(AX-YB=C\). Приложение линейной алгебры. 25 , 41–43 (1979)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Баксалары Дж.К., Кала Р.: Матричное уравнение \(AXB – CYD = E\). Приложение линейной алгебры. 30 , 141–147 (1980)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Чен, К., Шонфельд, Д.: Оценка позы с нескольких камер на основе уравнения Сильвестра. вычисл. Вис. Изображение Понимание. 114 , 652–666 (2010)

    Статья Google ученый

  • Коэн, Н., Де Лео, С.: Кватернионный определитель. Электрон. J. Linear Algebra 7 , 100–111 (2000)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Дехган М., Хаджарян М.: Обобщенные матричные уравнения Сильвестра над обобщенными бисимметричными и кососимметричными матрицами. Междунар. Дж. Сист. науч. 43 , 1580–1590 (2012)

    Артикул Google ученый 9*А=В\). Дж. Вычисл. заявл. Мат. 200 , 701–704 (2007)

    Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ MathSciNet Google ученый

  • Фарид Ф.О., Хе З.Х., Ван К.В.: Непротиворечивость и точные решения системы матричных уравнений. Линейная полилинейная алгебра 64 (11), 2133–2158 (2016)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Фарид Ф.О., Ни Х.Р., Ван К.В.: О решениях двух систем кватернионных матричных уравнений. Линейная полилинейная алгебра (2017). https://doi.org/10.1080/03081087.2017.1395388

    Артикул МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Футорный В., Климчук Т., Сергейчук В.В. Критерии разрешимости Рота матричных уравнений \( A X-{\widehat{X}} B= C\) и \( X- A{\ widehat{X}} B= C\) над телом кватернионов с инволютивным автоморфизмом \(q\rightarrow {\widehat{q}}\). Приложение линейной алгебры. 510 , 246–258 (2016)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Хе, З.Х., Ван, К.В.: Система периодических связанных дискретных во времени матричных уравнений Сильвестра кватернионов. Алгебра Коллок. 24 (1), 169–180 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Хе, З.Х., Агудело, О.М., Ван, К.В., Мур, Б.Д.: Решение двусторонних связанных обобщенных матричных уравнений Сильвестра с использованием одновременного разложения для пятнадцати матриц. Приложение линейной алгебры. 496 , 549–593 (2016)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • He, ZH, Wang, QW, Zhang, Y.: Одновременное разложение кватернионных матриц с участием \(\eta\)-гермитичности с приложениями. заявл. Мат. вычисл. 298 , 13–35 (2017)

    MathSciNet Google ученый

  • Хе, З.Х., Ван, К.В., Чжан, Ю.: Система четверных связанных уравнений матрицы вещественных кватернионов типа Сильвестра. Автоматика 87 , 25–31 (2018)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • He, ZH, Wang, QW, Zhang, Y.: Полная каноническая форма эквивалентности четырех матриц над произвольным телом. Линейная полилинейная алгебра 66 (1), 74–95 (2018)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • “>

    Ходеджес, Дж. Х.: Некоторые матричные уравнения над конечным полем. Анна. Мат. Приложение Пура. 44 (1), 245–250 (1957)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Кырчей И.: Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений. Фундамент. прикл. Мат. 13 (4), 67–94 (2007)

    Google ученый

  • Кырчей И. Теория детерминантов столбца и строки в кватернионной линейной алгебре. В: Басуэлл, Альберт Р. (ред.) Успехи математических исследований, том. 15, стр. 301–359.. Издательство Nova Science, Нью-Йорк (2012)

    Google ученый

  • Кирчей, И.: Детерминантные представления обратного Мура-Пенроуза над телом кватерниона. Дж. Матем. науч. 180 (1), 23–33 (2012)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • “>

