Главная
Решение первообразных: Калькулятор Интегралов • По шагам!

Решение первообразных: Калькулятор Интегралов • По шагам!

Содержание

Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция  $F(x)$ называется первообразной функции $f(x),$ заданной на некотором множестве $X,$ если $F'(x)=f(x)$ для всх $x\in X.$ Если $F(x -)$ первообразная функции $f(x),$ то $\Phi(x)$ является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда $\Phi(x)=F(x)+C,$ где $C$ – некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом $$\int f(x)\,dx.$$ Таким образом, по определению $$\int f(x)\,dx=F(x)+C,$$ где $F(x)$ одна из первообразных функции $f(x)$ а постоянная $C$ принимает действительные значения.

Свойства неопределенного интеграла.

1. $\left(\int f(x)\,dx\right)’=f(x).$

2. $\int f'(x)dx=f(x)+C.$

3. $\int af(x)dx=a\int f(x) dx.\,\,\,\,\,\,a\neq 0.$

4. $\int (f_1(x)+f_2(x))dx=\int f_1(x)\,dx+\int f_2(x)\, dx.$

 

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.

2

Первообразная и интеграл: формулы с примерами решения

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию

такую, что в каждой точке х некоторого промежутка . В этом случае функцию f(x) называют производной функции F(x), a — первообразной для f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции

на промежутке , если для каждого значения
х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Например, на всей числовой оси (т. е. на R] функция F(x) =

является первообразной для f(x) = 2х, ибо = 2х; F(x) = sin х есть первообразной для f(x) = cos х, ибо (sin х)’ = cos х.

Функция F(x)

является первообразной для например на [1; 5]. Но не на
R, поскольку F'(O) не существует, и не на , поскольку это не промежуток.

Одна ли функция

является первообразной для Нет. Ведь и и и т. д. Каким бы ни было число С (произвольная постоянная), функция — первообразная для, ибо ( )‘

Существуют ли другие функции, отличные от

, первообразные для ? Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции ) имеет вид F(x) + С, где — одна из этих первообразных, а С

— произвольная постоянная.

Доказательство 1. Пусть

—одна из первообразных для функции на промежутке , т. е. для каждого :.

По правилу нахождения производной суммы

Этим доказано» что какая бы ни была постоянная С, если

— первообразная для , то и — первообразная для

Пусть

и — две любые первообразные для функции

на промежутке, т. е. и для каждого . Тогда

Как видим, функция

такая, что в каждой точке её производная равна
0.

Такое свойство имеет только определённая на

функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак, , где С — постоянная, т. е. .

Этим доказано, что если

— одна из первообразных для функции , то каждая из функций также её первообразная и других первообразных для ) не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции
такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

— общий вид первообразных для функции .

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция

) определена на и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной также на .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (

с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции

первообразной есть и т. д.

Множество всех первообразных функции

часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функцию

» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции » .

То есть, если

— первообразная для функции , а —произвольное число, то .

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении

имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёлен-ного интеграла можно записать так:

Примеры с решением
Пример №1

Докажите, что функция

является первообразной для функции .

Доказательство.

.

Имеем

. Итак, по определению, функция — первообразная для функции
Пример №2

Найдите первообразную для функции : а)

; б) ;

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции

есть функция .

Для функции

, поэтому .


б) Первообразной для функции

есть функция

Для функции

поэтому .
Пример №3

Найдите для функции

такую первообразную, чтобы её график проходил через точку
Р (2; 5).

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных:

Поскольку график искомой первообразной проходит через точку Р (2; 5), то , отсюда С = 3.

Следовательно,

.

Ответ.

.
Пример №4

Проинтегрируйте функцию

.

Решение:

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I. Если

и — первообразные для функций ) и, то — первообразная для функции .

Действительно, если

и . то

. Если — первообразная для функции , a — произвольное число, то — первообразная для функции .

Ведь

.

Если —первообразная для функции , a ,b — произвольные числа , то — первообразная для функции .

»

Ведь

Пример №5

Найдите первообразную для функции:

а)

; б) ; в) .

Решение:

а) Для функций

и первообразными являются соответственно и .

Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных


б) По правилу II:

.

в) Одной из первообразных для функции

,согласно правилу III, является функция . Общий вид первообразных для данной функции

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример..

Если известен закон прямолинейного движения тела

,то для нахождения его скорости в момент t нужно найти производную: . Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.
Задача №1.

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью

. За перые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функцией

, что . Здесь s(t) — первообразная для функции . Общий вид всех таких первообразных . Поскольку за 4 с точка прошла 80м, то 80 = 5-16 + С, отсюда С = 0.

Ответ. Искомый закон движения точки

, где t — время в секундах, — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

Пример №6

Найдите одну из первообразных для функции:

а)

; б).

Решение:

а) Для функции

одной из первообразных есть функция . Учитывая то, что первообразной для функции есть функция , запишем искомую первообразную: ;

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

Тогда

.
Пример №7

Тело движется прямолинейно с ускорением

.

Определите скорость данного движения как функцию от времени f, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если

— искомая скорость, то . Следовательно,) — первообразная для функции , поэтому . Поскольку , то .

Ответ.

.

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции

, принимающей на промежутке [а; Ь) только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь, называют криволинейной трапецией.

Криволинейную трапецию называют также под графиком функции

на [а; Ь].

Несколько криволинейных трапеций изображено на (рис. 105).

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции ) на промежутке [а; Ь], равна , где — первообразная для функции на [а; b].

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции

на (риc. 106). Пусть х — произвольная точка отрезка , а S(x) — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на . Понятно, что — функция от х. Докажем, что для каждого .

Дадим переменной х приращение

, тогда функция получит приращение (pиc. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке , она приближённо равна площади прямоугольника с основанием , и высотой f(t), где t — некоторое число из промежутка . Поскольку функция f(x) непрерывна, такое число t обязательно найдётся.

Следовательно,

откуда .

Если

, то и , ибо функция непрерывна. Поэтому если , то , т. е. .

Как видим, функция S(x) — первообразная для

на [а; Ь]. Поэтому если F(x) — какая-либо другая первообразная для ) на [a; b], то S(x) = F(x) + С, где С — постоянная. Чтобы определить С, учтём, что S(a) 0, ибо при х — а криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a; х], вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем: 0 = F(a) + С, отсюда С = -F(a). Следовательно,= F(х) — F(a). Если в это равенство подставим значение х = Ь, то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]:

Значение выражения F(b) — F(a) вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так:.

.Итак, формула (1) приобретает вид:
Задача №2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции

на промежутке [1; 3].

Решение:

На (рис) 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функции

первообразной есть . Следовательно, искомая площадь
Задача №3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (риc. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции

на промежутке . Для функции первообразной есть функция . Следовательно, искомая площадь= 1 — (-1) — 2 (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (риc. 109) и не всегда она криволинейная(риc. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию *, например, изображенную на (рис 108), повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Задача №4.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = х на [0; 2].

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (риc. 110). Его площадь

(кв. ед.).

Ответ. 2кв. ед.

Задача №5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у -3 на [1,2].

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (риc. 111). Его площадь

(кв. ед.).

Ответ. 3 кв. ед.

Задача №6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох. В этих точках ордината функции равна нулю:

, отсюда , (риc. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной

графиком функции

на [-2; 2].Одна из первообразных для данной функции .Поэтому искомая площадь кв,ед.

Ответ.

кв. ед.

Определённый интеграл

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a;b] (рис. 117). Разобьём отрезок [а; Ь] точками

на n равных отрезков:

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой

, на втором — прямоугольник высотой ,…, на n—м — прямоугольник высотой . В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно ; тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции f(x) на [а; Ь]. Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади S криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]. При этом если

то (риc. 118). Пишут: .

He только задача о нахождении площади криволинейной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Предел интегральной суммы функции f(x) на отрезке [а; Ь], если , называют определённым интегралом функции f(x) от а до Ь.

Его обозначают символом

(читают: интеграл от а до b эф от икс де икс). Здесь числа а и b пределы интегрирования, — знак интеграла, f(x) — подинтегральная функция, х —переменная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь], равна

, т. е.. Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна , где — первообразная для функции f(x). Поэтому

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их с в о й с т в о:

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований:

Задача №7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур ОВАК и ОВАР. Границы интегрирования — абсциссы точек О и А, в которых пересекаются графики функций, т. е. значения х удовлетворяющие системе уравнений

и . Из системы получим уравнение корни которого и

Следовательно, искомая площадь

Ответ.

кв. ед.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Алгебра – 11 класс.

2}{2})’+c’=g*t+0=g*t$.

Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

Как называется такая операция?
Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
Первообразную принято записывать большой буквой $y=F'(x)=f(x)$.

Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить. {\prime}=x+0=f(x)$

Больше примеров решений Решение интегралов онлайн

Таким образом, если функция $y=f(x)$ имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции $F(x)$ и $\Phi(x)$ – две любые первообразные функции $y=f(x)$, то их разность равна некоторой постоянной, то есть

$$\Phi(x)-F(x)=C=\text { const }$$

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции $f(x)$, может быть представлена в виде $F(x)+C$.

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных функции $y=f(x)$, определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции $y=f(x)$ и обозначается символом $\int f(x) d x$. То есть

$\int f(x) d x=F(x)+C$

Знак $\int$ называется интегралом, $f(x) d x$ – подынтегральным выражением, $f(x)$ – подынтегральной функцией, а $x$ – переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции $f(x)$ называется интегрированием функции $f(x)$. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых $F(x)+C$, где каждому конкретному числовому значению постоянной $C$ соответствует определенная кривая из указанного семейства.

