Решение пределов с подробным решением калькулятор: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

Таблица корней от 0 до 99

Извлечение корней

Представить работу калькулятора можно с помощью таблицы квадратов двузначных чисел. По горизонтали в каждом из столбцов указаны единицы от одного до девяти, по вертикали – десятки. Достаточно выяснить, в какой из ячеек находится подкоренное число. Несложно догадаться, что по горизонтали в левой крайней колонке указаны десятки, в верхней строчке таблицы – единицы.

Допустим, под корнем стоит 7056. Находим значение в таблице. Это 8 десятков и 4 единицы, число 84. То есть, 84 это квадратный корень онлайн из 7056. Онлайн-калькулятор находит значения любого подкоренного выражения по подобным таблицам.

При перемножении отрицательных величин получается величина, больше нуля. Извлечение арифметического квадратного корня возможно только из положительного числа (матрицы).

Свойства арифметического квадратного корня

Пользоваться онлайн-калькулятором будет проще, если сначала упростить выражение, привести в удобный для вычисления вид. Чтобы преобразовать подкоренное значение, стоит воспользоваться правилами умножения, деления корней, возведение их в степень. Свойства корней стоит вызубрить, их всего три. Каждое рассмотрено ниже отдельно. Решение корней онлайн упрощается после математических преобразований подкоренного значения или выражения. Для этого достаточно знаний арифметики и азов алгебры.

Умножение корней

Если произведение подкоренного выражения можно представить в виде двух множителей, достаточно перемножить корни, извлеченные из этих множителей: допустим, под корнем стоит число 576. Преобразуем его в два множителя: 64 и 9. Затем извлекаем корень из 64, он равен 8, подобную процедуру проводим со вторым из множителей. Квадратный корень из девяти равен 3. Осталось найти результат: 8х3=24. Корень 576 равен 24.

Формулой свойство изображается так:

Раскладывая подкоренное значение на множители, можно значительно упростить процесс вычисления квадратных корней.

Деление корней

Следующее свойство удобно для извлечения корней из дробных чисел. Когда подкоренное выражение представлено в виде дроби, следует воспользоваться правилом деления. Проще запомнить это свойство по формуле:

Обратная формула трактуется следующим образом: корень из частного равен частному корней.

Допустим, нужно извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Для этого необходимо извлечь корень из 25, это 5. Затем подобную манипуляцию произвести с делителем дроби: корень 144 равен двенадцати. После извлечения корня из 25/144 получаем дробь 5/8. Если корень необходимо вычислить из десятичной дроби, нужно представить ее в виде натуральной. Например, 0,64 это 64/100. В результате получаем 8/10 или 0,8. Все довольно просто. Если из делимого или делителя корень не извлекается, при решении примеров или задач его оставляют под знаком корня.

Возведение в степень

Последнее свойство корней – это возведение его в степень. Тут все просто: достаточно перенести степень под корень, подставить к подкоренному выражению.

При возведении подкоренного числа в квадрат с последующим извлечением квадратного корня получаем первоначальное подкоренное выражение. На слух выражение воспринимается сложно. Проще усвоить формулу:

Из формулы видно, что этим свойством удобно пользоваться при возведении квадратного корня в четную степень, ее можно сразу делить на два и убирать знак корня. Как всегда, пример: чтобы возвести в шестую степень квадратный корень числа 3, необходимо возвести число 3 в куб, степенной показатель 6 поделить пополам.

Внесение под знак корня

При решении задач и примеров возникает необходимость вносить под корень множитель. Например, чтобы вычислить 4 корня из 4, можно представить выражение в виде двух корней: первым подкоренным выражением будет 4², второе останется неизменным. Финальное выражение нетрудно произвести, воспользовавшись формулами:

Формулу запомнить легко, она может пригодиться на экзамене.

Сравнение корней

Для графического решения уравнений нередко приходится сравнивать корни. Как это сделать быстро при сравнении квадратных корней? Воспользоваться еще одним правилом: чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня. Допустим, нужно сравнить

2√3 и 3√2. Вносим числа в подкоренные выражения. Получаем под знаками корней два выражения: 2²х3 и 3²х2. Осталось сравнить числа 12 и 18. Второе больше.

