Решение предел функции онлайн: Предел функции lim y = f(x) = log(x)/x (логарифм от (х) делить на х) в точке x -> x0 и бесконечности - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Вычисление пределов функций онлайн. Предел функции Предел функции стремится к 0

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять

чётная , поэтому: .

Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению

(а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.

Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить

предельное значение функции на бесконечности.

определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису – . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи – вы избежите собственных ошибок и описок.

Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для

решения лимитов онлайн , каковым является matematikam.ru.

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $

Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. 2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a – ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т. е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3. 1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3. 3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т. е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x – 3 :

D = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.

калькулятор пределов – найти предел онлайн

Калькулятор пределов используется для оценки предельных функций по указанной переменной. Переменная может быть x, y или z. Предел калькулятор решает границы с шагами и показывает каждую фазу расчета.

Ниже вы найдете определение лимитов, как рассчитать лимиты без использования поиска лимитов, формулу лимитов и некоторые примеры для понимания лимитов.

Какие есть ограничения?

Идея предела функции жизненно важна для изучения исчисления. Он используется при описании некоторых важных теорий в исчислении, таких как определенный интеграл функции, производная функции и непрерывность.

Предел некоторой функция F (X) определяет поведение функции вблизи конкретной й значение. n

Проверка наличия лимита

Чтобы проверить, существует ли предел для f (x) при x = a, мы проверяем,

Предел слева = Предел справа = f ( a)

Правило L’hospital

Где,

f ( а) = 0

г ( а) = 0

Потом,

Правило суммы пределов

Ограничивает правило продукта

Правило предельного частного

Правило ограничения власти

Постоянное правило ограничений

Предел постоянной функции равен постоянной.

Как оценить лимиты?

Оценщик пределов разработан специально для оценки пределов. Но мы объясним ручной метод оценки пределов. Пример ниже иллюстрирует метод из справочника с пошаговыми инструкциями.

Пример :
Evluate :

lim_x→cf(x)= L−−

Решение:

Шаг 1: Запишите значение. 2) -5 (2) +2

= 8 + 8-10 + 2
= 8

так,

1 lim_x→2(x³)+ 2 lim_x→2(x²)− 5 lim_x→2(x)+ lim_x→2(x)+ 2−−

Вы можете использовать приведенный выше калькулятор правил l’hopital, чтобы проверить ответ любой функции ограничения.

Вот график, построенный для указанной выше функции.

Пределы функций. Примеры решений.

Пределы функций. Примеры решений.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Итак, что же такое предел?

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Простейшие виды пределов:

, , , , , , , , , , , ,

Правило 1: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Пример 1.
Разделим числитель и знаменатель на

Пример 2.

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3.

Разделим числитель и знаменатель на

Правило 2: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Пример 1.

Разложим числитель на множители.

Пример 2.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Правило 3: когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Пример 3.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Нахождение предела функции с помощью графического калькулятора TI-86.

Управление настройками файлов cookie

Вы можете управлять своими предпочтениями относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, пока вы находитесь на веб-сайтах TI, изменяя статус этих категорий.

Категория	Описание	Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie	Эти файлы cookie, включая файлы cookie Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам.Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie	Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie	Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и актуальный опыт работы на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Файлы cookie социальных сетей	Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо	Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie).	Всегда на связи

2.2 Предел функции – Объем исчисления 1

Цели обучения

2.2.1 Используя правильные обозначения, опишите предел функции.
2.2.2 Используйте таблицу значений, чтобы оценить предел функции или определить, когда предел не существует.
2.2.3 Используйте график, чтобы оценить предел функции или определить, когда предел не существует.
2.2.4 Определите односторонние ограничения и приведите примеры.
2.2.5 Объясните взаимосвязь между односторонними и двусторонними ограничениями.
2.2.6 Используя правильные обозначения, опишите бесконечный предел.
2.2.7 Определите вертикальную асимптоту.

Концепция предельного или ограничивающего процесса, важная для понимания исчисления, существует уже тысячи лет. Фактически, первые математики использовали процесс ограничения для получения более точных приближений площадей кругов. Тем не менее, формальное определение предела – в том виде, в каком мы его знаем и понимаем сегодня – появилось только в конце 19 века.Поэтому мы начинаем наши поиски понимания пределов, как это делали наши математические предки, с интуитивного подхода. В конце этой главы, вооружившись концептуальным пониманием пределов, мы исследуем формальное определение предела.

Мы начинаем исследование пределов с рассмотрения графиков функций

f (x) = x2−4x − 2, g (x) = | x − 2 | x − 2 и h (x) = 1 (x − 2) 2, f (x) = x2−4x − 2, g (x) = | x − 2 | x − 2 и h (x) = 1 (x − 2) 2,

, которые показаны на рис. 2.12. В частности, давайте сосредоточим наше внимание на поведении каждого графика при x = 2 и около него. х = 2.

Фигура 2,12 Эти графики показывают поведение трех различных функций в районе x = 2.x = 2.

Каждая из трех функций не определена при x = 2, x = 2, но если мы сделаем это утверждение, а не другое, мы дадим очень неполную картину того, как каждая функция ведет себя в окрестности x = 2.x = 2. Чтобы более полно выразить поведение каждого графа в окрестности 2, нам нужно ввести понятие предела.

Интуитивное определение предела

Давайте сначала подробнее рассмотрим, как функция f (x) = (x2−4) / (x − 2) f (x) = (x2−4) / (x − 2) ведет себя при x = 2x = 2. на рисунке 2.12. Поскольку значения x приближаются к 2 по обе стороны от 2, значения y = f (x) y = f (x) приближаются к 4. Математически мы говорим, что предел f (x) f (x ) поскольку x приближается к 2, это 4. Символически мы выражаем этот предел как

. limx → 2f (x) = 4. limx → 2f (x) = 4.

Из этого очень краткого неформального взгляда на один предел, давайте начнем развивать интуитивное определение предела. Мы можем думать о пределе функции с числом a как о единственном действительном числе L , к которому функциональные значения приближаются, как приближение значений x к a, при условии, что такое действительное число L существует. .Если говорить более внимательно, мы имеем следующее определение:

Определение

Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале, содержащем a , за возможным исключением a , и пусть L будет действительным числом. Если все значения функции f (x) f (x) приближаются к действительному числу L , поскольку значения x (≠ a) x (≠ a) приближаются к числу a , то мы говорим, что предел f (x) f (x), когда x приближается к , а – это L . (Более сжато, поскольку x приближается к a , f (x) f (x) приближается и остается близким к L .) Символически мы выражаем эту идею как

limx → af (x) = L.limx → af (x) = L.

(2.3)

Мы можем оценить пределы, построив таблицы функциональных значений и посмотрев на их графики. Этот процесс описан в следующей стратегии решения проблем.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: оценка предела с помощью таблицы функциональных значений

Чтобы оценить limx → af (x), limx → af (x), мы начинаем с заполнения таблицы функциональных значений.Мы должны выбрать два набора значений x : один набор значений приближается к a и меньше a , а другой набор значений приближается к a и больше a .

