Решение примеров производные: Как найти производную функции, примеры решения

определение, как найти, примеры решений Решение производной дроби

При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

• применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
• необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
• что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.

Пример 1. Найти производную функции

.

.

Здесь двойка перед иксом – постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.

Собираем всё вместе:

.

Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями , их преобразовании и сокращении.

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Производная третьего слагаемого – константы 1/2 – равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых – минусы:

.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от

дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1’ = / cos? (x) = / cos? (x) = / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. Выходит,tg (x) = ’ = 1 / cos? (x).

5. Пример 2[(x? – 1) / 6x]’ = [(2x · 6x – 6 · x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Частным случаем дроби является такая дробь, у которой в знаменателе единица. (-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.

Основные правила дифференцирования. Сумма.

Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х 0 обозначаются для краткости так: u(х 0) = u, v(х 0) = v, u”(х 0) = u”, v”(х 0)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0 , то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)” = u” + v” .

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных .

1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х 0 +Δx)+ v(х 0 +Δx) – (u(х 0)+v(х 0)) = (u(х 0 +Δx)-u(х 0)) + (v(х 0 +Δx)-v(х 0)) = Δu + Δv 2)

3) Функции u и v дифференцируемы в точке х 0 , т. е. при Δх→0

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода ), т. е. (u+v)” = u”+v’

Основные правила дифференцирования. Произведение.

Если функции и и v дифференцируемы в точке х 0 , то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)” = u”v+uv” .

1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х 0 +Δx)v(х 0 +Δx)-u(х 0)v(х 0)=(u(х 0)+ Δu)(v(х 0)+ Δv)-u(х 0)v(х 0) =

U(х 0)v(х 0)+ Δuv(х 0)+u(х 0) Δv+ΔuΔv-u(х 0)v(х 0)= Δuv(х 0)+u(х 0) Δv+ΔuΔv

3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х 0 при Δx→0 имеем

т. е. (uv)” = u”v+uv”, что и требовалось доказать. Следствие. Если функция u дифференцируема в х 0 , а С – постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)” = Сu” .

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной . Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о

производной , фактом С” = 0:

(Сu)” = Сu” + С”u = Cu” + 0⋅u = Cu”.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Основные правила дифференцирования. Частное

Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x 0 и

Выведем сначала формулу

1) найдем приращение функции 1/v:

2) Отсюда

3) При Δx→0 имеем Δv/Δx→v’ (в силу дифференцируемости v в точке x 0), Δv→0 (по доказанной лемме ). Поэтому

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1 . Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х 0 , а функция g имеет производную в точке y 0 =f(x 0 )y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х 0 , причем

h’(x 0 ) = g’(f(x 0 )) f’(x 0 ) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x 0 +Δx)-f(x 0)= Δf

Тогда Δh = h(х 0 + Δх) – h(x 0) = g(f(x 0 +Δx)) – g(f(x 0)) = g(y 0 + Δy) – g(y 0) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x 0 . Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х 0 . Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x 0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y 0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Пример.НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ!! ! ! !!! http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx. Обратная функция x = siny и , по формуле для обратной функции .

Найдем функции y = arctgx. Обратная функция x = tgy,

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

Пример.

Найти производную функции

Решение.

Упростим вид исходной функции

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .

По определению производной

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1 . Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Пример.

Найти производную функции , где a – положительное действительное число.

Решение.

А теперь по порядку.

Первое слагаемое .

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе:

4.Вопрос.Производные Основных элементарных функций.

Задание. Найти производную функции

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

Ответ.

5.Вопрос.Производная сложной функции примеры

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.

В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции y=ecosx.

Решение

Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : y′=−sinx⋅ecosx.

Пример №2

Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Решение

Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)

Примечание: показать\скрыть

Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Равенство (2.2) теперь станет таким:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2. 3)

Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ : y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Пример №3

Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Решение

Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3. 3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Ответ : y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4. 2)

Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.

Пример №5

Найти y′, если y=arcsin2x.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Ответ : y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Пример №6

Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Ответ : y′=21⋅ctgx.

Пример №7

Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Решение

6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

Используя производную степенной функции:

Производная логарифма. Подробный разбор примеров.

Вам кажется, что до экзамена еще много времени? Это месяц? Два? Год? Практика показывает, что ученик лучше всего справляется с экзаменом в том случае, если начал готовиться к нему заблаговременно. В ЕГЭ немало сложных заданий, который стоят на пути школьника и будущего абитуриента к высшим баллам. Эти преграды нужно научиться преодолевать, к тому же, делать это несложно. Вам необходимо понять принцип работы с различными заданиями из билетов. Тогда и с новыми не возникнет проблем.

