Построение графика функции с помощью производной, сопутствующие задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |
Введение
Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:
1. исследование без производной;
2. исследование с помощью производной.
Построение графика и исследование функции без производной
При исследовании функции без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:
1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.
2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.
3.
График этой функции симметричен относительно точки .
Пояснение
Рассмотрим функцию
Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).
Эта функция нечетная:
График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .
Рис. 1. График функции
При прибавлении 4 к функции график сдвинется на 4 единицы вверх по оси (см. Рис. 2): корни и пропадают, а корень сдвигается влево. Следовательно, график функции будет симметричен относительно точки .
Рис. 2. Схематичное изображение графиков функции и
Нам удалось установить, что функция имеет как минимум один корень, который меньше чем .
Построение графика и исследование функции с помощью производной
Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:
– критические точки
Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см.
Рис. 3).
До точки функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно, – это точка максимума.
До точки функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.
Рис. 3. График производной функции
Найдем значения функции в точках минимума и максимума:
Можно сделать вывод, что функция возрастает от до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.
На рисунке 4 показан график функции . Этот график читается следующим образом:
Если аргумент возрастает от до , то функция возрастает от до 6; если аргумент от до 1, то функция убывает от 6 до 2; если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .
Рис. 4. График функции
Результаты исследования функции
1.
при и при
2. при
3. – т. max
– т. min
3. . Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.
Задача
Найти число корней уравнения в зависимости от параметра .
Решение
1. Перенесем в правую часть уравнения:
2. Построим график функции (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции (см. Рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Уравнение имеет один корень при каждом из множества , а также из множества .
Уравнение имеет два корня при и при .
Уравнение имеет три корня при всех из множества .
Ответ: 1 корень:
2 корня: ; ;
3 корня: .
Частные случаи для задачи
1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.
Ответ: уравнение имеет два корня при и при .
2. Найти наибольшее натуральное значение параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.
Решение
Уравнение имеет три корня при всех из множества . В это множество входят такие натуральные числа: 3, 4, 5. Наибольшее из них – это 5.
Ответ: .
Общий план построения графика и исследования функции
Общий план состоит из двух этапов:
1. Этап А: исследование без производной.
2. Этап Б: исследование с производной.
Этап А
1. Найти область определения функции .
2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).
3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять и вычислить .
4. Выяснить специфику функции:
– четность, нечетность, периодичность;
– наличие центра или оси симметрии.
5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).
Рис. 7. Эскиз графиков в окрестностях корня
6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя.
Они могут определять вертикальные асимптоты.
7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .
Этап Б
1. Найти производную функции .
2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.
3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.
4. Построить и описать график функции .
Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где и – многочлены.
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.
В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)
3. Интернет-сайт YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр.
265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)
2. Исследуйте функцию и постройте ее график .
Калькулятор логарифмического дифференцирования и решатель
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Логарифмического дифференцирования . Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
B
D
B
D
B
D
B
D
B
D
9 0007
D
B
D
f
g
m
n
u
v
w
x
7 z 9 0.
0007 9 0.0007(◻)
+
–
×
◻/◻
/
÷
◻ 2
◻ ◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
ln
журнал
log ◻
LIM
D/DX
D □ x
∫
∫ ◻
| ◻ |
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc
asin
acos
atan
acot
асек
аксс
синх
COSH
TANH
COTH
SECH
CSCH
ASINH
ACOSH
ATANH
ACOTH
ASECH
6669
Пример
Решенные проблемы
Сложные задачи
1
Решенный пример логарифмического дифференцирования
$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$ 9n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
5
Вывести обе части равенства относительно $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\ влево(х\лн\влево(х\вправо)\вправо)$
6
Применение правила произведения для дифференцирования: $(f\cdot g)’=f’\cdot g+f\cdot g’$, где $f=x$ и $g=\ln\left(x\right) $
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\ вправо)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
Промежуточные шаги
Производная линейной функции равна $1$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left (x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
Любое выражение, умноженное на $1$, равно самому себе
$\frac{d }{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right) )\справа)$
7
Производная линейной функции равна $1$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ ln\влево(х\вправо)\вправо)$
8
Производная натурального логарифма функции равна производной функции, деленной на эту функцию.