Таблица 2.1 демонстрирует, как могут выглядеть ваши таблицы.

x	е (х) е (х)	x	е (х) е (х)
а-0,1а-0,1	f (a-0,1) f (a-0.1)	а + 0,1а + 0,1	е (а + 0,1) е (а + 0,1)
a − 0,01a − 0,01	е (а-0,01) е (а-0,01)	а + 0,01 а + 0,01	е (а + 0,01) е (а + 0,01)
a − 0,001a − 0,001	е (а-0,001) е (а-0,001)	а + 0,001 а + 0,001	е (а + 0,001) е (а + 0,001)
а-0,0001а-0,0001	е (а-0,0001) е (а-0,0001)	а + 0,0001а + 0,0001	f (а + 0. 0001) ф (а + 0,0001)
При необходимости используйте дополнительные значения.		При необходимости используйте дополнительные значения.

Таблица 2.1 Таблица функциональных значений limx → af (x) limx → af (x)

Затем давайте посмотрим на значения в каждом из столбцов f (x) f (x) и определим, приближаются ли значения к одному значению при перемещении вниз по каждому столбцу. В наших столбцах мы смотрим на последовательность f (a − 0.1), f (a − 0.01), f (a − 0.001)., F (a − 0.0001), f (a − 0.1), f (a − 0,01), f (a − 0,001)., F (a − 0,0001) и т. Д., А также f (a + 0,1), f (a + 0,01), f (a + 0,001) , f (a + 0,0001), f (a + 0,1), f (a + 0,01), f (a + 0,001), f (a + 0,0001) и т. д. ( Примечание : хотя мы выбрали значения x : a ± 0,1, a ± 0,01, a ± 0,001, a ± 0,0001, a ± 0,1, a ± 0,01, a ± 0,001, a ± 0,0001 и т. Д. , и эти значения, вероятно, будут работать почти каждый раз, в очень редких случаях нам может потребоваться изменить наш выбор.)
Если оба столбца приближаются к общему значению y L , мы указываем limx → af (x) = L.limx → af (x) = L. Мы можем использовать следующую стратегию для подтверждения результата, полученного из таблицы, или в качестве альтернативного метода оценки лимита.
Используя графический калькулятор или компьютерное программное обеспечение, которое позволяет нам строить графики функций, мы можем построить график функции f (x), f (x), убедившись, что функциональные значения f (x) f (x) для значений x близки к и находятся в нашем окне. Мы можем использовать функцию трассировки, чтобы перемещаться по графику функции и наблюдать за считыванием значения y , когда значения x приближаются к a . Если значения y приближаются к L , так как наши значения x приближаются к a с обоих направлений, тогда limx → af (x) = L.limx → af (x) = L. Возможно, нам придется увеличить масштаб нашего графика и повторить этот процесс несколько раз.

Мы применяем эту стратегию решения проблем для вычисления предела в примере 2.4.

Пример 2,4

Оценка предела с помощью таблицы функциональных значений 1

Оцените limx → 0sinxxlimx → 0sinxx, используя таблицу функциональных значений.

Решение

Мы вычислили значения f (x) = (sinx) / xf (x) = (sinx) / x для значений x , перечисленных в таблице 2.2.

x	sinxxsinxx	x	sinxxsinxx
-0,1	0,998334166468	0,1	0,998334166468
-0,01	0. 999983333417	0,01	0,999983333417
-0,001	0,999999833333	0,001	0,999999833333
-0,0001	0,999999998333	0,0001	0,999999998333

Таблица 2.2 Таблица функциональных значений для limx → 0sinxxlimx → 0sinxx

Примечание : Значения в этой таблице были получены с использованием калькулятора и с использованием всех позиций, указанных в выходных данных калькулятора.

Читая каждый столбец (sinx) x (sinx) x, мы видим, что значения в каждом столбце приближаются к единице. Таким образом, вполне разумно заключить, что limx → 0sinxx = 1.limx → 0sinxx = 1. Калькулятор или компьютерный график f (x) = (sinx) xf (x) = (sinx) x будет аналогичен изображенному на рис. 2.13, и это подтверждает нашу оценку.

Фигура 2,13 График f (x) = (sinx) / xf (x) = (sinx) / x подтверждает оценку из таблицы 2.2.

Пример 2,5

Оценка предела с помощью таблицы функциональных значений 2

Вычислите limx → 4x − 2x − 4limx → 4x − 2x − 4, используя таблицу функциональных значений.

Решение

Как и раньше, мы используем таблицу – в данном случае Таблица 2.3 – для перечисления значений функции для заданных значений x .

x	х − 2x − 4x − 2x − 4	x	х − 2x − 4x − 2x − 4
3,9	0,251582341869	4,1	0,248456731317
3. 99	0,25015644562	4.01	0,24984394501
3,999	0,250015627	4,001	0,249984377
3.9999	0,250001563	4.0001	0,249998438
3.99999	0,25000016	4.00001	0,24999984

Таблица 2.3 Таблица функциональных значений limx → 4x − 2x − 4limx → 4x − 2x − 4

Изучив эту таблицу, мы видим, что функциональные значения меньше 4, по-видимому, уменьшаются в сторону 0.25, тогда как функциональные значения больше 4, по-видимому, увеличиваются до 0,25. Мы заключаем, что limx → 4x − 2x − 4 = 0,25. Limx → 4x − 2x − 4 = 0,25. Мы подтверждаем эту оценку, используя график f (x) = x − 2x − 4f (x) = x − 2x − 4, показанный на рисунке 2.14.

Фигура 2,14 График f (x) = x − 2x − 4f (x) = x − 2x − 4 подтверждает оценку из таблицы 2.3.

Контрольно-пропускной пункт 2,4

Оцените limx → 11x − 1x − 1limx → 11x − 1x − 1, используя таблицу функциональных значений. Используйте график, чтобы подтвердить свою оценку.

На этом этапе мы видим из примеров 2.4 и 2.5, что может быть так же легко, если не проще, оценить предел функции путем проверки ее графика, как и оценить предел с помощью таблицы функциональных значений. . В примере 2.6 мы оцениваем предел исключительно на основе графика, а не с помощью таблицы функциональных значений.

Пример 2,6

Оценка предела с помощью графика

Для g (x) g (x), показанного на рисунке 2.15, вычислим limx → −1g (x).limx → −1g (x).

Фигура 2,15 График g (x) g (x) включает одно значение не на гладкой кривой.

Решение

Несмотря на то, что g (−1) = 4, g (−1) = 4, поскольку значения x приближаются к −1 с любой стороны, значения g (x) g (x) приближаются к 3. Следовательно, limx → −1g (x) = 3.limx → −1g (x) = 3. Обратите внимание, что мы можем определить этот предел, даже не зная алгебраического выражения функции.

На основе примера 2.6 мы делаем следующее наблюдение: возможно, что предел функции существует в точке, и функция может быть определена в этой точке, но предел функции и значение функции по сути может быть иначе.

Контрольно-пропускной пункт 2,5

Используйте график h (x) h (x) на рисунке 2.16, чтобы оценить limx → 2h (x), limx → 2h (x), если это возможно.