Логарифмы на первый взгляд кажутся невероятно сложными, но при детальном разборе ситуация значительно упрощается. Если вы хотите сдать ЕГЭ на высший балл, вам стоит разобраться в рассматриваемом понятии, что мы и предлагаем сделать в этой статье.

Для начала разделим эти определения. Что такое логарифм (log)? Это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить указанное число. Если непонятно, разберем элементарный пример.

В этом случае основание, стоящее внизу, необходимо возвести во вторую степень, чтобы получить число 4.

Теперь разберемся со вторым понятием. Производная функции в любом виде называется понятие, характеризующее изменение функции в приведенной точке. Впрочем, это школьная программа, и если вы испытываете проблемы с данными понятиями по отдельности, стоит повторить тему.

Производная логарифма

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Производная натурального логарифма

Примеры

В задания ЕГЭ по этой теме можно привести несколько задач в качестве примера. Для начала самая простая логарифмическая производная. Необходимо найти производную следующей функции.

Решаем.

Нам нужно найти следующую производную

Существует специальная формула.

В этом случае x=u, log3x=v. Подставляем значения из нашей функции в формулу.

Производная x будет равняться единице. С логарифмом немного труднее. Но принцип вы поймете, если просто подставите значения. Напомним, что производной lg x называется  производная десятичного логарифма, а производная ln х —  это производная от натурального логорифма (по основанию e).

Теперь просто подставьте полученные значения в формулу. Попробуйте сами, далее сверим ответ.

В чем здесь может быть проблема для некоторых? Мы ввели понятие натурального логарифма. Расскажем о нем, а заодно разберемся, как решать задачи с ним. Ничего сложного вы не увидите, особенно, когда поймете принцип его работы. К нему вам стоит привыкнуть, так как он нередко используется в математике (в высших учебных заведениях тем более).

Производная натурального логарифма

По своей сути, это производная логарифма по основанию e (это иррациональное число, которое равняется примерно 2,7). На деле ln очень прост, поэтому часто используется в математике в целом. Собственно, решение задачи с ним тоже не станет проблемой. Стоит запомнить, что производная от натурального логарифма по основанию е будет равно единице поделенной на x. Самым показательным будет решение следующего примера.

Представим ее как сложную функцию, состоящую из двух простых.

Достаточно преобразовать

Ищем производную от u по x

Продолжим со второй

Используем способ решения производной сложной функции, подставляя u=nx.

Что получилось в итоге?

А теперь давайте вспомним, что в этом примере означало n? Это любое число, которое может встретиться в натуральном логарифме перед x. Вам важно понять, что от нее не зависит ответ. Подставляйте, что угодно, ответ все равно будет 1/x.

Как видите, ничего сложного здесь нет, достаточно лишь понять принцип, чтобы быстро и эффективно решать задачи по этой теме. Теперь вы знаете теорию, осталось закрепить на практике. Тренируйтесь в решении задач, чтобы надолго запомнить принцип их решения. Быть может, вам и не пригодится это знание после окончания школы, но на экзамене оно будет как никогда актуальным. Удачи вам!

 

Поделиться с друзьями:

Производное в математике — объяснение с примерами

Ariel Skelley/DigitalVision/Getty Images

Когда речь идет о творческом письме, то, что что-то называется «производным», подразумевает, что не было вложено много мыслей, и автор скопировал идеи из других работ.

В математике производные уравнения — это не уравнения, которые предполагают недостаток воображения, а скорее помогают найти средний наклон между двумя точками. Производные математические задачи могут варьироваться от «эй, это не так сложно» до «когда математика стала состоять только из букв и символов?»

В этой статье мы обсудим, как вычислять производные, и сделаем концепцию максимально понятной. Хотя изучение математики может быть похоже на изучение нового языка, как только вы поймете, что означают новые символы и как они работают, вы сможете получить более сложные уравнения.

Если вам интересно, как нахождение производной функции когда-либо пригодится, скажем, вы хотите получить одну из следующих профессий:

• Инженерное дело
• Строительство
• Архитектура
• Изобразительное искусство
• Сейсмология
• Медицина
• Компьютерное программирование

Понимание уравнений исчисления производных, особенно без использования калькулятора, будет невероятно полезным.

Что означает производная?

Вскоре мы рассмотрим некоторые математические примеры определения производных, но пока давайте дадим вам рабочее определение.

Производная показывает скорость изменения функций по отношению к переменным.

В исчислении и дифференциальных уравнениях производные необходимы для нахождения решений. Давайте рассмотрим производное математическое уравнение, чтобы лучше понять концепцию и предложить некоторые определения для различных используемых символов.

Самый простой способ взглянуть на производное уравнение — связать его с наклоном на графике.

Мы видим, что x проходит по низу горизонтально, а y проходит по левой стороне вертикально.

