Решение онлайн дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде: (1).В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: – его общий интеграл.

Пример: найти общий интеграл уравнения: .

Решение: данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Поэтому илиОбозначим. Тогда– общий интеграл дифференциального уравнения.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид (2).Уравнение (2) легко сводиться к уравнению (1) путем почленного деления его на . Получаем:– общий интеграл.

Пример: Решить уравнение .

Решение: преобразуем левую часть уравнения: . Делим обе части уравнения наРешением является выражение:т.е.

Однородные дифференциальные уравнения.

Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида называетсяоднородным, если и– однородные функции одного порядка (измерения). Функцияназывается однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множительвся функция умножиться на, т.е.=.

Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки()однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде.

Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки().

Пример:

проинтегрировать уравнение .

Полагаем . Тогда , т.е. . Сначала решаем уравнение=0:.

Теперь решаем уравнение т.е.. Итак, общее решение данного уравнения естьт.е.

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида , гденазываетсяуравнением Бернулли.Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1), гдеипостоянны.

Частные решения уравнения (1) будем искать в виде , где

к – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения дляв уравнение (1), получимт.е.или(2)().

Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.

Случай 1.Корнииуравнения (2) действительные и различные:. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид.

Случай 2.Корнииуравнения (2) действительные и равные:. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид.

Случай 3.Корнииуравнения (2) комплексные:,. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример. Решить уравнение .

Решение: составим характеристическое уравнение:. Тогда. Общее решение данного уравнения.

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных

Определение.

Точка М (х_о,у_о) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполня­ется неравенство ()

На рис. 1 точка А— есть точка минимума, а точка В—точка максимума.

Необходи­мое условие экстремума — многомерный аналог теоре­мы Ферма.

Теорема. Пусть точка – есть точка экстре­мума дифференцируемой функ­цииz=f

(x, у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстрему­ма функции z=f(x, у), т.е. частные производные z‘_x и z‘_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходи­мое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. изображена так называемая седловая точка М (х_о,у_о

). Частные производные и равны ну­лю, но, очевидно, никакого экс­тремума в точке М(х_о,у_о) нет.

Такие седловые точки явля­ются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от то­чек экстремума. Иными слова­ми, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух пере­менных). Пусть функция z=f(

x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической точки (х_о,у_о), в которой =0 и =0;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные вто­рого порядка;;Тогда, если ∆=АС— В² >0, то в точке (х_о,у_о) функ­ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС— В²

<0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если ∆=АС— В²=0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум реко­мендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции z‘_x и z‘_y.

2. Решить систему уравнений z‘_x =0, z‘_y =0 и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. 1. Находим частные производные

2. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; —1), (—1; 1) и (—1; -1).

3. Находим частные производные второго порядка:

;;, вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выпол­нение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) A=z“(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆= АС— В² = (-1)²-0=1 >0 и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) — точка минимума, а в точках (1; —1) и (—1; 1), в которых ∆=АС— В² <0, — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4.

Находим экстремумы функции z_max = z(l; 1) = 2, z_min = z(-l; -1) = -2,

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области опреде­ления, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравне­нием связи.

Определение. Точка называется точкой

условного мак­симума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворя­ющих условию g (x,y) = С, выполняется неравенство

().

На рис. изображена точка условного максимума .Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции z = f(x,y) (на рис. это точка ).

Наиболее простым способом нахождения условного экстре­мума функции двух переменных является сведение задачи к оты­сканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи g (x,y) = С удалось разрешить относи­тельно одной из перемен­ных, например, выразить у через х: .Подста­вив полученное выражение в функцию двух перемен­ных, получим z = f(x,y) =, т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет услов­ным экстремумом функ­ции z = f(x,y).

Пример. Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное в функциюz. Получим z=x²+2илиz =.Эта функция имеет единственный минимум при = 3. Соответствующее значение функции Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С оказа­лось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относи­тельно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае исполь­зуется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множите­лем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка является точкой условного экс­тремума функцииz = f(x,y) при условии g (x,y) = С, то существует значение такое, что точкаявляется точкой экстре­мума функцииL{x,y, ).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функ­ции z = f(х,у) при условии g(x,y) = С требуется найти решение системы

На рис. показан геометрический смысл условий Ла­гранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g(x,y) = Q функции z = f(x,y) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f(x,y) касает­ся линии g(x,y) = С.