Свойства квадратных корней распространяются на другие коренные значения: четные или нечетные. Важно помнить, что в подкоренном выражении с четным показателем не может быть отрицательных чисел. С нечетными числами такое возможно. Результат в этом случае тоже будет отрицательным.

На этом экскурс по свойствам, сравнению корней можно считать исчерпывающим. Зная эти правила обращения с корнями, можно упростить сложное выражение. Пользоваться нашим онлайн-калькулятором с подсказками очень просто.

Найдите пределы функций в исчислении

Найдите пределы различных функций, используя разные методы. Представлено несколько примеров с подробными решениями. Другие упражнения с ответами находятся в конце этой страницы.

Примеры с подробными решениями

Пример 1

Решение примера 1:
Обратите внимание, что мы ищем предел, когда x приближается к 1 слева (x → 1 ^-1 означает, что x приближается к 1 на значения меньше 1). 2 + х-30}

= \ lim_ {x \ to \ 5} \ dfrac {(x-5) (x + 5)} {(x-5) (x + 6)}

= \ lim_ {x \ to \ 5} \ dfrac {(x + 5)} {(x + 6)} = \ dfrac {10} {11}

Пример 3

Пример 4

Пример 6

Когда x приближается к 9, числитель и знаменатель приближаются к нулю. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение числителя.

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Упражнения

Ответы на вышеуказанные упражнения

Дополнительные ссылки и ссылки

Дифференциальные уравнения – определения

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первое определение, которое мы должны рассмотреть, должно заключаться в дифференциальном уравнении .Дифференциальное уравнение – это любое уравнение, которое содержит производные, обыкновенные производные или частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, – это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \ (m \) движется с ускорением \ (a \) и на него действует сила \ (F \), то нам говорит Второй закон Ньютона. 2}}} = F \ left ({t, u, \ frac {{du}} {{dt }}} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2 \ partial t}} = 1 + \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ label {eq: eq10} \ end {уравнение} \]

Заказать

Порядок дифференциального уравнения – это наибольшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) – это дифференциальное уравнение первого порядка, \ (\ eqref {eq: eq4} \), \ (\ eqref {eq: eq5} \), \ ( \ eqref {eq: eq6} \), \ (\ eqref {eq: eq8} \) и \ (\ eqref {eq: eq9} \) – дифференциальные уравнения второго порядка, \ (\ eqref {eq: eq10} \ ) – дифференциальное уравнение третьего порядка, а \ (\ eqref {eq: eq7} \) – дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли у вас обыкновенные или частные производные в дифференциальном уравнении.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ode, , если в нем есть обыкновенные производные.Аналогичным образом, дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) – \ (\ eqref {eq: eq7} \) – это оды, а \ (\ eqref {eq: eq8} \) – \ (\ eqref {eq: eq10} \) являются PDE.

Подавляющее большинство этих заметок относится к одам. y} \).

Коэффициенты \ ({a_0} \ left (t \ right), \, \, \ ldots \, \ ,, {a_n} \ left (t \ right) \) и \ (g \ left (t \ right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \ (y \ left (t \ right) \) и ее производные используются для определения, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение не может быть записано в форме \ (\ eqref {eq: eq11} \), то оно называется нелинейным дифференциальным уравнением .

В \ (\ eqref {eq: eq5} \) – \ (\ eqref {eq: eq7} \) только выше \ (\ eqref {eq: eq6} \) нелинейно, два других – линейные дифференциальные уравнения. . Мы не можем классифицировать \ (\ eqref {eq: eq3} \) и \ (\ eqref {eq: eq4} \), так как не знаем, какую форму имеет функция \ (F \). Они могут быть как линейными, так и нелинейными, в зависимости от \ (F \).

Решение

Решение дифференциального уравнения на интервале \ (\ alpha В этой форме ясно, что нам нужно будет избегать как минимум \ (x = 0 \), так как это даст деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это эмпирическое правило: начинайте с реальных чисел, заканчивайте действительными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также необходимо избегать отрицательных значений \ (x \).