График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.

Теорема

Каждая непрерывная на промежутке $(a ; b)$ функция, имеет на этом интервале первообразную.

Читать дальше: свойства неопределенного интеграла.

Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

, 

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал,  C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

 где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал,  C-константа интегрирования.  

 

 

Определённый интеграл

Определенный интеграл– Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b]. 

Общий вид определённого интеграла: 

где  f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

 Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

 

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е 

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3.  Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t)  за промежуток времени [t1;t2], т.е. 

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток  времени  [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение: 

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

 

 

 

 

 

 

 

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница – подготовка к ЕГЭ по Математике

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции , — производная функции . А чем будет являться для функции ? Или — для функции ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что — производная не только функции , но и функций , — в общем, всех функций вида Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция — производная для всех функций вида , где — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции , где — постоянный множитель, равна произведению на первообразную функции , то есть .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница) 

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми и . Пусть функция неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной функции в точке 0 равно 6. Найдите . 

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При получим:

Значит, и

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной функции в точке 0 равно -13. Найдите

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При x = 0 получим: Значит, и

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения , где – одна из первообразных функции .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми и . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть

В нашей задаче имеем:

Дальше — просто арифметика. \ prime \ left (x \ справа) = е \ влево (х \ вправо).} \]

Дифференциальное уравнение с начальным условием \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0} \) называется задачей начального значения.

Самая общая первообразная \ (F \ left (x \ right) + C \) функции \ (f \ left (x \ right) \) дает общее решение дифференциального уравнения \ (\ large {\ frac { {dy}} {{dx}}} \ normalsize = f \ left (x \ right). \)

Частным решением задачи начального значения является функция, которая удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.2}}}} \ normalsize,} \) \ ({x \ ne 0,} \) \ ({y \ left (1 \ right) = 5.} \)

Пример 7

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ normalsize = \ large {\ frac {2} {{x + 1}}} \ normalsize, \) \ (y \ left (0 \ right) = 2. \)

Пример 8

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dr}} {{d \ theta}}} \ normalsize = \ cos \ large {\ frac {\ theta} {2}} \ normalsize, \) \ ( r \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize} \ right) = 2. \)

Пример 9

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dz}} {{dt}}} \ normalsize = \ cos t – 2 \ sin t, \) \ (z \ left (0 \ right) = 5.\)

Пример 10

Функция \ (y \ left (x \ right) \) задается дифференциальным уравнением \ (\ large {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ normalsize = \ large {\ frac {1} { x}} \ normalsize + 2x \) с начальным условием \ (y \ left (1 \ right) = 0. \) Найдите значение функции, когда \ (x = e. \)

Пример 11

Мяч, сброшенный с вершины высокого здания, имеет скорость \ (v \ left (t \ right) = -10t – 5 \, {\ large {\ frac {\ text {m}} {\ text {s}}} \ normalsize}. \) Найдите высоту здания, учитывая, что мяч ударяется о землю через \ (t = 4 \) секунд.2} + \ frac {1} {x} + 3.} \]

Пример 7.

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ normalsize = \ large {\ frac {2} {{x + 1}}} \ normalsize, \) \ (y \ left (0 \ right) = 2. \)

Решение.

Найдите общую первообразную \ (\ large {\ frac {2} {{x + 1}}} \ normalsize: \)

\ [y = 2 \ ln \ left | {x + 1} \ right | + C. \]

Используйте начальное условие \ (y \ left (0 \ right) = 2 \) для вычисления константы \ (C: \)

\ [{2 \ ln \ left | {0 + 1} \ right | + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {2 \ cdot \ ln 1 + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {2 \ cdot 0 + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {C = 2.} \]

Таким образом, конкретное решение записывается как

\ [y = 2 \ ln \ left | {x + 1} \ right | + 2. \]

Пример 8.

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dr}} {{d \ theta}}} \ normalsize = \ cos \ large {\ frac {\ theta} {2}} \ normalsize, \) \ ( r \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize} \ right) = 2. \)

Решение.

Сначала запишем общую первообразную функции \ (\ cos \ large {\ frac {\ theta} {2}} \ normalsize: \)

\ [r \ left (\ theta \ right) = 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} + C.\]

Подставьте начальное условие \ (r \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize} \ right) = 2 \), чтобы найти константу \ (C: \)

\ [{2 \ sin \ frac {{\ frac {\ pi} {3}}} {2} + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {2 \ sin \ frac {\ pi} {6} + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {2 \ cdot \ frac {1} {2} + C = 2,} \; \; \ Rightarrow {1 + C = 2,} \ Rightarrow {C = 1. } \]

Следовательно, частное решение дифференциального уравнения дается

\ [r \ left (\ theta \ right) = 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} + 1. \]

Пример 9.

Решите задачу начального значения \ (\ large {\ frac {{dz}} {{dt}}} \ normalsize = \ cos t – 2 \ sin t, \) \ (z \ left (0 \ right) = 5. \)

Решение.

Общая первообразная функции \ (\ cos t – 2 \ sin t \) равна

\ [z \ влево (t \ вправо) = \ sin t + 2 \ cos t + C. \]

Подставьте начальное условие \ (z \ left (0 \ right) = 5 \), чтобы вычислить константу \ (C: \)

\ [{\ sin 0 + 2 \ cos 0 + C = 5,} \; \; \ Rightarrow {0 + 2 \ cdot 1 + C = 5,} \; \; \ Rightarrow {C = 3.} \]

Итак, решение задачи начального значения дается

\ [z \ влево (t \ вправо) = \ sin t + 2 \ cos t + 3. \]

Пример 10.

Функция \ (y \ left (x \ right) \) задается дифференциальным уравнением \ (\ large {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ normalsize = \ large {\ frac {1} { x}} \ normalsize + 2x \) с начальным условием \ (y \ left (1 \ right) = 0. 2} – 5t.2} – 5 \ cdot 4 = 0,} \; \; \ Rightarrow {H = 80 + 20 = 100 \, \ text {m}}. \]

4.10 Первообразные – Исчисление Том 1

Задачи обучения

  • 4.10.1 Найти общую первообразную заданной функции.
  • 4.10.2 Объясните термины и обозначения, используемые для неопределенного интеграла.
  • 4.10.3 Сформулируйте правило степени для интегралов.
  • 4.10.4 Использование антидифференциации для решения простых задач с начальным значением.

На этом этапе мы увидели, как вычислять производные многих функций, и познакомились с множеством их приложений.Теперь мы задаем вопрос, который меняет этот процесс: если задана функция f, f, как нам найти функцию с производной ff и почему нам может быть интересна такая функция?

Мы отвечаем на первую часть этого вопроса, определяя первообразные. Первообразной функции ff является функция с производной f.f. Почему нас интересуют первородные? Потребность в первообразных возникает во многих ситуациях, и мы смотрим на различные примеры в оставшейся части текста. Здесь мы рассмотрим один конкретный пример, который включает прямолинейное движение. В нашем исследовании в разделе «Производные прямолинейного движения» мы показали, что при заданной функции положения s (t) s (t) объекта его функция скорости v (t) v (t) является производной от s (t) s ( t), то есть v (t) = s ′ (t). v (t) = s ′ (t). Кроме того, ускорение a (t) a (t) является производной скорости v (t) v (t), то есть a (t) = v ′ (t) = s ″ (t) .a (t) ) = v ′ (t) = s ″ (t). Теперь предположим, что нам дана функция ускорения a, a, но не функция скорости vv или функция положения s.с. Поскольку a (t) = v ′ (t), a (t) = v ′ (t), определение функции скорости требует от нас найти первообразную функции ускорения. Тогда, поскольку v (t) = s ′ (t), v (t) = s ′ (t), определение функции положения требует от нас найти первообразную функции скорости. Прямолинейное движение – лишь один из случаев, когда возникает потребность в первообразных. В оставшейся части текста мы увидим еще много примеров. А пока давайте посмотрим на терминологию и обозначения первообразных и определим первообразные для нескольких типов функций. Мы рассмотрим различные методы поиска первообразных более сложных функций далее по тексту (Введение в методы интеграции).

Обратная дифференциация

На данный момент мы знаем, как находить производные от различных функций. Теперь зададим противоположный вопрос. Учитывая функцию f, f, как мы можем найти функцию с производной f? F? Если мы можем найти функцию FF с производной f, f, мы назовем FF первообразной f.f.

Определение

Функция FF является первообразной функции ff, если

для всех xx в области f.f.

Рассмотрим функцию f (x) = 2x.f (x) = 2x. Зная степенное правило дифференцирования, мы заключаем, что F (x) = x2F (x) = x2 является первообразной от ff, поскольку F ′ (x) = 2x.F ′ (x) = 2x. Есть ли другие первообразные f? F? Да; поскольку производная любой константы CC равна нулю, x2 + Cx2 + C также является первообразной 2x.2x. Следовательно, x2 + 5×2 + 5 и x2−2×2−2 также являются первообразными. Существуют ли другие, которые не имеют вида x2 + Cx2 + C для некоторой константы C? C? Ответ – нет. Из следствия 22 теоремы о среднем значении мы знаем, что если FF и GG – такие дифференцируемые функции, что F ′ (x) = G ′ (x), F ′ (x) = G ′ (x), то F (x) −G (x) = CF (x) −G (x) = C для некоторой константы C.C. Этот факт приводит к следующей важной теореме.

