2.3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Метод Гаусса»
Задача 1.
Указать базисный минор матрицы
Указание
Определите вначале ранг матрицы А, а затем найдите ненулевой минор, порядок которого равен R(A).
Решение
Определим R(A). Вторая и четвертая строки А равны, поэтому после вычитания из 4-й строки 2-й получаем:
Вычислим минор полученной матрицы, составленный из первых трех столбцов:
Таким образом, найден минор максимально возможного (3-го) порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг матрицы А равен рангу преобразованной матрицы, то есть равен 3, а рассмотренный минор является базисным.
Ответ:
Задача 2.
Определить количество решений системы линейных уравнений
.
Указание
Сравните ранги матрицы системы и расширенной матрицы.
Решение
Сравним ранги матрицы системы
И расширенной матрицы
.
Для удобства вычислений будем искать ранг матрицы А1, отделив ее последний столбец вертикальной чертой. Тогда столбцы, стоящие слева от черты, образуют матрицу А, и мы одновременно найдем ранги обеих матриц.
А1 ~ .
Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 3:
А1 ~ ~ .
Таким образом, R(A) = 2, a R(A1) = 3, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 3.
Найти общее решение линейной системы
.
Указание
Убедившись в том, что система совместна, определите базисные и свободные неизвестные и выразите базисные неизвестные через свободные.
Решение
Найдем R(A) и R(A1):
Итак, R = R(A) = R(A1) = 2, а число неизвестных П = 5. Следовательно, R < N, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).
Число базисных неизвестных равно R, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .
Соответственно Х3, Х4, Х5 – свободные неизвестные.
Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:
И выразим базисные неизвестные через свободные:
.
Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: Х3 = Х4 = Х5 = 0. Тогда
Ответ:
Задача 4.
Найти общее решение системы, выразив в ответе первые неизвестные через последние:
Указание
Приведите расширенную матрицу к виду
Решение
Минор, состоящий из первых трех столбцов полученной матрицы,
Поэтому R(A) = R(A1) = 3, выбранный минор является базисным, а Х1, Х2, Х3, коэффициенты при которых составляют базисный минор, – базисными неизвестными. Тогда свободное неизвестное – Х4, и система, равносильная исходной, имеет вид:
Откуда
Ответ:
Задача 5.
Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы
Указание
Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу
Свободных неизвестных. Задайте свободным неизвестным значения 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 и вычислите соответствующие значения базисных неизвестных.
Решение
Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу Свободных неизвестных. |
Матрица А1 отличается от матрицы А только добавлением нулевого столбца свободных членов, поэтому все ее ненулевые миноры являются минорами матрицы А, то есть R(A) = R(A1). Найдем R(A):
Выберем в качестве базисного минора
Значит, R(A) = 2. Пусть Х4, Х5 – базисные неизвестные, Х1, Х2, Х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:
Откуда
Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:
1) Х1 = 1, Х2 = Х3 = 0.
Тогда Х4 = -0,2, Х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца
2) Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 0.
При этом Х4 = 1,2, Х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид
3) Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1. Отсюда Х4 = -0,8, Х5 = -0,2, и последний столбец
Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется |
Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать
При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.
Ответ:
Задача 6.
Составить однородную систему из двух уравнений, для которой столбцы
Образуют фундаментальную систему решений.
Пусть искомая система имеет вид:
Подставьте вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3 и решите полученную систему уравнений для коэффициентов Aij.
Решение
Существует бесконечно много систем однородных линейных уравнений, для каждой из которых фундаментальная система решений имеет указанный вид. Число уравнений в таких системах может быть различным. При этом можно указать их наименьшее требуемое количество, а увеличивать их число можно неограниченно. |
Определим вначале, из какого наименьшего числа уравнений может состоять такая система.
Число элементов каждого столбца равно пяти, следовательно, в системе пять неизвестных (П = 5). Количество столбцов, составляющих фундаментальную систему, равно трем, то есть N – R = 3, поэтому R = 5 – 3 = 2. Значит, матрица А должна иметь по крайней мере 2 строки. Следовательно, система уравнений с заданной фундаментальной системой решений может состоять из двух и более уравнений.
Пусть искомая система имеет вид:
Подставим вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3. Получим:
Разобьем полученные 6 уравнений на две системы, одна из которых содержит
Найдем какое-либо частное решение этой системы. Приведем ее матрицу к треугольному виду:
Откуда
Следовательно,
Выберем А14 = А15 = 4, тогда А11 = 0, А12 = 8, А13 = -4.
2) Так же выглядит общее решение системы для A2I:
Выберем свободные неизвестные так, чтобы получить решение, линейно независимое с предыдущим.
Пусть А24 = 4, А25 = 0, тогда А21 = 5, А22 = 5, А23 = -3.
Итак, используя найденные значения коэффициентов, можно составить линейную однородную систему:
Фундаментальная система решений которой имеет вид, приведенный в условии задачи.
Ответ:
Задача 7.
Найти общее решение неоднородной линейной системы
С помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.
Указание
Убедитесь в том, что система совместна. Затем составьте соответствующую однородную систему и найдите для нее фундаментальную систему решений. Далее используйте то, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.