Итак, мы видели в последнем примере, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, вызванных решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

В последнем примере обратите внимание, что на самом деле существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]

Мы оставим вам детали, чтобы проверить, действительно ли это решения. Можете ли вы предложить какие-либо другие решения дифференциального уравнения на этих примерах? На самом деле существует бесконечное число решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное количество решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим…), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос подводит нас к следующему определению в этом разделе.

Начальные условия

Начальные условия – это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение мы ищем. Начальные условия (часто сокращенно обозначаемые как i.c., когда нам лень …) имеют вид

Другими словами, начальные условия – это значения решения и / или его производной (ей) в определенных точках. Как мы вскоре увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны и, следовательно, только одно решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, которые требуются для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2} y ” + 12xy ‘+ 3y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (4 \ right) = \ frac {1} {8}, \, \, \, \, y’ \ left (4 \ right) = – \ frac {3} {{64}} \]

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, y \ left (1 \ right) = – 4 \]

Как мы отметили ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Интервал действия

Интервал действия для IVP с начальным условием (ями)

– это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \ ({t_0} \). Их легко определить, но бывает сложно найти, поэтому мы не будем больше говорить об этом, пока не перейдем к фактическому решению дифференциальных уравнений и не будем нуждаться в интервале достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принимать решение, и не учитывает никаких начальных условий.2}}} \) – общее решение \ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \]

Мы предоставим вам возможность проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. Фактически, все решения этого дифференциального уравнения будут в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать и вскоре сможете убедиться в этом сами.

Фактическое решение

Фактическое решение дифференциального уравнения – это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям. 2}}} \]

Все, что нам нужно сделать, это определить значение \ (c \), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}} \]

Из этого последнего примера мы можем видеть, что как только у нас есть общее решение дифференциального уравнения, нахождение фактического решения является не чем иным, как применением начального условия (й) и решения для константы (й), которые находятся в общем решении.

Неявное / явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать вам, чем не является неявное решение, а затем привести пример, чтобы показать разницу.Итак, вот что мы будем делать.

Явное решение – это любое решение, заданное в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Другими словами, единственное место, где действительно появляется \ (y \), – это когда-то слева и только в первой степени. Неявное решение – это любое решение, которое не указано в явной форме. 2} – 3 \) является фактическим неявным решением для \ (y ‘= \ frac {t} {y}, \, \, \, \, \, y \ влево (2 \ вправо) = – 1 \)

Здесь мы попросим вас поверить в то, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} – 3} \]

В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Однако следует отметить, что не всегда можно будет найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое поможет нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Мы разобрались с большинством основных определений и теперь можем перейти к другим темам.

Использование калькулятора количественных показателей GRE (для испытуемых)

Иногда вычисления, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос в критерии количественного мышления Общего теста GRE ^® , отнимают много времени, например, деление в столбик или квадратные корни. Для таких вычислений вы можете использовать калькулятор, поставляемый с вашим тестом.

Хотя калькулятор может сократить время, необходимое для выполнения вычислений, имейте в виду, что калькулятор предоставляет результаты, которые дополняют, но не заменяют ваши знания математики. Вы должны использовать свои математические знания, чтобы определить, являются ли результаты калькулятора разумными и как их можно использовать для ответа на вопрос.

Вот несколько общих рекомендаций по использованию калькулятора для измерения количественного мышления:

Рекомендации, относящиеся к экранному калькулятору

Ниже приведены несколько примеров вычислений с использованием калькулятора.

1. Вычислить

   Пояснение

   Введите, чтобы получить 7,365. Или введите, чтобы получить 3,365, а затем введите, чтобы получить 7,365.

2. Вычислить

   Пояснение

   Поскольку деление имеет приоритет перед сложением в порядке операций, вам необходимо переопределить этот приоритет, чтобы вычислить эту дробь. Вот два способа сделать это. Вы можете использовать круглые скобки для добавления в числитель, вводя, чтобы получить Или вы можете использовать знак равенства после 9.3, ввод для получения того же результата. Обратите внимание на то, что во втором способе нажатие первой имеет важное значение, потому что без нее будет выполняться ошибочное вычисление. Между прочим, точное значение выражения – это повторяющаяся десятичная дробь, где цифры 285714 повторяются без конца, но калькулятор округляет десятичную дробь до

   .

3. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 21 и 54 с точностью до 0,01; то есть использовать теорему Пифагора и вычислить

   Пояснение

   Введите, чтобы получить 57.939624. Опять же, нажатие перед умножением необходимо, потому что вычисление будет ошибочным. Это потому, что квадратный корень будет иметь приоритет над умножением в порядке операций. Обратите внимание, что можно использовать круглые скобки, как в, но в них нет необходимости, потому что умножение уже имеет приоритет над сложением. Между прочим, точным ответом является неповторяющееся десятичное число или иррациональное число, но калькулятор округляет десятичное число до 57,939624. Наконец, обратите внимание, что проблема требует ответа с точностью до нуля.01, поэтому правильный ответ – 57,94.

4. Вычислить

   Пояснение

   Введите, чтобы получить

5. Перевести 6 миль в час в футы в секунду.

   Пояснение

   Для решения этой проблемы используются коэффициенты преобразования и следующие:

   Введите, чтобы получить 8.8. Или введите, чтобы получить результат 31 680, а затем введите, чтобы получить 8,8 футов в секунду.

6. На мероприятии по сбору средств 43 участника пожертвовали по 60 долларов каждый, 21 участник – по 80 долларов каждый, а 16 участников – по 100 долларов каждый.Каково было среднее (среднее арифметическое) пожертвование на одного участника в долларах?

   Пояснение

   Решением этой проблемы является вычисление взвешенного среднего. Вы можете использовать кнопки памяти и круглые скобки для этого вычисления следующим образом:

   Введите

   , чтобы получить 73,25, или 73,25 доллара за участника.

   При первом использовании кнопки число на дисплее калькулятора сохраняется в памяти, а слева от дисплея появляется буква M, указывающая на то, что функция памяти используется.При каждом последующем использовании кнопки число на текущем дисплее прибавляется к числу, хранящемуся в памяти, и заменяет число, хранящееся в памяти, на сумму. Когда кнопка нажата в вычислении выше, отображается текущее значение в памяти, 5,860. Чтобы очистить память, используйте кнопку, и M рядом с дисплеем исчезнет.

См. Также:

Символьная математика в Python – конспект лекции Scipy

Автор : Фабиан Педрегоса

Цели

1. Вычисляйте выражения с произвольной точностью.
2. Выполнять алгебраические манипуляции с символическими выражениями.

3. Выполнение основных вычислительных задач (пределы, дифференцирование и

   интегрирование) с символьными выражениями.

4. Решайте полиномиальные и трансцендентные уравнения.
5. Решите некоторые дифференциальные уравнения.

Что такое SymPy? SymPy – это библиотека Python для символьной математики. Это стремится быть альтернативой таким системам, как Mathematica или Maple, сохраняя при этом код максимально простой и легкий расширяемый.SymPy полностью написан на Python и не требует никаких внешние библиотеки.

Sympy и пакеты для установки можно найти на http://www.sympy.org/

3.2.1.1. Использование SymPy в качестве калькулятора

SymPy определяет три числовых типа: Real , Rational и Integer .

Класс Rational представляет рациональное число как пару из двух Целые числа: числитель и знаменатель, поэтому Rational (1, 2) представляет 1/2, Rational (5, 2) 5/2 и так далее:

 >>> импортировать sympy как sym
>>> a = симв.Рациональный (1, 2)

>>> а
1/2

>>> а * 2
1
 

SymPy использует mpmath в фоновом режиме, что позволяет выполнять вычисления с использованием арифметики произвольной точности. Что Кстати, некоторые специальные константы, например,, (Бесконечность), рассматриваются как символов и может быть вычислено с произвольной точностью:

 >>> sym.pi ** 2
пи ** 2

>>> sym.pi.evalf ()
3,1415
58979

>>> (sym.pi + sym.exp (1)). evalf ()
5,85987448204884
 

, как видите, evalf вычисляет выражение как число с плавающей запятой.

Существует также класс, представляющий математическую бесконечность, называемый oo :

 >>> sym.oo> 99999
Правда
>>> sym.oo + 1
оо
 

Упражнения

1. Вычислить со 100 десятичными знаками.
2. Расчет по рациональной арифметике.

