решаем системы линейных алгебраических уравнений (слау)
В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .
метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы.
В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8
Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решить систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:
1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие
2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения.
Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.
Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.
Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.
Пример 10
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы.
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце
В нашем калькуляторе вы бесплатно найдете решение системы линейных уравнений методом Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами .
Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции .
О методе
При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие шаги.
- Записываем расширенную матрицу.
- Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
- Для нахождения i-ого корня подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место и находим ее определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть очередное решение. Проделываем данную операцию для каждой переменной.
- В случае, если основной определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений. К сожалению метод Крамера не позволяет более точно ответить на этот вопрос. Тут вам поможет
С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).
Теорема Крамера.
Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :
где Δ – определитель матрицы системы ,
Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.
Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.
Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.
Описание метода Крамера.
Есть система уравнений:
Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.
Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:
Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна.
Теперь составим 3 дополнительных определителя:
,,
Решаем систему по формулам Крамера :
Примеры решения систем уравнений методом Крамера.
Пример 1 .
Дана система:
Решим ее методом Крамера.
Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:
Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:
Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:
Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .
метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .
Корни уравнения находим по формулам:
,
Пример 7
Решить систему линейных уравнений
Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой.
Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.
Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.
;
;
Ответ : ,
Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» .
В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8
Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9
Решить систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет единственное решение.
Ответ : .
Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.
Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:
1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).
2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения.
Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.
Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.
Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.
Пример 10
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.
Решение системы с помощью обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы.
По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце
В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение . Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам
(2.
5)
где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .
Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя
Получаем
Используя
понятие алгебраического дополнения
можно сформулировать теорему
о разложении определителя n -го
порядка по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:
т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
2.
5. Основные свойства определителейРазлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.
Свойство
1 . Определитель
не изменится, если в нем поменять местами
строки и столбцы, т.
е. при транспонировании
матрицы :
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .
Например,
Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .
Свойство
4 . Определитель
не изменится, если к элементам одной
строки (столбца), прибавить элементы
другой строки (столбца), умноженной на
какое-либо число .
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
Правило Крамера, Mathematics By Unacademy
Правила Крамера названы в честь Габриэля Крамера, который изобрел правило Крамера в 1750-х годах для нахождения решения линейной системы, содержащей такое же количество переменных и одинаковое количество уравнений. Этот метод обычно используется для вычисления значения какой-либо конкретной переменной без выяснения других переменных или решения всей системы. Это одно из самых важных правил в математике. Правило Крамера включает в себя применение матриц и определителей для решения линейных уравнений и поиска уникальных решений системы.
Правило Крамера для двух переменных
Рассмотрим систему двух переменных
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Шаг 1. Преобразуйте систему в матричный вид, где A есть AX = B, где A есть AX = B, матрица коэффициентов, X — переменная матрица, B — постоянная матрица.
(Матрица коэффициентов – это матрица, которая содержит только коэффициенты переменных в данной системе линейных уравнений. Матрица переменных, как следует из названия, имеет только переменные. Матрица постоянных содержит постоянные члены, заданные в системе линейных уравнений. .)
Шаг 2. Найдите определитель (D) системы A, найдите определители Dx и Dy, где Dx – определитель системы A, когда элементы B заменяют первый столбец, Dy – определитель системы B, когда элементы B заменяют второй столбец.
Примечание. Определитель системы A не должен быть равен нулю ( D ≠ 0 ).
Шаг 3. Чтобы узнать значение переменных x и y, проделаем следующие шаги:
x = Dx/D
y = Dy/D
Пример:
Правило Крамера для трех переменных
Рассмотрим систему трех переменных x, y и z.
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
матрица, X — переменная матрица, B — постоянная матрица.
Шаг 2: Найдите определитель (D) системы A, найдите определители Dx, Dy и Dz, где Dx — определитель системы A, когда элементы B заменяют первый столбец, Dy — определитель системы A, когда второй столбец заменяется элементами B, а Dz является элементом, определяющим систему A, когда элементы B заменяют третий столбец.
Шаг 3: Найдите значения переменных x, y и z (когда D ≠ 0)
x = Dₓ/D
y = Dᵧ/D
z = Dz/D
Пример :-
4x + 2y + 2z = 6
2x – 2y – 2z = 0
2x + 4y + 2z = 0
- Сначала преобразуем в линейную систему B, преобразуем
- Найдите определители D, Dx, Dy и Dz, используя свойства определителя.
D=
i) D = 4[ (-2)2 – (-2)(4) ] – 2[ 2(2) – (-2)2 ] + 2[ 2(4) – ( -2)(2) ]
= 4(-4 -(-8)) -2( 4+4) +2( 8+4)
= 4(4) -2(8) +2(12 )
Dx =
= 16 – 16 + 24
= 24
ii) Dx = 6[ (-2)2 – (-2)(4) ] – 2[ 0(-2) – 0(-2) – 0 2) ] + 2[ 0(4) – (0)(-2) ]
= 6(-4 +8) -2 (0) + 2(0)
Dy =
= 6(4) +0 + 0
= 24
iii) Dy = 4[ (0)(-2) – (-2)(0) ] – 6[ 2(2) – (-2)(2) +] 2[ (2)(0) – (2)(0) ]
= 4(0) -6(4 + 4) + 2(0)
Dz =
= 0 – 48 +0
= -48
iv) Dz = 4[ (-2)(0) – (4)(0) ] – 2[ (2)(0) – (2)(0) ] + 6[ (2)(4) – (-2)(2) ]
= 4(0) -2(0) + 6(8+4)
= 0 + 0 +72
= 72
x = Dx/D = 24/24 = 1
y = Dy/D = -48/24 = -2
z = Dz/D = 72/24 = 3
3 Итак , мы видим, что значения x, y и z равны 1, -2 и 3 соответственно.