    Кырчей И.: Явные формулы представления для минимальной нормы решений наименьших квадратов некоторых кватернионных матричных уравнений. Приложение линейной алгебры. 438 (1), 136–152 (2013)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Кырчей И. Аналоги правила Крамера для минимальной нормы решений некоторых матричных уравнений. заявл. Мат. вычисл. 218 , 6375–6384 (2012)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Кырчей И.: Явные формулы для детерминантных представлений обратных решений Дразина некоторых матричных и дифференциальных матричных уравнений. заявл. Мат. вычисл. 219 , 7632–7644 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Кырчей И.: Детерминантные представления обратного Дразина над кватернионным телом с приложениями к некоторым матричным уравнениям. заявл. Мат. вычисл. 238 , 193–207 (2014)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Кырчей И.: Детерминантные представления W-взвешенного обратного Дразина над кватернионным телом. заявл. Мат. вычисл. 264 , 453–465 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Кырчей И.: Правило Крамера для обобщенных обратных решений. В: Кырчей, И. (ред.) Успехи в исследованиях линейной алгебры, стр. 79–132. Издательство Nova Science, Нью-Йорк (2015)

    Google ученый

  • Кырчей И.: Явные формулы детерминантного представления для решения двустороннего ограниченного кватернионного матричного уравнения. Дж. Заявл. Мат. вычисл. 53 , 321–341 (2018)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • “>

    Кырчей И.: Детерминантные представления Дразина и W-взвешенных инверсий Дразина над кватернионным телом с приложениями. В: Гриффин С. (ред.) Кватернионы: теория и приложения, стр. 201–275. Издательство Nova Science, Нью-Йорк (2017)

    Google ученый

  • Кырчей, И.: Взвешенное сингулярное разложение и детерминантные представления кватерниона, взвешенного обратного Мура-Пенроуза. заявл. Мат. вычисл. 309 , 1–16 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Кырчей И.: Детерминантные представления решений систем кватернионных матричных уравнений. Доп. заявл. Алгебры Клиффорда 28 , 23 (2018)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ляо, А., Бай, З., Лей, Ю.: Наилучшее приближенное решение матричного уравнения \(AXB+ CYD = E\). СИАМ Дж. Матричный анал. заявл. 27 , 675–688 (2006)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Липинг, Х.: Матричное уравнение \(AXB – GXD = E\) над полем кватернионов. Приложение линейной алгебры. 234 , 197–208 (1996)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Мачеевский, А.А., Клейн, К.А.: Обход препятствий для кинематически избыточных манипуляторов в динамически меняющихся условиях. Междунар. Дж. Робот. Рез. 4 (3), 109–117 (1985)

    Статья Google ученый

  • Мансур А.: Разрешимость \(AXB – CXD = E\) в алгебре операторов \(B(H)\). Лобачевский Ю. Матем. 31 (3), 257–261 (2010)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ни, X. TC= B\). Дж. Франкл. Инст. 344 , 1056–1062 (2007)

    Статья Google ученый

  • Рехман, А., Ван, К.В., Хе, З.Х.: Решение системы матричных уравнений вещественных кватернионов, охватывающих \(\эта\)-гермитность. заявл. Мат. вычисл. 265 , 945–957 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Рехман, А., Ван, К.В., Али, И., Акрам, М., Ахмад, М.О.: Система ограничений обобщенных кватернионных матричных уравнений Сильвестра. Доп. Appl Алгебра Клиффорда 27 (4), 3183–3196 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Шахзад, А., Джонс, Б.Л., Керриган, Э.К., Константинидес, Г.А.: Эффективный алгоритм решения связанного уравнения Сильвестра, появляющегося в дескрипторных системах. Automatica 47 , 244–248 (2011)

    Артикул MathSciNet Google ученый

  • “>

    Ши, С.Ю., Чен, Ю.: Решение матричного уравнения \(AXB +CYD = E\) методом наименьших квадратов. СИАМ Дж. Матричный анал. заявл. 24 , 802–808 (2003)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Шимшек С., Сардуван М., Оздемир Х.: Центроэрмитовы и косоцентроэрмитовы решения задач минимальной невязки и матричной близости кватернионного матричного уравнения \((AXB, DXE)=(C, F )\). Доп. заявл. Clifford Algebras 27 (3), 2201–2214 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Сонг, Г. Дж.: Характеристика W-взвешенного обратного Дразина над телом кватерниона с приложениями. Электрон. J. Linear Algebra 26 , 1–14 (2013)