3.2.1.2. Символы

В отличие от других систем компьютерной алгебры, в SymPy вы должны объявить символьные переменные явно:

 >>> x = симв.Символ ('x')
>>> y = симв. символ ('y')
 

Тогда вы можете ими манипулировать:

 >>> х + у + х - у
2 * х

>>> (х + у) ** 2
(х + у) ** 2
 

теперь можно управлять с помощью некоторых операторов Python: + , -`, `` * , ** (арифметика), &, | , ~, >>, << (логическое).

Печать

Sympy позволяет управлять отображением вывода. Отсюда мы используем следующая настройка для печати:

 >>> сим.init_printing (use_unicode = False, wrap_line = True)
 

SymPy может выполнять мощные алгебраические манипуляции. Хорошо ознакомьтесь с некоторыми из наиболее часто используемых: расширять и упрощать.

3.2.2.1. Развернуть

Используйте это, чтобы развернуть алгебраическое выражение. Он будет пытаться опровергнуть степени и умножения:

 >>> симв. Развернуть ((x + y) ** 3)
 3 2 2 3
х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
>>> 3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3
 3 2 2 3
х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
 

Дальнейшие варианты можно задать в форме по ключевым словам:

 >>> сим.развернуть (x + y, комплекс = True)
re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)
>>> sym.I * sym.im (x) + sym.I * sym.im (y) + sym.re (x) + sym.re (y)
re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)

>>> sym.expand (sym.cos (x + y), trig = True)
-sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
>>> sym.cos (x) * sym.cos (y) - sym.sin (x) * sym.sin (y)
-sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
 

3.2.2.2. Упростить

Используйте упрощение, если вы хотите преобразовать выражение в более простая форма:

 >>> сим.упростить ((x + x * y) / x)
у + 1
 

Упрощение – это несколько расплывчатый термин, более точный. существуют альтернативы упрощению: powsimp (упрощение экспоненты), trigsimp (для тригонометрических выражений), logcombine , radsimp вместе.

Упражнения

1. Рассчитать развернутую форму.
2. Упростить тригонометрическое выражение

3.2.3.1. Лимиты

Limits легко использовать в SymPy, они соответствуют синтаксису limit (function, переменная, точка) , поэтому для вычисления предела как , вы должны выдать limit (f, x, 0) :

 >>> сим.предел (sym.sin (x) / x, x, 0)
1
 

, вы также можете рассчитать предел на бесконечности:

 >>> sym.limit (x, x, sym.oo)
оо

>>> sym.limit (1 / x, x, sym.oo)
0

>>> сим. предел (х ** х, х, 0)
1
 

3.2.3.2. Дифференциация

Вы можете различать любое выражение SymPy, используя diff (func, var) . Примеры:

 >>> sym.diff (sym.sin (x), x)
cos (x)
>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x)
2 * соз (2 * х)

>>> сим.diff (sym.tan (x), x)
   2
загар (х) + 1
 

Проверить правильность можно по:

 >>> sym.limit ((sym.tan (x + y) - sym.tan (x)) / y, y, 0)
   2
загар (х) + 1
 

Высшие производные можно вычислить с помощью метода diff (func, var, n) :

 >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 1)
2 * соз (2 * х)

>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 2)
-4 * грех (2 * x)

>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 3)
-8 * соз (2 * х)
 

3.2.3.3. Расширение серии

SymPy также знает, как вычислить ряд Тейлора выражения в точка.Используйте серию (expr, var) :

 >>> sym.series (sym.cos (x), x)
     2 4
    х х / 6 \
1 - - + - + O \ x /
    2 24
>>> sym.series (1 / sym.cos (x), x)
     2 4
    х 5 * х / 6 \
1 + - + ---- + O \ x /
    2 24
 

Упражнения

1. Рассчитать
2. Вычислить производную для.