Теорема 4.14

Общий вид первообразной

Пусть FF – первообразная ff на интервале I.I. Затем

  1. для каждой константы C, C функция F (x) + CF (x) + C также является первообразной ff по I; I;
  2. , если GG является первообразной ff над I, I, существует константа CC, для которой G (x) = F (x) + CG (x) = F (x) + C над I.I.

Другими словами, наиболее общая форма первообразной ff над II – это F (x) + C.F (х) + С.

Мы используем этот факт и наши знания о производных, чтобы найти все первообразные для нескольких функций.

Пример 4.50

Поиск первообразных

Найдите все первообразные для каждой из следующих функций.

  1. f (x) = 3x2f (x) = 3×2
  2. f (x) = 1xf (x) = 1x
  3. f (x) = cosxf (x) = cosx
  4. f (x) = exf (x) = ex
Решение
  1. Потому что

    тогда F (x) = x3F (x) = x3 является первообразной 3×2.3×2. Следовательно, каждая первообразная 3x23x2 имеет вид x3 + Cx3 + C для некоторых констант C, C, и каждая функция вида x3 + Cx3 + C является первообразной 3×2,3×2.
  2. Пусть f (x) = ln | x | .f (x) = ln | x |. Для x> 0, f (x) = ln (x) x> 0, f (x) = ln (x) и

    Для x <0, f (x) = ln (−x) x <0, f (x) = ln (−x) и
    ddx (ln (−x)) = – 1 − x = 1x. ddx (ln (−x)) = – 1 − x = 1x.
    Следовательно,
    ddx (ln | x |) = 1x. ddx (ln | x |) = 1x.
    Таким образом, F (x) = ln | x | F (x) = ln | x | является первообразной 1x.1x. Следовательно, каждая первообразная 1x1x имеет вид ln | x | + Cln | x | + C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ln | x | + Cln | x | + C является первообразной 1x. 1x.
  3. У нас
    ddx (sinx) = cosx, ddx (sinx) = cosx,
    поэтому F (x) = sinxF (x) = sinx является первообразной cosx.cosx. Следовательно, каждая первообразная cosxcosx имеет форму sinx + Csinx + C для некоторой константы CC, и каждая функция формы sinx + Csinx + C является первообразной cosx.cosx.
  4. С

    тогда F (x) = exF (x) = ex является первообразной ex.ex. Следовательно, каждая первообразная exex имеет вид ex + Cex + C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ex + Cex + C является первообразной ex.бывший.

КПП 4.49

Найдите все первообразные f (x) = sinx.f (x) = sinx.

Неопределенные интегралы

Теперь мы посмотрим на формальную нотацию, используемую для представления первообразных, и исследуем некоторые из их свойств. Эти свойства позволяют находить первообразные более сложных функций. Для функции f, f мы используем обозначение f ′ (x) f ′ (x) или dfdxdfdx для обозначения производной f. f. Здесь мы вводим обозначения для первообразных. Если FF является первообразной от f, f, мы говорим, что F (x) + CF (x) + C является самой общей первообразной от ff, и пишем

∫f (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C.

Символ ∫∫ называется знаком интеграла , а ∫f (x) dx∫f (x) dx называется неопределенным интегралом от f.f.

Определение

Дана функция f, f, неопределенный интеграл от f, f, обозначенный

– это самая общая первообразная от f.f. Если FF является первообразной от f, f, то

F (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C.

Выражение f (x) f (x) называется подынтегральным выражением , а переменная xx – это переменная интегрирования .

С учетом терминологии, введенной в этом определении, процесс поиска первообразных функции ff обычно обозначается как , интегрирующий f.f.

Для функции ff и первообразной F, F функции F (x) + C, F (x) + C, где CC – любое действительное число, часто называют семейством первообразных f. f. Например, поскольку x2x2 является первообразной 2x2x, а любая первообразная 2x2x имеет форму x2 + C, x2 + C, мы пишем

∫2xdx = x2 + C.∫2xdx = x2 + C.

Набор всех функций вида x2 + C, x2 + C, где CC – любое действительное число, известен как семейство первообразных для 2x.2x. На рис. 4.85 показан график этого семейства первообразных.

Рис. 4.85. Семейство первообразных 2x2x состоит из всех функций вида x2 + C, x2 + C, где CC – любое действительное число.

Для некоторых функций вычисление неопределенных интегралов следует непосредственно из свойств производных. Например, для n ≠ −1, n ≠ −1,

∫xndx = xn + 1n + 1 + C, ∫xndx = xn + 1n + 1 + C,

, который идет напрямую с

ddx (xn + 1n + 1) = (n + 1) xnn + 1 = xn.ddx (xn + 1n + 1) = (n + 1) xnn + 1 = xn.

Этот факт известен как правило степени для интегралов .

Теорема 4.15

Правило мощности для интегралов

Для n ≠ −1, n −1,

∫xndx = xn + 1n + 1 + C. ∫xndx = xn + 1n + 1 + C.

Вычисление неопределенных интегралов для некоторых других функций также является несложным вычислением. В следующей таблице перечислены неопределенные интегралы для нескольких общих функций. Более полный список приведен в Приложении B.

Формула дифференциации неопределенный интеграл
ddx (k) = 0ddx (k) = 0 ∫kdx = ∫kx0dx = kx + C∫kdx = ∫kx0dx = kx + C
ddx (xn) = nxn − 1ddx (xn) = nxn − 1 ∫xndn = xn + 1n + 1 + C∫xndn = xn + 1n + 1 + C для n ≠ −1n ≠ −1
ddx (ln | x |) = 1xddx (ln | x |) = 1x ∫1xdx = ln | x | + C∫1xdx = ln | x | + C
ddx (ex) = exddx (ex) = ex ∫exdx = ex + C∫exdx = ex + C
ddx (sinx) = cosxddx (sinx) = cosx ∫cosxdx = sinx + C∫cosxdx = sinx + C
ddx (cosx) = – sinxddx (cosx) = – sinx ∫sinxdx = −cosx + C∫sinxdx = −cosx + C
ddx (tanx) = sec2xddx (tanx) = sec2x ∫sec2xdx = tanx + C∫sec2xdx = tanx + C
ddx (cscx) = – cscxcotxddx (cscx) = – cscxcotx ∫cscxcotxdx = −cscx + C∫cscxcotxdx = −cscx + C
ddx (secx) = secxtanxddx (secx) = secxtanx ∫secxtanxdx = secx + C∫secxtanxdx = secx + C
ddx (cotx) = – csc2xddx (cotx) = – csc2x ∫csc2xdx = −cotx + C∫csc2xdx = −cotx + C
ddx (sin − 1x) = 11 − x2ddx (sin − 1x) = 11 − x2 11 − x2 = sin − 1x + C∫11 − x2 = sin − 1x + C
ddx (tan − 1x) = 11 + x2ddx (tan − 1x) = 11 + x2 ∫11 + x2dx = tan − 1x + C∫11 + x2dx = tan − 1x + C
ddx (сек − 1 | x |) = 1xx2−1ddx (sec − 1 | x |) = 1xx2−1 ∫1xx2−1dx = сек − 1 | x | + C∫1xx2−1dx = сек − 1 | x | + C

Таблица 4. 13 формул интегрирования

Из определения неопределенного интеграла от f, f мы знаем

∫f (x) dx = F (x) + C∫f (x) dx = F (x) + C

тогда и только тогда, когда FF является первообразной f.f. Следовательно, заявляя, что

∫f (x) dx = F (x) + C∫f (x) dx = F (x) + C

важно проверить правильность этого утверждения, убедившись, что F ′ (x) = f (x) .F ′ (x) = f (x).

Пример 4.51

Проверка неопределенного интеграла

Каждое из следующих утверждений имеет вид ∫f (x) dx = F (x) + C.∫f (x) dx = F (x) + C. Убедитесь, что каждое утверждение верно, показав, что F ′ (x) = f (x) .F ′ (x) = f (x).

  1. ∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C
  2. ∫xexdx = xex − ex + C∫xexdx = xex − ex + C
Решение
  1. С
    ddx (x22 + ex + C) = x + ex, ddx (x22 + ex + C) = x + ex,
    заявление
    ∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C∫ (x + ex) dx = x22 + ex + C
    верно.
    Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для суммы. Кроме того, x22x22 и exex являются первообразными xx и ex, ex, соответственно, а сумма первообразных является первообразной суммы.Мы обсудим этот факт еще раз в этом разделе.
  2. Используя правило произведения, мы видим, что
    ddx (xex − ex + C) = ex + xex − ex = xex. ddx (xex − ex + C) = ex + xex − ex = xex.
    Следовательно, выписка
    ∫xexdx = xex − ex + C∫xexdx = xex − ex + C
    верно.
    Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для продукта. Первообразная xex-exxex-ex не является произведением первообразных. Кроме того, произведение первообразных, x2ex / 2x2ex / 2, не является первообразным xexxex, поскольку
    ddx (x2ex2) = xex + x2ex2 ≠ xex.ddx (x2ex2) = xex + x2ex2 ≠ xex.
    В общем, продукт первообразных не является первообразным продукта.

Контрольно-пропускной пункт 4.50

Убедитесь, что ∫xcosxdx = xsinx + cosx + C.∫xcosxdx = xsinx + cosx + C.