Решение
Убедимся в том, что система совместна:
Итак, R(A) = R(A1) = 2 – система совместна.
Составим по преобразованной матрице однородную систему:
И найдем для нее фундаментальную систему решений:
Фундаментальная система решений может быть выбрана так:
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. |
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы
Положим Х3 = Х4 =
и общее решение системы имеет вид:
Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Хчастн, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные.
Ответ:
Задача 8.
Решить систему методом Гаусса:
.
Указание
Поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице, а затем исключите Х из второго и третьего уравнений.
Решение
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и
2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице:
Теперь исключим Х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:
Далее можно легко исключить Z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:
Из последнего уравнения получаем, что У = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: Z = 3, Х = 1.
Ответ: Х = 1, У = 0, Z = 3.
При применении метода Гаусса совсем не обязательно приводить систему к «классическому» треугольному виду: . Достаточно, чтобы матрица коэффициентов, например, системы трех уравнений с тремя неизвестными содержала два нуля в одном столбце и одновременно два нуля в одной строке, причем один из нулей стоял на пересечении этих строки и столбца. |
Задача 9.
Решить систему методом Гаусса:
Указание
Исключите Х2 из 2-го и 4-го уравнений, используя 1-е уравнение, а затем вычтите из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3.
Решение
Исключим Х2 из 2-го и 4-го уравнений. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е, а к 4-му прибавим 1-е, умноженное на 2:
Вычтем из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3:
Теперь вычтем из 4-го уравнения удвоенное 3-е:
Из последнего уравнения находим . Тогда из 3-го уравнения Х1 = 0, из 2-го , из 1-го Х2 = 2.
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|
Системы линейных уравнений (Лекция №14)
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.
Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
- Система может иметь единственное решение.
- Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
- И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A∙X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
Примеры. Решить системы уравнений.
Найдем матрицу обратную матрице A.
,
Таким образом, x = 3, y = – 1.
Итак, х1=4,х2=3,х3=5.
- Решите матричное уравнение: XA+B=C, где
Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.
Найдем матрицу А-1.
Проверка:
- Решите матричное уравнение AX+B=C, где
Из уравнения получаем .
Следовательно,
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
Итак, х=1, у=2, z=3.
- Решите систему уравнений
при различных значениях параметра p:
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.
. Поэтому .
- При
- При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
- При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
- перестановка строк или столбцов;
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной строке другие строки.
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.
Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.
Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.
Вернемся к системе уравнений.
Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Практическая работа метод Гаусса
Группа: Тв-21, Тв-22
УД: Математика
ФИО преподавателя: Никонова Н. С.
Дата проведения занятия (занятий): 22 апреля 2020
Дата выполнения задания: 22 апреля 2020
Вид занятия – Практическая работа – 2 часа
Тема занятия: «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Гаусса»
Цели работы:
– расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Гаусса;
– развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;
– воспитывать у студентов культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.
Задание:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом и оформить краткий конспект теории и разобранных примеров в тетради
2. Выполнить самостоятельную работу
Форма отчета:
1. Отчет оформить в текстовом документе (Word): в документ вставить фотоотчет из тетради по плану:
a. Тема занятия
b. Цель
2. Отчет отправить не позднее 22 апреля по ссылке https://vk.com/topic-193207144_40540306 .
Основной теоретический материал.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной (см. рисунок).
Рассмотрим алгоритм решения методом Гаусса на конкретном примере.
Решить систему линейных уравнений
Применим прямой ход – получим нули под главной диагональю. Для этого:
Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду.
Вначале поменяем первую и вторую строку,
Выполним преобразования, благодаря которым получим нули под главной диагональю в первом столбце.
Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей – три первых:
Т.е. каждый элемент первой строки мы умножаем на 2 и вычитаем из соответствующих элементов второй строки
Каждый элемент первой строки умножаем на 3 и вычитаем из соответствующих элементов третьей строки
, таким образом получили новую матрицу.
Все элементы третьей строки делим на два
Выполним преобразования, благодаря которым получим нули во втором столбце под главной диагональю.
Для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
получаем новый вид А
Разделим третью строку на (-2), получаем:
Проведем теперь обратный ход, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца.
Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
получаем
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца а12, к первой строке прибавляем
вторую: получаем приведем к
неизвестным таким образом, полученной матрице соответствует система
отсюда следует Ответ: (0,2,0)
Задания для самостоятельного решения:
ВАРИАНТ 1
Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
А)
Критерии оценивания:
«3», если: записано решение примера и выполнена проверка решения системы;
самостоятельно методом Гаусса верно решена одна из систем.
«4», если: самостоятельно методом Гаусса верно решены любые две системы.
«5», если: самостоятельно методом Гаусса верно решены три системы.
Скачано с www.znanio.ru
5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( )
Тема: Системы линейных уравнений
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две
ПодробнееАналитическая геометрия. Лекция 1.3
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
ПодробнееЛинейная алгебра Вариант 4
Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:
ПодробнееПримеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на
Подробнее1. Линейные системы и матрицы
1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.
