Как решать пределы? Гайд для чайников — KILLE на DTF
Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.
9660 просмотров
Урок математики. Учительница говорит:
— Сегодня мы будем брать интегралы.
Вовочка спрашивает:
— А как это в жизни пригодится?
— Ты ебало-то завали.
Рассмотрим простейший пример:
Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение – эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.
Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.
Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.
Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?
Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.
Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.
А теперь глядь сюды:
Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.
Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то.
Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.
Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:
Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.
Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень.
Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.
Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).
Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.
Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:
Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле:
Корни получились 5/2 и -1.
Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.
Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.
Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.
Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа – бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:
В Хогвартсе такое не проходят.
Получилось вот что:
Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное.
А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично.
Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.
Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:
Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.
Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.
Содержание скрыто
Показать
Ты что-нибудь понял? Я нет.
В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49.
Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.
Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится
Содержание скрыто
Показать
в конце учебника.
объяснение, теория, примеры решений. Понятие предела в математике
Хранил в себе один секрет и был в семье примерный муж.
Всё было, вроде, как всегда: жена готовила обед…
Под шум и кислый запах щей, ворчанье суженой с утра,
Он вспомнил всё до мелочей, как будто было то вчера…
…Она сидела у окна, и мягкий чудный лунный свет
Окрасил в бледные тона её прекрасный силуэт…
Струились пряди по плечам, скользили змейками на грудь…
И он подумал сгоряча: «Женюсь на ней когда – нибудь!»
Он вспомнил всё до мелочей: изгибы линий, мягкость губ…
И жар её простых речей, и за окном огромный дуб.
Сплетенье рук… Слиянье тел… Каскад каштановых волос…
И то, как он её хотел до исступления, до слёз!
Смешной над ухом завиток, что от дыханья трепетал…
Она смотрела на него глазами влажными, как ночь.
Слова пьянили, как вино: «Люблю тебя… Роди мне дочь…»
С утра он потерял покой: то суетился, то скучал…
Потом, закрыв лицо рукой, сидел на стуле и молчал.
Жена ворчала, как всегда. Ругала убежавший суп…
И он отметил, что года ей, постаревшей, не к лицу.
Как не идёт ей белый цвет и пряди крашеных волос.
И целых двадцать восемь лет всё как – то было не всерьёз…
Вдруг он вскочил, схватил пальто, забыл про шапку и носки.
Все двадцать восемь лет – не то… Все двадцать восемь зим – тоски.
Нашёл тот дом. У дома – дуб. Взбежал по лестнице стрелой…
Наверное, она сейчас пьет чай и кутается в шаль…
И из её прекрасных глаз струится тихая печаль…
А может, принялась вязать? А может кружево плести?
Так много надо ей сказать! А главное сказать – прости…
Открыла дверь… В глазах – вопрос.
Ей было снова двадцать лет…Каскад каштановых волос… Знакомый сердцу силуэт…
Над ухом – лёгкий завиток… Как много лет назад – точь в точь…
” Вы не ошиблись?» – Нет, не мог… Вы Аня? ” Вера. Её дочь…»
” А Аня?”- ” Мамы больше нет… Кто Вы?» Он повернулся вспять:
Как закружилась голова… Как сердце ухнуло в груди!
И вспомнил он её слова с мольбою: «Ты не уходи!»
Он сгорбился. Поплёлся прочь. Сплетенье рук… Слиянье тел…
Люблю тебя… Роди мне дочь… А он ведь вправду дочь хотел.
Как странно. Ани больше нет… Заплакал… Бросил в тишину:«Я буду много – много лет любить тебя… Тебя одну…»
P.S. БЕРЕГИТЕ ЛЮБОВЬ – она фундамент вашего счастья…
Знай, у каждого разное «больно»,
Знай, у каждого разное «страшно».
Не суди со своей колокольни
Неизвестносколькоэтажной.
Не очерчивай взглядом границы,
Не придумывай мозгом пределы.
Что тебе в страшном сне не приснится,
Для кого-то – обычное дело.
Знай, у каждого разное «надо»,
Знай, у каждого разное «сложно».
Впрочем, и представление ада
Обобщить и сравнить невозможно.
Знай, что правда бывает другая,
А не та, что приносят на блюде.
Присмотрись к тем, чьи судьбы пугают,
Это – самые сильные люди.