В таблице 4.13 мы перечислили неопределенные интегралы для многих элементарных функций. Теперь обратимся к вычислению неопределенных интегралов для более сложных функций. Например, рассмотрим поиск первообразной суммы f + g.f + g. В примере 4.51а. мы показали, что первообразная суммы x + exx + ex задается суммой (x22) + ex (x22) + ex, то есть первообразная суммы задается суммой первообразных. Этот результат не относится к данному примеру. В общем случае, если FF и GG – первообразные любых функций ff и g, g соответственно, то

ddx (F (x) + G (x)) = F ′ (x) + G ′ (x) = f (x) + g (x). ddx (F (x) + G (x)) = F ′ (х) + G ′ (x) = f (x) + g (x).

Следовательно, F (x) + G (x) F (x) + G (x) является первообразной от f (x) + g (x) f (x) + g (x), и мы имеем

∫ (е (х) + г (х)) dx знак равно F (х) + G (х) + С.∫ (е (х) + г (х)) dx знак равно F (х) + G (х) + С.

Аналогично

∫ (f (x) −g (x)) dx = F (x) −G (x) + C.∫ (f (x) −g (x)) dx = F (x) −G (x) + С.

Кроме того, рассмотрим задачу поиска первообразной kf (x), kf (x), где kk – любое действительное число. С

ddx (kf (x)) = kddxF (x) = kf ′ (x) ddx (kf (x)) = kddxF (x) = kf ′ (x)

для любого действительного числа k, k, заключаем, что

Kf (x) dx = kF (x) + C.∫kf (x) dx = kF (x) + C.

Эти свойства перечислены ниже.

Теорема 4.16

Свойства неопределенных интегралов

Пусть FF и GG – первообразные от ff и g, g, соответственно, и пусть kk – любое действительное число.

Суммы и разности

∫ (f (x) ± g (x)) dx = F (x) ± G (x) + C∫ (f (x) ± g (x)) dx = F (x) ± G (x) + C

Постоянные кратные

∫kf (x) dx = kF (x) + C∫kf (x) dx = kF (x) + C

Из этой теоремы мы можем вычислить любой интеграл, включающий сумму, разность или постоянное кратное функций с известными первообразными. Вычисление интегралов, включающих произведения, частные или композиции, является более сложным (см. Пример 4.51b. Для примера, включающего первообразную продукта). Мы рассматриваем интегралы, включающие эти более сложные функции, во Введении в интеграцию. В следующем примере мы исследуем, как использовать эту теорему для вычисления неопределенных интегралов от нескольких функций.

Пример 4.52

Вычисление неопределенных интегралов

Вычислите каждый из следующих неопределенных интегралов:

  1. ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx
  2. ∫x2 + 4x3xdx∫x2 + 4x3xdx
  3. ∫41 + x2dx∫41 + x2dx
  4. ∫tanxcosxdx∫tanxcosxdx
Решение
  1. Используя свойства неопределенных интегралов, мы можем интегрировать каждый из четырех членов подынтегрального выражения отдельно.Получаем
    ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx.∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx.
    Из второй части свойств неопределенных интегралов каждый коэффициент можно записать перед знаком интеграла, что дает
    ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx = 5∫x3dx − 7∫x2dx + 3∫xdx + 4∫1dx. ∫5x3dx − ∫7x2dx + ∫3xdx + ∫4dx = 5∫x3dx − 7∫x2dx + 3∫x 1dx. Используя правило степеней для интегралов, заключаем, что
    ∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = 54×4−73×3 + 32×2 + 4x + C.∫ (5×3−7×2 + 3x + 4) dx = 54×4−73×3 + 32×2 + 4x + C.
  2. Записываем подынтегральное выражение как
    . х2 + 4х3х = х2х + 4х3х.х2 + 4х3х = х2х + 4х3х.
    Затем, чтобы вычислить интеграл, проинтегрируйте каждый из этих членов отдельно. Используя правило мощности, мы имеем
    ∫ (x + 4×2 / 3) dx = ∫xdx + 4∫x − 2 / 3dx = 12×2 + 41 (−23) + 1x (−2/3) + 1 + C = 12×2 + 12×1 / 3 + C.∫ (x + 4×2 / 3) dx = ∫xdx + 4∫x − 2 / 3dx = 12×2 + 41 (−23) + 1x (−2/3) + 1 + C = 12×2 + 12×1 / 3 + C.
  3. Используя свойства неопределенных интегралов, запишите интеграл как

    Затем, используя тот факт, что tan − 1 (x) tan − 1 (x) является первообразной от 1 (1 + x2) 1 (1 + x2), заключаем, что
    ∫41 + x2dx = 4tan − 1 (x) + C. 41 + x2dx = 4tan − 1 (x) + C.
  4. Записываем подынтегральное выражение как
    . tanxcosx = sinxcosxcosx = sinx.tanxcosx = sinxcosxcosx = sinx.
    Следовательно,
    ∫tanxcosx = ∫sinx = −cosx + C.∫tanxcosx = ∫sinx = −cosx + C.

КПП 4.51

Вычислить ∫ (4×3−5×2 + x − 7) dx. (4×3−5×2 + x − 7) dx.

Задачи начального значения

Далее по тексту мы рассмотрим методы интеграции большого количества функций, связанных с продуктами, факторами и композициями. Здесь мы переходим к одному из распространенных способов использования первообразных, которое часто встречается во многих приложениях: решение дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое связывает неизвестную функцию и одну или несколько ее производных. Уравнение

– простой пример дифференциального уравнения. Решение этого уравнения означает нахождение функции yy с производной f.f. Следовательно, решения уравнения 4.9 являются первообразными f.f. Если FF является одной первообразной от f, f, каждая функция вида y = F (x) + Cy = F (x) + C является решением этого дифференциального уравнения. Например, решения

дает

у = ∫6x2dx = 2×3 + C.у = ∫6x2dx = 2×3 + C.

Иногда нас интересует, проходит ли конкретная кривая решения через определенную точку (x0, y0) (x0, y0), то есть y (x0) = y0.y (x0) = y0. Задача поиска функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

с дополнительным условием

– это пример задачи начального значения. Условие y (x0) = y0y (x0) = y0 известно как начальное условие . Например, поиск функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

и начальное условие

– это пример задачи начального значения.Поскольку решениями дифференциального уравнения являются y = 2×3 + C, y = 2×3 + C, чтобы найти функцию yy, которая также удовлетворяет начальному условию, нам нужно найти CC такой, что y (1) = 2 (1) 3+ C = 5. y (1) = 2 (1) 3 + C = 5. Из этого уравнения мы видим, что C = 3, C = 3, и заключаем, что y = 2×3 + 3y = 2×3 + 3 является решением этой начальной задачи, как показано на следующем графике.

Рис. 4.86. Отображаются некоторые кривые решения дифференциального уравнения dydx = 6x2dydx = 6×2. Функция y = 2×3 + 3y = 2×3 + 3 удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию y (1) = 5.у (1) = 5.

Пример 4.53

Решение задачи с начальным значением

Решите задачу начального значения

dydx = sinx, y (0) = 5. dydx = sinx, y (0) = 5.
Решение

Сначала нам нужно решить дифференциальное уравнение. Если dydx = sinx, dydx = sinx, то

y = ∫sin (x) dx = −cosx + C.y = ∫sin (x) dx = −cosx + C.

Далее нам нужно найти решение yy, удовлетворяющее начальному условию. Начальное условие y (0) = 5y (0) = 5 означает, что нам нужна постоянная CC такая, что −cosx + C = 5.−cosx + C = 5. Следовательно,

C = 5 + cos (0) = 6. C = 5 + cos (0) = 6.

Решение начальной задачи: y = −cosx + 6.y = −cosx + 6.

КПП 4.52

Решите начальную задачу dydx = 3x − 2, y (1) = 2. dydx = 3x − 2, y (1) = 2.

Проблемы с начальным значением возникают во многих приложениях. Далее мы рассмотрим задачу, в которой водитель тормозит в автомобиле. Нас интересует, сколько времени нужно, чтобы машина остановилась. Напомним, что функция скорости v (t) v (t) является производной функции положения s (t), s (t), а ускорение a (t) a (t) является производной функции скорости.В предыдущих примерах в тексте мы могли вычислить скорость по положению, а затем вычислить ускорение по скорости. В следующем примере мы работаем наоборот. Учитывая функцию ускорения, мы вычисляем функцию скорости. Затем мы используем функцию скорости для определения функции положения.

Пример 4.54

Тормозящий вагон

Автомобиль движется со скоростью 8888 фут / сек (60 (60 миль / ч) при включении тормозов. Автомобиль начинает замедляться с постоянной скоростью 1515 фут / сек 2 .