Фигура 2,16

Просмотр таблицы функциональных значений или просмотра графика функции дает нам полезное представление о значении предела функции в данной точке. Однако эти методы слишком полагаются на догадки. В конечном итоге нам необходимо разработать альтернативные методы оценки пределов.Эти новые методы носят более алгебраический характер, и мы исследуем их в следующем разделе; однако здесь мы вводим два особых ограничения, которые лежат в основе будущих техник.

Теорема 2.1

Два важных ограничения

Пусть a будет действительным числом, а c будет константой.

limx → ax = alimx → ax = a
(2.4)
limx → ac = climx → ac = c
(2.5)

Мы можем сделать следующие наблюдения об этих двух пределах.

Что касается первого предела, обратите внимание, что, поскольку x приближается к a , то же самое происходит с f (x), f (x), потому что f (x) = x.f (x) = x. Следовательно, limx → ax = a. limx → ax = a.
В качестве второго предела см. Таблицу 2.4.

x	f (x) = cf (x) = c	x	f (x) = cf (x) = c
а-0,1а-0,1	с	а + 0.1а + 0,1	с
a − 0,01a − 0,01	с	а + 0,01 а + 0,01	с
a − 0,001a − 0,001	с	а + 0,001 а + 0,001	с
а-0,0001а-0,0001	с	а + 0,0001а + 0,0001	с

Таблица 2,4 Таблица функциональных значений limx → ac = climx → ac = c

Обратите внимание, что для всех значений x (независимо от того, приближаются ли они к a ), значения f (x) f (x) остаются постоянными на уровне c . У нас нет другого выбора, кроме как заключить limx → ac = c.limx → ac = c.

Существование предела

Когда мы рассматриваем предел в следующем примере, имейте в виду, что для того, чтобы предел функции существовал в точке, функциональные значения должны приближаться к единственному значению действительного числа в этой точке. Если функциональные значения не приближаются к единственному значению, то предел не существует.

Пример 2,7

Оценка несуществующего предела

Вычислить limx → 0sin (1 / x) limx → 0sin (1 / x), используя таблицу значений.

Решение

В таблице 2.5 перечислены значения функции sin (1 / x) sin (1 / x) для заданных значений x .

x	грех (1x) грех (1x)	x	грех (1x) грех (1x)
-0,1	0,544021110889	0,1	-0,544021110889
-0,01	0. 50636564111	0,01	-0,50636564111
-0,001	-0,8268795405312	0,001	0,826879540532
-0,0001	0,305614388888	0,0001	-0,305614388888
-0,00001	-0,035748797987	0,00001	0,035748797987
-0,000001	0,349993504187	0,000001	−0.349993504187

Таблица 2,5 Таблица функциональных значений для limx → 0sin (1x) limx → 0sin (1x)

Изучив таблицу функциональных значений, мы видим, что значения y , похоже, не приближаются к какому-либо одному значению. Похоже, лимит не существует. Прежде чем сделать такой вывод, давайте рассмотрим более систематический подход. Возьмем следующую последовательность значений x , приближающихся к 0:

. 2π, 23π, 25π, 27π, 29π, 211π,… .2π, 23π, 25π, 27π, 29π, 211π,….

Соответствующие значения и равны

. 1, −1,1, −1,1, −1,… .1, −1,1, −1,1, −1,….

Здесь мы действительно можем заключить, что limx → 0sin (1 / x) limx → 0sin (1 / x) не существует. (Математики часто сокращают «не существует» как DNE. Таким образом, мы бы записали limx → 0sin (1 / x) limx → 0sin (1 / x) DNE.) График f (x) = sin (1 / x) f (x) = sin (1 / x) показано на рисунке 2.17 и дает более ясную картину поведения sin (1 / x) sin (1 / x) при приближении x к нулю. Вы можете видеть, что sin (1 / x) sin (1 / x) колеблется еще более резко между -1 и 1, когда x приближается к 0.

Фигура 2,17 График f (x) = sin (1 / x) f (x) = sin (1 / x) быстро колеблется между -1 и 1, когда x приближается к 0.

Контрольно-пропускной пункт 2,6

Используйте таблицу функциональных значений, чтобы оценить limx → 2 | x2−4 | x − 2, limx → 2 | x2−4 | x − 2, если возможно.

Односторонние ограничения

Иногда указание на то, что предел функции не существует в какой-либо точке, не дает нам достаточно информации о поведении функции в этой конкретной точке.Чтобы убедиться в этом, вернемся к функции g (x) = | x − 2 | / (x − 2) g (x) = | x − 2 | / (x − 2), введенной в начале раздела (см. Рисунок 2.12 (б)). Поскольку мы выбираем значения x , близкие к 2, g (x) g (x) не приближается к единственному значению, поэтому предел, как x приближается к 2, не существует, то есть limx → 2g (x) limx → 2g (x) ДНЭ. Однако это утверждение само по себе не дает нам полной картины поведения функции около значения 2 x . Чтобы обеспечить более точное описание, мы вводим идею одностороннего предела. Для всех значений слева от 2 (или отрицательная сторона 2) g (x) = – 1.g (x) = – 1. Таким образом, когда x приближается к 2 слева, g (x) g (x) приближается к -1. Математически мы говорим, что предел, когда x приближается к 2 слева, равен -1. Символически мы выражаем эту идею как

. limx → 2 − g (x) = – 1. limx → 2 − g (x) = – 1.

Точно так же, поскольку x приближается к 2 справа (или от положительной стороны ), g (x) g (x) приближается к 1. Символически мы выражаем эту идею как

limx → 2 + g (x) = 1.limx → 2 + g (x) = 1.

Теперь мы можем дать неформальное определение односторонних ограничений.

Определение

Мы определяем два типа односторонних ограничений .

Предел слева: Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы ( c , a ), и пусть L будет действительным числом . Если значения функции f (x) f (x) приближаются к действительному числу L , а значения x (где x a , то мы говорим, что L – это предел f (x) f (x), поскольку x приближается к a слева.Символически мы выражаем эту идею как

limx → a − f (x) = L.limx → a − f (x) = L.

(2,6)

Предел справа: Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы (a, c), (a, c), и пусть L будет настоящий номер. Если значения функции f (x) f (x) приближаются к действительному числу L, поскольку значения x (где x> a) x> a) приближаются к числу a , тогда мы говорим, что L это предел f (x) f (x), поскольку x приближается к a справа. Символически мы выражаем эту идею как

. limx → a + f (x) = L. limx → a + f (x) = L.

(2,7)

Пример 2,8

Оценка односторонних пределов

Для функции f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2, f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2, оцените каждый из следующих пределов.

limx → 2 − f (x) limx → 2 − f (x)
limx → 2 + f (x) limx → 2 + f (x)

Решение

Мы снова можем использовать таблицы функциональных значений Таблица 2.6.Обратите внимание, что для значений x меньше 2 мы используем f (x) = x + 1f (x) = x + 1, а для значений x больше 2 мы используем f (x) = x2−4 .f (x) = x2−4.

x	f (x) = x + 1f (x) = x + 1	x	f (x) = x2−4f (x) = x2−4
1,9	2,9	2,1	0,41
1,99	2,99	2. 01	0,0401
1,999	2,999	2,001	0,004001
1.9999	2,9999	2.0001	0,00040001
1.99999	2,99999	2,00001	0,0000400001

Таблица 2,6 Таблица функциональных значений для f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2

На основании этой таблицы можно сделать вывод, что a.limx → 2 − f (x) = 3limx → 2 − f (x) = 3 и b. limx → 2 + f (x) = 0, limx → 2 + f (x) = 0. Следовательно, (двусторонний) предел для f (x) f (x) не существует при x = 2.x = 2. Рисунок 2.18 показывает график f (x) f (x) и усиливает наш вывод об этих пределах.