3.2.3.4. Интеграция

SymPy поддерживает неопределенную и определенную интеграцию трансцендентальных элементарные и специальные функции через средство интеграции () , которое использует мощный расширенный алгоритм Риша-Нормана и некоторые эвристики и шаблоны соответствие.Можно интегрировать элементарные функции:

 >>> sym.integrate (6 * x ** 5, x)
 6
Икс
>>> sym.integrate (sym.sin (x), x)
-cos (х)
>>> sym.integrate (sym.log (x), x)
х * журнал (х) - х
>>> sym.integrate (2 * x + sym.sinh (x), x)
 2
х + сш (х)
 

Также легко обрабатываются специальные функции:

 >>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2) * sym.erf (x), x)
  ____ 2
\ / пи * erf (х)
--------------
      4
 

Можно вычислить определенный интеграл:

 >>> сим.интегрировать (x ** 3, (x, -1, 1))
0
>>> sym.integrate (sym.sin (x), (x, 0, sym.pi / 2))
1
>>> sym.integrate (sym.cos (x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2))
2
 

Также поддерживаются несобственные интегралы:

 >>> sym.integrate (sym.exp (-x), (x, 0, sym.oo))
1
>>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2), (x, -sym.oo, sym.oo))
  ____
\/ Пи
 

SymPy может решать алгебраические уравнения в одном и нескольких переменные с использованием функции solutionset () :

 >>> сим.набор решений (x ** 4-1, x)
{-1, 1, -I, I}
 

Как видите, первым аргументом является выражение, которое предполагается равным 0. Он также имеет (ограниченную) поддержку трансцендентного уравнения:

 >>> sym.solveset (sym.exp (x) + 1, x)
{I * (2 * n * pi + pi) | n в целых числах}
 

Системы линейных уравнений

Sympy может решить большую часть полиномиальные уравнения, а также может решать несколько уравнения относительно нескольких переменных, дающие кортеж в качестве второго аргумент.Для этого вы используете команду solution () :

 >>> решение = sym.solve ((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
>>> решение [x], решение [y]
 

(-3, 1)

Другой альтернативой в случае полиномиальных уравнений является фактор . Фактор возвращает полином, разложенный на несократимые условия, и способен вычислять факторизацию по различным домены:

 >>> е = х ** 4 - 3 * х ** 2 + 1
>>> сим.фактор (f)
/ 2 \ / 2 \
\ x - x - 1 / * \ x + x - 1 /

>>> sym.factor (f, модуль = 5)
       2 2
(х - 2) * (х + 2)
 

SymPy также может решать логические уравнения, то есть определять, определенное логическое выражение выполнимо или нет. Для этого мы используем выполнимая функция:

 >>> симв. Удовлетворительно (x & y)
{x: верно, y: верно}
 

Это говорит нам, что (x & y) истинно, когда x и y оба истинны.Если выражение не может быть истинным, т.е. никакие значения его аргументов не могут сделать выражение True, оно вернет False:

 >>> сим. Удовлетворительно (x & ~ x)
Ложь
 

Упражнения

1. Решите систему уравнений,
2. Существуют ли логические значения x , y , которые делают (~ x | y) & (~ y | x) истинным?

3.2.5.1. Матрицы

Матрицы создаются как экземпляры из класса Matrix:

 >>> сим.Матрица ([[1, 0], [0, 1]])
[1 0]
[]
[0 1]
 

, в отличие от массива NumPy, в него также можно поместить символы:

 >>> x, y = симв. Символы ('x, y')
>>> A = sym.Matrix ([[1, x], [y, 1]])
>>> А
[1 х]
[]
[y 1]

>>> А ** 2
[х * у + 1 2 * х]
[]
[2 * y x * y + 1]
 

3.2.5.2. Дифференциальные уравнения

SymPy может решать (некоторые) обыкновенные дифференциалы. Для решения дифференциальных уравнений используйте dsolve. Сначала создайте неопределенная функция, передав cls = Function в функцию symbols:

 >>> f, g = симв.символы ('f g', cls = симв. функция)
 

f и g теперь являются неопределенными функциями. Мы можем назвать f (x), и он будет представлять неизвестная функция:

 >>> f (x)
f (x)

>>> f (x) .diff (x, x) + f (x)
         2
        d
е (х) + --- (е (х))
         2
       dx

>>> sym.dsolve (f (x) .diff (x, x) + f (x), f (x))
f (x) = C1 * sin (x) + C2 * cos (x)
 

Аргументы ключевого слова могут быть переданы этой функции, чтобы помочь, если найти наилучшую возможную систему разрешения. Например, если вы знаете что это разделяемые уравнения, вы можете использовать ключевое слово hint = 'separable' чтобы заставить dsolve разрешить его как разделяемое уравнение:

 >>> сим.dsolve (sym.sin (x) * sym.cos (f (x)) + sym.cos (x) * sym.sin (f (x)) * f (x) .diff (x), f (x) , подсказка = 'разделимый')
               / C1 \ / C1 \
 [f (x) = - acos | ------ | + 2 * пи, f (x) = acos | ------ |]
               \ соз (х) / \ соз (х) /
 

Упражнения

1. Решите дифференциальное уравнение Бернулли

2. Решите то же уравнение, используя подсказку = 'Бернулли' . Что вы наблюдаете?

1.Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построим график функций \ (log_b \) для нескольких значений b> 1 (рисунок).

Прежде чем решать некоторые уравнения, включающие экспоненциальные и логарифмические функции, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов

Если \ (a, b, c> 0, b ≠ 1 \) и \ (r \) – любое действительное число, то

1. \ (log_b (ac) = log_b (a) + log_b (c) \) (Свойство продукта)
2. \ (log_b (\ dfrac {a} {c}) = log_b (a) −log_b (c) \) (Свойство частного)
3. \ (log_b (a ^ r) = rlog_b (a) \) (Свойство мощности)

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение уравнений, включающих экспоненциальные функции

Решите каждое из следующих уравнений относительно \ (x \).3) −4 \ ln (x) = 1 \).

Подсказка

Сначала используйте свойство мощности, затем свойство произведения логарифмов.

Ответ

\ (x = \ dfrac {1} {e} \)

При вычислении логарифмической функции с помощью калькулятора вы могли заметить, что единственными параметрами являются \ (log_10 \) или log, называемый десятичным логарифмом , или \ ln, который является натуральным логарифмом.Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены с помощью любого желаемого основания \ (b \). Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другой базой, вы можете сначала применить формулы замены базы. Используя это изменение основания, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах естественных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций.

Правило: формулы замены базы

Пусть \ (a> 0, b> 0 \) и \ (a ≠ 1, b ≠ 1 \).

1.ж \). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что \ (u⋅v = w \).

\ (\ квадрат \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \): изменение баз

Используйте вычислительную утилиту, чтобы вычислить \ (log_37 \) с помощью формулы изменения базы, представленной ранее.

Решение

Используйте второе уравнение с \ (a = 3 \) и \ (e = 3 \): \ (log_37 = \ dfrac {\ ln 7} {\ ln 3} ≈1.77124 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Используйте формулу замены базы и вычислительную утилиту для вычисления \ (log_46 \).

Подсказка

Используйте изменение основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, содержащих функцию натурального логарифма.

Ответ

\ (1,29248 \)

Пример \ (\ PageIndex {7} \): шкала Рихтера для землетрясений

В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкалу (теперь известную как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясения баллов и .Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: Рассмотрим одно землетрясение с магнитудой \ (R_1 \) по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой \ (R_2 \) по шкале Рихтера. Предположим, \ (R_1> R_2 \), что означает, что землетрясение магнитудой \ (R_1 \) сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды сейсмических волн. Если \ (A_1 \) – это амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а \ (A_2 \) – это амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:

\ (R_1-R_2 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем

\ (8-7 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

Следовательно,

\ (log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) = 1 \),

, что означает \ (A_1 / A_2 = 10 \) или \ (A_1 = 10A_2 \). {1.7} \), и мы заключаем, что землетрясение в Японии было примерно в 50 раз сильнее землетрясения на Гаити.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Сравните относительную силу землетрясения магнитудой \ (8,4 \) с землетрясением магнитудой \ (7,4 \).

Подсказка

\ (R_1-R_2 = log_ {10} (A1 / A2) \).

Ответ

Землетрясение с магнитудой \ (8.4 \) примерно в \ (10 ​​\) раз сильнее, чем магнитуда \ (7.х = 0. \)

Ответ

\ (\ Displaystyle \ lim_ {х → ∞} е (х) = \ гидроразрыва {3} {5}, \ lim_ {х → −∞} е (х) = – 2 \)

Калькулятор многопараметрических пределов

Калькулятор посторонних растворов