  1. Сколько секунд проходит до остановки автомобиля?
  2. Как далеко за это время уезжает машина?
Решение
  1. Сначала мы вводим переменные для этой задачи. Пусть tt будет временем (в секундах) после первого нажатия на тормоз. Пусть a (t) a (t) будет ускорением автомобиля (в футах в секунду в квадрате) в момент времени t.t. Пусть v (t) v (t) – скорость автомобиля (в футах в секунду) в момент времени t.t. Пусть s (t) s (t) будет положением автомобиля (в футах) после точки, в которой тормоза задействованы в момент времени t.т.
    Автомобиль движется со скоростью 88 футов / сек. 88 футов / сек. Следовательно, начальная скорость равна v (0) = 88v (0) = 88 ft / sec. Поскольку автомобиль замедляется, ускорение составляет
    a (t) = – 15 футов / с2. a (t) = – 15 футов / с2.
    Ускорение – это производная скорости,
    v ′ (t) = – 15. v ′ (t) = – 15.
    Следовательно, нам нужно решить задачу с начальным значением:
    v ′ (t) = – 15, v (0) = 88. v ′ (t) = – 15, v (0) = 88.
    Интегрируя, находим, что
    v (t) = – 15t + C. v (t) = – 15t + C.
    Поскольку v (0) = 88, C = 88. v (0) = 88, C = 88.Таким образом, функция скорости равна
    v (t) = – 15t + 88. v (t) = – 15t + 88.
    Чтобы узнать, сколько времени требуется машине, чтобы остановиться, нам нужно найти время tt, при котором скорость равна нулю. Решая −15t + 88 = 0, −15t + 88 = 0, получаем t = 8815t = 8815 сек.
  2. Чтобы узнать, как далеко машина проехала за это время, нам нужно найти позицию машины через 88158815 сек. Мы знаем, что скорость v (t) v (t) является производной от положения s (t) .s (t). Считаем, что начальное положение s (0) = 0. s (0) = 0. Следовательно, нам необходимо решить начальную задачу
    s ′ (t) = – 15t + 88, s (0) = 0.s ′ (t) = – 15t + 88, s (0) = 0.
    Интегрируя, получаем
    s (t) = – 152t2 + 88t + C.s (t) = – 152t2 + 88t + C.
    Поскольку s (0) = 0, s (0) = 0, константа C = 0. C = 0. Следовательно, функция положения равна
    s (t) = – 152t2 + 88t.s (t) = – 152t2 + 88t.
    После t = 8815t = 8815 с положение s (8815) ≈258,133 с (8815) ≈258,133 фута.

КПП 4.53

Предположим, автомобиль движется со скоростью 4444 фут / сек. Сколько времени нужно, чтобы машина остановилась? Как далеко поедет машина?

Раздел 4.10 Упражнения

В следующих упражнениях покажите, что F (x) F (x) являются первообразными от f (x) .f (x).

465.

F (x) = 5×3 + 2×2 + 3x + 1, f (x) = 15×2 + 4x + 3F (x) = 5×3 + 2×2 + 3x + 1, f (x) = 15×2 + 4x + 3

466.

F (x) = x2 + 4x + 1, f (x) = 2x + 4F (x) = x2 + 4x + 1, f (x) = 2x + 4

467.

F (x) = x2ex, f (x) = ex (x2 + 2x) F (x) = x2ex, f (x) = ex (x2 + 2x)

468.

F (x) = cosx, f (x) = – sinxF (x) = cosx, f (x) = – sinx

469.

F (x) = ex, f (x) = exF (x) = ex, f (x) = ex

Для следующих упражнений найдите первообразную функции.

471.

f (x) = ex − 3×2 + sinxf (x) = ex − 3×2 + sinx

472.

f (x) = ex + 3x − x2f (x) = ex + 3x − x2

473.

f (x) = x − 1 + 4sin (2x) f (x) = x − 1 + 4sin (2x)

Для следующих упражнений найдите первообразную F (x) F (x) каждой функции f (x) . f (x).

478.

f (x) = x1 / 3 + (2x) 1 / 3f (x) = x1 / 3 + (2x) 1/3

479.

f (x) = x1 / 3×2 / 3f (x) = x1 / 3×2 / 3

480.

f (x) = 2sin (x) + sin (2x) f (x) = 2sin (x) + sin (2x)

481.

f (x) = sec2 (x) + 1f (x) = sec2 (x) +1

482.

f (x) = sinxcosxf (x) = sinxcosx

483.

f (x) = sin2 (x) cos (x) f (x) = sin2 (x) cos (x)

485.

f (x) = 12csc2 (x) + 1x2f (x) = 12csc2 (x) + 1×2

486.

f (x) = cscxcotx + 3xf (x) = cscxcotx + 3x

487.

f (x) = 4cscxcotx − secxtanxf (x) = 4cscxcotx − secxtanx

488.

f (x) = 8secx (secx − 4tanx) f (x) = 8secx (secx − 4tanx)

489.

f (x) = 12e − 4x + sinxf (x) = 12e − 4x + sinx

.

Для следующих упражнений оцените интеграл.

494.

∫ (secxtanx + 4x) dx∫ (secxtanx + 4x) dx

496.

∫ (x − 1/3 − x2 / 3) dx∫ (x − 1/3 − x2 / 3) dx

497.

∫14×3 + 2x + 1x3dx∫14×3 + 2x + 1x3dx

498.

∫ (ex + e − x) dx∫ (ex + e − x) dx

Для следующих упражнений решите задачу начального значения.

499.

f ′ (x) = x − 3, f (1) = 1f ′ (x) = x − 3, f (1) = 1

500.

f ′ (x) = x + x2, f (0) = 2f ′ (x) = x + x2, f (0) = 2

501.

f ′ (x) = cosx + sec2 (x), f (π4) = 2 + 22f ′ (x) = cosx + sec2 (x), f (π4) = 2 + 22

. 502.

f ′ (x) = x3−8×2 + 16x + 1, f (0) = 0f ′ (x) = x3−8×2 + 16x + 1, f (0) = 0

503.

f ′ (x) = 2×2 − x22, f (1) = 0f ′ (x) = 2×2 − x22, f (1) = 0

.

Для следующих упражнений найдите две возможные функции ff, заданные производными второго или третьего порядка.

505.

f ″ (x) = e − xf ″ (x) = e − x

508.

f (x) = 8e − 2x − sinxf ‴ (x) = 8e − 2x − sinx

509.

Автомобиль движется со скоростью 4040 миль / ч при включенных тормозах. Автомобиль замедляется с постоянной скоростью 1010 фут / сек 2 . Как скоро машина остановится?

510.

В предыдущей задаче вычислите, как далеко проехала машина за время, необходимое для остановки.

511.

Вы выезжаете на автостраду с постоянным ускорением 1212 фут / сек. 2 .Сколько времени нужно, чтобы достичь скорости слияния 6060 миль в час?

512.

Исходя из предыдущей задачи, как далеко проехал автомобиль, чтобы достичь скорости слияния?

513.

Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла остановиться за 88 секунд при движении со скоростью 7575 миль в час. Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, при котором это достигается.

514.

Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла останавливаться менее чем на 450450 футов при движении со скоростью 6060 миль в час.Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, при котором это достигается.

Для следующих упражнений найдите первообразную функции, предполагая, что F (0) = 0. F (0) = 0.

516.

[T] f (x) = 4x − xf (x) = 4x − x

517.

[T] f (x) = sinx + 2xf (x) = sinx + 2x

519.

[T] f (x) = 1 (x + 1) 2f (x) = 1 (x + 1) 2

520.

[T] f (x) = e − 2x + 3x2f (x) = e − 2x + 3×2

Для следующих упражнений определите, истинно ли утверждение или нет.Либо докажите, что это правда, либо найдите контрпример, если он неверен.

521.

Если f (x) f (x) – первообразная v (x), v (x), то 2f (x) 2f (x) – первообразная 2v (x) .2v (x).

522.

Если f (x) f (x) является первообразной v (x), v (x), то f (2x) f (2x) является первообразной v (2x) .v (2x).

523.

Если f (x) f (x) – первообразная v (x), v (x), то f (x) + 1f (x) +1 – первообразная v (x) + 1.v (x ) +1.

524.

Если f (x) f (x) является первообразной от v (x), v (x), то (f (x)) 2 (f (x)) 2 является первообразной от (v (x)) 2 .{- 2 + 1}}}} {{- \ frac {1} {5}}} $ + c = 4x – $ \ frac {1} {{5 \ left ({5 {\ rm {x}} + 1} \ right)}} $ + c.

(vii)

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {x}} + 3}} {{{\ rm {x}} – 3}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ left ({{\ rm {x}} – 3} \ right) + 6}} {{{\ rm {x}} – 3}}. {\ rm {dx}. } $

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({\ frac {{{\ rm {x}} – 3}} {{{\ rm {x}} – 3}} + \ frac {6} {{{ \ rm {x}} – 3}}} \ right). {\ rm {dx}}

долларов США.

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1.{\ rm {dx}} + 6

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{{\ rm {x}} – 3}}. {\ Rm {dx}} $

.

= x + 6.log (x – 3) + c.