Не говори, что я тебя не помню —
Я помню всё, и много раз на дню
Я повторяю номер телефонный,
Но никогда тебе не позвоню.
Вот-вот, казалось, сердце разорвется
И на пределе одиноких дней
За горизонт зашли в душе моей.
Была любовь, была любовь, была!
И к этой фразе нечего прибавить.
Сгорел волшебный замок наш дотла
И пепла не оставил нам на память.
Я помню всё, и сад цветущий помню,
И сквозь листву — лучи со всех сторон,
Как будто с белой-белой колокольни
В душе — ты слышишь — льётся тихий звон.
Любовь ушла и больше не вернётся,
И чтоб не вечно тосковать о ней,
Твои глаза, как два печальных солнца,
За горизонт зашли в душе моей.
За счастьем погоня опять неудачна…
И вечер дождливый, на улице мрачно…
А в детстве…намазала булку вареньем
И точно счастливая, до одуренья…
Гламур, этикет, бриллианты, джакузи…
Теперь, кроме счастья, в судьбе «All inclusive»,
А в детстве с подсолнуха семечки ела,
И счастью, казалось, не будет предела…
Мы стали похожи на клоунов очень…
У каждого грим, что снаружи хохочет…
А в детстве… лишь солнце с небес пробивалось
И сердце счастливое так улыбалось…
Людей отбираем, как в «Золушке» гречку…
Всех нужных – в контакты… Невыгодных в печку…
А в детстве в нас верило чистое небо…
Где радость от запаха свежего хлеба?
И дружба теперь покупается тоже…
Дожились… Живём в мире меха и кожи…
А в детстве дворнягу от ливня спасали…
И счастье давая, его получали.
Мы искренность, чуткость теряли с годами…
Границы и рамки придумали сами…
Есть булка и банка с вишнёвым вареньем?
Так будьте счастливыми, до одуренья!
Я смотрю на тебя и понимаю, что по-прежнему люблю тебя.
Эта любовь – хроническая болезнь последних лет. Она приносит настолько нестерпимую боль, что я кидаюсь на совершенно посторонних людей, пытаясь обмануться ими, с ними вдруг в этих объятиях найду то самое обезболивающее, которое, по словам обладателей морщинистых сердец, вообще не существует. Я понимаю, что обманываюсь, но все равно продолжаю обниматься-убиваться не могу иначе, болит ведь, изводит, по ночам спать не дает, вот сижу на подоконнике и, еще минута, истошно закричу от пыток иллюзий. Обратиться к тебе за помощью? Бесполезно. Ты знаешь о моей любви, но тебе она ни к чему, «своих невысказанных чувств полный рот». Мы в одной паутине безответности, но не можем помочь друг другу. Ты обхватываешь руками тонкие белые нити-прутья и смотришь куда-то за пределы реальности, надеясь черт знает на чью помощь. И разница между нами одна: моя любовь к тебе почти сбила меня с ног, а твоя любовь к кому-то – подпитывает, оживляет тебя ожиданием, пусть и обманчивым. Я больше не хочу смотреть на тебя, я прогоняю возможность тебя из сердца, но от этого еще больнее.
Вот и проходится шепотом страдать, тоже надеясь черт знает на чью помощь. Времени?..
Ваша жизнь – сплошное вранье, порнуха, бытовуха, интернет-зависимость и сотово-мобильное рабство. Ну разве я не прав? Вот скажите мне, вы когда-нибудь совершали что-нибудь по настоящему из ряда вон? Никогда. И не сможете. Знаете почему? Потому что все это находится за пределами вашей зоны комфорта. Вы упакованы в нее. Как в полипропиленовый мешок. Вы куски мяса, зажатые рамками быта и работы. Или я не прав? Может, я ошибаюсь? Поправьте меня.
Например, можете подарить свой мобильник первому встречному? А? Вопрос на засыпку. Можете прямо сейчас отформатировать винт на вашем компьютере? Стремно? Обосрались? А знаете, почему вы этого не сделаете? Потому что это равноценно самоубийству. Вы без этого не существуете.
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а .
Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim – от английского limit – предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция.
Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов.
В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Пределы решения с помощью сопряженного метода — Криста Кинг Математика
Что такое сопряженный метод?
Этот метод можно использовать только в том случае, если либо числитель, либо знаменатель содержат ровно два члена.