    Статья ОБЪЯВЛЕНИЯ MathSciNet Google ученый

  • Сонг, К., Чен, Г.: О решениях матричного уравнения \(XF – AX = C\) и \(XF – A\tilde{X} = C\) над полем кватернионов. Дж. Заявл. Мат. вычисл. 37 , 57–68 (2011)

    Артикул MathSciNet Google ученый

  • Сонг, Г.Дж., Донг, К.З.: Новые результаты по сокращенному правилу Крамера для общего решения некоторых ограниченных матричных уравнений кватерниона. Дж. Заявл. Мат. вычисл. 53 , 321–341 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Сонг, Г.Дж., Ван, К.В.: Сокращенное правило Крамера для некоторых линейных уравнений с ограниченным кватернионом. заявл. Мат. вычисл. 218 , 3110–3121 (2011)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Сонг, Г.Дж., Ван, К.В., Чанг, Х.Х.: правило Крамера для единственного решения ограниченных матричных уравнений над кватернионным телом. вычисл. Мат. заявл. 61 , 1576–1589 (2011)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • “>

    Сонг, К., Чен, Г., Лю, К.: Явные решения матричных уравнений кватернионов \(X – AXF = C\) и \(X – A\bar{X}F = C\ ). Междунар. Дж. Вычисл. Мат. 89 , 890–900 (2012)

    Артикул MathSciNet Google ученый

  • Сонг, Г.Дж., Ван, К.В., Ю, С.В.: Правило Крамера для системы кватернионных матричных уравнений с приложениями. заявл. Мат. вычисл. 336 , 490–499 (2018)

    MathSciNet Google ученый

  • Сырмос В.Л., Льюис Ф.Л.: Назначение собственной структуры выходной обратной связи с использованием двух уравнений Сильвестра. IEEE транс. автомат. Контроль 38 , 495–499 (1993)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Сырмос В.Л., Льюис Ф.Л.: Связанные уравнения Сильвестра с ограничениями в проектировании систем. Цепи Сист. Сигнальный процесс. 13 (6), 663–694 (1994)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Варга, А.: Надежное назначение полюсов с помощью параметризации обратной связи по состоянию на основе уравнения Сильвестра. Международный IEEE. Симп. вычисл. Система вспомогательного управления. Дес. CACSD 2000 (57), 13–18 (2000)

    Статья Google ученый

  • Ван, К.В.: Система матричных уравнений и линейное матричное уравнение над произвольными правильными кольцами с единицей. Приложение линейной алгебры. 384 , 43–54 (2004)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ван, К.В., Хе, З.Х.: Реальное матричное уравнение кватерниона с приложениями. Линейная полилинейная алгебра 61 (6), 725–740 (2013)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • “>

    Ван, К.В., Хе, З.Х.: Системы связанных обобщенных матричных уравнений Сильвестра. Automatica 50 , 2840–2844 (2014)

    Артикул MathSciNet Google ученый

  • Ван, К.В., Ван дер Вуде, Дж.В., Чанг, Х.Х.: Система матричных уравнений вещественных кватернионов с приложениями. Приложение линейной алгебры. 431 (1), 2291–2303 (2009)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ван, Л., Ван, К.В., Хе, З.Х.: Общее решение некоторых матричных уравнений. Алгебра Коллок. 23 (1), 71–81 (2016)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ван, К.В., Рехман, А., Хе, З.Х., Чжан, Ю.: Обобщенные матричные уравнения Сильвестра с ограничениями. Автоматика 69 , 60–64 (2016)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • “>