Фигура 2,18 График f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2f (x) = {x + 1ifx <2x2−4ifx≥2 имеет разрыв при x = 2.x = 2.

Контрольно-пропускной пункт 2,7

По возможности используйте таблицу функциональных значений для оценки следующих пределов.

limx → 2− | x2−4 | x − 2limx → 2− | x2−4 | x − 2
limx → 2 + | x2−4 | x − 2limx → 2 + | x2−4 | x − 2

Давайте теперь рассмотрим взаимосвязь между пределом функции в точке и пределами справа и слева в этой точке.Кажется очевидным, что если предел справа и предел слева имеют общее значение, то это общее значение является пределом функции в этой точке. Точно так же, если предел слева и предел справа принимают разные значения, предел функции не существует. Эти выводы кратко изложены в разделе «Связь односторонних и двусторонних ограничений».

Теорема 2.2

Связь односторонних и двусторонних ограничений

Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале, содержащем a , за возможным исключением a , и пусть L будет действительным числом. Затем

limx → af (x) = L., если и только если limx → a − f (x) = Landlimx → a + f (x) = L.limx → af (x) = L., если и только еслиlimx → a − f ( х) = Landlimx → a + f (x) = L.

Бесконечные пределы

Оценка предела функции в точке или оценка предела функции справа и слева в точке помогает нам охарактеризовать поведение функции вокруг заданного значения. Как мы увидим, мы также можем описать поведение функций, не имеющих конечных пределов.

Теперь обратим наше внимание на h (x) = 1 / (x − 2) 2, h (x) = 1 / (x − 2) 2, третью и последнюю функцию, представленную в начале этого раздела (см. Рис. 2.12 (в)). Из его графика мы видим, что по мере приближения значений x к 2 значения h (x) = 1 / (x − 2) 2h (x) = 1 / (x − 2) 2 становятся все больше и больше и, фактически стать бесконечным. Математически мы говорим, что предел h (x) h (x), когда x приближается к 2, равен положительной бесконечности. Символически мы выражаем эту идею как

. limx → 2h (x) = + ∞.limx → 2h (x) = + ∞.

В более общем плане мы определяем бесконечные пределы следующим образом:

Определение

Мы определяем три типа бесконечных лимитов .

Бесконечные пределы слева: Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы (b, a). (B, a).

Если значения f (x) f (x) неограниченно увеличиваются по мере приближения значений x (где x a , то мы говорим, что предел как x приближается к , а слева – это положительная бесконечность, и мы пишем
limx → a − f (x) = + ∞.limx → a − f (x) = + ∞.
(2,8)
Если значения f (x) f (x) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где x a , то мы говорим, что предел как x приближается к , а слева – отрицательная бесконечность, и мы пишем
limx → a − f (x) = – ∞. limx → a − f (x) = – ∞.
(2.9)

Бесконечные пределы справа : Пусть f (x) f (x) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы (a, c). (A, c).

Если значения f (x) f (x) неограниченно увеличиваются по мере приближения значений x (где x> a) x> a) к числу a , тогда мы говорим, что предел как x приближается к , а справа – это положительная бесконечность, и мы пишем
limx → a + f (x) = + ∞.limx → a + f (x) = + ∞.
(2.10)
Если значения f (x) f (x) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где x> a) x> a) к числу a , то мы говорим, что предел как x приближается к , а справа – отрицательная бесконечность, и мы пишем
limx → a + f (x) = – ∞. limx → a + f (x) = – ∞.
(2.11)

Двусторонний бесконечный предел: Пусть f (x) f (x) определено для всех x ≠ ax ≠ a в открытом интервале, содержащем a .

Если значения f (x) f (x) неограниченно увеличиваются по мере приближения значений x (где x ≠ a) x ≠ a) к числу a , то мы говорим, что предел как x приближается к , а – положительная бесконечность, и мы пишем
limx → af (x) = + ∞.limx → af (x) = + ∞.
(2.12)
Если значения f (x) f (x) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где x ≠ a) x ≠ a) к числу a , то мы говорим, что предел как x приближается к , а – отрицательная бесконечность, и мы пишем
limx → af (x) = – ∞. limx → af (x) = – ∞.
(2.13)

Важно понимать, что когда мы пишем такие утверждения, как limx → af (x) = + ∞limx → af (x) = + ∞ или limx → af (x) = – ∞limx → af (x) = – ∞ мы описываем поведение функции, которое мы только что определили. Мы не утверждаем, что существует предел. Чтобы предел функции f (x) f (x) существовал в a , он должен приближаться к действительному числу L , поскольку x приближается к a . При этом, если, например, limx → af (x) = + ∞, limx → af (x) = + ∞, мы всегда будем писать limx → af (x) = + ∞limx → af (x) = + ∞, а чем limx → af (x) limx → af (x) DNE.

Пример 2,9

Признание бесконечного предела

По возможности оцените каждый из следующих пределов. Используйте таблицу функциональных значений и график f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x, чтобы подтвердить свой вывод.

limx → 0−1xlimx → 0−1x
limx → 0 + 1xlimx → 0 + 1x
limx → 01xlimx → 01x

Решение

Начните с построения таблицы функциональных значений.

x	1x1x	x	1x1x
−0.1	−10	0,1	10
-0,01	−100	0,01	100
-0,001	-1000	0,001	1000
-0,0001	−10 000	0,0001	10 000
-0,00001	−100 000	0,00001	100 000
-0,000001	-1 000 000	0. 000001	1 000 000

Таблица 2,7 Таблица функциональных значений для f (x) = 1xf (x) = 1x

Значения 1 / x1 / x неограниченно уменьшаются, поскольку x приближается к 0 слева. Делаем вывод, что
limx → 0−1x = −∞.limx → 0−1x = −∞.
Значения 1 / x1 / x неограниченно увеличиваются по мере приближения x к 0 справа. Делаем вывод, что
limx → 0 + 1x = + ∞.limx → 0 + 1x = + ∞.
Поскольку limx → 0−1x = −∞limx → 0−1x = −∞ и limx → 0 + 1x = + ∞limx → 0 + 1x = + ∞ имеют разные значения, мы заключаем, что
limx → 01xDNE.limx → 01xDNE.

График f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x на рисунке 2.19 подтверждает эти выводы.

Фигура 2,19 График f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x подтверждает, что предела, когда x приближается к 0, не существует.

Контрольно-пропускной пункт 2,8

По возможности оцените каждый из следующих пределов. Используйте таблицу функциональных значений и график f (x) = 1 / x2f (x) = 1 / x2, чтобы подтвердить свой вывод.

limx → 0−1x2limx → 0−1×2
limx → 0 + 1x2limx → 0 + 1×2
limx → 01x2limx → 01×2

Полезно отметить, что функции вида f (x) = 1 / (x − a) n, f (x) = 1 / (x − a) n, где n – целое положительное число, имеют бесконечные пределы, поскольку x приближается к a либо слева, либо справа (рисунок 2.20). Эти пределы суммированы в Бесконечные пределы от положительных целых чисел.