Излишне говорить, что его полезность ограничена. Вот пример отличного и распространенного кандидата на сопряженный метод.
???\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}???
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
В этом примере метод подстановки приведет к ???0??? в знаменателе. Мы также не можем факторизовать и вычеркивать что-либо из дроби. К счастью, у нас есть сопряженный метод. Обратите внимание, что в числителе ровно два члена: ???\sqrt{4+h}??? и ???-2???.
На помощь приходит сопряженный метод! Чтобы использовать его, мы должны умножить на сопряженную часть той части дроби, которая содержит радикал. В данном случае это числитель. Сопряжение двух терминов — это те же самые два термина с противоположным знаком между ними.
Обратите внимание, что мы умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженную, потому что это похоже на умножение на ???1???, что полезно для нас, но все же не меняет значение исходной функции.
Как использовать сопряженный метод для решения предельных задач
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Оценка пределов методом сопряжения
Пример
Оценить предел.
???\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}???
Умножить числитель и знаменатель на сопряженное.
???\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot \left(\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt {4+ч}+2}\право)???
Упростить и отменить ???h???.
???\lim_{h\to 0}\frac{(4+h)+2\sqrt{4+h}-2\sqrt{4+h}-4}{h(\sqrt{4+ ч}+2)}???
???\lim_{h\to 0}\frac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}???
???\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}???
???\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}???
Обратите внимание, что мы умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженную, потому что это похоже на умножение на 1, что полезно для нас, но все же не меняет значение исходной функции.
Так как мы вычисляем ???0???, подставьте это для ???h??? и решить.
???\frac{1}{\sqrt{4+0}+2}???
???\frac{1}{2+2}???
???\frac{1}{4}???
Помните, что если вы пытаетесь оценить предел, а подстановка, разложение на множители и метод сопряжения не работают, вы всегда можете вернуться к простому методу подстановки числа, очень близкого к значению, к которому вы приближаетесь. и решить для предела таким образом.
Получить доступ к полному курсу исчисления 1
Начать
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление, исчисление 1, исчисление i, исчисление с одной переменной, вычисление с одной переменной, пределы, пределы и непрерывность, метод сопряжения, пределы решения, решение пределы сопряженным методом, сопряженный метод пределов, сопряженный
0 лайковОбъяснение теоремы о выжимании с примерами, картинками, пошаговыми инструкциями и графиками
$$ \definecolor{importantColor}{RGB}{255,0,0} \definecolor{secondaryColor}{RGB}{255,0,255} \definecolor{tertiaryColor}{RGB}{0,102,51} $$
Краткий обзор
- Если две функции сжимаются вместе в определенной точке, то любая функция, застрявшая между ними, будет сжата в эту же точку.
- Теорема сжатия имеет дело с предельными значениями, а не со значениями функций.
- Теорему о сжатии иногда называют теоремой о сэндвиче или теоремой о сжатии .
Графический пример
На приведенном ниже графике нижняя и верхняя функции имеют одинаковое предельное значение при $$x = a$$. Средняя функция имеет такое же предельное значение, потому что она находится между двумя внешними функциями.
Официальное заявление
Предположим, что $$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$$ для всех $$x$$ в открытом интервале около $$a$$ (за исключением, возможно, самого $$a$$). Далее, предположим
$$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$$
Тогда $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} g(x) = L$$
Обратите внимание, что исключение, упомянутое в формулировке теоремы, связано с тем, что мы имеем дело с пределами.
2-\frac 7 3\right)\\[6pt]
& = \left(-\frac 8 3+4-\frac 7 3\right)\\[6pt]
& = -1
\конец{выравнивание*}
$$
Шаг 2
Найти $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} h(x)$$
$$ \начать{выравнивать*} \lim_{х\до 2} ч(х) & = \lim_{x\to 2} \cos\left(\frac \pi 2 x\right)\\[6pt] & = \cos\left(\frac \pi 2 (2)\right)\\[6pt] & = \cos\влево(\pi\вправо)\\[6pt] & = -1 \конец{выравнивание*} $$
Шаг 3: Заключение
Поскольку $$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$$ и $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} f(x) = \displaystyle\lim\limits_{x\ до 2} h(x) = -1$$, теорема сжатия также гарантирует $$\displaystyle\lim\limits_{x\to 2} g(x) = -1$$.