    Ван, К.В., Ян, X.X., Юань, С.Ф.: Решение наименьших квадратов с наименьшей нормой системы матричных уравнений кватерниона. Иран J. Sci. Технол. Транс. Sci 42 , 1317–1325 (2018)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Ву, А.Г., Чжу, Ф., Дуань, Г.Р., Чжан, Ю.: Решение обобщенного матричного уравнения Сильвестра \(AV + BW = EVF\) с помощью карты Кронекера. заявл. Мат. лат. 21 , 1069–1073 (2008)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Сюй Г., Вэй М., Чжэн Д.: О решениях матричного уравнения \(AXB+ CYD = E\). Приложение линейной алгебры. 279 , 93–109 (1998)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Юань, С.Ф., Ляо, А.П.: Решение методом наименьших квадратов матричного уравнения кватерниона \(X – A\bar{X}B = C\) с наименьшей нормой. Линейная полилинейная алгебра 59 , 985–998 (2011)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Юань, С.Ф., Ван, К.В.: Два специальных вида решения методом наименьших квадратов для матричного уравнения кватерниона \(AXB+CXD=E\). Электрон. J. Linear Algebra 23 , 57–74 (2012)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Юань, С.Ф., Ван, К.В., Ю, Ю.Б., Тиан, Ю.: Об эрмитовых решениях матричного уравнения с расщепленным кватернионом \(AXB +CXD=E\). Доп. заявл. Алгебры Клиффорда 27 (4), 3235–3252 (2017)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Чжан, X.: Система обобщенных кватернионных матричных уравнений Сильвестра и ее приложения. заявл. Мат. вычисл. 273 , 74–81 (2016)

    MathSciNet Google ученый

  • “>

    Чжан, Ю.Н., Цзян, Д.К., Ван, Дж.: Рекуррентная нейронная сеть для решения уравнения Сильвестра с изменяющимися во времени коэффициентами. IEEE транс. Нейронная сеть. 13 (5), 1053–1063 (2002)

    Статья Google ученый

  • Чжоу, Б., Джеймс, Л., Дуан, Г.Р.: Об итерационных алгоритмах типа Смита для матричного уравнения Штейна. заявл. Мат. лат. 22 (7), 1038–1044 (2009)

    Статья MathSciNet Google ученый

  • Матрицы: правило Крамера — определение, формулы, решенные примеры задач

    Это правило может применяться только тогда, когда матрица коэффициентов является квадратной матрицей и невырожденной.

    Правило Крамера

    Это правило может применяться только тогда, когда матрица коэффициентов представляет собой квадратная матрица и невырожденная. Это объясняется рассмотрением следующего система уравнений:


    где коэффициент матрица невырожденная. Тогда

    Положим Δ = . Тогда у нас есть


    Примечание

    Замена элементов первого столбца a 11 , и 21 , а 31 Δ с б 1 , b 2 , b 3 соответственно, получаем ∆ 1 . Замена элементов второй стойки a 12 , a 22 , а 32 Δ с б 1 , b 2 , b 3 соответственно, получаем ∆ 2 . Замена элементов третьей стойки a 13 , a 23 , а 33 Δ с б 1 , b 2 , b 3 соответственно, получаем ∆ 3 .

    Если Δ = 0, правило Крамера не может быть применен.

     

    Пример 1.25

    Решить по правилу Крамера систему уравнений

    x 1 x 2 = 3, 2 x 1 + 3 х 2 + 4 х 3 = 17, х 2 + 2 x 3 = 7.

    Решение

    Сначала вычислим определители


    2, x 2 = – 1, x 3 = 4).

     

    Пример 1.26

    Остался 1 мяч в последнем овере. Последний мяч был забит, и игрок с битой складка ударила его высоко. Мяч прошел путь в вертикальной плоскости а уравнение пути y = топор 2 + bx + c относительно до xy -система координат в вертикальной плоскости и мяч прошел через баллы (10,8), (20,16), (30,18) , можете ли вы сделать вывод, что Chennai Super Kings выиграли матч?


    Обоснуйте свой ответ. (Все расстояния измеряются в метрах и точка встречи плоскости пути с самой дальней граничной линией равна (70, 0).)

    Раствор

    путь г = х 2 + bx + c проходит через точки (10,8), (20,16), (40, 22) . Итак, получаем систему уравнений 100 а + 10 б + в = 8, 400 и + 20 б + в = 16,1600 а + 40 б + с = 22.

    Оставить комментарий