Подробнее0.5 setgray0 0.5 setgray1
5 setgray 5 setgray Лекция 5 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A K m следующего общего вида: a a a A a 2 a 2 2 a 2 A = = A A 2,A 2,,A =, a m a2 m a m A m где a a a 2 A =,,A a 2
ПодробнееТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное
ПодробнееТеорема Кронекера-Капелли
Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)
ПодробнееТеория систем линейных уравнений
Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно
ПодробнееКонтрольная по алгебре с решением
Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:
ПодробнееМАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,…, a mj ], j = 1, 2,…, n, и
ПодробнееУПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку
ПодробнееСеминар 7. Линейная алгебра
1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных
ПодробнееТема 1: Системы линейных уравнений
Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров
ПодробнееПрактикум по линейной алгебре
Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство
ПодробнееТема 1-5: Системы линейных уравнений
Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков
ПодробнееПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.
ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще
ПодробнееГлава 2. Системы линейных равнений
Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь
ПодробнееРАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.
-й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа
Подробнее0.5 setgray0 0.5 setgray1
5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx
ПодробнееТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ
Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч45 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.
Подробнее1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2
1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические
ПодробнееТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ
матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,
ПодробнееИсключение Гаусса-Иордана | Задачи по математике
Исключение Гаусса-Иордана
Определение Рассмотрим систему линейных уравнений $ m \ times n $:
\ begin {align *}
a_ {1 1} x_1 + a_ {1 2} x_2 + \ cdots + a_ {1 n} x_n & = b_1 \\
a_ {2 1} x_1 + a_ {2 2} x_2 + \ cdots + a_ {2 n} x_n & = b_2 \\
a_ {3 1} x_1 + a_ {3 2} x_2 + \ cdots + a_ {3 n} x_n & = b_3 \\
& \ vdots \\
a_ {m 1} x_1 + a_ {m 2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n & = b_m \\
\ end {align *}
- Матрица коэффициентов системы:
\ [\ begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & \ cdots & a_ {1 n} \\
a_ {2 1} & a_ {2 2} & \ cdots & a_ {2 n} \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
a_ {m 1} & a_ {m 2} & \ cdots & a_ {mn}
\ end {bmatrix} \] - Расширенная матрица системы:
\ [\ left [\ begin {array} {rrrr | r}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & \ cdots & a_ {1 n} & b_1 \ \
a_ {2 1} & a_ {2 2} & \ cdots & a_ {2 n} & b_2 \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\
a_ {m 1} & a_ {m 2} & \ cdots & a_ {mn} & b_m
\ end {array} \ right] \] - [Исключение Гаусса-Джордана]
Для данной системы линейных уравнений мы можем найти решение следующим образом.
Эта процедура называется исключением Гаусса-Джордана .- Запишите расширенную матрицу системы линейных уравнений.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в (сокращенную) форму эшелона строк.
- Запишите систему линейных уравнений, соответствующую матрице в виде ряда строк.
- Решите систему, используя обратную замену.
= решение
Проблемы
- Решите следующую систему, преобразовав расширенную матрицу в уменьшенную форму эшелона.Укажите выполненные вами элементарные операции со строками.
\ begin {align *}
x_1 + x_2-x_5 & = 1 \\
x_2 + 2x_3 + x_4 + 3x_5 & = 1 \\
x_1-x_3 + x_4 + x_5 & = 0
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.
\ begin {align *}
x + 2y + 3z & = 4 \\
5x + 6y + 7z & = 8 \\
9x + 10y + 11z & = 12
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.
\ begin {align *}
6x + 8y + 6z + 3w & = – 3 \\
6x-8y + 6z-3w & = 3 \\
8y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – 6w & = 6
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений, преобразовав ее расширенную матрицу к приведенной эшелонированной форме (исключение Гаусса-Жордана).Найдите векторную форму для общего решения.
\ begin {align *}
x_1-x_3-3x_5 & = 1 \\
3x_1 + x_2-x_3 + x_4-9x_5 & = 3 \\
x_1-x_3 + x_4-2x_5 & = 1.
\ end {align *} - Данная матрица является расширенной матрицей для системы линейных уравнений. Приведите векторный вид общего решения.
\ [\ left [\ begin {array} {rrrrr | r}
1 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\ end {array} \ right].\] - Решите следующую систему линейных уравнений и задайте векторную форму для общего решения.
\ begin {align *}
x_1 -x_3 -2x_5 & = 1 \\
x_2 + 3x_3-x_5 & = 2 \\
2x_1 -2x_3 + x_4 -3x_5 & = 0
\ end {align *}
( The Государственный университет Огайо ) - Определите, находятся ли следующие расширенные матрицы в форме сокращенного ряда строк, и вычислите наборы решений связанных с ними систем линейных уравнений.
(a) $ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \ end {массив } \ right] $.{\ prime \ prime} (x) $ обозначают первую и вторую производные соответственно. - (a) Найдите функцию $ g (\ theta) = a \ cos (\ theta) + b \ cos (2 \ theta) + c \ cos (3 \ theta) $ такую, что $ g (0) = g (\ pi / 2) = g (\ pi) = 0 $, где $ a, b, c $ – константы.