Пример. Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11, ис­пользуя метод множителей Ла­гранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа L = х² + 2у² +

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение (х=3, у=1, =—2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Не­трудно убедиться в том, что в этой точке функция z=f(x,y) имеет условный минимум.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Стр 1 из 6Следующая ⇒ Сведения из теории Сделаем в уравнении замену переменных: введем новую неизвестную функцию , связанную с искомой функцией соотношением , где – дифференцируемая функция. Подставляя выражения и через в (3.1), получим для нахождения уравнение вида , которое при удачном выборе замены может оказаться «проще» первоначального. Например, уравнение   заменой переменной сводится к уравнению с разделяющимися переменными .   Примеры решения задач 3.2.1.Решить уравнение . ◄ Введем новую неизвестную функцию . Выразим и через z: . Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными. . . – общее решение уравнения.► 3.2.2.Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . ◄ Так как , то естественно сделать замену . Для функции получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и начальное условие . Разделяем переменные: , , интегрируем: , выражаем z, а затем и y через x , , , , , – искомое решение.►   3.3. Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения. 3.3.1. . 3.3.2. . Указание: Сделать замену . 3.3.5. . Указание: . 3.3.3. . 3.3.4. . Указание: Поскольку , то рекомедуется сделать замену . 3.3.6. . Указание: .   Однородные уравнения Сведения из теории Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде     называется однородным. Оно сводится заменой переменной к уравнению с разделяющимися переменными для функции . . Важным примером однородного уравнения является уравнение, правая часть которого – отношение однородных многочленов относительно и одного порядка . Оно приводится к виду , если числитель и знаменатель разделить на .   Примеры решения задач 4.2.1.Решить уравнение . ◄ Правая часть уравнения – отношение однородных многочленов 2-го порядка. Разделив числитель и знаменатель на , получим – однородное уравнение. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение с разделяющимися переменными: – общий интеграл. ►   4.2.2.Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию . ◄ Приведем уравнение к нормальному виду . Так как х и у входят в правую часть только в виде отношения , то это – однородное уравнение. Делаем замену , . Для функции получаем уравнение и начальное условие . Разделяем переменные: , ; ; , и потому – искомое решение. ►   4.3. Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения. 4.3.1. . 4.3.2. . 4.3.3. . 4.3.4. . 4.3.5. . 4.3.7. . 4.3.6. . 4.3.8. . Линейные уравнения ПЕРВОГО порядка Сведения из теории Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, называется линейным, если его правая часть – линейная функция от .   При получаем линейное однородное уравнение   .   Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение ,   где – одна из первообразных функции . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти одним из следующих методов.   1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения . Решение неоднородного уравнения ищем в виде ,   получающемся из заменой постоянной на функцию . Подставляя в уравнение , получаем для новой неизвестной функции уравнение . Интегрируя, находим     Подставляя в , получаем общее решение уравнения .   Метод Бернулли. Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя в уравнение , получим . Перепишем это уравнение в виде   .   Подберем так, чтобы скобка в уравнении обратилась в нуль. Для этого нужно найти какое-нибудь частное решение уравнения с разделяющимися переменными . Подставляя в , получим уравнение с разделяющимися переменными для функции .   Интегрируя, находим его общее решение . Перемножая найденные значения и , получим общее решение неоднородного уравнения .   Примеры решения задач 5. 2.1.Решить уравнение .   ◄ Уравнение записано в нормальной форме. Его правая часть является линейной функцией аргумента у. Следовательно, уравнение – линейное. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения . . . Решение неоднородного уравнения ищем в виде , где – новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение , получим . Итак, общее решение , где справа буквой С обозначена, как и везде, произвольная постоянная. После преобразований запишем его в виде . ►   5.2.2.Решить задачу Коши . ◄ – линейное уравнение. Решаем методом Бернулли: . Подставляя и в исходное уравнение, получаем . Сгруппируем члены, содержащие в качестве множителя .   Приравняем скобку к нулю и решаем полученное уравнение.   .   Поскольку нам нужно только частное решение уравнения , то примем , тогда . Подставляя в уравнение , получим . Перемножая u и v, находим общее решение . Подставляя в общее решение начальные значения и , получим . Искомое решение .► 5.3. Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения. 5.3.1. . 5.3.2. . 5.3.3. . 5.3.4. . 5.3.5. . 5.3.6. . 5.3.7. . 5.3.8.   5.3.9.Известно, что сила тока в цепи, имеющей сопротивление , самоиндукцию удовлетворяет уравнению , где – электродвижущая сила. Найти силу тока , если , в случаях а) , б) . УравнениЯ Бернулли Сведения из теории Уравнение Бернулли – это уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид , . Методы решения те же, что и для линейного неоднородного уравнения, являющегося частным случаем уравнения Бернулли при .   Примеры решения задач 6.2.1.Решить уравнение Бернулли . ◄ Решаем методом Бернулли , . Подберем v, так чтобы . Тогда . Возьмем . Подставляя в уравнение, получаем для функции u уравнение с разделяющимися переменными – общее решение.► 6.3. Задачи для самостоятельного решения   Решить уравнения. 123456Следующая ⇒ Читайте также:  Организация работы процедурного кабинета Статус республик в составе РФ Понятие финансов, их функции и особенности Сущность демографической политии 

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 3426; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.022 с.)