Фигура 2,20 Функция f (x) = 1 / (x − a) nf (x) = 1 / (x − a) n имеет бесконечные пределы в a .

Теорема 2.3

Бесконечные пределы от положительных целых чисел

Если n – положительное четное целое число, то

limx → a1 (x − a) n = + ∞.

Если n – положительное нечетное целое число, то

limx → a + 1 (x − a) n = + ∞limx → a + 1 (x − a) n = + ∞

limx → a − 1 (x − a) n = −∞.limx → a − 1 (x − a) n = −∞.

Следует также отметить, что на графиках f (x) = 1 / (x − a) n, f (x) = 1 / (x − a) n, точки на графике с координатами x очень рядом с и очень близки к вертикальной линии x = ax = a. То есть, когда x приближается к a , точки на графике f (x) f (x) находятся ближе к линии x = a.x = a. Прямая x = ax = a называется вертикальной асимптотой графика. Формально определим вертикальную асимптоту следующим образом:

Определение

Пусть f (x) f (x) – функция.Если выполняется любое из следующих условий, то прямая x = ax = a является вертикальной асимптотой функции f (x) . f (x).

limx → a − f (x) = + ∞или − ∞limx → a + f (x) = + ∞или − ∞orlimx → af (x) = + ∞или − ∞limx → a − f (x) = + ∞или − ∞limx → a + f (x) = + ∞или − ∞orlimx → af (x) = + ∞или − ∞

Пример 2.10

Нахождение вертикальной асимптоты

Оцените каждый из следующих пределов, используя бесконечные пределы от положительных целых чисел. Найдите любые вертикальные асимптоты функции f (x) = 1 / (x + 3) 4. f (x) = 1 / (x + 3) 4.

limx → −3−1 (x + 3) 4limx → −3−1 (x + 3) 4
limx → −3 + 1 (x + 3) 4limx → −3 + 1 (x + 3) 4
limx → −31 (x + 3) 4limx → −31 (x + 3) 4

Решение

Мы можем напрямую использовать бесконечные пределы из положительных целых чисел.

limx → −3−1 (x + 3) 4 = + ∞limx → −3−1 (x + 3) 4 = + ∞
limx → −3 + 1 (x + 3) 4 = + ∞limx → −3 + 1 (x + 3) 4 = + ∞
limx → −31 (x + 3) 4 = + ∞limx → −31 (x + 3) 4 = + ∞

Функция f (x) = 1 / (x + 3) 4f (x) = 1 / (x + 3) 4 имеет вертикальную асимптоту x = −3. x = −3.

Контрольно-пропускной пункт 2,9

Оцените каждый из следующих пределов. Найдите любые вертикальные асимптоты функции f (x) = 1 (x − 2) 3.f (x) = 1 (x − 2) 3.

limx → 2−1 (x − 2) 3limx → 2−1 (x − 2) 3
limx → 2 + 1 (x − 2) 3limx → 2 + 1 (x − 2) 3
limx → 21 (x − 2) 3limx → 21 (x − 2) 3

В следующем примере мы применяем наши знания о различных типах ограничений, чтобы использовать их для анализа поведения функции в нескольких разных точках.

Пример 2.11

Поведение функции в разных точках

Используйте график f (x) f (x) на рисунке 2.21, чтобы определить каждое из следующих значений:

limx → −4 − f (x); limx → −4 + f (x); limx → −4f (x); f (−4) limx → −4 − f (x); limx → −4 + f (x); limx → −4f (x); f (−4)
limx → −2 − f (x); limx → −2 + f (x); limx → −2f (x); f (−2) limx → −2 − f (x); limx → −2 + f (x); limx → −2f (x); f (−2)
limx → 1 − f (x); limx → 1 + f (x); limx → 1f (x); f (1) limx → 1 − f (x); limx → 1 + f (x); limx → 1ф (х); ф (1)
limx → 3 − f (x); limx → 3 + f (x); limx → 3f (x); f (3) limx → 3 − f (x); limx → 3 + f (x); limx → 3f (x); f (3)

Фигура 2.

21 год График показывает f (x) .f (x).

Решение

Используя бесконечные пределы из положительных целых чисел и график для справки, мы получаем следующие значения:

limx → −4 − f (x) = 0; limx → −4 + f (x) = 0; limx → −4f (x) = 0; f (−4) = 0limx → −4 − f (x ) = 0; limx → −4 + f (x) = 0; limx → −4f (x) = 0; f (−4) = 0
limx → −2 − f (x) = 3.; Limx → −2 + f (x) = 3; limx → −2f (x) = 3; f (−2) limx → −2 − f (x). = 3.; Limx → −2 + f (x) = 3; limx → −2f (x) = 3; f (−2) не определено
limx → 1 − f (x) = 6; limx → 1 + f (x) = 3; limx → 1f (x) limx → 1 − f (x) = 6; limx → 1 + f (x) = 3. ; limx → 1f (x) DNE; f (1) = 6f (1) = 6
limx → 3 − f (x) = – ∞; limx → 3 + f (x) = – ∞; limx → 3f (x) = – ∞; f (3) limx → 3 − f (x) = – ∞ ; limx → 3 + f (x) = – ∞; limx → 3f (x) = – ∞; f (3) не определено

Контрольно-пропускной пункт 2.10

Вычислить limx → 1f (x) limx → 1f (x) для f (x) f (x), показанного здесь:

Пример 2,12

Начало главы: Уравнение Эйнштейна

Фигура 2. 22 (Источник: НАСА)

В начале главы мы вкратце упомянули, как Альберт Эйнштейн показал, что существует предел скорости перемещения любого объекта. Учитывая уравнение Эйнштейна для массы движущегося объекта, каково значение этой границы?

Решение

Наша отправная точка – уравнение Эйнштейна для массы движущегося объекта,

m = m01 − v2c2, m = m01 − v2c2,

, где m0m0 – масса покоящегося объекта, v – его скорость, а c – скорость света.Чтобы увидеть, как масса изменяется на высоких скоростях, мы можем построить график отношения масс m / m0m / m0 как функцию отношения скоростей v / cv / c (рис. 2.23).

Фигура 2,23 Этот график показывает соотношение масс как функцию отношения скоростей в уравнении Эйнштейна для массы движущегося объекта.

Мы можем видеть, что по мере приближения отношения скоростей к 1, то есть по мере приближения скорости объекта к скорости света, отношение масс неограниченно увеличивается. Другими словами, функция имеет вертикальную асимптоту при v / c = 1. v / c = 1. Мы можем попробовать несколько значений этого отношения, чтобы проверить эту идею.

vcvc	1-v2c21-v2c2	мм0 мм0
0,99	0,1411	7.089
0,999	0,0447	22,37
0,9999	0,0141	70,71

Таблица 2.8 Соотношение масс и скоростей движущегося объекта.