Через график проходит линия, и мы собираемся найти число, представляющее общее изменение или средний наклон между двумя точками на линии. Мы можем написать уравнение так:

Наклон = Изменение Y

Изменение X

Если бы наклон линии был таким, что изменение x между двумя точками равнялось 3, а изменение y равнялось 6, мы получили бы уравнение, которое выглядит следующим образом:

Наклон = 6

3

Разделите, чтобы получить:

Наклон = 2

Теперь мы знаем средний наклон линии! Легко, верно? Ну, подождите, потому что что мы будем делать, если нам нужно найти средний наклон между двумя точками на изогнутая линия ?

С кривыми формула расчета производных становится немного сложнее. Кроме того, мы собираемся добавить наш первый производный математический символ.

Наклон = Изменение Y = Δy

Изменение X = Δx

Символ треугольника Δ называется «Дельта». Мы можем думать об этом как о «изменении».

Формула будет делением изменения y на изменение x. Теперь мы перейдем к другому символу, который нам нужно знать.

Взгляните на это уравнение:

Δy = f(x+Δx)

Δx        Δx

См. f? Буква f в производных математических уравнениях означает «функцию» или степень изменения наклона. F связывает ввод с выводом, чтобы мы могли понять взаимосвязь между уравнением и ответом. Если бы у нас была функция:

f(x) = 2x

, мы бы знали, что любое число, которое мы подставим вместо x, будет умножено на 2.

f(3) = 2(3)

Умножим, и мы получить:

f(3) = 6

Помните, что при решении уравнения производной цель состоит в том, чтобы заставить Δx двигаться к нулю.

Вам может показаться, что вы видите кучу кода, но поверьте нам, вы к нему привыкнете.

Во-первых, мы возьмем нашу функцию и применим ее к нашему уравнению. Поскольку f(x)=2x, мы знаем, что хотим использовать это в своих интересах при решении этой задачи. Мы начнем по одной части за раз.

Если f(x)=2x

Тогда f(x+∆x)=2(x+∆x), потому что по существу “f” означает, что мы умножаем все, что в скобках после f, на 2.

Используя распределительное свойство алгебры, мы знаем, что можем упростить, чтобы получить 2x+2(Δx), которое мы изменим на 2Δx+2x:

Δy = 2Δx+2x

Δx       0

Поскольку мы работаем над тем, чтобы Δx было как можно ближе к нулю, что произойдет, если мы подставим 0 вместо Δx? Что ж, в этот момент мы делим на 0, а 2 умножить на 0 равно нулю, так что у нас остается это:

2x

0

Этот шаг приводит нас к нулю! Итак, мы знаем, что какую бы цифру мы ни ввели для Δx, мы будем знать среднюю скорость изменения нашего наклона.

Разве в алгебре нет формулы наклона? Какая разница?   sefa ozel / E+ / Getty Images

Да, формула наклона в алгебре такова:

m=y2-y1

     x2-x1

В алгебре m равно наклону. Но алгебра больше связана с решением уравнений, тогда как исчисление производных связано с нахождением скорости изменения.

Метод определения скорости изменения наклона, который мы использовали ранее, не является единственным методом, и вам необходимо знать о других обозначениях. Давайте посмотрим на другое уравнение и график и разберемся, что они означают. Взгляните на этот график: 

Эти точки являются нашими значениями y, которые мы собираемся решить. Чтобы найти нашу скорость изменения, мы хотим посмотреть на это так: 

lim      f(h+x)-f(x) 

h→0      x+h-x 

Поскольку мы можем избавиться от нижних x ( x минус x равно 0), мы можем переписать это так: 

lim      f(h+x)-f(x) 

h→0          h 

Некоторые определения в помощь! Когда мы пишем «lim» и «h→0», мы пишем предел, когда h приближается к нулю. Мы хотим найти предел нашего наклона, и мы собираемся ввести его в нашу формулу.

Поскольку кривые линии изменяются по своей длине, нам нужно найти среднюю скорость изменения, которую лучше всего выразить в виде формулы. Вы можете увидеть всю эту формулу, когда вас учат вычислять производные как f’(x). Таким образом, это будет выглядеть так: 

f'(x) = lim      f(h+x)-f(x) 

          h→0          h 

Можно сказать, что f’(x) есть f простое число x. Это выражение является производной. Давайте решим пример и найдем производную функции. Скажем так: 

f(x)=x² 

Теперь мы можем подставить x² в нашу формулу: 

(x+h)²-x² 

      h 

Что становится благодаря свойству распределения:  

x²+2h²+2h² -x²

H

Мы можем устранить два X²S:

2HX+H²

H

Мы можем затем использовать свойство распределения, чтобы упростить чтение:

H (2x+H)

H

Поскольку мы можем разделить h, мы получим: 

2x+h

Нас всегда интересует нахождение предела по мере приближения к нулю, поэтому давайте запишем ноль вместо h:

2x+0

Осталось:

2x

Что означает:

f'(x)=2x

Теперь предположим, что мы хотим найти конкретный наклон к определенному набору точек. Допустим, мы хотим найти наклон линии по координате x 3 и координате y 6. подобрал, уклон 6. Решено!