Однородные уравнения первого порядка

Понятие однородного уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.

Зависимость функции от отношения $\frac{y}{x} $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} $. Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} =\frac{t\cdot y}{t\cdot x} \cdot \cos \frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.

Общий метод решения

Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac{y}{x} =u$, где $u=u\left(x\right)$ — новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.

Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \frac{dx}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u$. Подставим $y$ и $\frac{dy}{dx} $ в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot x+u=f\left(u\right)$.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{f\left(u\right)-u}{x} $, где $f_{1} \left(x\right)=\frac{1}{x} $ — функция, зависящая только от $x$, и $f_{2} \left(u\right)=f\left(u\right)-u$ — функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала вычисляем интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_{1} =\int \frac{1}{x} \cdot dx=\ln \left|x\right| $. Теперь записываем интеграл $I_{2} =\int \frac{du}{f_{2} \left(u\right)} $. Получаем: $I_{2} =\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $. Общее решение записываем в форме $I_{2} =I_{1} +C$, то есть $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\right|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$. При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$.

Окончательно получаем: $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\cdot C\right|$. После вычисления интеграла $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и замены $u$ на $\frac{y}{x} $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

1. В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
3. Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$.
4. Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
5. Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.

Решение типичных задач

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+\frac{y}{x} $.

По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.

Для функции $f (x/y)=2+\frac{y}{x} $ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac{u\cdot x}{x} =2+u$. Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$.

Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{2} =\frac{u}{2} $.

Записываем общее решение в виде $\frac{u}{2} =\ln \left|x\cdot C\right|$.

Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $\frac{y}{2\cdot x} =\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$.

Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y’=5\cdot y+x$.

Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5\cdot \frac{y}{x} +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.

Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac{y}{x} +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac{u\cdot x}{x} +1=5\cdot u+1$. {5} $.

Уравнения, приводящиеся к однородным

При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=\frac{a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y+c_{1} }{a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y+c_{2} } $, в котором $a_{1} $, $b_{1} $, $c_{1} $, $a_{2} $, $b_{2} $, $c_{2} $ — постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.

Если $\Delta \equiv \left|\begin{array}{cc} {a_{1} } & {b_{1} } \\ {a_{2} } & {b_{2} } \end{array}\right|\ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, где постоянные $\alpha $ и $\beta $ следует выбрать как результат решения системы $\left\{\begin{array}{c} {a_{1} \cdot \alpha +b_{1} \cdot \beta =-c_{1} } \\ {a_{2} \cdot \alpha +b_{2} \cdot \beta =-c_{2} } \end{array}\right. $.

Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.

Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac{dn}{dm} =\frac{a_{1} \cdot m+b_{1} \cdot n}{a_{2} \cdot m+b_{2} \cdot n} $, которое является однородным.

Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений с разделителями

Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора дифференциальных уравнений с разделителями

. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

0006 D

F

G

M

N

U

V

W

x

Y

Z

.

(◻)

+

–

×

◻/◻

/

÷

◻ ²

◻ ^◻

√◻

√

^◻ √ ◻

^◻ √

∞

e

π

ln

log

log _◻

LIM

D/DX

D ^□ _x

∫

∫ ^◻

| ◻ |

θ

=

>

<

>=

<=

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

асек

акск

Sinh

COSH

TANH

COOTH

SECH

CSCH

ASINH

ACOSH

ATANH

ACOTH

ASECH

ACSCH

669

ASECH

ACSCH

6666

ASECH

6

Пример

Решенные проблемы

Сложные задачи

1

Пример решения разделимых дифференциальных уравнений

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$ 92+C_0}$

Проблемы с математикой?

Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!

Элементарные дифференциальные уравнения

Математика 340 Дом, Содержание учебника, Домашнее задание онлайн Домашний номер

---

Предупреждение: MathJax требует JavaScript для обработки математики на этой странице.
Если ваш браузер поддерживает JavaScript, убедитесь, что он включен.