(b) Найдите действительные числа $ a, b, c $ такие, что функция $ g (\ theta) = a \ cos (\ theta) + b \ cos (2 \ theta) + c \ cos (3 \ theta) $ удовлетворяет $ g (0) = 3 $, $ g (\ pi / 2) = 1 $ и $ g (\ pi) = -5 $. - Двухзначное число имеет два свойства: сумма цифр равна 11, и если число записано с перевернутыми цифрами и вычтено из исходного числа, результат будет 45.Найдите номер.
Исключение по Гауссу и обратная замена
Рассмотрим систему линейных уравнений:
(1)\ begin {align} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n = b_2 \\ \ vdots \ quad \ quad \ quad \ vdots \ quad \ quad \ quad \ quad \ vdots \ quad \ quad \ vdots \: \: \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \ end {align}
Если мы возьмем так называемую расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, соответствующую коэффициентам и константам системы, $ \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} & b_1 \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} & b_2 \\ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ { m2} & \ cdots & a_ {mn} & b_ {m} \ end {bmatrix} $ и свести его к форме Row Echelon Form, тогда мы сможем довольно легко решить систему.
Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
(2)\ begin {align} 2x + 3y -z = 2 \\ 2x + 4y + z = 4 \\ x + 2y + z = 1 \\ \ end {align}
Расширенная матрица для этой системы: $ \ begin {bmatrix} 2 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix} $. Если мы уменьшим эту матрицу до REF, мы получим следующую матрицу (как вы должны убедиться):
(3)\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \ end {bmatrix}
Из этой матрицы мы можем извлечь следующий набор линейных уравнений, с которым намного проще работать:
(4)\ begin {align} x + 0y + 0z = -9 \\ 0x + y + 0z = 6 \\ 0x + 0y + z = -2 \ end {align}
Ясно, что мы видим решение $ (x, y, z) = (-9, 6, -2) $ исходной системы линейных уравнений.Иногда нам, возможно, придется также использовать алгебраическую технику обратной подстановки, которую мы сейчас опишем.
Рассмотрим следующую расширенную матрицу для системы из 3 линейных уравнений и 4 неизвестных $ x_1, x_2, x_3, x_4 $, которая уже была помещена в REF:
(5)\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}
Отсюда получаем следующие линейные уравнения:
(6)\ begin {align} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 4x_4 = -1 \\ 0x_1 + x_2 + 0x_3 + 2x_4 = 6 \\ 0x_1 + 0x_2 + x_3 + 3x_4 = 2 \ end {align}
Переменные $ x_1, x_2, x_3 $ соответствуют ведущим $ 1 $ s в матрице, поэтому мы называем их ведущими переменными , а переменная $ x_4 $ называется свободной переменной или поворотной точкой .
Чтобы решить эту систему, мы позволяем нашим свободным переменным равняться некоторому произвольному значению, скажем, $ t $. Итак, пусть $ x_4 = t $ для $ t \ in \ mathbb {R} $. Таким образом, мы получаем общее решение:
(7)\ begin {align} x_1 = -1 – 4t \\ x_2 = 6 – 2t \\ x_3 = 2 – 3t \\ x_4 = t \ end {align}
То есть для всех $ t \ in \ mathbb {R} $ существует решение $ (x_1, x_2, x_3, x_4) = (-1 – 4t, 6 – 2t, 2 – 3t, t) $. Ведь для любого значения $ t \ in \ mathbb {R} $ мы получаем соответствующее решение системы, а значит, эта система имеет бесконечно много решений.
Пример 1
Учитывая следующую матрицу REF, которая представляет систему из 3 линейных уравнений с 3 переменными $ x_1, x_2, x_3 $, найдите решение.
(8)\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {bmatrix}
Получаем следующую систему линейных уравнений:
(9)\ begin {align} x_1 + x_2 = 4 \\ x_2 + x_3 = 2 \\ x_3 = 4 \ end {align}
Сначала отметим, что $ x_3 = 4 $.Мы можем обратно подставить это во второе уравнение, чтобы получить:
(10)\ begin {align} x_2 + x_3 = 2 \\ x_2 + (4) = 2 \\ x_2 = -2 \ end {align}
Следовательно, $ x_2 = -2 $. Наконец, мы можем подставить эту информацию в первое уравнение, чтобы получить:
(11)\ begin {align} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 + (-2) = 4 \\ x_1 = 6 \ end {align}
Следовательно, у нас есть одно решение для нашей системы, а именно $ (x_1, x_2, x_3) = (6, -2, 4) $
Пример 1-го решения уравнения диффузии
Пример 1-го решения уравнения диффузииследующий: анализ устойчивости фон Неймана Up: Уравнение диффузии Предыдущая: Пример 1-мерной диффузии
Пример 1-го решения уравнения диффузии Давайте теперь решим уравнение диффузии в 1-d, используя конечную разность техника обсуждалась выше.Мы ищем решение уравнения. (191) в регионе , при условии начального состояние
(200) |
куда . Пространственные граничные условия:
(201) |
Конечно, мы можем решить эту проблему аналитически дать
(202) |
Обратите внимание, что приведенное выше уравнение описывает гауссовский пульс, который постепенно уменьшается по высоте и расширяется в ширину таким образом, что его площадь сохраняется.Ширина импульса варьируется примерно как
(203) |
Причем импульс приближается к -функции как .