Таким образом, согласно таблице 2.8, если объект массой 100 кг движется со скоростью 0,9999 c , его масса станет 7071 кг. Поскольку ни один объект не может иметь бесконечную массу, мы заключаем, что ни один объект не может двигаться со скоростью света или более высокой.

Раздел 2.2. Упражнения

Для следующих упражнений рассмотрим функцию f (x) = x2−1 | x − 1 | .f (x) = x2−1 | x − 1 |.

30 .

[T] Заполните следующую таблицу для функции.Округлите свои решения до четырех знаков после запятой.

x	е (х) е (х)	x	е (х) е (х)
0,9	а.	1,1	e.
0,99	г.	1.01	ф.
0,999	г.	1,001	г.
0.9999	г.	1.0001	ч.

31 год .

Что ваши результаты в предыдущем упражнении говорят о двустороннем пределе limx → 1f (x)? Limx → 1f (x)? Объясните свой ответ.

Для следующих упражнений рассмотрим функцию f (x) = (1 + x) 1 / x.f (x) = (1 + x) 1 / x.

32 .

[T] Составьте таблицу, показывающую значения f для x = -0,01, -0,001, -0,0001, -0,00001x = -0,01, -0,001, -0,0001, -0,00001 и для x = 0,01,0 .001,0.0001,0. 00001.x = 0,01,0.001,0.0001,0.00001. Округлите свои решения до пяти десятичных знаков.

x	е (х) е (х)	x	е (х) е (х)
-0,01	а.	0,01	e.
-0,001	г.	0,001	ф.
-0,0001	г.	0.0001	г.
-0,00001	г.	0,00001	ч.

33 .

Что говорит таблица значений в предыдущем упражнении о функции f (x) = (1 + x) 1 / x? F (x) = (1 + x) 1 / x?

34 .

К какой математической константе приближается предел в предыдущем упражнении?

В следующих упражнениях используйте указанные значения, чтобы создать таблицу для оценки пределов.Округлите свои решения до восьми десятичных знаков.

35 год .

[T] limx → 0sin2xx; ± 0,1, ± 0,01, ± 0,001, ± .0001limx → 0sin2xx; ± 0,1, ± 0,01, ± 0,001, ± 0,0001

x	sin2xxsin2xx	x	sin2xxsin2xx
-0,1	а.	0,1	e.
-0,01	г.	0,01	ф.
-0,001	г.	0,001	г.
-0,0001	г.	0,0001	ч.

36 .

[T] limx → 0sin3xxlimx → 0sin3xx ± 0,1, ± 0,01, ± 0,001, ± 0,0001

X	sin3xxsin3xx	x	sin3xxsin3xx
-0,1	а.	0,1	e.
-0,01	г.	0,01	ф.
-0,001	г.	0,001	г.
-0,0001	г.	0,0001	ч.

37 .

Используйте два предыдущих упражнения, чтобы предположить (угадать) значение следующего предела: limx → 0sinaxxlimx → 0sinaxx для a , положительное действительное значение.

[T] В следующих упражнениях создайте таблицу значений, чтобы найти указанный предел. Округлить до восьми цифр.

38 .

limx → 2×2−4×2 + x − 6limx → 2×2−4×2 + x − 6

x	x2−4×2 + x − 6×2−4×2 + x − 6	x	x2−4×2 + x − 6×2−4×2 + x − 6
1,9	а.	2,1	e.
1.99	b.	2.01	f.
1.999	c.	2.001	g.
1. 9999	d.	2.0001	h.

39 .

limx→1(1−2x)limx→1(1−2x)

x	1−2×1−2x	x	1−2×1−2x
0.9	а.	1,1	e.
0,99	г.	1.01	ф.
0,999	г.	1,001	г.
0,9999	г.	1.0001	ч.

40 .

limx → 051 − e1 / xlimx → 051 − e1 / x

x	51 − e1 / x51 − e1 / x	x	51 − e1 / x51 − e1 / x
−0.1	а.	0,1	e.
-0,01	г.	0,01	ф.
-0,001	г.	0,001	г.
-0,0001	г.	0,0001	ч.

41 год .

limz → 0z − 1z2 (z + 3) limz → 0z − 1z2 (z + 3).

z	z − 1z2 (z + 3) z − 1z2 (z + 3)	z	z − 1z2 (z + 3) z − 1z2 (z + 3)
−0.1	а.	0,1	e.
-0,01	г.	0,01	ф.
-0,001	г.	0,001	г.
-0,0001	г.	0,0001	ч.

42 .

limt → 0 + costtlimt → 0 + costt

т	стоимость
0.1	а.
0,01	г.
0,001	г.
0,0001	г.

43 год .

limx → 21−2xx2−4limx → 21−2xx2−4

x	1−2xx2−41−2xx2−4	x	1−2xx2−41−2xx2−4
1,9	а.	2.1	e.
1,99	г.	2,01	ф.
1,999	г.	2,001	г.
1.9999	г.	2.0001	ч.

[T] В следующих упражнениях создайте таблицу значений и округлите до восьми значащих цифр. Основываясь на таблице значений, предположите, какой предел. Затем используйте калькулятор, чтобы построить график функции и определить предел.Гипотеза верна? Если нет, то почему метод таблиц дает сбой?

44 .

limθ → 0sin (πθ) limθ → 0sin (πθ)

θ	грех (πθ) грех (πθ)	θ	грех (πθ) грех (πθ)
-0,1	а.	0,1	e.
-0,01	г.	0,01	ф.
−0.001	г.	0,001	г.
-0,0001	г.	0,0001	ч.

45 .

limα → 0 + 1αcos (πα) limα → 0 + 1αcos (πα).

а	1αcos (πα) 1αcos (πα)
0,1	а.
0,01	г.
0,001	г.
0.0001	г.

В следующих упражнениях рассмотрим график функции y = f (x) y = f (x), показанный здесь. Какие из утверждений о y = f (x) y = f (x) верны, а какие – ложны? Объясните, почему утверждение неверно.

46 .

limx → 10f (x) = 0limx → 10f (x) = 0

47 .

limx → −2 + f (x) = 3limx → −2 + f (x) = 3.

48 .

limx → −8f (x) = f (−8) limx → −8f (x) = f (−8).

49 .

limx → 6f (x) = 5limx → 6f (x) = 5

В следующих упражнениях используйте следующий график функции y = f (x) y = f (x), чтобы найти значения, если это возможно.При необходимости оцените.

50 .

limx → 1 − f (x) limx → 1 − f (x).

51 .

limx → 1 + f (x) limx → 1 + f (x).

В следующих упражнениях используйте график функции y = f (x) y = f (x), показанный здесь, чтобы найти значения, если это возможно. При необходимости оцените.

55 .

limx → 0 − f (x) limx → 0 − f (x).

56 .

limx → 0 + f (x) limx → 0 + f (x).

59 .

limx → −2 − f (x) limx → −2 − f (x).

60 .

limx → −2 + f (x) limx → −2 + f (x).

61 .

limx → −2f (x) limx → −2f (x)

62 .

limx → 2 − f (x) limx → 2 − f (x).

63 .

limx → 2 + f (x) limx → 2 + f (x).

В следующих упражнениях используйте график функции y = g (x) y = g (x), показанный здесь, чтобы найти значения, если это возможно. При необходимости оцените.