---

92}{2}+С). $$ Вы можете проверить, что это решение дифференциального уравнения. Этот процесс должен немного беспокоить. $dy/dx$ — это обозначение для производная $y$ по отношению к $x$, но члены $dy$ и $dx$ являются лишь частью обозначение и не имеют самостоятельного значения. Но мы просто манипулировали ими, как и любыми другими алгебраическая величина. Можно доказать, что данная техника будет всегда работает, но я не буду вдаваться в подробности (если вам интересно, загляните как-нибудь в мой офис). $dy$ и $dx$ называются дифференциалы . Мы будет часто находят удобным оперировать дифференциалами, а не целыми производными; вот почему предмет называется дифференциальными уравнениями, а не производные уравнения. Это манипулирование дифференциалами можно рассматривать как полезная мнемоника, чтобы помнить, как решать эти уравнения. Тот факт, что «очевидные» манипуляции дают правильные ответы — это большая часть причина почему была принята нотация $dy/dx$. {2C}$). Это общее решение; это решение с одной произвольной константой k, к уравнению первого порядка. Но это не дает всех решений! Вы можете быстро проверить, что $y = -1$ является решением, но нет такого выбора $k$, который дает это решение. Решение, не являющееся частью общего решения, называется 9C$, не должно быть случай, когда $k=0$. Это пример сингулярного решения для неявное решение снова появляется в явном решении. В основном мы потеряли решение с помощью небрежных алгебраических манипуляций при поиске неявного решения но мы вернули его, произведя небрежные алгебраические манипуляции (положив $k=0$) при нахождении явного решения. Этот счастливый случай не редкость, и я не будет комментировать это в будущем. Следует отметить, что сингулярные решения реальные решения и столь же естественны, как и общее решение. различие между сингулярным и общим решением является просто алгебраическим различие. 9С) \end{выравнивание} $$ ШАГ 4: Проверка на сингулярные решения.

Мы поделили на $y$, и $y=0$ явно является решением. Но это уже часть общее решение с $k=0$, поэтому особых решений нет.

Пример

Найдите все решения $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\cos(x)\cos(y)+\cos(y)$

Шаг 1: $\displaystyle\frac{dy}{\cos(y)}=(\cos(x)+1)\,dx$

Шаг 2: $\ln|\sec(y)+\tan(y)|=\sin(x)+x+C$

Шаг 3: Я не могу начать решать это за $y$, поэтому я просто оставлю это с в неявное решение.

Шаг 4: Мы разделили на $\cos(y)$ и $\cos(y)=0$, когда $y=(2n+1)\pi/2$ с $n$ любое целое число. Это все решения, как вы должны проверьте, и ни один из них не является примером общего решения, поэтому все они единичные решения.

Вы можете сгенерировать дополнительные примеры начального значения задачи для сепарабельных уравнений первого порядка здесь.

---

Если у вас возникли проблемы с этой страницей, свяжитесь с нами bennett@math. ksu.edu.
© 2010, 2014 Эндрю Г. Беннетт

MAT 2680 Дифференциальные уравнения | «Чем он отличается от камней».

Опубликовано 26 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставьте комментарий

Привет всем,

Окончательные оценки за курс отправлены в CUNYFirst, и вы можете найти подробную разбивку вашей оценки (включая итоговую оценку за экзамен, оценку за проект «Учебное пособие» и т. д.) на странице ОЦЕНКИ.

Желаю вам всего наилучшего в ваших будущих начинаниях – было очень приятно работать с вами в этом семестре. 9(4))….. = 0
Теперь примем равным 0
2a2 + 2a1 + a0 =0
6a3 + 4a2 + a1 = 0
12a4 + 6a3 + a2 = 0

Помните y (0) =0 и y'(0)=2
Y(0) = 0 = a0
Y'(0)= 2 = a1
Теперь, зная, что мы подставим a0 и a1
2a2 + 2(2) + 0 =0
2a2 + 4 =0 2a2 =-4 a2 =-2

Опубликовано 20 мая 2015 г. автором Aayush | 1 комментарий

Преобразование Лапласа является важным методом в дифференциальных уравнениях, а также широко используется в электротехнике для решения линейного дифференциального уравнения. Преобразование Лапласа берет функцию, область определения которой находится во времени, и преобразует ее в функцию комплексного частота. 92 Y(s)-sy(0)-y'(0)

2) Как только мы применим правильное преобразование Лапласа к нашей функции, мы применяем начальное условие