(viii)

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{3 {\ rm {x}} – 1}} {{{\ rm {x}} – 2}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{3 {\ rm {x}} – 6 + 5}} {{{\ rm {x}} – 2}}. {\ rm {dx}} $

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{\ frac {{3 \ left ({{\ rm {x}} – 2} \ right)}} {{{\ rm {x}} – 2}} + \ frac {5} {{{\ rm {x}} – 2}}} \ right].2} + 3 {\ rm {x}} + 3}} {{{\ rm {x}} + 1}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{ \ rm {x}} \ left ({{\ rm {x}} + 1} \ right) + 2 \ left ({{\ rm {x}} + 1} \ right) + 1}} {{{\ rm {x}} + 1}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ left ({{\ rm {x}} + 1} \ right) \ left ({{\ rm {x}} + 2} \ right) + 1} } {{{\ rm {x}} + 1}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {x}} + 2 + \ frac {1} {{{\ rm {x}} + 1}}} \ right). {\ Rm { dx}}

долларов

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}.2} – 4 + 9}} {{{\ rm {x}} + 2}}. {\ Rm {dx}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ left ({{\ rm {x}} + 2} \ right) \ left ({{\ rm {x}} – 2} \ right) + 9} } {{{\ rm {x}} + 2}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {x}} – 2 + \ frac {9} {{{\ rm {x}} + 2}}} \ right). {\ Rm { dx}}

долларов

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {dx}} – 2 \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ Rm {dx}} + 9 \ mathop \ smallint \ nolimits \ гидроразрыв {1} {{{\ rm {x}} + 2}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {{{{\ rm {x}} ^ 2}}} {2} $ – 2x + 9log (x + 2) – c. {\ frac {1} {2}}}}}} \ right \}.{\ frac {1} {2}}}}} {{\ frac {1} {2} .5}} $ + c

= $ \ frac {2} {{25}} $ (5x + 3) 3/2 + $ \ frac {2} {{25}} $ (5x + 3) 1/2 + c

= $ \ frac {2} {{25}} $ [(5x + 3) 3/2 + (5x + 3) 1/2 ] + c.

5.

(я)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + 1} – \ sqrt {\ rm {x}}}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + 1} – \ sqrt {\ rm {x}}}} {\ rm {*}} \ frac {{\ sqrt {{ \ rm {x}} + 1} + \ sqrt {\ rm {x}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + 1} + \ sqrt {\ rm {x}}}}.{\ frac {3} {2}}}}} {{\ frac {3} {2}}} $ + c = $ \ frac {2} {3} $ [(x + 1) 3/2 + x 3/2 ] + c.

(ii)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dx}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + {\ rm {a}}} – \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {a}}}}} $. = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dx}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}) } + {\ rm {a}}} – \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {a}}}}} {\ rm {*}} \ frac {{\ sqrt {{\ rm { x}} + {\ rm {a}}} + \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {a}}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + {\ rm {a}}} + \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {a}}}}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ sqrt {{\ rm {x}} + 1} + \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {a}}}}} {{ {\ rm {x}} + {\ rm {a}} – {\ rm {x}} + {\ rm {a}}}}. {\ frac {3} {2}}}}} {{\ frac {3} {2}}}} \ right] $ + c.

= $ \ frac {1} {{2 {\ rm {a}}}} $. $ \ Frac {2} {3} $ [(x + a) 3/2 + (x – a) 3/2 ] + гр.

= $ \ frac {1} {{3 {\ rm {a}}}} $ [(x + a) 3/2 + (x – a) 3/2 ] + c.

(iii)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ sqrt {2 {\ rm {x}} + 1} – \ sqrt {2 {\ rm {x}} – 3}}} $. dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ sqrt {2 {\ rm {x}} + 1} – \ sqrt {2 {\ rm {x}} – 3}}} {\ rm {*}} \ frac {{\ sqrt {2 {\ rm {x}} + 1} + \ sqrt {2 {\ rm {x}} – 3}}} {{\ sqrt {2 {\ rm {x }} + 1} + \ sqrt {2 {\ rm {x}} – 3}}}.{\ frac {3} {2}}}}} {{\ frac {3} {2} .2}}} \ right] $ + c.

= $ \ frac {1} {{12}} $ [(2x + 1) 3/2 + (2x – 3) 3/2 ] + c.

(iv)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dx}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + {\ rm {a}}} – \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {b}}}}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dx}}. }} {{\ sqrt {{\ rm {x}) } + {\ rm {a}}} – \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {b}}}}} {\ rm {*}} \ frac {{\ sqrt {{\ rm { x}} + {\ rm {a}}} + \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {b}}}}} {{\ sqrt {{\ rm {x}} + {\ rm {a}}} + \ sqrt {{\ rm {x}} – {\ rm {b}}}}}.{\ frac {3} {2}}}} \ right] $ + c.

6.

(я)

Солн:

Или, $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} 5 {\ rm {x}} $ + dx = $ – \ frac {{{\ rm {cos}} 5 {\ rm {x}} }} {5} $ + c.

(ii)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} \ left ({{\ rm {ax}} + {\ rm {b}}} \ right). {\ Rm {dx}} $ = $ – \ frac {{{\ rm {cos}} \ left ({{\ rm {ax}} + {\ rm {b}}} \ right)}} {{\ rm {a}}} $ + c .2} {\ rm {ax}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{1 – {\ rm {cos}} 2 {\ rm {ax}}}} { 2}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({1 – {\ rm {cos}} 2 {\ rm {ax}}} \ справа) {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} [\ mathop \ smallint \ nolimits 1. 3} {\ rm {bx}}.2} 2 {\ rm {x}})] $. Dx

= $ \ frac {1} {4} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{1–2 {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}} + \ frac {1} {2} \ left ({1 + {\ rm {cos}} 4 {\ rm {x}}} \ right)} \ right] $. Dx

= $ \ frac {1} {4} $$ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({1–2 {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} {\ rm {cos}} 4 {\ rm {x}}} \ right) $. dx

= $ \ frac {1} {4} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({\ frac {3} {2} – 2. {\ Rm {cos}} 2 {\ rm {x}} + \ frac {1} {2}. {\ Rm {cos}} 4 {\ rm {x}}} \ right) $. Dx

= $ \ frac {1} {4} $$ \ left [{\ frac {{3 {\ rm {x}}}} {2} – \ frac {{2 {\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {2} + \ frac {1} {2}.2} 2 {\ rm {nx}})) {\ rm {dx}}

долл. США

= $ \ frac {1} {4} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{1 + 2 {\ rm {cos}} 2 {\ rm {nx}} + \ frac {1} {2} \ left ({1 + {\ rm {cos}} 4 {\ rm {nx}}} \ right)} \ right] $. Dx

= $ \ frac {1} {4} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({\ frac {3} {2} + 2. {\ Rm {cos}} 2 {\ rm {nx}} + \ frac {1} {2}. {\ Rm {cos}} 4 {\ rm {nx}}} \ right) $. Dx

= $ \ frac {1} {4} $$ \ left [{\ frac {{3 {\ rm {x}}}} {2} + \ frac {{2 {\ rm {sin}} 2 {\ rm {nx}}}} {{2 {\ rm {n}}}} + \ frac {1} {2}. \ frac {{{\ rm {sin}} 4 {\ rm {nx}}}} {{4 {\ rm {n}}}}} \ right] $ + c

= $ \ frac {1} {4} \ left [{\ frac {{12 {\ rm {x}} + 8 {\ rm {sin}} 2 {\ rm {nx}} + {\ rm {sin} }} 4 {\ rm {nx}}}} {{8 {\ rm {n}}}}} \ right] $ + c

= $ \ frac {1} {{32 {\ rm {n}}}} $ (12nx + 8sin2nx + sin4nx) + c.{2 {\ rm {\:}}}} \ frac {{{\ rm {nx}}}} {2}. {\ Rm {dx \: \:}} $

.

= $ \ frac {1} {2} \ left ({\ frac {{- \ cot \ frac {{{\ rm {nx}}}}} {2}}} {{\ frac {{\ rm {n }}} {2}}}} \ right) $ + c.

= $ – \ frac {1} {{\ rm {n}}} $ детская кроватка. $ \ frac {{{\ rm {nx}}}} {2} $ + c

(vi)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dx}}}} {{1 – {\ rm {sinax}}}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{ \ rm {dx}}}} {{1 – {\ rm {sinax}}}} {\ rm {*}} \ frac {{1 + {\ rm {sinax}}}} {{1 + {\ rm {sinax}}}}

долларов США

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{1 + {\ rm {sinax}}}} {{1 – {{\ sin} ^ 2} {\ rm {ax}}}}.2} {\ rm {ax}} + {\ rm {tanax}}. {\ Rm {secax}}} \ right). {\ Rm {dx \: \:}} $

.

= $ \ frac {{{\ rm {tanax}}}} {{\ rm {a}}} + \ frac {{{\ rm {secax}}}} {{\ rm {a}}} $ + c.

= $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} $ (tanax + secax) + c.

8

(я)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} 6 {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits 2. {\ rm {sin}} 6 {\ rm {x}}. {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{\ sin \ left ({6 {\ rm {x}} + 2 {\ rm {x}}} \ right) + \ sin \ left ({6 {\ rm {x}} – 2 {\ rm {x}}} \ right)} \ right].{\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {sin}} 8 {\ rm {x}} + {\ rm {sin}} 4 {\ rm {x }}} \ right). {\ rm {dx}}

долларов

= $ \ frac {1} {2} \ left [{- \ frac {{{\ rm {cos}} 8 {\ rm {x}}}} {8} – \ frac {{{\ rm {cos} }} 4 {\ rm {x}}}} {4}} \ right] $ + c

= $ \ frac {{- {\ rm {cos}} 8 {\ rm {x}}}} {{16}} – \ frac {{{\ rm {cos}} 4 {\ rm {x}} }} {8} $ + c.

(ii)

Солн:

Или, $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} 7 {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} 5 {\ rm {x}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits 2.{\ rm {sin}} 7 {\ rm {x}}. {\ rm {sin}} 5 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{\ sin \ left ({7 {\ rm {x}} – 5 {\ rm {x}}} \ right) – \ cos \ left ({7 {\ rm {x}} + 5 {\ rm {x}}} \ right)} \ right]. {\ rm {dx}} $

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}} – {\ rm {cos}} 12 {\ rm {x }}} \ right). {\ rm {dx}}

долларов

= $ \ frac {1} {2} \ left [{\ frac {{{\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {2} – \ frac {{{\ rm {sin}} } 12 {\ rm {x}}}} {{12}}} \ right] $ + c

= $ \ frac {{{\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {4} – \ frac {{{\ rm {sin}} 12 {\ rm {x}}}} { {24}} $ + c.