На рисунке 71 показано сравнение аналитического и численного решений для расчет выполняется с использованием,,, , а также . Видно, что аналитическое и численное решения отлично согласуются.
Разумно ожидать, что при увеличении (, т.е. , пространственное разрешение увеличивается при фиксированном временном разрешении) числовое решение должно становиться все более и более точным. Это действительно так – по крайней мере, до тех пор, пока превышает критическое значение.За пределами этого значения есть катастрофический срыв численного решения. Эта разбивка проиллюстрирована на рис.72. Видно, что раствор развивает быстрорастущие коротковолновые колебания. Действительно, решение в конечном итоге становится фактически бесконечным. Разберемся с этим необычным и довольно тревожное явление.
следующий: анализ устойчивости фон Неймана Up: Уравнение диффузии Предыдущая: Пример 1-мерной диффузии Ричард Фицпатрик 2006-03-29
SCRF | Гауссовский.com
Примеры
PCM Energy. В общем, выход энергии из метода SCRF по умолчанию отображается в выходном файле обычным образом. Например, вот разделы выходного файла, содержащие прогнозируемую энергию из Хартри-Фока и из расчета MP2 PCM:
Расчет Hartree-Fock SCRF: SCF Выполнено: E (RHF) = -99,4687828290 A.U. после 8 циклов Convg = 0,2586D-08 -V / T = 2,0015 Расчет MP2 SCRF: E2 = -0.1192799427D + 00 EUMP2 = -0,99584491345297D + 02
Прогнозируемая энергия в решении включает все вычисленные поправки (в отличие от выходных данных Gaussian 03).
Могут появиться дополнительные выходные линии, если включены различные параметры PCM. Например, при вычислении HF SCRF = SMD получается следующий результат:
SCF Выполнено: E (RHF) = -99,4687828290 A.U. после 8 циклов Convg = 0,2586D-08 -V / T = 2,0015 SMD-CDS (неэлектростатическая) энергия (ккал / моль) = 0.54 (включено в общую энергию выше)
Для вычислений SCRF с внешней итерацией окончательная энергия вычисляется Link 124, который управляет внешней итерацией, и сообщается в отдельном разделе вывода, который появляется в самом конце выходного файла, как в следующем примере:
------------------------------------------------- ------------------- Самосогласованные результаты PCM ===========================(a.ед.) = -99,577537 (А) (а.е.) = -99,584002 (B) (Поляризованное растворенное вещество) -растворитель (ккал / моль) = -4,06 (C) -------------------------------------------------- ------------------ Разделение по сферам: Сфера на поверхности атома Заряд GEl GCav GDR 1 ч2 15,27 -0,157 -2,36 0,00 0,00 2 F2 32,58 0,157 -1,70 0,00 0,00 -------------------------------------------------- ------------------ Прогнозируемое значение энергии для внешней итерации и расчетов SCRF для конкретного состояния После поправок PCM энергия -99.5840023899 а.е. -------------------------------------------------- ------------------
Линия (A) показывает энергию, вычисленную с использованием волновой функции поляризованного растворенного вещества и гамильтониана газовой фазы, линия (B) показывает энергию, вычисленную с использованием волновой функции поляризованного растворенного вещества и гамильтониана в растворе, линия (C) сообщает энергию взаимодействия между поляризованным растворенным веществом. и растворитель, который соответствует интегралу <Ψ (f) | V (f) / 2 | Ψ (f)> (в ккал / моль), а последняя линия показывает прогнозируемую энергию с учетом всех поправок PCM.
Пример флуоресценции: Эмиссия (флуоресценция) из первого возбужденного состояния (n → π *) ацетальдегида
Здесь изучаем цикл:
Цикл возбуждения и выброса ацетальдегида
Основной интересующий процесс – это выбросы, но этот пример показывает, как изучить полный цикл, включая эффекты растворителя.
Шаг 1: Оптимизация геометрии основного состояния и частот (равновесная сольватация). Это стандартный расчет Opt Freq для основного состояния, включая равновесную сольватацию PCM.
% chk = 01-ac.chk # Opt Freq B3LYP / 6-31 + G (d, p) SCRF = (Растворитель = этанол) Geom = Связь Основное состояние ацетальдегида 0 1 С 1,18859424 -0,14489207 0,00000000 С -0,24504511 0,40764331 0,00000000 О -1,24669971 -0,28388776 0,00000000 H 1.17789510 -1.22999932 0.00000000 H 1.72039616 0.20716276 -0.88008651 Н 1.72039616 0.20716276 0,88008651 H -0,30638454 1,51026846 0,00000000 1 2 1,0 4 1,0 5 1,0 6 1,0 2 3 2,0 7 1,0 3 4 5 6 7
Вот энергия оптимизированной геометрии основного состояния в растворе:
SCF Выполнено: E (RB3LYP) = -153.851763001 A.U. после 1 цикла
Шаг 2: Вертикальное возбуждение с линейной сольватацией отклика. Это расчет вертикального возбуждения методом TD-DFT с сольватацией по умолчанию при геометрии равновесия в основном состоянии: i.е., линейный отклик, неравновесный. Мы выполняем одноточечный расчет TD-DFT, который по умолчанию предполагает неравновесную сольватацию. Результаты этого задания будут использоваться для определения того, какое состояние или состояния представляют интерес, и их упорядочения.