3) Затем, поскольку мы не можем найти y(t ) непосредственно, мы находим Y(s), что является преобразованием Лапласа y(t)

4) Как только мы находим Y(s), нам может понадобиться разбить уравнение на частичную дробь в зависимости от знаменателя. в знаменателе должен быть только один член, а в числителе не должно быть «s». (см. прилагаемое изображение диаграммы «Фактор в знаменателе»)

5) Выполним обратное преобразование Лапласа, чтобы получить y(t)

 

Теперь, чтобы применить эти шаги,

Возьмем, например, 2y’-y = 1 ; y(0) = 0

1) Примените преобразования. (1/2t)-1 94)

Я надеюсь, что ссылка на видео и изображения будет полезной.

https://www.khanacademy.org/math/дифференциальные-уравнения/laplace-transform/laplace-transform-to-solve- Differential-equation/v/laplace-transform-to-solve-an-equation

 

 

 

 

 

Опубликовано 18 мая 2015 г. Дэниелом Вонгом | 1 комментарий

Существует несколько улучшений метода Эйлера: обратный метод Эйлера и Метод Рунге-Кутты (о Улучшенном методе Эйлера см. сообщение BingJing Zheng Улучшенный метод Эйлера ).

Обратный метод Эйлера с примером

Вспоминая, что в методе Эйлера точка приближается по наклону предыдущей точки. Это дает уравнение , где функция f представляет наклон или y'(t), а h представляет собой размер шага. Это оказывается довольно неточным, поскольку наклон в новой точке не будет таким же, как в предыдущей точке. В обратном Эйлере рассматривается тот же сценарий, но учитывается линия, соединяющая две точки. Вместо того, чтобы брать наклон в предыдущей точке, берут наклон в новой точке. Это дает уравнение для обратного метода Эйлера.

Пример: приведен примерно y (1)

Найти y при T = 0

Приведен: на T = 0, Y = 1

66. = 0,5

при T = 0,5,

при T = 0,5,

при T = 0,5,

при T = 0,5,

на T = 0,5,

. г в т = 1

в T = 1,

AT T = 1,

AT T = 1,

AT T = 1,

AT T = 1,

5355 3 5 3 5 3

3. Метод с примером

Как и в усовершенствованном методе Эйлера, пытаются найти лучшее соответствие определенному интегралу кривой. Один использует идею о том, что парабола будет покрывать наибольшую площадь под кривой (по сравнению с прямоугольником или трапецией других методов). Из этой идеи были найдены уравнения для следующих точек:

, где

Пример: приведенный примерный Y (1)

Найти Y при T = 0

. 1

Find y at t = 0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Find y at t = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ

Ответив на один и тот же вопрос с помощью обратного метода Эйлера и метода Рунге-Кутты, можно убедиться в точности результатов.

Точное решение для y(1) равно 0,6321205588.

Используя метод Эйлера, y(1) приблизительно равно 0,375.

При использовании обратного метода Эйлера значение y(1) приблизительно равно 0,8333333333.

Используя метод Рунге-Кутты, y(1) приблизительно равно 0,6328751629.

Обратный метод Эйлера обеспечивает лучшую аппроксимацию, чем метод Эйлера, с несколькими дополнительными шагами. Метод Рунге-Кутты обеспечивает наилучшее приближение, но требует больше вычислений.

Опубликовано 17 мая 2015 г. Йонасом Райцем | 2 комментария

Привет всем,

Я обновил ответ на задачу № 14 – правильный ответ:

 

 

Лучший,
Проф. 2 комментария

6.2 Преобразование Лапласа: решение задач с начальными значениями (обратное преобразование)

Преобразование Лапласа используется для преобразования функции в области t и переноса ее в область s. Практическое использование этого преобразования заключается в упрощении решения дифференциальных уравнений. Прочитав определения и зная, как работает преобразование Лапласа, мы перейдем к примеру того, как применить его к дифференциальному уравнению с начальными значениями.

1.Решить с помощью преобразования Лапласа

y”-y’-2y=0 с условием y(0)=1 y’=0

Шаг 1: Шаг 1 это дифференциальное уравнение? Да, потому что он однородный и линейный

Шаг 2: Возьмем уравнение Лапласа с обеих сторон L{ y”-y’-2y=0}

Шаг 3: Решим его алгебраически

, используя известную нам диаграмму преобразования Лапласа f”( t)= L{f(t)-sf(0)-f'(0)

f'(t)=sL{f(t)-f(0)

Возьмем Лапласа дифференциального уравнения, применив заданное начальное значение:

Y(s)-s(1)-0-{sY(s)-1}-2Y(s)

Фактор Y(s):                            Y(s)(-s-2)-s+1=0

Изолировать Y(s):                                     Y(s)= 9000 и разделите из квадратного уравнения

Шаг 4. Упростите решение, применив частичную дробь (s-2)(s+1)=B(s-2)

s-1= A(s+1)+B(s-2)

«” = as+a+bs-2b

«» = as+bs+a-2b

Объедините все буквы с s с s, и число с условиями, у которых нет с на нем.