(iii)

Солн:

Или, $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} 6 {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} 8 {\ rm {x}}. {\ Rm {dx}} $ = $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits 2. {\ rm {sin}} 6 {\ rm {x}}. {\ rm {cos}} 8 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{\ sin \ left ({6 {\ rm {x}} + 8 {\ rm {x}}} \ right) + { \ rm {sin}} \ left ({6 {\ rm {x}} – 8 {\ rm {x}}} \ right)} \ right]. {\ rm {dx}} $

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {sin}} 14 {\ rm {x}} + {\ rm {sin}} (- 2 {\ rm {x}}} \ right).{\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({{\ rm {sin}} 14 {\ rm {x}} – {\ rm {sin}} 2 {\ rm {x }}} \ right). {\ rm {dx}}

долларов

= $ \ frac {1} {2} \ left [{- \ frac {{{\ rm {cos}} 14 {\ rm {x}}}} {{14}} – \ frac {{\ left ( {- {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}} \ right)}} {2}} \ right] $ + c

= $ – \ frac {{{\ rm {cos}} 14 {\ rm {x}}}} {{28}} + \ frac {{{\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}} }} {4} $ + c = $ \ frac {{{\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}}} {4} – \ frac {{{\ rm {cos}} 14 {\ rm {x}}}} {{18}} $ + c.

(iv)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cospx}}.{\ rm {cosqx}}. {\ rm {dx}} $ = $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits 2. {\ rm {cospx}}. {\ rm {cosqx}}. {\ rm {dx}}

долларов США

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left [{\ cos \ left ({{\ rm {px}} + {\ rm {qx}}} \ right) + {\ rm {cos}} \ left ({{\ rm {px}} – {\ rm {qx}}} \ right)} \ right]. {\ rm {dx}} $

= $ \ frac {1} {2} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({\ cos \ left ({{\ rm {p}} + {\ rm {q}}} \ right) {\ rm { x}} + {\ rm {cos}} ({\ rm {p}} – {\ rm {q}}} \ right) {\ rm {x}}). {\ rm {dx}} $

.

= $ \ frac {1} {2} \ left [{\ frac {{{\ rm {sin}}} \ left ({{\ rm {p}} + {\ rm {q}}} \ right) { \ rm {x}}}} {{{\ rm {p}} + {\ rm {q}}}} + \ frac {{\ sin \ left ({{\ rm {p}} – {\ rm { q}}} \ right) {\ rm {x}}}} {{{\ rm {p}} – {\ rm {q}}}}} \ right] $ + c

9.2} – 4}} $. Dx

Положим 3x 2 – 4 = y

Или, 6x. 2}.3} + 1} \ right) $. Dx

Положим, x 3 + 1 = y

Или, 3x 2 .dx = dy

Итак, x 3 .dx = $ \ frac {1} {3} $ dy

Итак, I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosy}} \ frac {1} {3} $. Dy $ \ frac {1} {3} $ siny + c = $ \ frac {1} {3} $ sin (x 3 + 1) + c.

(iii)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ rm {x}}} {\ rm {sin}} \ left ({{\ rm {logx}}} \ right) $. Dx

Положим, logx = y

Или $ \ frac {1} {{\ rm {x}}} $.{\ frac {9} {2}}}}} {{\ frac {9} {2}}} $ + c

= $ – \ frac {2} {5} $ cot 5/2 x – $ \ frac {2} {9} $. Cot 9/2 x + c.

(xiv)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sinax}} + {\ rm {cosax}}}} {{{\ rm {sinax}} – {\ rm {cosax}}} } $. dx

Положим sinax – cosax = y

Или {a.cosax – a. (- sinax)} dx = dy

Или, a (cosax + sinax) dx = dy

Итак, (cos ax + sin ax).dx = $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} $ dy.

I = $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dy}}}} {{\ rm {y}}} $ = $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} $ logy + c = $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} $ log (sinax – cosax) + c.

(xv)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cotx}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {cosx}}}}} {{{\ rm {sinx} }}} $. dx

Положим sinx = y ⇒ cosx.dx = dy

I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dy}}}} {{\ rm {y}}} $ = log y + c = log (sinx) + c.

(xvi)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {tanx}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {secx}}. {\ Rm {tanx}}}}. {{{\ rm {secx}}}} $. dx

Положить sec.x = y ⇒ sec.x.tan.x.dx = dy

I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dy}}}} {{\ rm {y}}} $ = log y + c = log (secx) + c.

(xvii)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {secx}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {secx}}.\ left ({{\ rm {secx}} + {\ rm {tanx}}} \ right)}} {{{\ rm {secx}} + {\ rm {tanx}}}} $. dx

Положить sec.x + tan.x = y

Или, (secx.tanx + sec 2 x) .dx = dy

Или, secx (tanx + secx) .dx = dy

I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dy}}}} {{\ rm {y}}} $ = log y + c = log (secx + tanx) + c.

(xviii)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosecx}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {cosecx}}.2} {\ rm {dx}}

долларов США

Положим, tanx = y, sec 2 x.dx = dy.

Или I 1 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {y}} $. Dy = $ \ frac {1} {2} $ y 2 + c 1 = $ \ frac { 1} {2} $ tan 2 x + c 1

Или I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {tanx}}. $ Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sinx}}}}} {{{\ rm {cosx}}}} $. dx

Положим cosx = z

Или –sinx.dx = dz

Или sinx.dx = –dz

I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits – \ frac {{{\ rm {dz}}}} {{\ rm {z}}} $ = – logz + c 2 = – log (cosx ) + c 2

Из (i), I = I 1 – I 2 .2} {\ rm {dx \:}}

долларов США

= I 1 – I 2 …. (I)

I 1 = $ – \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {y}} $. Dy = $ – \ frac {1} {2} $ y 2 + c 1 = $ – \ frac {1} {2} детская кроватка $ 2 х + с 1 .

I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cotx}}. $ Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {cosx}}}}} {{{\ rm { sinx}}}} $. dx

Положим, sinx = z

Или cosx.dx = dz

Или, I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dz}}}} {{\ rm {z}}} $ = logz + c 2 = log (sin x ) + c 2 . 4} {\ rm {x}}.3} – {\ rm {y}}} \ right) $. Dy = $ \ frac {1} {4} $. Y 4 – $ \ frac {1} {2} $ y 2 + c 1 = $ \ frac {1} {4} $ tan 4 x – $ \ frac {1} {2} $ tan 2 x + c 1

I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {tanx}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {tanx}}. {\ Rm {secx}}. }} {{{\ rm {secx}}}} $. dx

Положить sec x = z, secx.tanx.dx = dz

I 2 = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {dz}}}} {{\ rm {z}}} $ = logz + c 2 = log (secx) + c 2

Из (i), I = I 1 + I 2

= $ \ frac {1} {4} $ tan 4 x – $ \ frac {1} {2} $ tan 2 x + c 1 + {log (secx) + c 2 }

= $ \ frac {1} {4} $ tan 4 x – $ \ frac {1} {2} $ tan 2 x + log (secx) + c 1 + c 2

= $ \ frac {1} {4} $ tan 4 x – $ \ frac {1} {2} $ tan 2 x + log (secx) + c, c 1 + c 2 .{\ rm {y}}} $. dy = e y + c = e x + 1 / x + c.

(xxviii)

Солн:

Пусть I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sin}} \ sqrt {\ rm {x}}}} {{\ sqrt {\ rm {x}}}} $. Dx

Положим, $ \ sqrt {\ rm {x}} $ = y

Или $ \ frac {1} {{2 \ sqrt {\ rm {x}}}} $. Dx = dy

Или $ \ frac {1} {{\ sqrt {\ rm {x}}}} $. Dx = 2dy.

I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {siny}}. 2 {\ rm {dy}} $ = 2 $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {siny}} $.{\ rm {x}}}}} $. dx

Положим e x = y

Или, e x . Dx = dy

I = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {ydy}}}} {{1 + {\ rm {y}}}} $ = $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ left \ {{\ left ({1 + {\ rm {y}}} \ right) – 1} \ right \}}} {{1 + {\ rm {y}}}} $. dy

= $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({1 – \ frac {1} {{1 + {\ rm {y}}}}} \ right) $. Dy = y – log (1 + y) + c = e x – журнал (1 + e x ) + c. {\ rm {x}}}.{\ frac {{\ rm {\ pi}}} {2}}. {\ rm {x}}. {\ rm {cosx}} $. dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosx}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}} }} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosx}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= x.sinx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosx}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= xsinx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ rm {sinx}} $. Dx = x.sinx – (- cosx) = xsinx + cosx.{\ rm {\ pi}} $ = $ \ frac {1} {4} $ π 2 .

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} 2 {\ rm {x}} $. Dx = x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos }} 2 {\ rm {x}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= x. $ \ Frac {{{\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {2} $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{{\ rm {sin} } 2 {\ rm {x}}}} {2} $. Dx = $ \ frac {1} {2} $. X.sin2x – $ \ frac {1} {2} \ left ({- \ frac { {{\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}}} {2}} \ right) $.{\ rm {\ pi}} $ = $ \ frac {1} {4} $ π 2 .