65 .

limx → 0 − g (x) limx → 0 − g (x).

66 .

limx → 0 + g (x) limx → 0 + g (x).

В следующих упражнениях используйте график функции y = h (x) y = h (x), показанный здесь, чтобы найти значения, если это возможно. При необходимости оцените.

68 .

limx → 0 − h (x) limx → 0 − h (x).

69 .

limx → 0 + h (x) limx → 0 + h (x).

71 .

limx → 0 − f (x) limx → 0 − f (x).

72 .

limx → 0 + f (x) limx → 0 + f (x).

В следующих упражнениях нарисуйте график функции с заданными свойствами.

76 .

limx → 2f (x) = 1, limx → 4 − f (x) = 3, limx → 4 + f (x) = 6, f (4) limx → 2f (x) = 1, limx → 4 − f (x) = 3, limx → 4 + f (x) = 6, f (4) не определено.

77 .

При x → −∞, f (x) → 0, limx → −1 − f (x) = – ∞, При x → −∞, f (x) → 0, limx → −1 − f (x) = −∞, limx → −1 + f (x) = ∞, limx → 0f (x) = f (0), f (0) = 1, при x → ∞, f (x) → −∞limx → −1 + f (x) = ∞, limx → 0f (x) = f (0), f (0) = 1, при x → ∞, f (x) → −∞

78 .

При x → −∞, f (x) → 2, limx → 3 − f (x) = – ∞, При x → −∞, f (x) → 2, limx → 3 − f (x) = – ∞ , limx → 3 + f (x) = ∞, При x → ∞, f (x) → 2, f (0) = – 13limx → 3 + f (x) = ∞, При x → ∞, f (x) → 2, f (0) = – 13

79 .

При x → −∞, f (x) → 2, limx → −2f (x) = – ∞, При x → −∞, f (x) → 2, limx → −2f (x) = – ∞, При x → ∞, f (x) → 2, f (0) = 0 При x → ∞, f (x) → 2, f (0) = 0

80 .

При x → −∞, f (x) → 0, limx → −1 − f (x) = ∞, limx → −1 + f (x) = – ∞, При x → −∞, f (x) → 0, limx → −1 − f (x) = ∞, limx → −1 + f (x) = – ∞, f (0) = – 1, limx → 1 − f (x) = – ∞, limx → 1 + f (x) = ∞, При x → ∞, f (x) → 0f (0) = – 1, limx → 1 − f (x) = – ∞, limx → 1 + f (x) = ∞, As х → ∞, f (х) → 0

81 год .

Ударные волны возникают во многих физических приложениях, от сверхновых до детонационных волн. График зависимости плотности ударной волны от расстояния, x , показан здесь.Нас в основном интересует расположение передней части амортизатора, обозначенной на схеме xSFxSF.

Вычислить limx → xSF + ρ (x) .limx → xSF + ρ (x).
Вычислить limx → xSF − ρ (x) .limx → xSF − ρ (x).
Вычислить limx → xSFρ (x) .limx → xSFρ (x). Объясните физический смысл ваших ответов.

82 .

Тренер по легкой атлетике использует камеру с быстрым затвором, чтобы оценить положение бегуна во времени. Здесь представлена таблица значений положения спортсмена в зависимости от времени, где x – это положение бегуна в метрах, а t – время в секундах.Что такое limt → 2x (t)? Limt → 2x (t)? Что это означает физически?

т (сек)	x (м)
1,75	4,5
1,95	6,1
1,99	6,42
2,01	6. 58
2,05	6,9
2,25	8.5

Неопределенные формы

Неопределенные формы \ (\ frac {0} {0} \)

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) – две функции такие, что

\ [\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = 0 \; \; \; \ text {and} \; \; \ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) = 0. \]

Тогда функция \ (\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \) имеет неопределенный вид \ (\ frac {0} {0} \) при \ (х = а.\) Чтобы найти предел в \ (x = a \), когда функция \ (\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \) имеет неопределенное form \ (\ frac {0} {0} \) на этом этапе мы должны разложить числитель и знаменатель на множители, а затем уменьшить члены, приближающиеся к нулю.

Примечание. В этом разделе мы не применяем правило L’Hopital.

Неопределенные формы \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \)

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) – две функции такие, что

\ [\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ pm \ infty \; \; \; \ text {and} \; \; \ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) = \ pm \ infty.2} – y – 6}} = \ left [{\ frac {0} {0}} \ right] = \ lim \ limits_ {y \ to – 2} \ frac {{y \ left ({y + 1} \ right) \ cancel {\ left ({y + 2} \ right)}}} {{\ left ({y – 3} \ right) \ cancel {\ left ({y + 2} \ right)}}} = \ lim \ limits_ {y \ to – 2} \ frac {{y \ left ({y + 1} \ right)}} {{y – 3}} = \ frac {{\ lim \ limits_ {y \ to – 2} y \ cdot \ lim \ limits_ {y \ to – 2} \ left ({y + 1} \ right)}} {{\ lim \ limits_ {y \ to – 2} \ left ({y – 3 } \ right)}} = \ frac {{- 2 \ cdot \ left ({- 1} \ right)}} {{- 5}} = – \ frac {2} {5}. \]

(по правилам частного и произведения лимитов).2}}} + \ sqrt [3] {1} + 1}} = \ frac {1} {3}. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

14.2 Ограничения и непрерывность

Чтобы разработать исчисление для функций одной переменной, нам нужно было сделать смысл концепции предела, который нам нужно было понять непрерывные функции и определить производную. Ограничения, связанные с функции двух переменных могут быть значительно сложнее с участием; к счастью, большинство функций, с которыми мы сталкиваемся, довольно просты понять.

Потенциальная сложность во многом связана с тем, что есть много способов “приблизиться” к точке на плоскости $ x $ – $ y $. Если мы хотим говорят, что $ \ ds \ lim _ {(x, y) \ to (a, b)} f (x, y) = L $, нам нужно захватить идея, что когда $ (x, y) $ приближается к $ (a, b) $, тогда $ f (x, y) $ приближается к $ L $. Для функций одной переменной $ f (x) $ есть только два способа что $ x $ может приближаться к $ a $: слева или справа. Но есть бесконечное количество способов приблизиться к $ (a, b) $: по любому из бесконечное количество линий или бесконечное количество парабол, или бесконечное количество синусоид и т. д.2 $. Приближаясь к начало отсчета по прямой, переходим гребень и затем спускаемся вниз к 0, но при приближении к гребню высота постоянна. $ 1/2 $. Таким образом, нет предела в $ (0,0) $. $ \ квадрат $

К счастью, мы можем определить понятие лимита без необходимости указать, как приближаться к конкретной точке – действительно, в определение 2.3.2, нам не понадобилась концепция “подход”. Грубо говоря, это определение говорит, что когда $ x $ близко к $ a $, то $ f (x) $ близко к $ L $; нет упоминания о «как» мы приближаемся к $ a $.2}

долларов США

Обратите внимание, что в отличие от этого примера мы не можем исправить пример 14.2.1 в $ (0,0) $, потому что предел не существует. Независимо от того, какое значение мы пытаемся присвоить $ f $ в $ (0,0) $, поверхность будет там “прыгать”.