A+B=1, так как (1) стоит перед используемым s 1                       -1=A-2B

Решите линейные уравнения: мы бы решили это, используя метод исключения :

A -2B = -1

2A+2B = 2

3A = 1 Следовательно, a = 1/3, затем заменив A в A+B = 1– (1/3)+. B=1

получаем B=2/3 и A=1/3

Наконец, ваша функция находится в области s:

Напоминание о решении дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа:

1. Начните с дифференциальное уравнение

2. Преобразование Лапласа из обеих частей уравнения
3. Тогда вам придется упростить алгебраическое решение.
4. Для этого потребуется метод, подобный частичной дроби

4. Сделайте обратное преобразование Лапласа решения, это будет ваше решение для дифференциального уравнения, в этот момент вы должны быть в области t с уравнением упрощения

Важное обозначение:

L{f(t) }: «L» используется для обозначения того, что применяется преобразование Лапласа функции {f(t)}.

F(s) : при работе с преобразованием Лапласа все, что написано с большой буквы, означает, что вы          работаете в области s. Таким образом, F(s) означает, что функция f(t) уже перенесена в область s           .

{F(S)}: используется при работе с обратным преобразованием Лапласа, поэтому возвращаемся к вашей                                      функция в области t.

Опубликовано 17 мая 2015 г. автором BingJing Zheng | 11 комментариев

 

По мере прохождения курса нам обычно дают дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить. Тем не менее, есть много проблем, которые не могут быть решены. Уравнения первого порядка можно разделить на линейное уравнение, сепарабельное уравнение, нелинейное уравнение, точное уравнение, однородное уравнение, уравнение Бернулли и неоднородные уравнения. Однако для большинства сепарабельных и точных уравнений не всегда можно представить решение в явном виде. Трудно найти значение для конкретной точки в функции. Есть некоторые уравнения, которые не попадают ни в одну из вышеперечисленных категорий. Итак, мы вводим метод, называемый методом Эйлера. Мы сможем использовать его для аппроксимации решений дифференциального уравнения. В методе Эйлера нам дадут дифференциальное уравнение, которое представляет собой наклон функции, и определим размер шага для интеграла (чем меньшие размеры шагов у вас есть, тем более точные значения аппроксимации вы получите). Мы создаем новую точку, начиная с начальной точки, мы подставляем эту точку в заданную функцию, это будет наклон начальной точки. Затем следующая новая точка будет иметь размер шага  плюс  h, умноженный на ранее рассчитанный наклон. общая формула: Однако погрешность метода Эйлера зависит от размера шага. единственный способ уменьшить ошибку — уменьшить размер шага, но это увеличит объем вычислений. это только примерно уменьшает ошибку наполовину.

 

Теперь мы представляем усовершенствованный метод Эйлера. Этот метод очень похож на метод Эйлера. В методе Эйлера мы аппроксимируем функцию прямоугольной формой (см. график ниже):

 

Однако это приближение не включает площадь под кривой. Для улучшения аппроксимации мы используем усовершенствованный метод Эйлера. В улучшенном методе мы используем среднее значение значений в изначально заданной точке и новой точке. Определим интеграл трапецией вместо прямоугольника. Площадь трапеции больше площади прямоугольника. Это также обеспечит более точное приближение.

 

Трудно предсказать, будет ли кривая решения вогнутой вверх или вогнутой вниз в действительности. Идеальная линия предсказания точно совпадет с кривой в следующей точке предсказания. Метод Эйлера создает наклон на основе начальной точки, и мы не знаем, будет ли следующая точка на этой линии наклона, если только мы не используем компьютер для построения уравнения. Иногда мы можем переоценивать значение или недооценивать значение. Усовершенствованный метод Эйлера решил эти проблемы, найдя среднее значение наклона на основе начальной точки и наклона новой точки, что даст среднюю точку для оценки значения. Это также уменьшает ошибки, которые мог бы иметь метод Эйлера. 92+2y, y(0)=1, оценка y(2), шаг 0,5.