% oldchk = 01-ac % chk = 02-ac # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD = NStates = 6 SCRF = (Растворитель = этанол) Geom = Проверить предположение = Считать Поглощение ацетальдегида: вертикальные возбужденные состояния с линейным откликом 0 1
Результаты расчета дают разумное описание сольватации возбужденного состояния, но не так хорошо, как результаты расчета сольватации для конкретного состояния.В этом случае мы видим, что состояние n → π * является первым возбужденным состоянием. Далее мы будем использовать метод, зависящий от состояния, чтобы лучше описать шаг вертикального возбуждения.
Вертикальное возбуждение (поглощение) до первого возбужденного состояния в результате неравновесной сольватации, расчет линейного отклика:
Возбужденное состояние 1: Синглет-A "4,3767 эВ 283,28 нм f = 0,0000= 0,000
Таким образом, поглощение от основного состояния до первого возбужденного состояния находится на длине волны 283,28 нм (4,38 эВ), рассчитанной с помощью подхода линейного отклика.
Шаг 3. Сольватация вертикального возбуждения в зависимости от состояния. Для этого типа вычислений доступны два подхода: скорректированная линейная характеристика и внешняя итерация.
Подход с исправленным линейным откликом – это просто расчет TD-DFT вертикального возбуждения в равновесной геометрии основного состояния с неравновесной сольватацией (по умолчанию) с использованием опции CorrectedLR:
% oldchk = 01-ac % chk = 03-ac # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD = (NStates = 6, Root = 1) Geom = Проверить предположение = Прочитать SCRF = (Растворитель = этанол, скорректированный LR) Ацетальдегид: вычислить энергию первого возбужденного состояния с скорректированный метод линейного отклика, зависящий от состояния и неравновесная сольватация 0 1
Прогнозируемое вертикальное возбуждение (поглощение) до первого возбужденного состояния из-за неравновесной сольватации. Скорректированный расчет линейного отклика отображается в выходных данных следующим образом:
PCM Corrected Linear-Response - Неравновесная сольватация: Скорректированная энергия перехода = 4.3603 эВ Полная энергия после коррекции = -153,691525835 у.е.
Таким образом, поглощение от основного состояния до первого возбужденного состояния находится на длине волны 284,35 нм (4,36 эВ), рассчитанной с помощью подхода скорректированного линейного отклика.
Для подхода External Iteration требуются два шага задания: сначала выполняется расчет основного состояния с указанием опции NonEquilibrium = Save, чтобы сохранить информацию о неравновесной сольватации на основе основного состояния.Во-вторых, выполняется фактическое вычисление для конкретного состояния, считывается необходимая информация для неравновесной сольватации с использованием опции NonEquilibrium = Read и указывается файл контрольной точки из шага 1:
% oldchk = 01-ac % chk = 03-ac-EI # B3LYP / 6-31 + G (d, p) SCRF = (Растворитель = этанол, неравновесный = сохранить) Geom = Проверить догадку = Прочитать Ацетальдегид: подготовка к неэквивалентной сольватации в зависимости от состояния сохраняя реакционное поле растворителя из основного состояния 0 1 --ссылка1-- % chk = 03-ac-EI # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD (NStates = 6, Root = 1) Geom = Проверить предположение = Прочитать SCRF = (Растворитель = этанол, внешнее изменение, неравновесие = считывание) Ацетальдегид: считайте неэквивалентную сольватацию из основного состояния и вычислить энергию первого возбуждения с помощью внешней итерации метод, зависящий от состояния 0 1
Вот энергия первого возбужденного состояния – в оптимизированной геометрии для основного состояния – из расчета, специфичного для неравновесного сольватационного состояния:
После коррекции PCM энергия -153.687686675 а.е.
Вычитание этой энергии из энергии основного состояния (из шага 1) дает основное состояние для поглощения в первом возбужденном состоянии, включая поправку на сольватацию для конкретного состояния: при 277,70 нм (4,47 эВ).
Шаг 4: Расслабление геометрии возбужденного состояния. Затем мы выполняем оптимизацию геометрии TD-DFT с равновесной сольватацией линейного отклика, чтобы найти точку минимальной энергии на поверхности потенциальной энергии возбужденного состояния. Так как это оптимизация TD-DFT, программа по умолчанию использует равновесную сольватацию.Как типично для таких случаев, молекула имеет плоскость симметрии в основном состоянии, но симметрия нарушена в возбужденном состоянии, поэтому мы вычисляем силовые константы возбужденного состояния в исходной геометрии (CalcFC) и отключаем симметрию (NoSymm). . Мы извлекаем геометрию и другие данные из файла контрольной точки на шаге 2, чтобы начать оптимизацию:
% oldchk = 02-ac % chk = 04-ac # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD = (NStates = 6, Root = 1) SCRF = (Растворитель = этанол) Geom = Проверить предположение = Считать Opt = CalcFC Freq NoSymm Ацетальдегид: возбужденное состояние opt + freq Поскольку первое возбужденное состояние - А ", минимум нарушит симметрию Cs.0 1
Вот результаты для первого возбужденного состояния после оптимизации геометрии первого возбужденного состояния в растворе (равновесная геометрия):
Возбужденное состояние 1: Синглетный-? Sym 3,2075 эВ 386,54 нм f = 0,0014 ... 12 -> 13 0,70615 Это состояние для оптимизации и / или исправления второго порядка. Общая энергия, E (TD-HF / TD-DFT) = -153,705917055
Обратите внимание, что мы также включили расчет частот колебаний возбужденного состояния (Opt Freq).Таким образом, мы убедились, что геометрия, расположенная на этапе задания оптимизации возбужденного состояния, является минимальной. При желании результаты можно также использовать как часть расчета Франка-Кондона.