{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ пер\влево(х\вправо)\вправо)$ 9х\влево(\лн\влево(х\вправо)+1\вправо)$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Калькулятор производных онлайн
Калькулятор производных онлайн
Похожие темы:
Matlab Simultaneous Equations |
решатель сложения и вычитания радикалов |
сложные математические уравнения |
решить мою математику |
задачи по тригонометрии с ответами |
калькулятор для рациональных уравнений |
экзамен по математике 170 |
онлайн-учебник по алгебре 1 |
как решать уравнения по математике 7 класс
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CAH` Зарегистрирован: 26. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| oc_rana Зарегистрирован: 08. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Vnode Зарегистрирован: 27. Откуда: Германия |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| THemg Зарегистрирован: 03. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Гулс Зарегистрирован: 01.12.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| sxAoc Зарегистрирован: 16.01.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
10.2005 
03.2007 
07.2004 
Удачи с домашним заданием и дайте мне знать, если ваши проблемы были решены.
Я помню, как у меня были проблемы с преобразованием дробей, подобия катета гипотенузы и наибольшим общим множителем. Я просто набирал задачу из рабочей тетради, нажимал «Решить» — и пошагово решал домашнее задание по алгебре. Очень рекомендую программу.| Форум | |
|---|---|
| калькулятор у.е. радикал | |
| калькулятор алгебры – наименьшее общее кратное | |
| математические проекты со сложением, вычитанием и умножением дробей | |
| план урока +математика+7 класс | |
| как решить алгебраическое уравнение с дробями | |
| вычисление разделительных радикалов | |
| математика | |
| решатель рационализирующих радикальных знаменателей | |
| 8 класс графические переводы вращения и отражения листы для печати | |
| нелинейное дифференциальное уравнение Matlab | |
| факторинг с дробными показателями | |
| бесплатные рабочие листы по алгебре для восьмого класса | |
| как преобразовать decmil в дробь с ti 83 plus | |
| бесплатная алгебра трехчленов | |
| решатель вершинных уравнений | |
| примеры гипербол | |
| формула для получения десятичных знаков | |
| математические листы сложения и вычитания отрицательных чисел | |
| математика + стихи + строка наилучшего соответствия | |
| бесплатный калькулятор скачать в С# | |
| помогите с d=rt алгеброй | |
| наименьшие общие знаменатели | |
| Рабочий лист точечной диаграммы для средней школы | |
| начальный 6 образец вопроса по геометрии и тригонометрии | |
| решение систем уравнений с 3 переменными история | |
| умножение и деление положительных и отрицательных дробей | |
| бесплатный тестовый онлайн-экзамен (по программному обеспечениюбесплатно) | |
| Техасский Ти-89 показывает рабочую алгебру | |
| стихи о том, как решать задачи по алгебре | |
| бесплатные рабочие листы по математике по четырехугольникам для учащихся пятого класса | |
| lcm для идиотов | |
| решить квадратное уравнение в вершинной форме | |
| решатель математических задач | |
| выпуск по математике 8 | год|
| Учебник по химии Аддисона-Уэсли | |
| алгебратор скачать | |
| стандарты программного обеспечения для репетиторов по математике | |
| логическое упрощение ti89 | |
| комплексное число абсолютного значения | |
| как считать комбинации на графическом калькуляторе | |
| численно решать нелинейные уравнения maple | |
| сша 10 класс математика | |
| определение уровня точности в алгебре | |
| алгебра 2 книга ответы макдугал литтел | |
| бесплатные печатные дроби упражнения | |
| как решить матрицы с помощью javasript | |
| калькулятор рациональных выражений | |
как решать уравнения с более чем одной переменной с помощью графика. | |