2-\frac 1 2(-1)\\[6pt]
& = -\frac 1 4 + \frac 1 2\\[6pt]
& = \ гидроразрыв 1 4
\конец{выравнивание*}
\\
$$
92 + \frac 2 3(-1) + \frac 2 3\\[6pt]
& = \frac 1 3 – \frac 2 3 + \frac 2 3\\[6pt]
& = \ гидроразрыв 1 3
\конец{выравнивание*}
\\
$$
Шаг 3: Заключение
Две внешние функции, $$f$$ и $$h$$, не сжимаются (то есть их пределы различны). Следовательно, самое большее, что мы можем сказать о $$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} g(x)$$, это то, что оно находится где-то между $$y = \frac 1 4$$ и $$y = \фракция 1 3$$ , если он вообще существует .
Отвечать
$$\displaystyle\lim\limits_{x\to-1} g(x)$$ является неопределенным с предоставленной информацией.
Важный предел: $$\displaystyle\lim\limits_{\theta \to 0} \frac {\sin \theta} \theta$$
Следующие несколько уроков будут посвящены этому и подобным ограничениям. Вывод, показанный ниже, использует теорему сжатия, а также некоторую базовую геометрию и тригонометрию.
Раствор
Шаг 1
Некоторая предварительная информация, которую вы должны вспомнить.
- Когда углы измеряются в радианах, длина дуги окружности равна $$s = r\theta$$ (ссылка). На единичном круге это сводится к $$s = \theta$$.
- Для точек на единичной окружности их $$y$$-координаты просто $$\sin\theta$$.
Шаг 2
Покажите, что $$\sin\theta\leq\theta$$
На изображении ниже длина $${\color{secondaryColor}circular}$$ $${\color{secondaryColor}дуги}$$, $${\color{secondaryColor}s = \theta}$$ равна больше, чем $${\color{importantColor}вертикальный}$$ $${\color{importantColor}линия}$$ $${\color{importantColor}сегмент}$$, $${\color{importantColor}\sin \theta}$$, который достигает точки на окружности.
Это будет верно для любого угла $$\theta$$, поскольку дуга должна покрывать то же расстояние по вертикали, что и линия, но также и дополнительное расстояние по горизонтали.
Шаг 3
Покажите, что $${\color{secondaryColor}\theta} \leq {\color{tertiaryColor}\tan \theta}$$
Те же рассуждения, что и в шаге 1, также приводят к этому заключению. Сегмент $${\color{tertiaryColor}$$ $${\color{tertiaryColor}линия}$$ $${\color{tertiaryColor}сегмент}$$, $${\color{tertiaryColor}\tan \theta }$$ должен покрывать то же расстояние по вертикали, что и $${\color{secondaryColor}circular}$$ $${\color{secondaryColor}дуга}$$, $${\color{secondaryColor}\theta}$$, но он также должен покрывать большее горизонтальное расстояние. Для этого она должна быть длиннее дуги.
Шаг 4
Алгебраически скорректируйте два неравенства так, чтобы $$\frac{\sin\theta}\theta$$ находилось в центре.
$$ \\ \начать{выравнивать*} {\ color {importantColor} \ sin \ theta} & \ leq {\ color {secondaryColor} \ theta} \ leq {\ color {tertiaryColor} \ tan \ theta} \\ [6pt] {\color{importantColor}\sin\theta} & \leq {\color{secondaryColor}\theta} \leq {\color{tertiaryColor}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\\[6pt ] {\color{importantColor}\frac{\sin\theta}{\sin\theta}} & \leq {\color{secondaryColor}\frac{\theta}{\sin\theta}} \leq {\color{tertiaryColor}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot \frac 1 {\sin\theta}}\\[6pt] {\ color {importantColor} 1} & \ leq {\ color {secondaryColor} \ frac \ theta {\ sin \ theta}} \ leq {\ color {tertiaryColor} \ frac 1 {\ cos \ theta}} \\ [6pt ] {\ color {importantColor} 1} & \ leq {\ color {secondaryColor} \ frac {\ sin \ theta} \ theta} \ leq {\ color {tertiaryColor} \ cos \ theta} \\ [6pt] \конец{выравнивание*} \\ $$
Шаг 5
Найдите предел как $$x\to 0$$ для двух внешних функций.