Шаг 5: Сольватация, зависящая от состояния выбросов. Подход с исправленным линейным откликом. Что касается шага 3, описанного выше, для этого типа вычислений доступны два подхода: скорректированная линейная характеристика и внешняя итерация. Начнем с подхода с исправленным линейным откликом. Мы вычисляем специфическую для состояния равновесную сольватацию возбужденного состояния в его равновесной геометрии, записывая данные сольватации для следующего шага с помощью опции NonEquilibrium = Save.Вот входной файл:
% oldchk = 04-ac % chk = 05-ac # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD = (Чтение, NStates = 6, Корень = 1) Geom = Проверить предположение = Чтение SCRF = (Растворитель = этанол, Скорректированный LR, Неравновесный = Сохранить) NoSymm Эмиссия ацетальдегида Скорректированная линейная характеристика специфическая сольватация в первом возбужденном состоянии оптимизированная геометрия 0 1
Вот энергия первого возбужденного состояния – в его оптимизированной геометрии – из равновесной сольватации. Скорректированный линейный отклик, зависящий от состояния:
PCM Corrected Linear-Response - Равновесная сольватация: Скорректированная энергия перехода = 3.1411 эВ Полная энергия после коррекции = -153,708357658 у.е.
Вот входной файл для подхода External Iteration :
% oldchk = 04-ac % chk = 05-ac-EI # B3LYP / 6-31 + G (d, p) TD = (Чтение, NStates = 6, Корень = 1) Geom = Проверить предположение = Чтение SCRF = (Растворитель = этанол, Внешнее изменение, Неравновесие = Сохранить) NoSymm Эмиссия ацетальдегида Внешняя итерация специфическая сольватация в первом возбужденном состоянии оптимизированная геометрия 0 1
Вот энергия первого возбужденного состояния – в его оптимизированной геометрии – из равновесной сольватации. Расчет, зависящий от состояния внешней итерации:
После коррекции PCM энергия -153.707149257 а.е.
Шаг 6: Эмиссия до конечного основного состояния. Наконец, мы вычисляем энергию основного состояния при неравновесной сольватации, в геометрии возбужденного состояния и при статической сольватации из возбужденного состояния. Используя подход с исправленным линейным откликом , мы вычисляем энергию основного состояния посредством вычисления неравновесной сольватации в растворе, используя оптимизированную геометрию для первого возбужденного состояния и поле реакции растворителя, находящееся в равновесии с плотностью первого возбужденного состояния, оба значения: по результатам предыдущего расчета возбужденного состояния откорректированной характеристики хвостовика.Вот входной файл:
% oldchk = 05-ac % chk = 06-ac # B3LYP / 6-31 + G (d, p) SCRF = (Растворитель = этанол, неравновесное состояние = считывание) Geom = Проверить догадку = Прочитать NoSymm Ацетальдегид: основное состояние неравновесного при геометрии возбужденного состояния. 0 1
SCF Выполнено: E (RB3LYP) = -153,822040461 A.U. после 10 циклов
Разница между энергиями на шагах 5 и 6 дает энергию вертикального излучения. В этом случае первое излучение возбужденного состояния в основное состояние, включая скорректированную коррекцию сольватации с линейным откликом, зависящую от состояния, находится на 400.79 нм (3,09 эВ).
Вот входной файл для подхода External Iteration , который аналогично считывает результаты предыдущего вычисления:
% oldchk = 05-ac-EI % chk = 06-ac-EI # B3LYP / 6-31 + G (d, p) SCRF = (Растворитель = этанол, неравновесное состояние = считывание) Geom = Проверить догадку = Прочитать NoSymm Ацетальдегид: основное состояние неравновесного при геометрии возбужденного состояния. 0 1
Вот прогнозируемая энергия с использованием подхода внешних итераций:
SCF Выполнено: E (RB3LYP) = -153.822031895 A.U. после 10 циклов
Разница между энергиями на шагах 5 и 6 дает энергию вертикального излучения. В этом случае первое излучение возбужденного состояния в основное состояние, включая поправку на сольватацию, специфичную для внешнего итерационного состояния, находится на 396,61 нм (3,13 эВ).