Свод

Примечание: Это очень важно написать и в начале каждого шага, потому что расчеты основаны на этих значениях. Этот метод связан с большим количеством вычислений, рекомендуется после каждой точки записывать значения в таблицу. Самому посмотреть и проверить будет несложно. Для каждой точки расчетный подход к следующей новой точке одинаков, поэтому, если вы настроите три шага, вам будет очень ясно перейти к следующему шагу.

Я думаю, что это видео очень полезно, и оно ясно показывает улучшенный метод Эйлера и пример, включенный в видео. Пожалуйста, посмотрите это видео.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Posted on May 17, 2015 by kumar Прайс | 2 комментария

Обзор
Рассматриваются методы решения линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты являются функциями независимой переменной. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
P(x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy/ dx + R(x)y = 0 (уравнение 1)
Поскольку процедура для неоднородного уравнения аналогична. Многие задачи математической физики приводят к уравнениям такого вида с полиномиальными коэффициентами; примеры включают уравнение Бесселя
X2 y’’ + xy’ + (x2 – a 22) y = 0
Где (a) – постоянная, а уравнение Лежандра
(1 – x 2 ) y” – 2xy’ + c(c + 1) y = 0 Где (c) – постоянная
Учитывая уравнение
P( x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy /dx + R(x)y = 0
Уравнение
d2 y/ dx2 + Q(x) P(x) dy/ dx + R(x) P(x ) y = 0 или d2 y/ dx2 + p(x) dy/ dx + q(x)y = 0
Где p(x) = Q(x)/ P(x) и q(x) = R(x ) /P(x)
называется эквивалентной нормализованной формой уравнения. Точка (а) называется обыкновенной точкой уравнения (1). Другими словами, эти две величины имеют ряды Тейлора в районе x=x0. Мы будем иметь дело только с коэффициентами, которые являются многочленами, так что это будет эквивалентно утверждению, что 9n〗

, а затем попытайтесь определить, каким должен быть an. Мы сможем сделать это только в том случае, если точка x=x0 будет обычной точкой. Обычно мы говорим, что это рядовое решение около x=x0.

Example

y”+y=0

Suppose that     has a Taylor series about x=0

y(x) =  x ⁿ = a ₀ +а ₁ х+а ₂ х ² +а ₃ x ³ +a ₄ x ⁴

Substitute into the differential equation and simplify by grouping together terms with similar powers of  

We start with the assumption that

Y(x) = a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +a ₄ x ⁴  + …..

Y'(x) = а ₁ + 2а ₂ x +3a ₃ x ² +4a ₄ x ³ +……

Y »(x) = 2A ₂ +6A ₃ x +12a ₄ +6A ₃ x +12a ₄ +6A ₃ 99999999999999999999999999999 годы. x ² +……

Теперь замените и в дифференциальное уравнение

Y ” +y = 0:

( 2a ₂ +6a ₃ x +12a ₄ x

0707070707070100 x +12a ₄ x

99999. +……) +( a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +a ₄ x ⁴  + …..) = 0

Избавьтесь от круглых скобок (не забудьте распределить и  перед вторыми и третьими скобками

2a ₂ +6a ₃ x +12a ₄ x ² +… +A ₀ +A ₁ x +A ₂ x ² +A ₃ x ³ +A 9009 4 ₃ x ³ +9009 4 ₃ x ³ +9009 4 ₃ x ^{3 + ₃ x 3 . 4  + ….= 0}

Теперь сгруппируем по степеням   :

( 2a ₂₊ A ₀ ) +(6A ₃ +A ₁ ) x +(12a ₄ +A ₂ ) x ² +(20a ₅ +A ₃ ) x ³ +…= 0

Наконец, сравним каждое слагаемое слева с соответствующим слагаемым справа – поскольку правая часть равна нулю, каждое из выражений в скобках (которые дают коэффициенты при степенях ) также должен быть равен нулю:

• 2a ₂ +a ₀ =0
• 6а ₃ +а ₁ =0
• 12а4+а2=0
• 20а ₅ +а ₃ =0
• ……

Затем вы находите первые 5 членов (коэффициенты)

• a ₀ =0
• a ₁ =0
• а ₂ = а ₀ /2
• а ₃ = а ₁ /6
• а ₄ = а ₀ / 24

 

Это дает нам коэффициенты для определения первых пяти членов ряда Тейлора, учитывая, что Y(x) = a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +a ₄ x ⁴ +…. подставляем значения   , чтобы получить

Y=a ₀ +a ₁ x+a ₀ /2 x ² +a ₁ /6 x 90 90 ^{0 1 _{3 900 /24 х 4}}

3. Если я недостаточно ясно выразился в объяснении или шагах, необходимых для решения уравнения, я добавлю пару видео, надеюсь, они помогут.