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} 2 {\ rm {x}} $. Dx = x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos }} 2 {\ rm {x}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= x. $ \ Frac {{{\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {2} $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{{\ rm {sin} } 2 {\ rm {x}}}} {2} $. Dx = $ \ frac {1} {2} $. X.sin2x – $ \ frac {1} {2} \ left ({- \ frac { {{\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}}} {2}} \ right) $.{\ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} $ = $ \ frac {1} {{\ rm {a}}}. \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {{4 {\ rm {a}}}} $.

Антипроизводные и их применение. 11 класс Упражнение по математике 19.4 | Решения

1.

а.

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {logx}} $. Dx = logx $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({{\ rm {logx}}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}.2}}} {2} $ + c = $ \ frac {1} {4} $ x 2 (2logx – 1) + c.

г.

Солн:

Или, $ {\ rm {\:}} \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({5 {\ rm {x}} – 2} \ right). {\ Rm {logx}} $. Dx = logx $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({5 {\ rm {x}} – 2} \ right) $. dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{ {\ rm {dx}}}} \ left ({{\ rm {logx}}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits \ left ({5 {\ rm {x}} – 2} \ right). { \ rm {dx}} \} {\ rm {\:}} $ dx.

= журнал x $ \ left ({\ frac {{5 {{\ rm {x}} ^ 2}}} {2} – 2 {\ rm {x}}} \ right) $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ rm {x}}} $$ \ left ({\ frac {{5 {{\ rm {x}} ^ 2}}} {2} – 2 {\ rm {x }}} \ right) $.2}}} {{{\ rm {d}} \ left ({{\ rm {logx}}} \ right)}}. \ Frac {{{\ rm {d}} \ left ({{\ rm { logx}}} \ right)}} {{{\ rm {dx}}}} \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= (logx) 2 .x – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 2. {\ Rm {log}}. {\ Rm {x}}. \ Frac {1} {{\ rm {x}}} $ .dx

= x (logx) 2 – 2 $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ Rm {logx}} $. Dx

= x (logx) 2 – 2 $ \ left [{{\ rm {logx}} \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ Rm {dx}} – \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac { {\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({{\ rm {logx}}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits 1.{\ rm {dx}} \}. {\ rm {dx}}} \ right]

долларов США

= x (logx) 2 – 2 [logx.x – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {1} {{\ rm {x}}} $. X dx]

= x (logx) 2 – 2x.logx + 2x + c.

e.

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {xlog}} \ left ({{\ rm {x}} – 1} \ right) $. Dx

= журнал (x – 1) $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} {\ rm {log}} \ left ({{\ rm {x}} – 1} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}.{2 {\ rm {x}}}}}} {2} $. Dx = $ \ frac {1} {2} $ (2x – 1) .e 2x – $ \ frac {1} {2} $ e 2x + c.

= $ \ frac {1} {2} $ (2x – 1 – 1) .e 2x + c = $ \ frac {1} {2} $ (2x – 2) e 2x + c

= (x – 1) .e 2x + c.

(я)
soln:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {sinx}} $ dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinx}} $. Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}} }} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinx}}.2} {\ rm {x}}. {\ Rm {dx}} \} $ .dx

= xtanx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. {\ Rm {tanx}} $. Dx

= xtanx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sinx}}}} {{{\ rm {cosx}}}} $. Dx… .. (i)

Положим cosx = y ⇒ –sinx.dx = dy

Итак, sinx.dx = –dy

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sinx}}}} {{{\ rm {cosx}}}} $. Dx = $ \ mathop \ smallint \ nolimits – \ frac {{ {\ rm {dy}}}} {{\ rm {y}}} $ = –logy – c = – log (cosx) – c

Из (i) $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}.2} {\ rm {x}} $. Dx = xtanx – (- log (cosx)) – c)

= xtanx + log (cosx) + c.

к.

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {secx}}. {\ Rm {tanx}} $. Dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {secx}}. {\ Rm {tanx}}. $ Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} { {{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {secx}}. {\ rm {tanx}} \} $ .dx

= x.secx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1.{\ rm {secx}} $. dx = xsecx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {secx}} $. dx

= х сек. – журнал (secx + tanx) + c.

(л)

Солн:

Или $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {cosnx}} $. Dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosnx}}. $ Dx – $ \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}} }} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosnx}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= x $ {\ rm {\:}} \ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{{\ rm {sin}}.2}}} $ cosnx + c

г.

Солн:

или, $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {sinax}} $. Dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinax}} $. Dx – $ {\ rm {\:}} \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} { {{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinax}}. {\ rm {dx}} \} $ .dx

= x. $ \ Frac {{- {\ rm {cosax}}}} {{\ rm {a}}} $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{- {\ rm {cosax} }}} {{\ rm {a}}}. {\ rm {dx}} $ = $ – \ frac {1} {{\ rm {a}}} $.2}}} $ sinax – $ \ frac {1} {{\ rm {a}}} $ x.cosax + c.

п.

Солн:

или, $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {cos}} \ left ({{\ rm {ax}} – {\ rm {b}}} \ right) $. dx

= x $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} \ left ({{\ rm {ax}} – {\ rm {b}}} \ right) $. Dx – $ {\ rm {\ :}} \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} \ left ({{\ rm {ax}} – {\ rm {b}}} \ right). {\ rm {dx}} \} $ .dx

= х.2}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinx}}. {\ Rm {dx}} \} $ .dx

= x 2 . (- cosx) – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 2 {\ rm {x}}. \ Left ({- {\ rm {cosx}}} \ right) $. Dx = –x 2 cosx + 2 $ \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {x}}. {\ Rm {cosx}} $. Dx

= –x 2 cosx + 2 $ [{\ rm {x}} \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosx}}. {\ Rm {dx}} – \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosx}}. {\ rm {dx}} \} {\ rm {dx}}] {\ rm {\:}}

долл. США

= –x 2 .2}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cosnx}}. {\ Rm {dx}} \} $ .dx

= х 2 . $ \ frac {{{\ rm {sinnx}}}} {{\ rm {n}}} $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 2 {\ rm {x}}. \ frac {{{\ rm {sinnx }}}} {{\ rm {n}}} $. dx

= $ \ frac {1} {2} $ x 2 sinnx – $ \ frac {2} {{\ rm {n}}} $$ \ left [{{\ rm {x}} \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinnx}}. {\ rm {dx}} – \ left \ {{\ mathop \ smallint \ nolimits \ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}} } \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sinnx}}. {\ rm {dx}}} \ right \}} \ right] $

= $ \ frac {1} {{\ rm {n}}} $ x 2 .2}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {sin}} \ left ({3 {\ rm {x}} – 2} \ right). {\ Rm {dx}} \} $ .dx

= х 2 . $ \ frac {{\ left ({- \ cos \ left ({3 {\ rm {x}} – 2} \ right)} \ right)}} {3} $ – $ \ mathop \ smallint \ nolimits 2 { \ rm {x}}. \ frac {{\ left ({- \ cos \ left ({3 {\ rm {x}} – 2} \ right)} \ right)}} {3} $. dx

= $ – \ frac {1} {3} $ x 2 .cos (3x – 2) + $ \ frac {2} {3} $$ \ left [{{\ rm {x}}. \ Frac {{\ sin \ left ({3 {\ rm {x}} – 2} \ right)}} {3} – \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{\ sin \ left ({3 {\ rm {x}} – 2} \ right)}} {3}.2}}} {2} $ – $ \ frac {1} {2} $$ [{\ rm {x}} \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} – \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right ) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} \} {\ rm {\:}}. {\ rm {dx}}] $

= $ \ frac {1} {4} $ x 2 – $ \ frac {1} {2} $$ \ left [{\ frac {{{\ rm {xsin}} 2 {\ rm {x}] }}} {2} – \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{{\ rm {sin}} 2 {\ rm {x}}}} {2} {\ rm {dx}}} \ right] $

= $ \ frac {1} {4} $ x 2 – $ \ frac {1} {4} $ xsin2x + $ \ frac {1} {4} $.2}}} {2} $ + $ \ frac {1} {2} $$ [{\ rm {x}} \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 4 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} – \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right ) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 4 {\ rm {x}}. {\ rm {dx}} \} {\ rm {\:}}. {\ rm {dx}}] { \ rm {\:}}

долларов США

= $ \ frac {1} {4} $ x 2 + $ \ frac {1} {2} $$ [{\ rm {x}}. \ Frac {{{\ rm {sin}} 4 { \ rm {x}}}} {4} – \ mathop \ smallint \ nolimits 1. \ frac {{{\ rm {sin}} 4 {\ rm {x}}}} {4} $. dx $] $

= $ \ frac {1} {4} $ x 2 + $ \ frac {1} {8} $ x.2}}} {2} $ – $ \ frac {1} {2} [{\ rm {x}} \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {nx}}. {\ rm {dx}} – \ mathop \ smallint \ nolimits \ {\ frac {{\ rm {d}}} {{{\ rm {dx}}}} \ left ({\ rm {x}} \ right) \ mathop \ smallint \ nolimits {\ rm {cos}} 2 {\ rm {nx}}. {\ rm {dx}} \} {\ rm {\: dx}}] $

= $ \ frac {1} {4} $ x 2 – $ \ frac {1} {2} $$ \ left [{{\ rm {x}}. \ Frac {{{\ rm {sin}} } 2 {\ rm {nx}}}} {{2 {\ rm {n}}}} – \ mathop \ smallint \ nolimits 1.

Оставить комментарий