Шагов 1, 2 и 4 будет достаточно для вычисления энергии возбуждения и излучения в газовой фазе. Их недостаточно, когда учитываются эффекты растворителя, потому что энергии, вычисленные на этапе 4, соответствуют полю реакции растворителя основного состояния, в то время как излучение происходит в поле реакции, созданном в ответ на распределение заряда возбужденного состояния.Это то, что правильно учитывается в шагах 5 и 6.
Если необходимо рассчитать форму полосы, то в газовой фазе можно просто запустить расчет с Freq = (ReadFC, FC, Emission), предоставив файл контрольной точки из шага 1 в качестве основного файла контрольной точки для задания и предоставив имя файла контрольной точки из шага 5 во входном потоке, чтобы указать другое состояние. Для формы сольватированной полосы необходимо выполнить Freq = (ReadFC, FC, Emission, ReadFCHT), используя файлы контрольных точек для шагов 1 и 5, а также указав энергию излучения для конкретного состояния во входной секции для расчета Franck-Condon.
Матрица: метод исключения по Гауссу – определение, решенные примеры задач
Метод исключения по Гауссу
Этот метод может применяться, даже если матрица коэффициентов сингулярная матрица и прямоугольная матрица. По сути, это метод подмена, которую мы уже видели. В этом методе мы преобразуем дополненная матрица системы линейных уравнений в строчно-эшелонированную форму и затем путем обратной подстановки мы получаем решение.
Пример 1.27
Решите следующую систему линейных уравнений по Гауссу метод исключения:
4 х + 3 y + 6 z = 25, x + 5 y + 7 z = 13, 2 x + 9 y + z = 1.
РешениеПреобразуя расширенную матрицу в эшелонированную форму, получаем
Эквивалентная система записывается с использованием эшелонированной формы:
x + 5y + 7z = 13,… (1)
17y + 22z = 27,… (2)
199z = 398.… (3)
Подстановка z = 2, y = -1 в (1), получаем x = 13 – 5 × (−1) – 7 × 2 = 4.
Итак, решение (x = 4, y = – 1, z = 2).
Примечание. Указанный выше метод выхода из последнее уравнение к первому уравнению называется методом обратной подстановки .
Пример 1.28Скорость подъема v ( t ) ракеты в момент времени t аппроксимируется выражением v (t) = at 2 + bt + c, 0 ≤ t ≤ 100, где a, b и c – константы.Это Было обнаружено, что скорость в моменты времени t = 3, t = 6 и t = 9 секунд равна соответственно, 64, 133 и 208 миль в секунду соответственно. Найдите скорость на время t = 15 секунд. (Используйте метод исключения Гаусса.)
Поскольку v (3) = 64, v (6) = 133 и v (9) = 208, получаем следующую систему линейных уравнений
9a + 3b + c = 64,
36a + 6b + c = 133,
81a + 9b + c = 208.
Решаем указанную выше систему линейных уравнений с помощью гауссова метод устранения.
Приведение расширенной матрицы к эквивалентной строчно-эшелонированной форме с помощью используя элементарные операции со строками, получаем
Записывая эквивалентные уравнения из матрицы строк, мы получить
9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, с = 1.
При обратной подстановке получаем
Итак, получаем v (t) = 1/3 t 2 + 20t + 1.
Следовательно, v (15) = 1/3 (225) + 20 (15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376
Системы уравнений
Решение одновременных уравнений может быть выполнено довольно легко методом исключения.
Однако их также можно решить с помощью матриц.
Пример
топор + by = e
cx + dy = f
может быть представлено
Ax = b
Где
так (теперь в скобках)
Это может быть сокращено до
расширенная матричная форма
комбинируя A и b
, который затем позволяет использовать элементарные операции со строками,
привести уравнения к верхнетреугольной форме.
или продолжить и решить
Затем преобразование матрицы дает
Элементарные операции со строками
- Порядок уравнений можно переключать.
- Уравнение можно умножить на константу.
- Уравнения можно складывать или вычитать.
Пример
2x + 3y = 7
3x + 4y = 6
может быть представлено
Дополненная форма
Исключение Гаусса
Система уравнений
можно записать в виде
Ax = b
или в дополненной форме
Процесс редукции системы уравнений
к верхней треугольной форме, затем обратная замена для решения,
называется исключением Гаусса.
Избыточная строка указывает на отсутствие уникального решения,
общее решение существует.
Непоследовательная строка означает, что решения не существует.
Небольшие изменения коэффициентов, ведущие к большим изменениям
в решении указывают на плохо подготовленную систему.
Пример
Решите систему уравнений
х + 2у + г = 14
3x – y – 4z = 7
-x + y + 3z = 2
В дополненной форме
На этом этапе может происходить обратное заполнение.
В строке 3 дан z = 1
.
Строка 2: y + z = 5, поэтому y +1 = 5, т.е. y = 4
.
В строке 1 даны x + 2y + z = 14,
.
поэтому x + 2×4 + 1 = 14, что дает x = 5
Как вариант, матрица может быть продолжена.
Решение
Пример
Решите систему уравнений
2x + y – 2z = 5
3x + 2y + 5z = 5
4x + 2y – 4z = 10
Щелкните, чтобы открыть таблицу для расчета системы 3×3
Метод исключения Гаусса может быть использован для нахождения обратной матрицы.