К счастью, функции, которые мы рассмотрим, обычно будут сплошной почти везде. Обычно это легко следует из Дело в том, что тесно связанные функции одной переменной непрерывны. 2} $ (отвечать)

Пр. 14.2} $? Объяснять.

Байден подписал соглашение о продлении лимита долга на 2,5 триллиона долларов. Вот как это повлияет на вас – советник Forbes

От редакции: мы получаем комиссию за партнерские ссылки на советнике Forbes. Комиссии не влияют на мнения или оценки наших редакторов.

Как и у нас с вами, у федерального правительства могут закончиться деньги, если оно не планирует заранее – и, как и у нас, это может привести к ужасным последствиям.

На данный момент, похоже, этот надвигающийся кризис предотвращен.Во вторник Конгресс проголосовал за повышение лимита долга на 2,5 триллиона долларов, и сегодня президент Джо Байден подписал закон.

Ожидается, что эта сумма будет использована для оплаты счетов Казначейства примерно до 2023 года.

Путь к этому был долгим и извилистым. Вопрос о том, повышать ли предел долга, горячо обсуждался на Капитолийском холме в течение нескольких месяцев, в то время как демократы и республиканцы обсуждали весь спектр поляризующих вопросов, от государственного финансирования до социальной инфраструктуры.

Но хотя идея потолка долга может показаться далекой от жизни обычных американцев, то, как с ней справляются в Вашингтоне, может легко повлиять на ваше собственное финансовое положение.

Вот что вам следует знать о недавних дебатах о повышении лимита долга.

Что такое потолок долга?

Верхний предел долга или предел долга – это сумма денег, которую федеральное правительство Соединенных Штатов может занять для оплаты своих счетов. Эти счета включают такие статьи, как выплаты по социальному обеспечению, заработная плата военных и федеральных служащих, а также возврат налогов.Страна также должна платить проценты по уже взятым долгам для оплаты старых счетов.

Если страна не увеличивает свой лимит долга, это похоже на исчерпание кредитной карты: деятельность по оплате счетов прекращается, и правительство не выполняет взятые на себя финансовые обязательства.

Это может означать задержки платежей, которые вы ожидаете от правительства, и это может повлиять на то, насколько дорого обходится покупка товаров в кредит, предупредил министр финансов. Дефолт также может вызвать потрясения на фондовом рынке, что может повлиять на стоимость любых ваших инвестиций.

Обсуждение потолка долга может сбивать с толку, потому что государственные расходы – бюджет – часто обсуждают одновременно. Но пока они связаны, перед законодателями остаются две разные проблемы.

«Повышение потолка долга не разрешает дополнительных расходов долларов налогоплательщиков», – написала министр финансов Джанет Йеллен в статье Wall Street Journal в прошлом месяце. «Вместо этого, когда мы поднимаем потолок долга, мы фактически соглашаемся поднять баланс кредитной карты страны.”

Подробнее: Джанет Йеллен бьет тревогу по потолку долга. Поможет ли она предотвратить кризис?

Это может сбить с толку еще больше, потому что еще один термин, который вы сейчас часто слышите, – это дефицит .

Дефицит отличается от государственного долга. Дефицит – это то, что происходит, когда правительство тратит в финансовом году больше денег, чем оно приносит за счет налогов и других доходов. Государственный долг – это деньги, которые берут взаймы для покрытия дефицита, текущий счет того, что страна должна кредиторам.Долг федерального правительства превышает 28 триллионов долларов.

Когда в последний раз поднимался потолок долга?

Конгресс проголосовал в 2019 году за приостановление лимита долга на два года и увеличение долга – как и в последней ситуации, страна приближалась к пределу лимита долга. Этот период закончился 1 августа 2021 г., и лимит был применен повторно.

У казначейства должна была закончиться наличность в середине октября. Законопроект, принятый 12 октября, наполнил казну дополнительными 480 млрд долларов, но Йеллен совсем недавно предупредила Конгресс, что около декабря у казначейства закончатся деньги.15.

Некоторые республиканцы связали свое противодействие повышению потолка долга со своими опасениями по поводу планов расходов администрации Байдена, но текущая ситуация с долгом в значительной степени связана с расходами во время администрации Трампа, включая масштабные сокращения налогов, принятые в 2017 году.

«Даже если бы администрация Байдена не санкционировала какие-либо расходы, нам все равно нужно было бы решить вопрос о потолке долга сейчас», – написала Йеллен в своей сентябрьской статье.

Достижение потолка долга – проблема, которая случается очень часто

Каждый раз, когда страна приближалась к пределу долга (17 раз с 2001 г.), Конгресс голосовал за повышение или приостановление предельного уровня долга.

Однако в 2011 году угроза дефолта привела к понижению кредитного рейтинга страны агентством S&P Global Ratings (ранее Standard and Poor’s). По сути, США были отмечены как менее заслуживающие доверия ссуды.

Повышение лимита долга обычно не является партийным вопросом, который поддерживают только демократы или только республиканцы. Обычно все признают, что снятие лимита необходимо для поддержания экономики в хорошем рабочем состоянии.

Но это не всегда аккуратный процесс.

Единовременное повышение потолка долга означает, что Конгрессу не придется снова обсуждать этот вопрос до промежуточных выборов осенью 2022 года.

Вычисление пределов функций онлайн. Предел функции Предел функции стремится к 0

Примеры решений

Алгоритм вычисления лимитов

Предел функции по Коши.

калькулятор пределов – найти предел онлайн

Пределы функций. Примеры решений.

Нахождение предела функции с помощью графического калькулятора TI-86.

Управление настройками файлов cookie

2.2 Предел функции – Объем исчисления 1

Цели обучения

Интуитивное определение предела

Определение

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: оценка предела с помощью таблицы функциональных значений

Пример 2,4

Оценка предела с помощью таблицы функциональных значений 1

Решение

Пример 2,5

Оценка предела с помощью таблицы функциональных значений 2

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,4

Пример 2,6

Оценка предела с помощью графика

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,5

Теорема 2.1

Два важных ограничения

Существование предела

Пример 2,7

Оценка несуществующего предела

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,6

Односторонние ограничения

Определение

Пример 2,8

Оценка односторонних пределов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,7

Теорема 2.2

Связь односторонних и двусторонних ограничений

Бесконечные пределы

Определение

Пример 2,9

Признание бесконечного предела

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,8

Теорема 2.3

Бесконечные пределы от положительных целых чисел

Определение

Пример 2.10

Нахождение вертикальной асимптоты

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,9

Пример 2.11

Поведение функции в разных точках

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2.10

Пример 2,12

Начало главы: Уравнение Эйнштейна

Решение

Раздел 2.2. Упражнения

Неопределенные формы

Неопределенные формы \ (\ frac {0} {0} \)

Неопределенные формы \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \)

14.2 Ограничения и непрерывность

Байден подписал соглашение о продлении лимита долга на 2,5 триллиона долларов. Вот как это повлияет на вас – советник Forbes

Что такое потолок долга?

Когда в последний раз поднимался потолок долга?

Достижение потолка долга – проблема, которая случается очень часто

Оставить комментарий Отменить ответ