Условия правила Крамера
При использовании правила Крамера с тремя переменными для решения заданной системы уравнений необходимо выполнить несколько требований. Правило Крамера применимо только тогда, когда квадратная матрица образует линейные уравнения. Вот некоторые из наиболее заметных из них:
Поскольку D должно быть в знаменателе, чтобы обнаружить значения неизвестных, правило Крамера не работает в случае системы уравнений, в которой D = 0, поскольку значения неизвестных становятся неопределимыми.
Кроме того, когда D = 0, будет две альтернативы для выбора:
i) Возможно, что система не даст решения.
ii) система может иметь бесконечное количество решений.
В результате мы можем заключить, что либо хотя бы один из определителей числителя равен 0 (что указывает на неограниченное число решений), либо что ни один из определителей числителя не равен 0 (что означает отсутствие решения).
Если D меньше нуля, мы можем утверждать, что AX = B имеет единственное решение.
Следовательно, правило Крамера помогает нам определить, имеет ли конкретная система «нет решений» или «неограниченное количество решений», используя определители, которые мы вычисляем, чтобы применить правило к рассматриваемой системе.
Заключение
Правило Крамера по трем переменным используется для нахождения единственного решения линейных уравнений, содержащих три переменные. Существенным требованием является то, что матрица коэффициентов не должна иметь значение определителя, равное 0. Используя этот метод, мы можем вычислить значение любой одной переменной, не вычисляя значения всех трех переменных. Следовательно, это облегчает нашу работу. Мы используем понятие определителей, чтобы применить это правило.
Крамер | Аудиовизуальные решения
Мы прилагаем все усилия, чтобы сделать ваш опыт еще лучше
Добро пожаловать на новый сайт Kramer!
Мы так рады видеть вас.
В настоящее время мы расширяем этот сайт, чтобы предоставить вам новый и ценный контент. Работа над ним еще не завершена, поэтому иногда вы будете перенаправлены обратно на предыдущий сайт, в зависимости от посещенных вами страниц.
Извините за неудобства — мы стараемся сделать переход как можно более плавным.
А пока вот несколько полезных ссылок:
Авторизоваться Офисы Продукты Служба поддержки Академия КрамераСпасибо за понимание!
Команда Kramer
Мы — Kramer, и мы даем новое определение тому, как люди взаимодействуют с миром.
Наши технологии способствуют творчеству, продуктивности, самовыражению и взаимодействию, и наши люди являются краеугольным камнем этого обещания.
это мы
Мы появляемся с наглостью и бросаем вызов, не просто разрушая, но способствуя улучшению и прогрессу
Глобальное присутствие
Наши аудиовизуальные эксперты со штаб-квартирой в Тель-Авиве, Израиль, и офисами по всему миру разрабатывают технологии взаимодействия будущего.
Найди своего КрамераЧто мы должны сказать
Мы доверяем друг другу.
Мы расширяем возможности друг друга. Мы говорим от всего сердца и всегда делаем все возможное для наших клиентов и коллег.
Присоединяйтесь к Kramers
Kramer — это место, где люди, идеи и технологии объединяются, создавая интересные связи, яркие впечатления и реальное влияние на человека.
Присоединяйтесь к намОбразование
Предприятие
Правительство и оборона
Простота на каждом шагу
Повышайте вовлеченность в каждое образовательное пространство
Kramer предлагает студентам и преподавателям возможность выйти за пределы классной комнаты, лаборатории или лекционного зала, предоставляя бесконечные возможности для преподавания и обучения.
Мы предлагаем всем возможность представлять, делиться и сотрудничать, где бы они ни находились. Технология Kramer подходит для любой образовательной среды в любой точке мира и может облегчить все мыслимые возможности обучения.
Мощный помощник для работы
Предоставление людям возможности общаться и работать вместе с уверенностью
Kramer дает возможность людям и организациям общаться, совместно работать над идеями и обмениваться мнениями. Технология Kramer проста в установке, интуитивно понятна в использовании и помогает людям с полной уверенностью появляться на встречах, презентациях и конференциях. Аудиовизуальные возможности Kramer ориентированы на будущее и соответствуют ожиданиям полностью гибридного сотрудничества и связи.
Полная безопасность, отсутствие простоев и задержек
Защищенные и надежные решения для критически важных сред
Компания Kramer, основанная в Израиле и имеющая офисы по всему миру, вот уже более 40 лет обеспечивает аудиовизуальные возможности правительственных и оборонных организаций. Благодаря нашему обширному опыту в вопросах национальной безопасности и нашему владению передовыми и безопасными технологиями, мы обеспечиваем безопасность, конфиденциальность, качество и надежность, которые необходимы сегодняшним лицам, принимающим решения, для уверенного мониторинга, управления и контроля организаций даже в самых непредсказуемых обстоятельствах. .
Наши решения для государственных учрежденийТематические исследования
Что наши клиенты думают о нас
Надежность, долговечность, качество и сервис делают Kramer правильным выбором для суда по делам о банкротстве Флориды
Компания FLMB модернизировала свои AV-системы, чтобы обеспечить дистанционное прослушивание и операции с видео с более высоким разрешением, масштабированием и качеством для лучшей поддержки BYOD.