 

 

Опубликовано 16 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставить комментарий

Привет всем,

Оценки за Экзамен 3 размещены на странице Оценки (напишите мне, если вы забыли пароль).

Этот экзамен включал в себя большой объем материала, и, хотя общие оценки были сопоставимы с первым экзаменом, я уверен, что не все справились так хорошо, как им хотелось бы. Вы можете улучшить свой результат на экзамене, заполнив специальное предложение ниже.

Если у вас возникнут вопросы, дайте мне знать, и удачи вам в учебе!
Prof. Reitz

Экзамен 3 Специальное предложение – заработайте бонусные баллы . Вы можете улучшить свою оценку на экзамене, выполнив следующие действия:

1. Выберите ТОЛЬКО ОДНУ задачу , за выполнение которой вы НЕ набрали полных баллов. Вы работаете над тем, чтобы вернуть (некоторые) баллы, которые вы упустили в этой задаче.
2. Решите задачу заново, аккуратно и полностью , от начала до конца, на отдельном листе бумаги.
   1. Не забудьте свое имя, дату и номер проблемы.
3. На том же листе напишите короткое заявление (одно или два полных предложения), объясняющее вашу ошибку (ошибки) . Цель состоит в том, чтобы сообщить мне, что вы понимаете, что сделали неправильно.
4. Сдайте исходный экзамен и исправленную задачу и объяснение, скрепленные вместе, в классе в четверг (день выпускного экзамена).
5. Бонусные баллы будут добавлены к вашему баллу за экзамен 3 в зависимости от количества баллов, которые вы пропустили в выбранной задаче, точности ваших исправлений и объяснений, а также вашей общей оценки за экзамен. Бонусные баллы ограничены следующим образом:
   1. Если вы набрали менее 60% на экзамене, вы можете заработать максимум 20 бонусных баллов.
   2. Если вы набрали от 60% до 69% на экзамене, вы можете заработать максимум 15 бонусных баллов.
   3. Если вы набрали от 70% до 79% на экзамене, вы можете заработать максимум 10 бонусных баллов.
   4. Если вы набрали от 80% до 89% на экзамене, вы можете заработать максимум 5 бонусных баллов.
   5. Если на экзамене вы набрали от 90 % и более, вы можете заработать максимум 2 бонусных балла.

 

Опубликовано 13 мая 2015 г. Кристианом Пинто | 7 комментариев

Преобразование Лапласа — это метод, используемый для перехода от одного домена к другому. В этом случае мы переходим от временной области (t) к частотной области  (s).

Как и для большинства преобразований, если есть один способ перехода от одной единицы измерения к другой, должен быть и способ вернуться назад. Это применимо и в этом случае, хотя это не обязательно единица. В этом случае это называется просто «обратное преобразование Лапласа». В этом случае мы переходим от частотной области (s) обратно к временной области (t).

Обозначение преобразования Лапласа:

Буква «L» используется для обозначения преобразования Лапласа. Внутри фигурных скобок находится функция, которую вы хотите преобразовать из временной области в частотную.

Иногда вы также можете видеть это обозначение, которое означает то же самое, что и предыдущее:

Что касается преобразования Лапласа, оно обозначается:

Это даст вам F(s).

Чтобы перейти к исходной временной области, вам нужно выполнить обратное преобразование Лапласа для  F(s), которое равно:

Теперь, когда мы записали преобразование Лапласа, мы можем углубиться в него.

Общая формула преобразования Лапласа, где ‘t’ больше или равно нулю:

 Мы оцениваем, что t больше или равно нулю, потому что мы хотим удовлетворить два условия:

1. Функция f( t) должен быть кусочно-непрерывным из интервала [0,A]. Просто означает функцию, которая разбита на разные части, но все еще продолжается. Например: 9(at), когда t больше или равно M. В этом случае переменные K, M и a являются просто константами, а K, M положительны.

Что касается обратного преобразования Лапласа, то для него не существует заданного уравнения или метода. Обратное преобразование Лапласа обозначается следующим образом:

Это просто означает, что для получения функции f(t) вам потребуется выполнить обратное преобразование Лапласа для F(s).

Основная причина, по которой мы используем преобразование Лапласа, заключается в том, что оно упрощает вычисление некоторых (не всех) дифференциальных уравнений.

Небольшое введение в шаги, которые необходимо предпринять при решении задачи преобразования Лапласа.