Родители, возможно, вы учитесь этому вместе со своими детьми, так что будьте терпеливы к себе не меньше, чем к ним!

Теперь предположим, что мы хотим найти решение для нашей касательной. Касательная только касается кривой, в отличие от секущей, которая касается кривой в двух точках.

Мы можем найти среднюю скорость изменения в любой точке склона, представив, что через нее проходит линия. Давайте наберём несколько чисел из нашего примера уравнения производной. Мы собираемся использовать формулу точечного наклона:

y-y1=m(x-x1) 

Мы воспользуемся нашими предыдущими координатами, чтобы решить это: 

y-6=6(x-3) 

Мы получим: 

y-6=6x- 18 

Получается: 

y=6x+12 

Помните, что мы не пытаемся перейти к числу, а пытаемся найти работающую формулу.

Зачем мне знать Как рассчитать производные ?  

Справедливый вопрос. Каково практическое применение способности решать производные математические уравнения? Возможно, вы будете удивлены!

Рассчитать траекторию снаряда  

Мы знаем влияние гравитации. Падающий объект имеет скорость ускорения 9,08 метра в секунду за секунду. Мы можем записать формулу гравитации как 9,8 м/с².

Если мы запишем нашу функцию в виде x(t), где t — время, мы сможем рассчитать, где приземлится запущенный объект или где он будет находиться в воздухе в любой заданной точке. Полная формула будет выглядеть так: x′′(t)=−9,8 м/с², чтобы показать, как объект падает, используя производную математику.

Рассчитать распространение тепла  

Поскольку мы знаем, что источник постоянной температуры излучает тепло через твердые тела с известной скоростью, мы можем узнать точную температуру на любом заданном расстоянии от источника тепла. Этот расчет важен при определении прочности материалов в определенных ситуациях, например при проектировании теплозащитных экранов.

Расчет экономической информации  

В экономических расчетах важны математические вычисления и производные математические знания. Производная математика может помочь рассчитать стоимость товаров с течением времени по конкретным ценам и спрогнозировать результаты. Каким бы бизнесом вы ни занялись, чем раньше вы научитесь вычислять такие важные цифры с помощью производной математики, тем лучше.

Изучать производные сложно, но полезно   Federico Caputo / EyeEm / EyeEm / Getty Images

Мы рассмотрели некоторые математические примеры определения производных, но вы все еще можете подумать: «Я никогда не буду это использовать; это не для меня!” Помните, что изучение новых навыков, подобных этому, тренирует ваш мозг и помогает развивать навыки критического мышления. Это не просто изучение изолированной способности.

Вы научитесь вычислять производные, и ваш мозг будет экстраполировать эту информацию и решать проблемы в других областях. Так и будет! Независимо от того, в какой профессии вы работаете, изучение математики необходимо.

Музыкантам нужна производная математика, чтобы понимать музыку со сложным ритмом. Писателям может понадобиться изучить производную математику, если они создают истории с персонажами, которые понимают математику.

Инженеры, строители, даже ремесленники и компании, создающие огнестрельное оружие — и люди, использующие это огнестрельное оружие — должны понимать, как использовать производную математику для понимания баллистики.

В конце концов, вам, возможно, придется найти хорошего репетитора, который сможет лучше понять производную математику. Чем больше вы над этим работаете, тем больше странных символов будет появляться! Но эти понятия не невозможно понять. Как только вы изучите одну функцию или понятие производной математики, вы получите новую, чтобы добавить в свой репертуар.

В математике всегда есть новые задачи, поэтому, если вы относитесь к тому типу людей, которые хотят потренировать свое серое вещество, это фантастическая область для этого. Старое клише состоит в том, что ваш мозг — это мышца. Хотя это не совсем верно, действительно нуждается в упражнениях.

Почему бы не потренироваться с математикой? Все, что вам нужно, это лист бумаги или компьютерный документ и калькулятор. У вас есть трюк для понимания производной математики? Мы хотели бы услышать об этом! Поместите это в разделе комментариев ниже!

Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tan x ), котангенс (cot x ), секанс (sec x ) и косеканс (csc x ).

Все эти функции непрерывны и дифференцируемы в своих областях определения. Ниже мы составим список производных для этих функций.

92}x}} = -\frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{1}{{\sin x}} = -\cot x\csc x.\]

Таблица производных тригонометрических функций

В таблице ниже приведены производные \(6\) основных тригонометрических функций:

В приведенных ниже примерах найдите производную заданной функции.